Comparaison des suites en l infini

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1 Comparaiso des suites e l ifii Pla du chapitre Les différetes relatios de comparaiso page Défiitio des relatios de comparaiso page Relatio de domiatio page Relatio de prépodérace page 3 3 Relatio d équivalece des suites page 4 Propriétés des relatios de comparaiso page 6 Propriétés de o et O page 6 Propriétés de page 8 Les théorèmes de croissaces comparées page 3 Quelques applicatios des relatios de comparaiso page 3 3 Calculs de limites page 3 3 Etudes de siges au voisiage de page 4 c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

2 Les différetes relatios de comparaiso Défiitio des relatios de comparaiso Relatio de domiatio Défiitio Soiet N et v N deux suites complexes Si la suite v e s aule pas à partir d u certai rag 0, dire que la suite u est domiée par la suite v équivaut à u dire que la suite est borée v 0 Dit autremet, si N et v N sot deux suites réelles, la suite v N e s aulat pas à partir d u certai rag, la suite N est domiée par la suite v N si et seulemet si M R, 0 N/ 0, M v Notatios Quad la suite u est domiée par la suite v, o écrit ou Ov otatio de Ladau v otatio de Hardy La otatio la plus fréquemmet utilisée est la otatio de Ladau Ov mais la otatio de Hardy v est parfois utilisée, cette otatio ayat etre autre le mérite de pouvoir être reversée : si la suite v domie la suite u, o écrit v Commetaire Il faut expliquer chacue des deux otatios La lettre O est l iitiale de l expressio «ordre de gradeur» Dire que Ov sigifie que l ordre de gradeur e de la suite N est iférieur ou égal à l ordre de gradeur de la suite v N e Par exemple, O ou O ou aussi O ou O car chacue des deux suites N et a le même ordre de gradeur à savoir l ordre de gradeur de la suite N N Esuite, il e faut pas cofodre avec est la relatio d ordre usuelle permettat de comparer à fixé les ombres et v Par exemple, N, mais N, 3 car 4, 3 > Par cotre, o a 3 car l ordre de gradeur de 3 3, à savoir l exposat est le même que l ordre de gradeur de O peut démotrer directemet le fait que 3 : pour, et doc la suite est borée Théorème Soiet N et v N deux suites complexes Si la suite v e s aule pas, Ov si et seulemet si il existe ue suite borée w N telle que N, v w Démostratio borée Soit w u v Alors, pour tout N, u vw De plus, u Ov si et seulemet si la suite w est E particulier, o a immédiatemet Théorème Soit N ue suite complexe N est borée si et seulemet si O Exemples O c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

3 O O car la suite car pour 3, +3 est covergete et e particulier borée 5 +3/ 5 / +3/ 5 et doc la suite / 3 O eiπ/3 N est borée O 45 4 Relatio de prépodérace Défiitio Soiet N et v N deux suites complexes O suppose que la suite v N e s aule pas à partir d u certai rag 0 O dit que la suite N est u égligeable devat la suite v N si et seulemet si la suite coverge et a pour limite 0 v 0 Dit autremet, si N et v N sot deux suites réelles, la suite v N e s aulat pas à partir d u certai rag, la suite N est égligeable par la suite v N si et seulemet si ε > 0, 0 N/ N, 0 ε v Notatios Quad la suite u est égligeable par la suite v, o écrit ou ov otatio de Ladau v otatio de Hardy La otatio la plus fréquemmet utilisée est la otatio de Ladau ov mais la otatio de Hardy v est parfois utilisée, cette otatio ayat etre autre le mérite de pouvoir être reversée : si la suite v est prépodérate devat la suite u, o écrit v Commetaire Dire que ov sigifie que l ordre de gradeur e de la suite N est strictemet iférieur à l ordre de gradeur de la suite v N e Par exemple, o ou o E effet / / 0 Théorème 3 Soiet N et v N deux suites complexes Si la suite v e s aule pas, ov si et seulemet si il existe ue suite w N covergete, de limite ulle, telle que N, v w Démostratio coverge vers 0 Soit w u v Alors, pour tout N, u vw De plus, u ov si et seulemet si la suite w Les deux théorèmes suivats sot immédiats c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-fracefr

