L3 STPI Meca Parcours STM et MI FLSI655 : Structures et Dimensionnement. Les treillis. Vincent HUON

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1 L3 STPI Meca Parcours STM et MI FLSI655 : Structures et Dmensonnement Les trells Vncent HUON 1

2 Les trells et portques 1. Rappel sur les poutres rectlgnes. Généraltés sur trells 3. Calculs des efforts dans les barres 4. Calcul des déplacements 5. Exemple complet

3 Les trells et portques 1. Rappel sur les poutres rectlgnes. Généraltés sur trells 3. Calculs des efforts dans les barres 4. Calcul des déplacements 5. Exemple complet 3

4 Sollctatons dans une barre quelconque Rappel sur les poutres rectlgnes F r A B E, S, L L : longueur ntale S : secton E : module d Young Contrante normale σ N = F S Allongement ΔL = FL ES F r ' Condtons d équlbres La barre AB, soumse aux forces F r et est à l équlbre s et seulement s F r et F r ' sont colnéares à AB, de même normes et, de sens opposés F r F r Extenson Compresson Remarque : dans le cas de barres comprmées, l convent en pratque d examner les rsques de flambage F r F r F r ' 4

5 Rappel sur les poutres rectlgnes Formulares des déformatons de flexon plane smple 5

6 Prncpe de superposton Rappel sur les poutres rectlgnes Prncpe de superposton des déformatons Dans la lmte des déformatons élastques, le vecteur déformaton en un pont, dû à un système de forces extéreures est égal à la somme géométrque des vecteurs déformatons dus à chacune des forces du système agssant séparément. Applcaton Sot une poutre AB de longueur l. Cette poutre est encastré en B et supporte : - Une charge vertcale unformément réparte de densté p (N/m); - Une charge concentrée F applquée en C d abscsse a Valeur de la flèche en A Consdérons les charges extéreures comme la superposton : - de la charge réparte seule (Cas 6) - de la charge concentrée seule (Cas 4) Prncpe de superposton : y y A A = y = Acas6 6 F EI + y Acas4 ( l a) ( l + a) pl 8EI G Z G Z 4 6

7 Systèmes hyperstatques d ordre 1 Rappel sur les poutres rectlgnes Système hyperstatque en équlbre Nombre d'nconnues de lason Ns > Nombre d'équatons algébrques d'équlbre rs h défnt le degré d'hyperstatsme (nombre d'équatons complémentares qu'l faudra écrre pour résoudre le système). Exemple d un cas de systèmes hyperstatques de degré 1 Une poutre 1 de secton constante repose r rsur rtros appus de nveau sans adhérence,3 et 4 respectvement en A,Bet C; ces appus sont équdstants. Le plan ( A, x, r y r ) est un plan de symétre pour la poutre et pour les forces extéreures qu lu sont applquées. La poutre est soumse sur toute sa longueur à une charge unformément réparte de densté p (Nlm). 7

8 Rappel sur les poutres rectlgnes Systèmes hyperstatques d ordre 1 r r r A,Bet C Désgnons par les résultantes des actons mécanques des appus, 3, 4 en A, B, C. Modélsons la poutre 1 par sa lgne moyenne et plaçons les résultantes A, B, C des actons des appus. Étude de l'équlbre de la poutre r r r On note A, B, C les normes des vecteurs A,Bet C. Équatons algébrques d'équlbre de 1 : A+B+C-pl = 0 (a) A=C (b) Les équatons algébrques d'équlbre de 1 sont au nombre de rs = alors que le nombre des nconnues de lason est de Ns = 3. La poutre 1 est donc ben en équlbre hyperstatque d'ordre h = 1. Pour résoudre ce système l faut donc une équaton complémentare. 8

9 Systèmes hyperstatques d ordre 1 Rappel sur les poutres rectlgnes Prncpe de superposton des déformatons Il nous permet de trouver cette équaton. Modèle de la poutre 1 soumse seulement à la charge réparte p ; l'appu central 3 en B a été supprmé. pl A 1 = C1 = et pour la flèchepartelleen B: y1b = 4 5pl 384EI Gz 9

