Dénombrement - Analyse combinatoire

Transcription

1 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire Uiversité de Picardie Jules Vere UFR des Scieces Licece metio Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire L objectif de ce chaitre est de réseter les résultats de déombremet utiles e calculs des robabilités discrètes. Pour déombrer u esemble fii, c est-à-dire trouver so cadial, deux méthodes serot utilisées : comter effectivemet les élémets de l esemble ou mettre l esemble e bijectio avec u autre esemble dot o coaît le cardial. Exemle fodametal. Soiet et deux etiers aturels o uls. Soit E e 1,e 2,,e u esemble costitué de élémets disticts. O veut choisir élémets das E. Ce choix eut se faire e réétat ou o u élémet, e ordoat ou o les élémets choisis. Pour 3 et 2, les choix ossibles sot : avec ordre avec réétitio e 1,e 1 e 1,e 2 e 1,e 3 e 2,e 1 e 2,e 2 e 2,e 3 e 3,e 1 e 3,e 2 e 3,e 3 sas réétitio e 1,e 2 e 1,e 3 e 2,e 1 e 2,e 3 e 3,e 1 e 3,e 2 sas ordre e 1,e 1 e 1,e 2 e 1,e 3 e 2,e 2 e 2,e 3 e 3,e 3 e 1,e 2 e 1,e 3 e 2,e 3 Pricie de multilicatio Si étaes doivet être effectuées lors d ue exériece, et que la k-ème étae eut etraîer k choix, alors le ombre de résultats ossibles de l exériece est doé ar 1 2. C est ue coséquece du ricie du berger. Cela corresod à la résetatio de l exériece sous forme d arbre de choix. 1 - Arragemet avec réétitio. Défiitio 1.1. Soit E e 1,e 2,,e u esemble de élémets disticts. Soit 1. O aelle arragemet avec réétitio d ordre de E (o dit aussi -liste de E) toute suite ordoée e i1,e i2,,e i de élémets (disticts ou o) de E. Proositio 1.1. Le ombre d arragemets avec réétitio d ordre de E est :. SoitA arragemets avec réétitio d ordre de E. Tout arragemet avec réétitio d ordre de E est u élémet du roduit cartésie E E E ( fois), et réciroquemet. DocA E et le ombre d arragemets avec réétitio d ordre de E est carda carde carde. Plus simlemet, o dit que our costruire u tel arragemet, o choisit u élémet de E que l o lace e remière ositio, soit choix ossibles. Puis o choisit u élémet de E que l o lace e deuxième ositio, soit choix ossibles ; ce ombre se multiliat au ombre de choix récedets. Et aisi de suite jusqu au choix du -ième élémet. Le ricie de multilicatio assure qu il y a doc choix ossibles. Remarque 2.1. Cette formule est valable our 0 : 0 1, corresodat à la suite vide. Stéhae Ducay 1

2 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire Exemles 1.1. a) Das ue ure coteat boules distictes umérotées de 1 à, o tire successivemet avec remise boules. Le ombre de tirages différets est. b) Le ombre de faços de lacer objets disticts das cases, chaque case ouvat coteir lusieurs objets, est. Proositio 1.2. Soiet A et B deux esembles de cardial fii resectif et. Le ombre d alicatios de A das B est. Il suffit de mettre e bijectio l esembleaa,b des alicatios de A das B et l esemble B des arragemets avec réétitio d ordre de B qui est de cardial. Pour ce faire, o eut cosidérer l alicatio : AA,B B défiie ar f fa 1,...,fa, avec A a 1,...,a. Cette alicatio est bie bijective car tout élémet x 1,...,x de B admet u uique atécédet, à savoir l alicatio qui à chaque a k de A associe x k das B. 2 - Arragemet (sas réétitio). Permutatio. Défiitio 2.1. Soit E e 1,e 2,,e u esemble de élémets disticts. Soit tel que 1. O aelle arragemet sas réétitio d ordre de E toute