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1 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques U escalier pour l ifii Nous défiissos ue suite u de la maière suivate : A chaque étape, o associe u le ombre de carrés costituat l escalier, comme l idiquet les figures suivates Détermier les ombres u, u, u 3, u 4 et u 5 Exprimer le ombre u e foctio de 3 Exprimer le ombre u + e foctio du ombre u 4 Combie y aura-t-il de carrés à l étape? Et à l étape? Suites logiques Trouver le ou les terme(s) maquat(s) des suites de ombres ci-dessous : U U U U 3 U 4 U 5 Première suite 3 7? 9 Deuxième suite 3 7? 3 Troisième suite 3 5 7?? Quatrième suite 4 9? 5 O doe ci-dessous l expressio du terme gééral d ue suite Associer à chaque formule la suite correspodate U = + U = + 4 U = U = 3 O doe ci-dessous les relatios liat deux termes cosécutifs d ue suite Associer à chaque formule la suite correspodate U + = U + U + = U + + U + = U + U + = U + 4 Page

2 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Croissace d u cheveu Au début de l aée, les cheveux d ue persoe mesuret cetimètres Chaque mois, les cheveux de cette persoe pousset régulièremet de 9 millimètres O ote l Pour tout, o désige par l la logueur des cheveux de cette persoe au bout du Calculer l, l et l 3 Exprimer l e foctio de l ième mois 3 Expliquer pourquoi les ombres l, l, l, l,, 3 l costituet les termes successifs d ue suite arithmétique dot vous préciserez le premier terme aisi que la raiso 4 Doer l expressio de l e foctio de 5 Quelle sera la logueur des cheveux de cette persoe au bout d u a? Ue balle rebodit Ue balle élastique est lâchée d ue hauteur de cetimètres au dessus du sol A chaque rebod, la balle remote aux 9 de la hauteur atteite précédemmet O ote h Pour tout, o désige par rebod Calculer h, h et h 3 Exprimer h e foctio de h h la hauteur exprimée e cetimètres atteite à l issue du 3 Expliquer pourquoi les ombres h, h, h, h 3,, h costituet les termes successifs d ue suite géométrique dot vous préciserez le premier terme aisi que la raiso 4 Doer l expressio de h e foctio de 5 A quelle hauteur sera la balle au ème rebod? Populatio de bactéries U biologiste souhaite étudier l évolutio d ue populatio de bactéries Pour pratiquer des prévisios le biologiste modélise l évolutio e affirmat que : «la populatio double toutes les miutes» O ote p la populatio iitiale u mati à h, p la populatio à h, et aisi de suite Commet peut-o «oter» la populatio à h? La populatio à h? La populatio à 4h? Exprimer p e foctio de p Exprimer p e foctio de Détermier la populatio de bactéries à h, à h et à 4h Il reviet le ledemai à h, estimez la populatio alors relevée ième Page

3 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques croissace d'u cheveu rebods d'ue balle populatio de bactéries Commet distigue-t-o graphiquemet ue suite arithmétique d ue suite géométrique? A quelle coditio ue suite arithmétique est-elle croissate? Décroissate? A quelle coditio ue suite géométrique est-elle croissate? Décroissate? Page 3

4 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Suites arithmétiques Premier terme Raiso U est ue suite arithmétique de premier terme U et de raiso R Sachat que U = - et R = 3 calculer U 4 Sachat que U = et R = calculer U 4 3 Sachat que U = -5 et U = calculer R 4 Sachat que U = -3 et U = calculer U 5 Sachat que U 4 = et U 5 = 5 calculer U 6 6 Sachat que U 4 = 6 et U 5 = 9 calculer U 7 7 Sachat que U = 3 et U = 3 calculer U 7 8 Sachat que U 8 = et R = - calculer U 7 9 Sachat que U = -5 et R = calculer U 7 Sachat que U 4 = -5 et U 6 = 5 calculer U 7 Suites géométriques Premier terme Raiso V est ue suite géométrique de premier terme V et de raiso Q Sachat que V = -4 et Q = 3 calculer V 3 Sachat que V = 5 et V = calculer Q 3 Sachat que V = et V = 5 calculer V 4 Sachat que V = 3 et Q = 4 calculer V 3 5 Sachat que V = -4 et Q = - calculer V 3 6 Sachat que V = et V = 3 calculer V 3 7 Sachat que V = 3 et V = 6 calculer V 3 8 Sachat que V = et V = calculer V 3 Suites arithmétiques et géométriques Formules Doer la relatio de récurrece d ue suite arithmétique de premier terme U et de raiso R Doer l expressio du terme gééral d ue telle suite Doer la relatio de récurrece d ue suite géométrique de premier terme V et de raiso Q Doer l expressio du terme gééral d ue telle suite Page 4

