Août 2017 (1 heure et 45 minutes)

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1 Août 017 (1 heure et 45 miutes) 1. a) Soit A, sous-esemble majoré o vide de IR. Défiir: - poit d accumulatio de A - supremum et maximum de A (1 pt.) b) Compléter chaque lige du tableau suivat par u sous-esemble A de IR, s il e existe, qui est o vide et différet de IR correspodat aux caractéristiques idiquées ou par s il e existe pas. Justifier soigeusemet ue répose au choix. Caractéristiques de A A possède ue ifiité d élémets et l itérieur de A est vide A est i ouvert, i fermé et e posséde pas de maximum A (o vide et differet de IR) IN [,7) A posséde u poit d accumulatio et 1 { : IN pas de poit itérieur 0 } A est ouvert et est i majoré, i mioré (-,3) (5,+ ) (3 pts.). a) Défiir : - suite réelle borée. - sous-suite d ue suite réelle. (1 pt.) b) Démotrer que l esemble des termes d ue suite covergete est boré. (1.5 pt.) c) Compléter les cases des deux premières coloes du tableau suivat par «oui» ou «o». Doer, das la troisième coloe, si elle existe, la valeur das IR de la limite de la suite. Idiquer si elle 'existe pas das IR. Justifier soigeusemet les réposes d ue lige du tableau au choix (remarque : IN0 ). (u ) borée covergete lim u oui oui cos ( ) oui oui 3 cos( ) o o 3. a) Eocer la coditio écessaire du premier ordre relative aux extrema d ue foctio f(x). Quelle est la cotraposée de cette propositio? (3 pts.) (1 pt.) b) Eocer et démotrer la coditio suffisate du secod ordre relative aux extrema d ue foctio f(x), das le cas d u maximum. (1.5 pt.) c) Soit f(x) x e si x < x 3x 1 si x (1) Etudier la cotiuité et la dérivabilité de f(x) e x. Justifier soigeusemet.. () Le graphe de la foctio y f(x) possède-t-elle ue tagete e so poit d abscisse? Si oui, détermier l équatio de cette tagete. Si o, pourquoi? (3.5 pts.)

2 4. Soit f : DIRIR:x f(x) et a, u poit itérieur de D. Remplacer. par ou das les liges suivates : (1) f cotiue e a. f dérivable e a () f dérivable e a. f cotiue e a (3) f possède u extremum e a. f (a) 0 (4) a est u poit critique de f.... f possède u extremum e a Justifier ue répose (au choix parmi (1), (3) et (4)) ; pour ue répose, éocer la propriété correspodate, pour ue répose, doer u cotre-exemple justifié. 5. Doer (répose fiale uiquemet) ( pts.) a) pour la foctio f(x) l x. x 5 - so domaie de défiitio IR \ {,5} - les équatios de toutes ses asymptotes verticales (idiquer s il y e a pas) x x5 b) pour le poit a (-,) et la droite D d équatio y - x + 3, (1 pt.) - l équatio de la droite D, perpediculaire à la droite D et passat par le poit a 1 y.x + 3 (0.5 pt.) - les coordoées du poit d itersectio de D et D. (0,3) (0.5 pt.) c) l'approximatio de Taylor d'ordre 1 de f(x) 7+ l(x 1) l(1 5x) au voisiage de a 0 (approximatio de Mac Lauri). 7-3 x (0.5 pt.)

3 Répose questio 1 a) Soit A, u sous-esemble majoré o vide de IR. U poit a est u poit d'accumulatio de A ssi il existe ue suite de poits de A, disticts de a, qui coverge vers a. Si A est majoré, il possède u et u seul plus petit majorat: le supremum de A. Si A est u esemble majoré, le réel m est u maximum de A ssi m est supremum de A et m A Répose questio 1 b) Caractéristiques de A A (o vide et differet de IR) A possède ue ifiité d élémets et l itérieur de A est vide IN A est i ouvert, i fermé et e posséde pas de maximum [,7) A posséde u poit d accumulatio et 1 { : IN pas de poit itérieur 0 } A est ouvert et est i majoré, i mioré (-,3) (5,+ ) Justificatio de A [,7) est i ouvert, i fermé et e possède pas de maximum : A est pas ouvert car Î A, mais est pas itérieur à A (tout itervalle ouvert o vide cetré e cotiet des poits <, doc extérieurs à A) ; A est pas fermé car 7 est adhéret à A (la suite (7-1 ), par exemple, est ue suite de poits de A qui coverge vers 7), mais 7 A ; A a pas de maximum car l esemble des majorats de A est [7,+ ), doc le supremum de A est 7, mais comme 7 A, A a pas de maximum. Répose questio a) Ue suite réelle (u ) IN 0 est borée ssi il existe deux ombres réels c et d tels que IN 0 : c u d. Ue sous-suite d ue suite réelle ( u ) est ue suite obteue e supprimat des termes de la suite ( u ) Répose questio b) L esemble des termes d ue suite covergete est boré Preuve : Soit (u ) IN, ue suite covergete de limite u. O a 0 N IN: N u u. De là, pour 1, N IN: N u u 1. Soit M, le plus grad des ombres u0 u, u1u, u u,..., un u,1. Alors, u u M pour tout de IN et u Mu u M pour tout de IN, d où la thèse.