suite ordoée e i1,e i2,,e i de élémets disticts de E. E gééral, o dira arragemet, sas réciser sas réétitio. Proositio 2.1. Le ombre d arragemets d ordre de E est : A 11!!. Pour 1, il est clair que A 1 (ombre de choix d u élémet de E. Soit 2. A u arragemet e i1,e i2,,e i d ordre corresod l uique coule costitué de l arragemet e i1,e i2,,e i1 d ordre 1et de l élémet e i de E, différet de e i1,e i2,,e i1. Réciroquemet, à u tel coule corresod u uique arragemet d ordre. O e déduit que A A 1 1. O a alors A A 2 21 A Plus simlemet, o dit que our costruire u tel arragemet, o choisit u élémet de E que l o lace e remière ositio, soit choix ossibles. Puis o choisit u élémet de E, différet du remier, que l o lace e deuxième ositio, soit 1choix ossibles ; ce ombre se multiliat au ombre de choix récedets. Et aisi de suite jusqu au choix du -ième élémet, différet des récédets, soit 1choix ossibles. Le ricie de multilicatio assure doc qu il y a 11 choix ossibles. Remarque 2.1. Cette formule est valable our 0 : A 0 1, corresodat à la suite vide. Pour, o a A 0 car il y a au mois ue réétitio. Exemles 2.1. a) Das ue ure coteat boules distictes umérotées de 1 à, o tire successivemet sas remise boules. Le ombre de tirages différets est A. b) Le ombre de faços de lacer objets disticts das cases, chaque case ouvat coteir au lus u objet, est A. Proositio 2.2. Soiet A et B deux esembles de cardial fii resectif et, avec 1. Le ombre d ijectios de A das B est A. Stéhae Ducay 2

3 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire Défiitio et roositio 2.3. Soit E e 1,e 2,,e u esemble de élémets disticts. O aelle ermutatio de E tout arragemet d ordre de E, i.e. toute suite ordoée e i1,e i2,,e i des élémets disticts de E. Le ombre de ermutatios de E est alors : A! Proositio 2.4. Soiet A et B deux esembles de cardial fii. Le ombre de bijectios de A das B est!. 3 - Combiaiso (sas réétitio). Formule du biôme. Défiitio 3.1. Soit E e 1,e 2,,e u esemble de élémets disticts. Soit tel que 0. O aelle combiaiso sas réétitio d ordre de E toute artie (sous-esemble) e i1,e i2,,e i de élémets disticts de E. E gééral, o dira combiaiso, sas réciser sas réétitio. Proositio 3.1. Le ombre de combiaisos d ordre de E est : C!!!. Pour 0, la seule combiaiso d ordre 0 est doc C 0 1. Soit 1. A ue combiaiso d ordre de E doée o eut associer autat d arragemets d ordre de E que de ermutatios des élémets de la combiaiso, soit! arragemets. Deux arragemets obteus à artir de deux combiaisos différetes sot différets. Aisi, à artir des C combiaisos d ordre, o obtiet C.! arragemets d ordre différets. Comme à tout arragemet d ordre corresod ue (uique) combiaiso d ordre, o obtiet bie tous les arragemets ossibles ar ermutatio des combiaisos. O a doc A C.!, i.e. C A. D où le résultat.! Remarque 3.1. Pour, o a C 0 car il y a as assez d élémets das E. Exemles 3.1. a) Das ue ure coteat boules distictes umérotées de 1 à, o tire simultaémet boules. Le ombre de tirages différets est C. b) Le ombre de faços de lacer objets idiscerables das cases, chaque case ouvat coteir au lus u objet, est C. c) Le ombre de suites strictemet croissates de élémets de 1,..., est C. O a doc card i 1,,i / 1 i 1 i C. Ce résultat est e articulier utile lors de l utilisatio de la formule de Poicaré. Proriétés 3.1. i Pour 0, C C. E articulier, C 0 C 1. ii Pour 1 1, C 1 1 C 1 C. iii Pour 1, C C 1 1. Ces résultats s obtieet immédiatemet ar u calcul direct. Doos ue démostratio de ii basée sur le déombremet. Soit E e 1,e 2,,e. Le ombre de combiaiso d ordre de E est C. Parmi ces combiaisos, il y a 1 celles qui e cotieet as e 1, soit C 1 combiaisos, et celles qui cotieet e 1, soit 1C 1 Stéhae Ducay 3

