Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) une suite de réels non nuls vériant. La suite (u n ) converge-t-elle vers 0? (a) u n = 3n ( 2) n

Transcription

1 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 049 ] [Correctio] Soiet a, b) R, u ) et v ) deux suites telles que Motrer que u a et v b { N, u a et v b u + v a + b Exercice [ 050 ] [Correctio] Soit u ) et v ) deux suites réelles telles que u + v ) et u v ) coverget Motrer que u ) et v ) coverget Exercice 3 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites covergetes Étudier Exercice 6 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels o uls vériat Détermier la limite de u ) u + u 0 Exercice 7 [ 0384 ] [Correctio] Soiet K u réel strictemet supérieur à et ε ) ue suite de réels positifs covergeat vers 0 Soit u ) ue suite de réels de [0 ; ] vériat La suite u ) coverge-t-elle vers 0? Calcul de limites N, 0 u + u + ε K Exercice 8 [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u ) suivates : lim + maxu, v ) a) u = 3 ) 3 + ) b) u = c) u = + + d) u = k Exercice 4 [ 05 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles telles que u + u v + v 0 Démotrer que les suites u ) et v ) coverget vers 0 Exercice 5 [ 053 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites telles que Que dire de ces suites? 0 u, 0 v et u v Exercice 9 [ 055 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = b) u = ) + c) u = d) u = ) / si + Exercice 0 [ 056 ] [Correctio] Détermier par comparaiso, la limite des suites u ) suivates : )

2 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés a) u = b) u =! si + ) + c) u = ) + ) d) u = e e) u = + ) a) Établir que pour tout p >, p+ p dx x p p dx p x Exercice [ 057 ] [Correctio] Détermier les limites des sommes suivates : E déduire la limite de S ) b) Établir que S = S E déduire la limite de S ) a) S = k b) S = k c) S = +k d) S = k=+ k e) S = f) S = +k +k g) S = ) k k! Exercice 5 [ 063 ] [Correctio] Détermier la limite de u = ) k Exercice [ 058 ] [Correctio] Comparer lim lim m + + ) m, lim lim + m + ) m et lim + ) Exercice 3 [ 060 ] [Correctio] Soit u ) N ue suite de réels strictemet positifs O suppose u + u + l a) Motrer que si l < alors u + 0 b) Motrer que si l > alors u + + c) Observer que das le cas l = o e peut rie coclure Exercice 4 [ 06 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = + k et S = ) k k Exercice 6 [ 064 ] [Correctio] Soit p N \ {0, } Pour N o pose a) Motrer que b) Motrer par récurrece ) + p u = et S = u k N, + p + )u + = + )u + S = p + p + )u +) c) O pose N v = + p)u Motrer que v ) coverge vers 0 d) E déduire lim S e foctio de p Exercice 7 [ ] [Correctio] Soit z C avec z < Existece et calcul de lim + + z k)

3 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 3 Exercice 8 [ 0396 ] [Correctio] Étudier la covergece de deux suites réelles u ) et v ) vériat e u + e v) = lim + u + v ) = 0 et Exercice 9 [ 06 ] [Correctio] Soit a R et pour N, Motrer que et détermier lim P P = lim + cos a k ) a si P = sia) Exercice 0 [ 0098 ] [Correctio] Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats : a) u = b) u = + x c) u = + ) ) + ) d) u = cos cos + Exercice [ 0030 ] [Correctio] Nature de la suite de terme gééral Exercice [ 078 ] [Correctio] e) u = f) u = g) u = h) u = u = cosπ l /)) Étudier la covergece de la suite a /), où a > 0 )) π ta 4 + α ) l l+) l ) ) arcta+) arcta Exercice 3 [ ] [Correctio] Soit u ) ue suite d'etiers aturels deux à deux disticts Motrer que u + Exercice 4 [ 0030 ] [Correctio] Soiet α > 0 et u = α + k α a) Motrer que si α > alors u 0 tadis que si α <, u + b) Motrer que si α =, la suite est mootoe et covergete c) Toujours das le cas α = et e exploitat l'ecadremet l + x) x l x) valable pour tout x [0 ; [, établir u l Exercice 5 [ 003 ] [Correctio] a) Établir que pour tout x 0 o a b) E déduire la limite de Exercice 6 [ 0039 ] [Correctio] a) Soit x x l + x) x u = + k ) u = p + k où p N est xé Motrer que la suite u ) coverge Sa limite sera otée l o e demade pas ici de la calculer) b) Soit f : R + C de classe C et telle que f0) = 0 Soit p ) v = f + k Motrer que v ) coverge Exprimer sa limite e foctio de l

4 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 4 c) Calculer l e utilisat fx) = l + x) d) Si f de R + das C est cotiue et vérie f0) = 0, motrer qu'il peut y avoir divergece de la suite v ) Exercice 7 [ 050 ] [Correctio] Soit u ) ue suite de réels strictemet positifs O suppose Étudier la limite de u ) u + u + Limites des suites mootoes Exercice 8 [ 065 ] [Correctio] Soit u ) ue suite croissate de limite l O pose a) Motrer que v ) est croissate b) Établir que v u+v c) E déduire que v l v = u + + u Exercice 9 [ 066 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle covergete Étudier la limite de la suite v = sup p u p Exercice 30 [ 068 ] [Correctio] Somme harmoique) Pour tout N, o pose Motrer que E déduire que lim H = + H = k N, H H Exercice 3 [ 070 ] [Correctio] O pose 3 5 ) u = 4 6 ) a) Exprimer u à l'aide de ombres factoriels b) Motrer que la suite u ) coverge c) O pose v = + )u Motrer que la suite v ) coverge E déduire la limite de la suite u ) d) Simplier et comparer ce produit à u k= ) k e) E déduire que la limite C de la suite v ) est strictemet positive Exercice 3 [ ] [Correctio] Soiet a > 0 et u = + a) + a ) + a ) a) Motrer que si a alors u + b) O suppose 0 < a < Motrer que la suite u ) est covergete O pourra exploiter la majoratio + x e x valable pour tout x R Suites adjacetes Exercice 33 [ 07 ] [Correctio] Soiet θ ]0 ; π/[ et u = si θ, v = ta θ Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes Quelle est leur limite commue? Exercice 34 [ 0035 ] [Correctio] O pose u = et v = + k k

