Chapitre E5 / M5 Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé

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1 Chatre E5 / M5 éseaux lnéares en régme snusoïdal forcé Domane d étude : Sstèmes lnéares (dont les caractérstques sont soluton d une équaton dfférentelle lnéare à coeffcents constants) réondant à des exctatons snusoïdales Pourquo l étude des sgnaux snusoïdaux? Décomoston en sére de Fourer Consdérons un sgnal érodque de fréquence N. On eut décomoser ce sgnal en une somme d un sgnal contnu et de sgnaux snusoïdaux de fréquence αn, α enter strctement ostf. e rnce de sueroston dt que la réonse à une somme d exctatons équvaut à la somme des réonses à chaque exctaton. étude de la réonse à n morte quel sgnal érodque eut donc se fare s on sat décrre la réonse à un sgnal snusoïdal. II.. E P O N S E D U N O S C I A TT E U A U N E E X C I TT A TT I O N S I N U S O Ï D A E :: I.1. Observaton. = 1600 Ω e(t) X : 1V/dv Y : 1V/dv 0,6 ms/dv C = 1 µf u c (t) e (t) u c(t) C e(t) = fg 1 Protocole : e crcut est fermé deus une durée longue ar raort à τ = C ( vor régmes transtores) On fat alors l acquston de e(t) et u c (t). En régme ermanent, a réonse d un dôle lnéare à une exctaton snusoïdale de érode T est... I.2. Traducton mathématque I.1.a. Forme de la réonse Exctaton de la forme : x(t) = X cos(ωt) X : amltude éonse de la forme : (t)=y cos(ωt + ϕ) Y : amltude ϕ : hase à l orgne Vor A1 Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 1 / 8

2 I.1.b. Déhasage Pour ( ω ϕ ) x( t) = X.cos t + ( t) = Y.cos t + x ( ω ϕ ) avance de (t) sur x(t) corresond au déhasage ϕ ϕx Avance de (t) sur x(t) ϕ ϕ = 0 x π ϕ ϕx = + 2 π ϕ ϕx = 2 ϕ ϕ = ± π x Dénomnaton Un retard n est donc ren d autre qu une avance négatve II II.. E P E S E N TT A TT I O N D U N E G A N D E U S I N U S O Ï D A E :: II.1. Problème osé : On étude une assocaton -C soumse à une exctaton snusoïdale. a lo des malles donne : dq dt + 1 C.q = 1.e(t) avec e (t)=e.cosωt, et en consdérant t>>τ, on eut écrre la réonse à l exctaton sous la forme : q (t) = Q.cos(ωt+ϕ) Sot : -ω.q.sn(ωt+φ) + Q C.cos(ωt+φ) = E.cosωt a résoluton de cette équaton trgonométrque n est as envsageable dans sa forme actuelle. II.2. Ecrture comlexe : On assoce à une grandeur hsque x(t) une rerésentaton comlexe x telle que e( x) = x Grandeur comlexe erésentaton comlexe Amltude comlexe x = X.cos( ω. t + ϕ) j(. t ) x = E. e ω ϕ j X = X. e ϕ II.3. Prorété des écrtures comlexes : a résoluton des équatons dfférentelles sur les grandeurs comlexes sera asée. Mas encore faut-l que les relatons vérfées ar les grandeurs hsques le soent également ar leurs grandeurs comlexes! Grandeur Phsque z( t) = α. x( t) + β. ( t) erésentaton comlexe dx ( t) = dt = ( t) x( t). dt z( t) = x( t). ( t) Vor D1 Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 2 / 8

