ESPACES VECTORIELS APPLICATIONS LINEAIRES

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1 SPACS VCTORILS APPLICATIONS LINAIRS xercices Les exercices précédés de ce symbole e serot pas traités e classe (U corrigé sera mis sur le site) XRCIC : O ote M3 l espace vectoriel des matrices carrées d ordre trois à élémets réels, I la matrice idetité de M 3, O la matrice ulle de M 3 O cosidère, pour toute matrice A de M 3, les esembles A et A suivats : A M M 3 / AM M, et A M M 3 / A M AM Motrer que A est u sous-espace vectoriel de M3 puis motrer que sous-espace vectoriel de M 3 a) tablir : A A b) Motrer que, si A est iversible, alors A = A 3 a) tablir que, si A I est iversible, alors A O 0 b) U exemple : Soit B 0 0 0, détermier XRCIC : ispiré d ORAL HC 00 Soiet F et G les sous espaces vectoriels de 3,, / 0 et G x y z x y B et B 3 défiis par : 3 F x, y, z / x y z 0 H x, y, z / x y z 0 et x y 0 ) Détermier ue base aisi que la dimesio de chacu de ces sous espaces vectoriels ) Les esembles F G et F G sot-ils des espaces vectoriels? 3) Les esembles F H et F H sot-ils des espaces vectoriels? 4) Soit f l edomorphisme de 3 dot la matrice das la base caoique de 3 est A 0 Détermier le oyau et l image de l edomorphisme f 0 3 A est aussi u

2 XRCIC 3 : Soit u etier aturel supérieur ou égal à, l esemble M désige l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre, o ote S l'esemble des matrices symétriques de M et A l'esemble des matrices atisymétriques de M Vérifier que S et A sot des sous-espaces vectoriels supplémetaires de M Détermier la dimesio de l espace vectoriel S et de l espace vectoriel A V Vect J Soiet J la matrice de M dot tous les coefficiets sot égaux à, l esemble des matrices de M de trace ulle 3 Motrer quet etv sot des sous espaces vectoriels de M dot o précisera la dimesio 4 Motrer que ST XRCIC 4 : etv sot des sous espaces vectoriels de S, supplémetaires das S Soiet u K espace vectoriel et f u edomorphisme de tel que f 4 f 3Id 0 ) Motrer que f est u automorphisme de et préciser ) Motrer que 3 Ker f Id Ker f Id XRCIC 5 : u grad classique Soiet f L, F, g LF, G Motrer queg f 0 Im f Ker g XRCIC 6 : Soiet f et g deux edomorphismes d u K espace vectoriel vérifiat ) Motrer que Ker f Ker g f et que Im g Im g f ) Motrer que Ker f et Im g sot des sous espaces supplémetaires de f ett f g Id XRCIC 7 : Soiet f et g deux edomorphismes d u K espace vectoriel vérifiat g f g g et f g f f ) Motrer que Ker g et Im f sot des sous espaces supplémetaires de ) Justifier que Im f g Im f XRCIC 8 : Soiet p et q deux projecteurs d u K espace vectoriel qui commutet ) Motrer que p qest u projecteur ) Motrer que Ker p q Ker p Ker q 3) Motrer que Im p q Im p Imq

3 XRCIC 9 : Soit l applicatio : : u u u ) Motrer que l applicatio est liéaire ) Détermier Ker 3) Motrer que l applicatio est surjective XRCIC 0 : Pour toute matrice M élémet de M (IR), o ote t M la matrice trasposée de M O pose: =, =, 3 =, 4 = O rappelle que la famille B,,, est la base caoique de 3 4 M O ote l applicatio qui à toute matrice M de M (IR) associe (M) = M + t M ) a) Motrer que est u edomorphisme de M (IR) b) Écrire la matrice A de das la base B c) déduire que est o bijectif 3) a) Motrer que Im = vect (, + 3, 4 ), puis établir que dim Im = 3 XRCIC : ) O ote B = (e, e, e 3 ) la base caoique de 3 et o cosidère l'edomorphisme f de 3 dot la matrice das la base B est : A = 0 3 a) Vérifier que l o a A 0 et calculer A b) Détermier ue base (a) de Ker f aisi qu ue base (b, c) de Im f c) Motrer que Im f = Ker f Das la suite, o cosidère u edomorphisme g de 3 3 tel que : g 0 et g 0, ce qui sigifie que g g est pas l edomorphisme ul, mais que g g g est l edomorphisme ul désigat par M la matrice de g das la base caoique B de 3 M 0, et M 0 3, o a doc : O se propose de motrer, das ce cas plus gééral, que Im g = Ker g ) a) Justifier qu il existe u vecteur u de 3 tel que g (u) 0 b) Motrer que ( u, g (u), g (u)) est ue base de 3, que l o otera B c) Doer la matrice N de g das la base B d) Détermier Im g et doer sa dimesio déduire ue base de Ker g Pour fiir, détermier Im g puis coclure

