Chapitre Echantillonnage du signal

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1 Chapir Echanillonnag du signal Inroducion Bon nombr d sysèms foncionnn ou n analogiqu. Cpndan, avc l omniprésnc ds sysèms numériqus (microconrôlur, microprocssur, DSP, CPLD, ) ls corrcurs numériqus son inéviabls, qu ils soin indusrils ou qu ils soin réalisés par un sysèm informaiqu. En ff, ils présnn ds caracérisiqus inérssans n rms d adapaion d réglag. Nous allons donc éudir l échanillonnag d un signal coninu nsui ls sysèms linéairs échanillonnés. Cpndan, n prdons pas d vu qu l sysèm à pilor, lui s oujours coninu, c qui impos dans la chaîn d command numériqu au moins un convrissur numériquanalogiqu un convrissur analogiqu-numériqu. On uilisra égalmn, un aur organ afin d mainnir la valur numériqu dans l mps pour qu ll puiss êr pris n comp par l sysèm ; rès souvn on uilis pour cla un Bloquur d Ordr Zéro (BOZ). Echanillonnag du signal Echanillonnr ou numérisr un signal coninu, rvin à prndr ds valurs d c signal (échanillons) à ds insans donnés (insans d échanillonnag) souvn d façon régulièr (périod d échanillonnag). On monr qu il fau un minimum d échanillons qu c minimum dépnd du connu fréqunil du signal à rair. Pour c fair, Schannon a monré la rlaion suivan : 1 T ou F F F M M vc : T, la périod d échanillonnag, F M, la fréqunc la plus hau connu dans l signal à numérisr, F, la fréqunc d échanillonnag. L organ qui réalis la discréisaion f * ( ) d un signal coninu f ( ) s un échanillonnur. On l rprésn généralmn comm un inrrupur * f ( ) k f ( ) Figur 1 : Rprésnaion d un échanillonnur Il s rès facil d monré qu un fréqunc faibl n prm pas oujours d rmonr au signal d origin. Dans la praiqu, on prnd pluô F dans l inrvall suivan : chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag 1/8

2 signaux différns, échanillonnags idniqus 5F < F < 5F M M Rgardons mainnan qulqus méhods d échanillonnag. Figur : xmpl d F >F M mais insuffisan (F =4F M ) Echanillonnur idéal Un échanillonnur idéal prnd, à inrvalls régulirs, la valur du signal d manièr insanané. Mahémaiqumn, cla rvin à muliplir l signal coninu par un séri d impulsion qu l on appll pign d Dirac. Soi f * ( ) = f ( ) d( ) avc d( ) = δ ( nt ). où δ() s un impulsion d Dirac, soi un impulsion d air =1 d ampliud 1/, avc τ 0. n= f() d() f * () 0 T T 3T 4T 5T 0 T T 3T 4T 5T Figur 3 : Passag du signal coninu f() au signal discréisé f * () idéal Par conséqun : f * ( ) = f ( ) δ ( nt ) = f ( nt ) δ ( nt ) n= n= * Dans l cas d sysèms causaux : f ( ) = f ( nt ) δ ( nt ) + n= 0 chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag /8

3 Echanillonnur rél Un impulsion d Dirac idéal possèd un air unié, un ampliud d 1/. Pour la réll il fau considérr la duré, faibl mais pas null. Donc l signal rél s un sui d impulsions d ampliud f ( nt ), d largur (Figur 4). f() d() f * () 0 T T 3T 4T 5T 0 T T 3T 4T 5T Figur 4 : Passag du signal coninu f() au signal discréisé f * () rél vc c échanillonnur, l signal f * () sui ls variaions d f() pndan ou la duré d l inrvall d échanillonnag. Echanillonnur bloquur (d ordr zéro) L échanillonnur bloquur s simpl à réalisr. Il donn un signal échanillonné f*() don chaqu échanillon dmur consan pndan l inrvall d échanillonnag. f() d() f * () T 0 T T 3T 4T 5T 0 T T 3T 4T 5T Figur 5 : Passag du signal coninu f() au signal discréisé f * () avc un échanillonnur bloquur Echanillonnur moynnur C échanillonnur s un échanillonnur rél qui donn la moynn du signal coninu au cours d un inrvall d échanillonnag. f() d() f * () 0 T T 3T 4T 5T 0 T T 3T 4T 5T Figur 6 : Passag du signal coninu f() au signal discréisé f * () avc un échanillonnur moynnur chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag 3/8