5 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 5 Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes E déduire u équivalet de k Exercice 35 [ 07 ] [Correctio] Pour tout N, o pose S = k et S = S + Motrer que les suites S ) et S ) sot adjacetes O peut motrer que leur limite commue est π /6, mais c'est ue autre histoire Suites extraites Exercice 38 [ 076 ] [Correctio] O suppose que u ) est ue suite réelle croissate telle que u ) coverge Motrer que u ) coverge Exercice 39 [ 078 ] [Correctio] Justier que la suite de terme gééral cos) diverge Exercice 40 [ 0037 ] [Correctio] Motrer que la suite de terme gééral si) diverge Exercice 36 [ 075 ] [Correctio] Moyee arithmético-géométrique) a) Pour a, b) R +, établir : ab a + b b) O cosidère les suites de réels positifs u ) et v ) déies par u 0 = a, v 0 = b et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que, pour tout, u v, u u + et v + v c) Établir que u ) et v ) coverget vers ue même limite Cette limite commue est appelée moyee arithmético-géométrique de a et b et est otée Ma, b) d) Calculer Ma, a) et Ma, 0) pour a R + e) Exprimer Mλa, λb) e foctio de Ma, b) pour λ R + Exercice 37 [ 0034 ] [Correctio] Irratioalité de e) O pose pour, u = k! et v = u +! a) Motrer que les suites u ) et v ) sot adjacetes b) E exploitat l'iégalité de Taylor-Lagrage appliquée à la foctio x e x, motrer que u e c) O suppose que e = p/q avec p, q N E cosidérat qq!u q et qq!v q obteir ue absurdité Exercice 4 [ 079 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que Motrer que u ) ted vers 0, p N, 0 u +p + p p Limite de suites de solutios d'ue équatio Exercice 4 [ 090 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l'équatio x + ta x = d'icoue x ] π/ ; π/[ a) Motrer que l'équatio E possède ue solutio uique otée x b) Motrer que la suite x ) coverge et détermier sa limite Exercice 43 [ 088 ] [Correctio] Motrer que l'équatio xe x = possède pour tout N, ue uique solutio x das R + Étudier la limite de x ) Exercice 44 [ 09 ] [Correctio] Soit u etier aturel o ul et E l'équatio : x l x = d'icoue x R +

6 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 6 a) Motrer que l'équatio E admet ue uique solutio x, et que x b) Motrer que la suite x ) est décroissate et coverge vers Exercice 45 [ 0034 ] [Correctio] Motrer que pour tout, l'équatio x! = possède ue uique racie x das ]0 ; + [ Détermier lim x Exercice 46 [ 0035 ] [Correctio] Motrer que la relatio u + + )u = déit ue suite positive u ) uique Étudier sa covergece et préciser sa limite Expressio du terme gééral d'ue suite récurrete Exercice 47 [ 093 ] [Correctio] Doer l'expressio du terme gééral et la limite de la suite récurrete réelle u ) 0 déie par : a) u 0 = 0 et N, u + = u + b) u 0 = 0 et N, u + = u+ Exercice 48 [ 094 ] [Correctio] Soit x ) et y ) deux suites réelles telles que N, x + = x y x k k! et y + = x + y E itroduisat la suite complexe de terme gééral z = x + iy, motrer que les suites x ) et y ) coverget et détermier leurs limites Exercice 49 [ 095 ] [Correctio] Soit z ) ue suite complexe telle que N, z + = 3 z + z ) Exercice 50 [ 096 ] [Correctio] Soit u ) et v ) les suites détermiées par u 0 =, v 0 = et pour tout N : u + = 3u + v et v + = u + 3v a) Motrer que la suite u v ) est costate b) Prouver que u ) est ue suite arithmético-géométrique c) Exprimer les termes gééraux des suites u ) et v ) Exercice 5 [ ] [Correctio] Étudier la suite z ) 0 déie par z 0 C et Exercice 5 [ 0056 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle telle que N, z + = z + z u 0 = et N, u + = + ) u + Doer l'expressio du terme gééral u de cette suite Suites récurretes liéaires d'ordre Exercice 53 [ 098 ] [Correctio] Doer l'expressio du terme gééral de la suite récurrete complexe u ) 0 déie par : u 0 = 0, u = + 4i et N, u + = 3 i)u + 5 5i)u Exercice 54 [ 099 ] [Correctio] Doer l'expressio du terme gééral des suites récurretes réelles suivates : a) u ) 0 déie par u 0 =, u = 0 et N, u + = 4u + 4u b) u ) 0 déie par u 0 =, u = et N, u + = 3u + u c) u ) 0 déie par u 0 =, u = et N, u + = u + u Motrer que z ) coverge et exprimer sa limite e foctio de z 0

