CAPES externe 2007 de Mathématiques Première composition : CORRIGÉ

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1 CAPES etere 7 de athématiques Première compositio : CORRIGÉ artial LEZE webmaster@capes-de-maths.com Les mathématiques sot ue gymastique de l esprit et ue préparatio à la philosophie Isocrate

2 CAPES 7 : Première compositio Covergece de la suite s. Première méthode a Soit k u etier. Alors k k k k kk kk k k. Or k k k k. E passat à l iverse, ous avos bie que k k k. k k k, c est-à-dire b D après ce calcul, ous pouvos dire que pour tout etier, s + k k + + k k k + +. La suite s est doc majorée, puisque s pour tout. + + c Pour motrer que cette suite coverge, il suffit ecore de démotrer qu elle est mootoe. Pour tout, o a + s + s k k k k. + Par suite, la suite s est croissate. Etat de plus majorée, elle est covergete. U majorat de sa limite est alors, puisque s pour tout.. Deuième méthode a ous avos trois propriétés à démotrer : O a déjà démotré plus haut que la suite s est croissate. otros que la suite t est décroissate. Pour tout, o a t + t s s +. + O e déduit doc le résultat recherché. otros efi que leur différece ted vers. Pour tout, o a Le résultat est immédiat. t s s + s.

3 CAPES 7 : Première compositio Les suites s et t sot doc adjacetes. b Il s agit de trouver tel que t s. Or t s. Il suffit alors de calculer s et t pour avoir l ecadremet recherché : Comme le motre la capture d écra de calculatrice ci-cotre, o a bie,54977 S, Troisième méthode Soit f la foctio défiie par Le graphique ci-dessous est doé : f : R R t t. y t. Quelle est l aire de la surface rouge?. Quelle est l aire sous la courbe etre les abscisses et? O la ote A.. E déduire que la suite s de terme gééral est majorée. 4. otrer que cette suite est croissate. 5. E déduire qu elle coverge. s k k

4 4 CAPES 7 : Première compositio Solutio :. L aire de la surface rouge vaut k k.. A t dt.. O e déduit que pour tout, k k. D où k k + k k + k k s, et par suite, otre suite est bie majorée, par. 4. Pour tout, o s + s + >, doc cette suite est strictemet croissate. 5. Toute suite croissate et majorée coverge, doc otre suite s est bie covergete. Utilisatio de polyômes. P s écrit PX a + a X + a X + +a X a X α X α. E idetifiat les coefficiets des polyômes, e particulier le coefficiet de X, o trouve qui est la formule recherchée. a α α α a i α i a a,. a Pour démotrer cette égalité, ous avos besoi de la propositio c-dessous, que ous allos démotrer : Propositio : Pour tout etier aturel et tout réel, o a si Im cos+isi. démostratio : E effet, Im cos+isi Im e i Ime i par la formule de oivre Im cos+isi si. Puisque p et ϕ R, ous allos appliquer ce résultat à ϕ et p, ous permettat d utiliser la formule du biôme de ewto pour avacer : si p+ϕ Im cosϕ + isiϕ p+ [ p+ ] p+ Im i j si j ϕ cos p+ j ϕ. j j

5 CAPES 7 : Première compositio 5 Or pour tout valeur paire de j, le terme i j est réel. Par coséquet, la partie imagiaire que l o recherche s obtiet e e cosidérat que les valeurs de j impaires : si p+ϕ Im p+ i j si j ϕ cos p+ j ϕ j k+ I p k p+ j j impair p+ k+ sigei k+ cos p+ k+ ϕ si k+ ϕ p+ k cos p k ϕ si k+ ϕ, k+ où I {,,5,...,p+}. ous avos utilisé le chagemet de variables j k + après le secod symbole d égalité. Le résultat est aisi démotré. b Toujours pour tous et ϕ R, o a : si p+ϕ p p+ k cos p k ϕ si p+ p+k ϕ k k+ p p+ k cos p k ϕ k k+ si p k ϕ sip+ ϕ si p+ p p+ ϕ k cota p k ϕ k k+ si p+ p p+ cota ϕ k ϕ p k. k+ k. a Soit k {,..., p}. Alors d après ce qui précède, o a Pγ k p k p p+ kπ k cota k k+ p+ kπ si p+ p+ sikπ. kπ kπ si p+ si p+ p+ p+ b Soit k {,..., p}. Alors ous avos la successio d implicatios suivates : Or k p π kπ pπ π kπ pπ p+ p+ p+ < kπ pπ p+ p+. p < p+ p p+ <, car p+ >

