4 Loi binomiale. 4.1 Loi de Bernoulli. 4.2 Loi binomiale. Leçon n o
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- Beatrice Cousineau
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1 Leço o 4 Loi biomiale 9 Niveau Première S + SUP (Covergece) Prérequis Variable aléatoire, esérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso Référeces [11], [12], [13], [14] 41 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit E ue éreuve comortat deux issues (succès et échec) O ote la robabilité de succès Soit X la variable aléatoire qui est égal à 1 e cas de succès et 0 sio Alors, o dit que X suit u loi de Beroulli de aramètres O ote alors X Ber() R 42 Si X Ber(), o otera : P (X 1) et P (X 0) 1 q Exemle 43 O lace u dé o ié O ote X la variable aléatoire qui red comme valeur 1 si la face 6 aaraît lors du lacer et 0 sio La variable aléatoire X est ue variable aléatoire qui suit la loi de Beroulli de aramètres 1/6 Doc X Ber(1/6) Lemme 44 Si X Ber() alors X 2 Ber() Preuve O a X 2 (Ω) {0, 1} et : doc X 2 Ber() P (X 2 1) P (X 1) Proositio 45 Si X Ber() alors : 1 E(X) 2 Var(X) q Preuve O a : et : E(X) P (X 0) 0 + P (X 1) 1 q 0 + 1, Var(X) E(X 2 ) E(X) 2 E(X 2 ) 2 or X 2 Ber(), doc o a : E(X 2 ) E(X) Aisi, Var(X) 2 q 42 Loi biomiale
2 10 Leço o 4 Loi biomiale Défiitio 46 Loi biomiale Soit Ω l uivers associé à ue exériece aléatoire Soit X ue variable aléatoire défiie sur Ω O dit que X suit ue loi biomiale de aramètres N et [0, 1] lorsque : 1 X(Ω) {0, 1,, } ; 2 our tout {0, 1,, }, P (X ) ( ) (1 ) ( ) q Si X suit ue loi biomiale de aramètres et alors o ote X Bi(, ) R 47 Soit X Bi(, ) O a bie défii ue variable aléatoire car : ( ) P (X ) q [ + (1 )] Théorème 48 Soit E ue éreuve comortat deux issues (succès et échec) O ote la robabilité de succès O ote fois, de faços idéedates, l éreuve E Soit X la variable aléatoire corresodat au ombre de succès Alors : X suit ue loi biomiale de aramètres et Preuve La robabilité d avoir succès suivis de succès suivis de échecs est : (1 ) Mais les succès et les échecs aaraisset as écessairemet das cet ordre O cosidère l esemble des «mots»de lettres qui e cotieet que des S (Succès) et des E (Échecs) O sait qu il y e a exactemet ( ) qui cotieet exactemet fois la lettre S (et doc fois la lettre E) O e déduit m et ceci our tout {0, 1,, } P (X ) (1 ) R 49 1 La robabilité d avoir succès : P (X ) et d avoir aucu succès P (X 0) q Par coséquet, la robabilité d avoir au mois u succès est : P (X 1) 1 P (X 0) 1 q 2 La loi de Beroulli est u cas articulier de la loi biomiale où l éreuve E est réalisée qu ue seule fois 3 Toute variable aléatoire X suivat ue loi biomiale de aramètres N et [0, 1] eut s écrire comme somme X X X où, our tout {0, 1,, }, X est ue variable aléatoire suivat ue loi de Beroulli de aramètre (X vaut 1 e cas de succès à la e réalisatio de E et 0 sio) Exemles 410 La robabilité qu u tireur atteige sa cible est 3 4 O suose qu il fait deux tirs et o ote X la variable aléatoire associat à cette éreuve le ombre de succès obteus (X 0, 1 ou 2) 1 Calculer la robabilité des évéemets {X 0}, {X 1} et {X 2} 2 Calculer 2 0 P (X ) 3 O suose qu il fait set tirs et o ote Y la variable aléaoire associat à cette éreuve le ombre de succès obteus Calculer P (X 1) et P (X 2)