10 Systèmes hyperstatques d ordre 1 Rappel sur les poutres rectlgnes Modèle de la poutre 1 soumse seulement à l'acton extéreure de l'appu 3 en B. Ben entendu ce cas de charge est fctf et on observe que les actons partelles des appus et 4 en A et C sont nversées. B A = C = et pour la flèchepartelleen B: yb = 3 Bl 48EI Gz 10

11 Systèmes hyperstatques d ordre 1 Modèle ntal de la poutre et des charges Rappel sur les poutres rectlgnes 4 3 5pl Bl yb = y1b + yb donc + = 384EI 48EI La résoluton du système (a), (b), (c) permet d écrre Gz 3pl 5pl A = ; B = ; B = 16 8 Gz 3pl 16 0 (c) 11

12 Energe de déformaton dans une poutre Energe de déformaton dans un tronçon de poutre Rappel sur les poutres rectlgnes Sot une poutre sollctée dans r une r r secton drote (S) de centre de surface G et de repère local prncpal G, x, y,z, par son torseur de cohéson. Rappel : en sollctatons smples, en un pont M quelconque de (S), l état de contrante est tel que les termes σ y, σ z, τ yz = τ zy sont nuls et par conséquent l expresson caractérstque des contrantes dans la secton drote est donnée sur une facette de normale x r par : τ = τ r Σ r ( M, x) = σ x + τ y + τ z = σ x + τ t + τ r et t ( ) x r xy r Avec : xt xy xz vecteur untare de la contrante tangentelle dans la secton xz r x r xt r 1

13 Energe de déformaton dans une poutre Energe de déformaton dans un tronçon de poutre Rappel sur les poutres rectlgnes Le torseur de cohéson ne dépend que de l'abscsse x, sur la lgne moyenne, de la secton (S). Sur un tronçon nfnment pett dx autour de (S), on consdère néglgeable les varatons du torseur de cohéson. En consdérant dans le tronçon de poutre, le prsme de volume élémentare dv = dx dy dz autour d'un pont M, on en dédut pour l'énerge de déformaton élémentare : du = 1 1 E σ x + 1 G τ xt du = σxds τ E + G (S) (S) dx dydz Auss dans une secton drote (S) donnée, les contrantes x τ xt ne varent qu'en foncton des coordonnées locales (y, z ) du pont M consdéré d'où l'expresson : xt ds dx σ et 13

14 Energe de déformaton dans une poutre Rappel sur les poutres rectlgnes Cas de l extenson compresson Sot une sollctaton d extenson dans la secton drote (S) de la poutre. Le torseur de cohéson dans cette secton est défn en G par : N 0 coh = 0 0 avecn > r v r { τ } G ( x,y,z ) Donc l énerge de déformaton d une poutre en extenson s écrt : du = 1 N dx ES 14

15 Energe de déformaton dans une poutre Rappel sur les poutres rectlgnes Cas de la flexon Sot une sollctaton de flexon autour de l axe dans la secton drote (S) de la poutre. Le torseur de cohéson dans cette secton est défn en G par : { τ } coh = G M 0 fy r v r ( x,y,z ) Donc l énerge de déformaton d une poutre en extenson s écrt : du = 1 M EI fy GY dx ( y) G, r 15

16 Théorème de Castglano : énoncé Rappel sur les poutres rectlgnes F r F r U = u F Les déplacements et les forces sont prs n r au sens généralsé. Par exemple pour un couple C, θ ( P, n r d axe, et de déplacement de rotaton, autour de l axe ), le théorème de Castglano s écrt : U F = θ 16

17 Théorème de Castglano Rappel sur les poutres rectlgnes Cas partculer Consdérons le cas partculer où parm l'ensemble des n forces applquées F r r r ; au solde (E), les deux représentants F1 et F (applqués respectvement en P 1 et P ) soent drectement opposées et de même norme F. On montre que rs l'on r exprme l'énerge de déformaton U à l'ade de la valeur commune F à F1 et F sot U = U(F, F 3,..., F n,), l'applcaton du théorème de Castglano donne : U = F u 1/ avec u 1/ déplacement relatf des deux ponts d'applcaton P 1 et P. Ce résultat sera utle pour la résoluton des systèmes hyperstatques. 17