4 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire combiaisos. D où le résultat ii. Le résultat ii ermet d obteir les coefficiets C das u tableau triagulaire, aelé triagle de Pascal. \ Formule du biôme de Newto. Soiet A u aeau commutatif, x et y deux élémets de A, et u etier aturel. Alorsx y C k x k y k C k y k x k. Pour 0, C k x k y k C 0 0 x 0 y 0 1 x y 0 Pour 1, C k x k y k C 0 1 x 0 y 10 C 1 1 x 1 y 11 y x x y 1. Suosos la formule vraie à u rag 1 doé. Alors x y 1 x yx y x y C k x k y k 1 C k x y k C k x k y 1k C x k y 1k C k x k y 1k C x 1 y 0 C x k y 1k C k x k y 1k C 0 x 0 y 1 y 1 C C k x k y 1k x 1 0 C 1 x 0 y 1 k C 1 x k y 1k C x 1 y 0 k C 1 x k y 1k. La formule est doc vraie au rag 1. O a doc démotré le résultat ar récurrece. Nombre de arties d u esemble. Soit E e 1,e 2,,e u esemble de élémets disticts. O otepe l esemble des arties de E. Par exemle, our 2, E e 1,e 2 etpe,e 1 e 2 e 1,e 2. Proositio 3.2. Le ombre de arties d u esemble E de élémets disticts est 2. Preuve 1.PE est costituée des arties de E à k élémets, 0 k, dot le ombre est C k. Aisi, le ombre de arties de E est C k. E aliquat le formule du biôme avec x y 1, o a C k C k 1 k 1 k Preuve 2. Il suffit de mettre e bijectio l esemblepe et l esemble 0,1 des arragemets avec réétitio d ordre de 0,1 qui est de cardial 2 ; cette bijectio état ar exemle l alicatio : PE 0,1 défiie ar A 1,...,, avec E e 1,...,e et k 1 si e k A 0 si e k A. O ouvait aussi cosidérer la bijectio : PE AE,0,1 défiie ar A 1 A A, foctio idicatrice de A, l esembleae,0,1 état aussi de cardial 2. Stéhae Ducay 4

5 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire 4 - Combiaiso avec réétitio. Défiitio 4.1. Soit E e 1,e 2,,e u esemble de élémets disticts. Soit u etier aturel. O aelle combiaiso avec réétitio d ordre de E toute collectioe i1,e i2,,e i de élémets (disticts ou o) de E. Proositio 4.1. Le ombre de combiaisos avec réétitio d ordre de E est : K 1 C 1 C 1. Comme our ue combiaiso, o eut suoser que les élémets sot ragés ar ordre d idice croissat. Ue combiaiso avec réétitio d ordre est alors caractérisée ar le ombre k de fois où l élémet e k est réété, avec k : e 1,,e 1,e 2,,e 2,,e,,e. Le choix d ue combiaiso avec réétitio d ordre reviet à l exériece suivate : 1 armi 1cases aligées, o choisit 1cases que l o cosidère comme des cloisos, soit C 1 choix ossibles ; o costruit aisi boites, la k-ième coteat k fois e k. 1 Le résultat découle de l égalité C 1 C 11 1 C 1. Exemles 4.1. a) Le ombre de faços de lacer objets idiscerables das cases, chaque case ouvat coteir évetuellemet lusieurs objets, est K. b) O a alors card x 1,,x / x 1 x K, e reat comme objets des 1 et comme cases les x i. c) Le ombre de suites croissates de élémets de 1,..., est K. O a doc card i 1,,i / 1 i 1 i K. 5 - Permutatio avec réétitio. Défiitio 5.1. Soit u etier aturel 1. Soit E e 1,,e 1,e 2,,e 2,,e,,e ue collectio de élémets, dot k fois l élémet e k, 1 k. O aelle ermutatio avec réétitio de E toute suite ordoée des élémets de E. Proositio 5.1. Le ombre de ermutatios avec réétitio de E est :! 