3 43 Proriétés sur les coefficiets biomiaux 11 Théorème 411 Esérace et variace d ue loi biomiale Si X Bi(, ) avec N et [0, 1] alors : E(X) et Var(X) q Preuve Puisque X Bi(, ), il existe des variables aléatoires (réelles) X 1, X 2,, X défiies sur Ω idéedates, de loi de Beroulli de même aramètre telles que X i1 X i Par liéarité de l esérace : ( ) E(X) E X i E(X i ) et d arès ce qui récède : i1 E(X) De même our la variace : ( ) Var(X) Var X i i1 i1 i1 Var(X i ) i1 q q i1 Exemle 412 La robabilité qu u tireur atteige sa cible est 3 4 O suose qu il tire 7 fois O ote X la variable aléatoire associat à cette exériece aléatoire le ombre de succès obteus Calculer so esérace et sa variace 43 Proriétés sur les coefficiets biomiaux 431 Défiitios et roriétés Défiitio 413 Combiaisos Soiet et deux etiers aturels et E u esemble coteat élémets U sous-esemble de E coteat élémets est aelé ue combiaiso de élémets de E Le ombre de -combiaisos d u esemble coteat élémets est oté ( ) ou ( ) Exemle 414 Pour gager au Loto, il faut trouver 3 uméros armi 5 O veut savoir combie il y a de grilles ossibles Cosidéros ue grille quelcoque (c est-à-dire ue 3-combiaiso de l esemble des 5 uméros) : ar exemle {1, 3, 4} Il y a 3! faços ossibles d ordoer ces ombres Or, il y a ( 5 ) 3 3! suites de 3 ombres ordoées Mais, o comte de ces derières suites Doc : ! O eut maiteat gééraliser la formule :
4 12 Leço o 4 Loi biomiale Proositio 415 Le ombre de -combiaisos d u esemble coteat élémets est oté ( 1)( 2) ( ( 1))!!!( )! (41) (42) Démostratio de la roositio 415 O art de la formule (41) our arriver à la formule (42) : ( 1)( 2) ( + 1)! ( 1)( 2) ( + 1) ( )( 1) 2 1! ( )( 1) 2 1!!( )! Ue autre faço de voir la formule (42) Il y a A maières de tirer objets armi e les ordoat soit A! ( )! Ue fois les objets tirés, il y a! maières de les ordoer Il y a doc A! maières de tirer objets armi sas les ordoer D où A 1!!! ( )! Défiitio 416 Coefficiets biomiaux Soit u etier aturel o ul Les ombres ( ) sot aelés les coefficiets biomiaux Proositio 417 Formule de Pascal Soit, N tel que < O a : Démostratio de la formule de Pascal Soit u esemble E à élémets O suose que l o a «extrait» ue artie à élémets Si l o retire u élémet {a} à E, c est soit u élémet de la combiaiso, soit o Das le remier cas, les 1 restats formet ue artie de l esemble E \ {a} de cardial 1, et das le secod, ce sot les élémets qui formet ue artie de E \ {a} Cette uio état disjoite, les cardiaux s ajoutet our aboutir à l égalité demadée Proositio 418 Formule itérée de Pascal Soit deux etiers aturels Alors
5 43 Proriétés sur les coefficiets biomiaux 13 \ FIGURE 41 Triagle de Pascal Démostratio de la formule itérée de Pascal O effectue ue récurrece sur l etier Iitialisatio Lorsque, les deux membres valet 1 Hérédité O suose que la formule est vraie au rag et o motre qu elle est ecore vraie au rag + 1 : et d arès l hyothèse de récurrece, La derière égalité est justifiée ar l emloi de la formule de Pascal O ote A C (ou R ou Q ou Z) Théorème 419 Formule du biôme Soiet deux élémets a, b de A qui commutet Alors : N, (a + b) 0 a b Démostratio de la formule du biôme de Newto O démotre la formule ar récurrece sur Iitialisatio Lorsque 0, les deux membres sot égaux à 1 (avec le cas échéat la covetio 0 0 1) Hérédité O suose que la formule est vraie au rag et o motre qu elle est ecore vraie au rag