3 II.4. Une conséquence : os de Krchhoff : o des Noeuds o des malles our les grandeurs hsques équvalence sur les re. comlexes ε. I.cos( ω t + ϕ ) ε P. I = 0 ε. U.cos( ω t + ϕ ) ε P. I = 0 (Vor le chatre E1 our les los de Krchhoff sur les grandeurs hsques) II.5. Méthode de détermnaton d une grandeur électrque - Détermner la forme générale de la soluton - A chacune des grandeurs hsques assocer sa rerésentaton comlexe - Détermner l exresson de la rerésentaton comlexe ar alcaton des los de Krchhoff - En dédure l exresson de la grandeur hsque Vor A3 II II II.. II M P E D A N C E C O M P E X E :: III.1. Défnton : On consdère un dôle lnéare. es grandeurs caractérstques assocées sont : j( ωt+ ϕu ) jωt u( t) u = U. e = U. e ( ω + ϕ ) ω j t j t ( t) = I. e = I. e (t) u(t) I U Tout dôle lnéare sera caractérsé en régme snusoïdal forcé ar son médance comlexe U = I On écrt l médance comlexe sous la forme j. =. e ϕ avec Alors = + j. X avec : résstance et X : réactance U = et ϕ = ϕu ϕ I On défnt l admttance Y telle que Y 1 = III.2. Cas des dôles, et C On va donc étuder les médances comlexes des dôles, et C. Conventon chose : u(t) = U.cos(ωt) et (t) = I.cos(ωt-φ) φ : retard de (t) sur u(t) j e ϕ Alors =. Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 3 / 8

4 Imédances comlexes Dôle u=f() u=f() (t) / u (t) II V.. E TT U D E D E S E S E A U X I N E A I E S IV.1. Assocaton d médances : Pour N médances assocées en sére : éq = arallèle : 1 éq = 1 ou Yéq = Y Vor A4 IV.2. Transformaton de réseaux : I η ETh =. I η Vor A5 IV.3. Théorème de Mllman (o des nœuds en terme de otentel) : En un nœuds A du réseau, on eut écrre : V A = Y. V + Y j I j avec - branche d médance et de otentel à l extrémté V - branche j arcourue ar un courant I j vers le nœud A Vor A6 Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 4 / 8

5 V.. E P E S E N TT A TT I O N D E F E S N E :: V.1. Défnton : On consdère une grandeur hsque x(t) =X.cos(ωt+ϕ) et sa grandeur comlexe assocée x. a rerésentaton de Fresnel de x(t) corresond à la son mage dans le lan comlexe erésentaton dans le lan comlexe de x(t)=x.cos(ωt+ϕ) Im X ωt+ϕ e V.2. Alcaton : V.2.a. Pour les dôles, et C : ésstance Bobne déale Condensateur Im Im Im e e e V.2.b. Pour une assocaton de dôles es los de Krchhoff s alquent aux rerésentatons des grandeurs électrques dans le dagramme de Fresnel Assocaton sére de dôles (vor A7) - est la grandeur commune aux dôles - Chosr t tel que cette grandeur sot réelle ostve - rerésenter dans le dagramme de Fresnel les tensons our chacun des dôles en sére - Alquer la lo des malles our rerésenter la tenson aux bornes de l ensemble Assocaton arallèle : même rnce en renant u comme grandeur commune V II.. E TT U D E D E S E G I M E S TT A N S I TT O I E S On eut asser de l écrture comlexe ( ermettant des transformatons de réseau ) à l équaton sur les grandeurs hsques en utlsant la corresondance k d x k ( jω ). x our k 0 Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 5 / 8 dt k

6 Alcatons E5 A.1- Exressons de fonctons snusoïdales 2. π e( t) = 4.cos t 10 3 A1-1 erésenter sur un même grahe les deux tensons ( ) 3.cos 2. π π u t = t A1-2 Pour la fgure 1 de la fche de cours, exrmer e(t) et u C (t). A.2 erésentatons comlexes fonctons x(t) de ulsaton ω x X 3.cos ( ω.t ) 2.sn ( ω.t ) π 5.cos ω. t cos ω. t sn ω. t ( ) ( ) 5. e π j ω. t+ 3 3 j A.3- Etude d un crcut en régme snusoïdal forcé erendre le crcut en age 1 de la fche et détermner en foncton, E, ω et C l exresson de u C (t) A.4- Imédances équvalentes - Exrmer en foncton de, et ω l médance du dôle D équvalent à cette assocaton. - Ce dôle engendre-t-l un retard ou une avance de l ntensté sur la tenson? - Pour quelle valeur de ω, en foncton de et π, ce déhasage sera-t-l de ±? 4 u D A A.5- Transformaton de réseaux Détermner les caractérstques du générateur Thévenn équvalent à cet dôle entre e( t) = E.cos ω. t A et B s ( ) e B Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 6 / 8