4 Théorème 4 Soit N ue suite complexe N coverge vers 0 si et seulemet si o Plus gééralemet, l C si et seulemet si l+o Commetaire Le théorème 4 éoce explicitemet des résultats immédiats Le but est de s approprier des otatios Par exemple, u exercice classique de classes préparatoires cosiste à motrer que la suite H l N où H k, coverge vers γ la costate d Euler Ceci s écrivait jusque là lim H l γ et pourra doréavat s écrire H l γ+o ce qui se lit H l est égal à γ plus ue suite tedat vers 0 quad ted vers O peut doc aussi écrire H l+γ+o k Théorème 5 Soiet N et v N deux suites complexes ov Ov 3 Relatio d équivalece des suites Défiitio 3 Soiet N et v N deux suites complexes e s aulat pas à partir d u certai rag O dit que la suite u est équivalete à la suite v e si et seulemet si v ted vers quad ted vers Notatio Quad la suite u est équivalete à la suite v e, o écrit v Exemple 3+5 car Théorème 6 Soiet N et v N deux suites complexes e s aulat pas à partir d u certai rag v v +ov Démostratio v u v u +o u v +vo v v +ov car vo o 0 v Par exemple, dire que o O met tout de suite e garde cotre ue erreur classique Les phrases «E effet, les suites et vérifiet e sot pas des suites équivaletes Doc, équivaut à dire que est égligeable devat et doc que v» et «v 0» ot aucu rapport v 0 mais / / et doc 0 v De même, les suites + et sot équivaletes car + Mais + Doc, + et c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-fracefr

5 v v 0 O doe maiteat u formulaire d équivalets usuels Ce formulaire est u démarrage et sera largemet complété das le chapitre «Comparaiso des foctios e u poit» Théorème 7 Formulaire d équivalets usuels Soit N ue suite e s aulat pas à partir d u certai rag telle que lim 0 α R, + α α ou ecore + α +α +o u u ou ecore u + +o +u u ou ecore +u +o + ou ecore + + +o e u ou ecore e u + +o l+ ou ecore l+ +o ou aussi si, l si ou ecore si +o ta ou ecore ta +o Arcsi ou ecore Arcsi +o Arcta ou ecore Arcta +o sh ou ecore sh +o u cos ou ecore cos u +o u u ch ou ecore ch + u +o u Démostratio Si f est ue foctio défiie sur u itervalle de la forme ] a,a[ a > 0 vérifiat f0 0 et f 0, alors fu lim u0 u lim fu f0 f 0 u0 u 0 Puisque est ue suite e s aulat pas à partir d u certai rag de limite ulle, o a doc f u Ceci motre que e u u, l+u u, siu u, tau Arcsi Soit α R Pour u >, posos fu +u α u, Arctau u, shu u +u α fu f0 lim lim f 0 α+0 α α u0 u u0 u 0 + α O e déduit que lim ou ecore que +u α αu αu E particulier, + + u u, f lim ou ecore O peut doer u équivalet de et à partir de la formule précédete appliquée à α Mais o peut peut + obteir cet équivalet directemet par u calcul algébrique : et doc u u u E remplaçat u par u, o obtiet + u c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-fracefr