6 6 CAPES 7 : Première compositio doc o a fialemet que De plus, pour tout k {,..., p }, k p < kπ p+ < π. k < k+ kπ k+ π < p+ p+, ce qui suffit à affirmer que toutes les racies γ k de P d après la questio a sot distictes. c Aidos ous de la questio pour déduire que la première somme recherchée est égale à l opposé du quotiet du coefficiet de X p par celui de X p : p kπ cota p+ p+! k p+ p+!p+! p+ p! p p pp.!p! ous pouvos alors poursuivre os calculs : kπ p kπ cota p cos p+ k p+ k kπ si p+ p k p k kπ si p+ si kπ p+ p pp pp p k + p pp+ si kπ p+ pp+. 4. a Pour cette questio, o défiit sur [, π [ les foctios f et g respectivemet par fϕ siϕ et gϕ taϕ siϕ cosϕ. De plus, o a pour tout ϕ [, π [, f g, aisi que f ϕ cosϕ et g ϕ cos ϕϕ si ϕ cos ϕ si ϕ cos, ϕ ce qui ous permet d affirmer que ces courbes admettet la même tagete au poit d abscisse ulle, de foctio affie associée égale à à Tϕ ϕ. O sait que les courbes représetatives de f et g sot respectivemet cocave et covee sur l itervalle ], π [, ce qui implique que la tagete détermiée ci-dessous se trouve e-dessous de la courbe représetat g et au-dessus de celle qui représete f. E d autre termes, pour tout réel ϕ ], π[, < siϕ < ϕ < taϕ. La première iégalité proviet du fait que si ϕ ], π [, alors siϕ ],[.

7 CAPES 7 : Première compositio 7 b Soiet p et k {,..., p}. Alors e utilisat les résultats de la questio.c, < siϕ < ϕ < taϕ < cotaϕ < ϕ < siϕ < cota ϕ < ϕ < si ϕ k, < cota kπ p+ kπ k, cota p+ p kπ cota < k p+ pp < p+ π < kπ p+ < p+ π p k p k < si kπ p+ k < si kπ p+ p+ p kπ π k < si k p+ k < pp+. c E poursuivat os calculs, la double iégalité précédete est équivalete à π p p 4p + p + 4p < p k Par la théorème d ecadremet, o e déduit que p p k S lim k < π k π 6. p + p 4p + p +. 4p 5. O motre facilemet que les suites k et k k+ sot équivaletes à k k k c est-à-dire que le quotiet de leur terme gééral ted vers lorsque k ted vers l ifii. Comme ce sot trois suites à termes positifs, la règle des équivalets ous permet d affirmer que u et v sot de même ature que s, et coverget doc. De plus, lim k, doc la suite w coverge par le critère des séries alterées. k Das la suite, désige u etier aturel strictemet positif. O a alors Cocerat la secode suite, u k k 4 k k U π 4. u + v k k + k + k+ k + k v k k u V π 6 π 4 π 8. U raisoemet aalogue ous amèe à écrire que w u v W π 4 π 8 π.

8 8 CAPES 7 : Première compositio Utilisatio des itégrales de Wallis. I dt π et J [ t t dt ] π π 4.. a Soiet, ut cos + t et vt sit. Ces deu foctios sot de classe C, o peut doc utiliser le théorème d itégratio par parties afi de calculer I +, e utilisat u t +sitcos t et v t cost : I + utv t dt [utvt] π π u tvt dt + si tcos t dt + +I +I + +I + +I I I. cos t cos t dt b Effectuos ue récurrece pour motrer ce résultat : iitialisatio : La questio ous assure que les deu membres sot bie égau à π/. hérédité : Supposos l hypothèse de récurrece H.R. vraie au rag, et motros qu elle l est toujours au rag + : I +.b + + I H.R ! π 4+ 4!! π 4! ! π ! O e déduit que pour tout etier aturel, I! 4! π.! π 4!. Soit. a Ue première itégratio par parties utilisat les foctios ut cos t et vt t de classe C doe : I [t cos t] π π + t sitcos t dt t sitcos t dt. Ue secode itégratio par parties, e utilisat les foctio Ut sitcos t et vt t / de classe C, doe : I [t sitcos t] π t si t cos t dt t cos t dt t si t cos t dt t cos t dt t cos t dt J J J J J.

