Corrigé du baccalauréat S Liban 3 juin 2010

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1 Corrigé du baccalauréat S Liba 3 jui 1 Exercice 1. Partie A : Restitutio orgaisée de coaissaces 1) x R, o a d après le pré-requis e preat y x : e x e x e x+x e 1. Ceci état vrai pour tout x, e divisat e x e x par e x o obtiet bie le résultat : e x 1 e x. ) O démotre le résultat par le pricipe de récurrece. Soit P() la propositio suivate dépedat de, x R : P() : (e x ) e x Partie B : Iitialisatio. P() est vraie car (e x ) 1 et e x 1. Hypothèse de récurrece. O suppose que pour u certai N, P() est vraie. Hérédité. (e x ) +1 e x (e x ) e x+x e x(+1). Aisi P(+ 1) est vraie. Coclusio. Par récurrece, o a prouvé que pour tout etier de N : P() : (e x ) e x. 1) a. u + u 1 Par liéarité de l itégrale. b. O a : 1 1+e dx+ x e x dx 1+e x u 1 e x 1+e x dx 1+e x dx 1+e x dx 1 1 O remarque alors que c est de la forme u (x)/u(x) avec u(x)1+e x et s itègre e lu(x). Aisi, u 1 [l(1+e x )] 1 l(1+e 1 )+l(1+e )l() l(1+e 1 ) Comme u + u 1 1 u 1+l(1+e 1 ) l() ) Ici il est pas utile de faire ue récurrece sur car si o se souviet du cours, N, u est l itégrale d ue foctio cotiue et positive, doc elle est positive. E effet, 3) a. x R e x 1+e x > u +1 + u e x(+1) dx+ 1+e x e x(+1) + e x e x 1+e x dx 1+e x dx liéarité e x e x e x dx e surtout pas additioer les expoetielles! e x dx [ 1 e x] 1 1 e d où le résultat pour tout etier >. 1

2 b. O a : N u +1 1 e u et par récurrece u +1. O a écessairemet N u 1 e. 4) Le résultat est immédiat : d après ce qui précède N u 1 e d après le théorème d ecadremet (ou des gedarmes) u +.. Or e +, et 1/. Doc + Exercice. L espace est mui d u repère orthoormal (O; i, j, k). O ote (D) la droite passat par les poits A(1 ; ; 1) et B(3 ; 5 ; ). 1) La droite (D) a pour vecteur directeur AB(; 3; 1) et passe par le poit A. Doc ue représetatio paramétrique de la droite (D) est : x 1+t y 3t avec t R (1) z 1 t ) Soit (D ) : x k y 1+k z k avec k R () Il y a deux choses à motrer pour affirmer que (D) et (D ) e sot pas coplaaires : il faut qu elles e soiet i sécates i parallèles. Soit u u vecteur directeur de la droite (D ) de coordoées (-1 ; ; 1) (coefficiets devat k). O remarque que les deux vecteurs u et AB(; 3; 1) e sot pas coliéaires, et par coséquet les droites e peuvet pas être parallèles. O résout le système formé par les équatios (1) et () pour savoir si les droites sot sécates : 1+t k 3t 1+k 1 t k k 9 t 5 t+ k 1 Ce qui est impossible, doc ce système admet pas de solutio. Aisi les droites (D) et (D ) e sot pas sécates. O peut doc coclure que les droites e sot pas coplaaires. 3) O cosidère le pla (P) d équatio 4x + y + 5z + 3. a. b. 4 1+( )+5 ( 1)+3 et 4 3+( 5)+5 ( )+3 Doc les poits A et B appartieet au pla (P), et comme AB est u vecteur directeur de la droite (D), o e déduit que (D) (P) 4x+y+ 5z+ 3 M(x, y, z) (D x k ) (P) y 1+k z k k 4 x 6 y 7 z 4 Aisi la droite (D ) coupe le pla (P) e u poit C de coordoées (6; 7; 4). 4) O cosidère la droite ( ) passat par le poit C et de vecteur directeur w(1 ; 1 ; 1). 1