4 XRCIC : O cosidère les foctios e, e, e3, e4 défiies par : x e x x, e x x, e x xl x, e x x l x, 3 4 O ote l'espace vectoriel egedré par e, e, e 3, e 4 ) Motrer que ( e, e, e3, e 4) est ue base de ) O ote u l'applicatio qui à toute foctio f de associe la foctio g u f x, g x x f ' x a) Motrer que u est ue applicatio liéaire b) Détermier u( e ), u( e ), u( e3 ), u( e 4) c) déduire que u est u edomorphisme de 3) a) Doer la matrice A de u das la base ( e, e, e 3, e 4 ) b) Motrer que u est u automorphisme de XRCIC 3 : défiie par : Soiet u K espace vectoriel de dimesio fiie et f u edomorphisme de de rag ) Justifier qu il existe ue base e,, e, e la matrice de f das cette base ) Motrer que f tr A f 3) A quelle coditio f est-il u projecteur? XRCIC 4 : de avec e,, e élémets de Ker f Notos A O se propose de prouver que pour toute forme liéaire sur M K AM K telle que : X M K, X tr AX ) Soit AM K, justifier que l applicatio A de M K das K défiie par : A X tr AX est ue forme liéaire sur M K ) O ote l applicatio de M K das L M K, K défiie par : A A a) Justifier la liéarité de l applicatio b) Motrer que Ker O (o pourra calculer A i, j c) déduire que est u isomorphisme et coclure XRCIC 5 : O ote B e, e, e, e 3 4 la base caoique de il existe ue uique matrice ) 4, et f l edomorphisme de 4 associé à la 3 matrice K relativemet à la base B O cosidère les quatre élémets suivats de ) a Calculer 4 : v e, v f e, v e, v f e K b déduire que la matrice K est iversible et détermier l edomorphisme f? K Que peut-o déduire pour

5 ) a Motrer que la famille C v, v, v, v est ue base de 3 4 f v f v f v3 f v4 e foctio de,, 3, 4 b xprimer,,, matrice K ' associée à f relativemet à la base C c Détermier la matrice de passage P de la base B à la base C d Rappeler l'expressio de K ' e foctio de XRCIC 6 : O ote J = 0, J = 0, J 3 = J 3, J 4 ) est ue base de M Soit f l applicatio qui, à toute matrice M = désige la matrice et J 4 = 0 a b c d K P P,, 4 v v v v et e déduire la 0 0 et o rappelle que la famille (J, J, 0 de M ) Motrer que l applicatio f est u edomorphisme de M, associe f (M) = M + (a + d) I où I ) a) xprimer f (J ), f (J ), f (J 3 ), et f (J 4 ) comme combiaisos liéaires de J, J, J 3 et J 4 b) Vérifier que la matrice A de f das la base (J, J, J 3, J 4 ) est A = ) a) Motrer que (J J 4, J, J 3, I) est ue base de M b) Écrire la matrice D de f das cette base c) déduire l existece d ue matrice P iversible telle que A = P D 4) a) Détermier la matrice P b) Motrer que, pour tout de, A = P D P c) déduire explicitemet la matrice A XRCIC 7 : O cosidère l applicatio f qui à tout polyôme P X f P XP X P' P associe le polyôme ) Motrer que l applicatio f est u edomorphisme de X B, X, X de ) crire la matrice de f das la base caoique 3) Détermier Im f et doer la dimesio de Im f 4) Détermier Ker f XRCIC 8 : Soit l applicatio u qui à tout polyôme P X de P par X X ) Calculer 4 u X ) Motrer que l applicatio u est liéaire 4 X f P défii par associe le reste de la divisio euclidiee