1! 2!! Pour costruire ue ermutatio de E, o choisit successivemet : - 1 ositios our e 1 armi les ositios ossibles, soit C 1 choix ossibles ; - 2 ositios our e 2 armi les 1 ositios restates, soit 2 C 1 choix ossibles ; - 3 ositios our e 3 armi les 1 2 ositios restates, soit 3 C 1 2 choix ossibles ; - ositios our e armi les 1 1 ositios restates, soit C choix ossibles. Le ricie de multilicatio assure doc que le ombre de ermutatios avec réétitio de E est : d où le résultat. C C 1 C 1 2 C! 1! 1! 1! 2! 1! 1 2! 3! 1 2 3!!!0! Stéhae Ducay 5

6 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire 6 - Exercices Exercice 1. O lace ciq fois u dé dot les six faces sot umérotées de 1 à 6. O obtiet aisi ue suite de ciq uméros. Déombrer les résultats : a) ossibles. f) coteat exactemet u as. b) où les ciq faces sot idetiques. g) coteat exactemet deux as. c) où les ciq faces sot différetes. h) commeçat ar u deux. d) e coteat aucu as. i) coteat tous les uméros sauf le trois. e) coteat au mois u as. Exercice 2. Das u jeu de 32 cartes, o choisit ue mai de 5 cartes. Déombrer les mais coteat : a) aucu as. d) au mois u as. g) u carré. b) exactemet u as. e) deux coeurs et trois iques. h) deux aires. c) exactemet deux as. f) deux coeurs et u as. i) u full. Exercice 3. U réseau de téléhoie mobile comorte des uméros à 8 chiffres ris das0,1,,9. Déombrer les uméros comreat : a) huit chiffres différets ; b) huit chiffres dot le roduit est divisible ar deux ; c) deux fois le 1, deux fois le 3, trois fois le 5 et ue fois le 9 ; d) deux chiffres se réétat 4 fois ; e) u chiffre aaraissat 4 fois, les autres ue fois ; f) huit chiffres format ue suite strictemet croissate ; g) huit chiffres format ue suite croissate. Exercice 4. 1) Soit u etier aturel. Calculer S C k et S 1 k C k. E 2 2) Soit u etier aturel o ul. Calculer S 1 C 2k 2 et S 2 C 2. Motrer que si E est u esemble de élémets, alors il y a autat de arties de E coteat u ombre air d élémets que de arties e coteat u ombre imair. Exercice 5. 1) Soiet a, b et trois etiers aturels tels que mia,b. Motrer la formule de Vadermode C ab C k a C k b. a) e utilisat la formule du biôme das l égalité 1x ab 1x a 1x b ; b) e déombrat les arties de cardial de la réuio de deux esembles disjoits A et B de cardial a et b. 2) E déduire les égalités : ic k 2 C 2 ; ii kc k 2 2 C 2. Exercice 6. Soiet A et B deux esembles de cardial fii resectif et ; o ose B b 1,...,b. O désige ar E l esemble des alicatios de A das B, ar S l esemble des surjectios de A das B, ar A i l esemble des alicatios de A das B our lesquelles b i a as d atécédet. O désige ar S, le ombre de surjectios de A das B, c est-à-dire S, cards. 1) Justifier que S, 0 si, et que S,!. 2) Justifier que E \ S i1 Ai. Utiliser la formule de Poicaré our e déduire : S, 1 k C k k. Stéhae Ducay 6 E 1