7 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 7 Exercice 55 [ 0300 ] [Correctio] Soit θ ]0 ; π[ Détermier le terme gééral de la suite réelle u ) déie par : u 0 = u = et N, u + cos θu + + u = 0 Exercice 56 [ 0683 ] [Correctio] Détermier les foctios f : R + R + vériat x > 0, ffx)) = 6x fx) Exercice 6 [ 0308 ] [Correctio] Étudier la suite u ) déie par Exercice 63 [ 0309 ] [Correctio] Soit u ) la suite réelle déie par u 0 > 0 et N, u + = + u u 0 = a [ ; ] et N, u + = u Exercice 57 [ 0506 ] [Correctio] Détermier les foctios f : R + R + vériat f fx) ) + fx) = x pour tout x > 0 Étude de suites récurretes Exercice 58 [ 0304 ] [Correctio] Étudier la suite u ) déie par Exercice 59 [ 0305 ] [Correctio] Étudier la suite u ) déie par u 0 = a R et N, u + = u a) Justier que la suite u ) est bie déie et N, u [ ; ] b) Quelles sot les limites ies possibles pour u )? c) Motrer que u ) coverge puis que lim u = 0 E déduire lim u Exercice 64 [ 030 ] [Correctio] Soit a C tel que 0 < a < et u ) la suite déie par u 0 = a et N, u + = u u Motrer que u ) est bie déie et u < Étudier la limite de u ) u 0 R et N, u + = u + Exercice 60 [ 0303 ] [Correctio] Étudier la suite u ) déie par Exercice 6 [ 0307 ] [Correctio] Étudier la suite u ) déie par u 0 = et N, u + = + u u 0 R et N, u + = e u Exercice 65 [ 03 ] [Correctio] Soit a > 0 et u ) la suite déie par u 0 > 0 et N, u + = a) Étudier la covergece de la suite u ) b) O pose pour tout N u + a ) u v = u a u + a Calculer v + e foctio de v, puis v e foctio de v 0 et

8 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 8 c) Motrer que, si u 0 > a, o a u a u0 v 0 Aisi, u réalise ue approximatio de a à la précisio u 0 v O peut alors par des calculs élémetaires, détermier ue approximatio de a Exercice 66 [ 033 ] [Correctio] O cosidère l'équatio l x + x = 0 d'icoue x > 0 a) Motrer que l'équatio possède ue uique solutio α b) Former, par l'algorithme de Newto, ue suite récurrete réelle u ) covergeat vers α Exercice 70 [ 0038 ] [Correctio] Étudier la suite déie par u 0 R + et N, u + = + 4 u Exercice 7 [ ] [Correctio] Soiet a > 0, u = a, u = a + a, u 3 = a + a + a, Motrer que u ) est covergete Exercice 67 [ 03 ] [Correctio] Détermier le terme gééral de la suite u ) déie par : u 0 = a > 0, u = b > 0 et N, u + u = u + À quelle coditio u ) coverge? Exercice 68 [ 030 ] [Correctio] Soit a R + O déit ue suite u ) par u 0 = a et N, u + = u k a) Détermier la limite de u ) b) Détermier la limite de u + u Exercice 69 [ 039 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle vériat Soit v ) la suite détermiée par N, u [/ ; ] v 0 = u 0 et N, v + = v + u + + u + v Motrer que la suite v ) coverge et détermier sa limite Exercice 7 [ 0033 ] [Correctio] Soit et u ) la suite déie par f : x x3 + 3 u 0 R et N, u + = fu ) a) Justier que l'équatio fx) = x possède trois racies réelles qu'o 'exprimera pas) b) Étudier le sige de fx) x aisi que la mootoie de f c) Préciser le comportemet de u ) e discutat selo la valeur de u 0 Exercice 73 [ 0033 ] [Correctio] Soiet avec a > 0) et u ) la suite déie par f : x x3 + 3ax 3x + a u 0 > 0 et N, u + = fu ) Étudier les variatios de f, le sige de fx) x et e déduire le comportemet de u )

9 [ édité le 3 ovembre 07 Eocés 9 Exercice 74 [ ] [Correctio] Soiet u 0 ]0 ; [ et pour tout N, u + = u u Motrer que u ) est mootoe de limite ulle Détermier les limites des suites dot les termes gééraux sot les suivats Exercice 78 [ 0036 ] [Correctio] Pour α ]0 ; π/], o étudie les suites u ) et v ) déies par { u0 = cos α v 0 = a) Établir que pour tout N, { u+ = u et N, + v )/ v + = u + v u k et u k ) u = v cos α et v = cos α k Exercice 75 [ 0039 ] [Correctio] Soit u ) la suite déie par u 0 ]0 ; 4[ et N, u + = 4u u a) Motrer que u ) est borée Quelles sot les limites possibles de u )? b) Motrer que si u ) coverge alors u ) est soit statioaire égale à 0, soit statioaire égale à 3 c) E posat u 0 = 4 si α, détermier les valeurs de u 0 pour lesquelles la suite u ) est statioaire b) Étudier si α v et e déduire les limites de u ) et v ) Exercice 79 [ 0783 ] [Correctio] Soit x ) N ue suite de réels positifs O pose, pour tout > 0, y = x + x + + x a) Ici x = a pour tout, où a > 0 Étudier la covergece de y ) b) Même questio das le cas où x = ab pour tout, avec b > 0 c) Motrer que y ) coverge si, et seulemet si, la suite x ) est borée Exercice 76 [ ] [Correctio] Soiet ρ R + et θ ] π ; π] O cosidère la suite complexe z ) N déie par a) Exprimer z à l'aide d'u produit z 0 = ρe iθ et N, z + = z + z b) Détermier la limite de la suite z ) N Exercice 80 [ 0365 ] [Correctio] Soiet a ) ue suite réelle positive, borée et u ) la suite récurrete déie par u 0 > 0 et u + = u + a + pour tout N Motrer que la suite u ) coverge si, et seulemet si, la suite a ) coverge Exercice 77 [ ] [Correctio] Soiet u ) N et v ) N les suites récurretes réelles déies par : u 0, v 0 R + et N, u + = u v, v + = u + v Motrer que les suites u ) N et v ) N coverget vers ue même limite Exercice 8 [ ] [Correctio] Motrer que la suite réelle x ) déie par x 0 [a ; b] et N, x + = fx ) + x ) où f est -lipschitziee de [a ; b] das [a ; b], coverge vers u poit xe de f