9 CAPES 7 : Première compositio 9 b O a K K 4!! J 4!! K K 4! J 4! J!! K K 4! J 4 J! K K 4! I! K K 4!! π 4! K K 4! π 4! π 4. J c Par suite, o a π 4 k k k π 4k K k K k K K J K. k E effet, la défiitio de K pour tout etier aturel ous permet d affirmer que K J. 4. a ous avos déjà démotré plus haut que tout ], π[ vérifiait < si.or π, doc < π si. De plus, il y a égalité pour et π. O e déduit que pour tout réel [, π], π si. b Soit [, π ]. Alors π si cos π 4 si cos cos d π cos d 4 Il viet esuite que J π 4 I I + J π 4 J π I J π 8+ I. J π 8+ I 4! J 4!!! K 4! K! π 6+. π 8+ π 8+ I! π 4! cos + d I

10 CAPES 7 : Première compositio c O e déduit les implicatios suivates, amorcées par le théorème d ecadremet : lim K π lim 4 S lim k k k J π 4 k π 4 4 π π 6. 4 oyau de Dirichlet. Soiet u etier et [π] u réel. Alors. Soit u etier. D + cosk k + k e ik e ik k e ik e i e i k k ei ei + e i e i / e i e i / e i e i / e i +/ e i / e i / si +. si i si + i si a.a. Soit k u etier. E faisat ue itégratio par parties à l aide des foctios u et v sik k de classe C, ous obteos : cosk d k [sik]π k + sik d k [cosk]π k k. ous remarquos que cette itégrale est ulle pour toute valeur de k paire. O e déduit que : { si k est pair, cosk d k si k est impair. b Par coséquet, D d π 4 + k + d kcosk cosk d π 4 + k k k π 4 k d+ k cosk d l échage des symboles est possible car la somme et l itégrale sot fiies k + k k k.

11 CAPES 7 : Première compositio. otos f la foctio doée das l éocé. Il est clair que cette foctio est de classe C sur ],π[ e tat que quotiet de deu foctios de même classe. f est doc e particulier de classe C sur cette itervalle. Détermios alors si f admet ue limite e : si X si lim f lim X six. ous pouvos désormais défiir la foctio f sur [,π] par { f si >, f si. Il e reste plus qu à vérifier que f est dérivable e, et que f y est cotiue. f est dérivable sur ],π], et pour tout de cet itervalle, o a f si cos si. O applique alors u développemet limité de f lorsque ted vers afi d obteir f o 4 + o 6 + o 4 + o 4. Il s e suit que lim f. Par le théorème de pologemet de la dérivée, o peut efi coclure que f est de classe C sur [,π], avec f lim f. 4. O utilise ue itégratio par partie e utilisat les foctios u φ et v cosλ λ de classe C sur [,π] : φ siλ d [ cosλ ] π φ + λ λ φ λ cosλπφπ λ + λ φ cosλ d φ cosλ d Puisque les foctios φ et φ sot cotiues sur [,π], il eiste deu réels m et tels que pour tout [,π], m φ et m φ. De plus, le cosius est toujours compris etre et. O e déduit doc que les deu premiers termes ci-dessus tedet vers lorsque λ ted vers l ifii, aisi que le troisième puisque l itégrale est borée, d où le résultat. 5. a O a doc, e utilisat φ f, lim λ φ siλ d lim φ si + lim si si π lim D d lim L. + d d

12 CAPES 7 : Première compositio b E poursuivat os calculs, sachat que W π S, o a : π lim L lim 4 k k + k k k O retrouve aisi la valeur de S. π 4 S+W π 4 S S π 4 S S π 4 π 6. 5 Ue somme double. a Soit u etier. ous allos utiliser, comme lors de la première partie, ue comparaiso à ue itégrale : y y + + L aire rouge correspod à H, et la bleue à L aire bleue correspod aussi à H, tadis d + +. Par coséquet, que l aire sous la courbe vaut d. d + H +. D où d H. ous avos doc + d H d + l+ H +l. b état u ombre positif, o peut diviser cette iégalité par : l+ H + l. l+ Les croissaces comparées à l ifii ous assuret que lim et lim c est le théorème d ecadremet qui permet aisi d arriver au résultat attedu : H lim. l, et

13 CAPES 7 : Première compositio c ous allos démotrer ce résultat par récurrece : Iitialisatio : Le membre de gauche vaut, et celui de droite vaut + 4 H L égalité est doc vérifiée pour. Hérédité : Supposos l hypothèse de récurrece HR vraie au rag, et motros qu elle l est ecore au rag + : m H m mm+ m m m + m H m mm+ + m H m H H + + H + m H + +. HR m m m m H + m ous avos aisi démotré le résultat suivat : pour tout etier, m H m mm+ m m H. H + H + m H d Le premier terme du membre de droite coverge lorsque ted vers l ifii, de limite S. Le secod coverge aussi d après la questio b. O e déduit que lim m H m mm+ m H m mm+ S.. Soiet u etier aturel o ul. a Soit m u etier quelcoque, supérieur ou égal à. ous allos faire ue récurrece sur. Iitialisatio : Par la défiitio de Z,m, o a : Or m H m m Z,m O a doc bie Z,m m H m +m m. m m m m m m m m. m m, de sorte que le rag soit vérifié.