4 Transformé d Laplac d un signal échanillonné rél Transformé d Laplac d un impulsion causal Supposons un impulsion causal imp 0 (), d largur d ampliud I/, qui commnc à =0. On a vu n TD qu c gnr d impulsion pouvai s écrir à l aid d dux foncions havisid, h 1 () h (). imp 0 () =h 1 ()+h (). avc : imp 0 () h 1 () h () ( ) h ( ) 1 = u h ( ) ( ) = u 0 Figur 7 : décomposiion d un impulsion ( ) ( ) ( ) 0 D où : imp = ( u u ), donc on pu aisémn calculr la ransformé d Laplac. TL imp0 ( ) = TL u( ) TL u( ) soi IMP0 ( p) = 1 p p ( ) ( ) p soi : [ ] [ ] [ ] Transformé d Laplac d un impulsion décalé Supposons qu l impulsion accus un rard T. On a un foncion imp T () qui pu s écrir : impt ( ) = u( T) u( T ) ( ), TL impt ( ) = TL u( ) TL u( ) soi IMP ( p) = 1 p Tp T p Tp p ( ) T ( ) ( ) d où : [ ] [ ] [ ] Transformé d Laplac d un signal rél échanillonné L signal échanillonné s donc un succssion d impulsions (rais) d largur, qui son ous décalés d T ls uns par rappor aux aurs (échanillonnag régulir). On pu donc écrir la foncion f * () comm éan un somm d foncions élémnairs, soi : f * ()=f 1 ()+f ()+ + f n ()+ Par conséqun, nous pouvons écrir la ransformé d Laplac, soi : F * (p)=f 1 (p)+f (p)+ +F n (p)+ * f (0) p f ( T ) T ( ) p p f nt nt p p F ( p) = ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) +... p p p chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag 4/8

5 p * 1 On pu uilisr un écriur plus compac : F ( p) = f ( kt ) p k = 0 kt p Donc, on pu voir dans c xprssion un rm n -p, qui corrspond à un rard pur qui radui la naur d l échanillonnur. On rmarqu égalmn qu la fréqunc d échanillonnag F =1/T influnc égalmn la ransformé d Laplac du sysèm échanillonné. Influnc d F sur la TL d un signal échanillonné On a vu dans l paragraph précèdn qu mahémaiqumn on rrouv l influnc d l échanillonnur. Or, aujourd hui nous disposons d sysèms numériqus avc ds fréquncs d horlog rès élvés. Qu dvin la TL d un signal si <<T? On sai qu -x, quand x<<1, s équivaln à 1-x+x /!-x 3 /3! Si on s limi au prmir ordr, -x 1-x. On appliqu cla à nor cas l on rouv p =1-1+ p= p. Par conséqun, l xprssion d F * (p) dvin : = * kt p F ( p) f ( kt ) k = 0 C qui rvin à un signal échanillonné idéal. Eud du BOZ n mporl n fréqunil Foncion d Transfr d un BOZ On monr dans la héori du signal, qu la répons impulsionnll d un sysèm corrspond à la foncion d ransfr du sysèm lui-mêm. Soi S(p)=T BOZ (p), si T BOZ (p) s la foncion d ransfr du BOZ. D après c qu l on a vu sur l BOZ, on sai qu un impulsion à son nré va générr un sori rcangl d ampliud égal à cll d l impulsion d largur T. d où s() = u()-u(- T ), pour un impulsion unié. On n ir qu 1 S( p) = TBOZ ( p) = p T p Eud du modul d un BOZ L éud n régim harmoniqu fai sans modificaion d T BOZ (jω) nous condui à un form indérminé. Il fau donc lvr c indérminaion. chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag 5/8