6 14 Leço o 4 Loi biomiale + 1 (a + b) +1 (a + b)(a + b) (a + b) a b 0 a b +1 + a b a b +1 + a b a +1 + a b +1 + b +1 + a b a 0 b +1 + ( + )a b +1 + a +1 b a b 0 La derière égalité utilise la formule de Pascal our l additio des deux coefficiets biomiaux R 420 Certais auteurs défiisset le coefficiet biomial comme le coefficiet du moôme a b das le déveloemet de l exressio (a + b) e remarquat que ce déveloemet est homogèe e a et b Corollaire 421 O a les égalités suivates : 1 0 ( ) 2, 2 0 ( 1) ( ) 0 Démostratio du corollaire O utilise le biôme de Newto avec a 1 et b 1 2 O utilise le biôme de Newto avec a 1 et b 1 R 422 O remarque que l égalité 1 du corollaire 421 traduit le fait que le ombre de arties d u esemble à élémets est 2 E effet, ce ombre est la somme des ombres de arties ayat resectivemet 0, 1, élémets (le cardial d ue uio disjoite est la somme des cardiaux), ce qui corresod bie à la somme idiquée Proositio 423 Formule de Va der Mode Pour tous etiers m, et tels que m +, o a l égalité : m + m 0
7 44 Stabilité additive de la loi biomiale 15 Démostratio de la formule de Va der Mode Soit x u réel Alors : m+ m + (1 + x) m (1 + x) (1 + x) m+ x 0 Or ( m ) m (1 + x) m (1 + x) x i m ( x j m i j i j i0 j0 i0 j0 () ( ) m m m + ( + )x ( ( m m m + ( m+ ( ( m )x ) i j 0 i,j>0 i+j ) x i+j )( 0 ) ))x 2 + Par idetificatio des coefficiets de ce olyôme de degré, o obtiet fialemet que, our tout etier 0 m +, m + m m i j i i i,j>0 i+j i0 44 Stabilité additive de la loi biomiale Théorème 424 Stabilité additive de la loi biomiale Si X Bi(m, ) et Y Bi(, ) avec X et Y idéedates, alors X + Y Bi(m +, ) Soit (A i ) 1 i ue suite d évéemets O ote : i0 A i si les évéemets sot disjoits Preuve O ose S X + Y O a clairemet S(Ω) {0,, m + } Calculos P (S 1 ()) our tout 1 m + : S 1 () X 1 (i) Y 1 ( i) D où : P (S 1 ()) P (X 1 (i) Y 1 ( i)) i0 Et comme X et Y sot idéedates : P (S 1 ()) P (X 1 (i))p (Y 1 ( i)) i0 i0
8 16 Leço o 4 Loi biomiale Comme X Bi(m, ) et Y Bi(, ) : m P (S 1 ()) i (1 ) m i i (1 ) ( i) i i i0 ( ) m (1 ) m+ i i i0 Et comme ( m )( ) ( i0 i i m+ ) m + P (S 1 ()) (1 ) m+ Doc S Bi(m +, ) 45 Covergece 451 Vers la loi de Poisso Théorème 425 Lorsque ted vers l ifii et que simultaémet 0 de sorte que lim a > 0, la loi biomiale de aramètres et coverge vers la loi de Poisso de aramètre a E ratique, o remlace la loi biomiale ar ue loi de Poisso dès que > 30 et < 5 ou dès que > 50 et < 01 Preuve O décomose P (X ) : (1 ) ( 1) ( + 1)! (1 ) ( 1 1 ( )! ) ( 1 2 ) ( 1 1 ) (1 ) O se lace das la situatio où est équivalet à a e l ifii Lorsque ted vers l ifii, les facteurs ( 1 ) 1, 1 2,, 1 1 tedet vers 1 Le roduit de ces termes ted égalemet vers 1 uisqu ils sot e ombre fii fixé O a : (1 ) (1 ) (1 ), or, lim 0 (1 ) 1 et de lus, (1 ) (1 a ) et ce derier terme ted vers e a quad ted vers l ifii O trouve doc : lim + ( ) (1 ) a! e a, qui est la robabilité de our la loi de Poisso de aramètre a 452 Vers la loi ormale Théorème 426 Soit (X ) ue suite de variable aléatoires idéedates de même loi de Beroulli Ber() et S X X suit la loi biomiale Bi(, ) D arès le théorème cetral limite, la loi de S eut re aroximée ar la loi ormale N(E(S ), Var(S )),
