P U n est une suite géométrique.

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1 Notre Dame de La Merci Exercices sur les suites arithmético-géométriques CORRIGES e deuxième partie Exercice : Das u pays, u orgaisme étudie l évolutio de la populatio Compte teu des aissaces et des décès, o a costaté que la populatio a u taux d accroissemet aturel et auel de 4 pour mille De plus, chaque aée, 2 persoes arrivet das ce pays et 5 le quitte E 2, la populatio de ce pays était de 75 millios d habitats O suppose que l évolutio ultérieure obéit au modèle ci-dessus O ote la populatio de l aée (2 + ) exprimée e milliers d habitats ) Détermier les trois premiers termes de la suite Cette suite est-elle géométrique? Arithmétique? justifier votre répose 2) Doer la relatio de récurrece etre Motrer que et est ue suite géométrique 3) O doe 5 4) Doer la formule explicite de c 5) E déduire la formule explicite de 6) Combie d habitats peut-o prévoir e 25? 7) Au bout de combie d aées la populatio aura-t-telle doublée? Exercice 2 : Le er javier 23, ue grade etreprise compte 5 employés e étude motre que lors de chaque aée à veir, % de l effectif de l etreprise au er javier partira à la retraite au cours de l aée our ajuster ses effectifs à ses besois, l etreprise embauche jeues das l aée our tout etier aturel, o appelle le ombre d employés de l etreprise le er javier de l aée (23 + ) ) Détermier les trois premiers termes de la suite Cette suite est-elle géométrique? Arithmétique? Justifier votre répose 2) Doer la relatio de récurrece etre et 3) our tout etier aturel, o pose V Démotrer alors que la suite V est géométrique 4) E déduire l expressio V de puis celle de e foctio de 5) Démotrer que pour tout etier aturel, o a : 5,9 E déduire alors le ses de variatio de la suite 6) Au er javier 23, l etreprise compte u sureffectif de 3 employés A partir de quelle aée, le cotexte restat le même, l etreprise e sera-t-telle plus e sureffectif? Exercice 3 : e associatio caritative a costaté que chaque aée, 2 % des doateurs de l aée précédete e reouvelaiet pas leur do mais que chaque aée, 3 ouveaux doateurs effectuaiet u do Lors de la première aée de l étude, l associatio comptait doateurs O ote le ombre de doateurs lors de la -ième aée ; aisi ) Calculer alors 2 et 3 2) Motrer que pour tout etier aturel o ul :,8 3 3) our tout etier aturel, o pose V 5 Démotrer alors que la suite V est géométrique récisez alors so premier terme et sa raiso 4) E déduire l expressio de e foctio de 5) Après avoir factorisé l expressio, e déduire le ses de variatio de la suite

2 6) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Au bout de combie d aées, le cotexte restat le même, le ombre de doateurs dépassera-t-il 5? Exercice 4 : Atilles Guyae Septembre 2 : cetre aéré, ouvert tous les mercredis après midi à partir du er septembre, propose aux efats de s iscrire chaque semaie à ue activité L ue de ces activités est la atatio e étude effectuée sur l aée scolaire 29/2 motre que d ue semaie sur l autre 5% des efats e se réiscrivet pas à la atatio, alors que das le même temps ouveaux efats s y iscrivet Le directeur se base sur les résultats de l aée scolaire 29/2 pour prévoir l évolutio des iscriptios pour l aée scolaire 2/2 La première semaie de l aée scolaire 2/2, 8 efats se sot iscrits à la atatio O ote le ombre iitial d efats iscrits à la atatio, aisi 8 our tout etier aturel, o ote u le ombre d efats iscrits à la atatio au bout de semaies Motrer que 86 2 our tout etier aturel, exprimer e foctio de a 3 our tout etier aturel, o pose 2 a Motrer que la suite a est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le premier terme b our tout etier aturel, exprimer a e foctio de c E déduire que, pour tout etier aturel, o a : 2 2,95 Les questios suivates peuvet être traitées idépedammet les ues des autres 4 a Motrer que pour tout etier aturel, o a: 6,95 b E déduire que le ombre d iscriptios à la atatio augmete toutes les semaies 5 Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Après combie de semaies, le cotexte restat le même, le ombre d efats iscrits à la piscie dépassera-t-il 5? Exercice 5 : O cosidère ue suite défiie sur par : 4 et Soit la suite V défiie sur N par : V 3 ) Quelle est la ature de la suite 2) Motrer que la suite V est géométrique 3) Doer l expressio de V e foctio de 4) E déduire l expressio de e foctio de 5) Calculer la somme des premiers termes de 2 3