3 a. b. u. w ( 1) Doc les vecteurs u et w sot orthogoaux, ce qui prouve que (D ) et ( ) sot orthogoales. De plus, le poit C appartiet aux deux droites, doc celles ci sot sécates e C, ce qui prouve qu elles sot perpediculaires. w. AB 1 +1 ( 3) 1 ( 1) Doc les vecteurs w et AB sot orthogoaux, ce qui prouve que (D) et ( ) sot orthogoales. Pour motrer que les droites sot perpediculaires il faut détermier leur itersectio si elle existe. Il faut d abord paramétrer la droite ( ) : elle passe par le poit C et est dirigée par le vecteur w doc so équatio paramétrée est : x 6+k y 7+k avec k R z 4 k 6+k 1+t M(x, y, z) (D) ( ) 7+k 3t 4 k 1 t { k 1 t L itersectio existe (le système admet des solutios uiques), doc les droites sot perpediculaires et (D) ( )E a pour coordoées (5; 8; 3). Exercice 3. Eseigemet obligatoire Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse, et doer ue justificatio de la répose choisie. Ue répose o justifiée e rapporte aucu poit. Toutefois, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même ofructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. 1. Ue ure cotiet ue boule blache et deux boules oires. O effectue 1 tirages successifs d ue boule avec remise (o tire ue boule au hasard, o ote sa couleur, o la remet das l ure et o recommece). Propositio 1 : «La probabilité de tirer exactemet 3 boules blaches est ( ) 1 3 ( ) 7 3.» FAUX 3 3 Il s agit d u schéma de Beroulli : o reouvelle 1 fois de maière idépedate ue expériece à deux issues cosistat à tirer u boule das ue ure coteat 3 boules dot ue blache. La probabilité de tirer ue blache est de 1/3. O appelle X la variable aléatoire doat le ombre de boules( blaches ) obteues à ( ) ( ) 7 l issue des 1 expérieces. X suit ue loi biomiale de paramètres (1;1/3). p(x 3) et ( ) Ue variable aléatoire X suit la loi expoetielle de paramètre λ(λ > ). O rappelle que pour tout réel a> : p(x a) a λe λt dt. Propositio : «Le réel a tel que p(x > a)p(x a) est égal à l λ.» 1

4 a Pour tout réel a> : p(x a) λe λt dt [e λt] a 1 e λa, p(x > a)1 p(x a)e λa. L équatio p(x > a) p(x a) est équivalete à : 1 e λa e λa e λa 1 l() λa l() a λ 3. Soit le ombre complexe z 1 i 3. Propositio 3 : «Si l etier aturel est u multiple de 3 alors z est u réel.» O utilise la forme expoetielle : z 1 i 3r e iθ où r 1+3 et θ est tel que cos(θ) 1 et si(θ) 3, θ π 3. Doc z e i π 3 et pour tout etier aturel, z π i e 3. Si est multiple de 3, il s écrit sous la forme 3k où k est u etier aturel. O obtiet alors z e ikπ ± R 4. O cosidère, das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal direct (O; u, v), le poit A d affixe a i et le poit B d affixe b 1+i a. Propositio 4 : «Le triagle OAB est rectagle isocèle.» Soit Z a b, o sait que Ar g (Z )( BO, BA) et que Z BA b BO. b 1+i ( i) i, doc a b 1 3 ii( 1 i 3 i) ib. Z ib b i est de module 1 et d argumet π rectagle de sommet B.. Doc ( BO, BA) π et BABO. Le triagle ABO est doc isocèle 5. Das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal direct (O; u, v), à tout poit M du pla d affixe z o ulle o associe le poit M d affixe z telle que z 1 où z désige le ombre cojugué de z. z Propositio 5 : «Il existe u poit M tel que O, M et M e sot pas aligés.» FAUX Pour tout poit M d affixe z o ulle, z 1 1z z zz. Or 1 est réel, doc les vecteurs OM et OM sot zz coliéaires et les poits O, M et M sot aligés. EXERCICE 3 Eseigemet de spécialité 5 poits Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse, et doer ue justificatio de la répose choisie. Ue répose o justifiée e rapporte aucu poit. Toutefois, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. 1. O cosidère, das le pla complexe rapporté à u repère orthoormal direct (O; u, v), le poit A d affixe i et B l image de A par la rotatio de cetre O et d agle π. O ote I le milieu du segmet [AB]. Propositio 1 : «La similitude directe de cetre A qui trasforme I e O a pour écriture complexe z (1+ i)z 1 i.» Puisque B est l image de A par la rotatio de cetre O et d agle π, le triagle OAB est rectagle isocèle direct de sommet O. Or I est le milieu de l hypotéuse doc AO AI et ( AI, AO) π. La similitude de cetre A qui 4 trasforme I e O a pour rapport et pour agle π 4. So expressio complexe est z e iπ/4 (z z A )+z A (1+i)(z +i)+ i(1+i)z i+i 1+ i(1+i)z 1 i 1