6 3) Détermier Ker u et e doer ue base 4) Motrer que Imu X XRCIC 9 : Soit u etier aturel o ul et f l applicatio qui à tout polyôme P X associe 0 P t dt ) Motrer que l applicatio f est ue forme liéaire o ulle déduire la dimesio de Ker f ) Détermier ue base de Ker f XRCIC 0 : Soiet u etier aturel o ul et a,, a des élémets de K disticts deux à deux K X K Soit l applicatio f : P P a,, P a ) Motrer que l applicatio f est liéaire ) Motrer que l applicatio f est ijective déduire que l applicatio f est bijective 3) Soit,, XRCIC : e e la base caoique de K, détermier, pour tout etier i,, f e i Soit u etier aturel o ul Soit N la suite de foctios polyômes, dits polyômes de Newto, défiie par : N0, et X X X, N! Prouver que la famille N N N est ue base de,,, 0 x O cosidère l applicatio qui à toute foctio polyôme P X associe le polyôme P défiie par : P P X P X Motrer que est u edomorphisme de X 3 Détermier N0 puis motrer que :, N N relativemet à la base N N N 4 Doer la matrice de,,, 0 5 Détermier la dimesio de l image de, e déduire le oyau de 6 L applicatio est-elle surjective? ijective? justifier vos réposes O ote X O rappelle que id l edomorphisme idetité de 0 id X x et, pour tout j, j 7 Soiet j et des etiers aturels Détermier j j 8 tablir que pour tout polyôme P X : 0 N e distiguat j et j 0 P P N

7 XRCIC : N désige u etier aturel supérieur ou égal à Soit a u ombre réel o ul et P u élémet de N X Justifier que PaX a Pour tout réel a o ul, o ote a P ax a est u polyôme de même degré que P f l applicatio de N X das N associe le polyôme Soiet a et b des ombres réels o uls a) Détermier la composée f b f a b) Démotrer que a f est u automorphisme de c) Démotrer que, pour tout etier aturel, f f XRCIC 3 : a N X, qui, à u polyôme P X et préciser sa bijectio réciproque 0 Soit C l espace vectoriel réel des foctios cotiues sur et à valeurs das a O associe à toute foctio f de 0 x x, g x f t dt x 0 C la foctio f gdéfiie sur par : Détermier f pour : a) f x x b) f x x si x 0 0 si x 0 tudier la parité de f lorsque la foctio f est paire, respectivemet impaire 3 Moter que, pour toute foctio f de C 0, f g 4 Moter que, pour toute foctio f de C 0, f gest dérivable sur cotiuité e 0 de f goté g est-il toujours dérivable e 0? est prologeable par cotiuité e 0 Le prologemet par 5 O ote l applicatio qui à toute foctio f de C 0 associe la foctio g défiie das la questio précédete 0 Motrer que est u edomorphisme de C st-il ijectif? surjectif? XRCIC 4 : Soit v u edomorphisme de a) Démotrer que Ker v Ker v b) Détermier la dimesio de Ker v et de 3 de rag tel que v 0et tel que Ker v Ker v Ker v c) déduire que si a est u vecteur de Ker v qui est pas das Ker v, alors la famille a, v a est ue base de Ker v

8 XRCIC 5 : O ote f l edomorphisme de 3 0 A dot la matrice das la base caoique B e, e, e est 3 D autre part, o cosidère les trois élémets v, v, v 3 v e e e ; v e e ; v e de 3 défiis par : ) Calculer e, e, e 3 e foctio de v, v, v 3 ) Motrer que B' v, v, v est ue base de 3 3 O ote P la matrice de passage de la base B à la base B ; calculer PP, 3) Détermier la matrice A ' de l edomorphisme f relativemet à la base B 3 4) Calculer A', A', A' puis A pour tout etier aturel o ul XRCIC 6 : Soit espace vectoriel sur de dimesio3 O cosidère l applicatio liéaire f de das dot la matrice das ue base B v, v, v O défiit pour tout l applicatio désige l applicatio idetique de ) Démotrer que f est u automorphisme de ) Motrer que f f I 0 f par et est A= 3 f f f f I où I ; e déduire qu il existe deux suites réelles a, b telles que f a f b I O cosidère les trois élémets de défiis par : w v v ; w v v3 ; w3 v v v3 3) Démotrer que la famille B' w, w, w 3 est ue base de 4) Détermier la matrice A' de f das la base B ' déduire celle de f das cette même base 5) utilisat la questio 4) calculer a, b e foctio de ; e déduire la matrice XRCIC 7 : Das l espace vectoriel 4 mui de sa base caoique B e, e, e3, e4 vecteurs : f,,, ; f,,, ; f4,,, ; f4,,, ) Motrer que f, f, f, f est ue base de 3 4 A o cosidère les quatre 4 O otera désormais cette base C ) O cosidère l edomorphisme u de 4 défii par les relatios : u e f ; u e f ; u e f ; u e f a) Motrer que u est u automorphisme de 4 xpliciter sa matrice associée das la base caoique B Préciser l edomorphisme u b) Détermier la matrice associée à l edomorphisme réciproque de u das la base B c) Détermier la matrice associée à l edomorphisme u das la base C