3 CORRIGE Notre Dame de La Merci - Motpellier Exercice : Das u pays, u orgaisme étudie l évolutio de la populatio Compte teu des aissaces et des décès, o a costaté que la populatio a u taux d accroissemet aturel et auel de 4 pour mille De plus, chaque aée, 2 persoes arrivet das ce pays et 5 le quitte E 2, la populatio de ce pays était de 75 millios d habitats O suppose que l évolutio ultérieure obéit au modèle ci-dessus O ote la populatio de l aée (2 + ) exprimée e milliers d habitats ) Détermier les trois premiers termes de la suite Cette suite est-elle géométrique? Arithmétique? justifier votre répose 75 taux d accroissemet aturel et auel de 4 pour mille correspod à u coefficiet multiplicateur égal à,4, doc :, , , , , et , ,798 cette suite est pas arithmétique 76 57,4933 et ,798, cette suite est pas géométrique 2) Doer la relatio de récurrece etre et,4 7 3) O doe 5 Motrer que est ue suite géométrique 57 5, 4 7 5, 4 57, 4,4,4 5,4 doc est ue suite géométrique de raiso,4, de premier terme ) Doer la formule explicite de 75 5,4 q 5) E déduire la formule explicite de 5 doc ,4 5 6) Combie d habitats peut-o prévoir e 25? , ,66, soit habitats 7) Au bout de combie d aées la populatio aura-t-telle doublée? O cherche le plus petit etier N tel que N 2 avec la calculatrice, saisir la foctio associée puis déf-table puis table : O trouve N = 5 : au bout de 5 as Exercice 2 : Le er javier 23, ue grade etreprise compte 5 employés e étude motre que lors de chaque aée à veir, % de l effectif de l etreprise au er javier partira à la retraite au cours de l aée our ajuster ses effectifs à ses besois, l etreprise embauche jeues das l aée our tout etier aturel, o appelle le ombre d employés de l etreprise le er javier de l aée (23 + ) ) Détermier les trois premiers termes de la suite Cette suite est-elle géométrique? Arithmétique? Justifier votre répose

4 e baisse auelle de % correspod à u coefficiet multiplicateur égal à,9, doc : 5,9 5, ,9 45, ,97 et 2 45,94 : cette suite est pas géométrique et : elle est pas arithmétique 2) Doer la relatio de récurrece etre et,9 3) our tout etier aturel, o pose V Démotrer alors que la suite V est géométrique V 9,9,9 9,9,9,9,9V doc V est ue suite géométrique de raiso,9, de premier terme V 5 4) E déduire l expressio V de puis celle de e foctio de V 5,9 V q V doc 5,9 V 5) Démotrer que pour tout etier aturel, o a : 5,9 E déduire alors le ses de variatio de la suite 5,9 5,9 5,9 5,9 5,9 5,9 5,9,9 5,9,9,9 doc la suite est décroissate 5,9,9 5,9, 5,9 6) Au er javier 23, l etreprise compte u sureffectif de 3 employés, ce qui sigifie courtoisemet que l etreprise veut supprimer 3 postes A partir de quelle aée, le cotexte restat le même, l etreprise e sera-t-telle plus e sureffectif? O cherche doc à partir de quel rag le ombre de salariés deviet iférieur à 2, soit : 2 5,9 2 5,9 2 2,9 5,9, 4 o trouve = 9 : au bout de 9 as Autre méthode : défiir ue suite umérique avec la calculatrice Autre méthode : défiir u programme Algobox ou avec la calculatrice

