PROBABILITES Révisions

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Florent Renaud
il y a 6 ans
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1 EXERCICE : Cacuer, pour Soit,,3, 4,5,6, ( ), itégrae I PROBABILITES Révisios x dx. 0 x ; détermier e rée pour que o défiisse ue probabiité p sur e posat, pour tout etier,6 p I Quee est a probabiité de évéemet,,3? EXERCICE :, Détermier e rée pour que o défiisse ue probabiité p sur tout etier ature o u, 0,. EXERCICE 3 : E posat, pour tout etier ature o u, p,?, e posat, pour p r r où r est u rée apparteat à itervae défiit-o ue probabiité p sur EXERCICE 4 : tirages éémetaires Ue ure cotiet 5 boues rouges, 3 vertes et beues. Les boues sot idiscerabes au toucher. O tire au hasard boues (es tirages sot supposés équiprobabes). E distiguat es tirages successifs (avec ou sas remise) et es tirages simutaés. Quee est a probabiité d obteir : a. boues rouges b. Ue boue beue puis ue boue rouge c. Ue boue beue et ue boue rouge d. Au mois ue boue rouge e. boues de même coueur. EXERCICE 5 : Ue ure cotiet 6 boues idiscerabes au toucher : 4 vertes et deux jaues. O tire au hasard, deux fois de suite, deux boues simutaémet, es boues état pas remises das ure. Cacuer a probabiité de évéemet : «ue boue verte et ue boue jaue sot tirées au cours du deuxième tirage de deux boues». EXERCICE 6 : Des pièces fabriquées das ue usie peuvet préseter deux types de défaut, otés A et B. Des études statistiques ot motré que : 8% des pièces présetet e défaut A Parmi es pièces atteites du défaut A, 5 % présetet e défaut B Parmi es pièces o atteites du défaut A, 5% présetet e défaut B. O choisit au hasard ue pièce produite. Détermier es probabiités des évéemets suivats : ) La pièce présete es défauts A et B

2 ) La pièce présete e défaut B mais e présete pas e défaut A 3) La pièce présete e défaut B 4) La pièce e présete i e défaut A i e défaut B. EXERCICE 7 : Ue usie d horogerie fabrique ue série de motres. La fabricatio comporte deux phases.a première phase fait apparaître u défaut «a» das % des cas ; a secode phase u défaut «b» das 0 % des cas Ue motre est tirée au hasard. O défiit es évéemets suivats : A : «a motre présete e défaut a» B : «a motre présete e défaut b» O suppose que es évéemets A et B sot idépedats Cacuer a probabiité des évéemets suivats : C : «a motre présete es deux défauts» D : «a motre e présete aucu des deux défauts» E : «a motre présete u et seu des deux défauts» EXERCICE 8 : ) Démotrer que, pour tout rée x 0 et pour tout etier 0 x x., o a ) O dispose de boues umérotées de à.o pace toutes es boues au hasard das boîtes (chaque boîte pouvat coteir de 0 à boues) O désige par P a probabiité que chaque boîte cotiee exactemet ue boue. Motrer! que P. P 3) E utiisat ) motrer que, pour tout etier > 0, o a. P E déduire que P.Quee est a imite de P quad ted vers EXERCICE 9 : ora ESCP 00 O cosidère deux ures U etu.o suppose que U (respectivemetu ) cotiet boues oires et b boues baches (respectivemet boues oires et b boues baches Les etiers atures, b, et b sot tous o us O choisit de faço équiprobabe ue des deux ures puis o y effectue deux tirages successifs d ue boue avec remise Soit N (respectivemet N ) évèemet «o tire ue boue oire au premier (respectivemet au secod) tirage» ) Quee est a probabiité de N? Quee est a probabiité de N? ) Quee est a probabiité de tirer ue boue oire au secod tirage sachat que o a tiré ue boue oire au premier tirage? 3) Les évèemets Net N sot-is idépedats? EXERCICE 0 : ESCP E 984 Deux joueurs A et B disposet d u dé équiibré et fot ue partie seo a rège suivate : A ace e dé : S i obtiet as, i est décaré gagat et e jeu s arrête. S i obtiet ou 3, c est à B de jouer. S i obtiet 4, 5, ou 6 a partie est décarée ue et e jeu s arrête. Lorsque B ace e dé : S i obtiet as, ou 3 i est décaré gagat et a partie s arrête. S i obtiet 4 ou 5, c est à A de jouer seo a rège ci-dessus.