18 Théorème de Castglano : Théorème de la charge fctve Rappel sur les poutres rectlgnes Le théorème de Castglano => déplacement dans la drecton d'un effort applqué au solde étudé. Par contre, l semble ne pas permettre de détermner des déplacements : - en un pont du solde où aucune force n'est applquée ; - s les charges sont répartes sur une parte du solde. La méthode de la charge fctve permet de répondre à cette nterrogaton. Consdérons un solde (E) soums à un ensemble quelconque de forces concentrées F r ou répartes p r. On souhate détermner en un pont P le déplacement algébrque u dans une drecton. Consdérons une charge fctve f applquée en P dans la drecton de. L'énerge de déformaton dans le solde est alors une foncton de l'ensemble des forces : U = U(p F,F f ). Applquons ensute le théorème de Castglano en ntrodusant au terme de la dérvaton, le fat que la charge fctve F f sot nulle d'où : ( p, F F ) U, F = u f F = 0 f Cette relaton forme le théorème de la charge fctve. F r f n r n r 18

19 Résoluton des systèmes extéreurement hyperstatques Rappel sur les poutres rectlgnes Sot une structure (E) soumse à un ensemble de m forces F r applquées aux ponts P. L énerge de déformaton est : U = U(F 1, F,, F,, F m ) Solde en lason avec l extéreur de telle sorte que l ensemble sot extéreurement hyperstastque de degré n. (E) est soums à k acton de lason de norme R. On consdère les n premères composantes comme les nconnues hyperstatque R r Equaton de la statque k-n actons de lason R en foncton des m forces et des n nconnues de lason choses comme nconnues hyperstatques : R =f (F 1, F,, F,, F m, R 1, R,, R n ) avec =n+1 à k 19 F r

20 Résoluton des systèmes extéreurement hyperstatques Rappel sur les poutres rectlgnes Sot une structure (E ) rendu sostatque en lbérant les ddl correspondant aux n nconnues hyperstatques de lason et en consdérant ces derners comme des forces données dont les ponts d applcaton ont un déplacement nul. Energe de déformaton de (E ) : U = U (F 1, F,, F,, F m, R 1, R,, R n ) Théorème de Ménabréa : U R = 0 = 1à n 0

21 Les trells et portques 1. Rappel sur les poutres rectlgnes. Généraltés sur trells 3. Calculs des efforts dans les barres 4. Calcul des déplacements 5. Exemple complet 1

22 Défnton Généraltés sur les trells Un système rétculé (ou trells) est un système composé de barres drotes artculées entre elles à leurs extrémtés. On appelle nœuds les ponts d artculaton communs à pluseurs barres. Lorsque les barres et les forces applquées sont dans un même plan, le système est un système rétculé plan. Un système trangulé est un système rétculé formé de trangles uxtaposés.

23 Utlsaton Avantages : légèreté, économque, nerte flexonnelle adaptée par varaton de hauteur de la poutre Inconvénents : temps de mse en œuvre mportants Généraltés sur les trells Matéraux : acer, bos, alumnum 3

24 Hypothèses Pour détermner les actons de lason, on assmlera le système rétculé à un système matérel rgde Par défnton, un système matérel est consttué de soldes au sens de la statque, ces soldes sont donc ndéformables, les barres ont une longueur nvarante quel que sot l ntensté des efforts normaux et on néglge la déformaton axale des barres provenant des sollctatons de tracton ou compresson. Par rgde, on entend que le trells est stable (sostatque ou hyperstatque) Généraltés sur les trells Les barres sont modélsées par leur lgne moyenne (lgne passant par le CDG des sectons drotes). On suppose les barres artculées sans frottement aux nœuds (artculaton parfate d axe z perpendculare au plan du trells) En pratque, en constructon métallque le nœud est consttué d une plaque nommée gousset sur laquelle les barres sont le plus souvent boulonnées ou soudées. De plus certanes barres sont contnues au passage d un nœud. Parfos, lorsque les barres sont des profls creux, elles sont soudées au nveau de leurs ntersectons. Néanmons tant que la longueur des barres reste grande devant les dmensons de l assemblage, on peut consdérer sans grande erreur (quelques %) que cet assemblage se comporte comme une artculaton. 4