5 Exercice 3 : e associatio caritative a costaté que chaque aée, 2 % des doateurs de l aée précédete e reouvelaiet pas leur do mais que chaque aée, 3 ouveaux doateurs effectuaiet u do Lors de la première aée de l étude, l associatio comptait doateurs O ote le ombre de doateurs lors de la -ième aée ; aisi ) Calculer alors 2 et 3 e baisse auelle de 2% correspod à u coefficiet multiplicateur égal à,8, doc : 2,8 3, ,8 3, ) Motrer que pour tout etier aturel o ul :,8 3 E gééralisat les explicatios ci-dessus :,8 3 3) our tout etier aturel, o pose V 5 Démotrer alors que la suite V est géométrique récisez alors so premier terme et sa raiso V 5 5,8 3 5,8 3 2,8 2,8,85,8,8 V doc V est ue suite géométrique de raiso,8, de premier terme V 5 5 V 5,8 V q 4) E déduire l expressio de e foctio de V 5 doc 5 5 5,8 V 5) Après avoir factorisé l expressio, e déduire le ses de variatio de la suite 5 5,8 5 5,8 5 5,8 5 5,8 5,8 5,8 5,8,8 5,8,8,8 5,8,8 5,8, 2,8

6 doc la suite est croissate 6) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Au bout de combie d aées, le cotexte restat le même, le ombre de doateurs dépassera-t-il 5? Le programme attedu e marche pas et ue vérificatio avec la calculatrice motre que le ombre de doateurs e dépassera jamais 5 D où ue petite ruse das le programme ci-dessous : à quel momet le ombre de doateurs sera-t-il supérieur à 499! Tout simplemet! Exercice 4 : Atilles Guyae Septembre 2 : cetre aéré, ouvert tous les mercredis après midi à partir du er septembre, propose aux efats de s iscrire chaque semaie à ue activité L ue de ces activités est la atatio e étude effectuée sur l aée scolaire 29/2 motre que d ue semaie sur l autre 5% des efats e se réiscrivet pas à la atatio, alors que das le même temps ouveaux efats s y iscrivet Le directeur se base sur les résultats de l aée scolaire 29/2 pour prévoir l évolutio des iscriptios pour l aée scolaire 2/2 La première semaie de l aée scolaire 2/2, 8 efats se sot iscrits à la atatio O ote le ombre iitial d efats iscrits à la atatio, aisi 8 our tout etier aturel, o ote u le ombre d efats iscrits à la atatio au bout de semaies Motrer que 86 e baisse de 5% des réiscriptios correspod à u coefficiet multiplicateur k,95 Aisi :,95, our tout etier aturel, exprimer e foctio de E gééralisat la première étape avec ce coefficiet multiplicateur, o obtiet :,95 3 our tout etier aturel, o pose a 2 a est ue suite géométrique dot o précisera la raiso et le er terme a Motrer que la suite

7 a 9 2,95 2,95 9,95,95 a,95 2,95 a Aisi a est ue suite géométrique de raiso q,95, de er terme a 2 2 b our tout etier aturel, exprimer a e foctio de a 2,95 a q c E déduire que, pour tout etier aturel, o a : 2 2,95 a 2 doc 2 2,95 a 2 Les questios suivates peuvet être traitées idépedammet les ues des autres 4 a Motrer que pour tout etier aturel, o a: 6,95 2 2,95 2 2,95 2 2,95 2 2,95 2,95 2,95 2,95,95 2,95,95,95 2,95,95 2,95,5 6,95 b E déduire que le ombre d iscriptios à la atatio augmete toutes les semaies 6,95 doc : la suite est croissate et le ombre d iscriptios à la atatio augmete toutes les semaies 5 Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Après combie de semaies, le cotexte restat le même, le ombre d efats iscrits à la piscie dépassera-t-il 5? O cherche pour quelle valeur la suite dépassera 5 : A la calculatrice, o trouve = 8, soit à partir de 8 semaies Avec Algobox : Exercice 5 : O cosidère ue suite défiie sur par : 4 et Soit la suite V défiie sur N par : V 3 2 3

8 ) Quelle est la ature de la suite est ue suite arithmético-géométrique 2) Motrer que la suite V est géométrique V V La suite V est géométrique de raiso q 2 et de premier terme 3) Doer l expressio de V e foctio de V V q 2 2 4) E déduire l expressio de e foctio de V 3 doc 3 2 V 3 5) Calculer la somme des premiers termes de V 3 V 3 V 3 V 3 V V V 3 q ombre de termes V 3 q