10 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 0 Correctios Exercice : [éocé] O a l'ecadremet doc u a puis 0 a u a u ) + b v ) = a + b) u + v ) 0 v = u + v ) u a + b) a = b Exercice : [éocé] Supposos u + v l et u v l u = u + v ) + u v ) l+l et de même v l l Exercice 3 : [éocé] O a doc maxa, b) = a + b) + a b ) maxu, v ) = u + v ) + u v ) maxlim u, lim v ) Exercice 4 : [éocé] O a 0 u + v ) = u + u v + v u + u v + v ) 0 Aisi u + v 0 puis et doc u v = u + v ) u + u v + v ) 0 u + v = u + u v + v ) u + v ) 0 qui permet de coclure u 0 et v 0 Exercice 5 : [éocé] O a u v u, v Par le théorème d'ecadremet o obtiet lim u = lim v = Exercice 6 : [éocé] Puisque u + /u 0 < /, il existe u rag N N vériat c'est-à-dire O a alors par récurrece et doc par comparaiso u 0 N, u + /u / N, u + u N, u N u N Exercice 7 : [éocé] Motros que la suite u ) coverge vers 0 par l'epsilotique Soit ε > 0 Puisque la suite ε ) coverge vers 0, il existe u rag N N pour lequel N, 0 ε ε et alors pour tout N O e déduit et par récurrece 0 u + u + ε K 0 u + u K + ε K + ε K p N, 0 u +p u p K p + ε K i i= La suite u ) est majorée par et o peut ecore écrire p N, 0 u +p K p + ε /K) p K /K K p + ε K Pour p assez grad, o a /K p ε et alors 0 u +p ε + ε K = λε avec λ ue costate strictemet positive ce qui permet de coclure

11 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios Exercice 8 : [éocé] a) b) c) d) u = Exercice 9 : [éocé] u = /3) + /3) = u = + / + / 0 u = ) a) u = e l+/)) or l + Par suite u e b) u = e l car l 0 ) / c) si = e lsi ) or l si d) + + ) ) = / l + car l+x) x x 0 ) l 0 doc si ) / ) ) ) = e l + ) or l + doc + e Exercice 0 : [éocé] a) u 0 doc u 0 b) 0 u 0 doc u 0 c) + u + avec +, + doc u e d) Pour 3, 0 u 3) 0 doc u 0 e) u 3 = e l 3 doc u Exercice : [éocé] a) S = + b) S = + c) 0 S + = + 0 doc u 0 d) 0 S k=+ +) +) 0 e) f) + S + doc = + S + gedarmes : S + S = puis u par le théorème des g) S =! )! + )! + + ) Par regroupemet de termes Si est pair alors S! )! et si est impair S! )! Puisque! )! = ) )! +, o a S + Exercice : [éocé] m m lim + ) = m et lim m + lim + ) = m m lim m + ) = 0 et lim + lim m + ) = 0 ) = e l ) e Exercice 3 : [éocé] a) Soit ρ = l+ de sorte que l < ρ < Comme u+ u l < ρ, il existe u rag N au delà duquel O a alors u + u ρ 0 u = u u u u un+ u N u N ρ N u N 0 doc u 0 O peut aussi raisoer e observat que la suite u ) est décroissate à partir d'u certai rag, doc covergete et que sa seule limite possible est ulle b) Même démarche mais par mioratio ou par croissace

12 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios c) u =, u = et u = / sot des exemples prouvat qu'o e peut rie dire Exercice 4 : [éocé] a) O a p+ p dx p+ x dx p p = p car la foctio décroissate x x est majorée par p Par u argumet semblable p dx p x dx p p = p Pour, p +k+ +k doe e sommat + + Or + et doc S l + dx x +k + k dx +k x dx x S dx x dx x = l + + l dx x = l sur [p ; p + ] b) O a S = ) ) = doc S = k k = k=+ k = + k = S Par suite S l De plus S + = S + + l doc S l Exercice 5 : [éocé] O a Or pour k {,, }, doc puis u Exercice 6 : [éocé] a) d'où la relatio u = + + ) k k= k= ) + k + ) ) = ) 3) 0 k ) 0 ) + p + + b) Par récurrece sur N : Pour = : c) p+ S = ) et = + p + + ok Supposos la propriété établie au rag ) + p + + p p + ) p + )p + ) ) = p + S + = S +u + = HR p +p+)u +)+u + = p +)u +) = p Récurrece établie d) Par opératios 0 v = + p ) = +p!p! + p )! p! + 0 S p

13 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 3 Exercice 7 : [éocé] O a + z k) = z) + z) + z ) + z ) z) Or z) + z) = z doc z) + z k) = z ) + z ) + z ) E répétat la maipulatio Or z + 0 doc z) lim + z k) = z + ) + + z k) = z Puisque o a puis car Exercice 0 : [éocé] six) x a) u = expl /) b) = P = six) si 0 x 0 si a/ a/ + x 0 cos0) = sia) sia) si a + a si a a + = a u = exp l + ) ) x = exp x + o) ) e x Exercice 8 : [éocé] Exploitos S = e u + e v et P = e u e v = e u+v Les ombres e u et e v sot solutios de l'équatio X e u )X e v ) = 0 iex S X + P = 0 À l'ordre près, o peut exprimer e u et e v à partir du discrimiat de cette équatio Or S et P, le discrimiat ted alors vers 0 et les deux suites tedet vers O e déduit u 0 puis v 0 Exercice 9 : [éocé] E exploitat la formule six) = si x cos x si a P = si a cos a cos a = = sia) Si a = 0 alors P = Si a 0 alors, pour assez grad, sia/ ) 0 et P = sia) si a c) d) e) f) u = exp + ) l ) ) = exp + o)) e + u = si + ) ) / si + ) ) ) / = O 0 doc u = exp l u = π ta 4 + α ) = + α ) + o + α + o ) ) = expα + o)) e α + )) l l + o e l