6 cosu u si u u si u hyperbolique à partir de la formule ch sh u et doc cosu démotrez d abord cette formule u La démarche est aalogue pour le cosius Propriétés des relatios de comparaiso Propriétés de o et O Das les théorèmes qui suivet, N, v N, w N sot des suites complexes, e s aulat pas à partir d u certai rag si écessaire Théorème 8 Si Ov et v Ow, alors Ow Dit autremet OO O Si ov et v ow, alors ow Dit autremet oo o Si Ov et v ow ou si ov et v Ow, alors ow Dit autremet Démostratio Si u w Oo o et oo o Pour supérieur ou égal à u certai 0, u w u v v w Ov et v Ow, alors les suites u v 0 et 0 qui est u produit de suites borées et doc Ow u Si ov et v ow, alors les suites ow Si Ov et v grad, u M v w Si grad, u w w et doc u w v v w 0 et v w 0 sot borées Il e est de même de la suite 0 Mais alors, w et doc ow, il existe M R tel que, pour suffisammet grad, u M v Pour suffisammet 0 ou ecore ow ov et v Ow, il existe M R tel que, pour suffisammet grad, v M w Pour suffisammet v v w M u v et doc 0 ou ecore w ow Théorème 9 Si v O et w O, alors v +w O Dit autremet O +O O Si v o et w o, alors v +w o Dit autremet o +o o Démostratio Pour supérieur ou égal à u certai 0, v +w v + w c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 6 http ://wwwmaths-fracefr

7 Si v v +w Si v v +w ou Ou et w Ou, alors les suites v 0 et w 0 qui est ue somme de suites borées et doc v +w Ou ou et w ou, alors v 0 et w 0 sot borées Il e est de même de la suite 0 Mais alors, v +w et doc Aisi, par exemple, +o++o 3+o Théorème 0 Soit λ u complexe o ul Oλ O oλ o Démostratio Pour N, posos v Oλ Alors, pour supérieur ou égal à u certai 0, v λ v La suite λ v et doc la suite est borée ou ecore v u Ou 0 Pour N, posos v oλ Alors, pour supérieur ou égal à u certai 0, v λ 0 0 ou ecore v u ou Aisi, par exemple, o 3 o Théorème Ov Ov Plus gééralemet, O Ov Ov Si ov ov Plus gééralemet, o ov ov Démostratio Pour supérieur ou égal à u certai 0, uov v uov et doc Ov u Ouv v 0 Ov La suite v OOv Plus gééralemet, pour supérieur ou égal à u certai 0, v Ov OuOv sot borées et il e de même de la suite v 0 v Pour supérieur ou égal à u certai 0, uov v ov ov v ov v Plus gééralemet, pour supérieur ou égal à u certai 0, ouov v Par suite, ou ov v Ov et doc ou ov ouv v Ou v λ v λ v λ v λ 0 est borée 0 et doc 0 est borée et il e de même de la suite Ov Les suites v Ou 0 et doc OOv Ouv 0 et doc uov v ou ov v ou 0 et 0 ou ecore u ov 0 et ov v 0 Aisi, par exemple, o 4 o 6 6 o c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 7 http ://wwwmaths-fracefr

8 Théorème Si Si v, O Ov Dit autremet v, o ov Dit autremet Démostratio O +o O o +o o +o u +Ou Ou+Ou Ou puis Ou +ou OOu Ou +o Ou puis Ou +ou oou ou Aisi, par exemple, o 3+5 o o Théorème 3 Soit α u réel strictemet positif Si Ov, alors α O v α Dit autremet O α O α Si ov, alors α o v α Dit autremet Démostratio u α alors la suite v α o α o α Pour supérieur ou égal à u certai 0, u α v α α Puisque α > 0, si la suite 0 est borée, et si u v v 0, alors u α v α 0 u v 0 est borée, Propriétés de Commeços par rappeler que Théorème 4 Soit N ue suite e s aulat pas à partir d u certai rag +o Théorème 5 La relatio v est ue relatio d équivalece sur l esemble des suites e s aulat pas à partir d u certai rag ou ecore, si N, v N et w N sot trois suites e s aulat pas à partir d u certai rag : ; v v v et v Démostratio ; w w u et doc u u u v v v et v u v u w v v u et v w u u u w v w w c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 8 http ://wwwmaths-fracefr

