Correction Devoir maison 2

Transcription

1 Uiversité Pierre et Mrie Curie Aée 0/0 LM5 MIME 6 Correctio Devoir miso Exercice Soit R \ {0, } Iitilistio : O motre l propriété u rg. + ( ) = ( ) ( ) = Doc l propriété est vrie u rg. Hérédité : Soit N, quelcoque, fixé. O suppose que Motros l propriété u rg +. = = + ( + ) +. ( ) + = = = Pr hypothèse de récurrece, + = = + ( + ) ( ) + Doc l propriété est héréditire. = + ( + ) + + ( ) ( + ) ( ) + ( ) + = + ( + ) + + ( + )( + ) ( ) + = + ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) + = + ( + ) + ( + ) ( ) + Coclusio O motré pr récurrece que N, Lorsque =, = = = = ( + ) = = + ( + ) +. ( ) (Somme des termes d ue suite rithmétique de riso : fire l preuve pr récurrece) doc u +. Si ]0, [, 0, doc ( ), cr ( ) < 0, et + ( + ) + = + + ( ) +, cr ( ) > 0. Doc u.

2 Si [, + [, +. O + ( + ) + ( ) = + D ue prt ( ) = ( ), ( ) D utre prt ( ) = De plus ( ) 0. Doc + ( ) + ( ) ( ) ( ) 0. u ( ). Exercice L foctio g est cotiue sur [0, [ et sur ], ] cr l foctio f est cotiue, les foctios x x, et x x sot cotiues, et doc les composées sot cotiues. O motre que l foctio g est cotiue e : o rppelle qu ue foctio est cotiue e ssi ses ites à guche et à droite e sot égles. O clcule l ite à guche : x x < g(x) = x x < f(x) = f(). De même à droite, x x > g(x) = x x > f(x ) = f(0) = f(). Doc l foctio g est cotiue e. O bie que l foctio g est cotiue sur [0, ]. Exercice 3. O cherche le ses de vritio de (u ) 0. u + u = u. O doit doc détermier le sige de u : o motre pr ue récurrece fcile que N, u > 0. Doc N, u + u > 0, doc l suite est croisste. O doc deux possibilités : soit l foctio est covergete vers ue ite l R +, soit elle ted vers +. Risoos pr l bsurde. O suppose que u l, vec l R +. l vérifie lors l équtio l = l + ce qui équivut l à l = l +. Cette équtio est jmis vérifiée. Aisi o ue cotrdictio, doc (u ) e coverge ps, doc (u ) diverge vers +.. v + v =... = + u Iitilistio v 0 = > cr u > 0 doc l propriété est vrie u rg 0. > 0. O motre que v pr récurrece : Hérédité Soit N quelcoque fixé. O suppose l propriété vrie u rg : u. v + v v + v + v + + pr hypothèse de récurrece. Doc l propriété est héréditire. Coclusio O motré pr récurrece que N, v.

3 3. O vu à l questio précédete que v + v = + u doc v + v + +. Or v u = u u = v. Doc v + v + + v. O de plus motré que v, doc v v + v + +. Pour motrer l iéglité, o remrque que t [, ], etre et, : ce qui etrîe : dt t dt, dt, ce qui etrîe efi : t v + = v + +. O u (v > 0). Aisi,. O itègre esuite t dt = l() l( ). t O e déduit mitet l iéglité : v + v + [l() l( )] O fit lors l somme sur de ces iéglités etre et. O recoit à guche ue somme télescopique : [v + v ] = v v. = De même à droite, o : [ + ] (l() l( )) = + [l() l( )] = = = + (l( ) l()). O doc v v + l( ) + l( ). Aisi o bie l iéglité : v v + + l( ). O doc v v + l( ) +, c est à dire les iéglités : v v l( ) + + v Or l( ) = 0, et = v Doc d près le théorème de ite pr ecdremet, o =. + Exercice O pose y = x. O remrque que l églité peut se réécrire y R, f(y) = f( y ) O motre mitet le résultt pr récurrece : Iitilistio O iitilise u rg : x R, f(x) = f( x ). Doc l propriété est vrie u rg. Hérédité O suppose l propriété vrie u rg : x R, f(x) = f( x ). Motros l propriété u rg + : o utilise l églité vec z = x, o f(z) = f( z ), et isi x R, f( x ) = f( x ). D ou pr hypothèse de récurrece + x R, f(x) = f( x ). Doc l propriété est héréditire. + Coclusio O motré pr récurrece que x R, N, f(x) = f( x ). 3

4 x x R, = 0. + Comme l foctio f est cotiue, x R, ds l églité, et o obtiet : x R, f(x) = f(0). + f( x ) = f(0). O psse doc à l ite Exercice 5 Soit u réel b > et ( ) 0 ue suite covergete, o oter s ite. b = b+ b (b > ). Motros que pr l formule géométrique, o e déduit que b cr b + b b. Soit ɛ > 0, il existe 0 tel que 0, ɛ/. Premièremet b Pr l iéglité trigulire : b = b b ( ). b b ( ) b b. O découpe l somme e deux prties : b b = ( 0 b + b = 0 b ) D ue prt, comme ɛ pour 0 o : b = 0 b = 0 b ɛ/ ɛ/. b D utre prt, l qutité 0 b est costte (e déped ps de ) et d près l première questio. b. Il existe doc u rg à prtir duquel ( 0 ) b ɛ/. b Pour mx( 0, ), o à l fois b = 0 b = 0 b ɛ/ ɛ/ b

5 et O e déduit que ( 0 ) b ɛ/. b b b ɛ/ + ɛ/ = ɛ L qutité ɛ étt rbitrire, o pr défiitio l covergece souhitée. 3 D près l questio,, o doc pr l questio : b = b+ b b b + b D où De plus, b+ b b, doc b b + b b = b+ b b + b. b b b. 5