14 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 4 g) ) = exp l = + l + o) )) l 4 u = o 3 4 h) Par le théorème des accroissemets is l arcta + ) ) larcta ) = + c arcta c avec c + doc ) u = exp + c arcta c e /π Exercice : [éocé] E développat l /) u = cos π + π ) + o) = ) + sio)) 0 Exercice : [éocé] Si a ]0 ; [, la suite est costate égale à 0 Si a =, la suite est costate égale à Si a > alors a < a a doe a ) / < a / a et doc, par ecadremet, la suite coverge vers a b) u + u = > 0 doc u ) est croissate De plus u + doc u ) est majorée et par coséquet covergete c) u = + k l ) ) = l + k = l et u = doc u l Exercice 5 : [éocé] + k l + ) ) = l + + k + l a) Il sut de dresser le tableau de variatio des foctios x l + x) x + x et x x l + x) b) et doc l u l u ) k k 4 k + ) = = + u e + ) + ) 6 3 Exercice 6 : [éocé] Exercice 3 : [éocé] A R +, l'esemble E = { N u < A} est i car il cotiet au plus EA) + élémets Par suite il possède u plus grad élémet N et alors N +, u / E doc u A Aisi u + Exercice 4 : [éocé] a) Si α > alors 0 u α + 0 doc u 0 Si α < alors u = α + doc u + α + α a) La suite u ) est croissate car u + u = p + ) )p + ) + 0 et u p + p doc u ) coverge vers ue limite l b) Commeços par le cas où f 0) = 0 Soit ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x [0 ; α] o ait f x) ε et par l'iégalité des accroissemets is, o obtiet x [0 ; α], fx) ε x

15 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 5 O a alors v = p ε + k pε et doc v 0 Pour le cas gééral, il sut d'itroduire gx) = fx) xf 0) Puisque g 0) = 0, o a p ) g + k 0 + et doc et alemet v lf 0) c) Pour fx) = l + x), v u f 0) + 0 p v = l + k + ) l + k) = lp + ) + ) l + ) lp + ) O coclut l = lp + ) d) Pour fx) = x, Exercice 7 : [éocé] v = p + k O exprime u e foctio de v = u + u Pour tout N, o vérie u v u + = 0 p + )p + ce qui permet d'observer u comme solutio d'ue équatio du secod degré Les racies de celle-ci sot v v 4 et v + v 4 O peut armer que = v 4 est positif, soit parce que l'o sait que l'équatio du secod admet au mois la solutio u ), soit parce que l'iégalité x + /x pour x > 0 est classique Il existe doc ue suite ε ) de réels égaux à ou telle que u = v + ε v 4 pour tout N La suite v ) covergeat vers et ε ) état borée, o coclut par opératios que la suite u ) ted vers Exercice 8 : [éocé] a) b) doc v ) est croissate v + v = u + u + + u ) + ) v = u + + u + u u 0 v + u c) O a v l pour tout N et v ) croissate doc v ) coverge vers u réel l l La relatio précédete, passée à la limite, doe l l + l ce qui permet de coclure v l Exercice 9 : [éocé] u ) coverge doc u ) est borée La suite v ) est doc bie déie et elle-même borée O a v + v doc v ) est décroissate et doc coverge Posos l = lim u et l = lim v v u doc à la limite l l Si l > l alors l > l +l > l À partir d'u certai rag v > l+l et u < l+l Impossible Il reste l = l Exercice 30 : [éocé] O a H H = k=+ k k=+ = = H ) est croissate car H + H = + 0 Si H ) coverge vers l alors H H l l = 0 Ceci est impossible puisque H H Par suite H ) diverge, et puisque H ) est croissate, H ) diverge vers +

16 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 6 Exercice 3 : [éocé] a) b) O a c) u = )!!) u + + ) + ) = u 4 + ) = + + doc u ) est décroissate Or u ) est miorée par 0 doc u ) coverge v + = + u + v + u = + ) or + ) + ) 4 + ) 3 = 3 < 0 doc v + v 0 v ) est décroissate et miorée par 0 doc v ) coverge Nécessairemet lim u = 0 car sio v = + )u + d) Par télescopage des facteurs Parallèlemet u = k= ) k Aisi, u est supérieur au produit e) O e déduit ) = k 3 = ) ) ) = k k k= + )u + ) 4 k= ) k et doc C /4 O peut motrer que C = /π e exploitat dès la première questio la formule de Stirlig si celle-ci est coue ) Exercice 3 : [éocé] a) Si a alors u + doc u + b) u > 0 et u+ u > doc u ) est croissate De plus u e a e a e a = exp a ) ) a a exp a a doc u ) est majorée et par suite covergete Exercice 33 : [éocé] Via si a = si a cos a, o obtiet Via ta a = u = + si ta a ta a, o obtiet θ + cos θ + u + v = + taθ/ + ) ta θ/ + ) v + si x x et ta x x doc u θ et v θ d'où v u 0 x 0 x 0 Les suites u ) et v ) sot adjacetes de limite commue égale à θ Exercice 34 : [éocé] u + u = + + ) = De même v + v 0 et aisémet v u 0 d'où l'adjacece de ces deux suites Notos l leur limite commue, o a Exercice 35 : [éocé] O a et S + S = k = + l + o) = + o ) S + S = + ) 0 + ) + + = + ) + ) 0 S S = 0

