Chapitre I : généralités sur les fonctions de transfert

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1 haitre I : gééralités sur les fotios de trasfert I. Trasforé de Lalae et fotios de trasfert La trasforatio de Lalae est u outil athéatique uissat qui eret de reréseter les iruits ar leur fotio de trasfert idéedaet du doaie das lequel ils sot utilisés (fréquetiel ou teorel). Preos l exele d u sile iruit. Itéressos-ous tout d abord au as ou V i est ue fotio du tes, e iruit est alors reréseté ar ue sile équatio dvout différetielle : Vi Vout +. La trasforatio das le doaie de dt Vout ( ) Lalae de ette équatio ous eret d obteir la fotio de trasfert : ). Das le V ( ) + i i Vout ( ( + as où le iruit est étudié e régie haroique, l équatio V ( eret d obteir la êe fotio de trasfert e relaçat ar la variable de Lalae. O voit do ii deux itérêts du foralise de Lalae : eréseter u iruit ar ue fotio de trasfert uique quelque soit so régie de fotioeet, S affrahir des équatios différetielles das le doaie teorel. A artir du foralise de Lalae, u systèe de traiteet aalogique du sigal sera reréseté ar la ise e asade d ue série d étages rerésetés ar leur fotio de trasfert (voir figure i-dessous). O eut V ( ) V ( ) déduire de la rerésetatio i-dessous les relatios suivates : F ( ) ; F ( ) et aisi de suite. V ( ) V ( ) V ( ) out La fotio de trasfert du systèe olet s érit alors : ) Π Fi ( ). V ( ) i i V i V ου V i V F () F () F () V- V out O trouvera deux fores de rerésetatios d ue fotio de trasfert. La fore olyoiale où la fotio de + a + a a trasfert s exrie ar le raort de olyôes e : ) k où k est le gai + b + b b statique du systèe olet. U systèe hysique (réel) sera aratérisé ar >. Pour aliquer la trasforée de Lalae iverse, o référera faire aaraître les raies du uérateur (aelés aussi les zéros de la fotio de trasfert) et les raies du déoiateur (aelés aussi les ôles de la fotio de trasfert). La fotio de trasfert s érit alors : zi F ( ) k Eq. Attetio : l arohe osistat à raisoer autour d u systèe életroique reréseté ar des boites oires (et leur fotio de trasfert assoiée) e doit as faire oublier que l ilatatio atérielle assera foréet ar l utilisatio de oosats életroiques atifs et/ou assifs. L arohe réédete est vraie que si l iédae de sortie d u étage est faible devat l iédae d etrée de l étage suivat. Exele : iagios que l o souhaite réaliser la fotio de trasfert suivate : asade de deux iruits du reier ordre de tye (voir i-otre). La résolutio de e iruit eret d établir que la fotio de trasfert obteue : ) est as elle qui était esotée. E ( + ) + effet l iédae de sortie de la reière ellule est as (touours) égligeable devat l iédae d etrée de la deuxièe V i ) ar la ise e ( +) V V ου

2 ellule. Pour établir ette fotio de trasfert, o utilisera de référee la loi des œuds (ou so oléet le théorèe de Milla) ar le shéa roosé a deux ourats de ailles ious our ue seule tesio de œud. O étudiera esuite les variatios du raort etre l iédae de sortie de la ellule et so iédae d etrée afi de déotrer que la oditio sur les iédaes est as resetée autour de la Zout ( ) fréquee de ouure : Z ( ) ( + ) lorsque. est our ela que la fotio de trasfert i obteue s éloige de elle qui était souhaitée autour de la fréquee de ouure de la ellule. II. Stabilité d u systèe Soit u systèe dérit ar l équatio i-dessus, le systèe sera dit stable si la réose du iruit à ue iulsio e etrée brève et itese (u i de dira) oduit à u état d équilibre lorsque le tes ted vers l ifii. La trasforée de Lalae d u i de dira état égale à l uité, l étude de la stabilité osiste à étudier la trasforée de Lalae iverse de la fotio de trasfert. Le obre de zéro état iférieur au obre de ôles, la fotio de trasfert eut-être aiséet déoosée e éléet sile et o obtiet : Vout a L a t e Afi que tous les teres exoetiels uisset tedre vers ue valeur fiie, il est éessaire et suffisat que tous les ôles aiet ue artie réelle égative. olusio : u systèe réel (obre de zéros iférieur au obre de ôle) est stable s il e ossède que des ôles à arties réelles égatives. Attetio : o e eut as utiliser le théorèe de la valeur fiale our étudier la stabilité d u systèe. III. erésetatios d ue fotio de trasfert La rerésetatio shéatique d ue fotio de trasfert la lus utilisée est le diagrae de Bode (deux grahes rerésetat le gai e et le déhasage itroduit e fotio de la fréquee). O utilisera aussi le diagrae de Nyquist (Partie iagiaire e fotio de la artie réelle our u balayage e fréquee) ou le diagrae de blak (déhasage e fotio du gai our u balayage e fréquee) our les études de stabilité ou d asservisseets. Das es deux derières rerésetatios, haque oit de la ourbe orresod à ue fréquee du sigal d etrée. a. Diagrae de Bode défiitios, gééralités Le diagrae de Bode est do ostitué d u diagrae de gai et d u diagrae de hase. Le diagrae de gai est ue rerésetatio du odule qui osiste à traer log arès avoir relaé la variable de Lalae ar. E utilisat la fore géérale d ue fotio de trasfert (Equatio ), il viet : log( k) + log log zi Eq. O rearquera au assage la roriété du logarithe qui trasfore les roduits e soes et les divisios e soustratio. E e qui oere la hase, elle-i est obteue e faisat la soe algébrique de la otributio de haque ôle et haque zéro. ette otributio est l arguet du obre olexe obteu et il viet : Φ Eq. 3 zi ( )) Φ Φ O raelle que Φ( a + b) eut alors érire ( ) odulo de 8. Φ a + b est l arguet du obre olexe de artie réelle a et de artie iagiaire b. O b Artg a. Mathéatiqueet, la hase est do défiie de 9 à +9 ave u