25 Hypothèses On néglge le pods propre des barres devant les autres charges sollctant le trells. Les forces extéreures sont touours ponctuelles et applquées au nœuds. Les calculs sont condut exclusvement en élastcté. Généraltés sur les trells Les lasons avec l extéreur sont des appus fxes ou des appus mobles 5

26 Degré d hyperstatsme extéreur et ntéreur Généraltés sur les trells Avant de résoudre un système à nœuds artculés, l convent d'examner les degrés d'hyperstatsme extéreur et ntéreur pouvant complquer la résoluton. On note pour un système plan donné : - b le nombre de barres ; - n le nombre de nœuds ; - r le nombre d'nconnues de lason avec l'extéreur. Le nombre total n d'nconnues statques est la somme des b efforts ntéreurs dans les barres et des r nconnues de lasons : n = b + r. S l'on sole un nœud, on remarque que les forces s'exerçant sur ce nœud sont toutes concourantes en celu-c. En conséquence, l'équlbre statque du nœud mplque la nullté de la résultante des forces, sot l'obtenton dans le plan de deux équatons algébrques d'équlbre statque par nœud. Le nombre total n e d'équatons de la statque dsponble dans le plan est donc : n e = n. Le degré d'hyperstatsme h du système se décompose en h e degrés d'hyperstatsme extéreur et h degrés d'hyperstatsme ntéreur. Auss, on a la relaton : h=h e +h =n e -n. 6

27 Degré d hyperstatsme extéreur et ntéreur Généraltés sur les trells Parm les n e équatons, tros suffsent à détermner les nconnues de lason d'un système sostatque extéreurement. Cette remarque amène à écrre la dernère relaton sous la forme : Degré d'hyperstatsme extéreur [ r 3] + [ b ( n )] h = h e h - S r <3 ; h e < 0 : le système est nstable extéreurement. Les condtons d'appus sont nsuffsantes. -S r = 3 ; h e = 0 : le système est sostatque extéreurement. Les actons de lasons sont entèrement détermnées par les équatons de la statque. -S r > 3 ; h e > 0 : le système est hyperstatque extéreurement. Il est nécessare d'écrre des équatons supplémentares pour détermner les actons de lasons. 7

28 Degré d hyperstatsme extéreur et ntéreur Degré d'hyperstatsme ntéreur Généraltés sur les trells - S b < n - 3 ; h < 0 : le système est nstable ntéreurement. Les efforts extéreurs déforment énormément la structure s ben qu'elle ne satsfat plus à l'hypothèse des petts déplacements énoncée en résstance des matéraux. - S b = n - 3; h = 0 : le système est sostatque ntéreurement. Les efforts ntéreurs dans les barres sont entèrement détermnés par les équatons de la statque. - S b > n-3 : h > 0 : le système est hyperstatque ntéreurement. Il est nécessare d'écrre des équatons supplémentares pour détermner les efforts ntéreurs. 8

29 Les trells et portques 1. Rappel sur les poutres rectlgnes. Généraltés sur trells 3. Calculs des efforts dans les barres 4. Calcul des déplacements 5. Exemple complet 9

30 Méthode d équlbre des nœuds Système plan sostatque Calcul des efforts dans les barres Sot un système plan à n nœuds artculés dans r r un repère ( O, x, y). Isolons un nœud quelconque relant pluseurs barres. Sur ce nœud s'exercent un certan nombre d'efforts extéreurs F r et d'efforts normaux N r k dans les barres. L équlbre du nœud s écrt : F N = 0 k r k + Sot ϕ k et ϕ les angles entre l'axe x r et respectvement la drote d'acton des efforts extéreurs et ntéreurs. La proecton de la relaton vectorelle c-dessus sur les axes du repère permet d'écrre pour le nœud deux équatons algébrques : Fk cosϕk + N cosϕ = 0 k Fk snϕk + N snϕ = 0 k r r 30