3 S i obtiet 6 a partie est décarée ue et e jeu s arrête. Cacuer es probabiités des évéemets : A «Le joueur A est décaré gagat au i ème acer» i i G A : «Le joueur A est décaré gagat» G B : «Le joueur B est décaré gagat» N : «La partie est décarée ue» I : «a partie se poursuit idéfiimet» EXERCICE : Soit. Ue ure cotiet ue boue rouge, ue boue bache et ue boue oire. O tire successivemet boues de cette ure, avec, après chaque tirage, remise das ure de a boue tirée. ) Quee est a probabiité pour que a première et a derière boue tirée soiet de a même coueur? ) Quee est a probabiité d obteir au mois ue boue rouge au cours de ces tirages? 3) Quee est a probabiité d obteir au mois ue boue de chaque coueur au cours de ces tirages? EXERCICE : Soit u etier ature. O dispose de uresu, U,..., U. L ure U k cotiet k boues baches et k boues oires ) O choisit ue ure au hasard, puis o tire successivemet avec remise boues de cette ure. Quee est a probabiité d obteir boues baches? ) Même questio qu au ) e cosidérat cette fois-ci que e tirage des boues se fait sas remise? EXERCICE 3 : O doe etiers et N tes que N 3 et N.O cosidère N ures U, U,..., U N tees que pour tout j,,..., N ure U j cotiee j boues baches et N+-j boues oires. ) O tire ue boue d ue ure prise au hasard. a) Cacuer a probabiité que a boue obteue soit bache. b) La boue tirée est bache ; cacuer a probabiité pour a boue tirée viee de ure U ou de ureu N. ) O tire simutaémet boues d ue ure prise au hasard. Démotrer a formue N j N j puis cacuer a probabiité d obteir boues baches. EXERCICE 4 : Ue ure U cotiet boues rouges, 3 boues beues et 5 boues vertes. Ue ure U cotiet 4 boues rouges et 5 boues beues. Ue ure U 3 cotiet 3 boues beues et 6 boues vertes. O procède à expériece suivate : o tire au hasard ue boue deu que o pace dasu, puis o tire au hasard ue boue de U que o pace das U 3 et efi o tire au hasard ue boue de U3que o pace dasu Quee est a probabiité que a compositio de ure U ait pas variée à issue de ces trois maipuatios?

4 EXERCICE 5 : U dé hoête est acé ue ifiité de fois. Cacuer a probabiité pour que as apparaisse jamais. EXERCICE 6 : O dispose de deux jetos A et B que o peut pacer das deux cases C0 etc, et d u dispositif permettat de tirer au hasard et de maière équiprobabe, ue des ettres abou, c.au début de expériece, es deux jetos sot pacés das C 0.O procède aors à ue série de tirages idépedats de ue des trois ettres abou, c. Si a ettrea est tirée, o chage e jetoa de case, Si a ettre b est tirée, o chage e jeto B de case, Si a ettrec est tirée, o e chage pas e pacemet des jetos. ) Soit u etier strictemet positif. Détermier a probabiité que, à 'issue de a ieme opératio, e jetoa 'ait jamais quittéc 0. ) Quee est a probabiité que e jeto A reste idéfiimet dasc 0? EXERCICE 7 : Pau possède u sac qui cotiet au début 3 bies vertes et bie rouge. I joue avec so copai Luc de a faço suivate ; à chaque étape Luc ajoute 3 bies vertes das e sac, puis i tire de faço équiprobabe ue bie du sac et a garde. Le jeu s arrête dès que Luc tire a bie rouge. ) Vérifier que, pour tout etier ature, o a ) Cacuer, pour tout etier ature o u ; a probabiité de évéemet G : «Luc a pas tiré a bie rouge à issue des premiers tirages» 3) Motrer que, pour tout etier ature o u, 6 PG 6 probabiité de évéemet G : «Luc e tire jamais a bie rouge».e déduire a EXERCICE 8 : Les ombres a et b sot des etiers atures o us tes que a b O effectue das ue ure coteat iitiaemet b boues baches et b boues oires ue suite ifiie de tirages avec remise e rajoutat das ure a boues baches suppémetaires après chaque tirage ayat doé ue boue bache ) Cacuer a probabiité de évèemet B : «es premiers tirages ot tous ameé ue boue bache» b b ) Motrer que orsque k ted vers b ka ka 3) E déduire a probabiité que tous es tirages amèet ue boue bache

5 EXERCICE 9 : Travaux préimiaires à exercice 0 Soit u espace probabiisé, TP, Soiet es évéemets A,..., A,... Ecrire à aide des opératios esembistes es évéemets suivats : ) Tous es évéemets A se réaiset ) I y a ue ifiité d évéemets A qui se réaiset 3) Seu u ombre fii d évéemets A se réaise 4) I y a ue ifiité d évéemets A qui e se réaiset pas 5) Tous es évéemets A se réaiset à partir d u certai rag EXERCICE 0 : ESCP 0 ) Motrer que pour tout x, o a x e x ) O dispose d ue ure vide au départ. Le premier jour, ue persoe met ue boue umérotée das ure, a tire, ote so uméro et a remet das ure Esuite, à chaque ouvee jourée, ee ajoute ue boue qui porte e uméro du jour cosidéré, ee tire aors ue boue au hasard, ote e uméro de cette boue et a remet das ure. Le processus de poursuit idéfiimet a) Soiet et E, E,... E ue famie de évèemets idépedats. PE i i Motrer que o a P Ei e i b) O ote, pour tout etier k o u, Ak évèemet «a boue umérotée 0 sort du ème k tirage» Que vaut a probabiité de A k? ème c) Quee est a probabiité que a boue 0 sorte au mois ue fois à partir du tirage où est u etier ature o u fixé? d) Quee est a probabiité que a boue umérotée 0 sorte ue ifiité de fois? e) Cacuer a probabiité que e 0 sorte ue ifiité de fois de suite 3) O suppose cette fois que a persoe rempit ure de sorte qu i y ait das ure boues, umérotées de à ème, e jour (ee met doc ue boue umérotée e premier jour, trois boues umérotées, 3,4 e deuxième jour, ciq boue e troisième jour ) Comme à a questio précédete, ee tire aors ue boue, ote so uméro et a remet immédiatemet das ure a) Soiet et E, E,... E ue famie de évèemets. Motrer que o a P Ei PEi i i b) Cacuer a probabiité que e 0 sorte ue ifiité de fois

6 EXERCICE : EDHEC AST 004

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