Utilisation de la décomposition LDL T en simulation stochastique

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1 Utlsaton de la décomposton LDL en smulaton stochastque A. Notn,, J.L. Dulong, N. Gayton 3, P. Vllon CEIM 5, avenue Félx Louat, B.P.867, 634 SENLIS Cedex, France Laboratore Roberval UC, CNRS FRE No. 833, B.P.39, 66 Compègne Cedex, France {jean-luc.dulong, 3 LaMI Unversté Blase Pascal et IFMA, F-6375 Aubère, France Résumé Dans le cadre des smulatons de Monte Carlo applquées à la mécanque lnéare élastque, une alternatve basée sur la décomposton LDL de la matrce de rgdté est présentée. Cette décomposton permet de dmnuer les temps de calcul des problèmes à large bande et d accéder drectement aux moments statstques de la réponse (c le déplacement. Ces résultats sont utlsés pour une analyse en fatgue au travers du crtère de Dang Van. Mots clés calcul stochastque, décomposton LDL, réducton de modèle, fatgue Introducton Ce paper ntrodut une utlsaton orgnale de la décomposton LDL dans le but d'accélérer les smulatons de Monte Carlo. En effet, même s les smulatons de Monte Carlo présentent de nombreux avantages [,], elles devennent très exgeantes en coût de calcul et espace de stockage lorsque la talle et la complexté des problèmes augmentent. Une soluton pour dmnuer les temps de calcul et l'espace de stockage est d'utlser les technques de réducton de modèle. Ces technques peuvent être classées en deux catégores; la premère s'ntéresse au modèle stochastque (utlsaton par exemple du chaos polynomal [3] et la seconde catégore se concentre sur le modèle mécanque et sa résoluton. L'approche décrte c appartent à la deuxème catégore de méthodes pusque qu'une nouvelle stratége de résoluton est proposée. Cette stratége repose sur l'externalsaton d'un maxmum d'étapes de la boucle de calcul et a été développée dans le cadre de la mécanque lnéare élastque. Les résultats sont présentés sur une analyse à la fatgue utlsant le crtère de Dang Van. Exposé de la méthode LDL. Prncpes généraux Supposons une structure de module d'young (, E x θ modélsé par un champ stochastque et dont le chargement f est détermnste. Afn de faclter la lecture du document, le champ

2 stochastque E ( x, θ sera noté E θ dans la sute. En utlsant la formulaton éléments fns en déplacement u [4] dans le cadre de l'élastcté lnéare, le système lnéare à résoudre est de la forme : K E θ u θ = f ( ( Par constructon, la matrce de rgdté K est symétrque, bande et défne postve. Elle admet donc une décomposton LDL [5] : K E θ = L E θ D E θ L E θ ( ( ( ( ( L E θ est une matrce trangulare nféreure plene, de dagonale untare et une matrce dagonale (dont les termes dagonaux sont notés D E θ est d E θ. A partr de cette décomposton, on formule les hypothèses de traval suvantes en supposant de pettes varatons de E : L E θ = L E θ = L ;. les varatons de la matrce L E ( θ sont néglgeables:. l'aléa est unquement porté par la matrce dagonale D E ( θ. L est calculée pour une réalsaton du champ stochastque notée ( θ : E θ est un champ détermnste foncton de l espace et : K E θ = L D E θ L (3 ( Pour chaque nstancaton θ du champ de module d Young, l'objectf est donc de calculer la K E θ. Cette recherche «melleure matrce D E ( θ» permettant d'approcher la matrce de la melleure matrce D E θ se ramène donc à un problème d'optmsaton qu dot être K E θ et sa résolu pour chaque nstancaton: l s'agt de mnmser l'écart entre décomposton LDL : L D E ( θ L. On forme pour cela la fonctonnelle J ( d : avec F J E ( d = K ( E ( θ L D( E ( θ L (4 F ( F la norme de Frobenus A trace( AA =. La fonctonnelle peut donc se réécrre: J E ( d = trace{ ( K ( E ( θ LD ( E ( θ L ( K ( E ( θ LD ( E ( θ L } (5 Remarque : La matrce matrce dagonale D : Avec ddl L D E L peut se réécrre comme combnason des termes n ddl L D E L = d E Λ n talle de la matrce et ( L ( L E d de la (6 = Λ = (produt de la ème colonne de L avec la ème..

3 lgne de L. Remarque : Les matrces ( L ( L Λ = sont ndépendantes de E. On les calcule une fos.. pour toute en dehors de la boucle de calcul de Monte Carlo.. Résoluton du problème d optmsaton Résoudre le problème d'optmsaton (4 revent à rechercher les zéros de la dérvée de l équaton (5 pour tous les termes dagonaux d : dj d E D ( E δd = trace ( K ( E LD ( E L L δd L = dd dd (7 ce qu équvaut à résoudre le système suvant: Ad E = c E (8 Avec : j { } ( ( A = trace Λ Λ = L L (9 j j.. d(e le vecteur des termes dagonaux de la matrce D(E et : c E = trace K E Λ = L K E L ( { }.. La matrce A est une matrce bande, de même talle et largeur de bande que K (la décomposton LDL préserve la largeur de bande. Elle est ndépendante des réalsatons du champ E. De ce fat, son calcul n'est effectué qu'une seule fos en dehors de la boucle de Monte Carlo (Cf. Remarque..3 Calcul des déplacements En supposant un chargement détermnste et en njectant l équaton (3 dans l équaton ( le déplacement s écrt: u ( E L D ( E L = f = F d ( E ( Le coût de ce calcul se résume au coût de deux remontées des matrces trangulares bande L O. La matrce F est calculée hors boucle de Monte Carlo..4 Calcul des moments statstques A partr de l'équaton (, les expressons de la moyenne u et de la matrce de covarance C peuvent être drectement dédutes. u s'écrt: u u = L ( D E θ dpθ L f ( Ω Et : C u = L Cd L uu (3