5 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Das cet exercice tous les résultats serot arrodis à l euro près Partie A Le prix de vete d ue voiture euve e 6 était v 8 euros Ue fois achetée, o admet que cette voiture perd % de sa valeur chaque aée O ote v, la valeur de la voiture au bout de u a, deux as, aées Calculer v et v Que représetet ces deux ombres? Exprimer v e foctio de v Quelle est la ature de la suite v? Exprimer v e foctio de 3 Quelle sera la valeur de cette voiture e? Partie B Pedat la même période de 6 à, o admet que le prix des voitures euves augmete de % par a O ote u 8 euros le prix iitial puis u, u,, u le prix d ue voiture euve au bout de u a, deux as, aées Calculer u et u Que représetet ces deux ombres? Exprimer u e foctio de u Quelle est la ature de la suite u? Exprimer u e foctio de 3 Quel sera le prix d ue voiture euve e? Partie C O a représeté ci-dessous les deux suites umériques u et v das u même repère afi de comparer l évolutio du prix du euf e foctio du prix de l occasio e foctio du temps E l acie véhicule est vedu et remplacé par ue voiture euve Matérialiser par u segmet la dépese occasioée par le remplacemet du véhicule e Quelle est cette dépese? prix d'ue voiture (euf & occasio) Page 5

6 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Afi d acquérir et améager ue boutique e cetre ville, u ivestisseur décide de cotracter u emprut d u motat de euros Das le but d obteir les meilleures coditios pour ce prêt, il a cotacté deux baques A et B Le but du problème est de détermier quelle baque offre à otre empruteur la solutio la plus avatageuse Les calculs effectués serot arrodis à l euro près Baque A La baque A lui propose de rembourser so prêt sur 7 as, e sept auités, chacue des auités état u des termes cosécutifs d ue suite arithmétique de premier terme u 5 euros (motat du premier remboursemet) et de raiso r 8 euros Calculer le motat des trois versemets suivats u, u et u 3 Exprimer u e foctio de E déduire le motat du derier versemet Quelle serait la somme totale fialemet remboursée si l ivestisseur accepte cette propositio? Baque B La baque B lui propose égalemet de rembourser ce prêt sur sept as, e sept auités mais à des coditios différetes de celles de la baque A Le premier versemet auel serait d u motat de v euros et les versemets suivats, otés v et v 6, seraiet chacu e augmetatio de % par rapport au remboursemet précédet 3 Calculer le motat des trois versemets suivats v et v 3 Exprimer v e foctio de E déduire le motat du derier versemet 4 Quelle serait la somme totale fialemet remboursée si l ivestisseur accepte cette propositio? Représetatio graphique remboursemet d'u prêt (baque A & baque B) Page 6

7 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Exercice Partie A Voici ue suite de mobiles costruits avec des cubes e carto Détermier le ombre de cubes écessaires pour costruire le mobile, le mobile, le mobile 3 Combie de cubes serot écessaires pour costruire le mobile? Justifier votre répose par u calcul Partie B La plus grade des poupées russes mesure cetimètres La taille d ue poupée est égale aux quatre ciquièmes de la poupée précédete Détermier, arrodie au millimètre près, la taille de la deuxième poupée, de la troisième poupée Et celle de la huitième poupée? Justifier votre répose par u calcul Exercice Alex et Axel sot embauchés das ue etreprise le er javier à des coditios différetes Alex commece avec u salaire mesuel et de et Axel avec u salaire mesuel et de O souhaite étudier l évolutio de leurs salaires O arrodira les résultats au cetième O ote u le salaire mesuel d Alex au er javier de l aée et v le salaire mesuel d Axel au er javier de l aée exprimés e euros Aisi u et v Au premier javier de chaque aée, le salaire mesuel d Alex augmete de % Calculer u et u Exprimer u e foctio de u Quelle est la ature de cette suite de ombres? E déduire l expressio de u e foctio de Calculer le salaire mesuel d Alex e 5 3 Au premier javier de chaque aée, le salaire mesuel d Axel augmete de 5 Calculer v et v Exprimer v e foctio de v Quelle est la ature de cette suite de ombres? 4 E déduire l expressio de v e foctio de Calculer le salaire mesuel d Axel e 5 5 Quel est le cotrat le plus avatageux sur l esemble des six aées? Page 7