7 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire 7 - Aexe : raels sur les esembles et les alicatios Ces raels serot aussi utiles das les chaitres suivats : esaces robabilisés, variables aléatoires,... Nous suosos que le lecteur est déjà familiarisé avec les otios d esemble et d alicatio. Esemble et artie d u esemble Raelos quepe désige l esemble des arties (sous-esembles) d u esemble E : A PE A E (Tout élémet de A est u élémet de E) Si E est u esemble, l esemble E lui-même est ue artie de E, aisi que l esemble vide, oté, qui ar défiitio e cotiet aucu élémet : E PE et PE. O distiguera u élemet x de E du sigleto x qui est la artie de E dot le seul élémet est x : x E et x PE. Double iclusio Si E et F sot deux esembles, alors E F E F et F E Réuio et itersectio Si E est u esemble et A et B sot deux arties de E, alors o défiit les esembles suivats, qui sot des arties de E : A x E / x A, comlémetaire de A das E A B x E / x A ou x B, réuio de A et B A B x E / x A et x B, itersectio de A et B A \ B x E / x A et x B, différece de A et B O dira que les arties A et B sot disjoites si et seulemet si A B. O a aussi : A A, A \ B A B,A B A B B A. Plus gééralemet, soit I u esemble d idices et A i ii ue famille de arties de E : - la réuio des A i, otée A i, est l esemble des élémets x de E qui aartieet à l u au mois ii des esembles A i, - l itersectio des A i, otée A i, est l esemble des élémets x de E qui aartieet à tous les ii esembles A i. O dira que les arties A i sot deux à deux disjoites si et seulemet si our tous i et j das I tel que i j, A i A j. Partitio Soit E u esemble et A i ii ue famille de arties de E. L esemble des A i est ue artitio de E si et seulemet si les deux coditios suivates sot vérifiées : - la réuio des A i est E (c est-à-dire A i E) ii - les A i sot deux à deux disjoites (our i j, A i A j. Produit cartésie Soiet E et F deux esembles. Leur roduit cartésie, oté E F, est l esemble des coulesx,y où x est u élémet de E et y u élémet de F : E F x,y / x E et y F. Soiet E 1,E 2,...,E esembles. Leur roduit cartésie est E 1 E 2 E x 1,x 2,...,x / x i E i our i 1,2,...,. Si E est u esemble, o ote E le roduit cartésie E E E( fois). C est l esemble des -ulets d élémets de E. Alicatio E et F état deux esembles o vides, ue alicatio f de E das F associe à tout élémet x de E u uique élémet de F, oté fx et aelé image de x ar f. Le grahe d ue alicatio f : E F est alors l esemble des coulesx,fx où x est u élémet de E : Grahf x,fx / x E. Si y est u élémet de F, o aelle atécédet de y ar f tout élémet x de E tel que fx y. Stéhae Ducay 7

8 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire Isistos sur le fait que tout élémet de E a ue seule image ar f, mais qu u élémet de F eut avoir u ou lusieurs atécédet, ou même e avoir aucu. Restrictio Soiet f ue alicatio de E das F, et A ue artie de E. O aelle restrictio de f à A, otée f A, l alicatio de A das F défiie ar : f A A F x fx. Image et image réciroque d u esemble ar ue alicatio Soiet f ue alicatio de E das F, A ue artie de E et A ue artie de F. O aelle image de A ar f, otée fa, l esemble des images des élémets de A : fa fx / x A. O eut ecore défiir fa comme l esemble des élémets de F qui ot u atécedet das A : fa y F / x A,y fx. L esemble fe est aelée image de f, c est l esemble des élémets de F qui ot u atécédet. O aelle image réciroque de A ar f, otée f 1 A, l esemble des élémets de E dot l image aartiet à A : f 1 A x E / fx A. O a les roriétes suivates : - f 1 F E, f, f 1, - our tout y de F, f 1 y est l esemble des atécédets de y, - our toutes arties A et B de E, o a A B fa fb, fa B fa fb et fa B fa fb - our toutes arties A et B de F, o a A B f 1 A f 1 B, f 1 A B f 1 A f 1 B, f 1 A B f 1 A f 1 B, f 1 A f 1 A et f 1 A \B f 1 A \f 1 B. Ijectio, surjectio, bijectio Soit f ue alicatio de E das F. f est ijective (resectivemet, surjective, bijective) si et seulemet si tout élémet de f admet au lus (res. au mois, exactemet) u atécédet. O a les équivaleces suivates : (f ijective) x,x E,x x fx fx x,x E,fx fx x x (f surjective) fe F, (f bijective)(f ijective et f surjective) Lorsque f est bijective, o désige ar f 1 sa bijectio réciroque, alicatio de F das E qui à tout élémet y de F associe so uique atécédet x ar f. Comosée d alicatios Soiet f ue alicatio de E das F et g ue alicatio de F das G. L alicatio comosée gfde E das G est défiie argfx gfx. Lorsque f est bijective, o a f 1 f id E et f f 1 id F. La comosée de deux ijectios (resectivemet surjectios, bijectios) est ue ijectio (res. surjectio, bijectio). O aelle ivolutio de E toute alicatio f de E das E tel que f f id E. O a alors f bijective et f 1 f. Foctio idicatrice Soiet E u esemble et A ue artie de E. O aelle foctio idicatrice de A l alicatio de E das 0,1, otée 1 A ou A, et défiie ar : A 1 si x A 0 si x A. Si A et B sot deux arties de E, o a : A B A B, AB A B, A 1 A, A B A B AB, A B A B AB 0 A B. Esembles fiis et déombrables U esemble fii est u esemble coteat 0 ou élemets,. Le ombre d élémets d u esemble fii est aelé so cardial. carde 0 sigifie que E, carde sigifie que E cotiet élémets. Deux esembles E et F ot le même cardial si et seulemet si il existe ue bijectio f de E das F. U esemble E est déombrable si o eut idexer ses élémets ar les etiers aturels, c est-à-dire s il Stéhae Ducay 8

9 S4 Maths Probabilités 1 Déombremet - Aalyse combiatoire existe ue bijectio:k x k de das E. Si E est u esemble déombrable et s il existe ue bijectio f de E das F, alors F est u esemble déombrable. Les esembles,,,, 2, 3,... sot déombrables. Toute artie de est fiie ou déombrable ; lus gééralemet, toute artie d u esemble déombrable est fiie ou déombrable. Tout esemble idexé ar ue esemble déombrable d idices est déombrable. Si E est u esemble, ue famille x i ii d élémets de E est dite fiie ou déombrable si I est u esemble fii ou déombrable d idices. Cardial d u esemble fii Cosidéros u esemble fii E de cardial. Toute artie A de E est u esemble fii et cotiet au lus élémets. Si A cotiet élémets, alors A cotiet tous les élémets de E et est autre que l esemble E lui-même. O a doc : A E carda carde et A E et carda carde A E. Soiet E et F deux esembles fiis de même cardial, et f ue alicatio de E das F. O a alors f ijective f surjective f bijective Proriétés des cardiaux Soiet E u esemble fii, A, B, A 1,...,A des arties de E. O a : A B carda B carda cardb carda carde carda card A \ B carda carda B B A card A \ B carda cardb carda B carda cardb carda B Formule du crible ou de Poicaré : card i1 Ai carda i carda i1 A i2 1 i1 1i 1 i carda 1 A 1 S k, avec S k 1i 1 i k 1i 1 i k carda i1 A ik carda i1 A ik (somme de C k termes) Si A 1,...,A est ue artitio de E, alors carde carda 1 carda i1 carda i. Cardial d u roduit cartésie Soiet E, F, E 1,...,E des esembles fiis. Les roduits cartésies E F, E 1 E 2 E et E sot des esembles fiis et o a carde F cardecardf, carde 1 E 2 E carde 1 carde et carde carde. Pricie du berger Soiet E et F deux esembles fiis et f : E F ue alicatio surjective, alors carde cardf 1 y. Si de lus cardf 1 y our tout y de F, alors carde cardf. yf Ceci veut dire e articulier qu e comtat le ombre de attes des moutos d u troueau, o coaît le ombre des moutos! Stéhae Ducay 9