31 Méthode d équlbre des sectons Système plan sostatque Calcul des efforts dans les barres Les équatons de la statque fournssent tros équatons d'équlbre pour tout ou parte d'un système plan solé. S le système est sostatque, l'solement de la structure entère permet d'obtenr les actons de lasons. La méthode d'équlbre des sectons ou << méthode de Rtter >> consste à soler une parte du système de telle sorte que n'apparassent que tros nconnues d'efforts ntéreurs. Les drotes d'acton de ces nconnues étant souvent concourantes, on écrt de préférence, parm les équatons de la statque dsponbles, les équatons de moment par rapport à ces ponts de concours. Cette démarche a pour effet de ne conserver qu'une nconnue dans l'équaton obtenue. 31

32 Méthode d équlbre des sectons Exemple Calcul des efforts dans les barres Sot un système trangulé consttué de barres de longueur untare et sollcté r aux r nœuds r sommets C et D par deux forces. Equlbre statque de la structure entère F1 = F = Fy r r R = R Isolons la parte gauche de la structure en effectuant une coupure fctve au travers des sectons des barres, 3 et 4. On remarque qu'une équaton algébrque de moment en E permet le calcul de l'nconnue N4. Hypothèse de traval. On suppose chaque effort normal postf (N > O, barre en extenson). S le calcul contredt cette hypothèse (N < O), la barre est donc comprmée. A B r = Fy La méthode d'équlbre des sectons est smple et applcable dans la plupart des systèmes à nœuds artculés. Elle est très pratque pour obtenr un effort partculer 3

33 Levée de l hyperstatsme Calcul des efforts dans les barres Dans le cas d'un système hyperstatque extéreurement et/ou ntéreurement, l convent d'applquer les méthodes de levée de l'hyperstatsme utlsant les théorèmes de Catglano-Ménabréa. Rappelons que dans une barre d'un système à nœuds artculés ne règne qu'un effort normal N constant tout le long de la barre. L'énerge de déformaton U de cette barre de longueur L, de secton S et de module d'young E s'écrt donc : U = 1 N L E S Pour un système composé de b barres, l énerge totale U a pour expresson : U = b b U = = 1 = 1 ES 1 N L 33

34 Les trells et portques 1. Rappel sur les poutres rectlgnes. Généraltés sur trells 3. Calculs des efforts dans les barres 4. Calcul des déplacements 5. Exemple complet 34

35 Théorème de Castglano et de la charge fctve Calcul des efforts dans les barres La connassance des efforts ntéreurs et de lason permet d'écrre l'expresson de l'énerge de déformaton du système, cec à l'ade de la relaton (vor parte rappel). Au nœud et dans la drecton d'un effort extéreur, le déplacement est donné par le théorème de Castglano. Pour tout autre déplacement, on a recours à l'ntroducton d'une charge extéreure fctve (vor le théorème de la charge fctve). Méthode de compatblté des déplacements ( O, x, y) Sot une barre de longueur L dans un plan. Les nœuds extrémtés de la barre ont pour coordonnées : A (x, y ) et A (x, y ). La barre fat un angle ϕ avec l'axe O, x r. ( ) r r 35

36 Méthode de compatblté des déplacements Calcul des efforts dans les barres Longueur de la barre L : L = ( x x ) + ( y y ) Au cours d'une pette déformaton, les nœuds A et A vennent se postonner en ' ' A (x + dx, y + dy) et A (x + dx, y + dy ) et la barre subt en conséquence un pett allongement dl. Fasons apparaître ces termes en dfférencant la relaton précédente : L dl = ( x x )( dx dx ) + ( y y )( dy dy ) 36

37 Méthode de compatblté des déplacements Calcul des efforts dans les barres Notons les petts déplacements suvant les axes du plan u = dx ; u = dx ; v = dy ; v = dy et dvsons l'expresson précédente par L afn de fare apparaître les termes : cosϕ x x et sn = ϕ L dl = u = y u y On a alors : ( ) ( ) L cosϕ + Dans la barre, La lo de Hooke s'écrt : v v N = S snϕ E dl L Compatblté des déplacements avec l effort normal N : ( u ) cosϕ + ( v v ) u snϕ = NL E S Concluson : Connassant les efforts dans les barres et un mnmum de condtons en déplacement, en partculer aux lasons (certans déplacements y sont nuls), on peut détermner les déplacements de tous les nœuds du système. 37