3 b. Diagraes de Bode éléetaires L igéieur e életroique e eut as igorer l allure de quelques diagraes de Bode éléetaires. ette allure se traduit ar des diagraes de Bode asytotiques. Diagrae de Bode d ue ostate Le lus sile des diagraes de Bode est elui d ue ostate. Si k alors log( k) le gai ostat de la fotio de trasfert alors que le déhasage itroduit est iexistat (artie iagiaire ulle). Das le as ou le gai est égatif, o eut érire la fotio de trasfert sous la fore -k.k, le gai e e hage as ar le odule de la fotio de trasfert est le êe ais la hase est alors égale à Φ( k ). Artg + Artg 8 k Diagrae de Bode d u zéro à l origie ette fotio de trasfert est elle d u dérivateur ur. Elle s érit sous la fore et doe u F ( log est ue droite de ete gai ifii our les fréquees élevées. Le gai e ( ) +/déade qui oue l axe e. La hase est ostate est égale à +9. Diagrae de Bode d u ôle à l origie ette fotio de trasfert est elle d u itégrateur ur. Elle s érit sous la fore / et doe u F ( log est ue droite de ete égative gai ifii our les fréquees ulles. Le gai e ( ) égale à /déade qui oue l axe e. La hase est ostate est égale à -9. Diagrae de Bode d u zéro sile ette fotio de trasfert s érit sous la fore +. Le gai e est doé ar F ( ) log +. Il ossède deux asytotes dot ue est horizotale lorsque ted ( ( ) ) vers la seode état ue droite de ete +/déade qui oue l axe e lorsque ted vers l ifii. La hase ossède deux asytotes horizotales ( e basse fréquee et +9 e haute fréquee. Le diagrae de hase ossède u oit d iflexio e our ue hase de 45. Le diagrae de Bode est traé à la figure i-dessous e fotio de. est Diagrae de Bode d'u zéro sile Gai () - - Diagrae de Bode d'u ôle sile ,E-,E-,E+,E+,E+,E Gai () -9,E-,E-,E+,E+,E+,E+3 Diagrae de Bode d u ôle sile ette fotio de trasfert s érit sous la fore. Ue étude siilaire à elle du zéro + sile oduit au diagrae de Bode reréseté i-dessus.

4 . Les diagraes asytotiques de fotios olexes Soit la fotio de trasfert bie oue d u iruit du seod ordre de tye asse-bas. elle-i eut s érire sous la fore suivate : ou u est la ulsatio réduite + u u + (raort de la ulsatio ar la ulsatio rore du systèe). Les ôles de ette fotio déedet de la valeur de. O réfèrera do étudier ette fotio oe ue fotio de trasfert éléetaire. O étudie tout d abord les asytotes du gai : Lorsque u Lorsque u u 4.logu ; o obtiet ue asytote de 4 ar déade qui oue l axe our u. Il est alors itéressat d étudier la résee d u axiu our le gai. Pour ela o reherhe u axiu du odule e aulat sa dérivée. Il viet : ( )( ) u u + 8 u us La ulsatio réduite doat lieu à ue surtesio a ue réalité hysique que lorsque la solutio est u réel ositif. O aura do ue surtesio si et seuleet si <. O otera au assage l alitude de la surtesio (aelée aussi oeffiiet de surtesio) e relaçat u ar u s das l exressio du odule : Q us ) Attetio : o e ofodra as l alitude de la surtesio qui est obteue our ue fréquee déedat du oeffiiet d aortisseet et l alitude à la ulsatio rore du systèe qui est obteue lorsque u et qui vaut :. u E e qui oere le diagrae de hase, elui-i eut-être déduit de l étude de Φ( F ( ) Artg u ais afi d éviter les abiguïtés liées au doaie de défiitio de la fotio Artg il est ossible d étudier : Lorsque u Φ( ) Lorsque u u ( Φ( ) 9 9 soit 8 Le diagrae de hase ossède u oit d iflexio e u our ue hase de -9 (voir i-dessous). Gai () Diagrae de gai d'u seod ordre (PB) ,,3,5,7,,,,, Pulsatio réduite ( Diagrae de hase d'u seod ordre (PB),,5,7,,,,, Pulsatio réduite ( Pour des fotios de trasfert lus olexes, il est i utile i éessaire de oaître les diagraes de Bode. Par otre, il est idisesable de savoir établir u diagrae asytotique à artir d ue rerésetatio e ôles et zéros d ue fotio de trasfert ou à artir des diagraes ous.

5 Exele : traços le diagrae de Bode asytotique d u systèe életroique asse-bade du d ordre (tye u iruit L). La fotio de trasfert est le roduit du systèe réédet ar u zéro à + u u l origie ( et ar ue ostate (). O eut do Diagrae de gai d'u asse-bade exrier le gai et la hase sileet e aoutat au gai et à la hase réédete les teres suivats :.log()6 5, Ue ete de /déade (.log() et u, déalage ostat de.log() our le,5-5 diagrae de gai. - U sile déalage ostat de +9 dû à -5 la résee du zéro our le diagrae de -.log(,4)-8-5 hase. Sur le diagrae de gai i-otre o rearque la ositio des asytotes résultat de ela. Gai () ,,,,, Pulsatio réduite (