17 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 7 Exercice 36 : [éocé] a) a b ) 0 doe l'iégalité demadée b) Pour, u = u v u +v = v e vertu de a u + = u v u = u et v + = u+v v = v c) La suite u ) est croissate et majorée par v doc elle coverge vers ue limite otée l La suite v ) est décroissate est miorée par u doc elle coverge vers ue limite otée l E passat la relatio v + = u+v à la limite, o obtiet l = l+l d'où l = l d) Si b = a alors les deux suites u ) et v ) sot costates égales à a et doc Ma, a) = a Si b = 0 alors la suite u ) est costate égale à 0 et doc Ma, 0) = 0 e) Notos u ) et v ) les suites déies par le procédé précédet à partir de u 0 = λa et v 0 = λb Par récurrece, u = λu et v = λv doc Mλa, λb) = λma, b) Exercice 37 : [éocé] a) Aisémet u ) est croissate v ) décroissate et v u 0 b) Par l'iégalité de Taylor-Lagrage, pour tout x [0 ; ], x k ex k! M +x + + )! avec M + = sup x [0;] e x ) +) = e Pour x =, o obtiet doc u e e u e + )! 0 c) Par la stricte mootoie des suites u ) et v ) o a u < e < v pour tout N qq!u q est u etier et qq!v q est l'etier cosécutif Or qq!u q < qq!e < qq!v q doc qq!e e peut être etier Or qq!e = pq! N Absurde Exercice 38 : [éocé] La suite u ) état croissate, elle admet ue limite ie ou iie) La suite u ) qui e est extraite a la même limite Or u ) coverge, il e est doc de même de u ) Exercice 39 : [éocé] Par l'absurde, supposos cos) l R doe cosp) + cosq) = cos p + q cos p q cos + ) + cos ) = cos cos) À la limite o obtiet l = l cos) d'où l = 0 Or cos = cos doe alors à la limite 0 = Absurde Exercice 40 : [éocé] Par l'absurde, supposos si) l R doe sip) siq) = si p q cos p + q si + ) si ) = si) cos) À la limite, o obtiet cos) 0 Or cos) = cos ) doe alors à la limite 0 = Absurde Exercice 4 : [éocé] D'ue part D'autre part O e déduit u 0 Exercice 4 : [éocé] 0 u = 0 0 u ) 0 a) Le tableau de variatio de f : x x + ta x permet d'armer que cette foctio réalise ue bijectio croissate de ] π/ ; π/[ vers R L'équatio E possède alors pour solutio uique x = f )

18 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 8 b) O a x + ta x = avec x ] π/ ; π/[ doc x = arcta x ) Or x + car x ) borée et doc x π Exercice 43 : [éocé] Soit f : R + R déie par fx) = xe x f est dérivable et f x) = x + )e x > 0 doc f est strictemet croissate f0) = 0 et lim + f = + doc l'équatio xe x = possède ue uique solutio x x = f ) + Exercice 46 : [éocé] L'étude des variatios de la foctio x x + + )x assure l'existece et l'uicité de u > 0 vériat la relatio u + + )u = De plus o peut armer u Puisque u u ) ) = et u o a puis permet de coclure u u ) 0 u / Exercice 44 : [éocé] a) Le tableau de variatio de f : x x l x permet d'armer que l'équatio f x) = possède ue uique solutio x sur R + et que de plus x [ ; + [ b) = x + + l x + = x + f x + ) doc f x + ) = x + = f x ) doc x + x car f est strictemet croissate sur [ ; + [ La suite x ) est décroissate et miorée par doc elle coverge Posos l sa limite, o a l Si l > alors x l x l l l + ce qui est absurde car x l x = Il reste l = Exercice 45 : [éocé] O pose f x) = x! xk k! O observe que f 0) =, lim x + f x) = + et f + = f La propriété est vrai pour = et si elle est vrai au rag, le tableau de sige de f permet d'assurer que f + est décroissate et doc strictemet égative) sur [0 ; x ] puis strictemet croissate sur [x ; + ] Par le théorème des valeurs itermédiaires, o peut assurer que f s'aule e u x + > x et celui-ci est uique La suite x ) est croissate Si elle est majorée alors elle coverge vers u réel l et x! 0 Or la suite de terme gééral est x k k! est croissate et strictemet positive Elle e peut doc coverger vers 0 Par coséquet la suite x ) 'est pas majorée et, état croissate, elle diverge vers + Exercice 47 : [éocé] a) Posos v = u + v ) est géométrique de raiso et v 0 = doc u = + b) Posos v = u v ) est géométrique de raiso / et v 0 = doc u = Exercice 48 : [éocé] O a doc Or +i z + = + i z ) + i z = z 0 < doc z 0 puis x, y 0 Exercice 49 : [éocé] Itroduisos x = Rez ) et y = Imz ) O a x x 0 et y 0 doc z Rez 0 ) x + = x et y + = y 3

19 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 9 Exercice 50 : [éocé] a) u + v + = u v et u 0 v 0 = doc u v ) est costate égale à b) v = u + doc u + = 5u + La suite u ) est arithmético-géométrique c) u + a = 5u a) + 4a + Pour a = /, u a) est géométrique de raiso 5 et de premier terme 3/ Aisi u = 35 Exercice 5 : [éocé] O peut écrire z 0 = ρe iθ avec ρ 0 et θ ] π ; π] O a alors z = ρ + eiθ et v = 35 + = ρ cos θ ei θ, z = ρ cos θ cos θ 4 ei θ 4,, z = ρe i θ Si θ = 0 alors z = ρ ρ Sio, pour tout N, si θ 0 et si θ cos θ k = si θ par exploitatios successives de l'idetité si a = si a cos a O e déduit cos θ k = si θ si θ si θ θ Fialemet Exercice 5 : [éocé] u 0 =, u =, u = 3, Par récurrece, o motre aisémet z ρ si θ θ N, u = + cos θ k Exercice 53 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d'ordre d'équatio caractéristique r 3 i)r + 5 5i) = 0 O obtiet u = + i) 3i) Exercice 54 : [éocé] Ce sot des suites récurretes liéaire d'ordre dot le terme gééral s'obtiet à partir de la résolutio de l'équatio caractéristique associée a) u = ) b) u = 3 + c) u = cos )π 3 Exercice 55 : [éocé] u ) est ue suite récurrete liéaire d'ordre d'équatio caractéristique de solutios r = e iθ et r = e iθ Par suite, il existe α, β R tels que r cos θr + = 0 N, u = α cos θ + β si θ = 0 doe α = et = doe α cos θ + β si θ = doc Fialemet β = cos θ si θ N, u = cos θ + ta θ = si θ/ si θ Exercice 56 : [éocé] Soit f ue foctio solutio Pour x > 0, o cosidère la suite u ) détermiée par = ta θ cos )θ/) si θ = cosθ/) u 0 = x et N, u + = fu )