9 Théorème 6 Soiet N, v N, w N et t N quatre suites e s aulat pas à partir d u certai rag w et v t v w t w et v t w v t Exemple Le théorème précédet dit que das u produit ou u quotiet, si o remplace chaque facteur par u facteur équivalet, o obtiet ue suite équivalete Par exemple, détermios u équivalet simple e de 3 si + cos e l Puisque 3 + l + Démostratio 3 0, si De même, cos + D autre part, et doc Supposos w et v 6 t, e 4 Doc,, et doc v et doc u v wt De même, u w t v w t u w v t /v w /t u w t v Théorème 7 Soit N et v N deux suites réelles strictemet positives à partir d u certai rag et α u réel Si v alors u α vα u Démostratio Si v alors v puis uα v α u v α α et doc u α vα Théorème 8 U polyôme e, o ul, est équivalet à so moôme de plus haut degré Ue fractio ratioelle e, o ulle, est équivalete au quotiet de ses moômes de plus haut degré Démostratio Pour N, posos P Doc, p a k k où p N, a 0,,a p C p+ et a p 0 Pour, k0 P a p p + a p a p ++ a 0 a p p P +o puis P a p p app +oa p p ou ecore P app c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 9 http ://wwwmaths-fracefr

10 Pour suffisammet grad, posos R P Q D après ce qui précède el le théorème 6, p a k k k0 q k0 où p,q N, a 0,,a p,b 0,,b q C p+q+ et a p 0 et b q 0 b k k a p p R b apbq p q q q Passos maiteat aux pricipaux problèmes que l o recotre avec des équivalets Il y a ciq pièges quad o les maipule : o écrit pas qu ue suite est équivalete à 0; o e passe pas aux expoetielles das des équivalets ; o e passe pas aux logarithmes das des équivalets ; o additioe pas membre à membre des équivalets ; o e passe pas de l autre côté d u équivalet pour l additio Repreos ces problèmes das l ordre Problème o O écrit jamais qu ue suite est équivalete à 0 La première raiso est que l o a défii la relatio v quad N et v N sot deux suites e s aulat pas à partir d u certai rag Même la défiitio utilisat pas de fractios v v +ov e peut pas foctioer si v N est la suite ulle car aucue suite est égligeable devat la suite ulle O peut aller plus loi Si o se permettait d écrire que et sot équivalets à 0, alors et serait équivalets, ce qui est pas Problème o + Par exemple, + mais e e + e O e passe pas aux expoetielles das des équivalets e La règle est permettat de gérer les expoetielles est la suivate : e et doc e + e et e tout cas, Théorème 9 Soiet N et v N deux suites e s aulat pas à partir d u certai rag Dit autremet, e u u ev v 0 e u+o eu Démostratio e u ev eu e v e u v v 0 Aisi, o obtiet u équivalet d ue suite du type e u e effaçat tous les termes tedat vers 0 das l exposat Par exemple, e e Par cotre, o e peut pas simplifier davatage Si par exemple, o supprime le terme, la suite obteue est plus équivalete c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 0 http ://wwwmaths-fracefr

11 Problème o 3 O e passe pas aux logarithmes das des équivalets Dit autremet : v l lv Le pricipal problème pour doer u équivalet de l est quad ted vers O rappelle d abord la boe faço d obteir u équivalet : si, alors l Par exemple, l cos cos Si par cotre, o cherche à doer d abord u équivalet de cos par exemple, cos + 7 et les équivalets écrits sot tout à fait justes, puis qu o passe aux logarithmes, o obtiet l l ou ecore pire l cos l 0 ce qui est totalemet faux cos Il existe éamois des situatios où o peut passer aux logarithmes das les équivalets La situatio la plus simple est quad ted vers u réel strictemet positif l différet de Das ce cas, o a immédiatemet l łl Par +3 exemple, l l Sio, o a le théorème suivat : 5 Théorème 0 Soiet N et v N deux suites réelles strictemet positives Si Si 0 et si et si v, alors l lv v, alors l lv Commetaire O peut résumer le théorème précédet e disat que si et v sot soit des ifiimet petits équivalets, soit des ifiimet grads équivalets, alors l lv Démostratio Supposos que et que Ceci motre que l lv Si v v Puisque v, o a aussi v l v u lv +l l lv v lv lv o u + car lv v +o car v u v 0 et que v, il suffit d appliquer ce qui précède aux suites puis u l v + lv N et v N Par exemple, ch e +e ou aussi, si e et doc lch l e 0 et doc l si l l l, l l c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

