D- Convergence de variables aléatoires

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2 D-1 Notatios O cosidère ( ) N (évetuellemet (Y ) N ) ue suite de variables aléatoires défiies sur l espace probabilisé (Ω, A, ) et X (évetuellemet Y ) ue variable aléatoire défiie sur le même espace. O ote (F ) N la suite des foctios de répartitios de ( ) N et F celle de X. O ote (φ ) N la suite des foctios caractéristiques de ( ) N et φ celle de X : φ (t) = E ( e itx ). Rq: es résultats de ce cours s appliquet aussi à des vecteurs aléatoires.

3 D-2 Covergece e loi Défiitios Défiitio 1 X lim + F (x) = F (x) e tout poit de cotiuité x de F. Défiitio 2 : Théorème de aul evy X x R, lim + φ (x) = φ(x). Défiitio 3 : emme de ortmateau X g cotiue et borée,lim + E (g( )) = E (g(x )).

4 D-2 Covergece e loi Théorème c R, X et Y c = (X, Y ) (X, c). Théorème de Slutsky c R, X et Y c = 1 + Y X + c 2 Y Xc 3 /Y X /c, c 0 X et Y Y implique pas X + Y X + Y

5 D-2 Covergece e loi Exemple 1 Soit ue suite de v.a. de loi B(, λ/). Alors, lorsque ted vers l ifii, X, où X suit ue loi (λ). ( p (x) = ( = x) = C x λ ( 1)...( x + 1) = x! ( = λx 1 1 )... x! λx lim p(x) = + x! ( λ ( 1 x 1 ( lim 1 λ + ) x ( 1 λ ) x ) x ( 1 λ ( 1 λ ) ) x ) ) ( 1 λ ( 1 λ ) x ) = λx x! e λ. Doc, F (x) = x k=0 p(k) = (X x) où X suit ue loi de poisso de paramètre λ. 2 Soit X N ue suite de v.a. de loi H(N,, p). Alors, lorsque N ted vers l ifii X N X, où X suit ue loi B(, p).

6 D-3 Covergece e probabilité Défiitio X ɛ > 0, lim + ( X > ɛ) = 0. Coditio suffisate de covergece e probabilité lim + E ( ) = c et lim + V ( ) = 0 = c reuve : ( X c > ɛ) ( X E(X) > ɛ/2) + ( E(X) c > ɛ/2) ropriétés 4V (X) ɛ E(X) c >ɛ/2 0. X et Y Y = X + Y X + Y reuve : ( X + Y X Y > ɛ) ( X X > ɛ/2) + ( Y Y > ɛ/2).

7 D-3 Covergece e probabilité Exemple 1 Soit Z ue suite de variable aléatoire de loi du Chi2 à ddl. Soit ue suite de v.a. de loi T (). Motrer que Z / coverge e probabilité vers 1. E déduire que lorsque ted vers l ifii X, où X suit ue loi N (0, 1).O ote N (0, 1) Rq: O utilisera le résultat éocé plus loi : c R, c c

8 D-4 Covergece presque-sûre Défiitio p.s. 1 X (lim + = X ) = 1. p.s. 2 X ({ω Ω, lim + (ω) = X (ω)}) = 1. p.s. 3 X {ω Ω, lim + (ω) X (ω)} =. presque partout. Coditio suffisate de covergece presque-sûre ɛ > 0, =1 ( X > ɛ) coverge = ( p.s. X )

9 D-5 Covergeces e moyees d ordre Covergece das 1 (e moyee) 1 X lim + E ( X ) = 0. Covergece das 2 (e moyee quadratique) 2 X lim + E ( X 2) = 0. Covergece das p p X lim + E ( X p ) = 0.

10 D-6 Hiérarchie des covergeces p.s. X = X = X X p X q X q > p a covergece e loi est la covergece la plus faible. Elémets de preuve : p.s. : Si il est vérifié, o utilise critère de covergece p.s., sio plus compliqué. : e utilisat l iégalité Z, Y v.a., x > 0, (Y x) (Z x + ɛ) + ( Y Z > ɛ) et e l appliquat d ue part à Y = X, Z = X, d autre part à Y = X, Z = X. O obtiet F (a ɛ) ( X X > ɛ) F(x) F (a + ɛ) + ( X X > ɛ). O obtiet le résultat e preat la limite e, puis la limite quad ɛ ted vers 0 et la cotiuité de F. 1 : par Markov 2 1 : par Cauchy-Schwarz q p : par Holder

11 D-7 Quelques résultats complémetaires Covergece vers ue costate c R, c X c reuve : Ici, F (x) = (c x) = 1 c x. O a 0 ( X c > ɛ) = (X > ɛ + c ou X < c ɛ) 1 F(c + ɛ) + F(c ɛ) E preat la limite le terme de droite ted vers 1 1 c c+ɛ + 1 c c ɛ = 0. X et X Y 0 = Y X g cotiue 1 X = g(x ) g(x ) 2 X = g(x ) g(x ) p.s. 3 X = g( ) p.s. g(x )

12 D-8 Deux lois fodametales de la statistique Soit (X i ) 1 i ue suite de variables aléatoires i.i.d. d espérace m et de variace σ 2. Soit = 1 X i. i=1 ois des grads ombres orsque l o fait u sodage aléatoire das ue populatio, plus o augmete la taille de l échatillo, plus la moyee de l échatillo se rapproche de celle de la populatio. oi faible des grads ombres m reuve : E( X) = m, V ( X) = σ 2 / et o applique la coditio suffisate de covergece e probabilité. oi forte des grads ombres p.s. m

13 D-8 Deux lois fodametales de la statistique Exemples 1 Soit F la foctio de répartitio empirique de (X 1,..., ), x R, F (x) = 1 i=1 1 Xi x. Alors, lorsque ted vers l ifii e tout poit x de R. F (x) p.s. F (x) et F (x) F (x),

14 D-8 Deux lois fodametales de la statistique Théorème cetral limite (TC) m σ/ N (0, 1).

15 D-8 Deux lois fodametales de la statistique Exemple 1: oi de la somme de variables aléatoires i.i.d. Soit S = = i=1 X i. Alors, S m σ N (0, 1). reuve : O multiplie e haut et e bas par das le TC. Exemple 2: Théorème de Moivre-aplace Soit ue suite de v.a. de loi B(, p). Aors, p p(1 p) N (0, 1) reuve : X a même loi que la somme de variables i.i.d. de loi de berouilli B(p) Exemple 3: Covergece e loi d ue suite Z de loi χ 2 (). Z 2 N (0, 1). reuve : Z a même loi que S = Z i avec Z i i.i.d. de loi du χ 2 (1).