9 46 Échatilloage 17 R 427 c est-à-dire ar la loi N(, q) E ratique, lorsque 30, 15 et q > 5, la loi biomiale Bi(, ) eut être aroximée ar la loi ormale N(, q) 46 Échatilloage 461 Premier roblème : roortio de boules das ue ure Das ue ure coteat ue dizaie de boules, il y a 2 boules oires et 8 boules blaches La roortio de boules oires est doc de 1/5 O ioche das l ure avec ordre et remise ue vigtaie de boules et o s itéresse à la roortio de boules oires obteues Cette exériece a été recommecée 100 fois à l aide d u tableur et voici les roortios obteues Proortio 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 Total Nb d échatillos Quel est le ombre d échatillos qui ot ue roortio de boules oires de 0, 3? 2 Quel est le omb re d échatillos qui ot ue roortio de boules oires de 0, 6? 3 Quel est le ombre d échatillos qui ot ue roortio de boules oires etre 0, 1 et 0, 4? 4 Le but de cette artie est de retrouver ar le calcul ce derier ombre O cosidère la variable aléatoire X qui lors de l exériece comte le ombre boules oires obteues (a) Justifier que X suit ue loi biomiale dot o récisera les aramètres (b) Calculer P (2 X 8) (c) E déduire la robabilité que la roortio de boules oires soit comrise etre 0 et 0, 4 Solutio Proortio 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0, 45 0, 5 Total Nb d échatillos Le ombre d échatillos qui ot ue roortio de boules oires de 0, 3 est 9 2 Le ombre d échatillos qui ot ue roortio de boules oires de 0, 6 est 0 E effet, tous les échatillos sot déjà das le tableau 3 Le ombre d échatillos qui ot ue roortio de boules oires comrise etre 0, 1 et 0, 4 est Soit 90% 4 (a) O recommece 20 fois de maière idéedate ue exériece ayat deux issues ossibles, succès ou échec La variable aléatoire qui comte le ombre de succès suit ue loi biomiale de aramètres 20 et 1/5 (b) P (2 X 8) 0, 92 (c) O cherche la robabilité que la roortio de boules oires das u échatillo soit comrise etre 0, 1 et 0, 4 ; c est-à-dire la robabilité qu il y ait etre 10% et 40% de boules oires Or chaque échatilloage cotiet 20 boules Aisi 10% de boules oires ari ces 20 boules rerésete exactemet 2 boules oires De même 40% rerésete 8 boules oires Fialemet, chercher la robabilité que la roortio de boules oires das les échatilloages soit comrise etre 0, 1 et 0, 4 reviet à chercher la robabilité de iocher etre 2 et 8 boules oires armi les 20 boules C est exactemet la robabilité que l o a calculé à la questio 4b, soit 0, 92 Ce qui corresod à eu rès au 90% trouvé grâce au tableau