8 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Exercice 3 Partie A Au pays de Lewis Carrol, les éuphars pousset e doublat chaque jour leur surface U mati, u éuphar éclot au cetre d u étag circulaire de rayo mètres Le éuphar mesure alors cm de rayo O souhaite détermier au bout de combie de jours le éuphar aura recouvert la moitié de l étag Recopier et compléter les liges(7), (9), () et () de l algorithme suivat afi qu il répode à ce problème : Partie B Etre le er javier et le er février de cette aée, le compte de Caelle est passé de 3 à O suppose que Caelle dépese chaque mois la même somme d arget O souhaite savoir au bout de combie de mois le compte bacaire sera égatif Recopier et compléter les liges(7), (9), () et () de l algorithme suivat afi qu il répode à ce problème : U médeci loue u local à partir du er javier Il a le choix etre deux formules de cotrat Page 8

9 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Das les deux cas le loyer auel iitial est de 4 euros et il s egage à occuper le local pedat 9 aées complètes, aisi il quittera le local à la fi de l aée Les résultats serot doés au cetime d euro près Cotrat O ote U le loyer payé la première aée Le locataire accepte ue augmetatio auelle de 5% du loyer de l aée précédete O ote U le loyer payé l aée ( + ) Calculer U et U Que représetet ces deux ombres? Exprimer U + e foctio de U Quelle est la ature, le er terme et la raiso de cette suite? 3 Exprimer U e foctio de Calculer le loyer payé lors de la derière aée du cotrat 4 Calculer la somme totale payée à l issue des 9 aées de cotrat Cotrat O ote V le loyer payé la première aée Le locataire accepte ue augmetatio auelle de 5 euros du loyer de l aée précédete O ote V le loyer payé l aée ( + ) 5 Calculer V et V Que représetet ces deux ombres? 6 Exprimer V + e foctio de V Quelle est la ature, le er terme et la raiso de cette suite? 7 Exprimer V e foctio de Calculer le loyer payé lors de la derière aée du cotrat 8 Calculer la somme totale payée à l issue des 9 aées de cotrat Comparaiso des deux cotrats 9 Quel est le cotrat le plus avatageux pour le locataire pour ue durée de 9 as? Extrait du cours La somme des termes cosécutifs d ue suite arithmétique est doée par la formule suivate : S be de termes er terme derier terme Extrait du cours La somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique est doée par la formule suivate : S be de termes raiso premier terme raiso Ue tirelire Page 9

10 Douie Premières ES Activités Chapitre 8 Suites umériques Chaque aée la grad-mère de Pierre a déposé de l arget das ue tirelire afi de costituer ue cagotte pour so petit fils Elle a commecé au er javier 98 par u dépôt de 5 Depuis lors, elle a effectué u dépôt chaque er javier, e augmetat chaque aée le motat de ce dépôt de 5 O ote u le motat de la somme déposée das la tirelire le er javier de l aée 98 O ote s le motat de la somme coteue das la tirelire après le dépôt de l aée 98 Exprimer u e foctio de La répose proposée sera argumetée Exprimer s e foctio de La répose proposée sera argumetée 3 Le er javier, la grad-mère de Pierre effectue so dépôt habituel, puis offre la tirelire à so petit fils Quel est le motat de la somme reçue par Pierre? Ue subvetio Ue subvetio de 768 euros est débloquée pour rechercher e plei désert ue appe d eau souterraie aocée par u spécialiste Le coût du forage est fixé aisi : le premier jour, l istallatio du puit de forage coûte euros, le deuxième jour le premier mètre est creusé et coûte 4 euros, le troisième jour le deuxième mètre est creusé et coûte 4 euros supplémetaires, et aisi de suite e augmetat de 4 euros à chaque mètre creusé Le forage doit être istallé le er juillet 4 O ote u le coût du ème mètre creusé ( u représete le coût de l istallatio du forage) O ote s la dépese totale occasioée pour creuser ue puit de mètres de profodeur Exprimer u e foctio de La répose proposée sera argumetée Exprimer s e foctio de La répose proposée sera argumetée 3 A quelle date la subvetio sera-t-elle totalemet épuisée? 4 Quelle sera alors la profodeur du puit? Ue balle, la même que celle de l activité Ue balle élastique est lâchée d ue hauteur de cetimètres au dessus du sol A chaque rebod, la balle remote aux 9 de la hauteur atteite précédemmet O ote h et o désige par h la hauteur exprimée e cetimètres atteite à l issue du ième rebod Doer l expressio de h e foctio de La balle rebodit vigt fois sur le sol Calculer la distace parcourue par la balle depuis le lâcher jusqu au momet où elle rebodit pour la e fois Page

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

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