5 . O appelle S l esemble des couples (x ; y) d etiers relatifs solutios de l équatio (e) : 3x 5y. Propositio : «L esemble S est l esemble des couples (5k 1 ; 3k 1) où k est u etier relatif.» Soit (x ; y) u couple d etiers vérifiat (e). Alors 3x 5y 3+5 doc (e ) : 3(x+ 1) 5(y+ 1). Le ombre 5 divise 3(x+ 1) et 5 est premier avec 3. Selo le théorème de Gauss, 5 divise x+ 1 et il existe u etier relatif k tel que x+ 15k doc x 1+5k puis e remplaçat das (e ), 5(y+ 1)15k doc y 3k 1. O e déduit que, si (x ; y) est solutio de (e) alors il existe u etier relatif k tel que (x ; y) ( 1 + 5k ; 1 + 3k). Réciproquemet, s il existe u etier relatif k tel que (x ; y) ( 1+5k ; 1+3k), le couple (x ; y) est u couple d etiers relatifs vérifiat (e). E effet, 3 ( 1+5k) 5 ( 1+3k). L esemble S est l esemble des couples (5k 1 ; 3k 1) où k est u etier relatif. 3. O cosidère l équatio (E) : x + y modulo 3, où (x ; y) est u couple d etiers relatifs. Propositio 3 : «Il existe des couples (x ; y) d etiers relatifs solutios de (E) qui e sot pas des couples de multiples de 3.» FAUX O costruit le tableau des cogrueces modulo 3 de x et de x : x 1 x Si x ou y est pas multiple de 3 alors x ou y est cogru à 1 modulo 3 et la somme x + y est cogrue à 1 ou modulo 3 et est jamais cogrue à modulo Soit u etier aturel supérieur ou égal à 3. Propositio 4 : «Pour tout etier aturel k ( k ), le ombre!+k est pas u ombre premier.» Pour tout etier aturel k tel que k o sait que k divise! doc, par divisibilité de la somme, k divise aussi!+k, k est doc u diviseur de!+k et k est différet de 1 (k ) et différet de k+! (car! est o ul), k est doc u diviseur propre de k+! qui est doc pas premier. 5. O cosidère l équatio (E ) : x 5x+ 48, où x est u etier aturel. Propositio 5 : «Il existe deux etiers aturels o uls dot le PGCD et le PPCM sot solutios de l équatio (E ).»FAUX Les solutios de cette équatio du secod degré sot 1 et 4. Il existe aucu couple d etiers aturels tels que le PGCD et le PPCM correspodet respectivemet à 1 et 4 - e effet le PGCD de deux ombres divise toujours le PPCM de ces deux ombres et 1 e divise pas 4. Exercice 4. Partie A : Soit u la foctio défiie sur ] ; + [ par u(x) x +l x. 1) La foctio u est dérivable sur comme somme de foctios dérivables sur ] ; + [. x ] ; + [ u (x)x+ 1/x. Pour x ] ; + [ u (x)>, doc la foctio u est strictemet croissate sur ] ; + [. O obtiet alors le tableau des variatios suivat : x α + u (x) + + u 1

6 ) a. La foctio u est dérivable doc cotiue sur ] ; + [, elle est strictemet croissate sur ] ; + [, elle est bijective de ] ; + [ vers ] ; + [ et efi ] ; + [. D après le théorème de la bijectio mootoe, il existe ue et ue seule solutio α ] ; + [ telle que u(α). Remarque importate : Attetio le théorème des valeurs itermédiaires est u théorème d existece (il existe au mois ue solutio telle que...) et o d uicité! Si vous l utilisez oubliez pas de précisez la stricte mootoie de la foctio. b. À l aide de la calculatrice (soit e résolvat ue équatio soit e zoomat avec le graphique), 3) D après le tableau précédet c est évidet : u(1,31),13 et u(1,3), 1,31< α < 1,3 Sur ] ; α[, u est égative Sur ]α ; + [, u est positive Pour x α, u est ulle 4) u(α) α +lα lα α. D où le résultat. Partie B : O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur ] ; + [ par O ote f la foctio dérivée de f sur ] ; + [. f (x) x + ( l x). 1) O pose x ] ; + [ h(x) l x et x ] ; + [ h (x) 1/x. x ] ; + [ : f (x) x + h(x) f (x) f (x) x+ h (x)h(x) u(x) x ) x ] ; + [ f (x) déped est du même sige que u(x). O obtiet alors le tableau des variatios suivat : x α + f (x) f f (α) Partie C : Das le pla rapporté à u repère orthoormé (O; i, j ), o ote : Γ la courbe représetative de la foctio l (logarithme épérie) ; A le poit de coordoées ( ; ) ; 1

7 M le poit de Γ d abscisse x apparteat à ] ; + [. 1) M a pour coordoées (x; l x). AM AM AM AM (x M x A ) + (y M y A ) x + (l x ) x + ( l x) f (x) ) Soit g la foctio défiie sur ] ; + [ par g (x) f (x. a. La foctio g est dérivable sur ] ; + [ comme composée de foctios dérivables sur ] ; + [. x ] ; + [ : g (x) f (x) f (x) (3) Or x ] ; + [ f (x)>, doc le sige de g (x) est le même que celui de f (x). Aisi f et g ot les mêmes variatios pour tout x ] ; + [. b. O sait que d après ce qui précède, pour x α, f admet u miimum doc la distace AM est miimale e u poit de Γ, appelé P de coordoées (α ; lα). c. AP f (α) α + ( lα) α + α 4 car lα α α 1+α α 1+α car α> Or x ] ; + [ f (x)>, doc le sige de g (x) est le même que celui de f (x). Aisi f et g ot les mêmes variatios pour tout x ] ; + [. 3) O sait que le coefficiet directeur à la tagete à Γ e P est 1/α (o dérive la foctio l au poit α). Doc la tagete à Γ au poit P est dirigée par le vecteur v(1 ; 1/α). O sait aussi que le coefficiet directeur à la droite (AP) est α. So vecteur directeur v a doc pour coordoées (1 ; α). Or v. v, ce qui prouve que la droite (AP) est perpediculaire à la tagete à Γ au poit P. 1