10 18 Leço o 4 Loi biomiale 462 Secod roblème : roortio de camios sur ue autoroute Sur ue autoroute, la roortio des camios ar raort à l esemble des véhicules est 0, 07 1 Soit X le ombre de camios armi 100 véhicules choisis au hasard Calculer P (X 5) 2 Soit Y le ombre de camios armi 1000 véhicules choisis au hasard Calculer P (65 Y 75) 3 O choisit véhicules au hasard Pour quelles valeurs de eut-o affirmer que la roortio de camios est etre 0, 06 et 0, 08 avec u risque d erreur iférieur à 5%? Solutio 1 Soit X ue variable aléatoire de loi biomiale Bi(100, 007) , 100 0, 07 7 < 15, 0, 07 0, 1 doc l aroximatio à utiliser est celle ar la loi de Poisso Pois(7) et : 4 P (X 5) 1 e 7 7 0, 827! 0 2 Y suit la loi biomiale Bi(1000, 007) , , , 70 0, 93 64, 1 > 4 doc l aroximatio à utiliser est celle ar la loi ormale N(70, 651) et si F désige la foctio de réartitio de la loi N(70, 651), ( 55 P (65 Y 75) F (755) F (645) Φ Φ 55 ) Φ 1 2Φ(068) O choisit véhicules au hasard Le ombre S des camios armi ces véhicules suit la loi biomiale Bi(, 007) et la roortio des camios est S O cherche tel que P ( S ) 005 Si 30, et > 5, c est-à-dire 215, o eut aroximer la loi de S ar la loi ormale N(007, S 0065 ) et la loi de 007 ar la loi ormale N(0, ) O a alors : ( ) ( ) S P S P ( ( )) 2 1 Φ ( ) O a doc Φ Φ(196) et , ce qui légitime l aroximatio 47 Loi multiomiale Défiitio 428 Loi multiomiale Le vecteur aléatoire N suit la loi multiomiale de aramètres et ( 1,, d ) où N et les i sot strictemet ositifs et de somme 1 si our tout d-ule (j 1, j 2,, j d ) d etiers tels que j 1 + j j d, P [N (j 1, j 2,, j d )]! j 1!j 2! j d! j 1 1 j 2 2 j d d
11 47 Loi multiomiale 19 Exemle 429 O cosidère 20 tirages d ue boule avec remise das ue ure coteat 1 boule bleue, 3 jaues, 4 rouges et 2 vertes Notos N (N 1, N 2, N 3, N 4 ) où N i est le ombre de boules de la couleur i e umérotat les couleurs ar ordre alhabétique (b,j,r,v) O a ( 1, 2, 3, 4 ) ( 1 10, 3 10, 4 10, 2 10 ) La robabilité d obteir e 20 tirages 3 bleues, 5 jaues, 10 rouges et 2 vertes est : P (N (3, 5, 10, 2)) 20! 1 3 ( 3 5 ( , !5!10!2! 10 10) 10) 10
12 20 Leço o 4 Loi biomiale
13 Bibliograhie [1] Problème des set ots de Köigsberg, Wiiédia, l ecycloédie libre [2] C LE BOT, Théorie des grahes, 2006, htt://blogchristohelebotfr/ w-cotet/uloads/2007/03/theorie_grahesdf [3] Coloratio des grahes, Aredre-e-lige, htt://wwwaredre-e-lige et/grahes-acie/coloratio/sommetshtml [4] O GARET, Exemles de roblèmes de grahes, htt://iecluiv-lorraie fr/~oliviergaret/cours/grahes/grahes-documets_d_ accomagemetdf [5] E SIGWARD & al, Odyssée Mathématiques Termiale ES/L, Hatier, 2012 [6] Grahes robabilistes, Termiale ES sécialité htt://mathadoctesfreefr/tes/ grahe/f4_grahepdf [7] G COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : htt:// bacamathset [8] P RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notio, robas coditioelles et idéedace, URL : htt://wwwmathuiv-mot2fr/ [9] P DUVAL, Probabilités, TS URL : htt://lcswerelyc14ac-caefr/ ~duval [10] G COSTANTINI, Probabilités : Gééralités, coditioemet, idéedace, Cours de Première S URL : htt://bacamathset [11] M LENZEN, Leço o 3 : Coefficiets biomiaux, déombremet des combiaisos, formule du biôme Alicatios, 2011, URL : htt://wwwcaes-de-mathscom/idex h?agelecosnew [12] G CONNAN, Ue aée de mathématiques e Termiale S, Ch 14, , URL : htt: //tehessituxfamilyorg [13] G COSTANTINI, Loi biomiale, URL : htt://bacamathset [14] C SUQUET, Itégratio et Probabilités Elémetaires, URL : htt://math uiv-lille1fr/~ieis/
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