4 Avec : ( Cd = ( Cg ; j Ω dpθ d d j j Cg Ω représente l ensemble des nstancatons deθ. = L ff L (4 3 Applcaton : Plaque D en tracton pure La méthode développée précédemment est applquée sur une plaque en tracton pure dont le module d'young est modélsé par un champ aléatore corrélé D de moyenne λ = MPa, de coeffcent de varaton ζ et de modèle de corrélaton [6]: R x x ' x x ' x, x ' = exp (5 h h avec h = h =. La largeur x de la plaque est de et sa longueur x vaut. Fgure Plaque : mallage et condtons aux lmtes. La plaque est mallée avec des éléments Q4 (fgure. Le mallage est réguler : en modfant le nombre d'éléments sur x et x l est alors possble de jouer sur le nombre total de ddl ans que sur la largeur de bande b de la matrce de rgdté. Dans un premer temps, les calculs sont effectués sur dfférents mallages pour trages aléatores de module d Young. Les résultats sont exprmés en temps de calcul et en FLOPS (FLoatng Operatons Per Second. Pour chaque trage de Monte Carlo, l'équaton ( est résolue de manère classque par décomposton de Ο n b. Pour la méthode Cholesky : pour une matrce bande, son coût est homogène à ( ddl LDL, le coût de résoluton est domné par le calcul de ( qu vaut Ο ( n ddl LDL est donc mons coûteuse qu'une résoluton classque s. La décomposton < b. Ce résultat est en accord avec les résultats de la fgure qu représentent l évoluton du temps de calcul pour dfférentes largeurs de bande en foncton de la fnesse du mallage. La méthode proposée est très rapde s la structure comporte un grand nombre de ddl et a une grande largeur de bande : pour une dem-largeur de bande de 5, la smulaton de Monte Carlo classque est plus performante alors que pour une largeur de 5 les deux technques sont équvalentes. Pour une largeur de bande de 35, le coût de calcul est rédut d'un facteur 8. Le calcul de la durée de ve s effectue grâce au crtère de Dang Van [7]. On s ntéresse à l erreur sur les moments statstques de la varable aléatore «crtère de Dang Van».

5 L ensemble des résultats pour ces erreurs est résumé dans le tableau et les graphes de convergence pour ζ =. sont présentés fgure 3. L ordre de grandeur de l erreur est le même pour les deux coeffcents de varaton étudés ( ζ =. et ζ =.. Les résultats pour la moyenne sont excellents alors que ceux pour l écart type sont mauvas. Actuellement, nous travallons sur l nterprétaton de cet écart afn de le corrger. Une premère nterprétaton est de consdérer que le report de l aléa unquement sur les termes dagonaux «rgdfe» la structure. Cec a pour conséquence de dmnuer l écart type des déplacements. Néanmons, les résultats sur les moments d ordre 3 et 4 suggèrent que cette rgdfcaton n a pas d nfluence sur la forme de la densté de probablté : on «rgdfe» sans déformer. emps (s LDLt (b = 5 MC (b = emps (s LDLt (b = 35 MC (b = LDLt (b = 5 5 LDLt (b = 5 8 MC (b = 5 MC (b = 5 emps (s 6 4 emps (s Fgure Plaque : Comparason des temps de calcul entre Monte Carlo et LDL pour b={5, 5, 35, 5}. Coeff. varaton Moyenne Ecart type Asymétre Aplatssement able - Erreur sur les moments statstques en % en foncton de ζ 4 Concluson L approxmaton de K par sa décomposton LDL permet de s affranchr de son nverson quand on résout (. La matrce trangulare nféreure L est calculée une seule fos et l nverson de K se résume donc à l nverson de D. Le gan en temps de calcul est proportonnel au rato b n et devent donc favorable pour les problèmes à large ddl bande. Les résultats montrent le bon comportement de la méthode en termes de temps de calcul et de convergence pusque que la méthode converge à chaque fos. Des travaux complémentares sont en cours pour corrger l effet de «rgdfcaton» ms en évdence.

6 Fgure 3 Plaque : Convergence des moments statstques sur le crtère de Dang Van pourζ =. (en pontllés, la valeur supposées exacte obtenue par smulaton de Monte Carlo. Références [] M. Papadrakaks, V. Papadapoulos, Robust and effcent methods for stochastc fnte element analyss usng Monte Carlo smulaton. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, 34, 35 34, 996. [] G. Stefanou, M. Papadrakaks, Stochastc fnte element analyss of shells wth combned random materal and geometrc propertes. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, 9, 39 6, 4. [3] R.G. Ghanem, P.D. Spanos, Stochastc fnte elements A spectral approach, Sprnger Verlag, 99 (Revsed Edton publshed by Dover n 3. [4] O.C. Zenkewcz and R.L. aylor. he fnte element method. Butterworth-Henemann, 5. 6th edton [5] P. Okunev and C. Johnson. Necessary and suffcent condtons for exstence of the LU factorzaton of an arbtrary matrx [6] M. Lemare. Fablté des Structures - Couplage Mécano-Fablste Statque. Hermès, 5. En collaboraton avec A. Chateauneuf et J.C. Mtteau. [7] K. Dang Van, B. Grveau, O. Message, On a new multaxal fatgue crteron: theory and applcaton. Baxal and Multaxal Fatgue. EGF 3 (Edted by M.W. Brown and K.J.Mller, London: Mechancal Engneerng Publcatons, 989, pp