7 A.6- Théorème de Mllmann Exrmer ar le Théorème de Mllmann la rerésentaton comlexe de la tenson u(t), s : e( t) = 4.cos( ωt) ; 0( t) = 0,1.cos ( ωt) ; = 100 Ω ; = 0,1 H et ω = 400 rad.s e u(t) A.7- Dagramme de Fresnel =. On note ( t) = I.cos( ωt + ϕ ) l ntensté dans le crcut. Détermner les exressons de tanϕ et I. On assoce en sére, et C. On alque aux bornes une tenson e( t) E.cos ( ω. t) A.8- Etuder un crcut en régme transtore On ferme l nterruteur à t = 0, détermner l équaton dfférentelle vérfée ar. C E E (K) Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 7 / 8

8 TDE5/M5 : Oscllateurs en régme forcé Ex1- Détermner l médance du dôle suvant, us l avance de l ntensté sur la tenson à 1 leur borne s ω = : C C Ex2- Mllmann 1- Détermner les caractérstques de la tenson u(t) sachant que le générateur de tenson délvre e(t) = E.cosωt 2- Exrmer ω en foncton de, et C afn que le déhasage entre e(t) et u(t) sot de 4 π. Peut-l s agr d un retard, d une avance? 3- Tracer alors e(t) et u(t). e(t) C u(t) 2 Ex 3- Etude d un ont 1 e (t) ma C 0 0 amèremètre est suosé déal. e ont sera dt équlbré s l ntensté traversant l amèremètre est nulle. 1- Détermner la condton d équlbre our ce ont. 2- En dédure les exressons de et en foncton des autres aramètres 3- Indquer le mode oératore ermettant de réalser l équlbre du ont, sachant que C 0 et 0 sont varables. Ex 4- oscllatons forcées d une artcule sur un cerceau moble. Une artcule, assmlée à un ont matérel M de masse m, se délace sur la ranure ntéreure d un cerceau de ur uur centre O, de raon et d axe horzontal Oz, avec une force de frottement vsqueux f = λ. v r où uur uuuuur uuuur vr = vm / va/ désgne la vtesse relatve de la artcule ar raort au cerceau, et λ un coeffcent ostf constant. A est un ont fxe du cerceau. a artcule est reérée ar l angle orenté θ = ( OX, OM ) où OX désgne la vertcale descendante : on suosera θ ett dans tout le roblème. On désgne ar g l accélératon de la esanteur. a artcule est abandonnée à l nstant t = 0 deus la oston θ = θ0 sans vtesse ntale ar raort au cerceau. e cerceau est anmé d un mouvement oscllatore de rotaton, de fable amltude autour de son axe Oz : ϕ = ϕ.cos Ω t où ϕ = (, ) 0 OX OA 1- Exrmer dans la base assocée aux coordonnées clndrques les vtesses dans le référentel terrestre des ont M et A, en foncton de & θ, et ϕ&. 2- Ecrre l équaton dfférentelle du second ordre vérfée ar θ(t) 3- Détermner l amltude θ M de l élongaton θ(t) en régme forcé, ans que le raon r du cerceau qu ermet d obtenr la résonance d amltude. Ex 5- Constructon de Fresnel 1. erésenter, ar une constructon de Fresnel, la tenson aux bornes d une bobne réelle (,r). 2. On consdère un dôle AB assocant en sére une résstance, la bobne décrte c-dessus et un condensateur de caacté C. Détermner ar une constructon de Fresnel quelle valeur de la caacté C ermet d avor la tenson aux bornes de AB en hase avec l ntensté our une ulsaton ω donnée. 3. Même queston s les dôles sont assocés en arallèle ://(,r)//c. 4. etrouver ces résultats ar le calcul. Erc OuvrardPCSI Phsque cée Duu-de-ôme orent Page 8 / 8