4 Répose questio c) (u ) borée covergete lim u oui oui cos ( ) oui oui 3 cos( ) o o Justificatio de la lige correspodat à la suite cos ( ). O a 1 sipair cos( ), d où 1 si impair cos ( ) 1 IN 0. Dès lors, cos ( ) 3 IN 0 cos ( ) est ue suite costat de valeur 3. Elle coverge doc vers 3 (sa limite vaut le réel 3), elle est doc covergete et, par coséquet, bormée, puisque toute suite covergete est borée. et Répose questio 3 a) Coditio écessaire du premier ordre : Soit f: D IR: x f(x) et a, u poit itérieur de D. Si f est dérivable e a et si f admet u extremum local e a, Alors f '(a) 0. La cotraposée de cette propositio est : Si f est dérivable e a et si f (a) 0, alors f admet pas d extremum e a Répose questio 3 b) Coditio suffisate du secod ordre Si a est poit critique de f, si f est dérivable deux fois e a, si f (a) < (>) 0, alors f possède maximum (miimum) local e a. Preuve (cas d u maximum) f'(x) f'(a) f'(x) O a f "(a) lim lim xa xa xaxa f'(x) (puisque a est poit critique de f). Doc, lim 0. x a x a Il s esuit que f'(x) 0 x a sur V \ {a} où V est u voisiage de a, et o costate que f (x) a pas le même sige à gauche et à droite de a (f > 0 avat et f < 0 après puisque f'(x) 0 x a possède u déomiateur < 0 ou > 0 selo que x < a (avat) ou x > a (après)). La thèse suit alors du fait que f est (cotiue et) croissate avat a et décroissate après a.

5 Répose questio 3 b) O a f(x) x e si x <. x 3x 1 si x (1) Etude de la cotiuité et de la dérivabilité de f e x. (a) Etude de la cotiuité de f(x) e x O a x x e lim e x x. La foctio est cotiue (et dérivable) das IR (composée de (-x), foctio polyôme, cotiue u (et dérivable) das so domaie de défiitio IR et de e, cotiue (et dérivable) das so domaie de défiitio IR) et, par coséquet, elle est cotiue (et dérivable) e x, doc x x x 0 lim e e e 1. D autre part, o a x x dérivable) das IR, doc e x. Par coséquet, lim ( x 3x 1) qui est la limite d ue foctio polyôme, cotiue (et x x lim ( x 3x 1) Comme x x 1 Î IR, x existe das IR et vaut 1. Et comme f() 1, la foctio f(x) est cotiue e x. (b) Etude de la dérivabilité de f(x) e x 1 ) O a f(x) f() lim x x x x e 1 lim x? O costate que x x lim (e 1) 0 (similaire au raisoemet de (a)) et lim (x ) 0 (lim. fct. x polyôme). Ce calcul de limite doe doc ue opératio idétermiée «0 0». O a le théorème de de l Hospital : Soiet g : D IR : x g(x) et h : D IR : x h(x). Si g et h sot dérivables das u voisiage à gauche de a et Si lim g(x) lim h(x) 0 et xa xa g'(x) Si lim existe das IR x ah'(x) g(x) g'(x) Alors lim lim. x ah(x) x ah'(x)

6 x E preat g(x) ( e 1) et h(x) (x ), o costate que x les foctios ( e 1) et (x ) sot dérivables au voisiage gauche de x (elles sot toutes deux dérivables das IR), x x lim (e 1) 0 et lim (x ) 0 (voir plus haut) g'(x) lim h'(x) x x x x (e 1)' lim (x )' e lim 1 x x Par le théorème de de l Hospital cité ci-dessus, o a x -1 (lim. fct. C e x ), doc existe das IR. x x e 1 lim -1 et, par coséquet, x f(x) f() lim -1 qui appartiet à IR, doc f(x) est dérivable à gauche e x et f g () -1. x ) O a f(x) f() ( x 3x 1) 1 -x 3x -(x-1)(x-) lim lim lim lim lim (x 1) x x x x x x x x x polyôme) qui appartiet à IR, doc f(x) est dérivable à droite e x et f d () (lim. fct. Comme les dérivées à gauche et à droite e x existet et sot égales, f(x) est dérivable e x et f () -1. () Le graphe de la foctio y f(x) possède ue tagete e so poit d abscisse x puisqu elle est dérivable e ce poit! L équatio de la tagete T e ce poit est doée par Comme f() 1 et f () -1, o a T y f() f '().(x ). T y1 ( 1).(x ) ou ecore T y x 3. Répose questio 4 (1) f cotiue e a. f dérivable e a () f dérivable e a. f cotiue e a (3) f possède u extremum e a. f (a) 0 (4) a est u poit critique de f.... f possède u extremum e a Justificatio de : (1) f cotiue e a. f dérivable e a : La foctio f(x) x, par exemple, est cotiue das IR, doc e x 0, mais est pas derivable e ce poit puisque sa dérivée à gauche e x 0 existe et vaut -1, tadis que sa dérivée à droite e x 0 existe et vaut 1.