20 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 0 La suite u ) est formée de réels strictemet positifs et satisfait la relatio de récurrece liéaire N, u + + u + 6u = 0 Les racies de l'équatio caractéristique associée sot et 3 de sorte qu'il existe λ, µ R vériat N, u = λ + µ 3) Puisque la suite u ) 'est formée que de réels strictemet positifs, il est écessaire que µ soit ul Après résolutio cela doe fx) = x Iversemet, cette foctio est bie solutio Exercice 57 : [éocé] Soit f ue foctio solutio O exprime le terme gééral des suites récurretes de foctio itératrice f Pour x > 0, o itroduit la suite u ) détermiée par u 0 = x et N, u + = fu ) La suite u ) est formée de réels strictemet positifs et satisfait la relatio de récurrece u + + u + u = 0 pour tout N La suite u ) est doc ue suite récurrete liéaire d'ordre d'équatio caractéristique r + r = 0 de racies et Il existe alors deux réels λ et µ tels que u = λ + µ ) pour tout N Cepedat, la suite u ) 'est formée que de ombres strictemet positifs, le réel µ est doc écessairemet ul La suite u ) est alors costate égale à x et, e particulier, u = fx) = x Fialemet, la foctio f est l'idetité de R + La réciproque est immédiate Exercice 58 : [éocé] O a u 0 = a, u = a, u = a 4, par récurrece u = a Pour a < alors u 0, pour a =, u et pour a >, u + Exercice 59 : [éocé] La suite u ) est bie déie et supérieure à à partir du rag car la foctio itératrice f : x x + est déie sur R et à valeurs das [ ; + [ u + u = u u + 0 car le discrimiat de x x + est = 3 < 0 La suite u ) est croissate Si celle-ci coverge vers u réel l alors e passat à la limite la relatio d'itératio : l = l + Or cette équatio e possède pas de racies réelles Par suite u ) diverge, or elle est croissate, doc u ) diverge vers + Exercice 60 : [éocé] Pour tout u + u = u u + u + + u Puisque u u 0 = 0, la suite u ) est croissate Si u ) coverge vers l alors u + = + u doe à la limite l = + l doc l l = 0 et l 0 Par suite l = + 5 = α Par récurrece o motre aisémet que N, u α et par suite u ) coverge vers α Exercice 6 : [éocé] La suite u ) est bie déie car sa foctio itératrice f : x e x est déie sur R Pour, u + u = e u e u est du sige de u u La suite u ) est mootoe et de mootoie détermiée par le sige de u u 0 = e u0 u 0 Étudios la foctio gx) = e x x déie sur R g est dérivable et g x) = e x du sige de x g0) = 0 doc g est positive Si u 0 = 0 alors u ) est costate égale à 0 Si u 0 > 0 alors u ) est croissate Si u ) coverge vers u réel l alors l = e l doc l = 0 Or u ) est miorée par u 0 > 0 doc e peut coverger vers 0 Par suite u ) diverge vers + Si u 0 < 0 alors u ) est croissate et majorée par 0 doc u ) coverge vers la seule limite ie possible 0

21 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios Exercice 6 : [éocé] La suite u ) est bie déie et strictemet positive car de foctio itératrice f : x +x déie sur R + et à valeurs das R + Si la suite u ) coverge, sa limite l vérie l = +l et l 0 doc l = + u + l = + u + l = u l + u ) + l) 4 u l Par récurrece, o motre u l = 4 u 0 l et o coclut u l doc u ) est décroissate d'où u a puis puis Par suite u 0 u u + u a ) a 0 a Exercice 63 : [éocé] a) L'applicatio x x est déie de [ ; ] vers [0 ; ] [ ; ] b) Supposos u l Puisque, u [0 ; ], à la limite l [0 ; ] La relatio u + = u doe à la limite l = l doc l + l = 0 d'où l = ou l = Or l 0 doc l = c) u + = u + u u doc u ) est décroissate et par suite coverge vers α 0 Si α > 0 alors + u = u u + doc u 0 puis u C'est impossible Nécessairemet u 0 et doc u Exercice 64 : [éocé] Par récurrece motros u existe et u < Pour = 0 : ok Supposos la propriété établie au rag 0 Par HR, u existe et u < doc u 0 d'où u + = Récurrece établie u + u u u u < u + u u u u u existe et Exercice 65 : [éocé] La suite u ) est bie déie et à valeurs das [ a ; + [ à partir du rag car de foctio itératrice f : x x + a ) x déie sur R + et à valeurs das [ a ; + [ ) Si u ) coverge vers u réel l alors l = l + a l et l 0 doc l = a u+ a = u + a a u = u a ) u Pour, doc Par récurrece : u a u = u a u u+ a u a u a u a doc u a b) v + = u + a u + + a = u au + a u + au + a = = u a u a u u ) a u + = v a doc v = v 0 c) u a v u + a u0 v = u 0 v 0