14 4 CAPES 7 : Première compositio Hérédité : Supposos maiteat le résultat vrai au rag, et motros qu il l est ecore au rag +. ous utiliseros la démostratio pour amorcer le raisoemet : Z +,m H.R. + m m +m +m + +m m m m + + m + +m + m + m +m H m m H m H m m +m + L hyptohèse de récurrece est doc vraie au rag +. Le résultat est doc démotré, et o a doc que pour tout etier m, Z,m H m. m +m + ++m ++. b Pour tout etier strictemet positif, + > < +. D où < +m + +m + Grâce au théorème d ecadremet, o e déduit que ce qui implique directemet que. a Soiet et deu etiers. Alors +m lim + + m +., lim Z,m H m m. m m+m m m m m+m +m + + m + Z,m m m. m sommes fiies +m

15 CAPES 7 : Première compositio 5 ous avos du séparer le premier terme correspodat à m de la somme car Z,m est pas défii pour m. b Les sommes état fiies, ous pouvos aussi échager les symboles et lim : lim Z,m H m m Z,m lim m d où le résultat suivat coaissat déjà S lim lim m m+m lim m lim m π + m Z,m m Z,m m H m m mm, 6 : π 6 + m H m mm. c D après.d, ous savos déjà que O e déduit que lim lim m m H m mm+ m H m mm S. π lim m+m 6 + m H m mm π 6 π. 6 La foctio Dilogarithme. Pour [,[ {}, il y a pas de problème : la foctio das l itégrale est cotiue. De plus, l t est équivalet e à t, ce qui red la foctio das l itégrale équivalete e à, c està-dire prologeable par cotiuité, et elle est doc itégrable.. otos ϕ la foctio l défiie sur R +. Alors l t ϕ t ϕ lim lim ϕ, t t t t doc l itégrale impropre Li eiste bie e, et Li lim t Li.. a Soit ],[. Posos f ous avos alors <, l+ f f. Rappelos avat tout que + + l t t l f Li Li dt l..

16 6 CAPES 7 : Première compositio b Par coséquet, Li lim Li lim π a Soit ],[. O rappelle que pour deu foctios f et g dérivables, o peut avoir f g f gg. Cette formule peut être appliquée ici car la foctio revoie u ombre lui aussi strictemet compris etre et. Par suite, Li+ Li Li + Li l l + l l. b Posos, pour tout ],[, g l l. Soit ],[. Alors g l+l l l. Par suite, g Li + Li, doc Li + Li g + C, où C est ue costate que l o va détermier. E faisat tedre vers, o trouve que lim Li, lim Li π. De plus, 6 e g e ll l, doc lim g. O e déduit directemet que C π Appliquos la formule précédete au réel : Li π 6 l π 6 l π l. 6. a Soit ],[. ous avos : l Li+ Li + l+ l l+ l.

17 CAPES etere 7 : Première compositio 7 De plus, Li l l. Ces deu dérivées sot égales, ouse déduisos doc que Li+Li Li +C, avec C ue costate que l o détermie e remplaçat par das les deu membres. Puisque Li, o trouve C, et le résultat s e suit. b Das cette égalité, il suffit alors de faire tedre vers afi de trouver lim Li+Li lim Li π 6 + π 6 π 6 π. 7. a Dérivos le membre de gauche. O trouve pour tout réel ],[ : Li Li +Li + l+ l l + + l l + l + l Li + l l l + Par itégratio, o e déduit que Li Li +Li Li + l + + l+c, avec C ue costate que l o détermie e faisat tedre vers das les deu membres. Puisque Li, o obtiet : O trouve bie le résultat demadé. Li Li C C π 6 + π π 4.

18 8 CAPES etere 7 : Première compositio b Appliquos la formule précédete au cas particulier ],[. O trouve : Li Li +Li Li π 4 + l l Li Li +Li Li π l l 6..a Li Li π 4 + l +l k k k k k k π 8 + l +l k k k + k k k π 8 + l +l. Lorsque k est pair, chaque terme de la somme est ul. La somme peut doc se faire uiquemet sur les k impairs. E posat k +, o trouve fialemet que + + π 8 + l +l.