12 Problème o 4 O additioe pas membre à membre des équivalets Par exemple, si ++3 et v + +, o a par exemple, +v + + E effet, +v + +4 et v + Pourtat, Le plus simple pour être sûr de e pas faire d erreurs de raisoemet avec les équivalets et les sommes, est de reveir systématiquemet au théorème v v +o Détermios par exemple u équivalet simple de ue catastrophe serait et doc o + 3 +o Problème o o 3 +o 3 O e passe pas de l autre côté d u équivalet pour l additio Par exemple, cos + mais cos car cos L actio de passer le de l autre côté est doc pas correcte Les théorèmes de croissaces comparées Pour établir les différets théorèmes de croissaces comparées, o a besoi d u lemme : Théorème Soit N ue suite complexe e s aulat pas à partir d u certai rag O suppose que + ted vers u certai réel l élémet de [0,[ Alors, ted vers 0 quad ted vers Démostratio Le réel ε l est strictemet positif Puisque la suite e s aule pas à partir d u certai rag et que + ted vers l, il existe u rag 0 tel que, pour 0, 0 et + l l Pour 0, o a + l + l + l l et doc + l l+ +l Pour 0 +, o a u k+ 0 +l +l u k k 0 k 0 Maiteat, +l < + et doc lim u 0 +l 0 0 O e déduit que lim u 0 c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés http ://wwwmaths-fracefr

13 Théorème les théorèmes de croissaces comparées α,α R, α < α α α α,q R ],[, α q et α,q R ]0,[, q α 3 q ]0,[, q! 4! Démostratio Soit α,α R Alors α α < 0 puis et doc α α α α α 0 α Soiet α R et q ],[ Pour N, posos α q Pour N, + + +α q α q + α + q O e déduit que + ted vers q [0,[ puis que u ted vers 0 Ceci motre que α q 3 Soit q ]0,[ Pour N, posos q Pour N,! + + q+ q! +! q + O e déduit que + ted vers 0 [0,[ puis que u ted vers 0 Ceci motre que q! 4 Pour N, posos! Pour N, + + +! + + +! O a déjà vu que + ted vers e et doc + ted vers e Aisi, + ted vers [0,[ puis que u ted vers e 0 Ceci motre que! Ce théorème sera complété par différets résultats sur les limites de foctios Les théorèmes de croissaces comparées pour les foctios ot déjà été doés mais le lie avec les limites de suites a pas ecore été effectué O peut quad même sigaler sas démostratio que pour tout α > 0, ll l α Aisi, par exemple, et aussi ll l l l 3,0!!,0 3 l l 3 Quelques applicatios des relatios de comparaiso 3 Calculs de limites O a le résultat le résultat suivat : l ll c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 3 http ://wwwmaths-fracefr

14 Théorème 3 Soiet N et v N deux suites complexes e s aulat pas à partir d u certai rag O suppose que v Si coverge vers u certai l C, alors v coverge et Supposos de plus que les suites N et v N sot réelles Si lim resp, alors lim v resp Démostratio lim v l Supposos que Supposos que l C et que v Alors, et que A titre d exemple, détermios lim 3 e 3 + si l +3 l + 3 Doc, Doc, 3+ lim 3 v v v Alors, l l v v e 3 + si l e + si l e + si l Etudes de siges au voisiage de O a le résultat suivat : Théorème 4 Soiet N et v N deux suites réelles e s aulat pas à partir d u certai rag Si v, alors pour suffisammet grad, à partir d u certai rag, et v ot même sige u Démostratio Puisque v, o a v v ot même sige E particulier, à partir d u certai rag, u > 0 et doc et v c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 4 http ://wwwmaths-fracefr

15 Par exemple, o démotrera das les prochais chapitres que si 3 3 +o 3 Par suite, si Arcta O e déduit que si Arcta o o 3 et Arcta 6 3 +o 3 > 0 puis que pour suffisammet grad, si 63 > Arcta c Jea-Louis Rouget, 06 Tous droits réservés 5 http ://wwwmaths-fracefr