6 T T T ωt sin sin T jω jω jωt T j ω T 1 jω j ω jω TBOZ ( jω) = = T jω jω = = jω ωt D où : ωt sin ωt TBOZ ( jω) = T = T sin c ωt Calculons la valur max ls valurs d ω pour lsqulls l modul s annul. ωt ωt si ω 0, sin donc TBOZ ( jω) T ωt kπ TBOZ ( jω) = 0 si = kπ, soi ω = = KF T D où la figur classiqu d un sinus cardinal. T T BOZ (jω) F F 3F f Figur 8 : Modul d un BOZ Donc, on voi qu c échanillonnur pu aisémn fair offic d filr pass bas pour l procssus auqul il s associé. En ff, l lob principal laiss passr l spcr du signal échanillonné, plus la faibl pari d c spcr cnré sur F. Il xisra donc un rrur δ sur l signal rconsiué. On monr qu la fréqunc d échanillonnag vérifi la rlaion suivan :, F = fm, avc fm = la fréqunc max du signal échanillonné δ Par xmpl, si on choisi δ 5%, alors F 10f M (nviron). chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag 6/8

7 Sysèms échanillonnés Nous vnons d voir pourquoi commn échanillonnr un signal. Mainnan nous allons nous inérssr plus pariculièrmn aux sysèms assrvis échanillonnés. Ls différns signaux mis n ju Un signal élcriqu dérminis pu êr rprésné au moins d quar façons différns suivan sa naur. Nous allons ls déaillr. La sui n s pas ncor informaisé, voici ls irs n andan!!! L signal analogiqu coninu x() L signal échanillonné x ( k )=x * () q L signal numériqu x ( ) = x( k) L signal n sui numériqu x(k) k Régulaion analogiqu piloé par ordinaur Régulaion numériqu lgorihm d programmaion Calcul approché d un inégral Méhod d Eulr Méhod ds rapèzs Calcul approché d un dérivé Corrcur numériqu à acion P Corrcur numériqu à acion PI Corrcur numériqu à acion PD Corrcur numériqu à acion PID mix chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag 7/8

8 SOMMIRE INTRODUCTION... 1 ECHNTILLONNGE DU SIGNL... 1 ECHNTILLONNEUR IDEL... ECHNTILLONNEUR REEL... 3 ECHNTILLONNEUR BLOQUEUR (D ORDRE ZERO)... 3 ECHNTILLONNEUR MOYENNEUR... 3 TRNSFORMEE DE LPLCE D UN SIGNL ECHNTILLONNE REEL... 4 TRNSFORMEE DE LPLCE D UNE IMPULSION CUSLE... 4 TRNSFORMEE DE LPLCE D UNE IMPULSION DECLEE... 4 TRNSFORMEE DE LPLCE D UN SIGNL REEL ECHNTILLONNE... 4 INFLUENCE DE F E SUR L TF D UN SIGNL ECHNTILLONNE... 5 ETUDE DU BOZ EN TEMPOREL ET EN FREQUENTIEL... 5 FONCTION DE TRNSFERT D UN BOZ... 5 ETUDE DU MODULE D UN BOZ... 5 SYSTEMES ECHNTILLONNES... 7 LES DIFFERENTS SIGNUX MIS EN JEU... 7 L signal analogiqu coninu x()... 7 L signal échanillonné x ( k )=x * ()... 7 q L signal numériqu x ( k ) = x( k)... 7 L signal n sui numériqu x(k)... 7 REGULTION NLOGIQUE PILOTEE PR ORDINTEUR... 7 REGULTION NUMERIQUE... 7 LGORITHME DE PROGRMMTION... 7 Calcul approché d un inégral... 7 Méhod d Eulr... 7 Méhod ds rapèzs... 7 Calcul approché d un dérivé... 7 Corrcur numériqu à acion P... 7 Corrcur numériqu à acion PI... 7 Corrcur numériqu à acion PD... 7 Corrcur numériqu à acion PID mix... 7 chapir chanillonnag.doc vrsion du 0/04/007 à 8:05 pag 8/8