9 XRCIC 8 : DHC S 999 O cosidère l'espace vectoriel ; o ote Id l'edomorphisme idetité de l'edomorphisme ul de O ote ( ij, ) la base caoique de Le but de cet exercice est de trouver les couples ( uv, ) d'edomorphismes de assertios suivates : A : u Id (il faut compredre u u Id ) A : v Id A 3 : 4 ( v Id ) A : er( u v Id ) {0} ) tude d'u exemple Vérifier que les edomorphismes u et v dot les matrices das 0 U 0, et V 0 sot solutios du problème posé et vérifiat les 4 sot respectivemet O reviet au cas gééral et o cosidère u couple ( uv, ) solutio du problème ) a) Motrer que u et v sot des automorphismes de, puis doer u et v e foctio de u, v et Id b) Pour tout etier aturel, exprimer v comme combiaiso liéaire de v et Id 3) a) tablir que : Im( v Id) er( v Id ) b) déduire, e raisoat sur les dimesios, que : Im( v Id) er( v Id ) 4) Motrer, e raisoat par l'absurde, que : dimer( u v Id ) 5) Soit ( e ) ue base de er( u v Id ) ; o pose : e u( e ) a) Motrer que ( e, e ) est ue base de b) Doer les matrices de u et v das cette base 6) Doer la coclusio de cet exercice XRCIC 9 : Soit u etier aturel o ul O dit qu ue matrice M M m est ilpotete s il existe m tel que M 0 p Le plus petit etier p tel que M 0 s appelle l idice de ilpotece de M Soit u et v deux edomorphismes de u, v u v v u O désige par uvl edomorphisme, de défii par Si A et B sot deux élémets de M, o défiit de même A, B AB BA La matrice AM état fixée, o ote A l applicatio qui à toute matrice M M A, M AM MA Pour toute matrice ii i a, tr A AM de terme gééral i, j (somme des termes diagoaux de la matrice A ) tr A par : a, o défiit la trace de A otée associe

10 Motrer que l applicatio qui, à toute matrice AM liéaire de M das Motrer que, pour toutes matrices A et B de M, o a tr AB tr BA matrices semblables ot la même trace, associe sa trace est ue applicatio 3 Motrer qu o e peut pas trouver deux matrices A et B de M telles que A B 4 O cosidère das les questios suivates X déduire que deux, I l espace vectoriel des polyômes à coefficiets réels Soit f et d les deux edomorphismes de tels que, pour tout polyôme R, o a : f R X XR X et d R X R' X où ' a) Calculer, pour tout R,d, f R Quel est l edomorphisme, R désige le polyôme dérivé de R b) Ce résultat est-il e cotradictio avec celui de la questio 3)? XRCIC 30 : NS B/L 00 d f? Soit u espace vectoriel de dimesio fiie et u u edomorphisme de différet de Id et de Id, vérifiat : u u 6Id 0 ) Motrer que u est u automorphisme d e et exprimer u e foctio de Id et de u ) Das l espace vectoriel des edomorphismes de, o cosidère le sous espace F egedré par u et Id a) Motrer que la famille Id u est libre, e déduire la dimesio de F b) Prouver que les edomorphismes de f F vérifiat f f f, différets de l edomorphisme ul et de l idetité de, sot les edomorphismes p et q défiis par : p Id u c) Calculer p qet q p, et q Id u d) tablir que la famille pq, est ue base d e F e) Détermier les coordoées de u et de u das la base pq, f) xprimer, pour tout etier aturel o ul, p e foctio de p g) tablir que, pour tout etier aturel, u peut s écrire comme combiaiso liéaire de p et q Doer les coordoées de u das la base pq,

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