22 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios Exercice 66 : [éocé] a) f : x l x + x réalise ue bijectio strictemet croissate de R + vers R L'équatio proposée possède ue uique solutio α = f 0) b) L'algorithme de Newto, propose de déir la suite u ) par la relatio : u + = u fu ) f u ) = u l u + u /u + = u l u ) u + La foctio f est de classe C, f x) = x + et f x) = x e s'aulet pas Pour u 0 > 0 tel que fu 0 )f u 0 ) 0, la suite coverge vers α Exercice 67 : [éocé] Par récurrece, o motre que u existe et u > 0 La relatio de récurrece doe alors u + = u + u + u La suite u + /u ) est costate égale à u /u 0 = b/a La suite u ) est doc géométrique de raiso b/a et alemet ) b u = a a La suite u ) coverge si, et seulemet si, b a Exercice 68 : [éocé] a) Pour : b) u + u = u k u u k = u k + u k doc u ) est croissate Supposos u l R O a l u = a > 0 E passat la relatio précédete à la limite : 0 = l l+l = C'est absurde Par suite u + u u + u = u + + u 0 doc Par suite u + u et u + = 0 u u + + u u + u = u + /u + Exercice 69 : [éocé] O vérie sas dicultés que la suite v ) est déie et que ses termes sot positifs De plus, o vérie par récurrece que car O a alors N, v u + ) v ) 0 = v + u + + u + v v + v = u + v ) + u + v 0 et la suite v ) est doc croissate et majorée Par coséquet celle-ci coverge vers ue certaie limite l R Das le cas où la suite u ) est costate égale à, o observe que l = Peut-être est-ce ecore vrai das le cas gééral? Pour le voir, étudios la suite v ) O a doc par récurrece et o e déduit 0 v + = u +) v ) + u + v v ) 0 v v 0) v Exercice 70 : [éocé] Si u ) coverge sa limite l vérie l = + l /4 d'où l = u + u = 4 u ) 0

23 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 3 u ) est croissate Si u 0 > alors u ) diverge vers + Si u 0 [0 ; ] alors o vérie aisémet que u ) est majorée par et o coclut u Exercice 7 : [éocé] u + u doc u ) est croissate Par récurrece motros u a + La relatio est vraie pour = et l'hérédité s'obtiet par u + = a + u a + a + Exercice 7 : [éocé] a) Il sut de dresser le tableau de variatio de f O ote α < β < γ ces trois racies x α β γ b) f est croissate et fx) x c) u u + = fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) = u ) croissate De même u u + = fu ) fu + ) doc u 0 fu 0 ) = u ) décroissate Les seules limites ies possibles pour u ) sot α, β, γ E si u 0 α resp β, γ) alors pour tout, u α resp β, γ) et de même pour Au al o peut coclure : u 0 ] ; α[ doe u ) décroissat vers u 0 = α doe u ) costate égale à α u 0 ]α ; γ[ doe u ) covergeat vers β u 0 = γ doe u ) costate égale à γ u 0 ]γ ; + [ doe u ) croissat vers + Exercice 73 : [éocé] f x) est du sige de 3x a) doc f est croissate et par suite u ) est mootoe Les racies de l'équatio fx) = x sot 0, a et a Ce sot les seules limites possibles pour u ) fx) x est du sige de ax x 3 = xx a)x + a) Si u 0 ]0 ; a] la suite est croissate est majorée par a doc coverge vers a Si u 0 [ a ; + [ la suite est décroissate et miorée par a doc coverge vers a Exercice 74 : [éocé] u + u = u 0 doc u ) est décroissate Aisémet, o motre que u ]0 ; [ pour tout N et doc o peut coclure que u ) coverge Sa limite l vérie l = l l d'où l = 0 et u k = Exercice 75 : [éocé] u k u k+ = u 0 u + u 0 u k ) = u k+ u k = u + u 0 0 a) O observe que x 4x x est ue applicatio de [0 ; 4] das lui-même Par suite u [0 ; 4] pour tout N Si u ) coverge alors, e posat l sa limite, o a l = 4l l d'où l = 0 ou l = 3 b) Supposos que u 0 S'il existe u rag tel que u = 0 alors la suite u ) est statioaire égale à 0 Sio o a u > 0 pour tout N et doc u + u 3u > 0 Aisi, à partir d'u certai rag, la suite est strictemet croissate De même si u 3 sas être statioaire égale à 3, o observe que la suite u 3 est strictemet croissate à partir d'u certai rag c) O obtiet aisémet u = 4 si α La suite est statioaire si, et seulemet si, il existe N tel que u = 0 ou 3 ie si α) = 0, 3/, 3/ soit ecore α = kπ/3 avec k Z Aisi les u 0 pour lesquels la suite est statioaire sot les sikπ/3 ) avec k Z et N Exercice 76 : [éocé] a) z = ρeiθ +ρ = ρ cos θ ei θ Par ce pricipe : z = ρ cos θ cos θ 4 cos θ ei θ b) e i θ et e employat sia) = sia) cosa) cos θ cos θ 4 cos θ = si θ si θ si θ θ ou si θ = 0)

24 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 4 Fialemet, z + ρsi θ θ Exercice 77 : [éocé] Les suites u ) et v ) sot bie déies et à termes positifs Sachat a, b R +, ab a + b o a, u v puis u + u et v + v Les suites u ) et v ) sot respectivemet croissate et décroissate et o a, u 0 u v v 0 Par covergece mootoe, u ) et v ) coverget vers des limites l et l E passat la relatio v + = u + v à la limite o obtiet l = l Exercice 78 : [éocé] a) Exploiter + cos x = cos x b) via si a cos a = si a Par suite et aussi v et raisoer par récurrece si α v = si α si α siα/ ) si α α u si α α Exercice 79 : [éocé] Notos que la suite y ) est croissate, elle est doc covergete si, et seulemet si, elle est majorée a) Ici y + = a + y Soit l la racie positive de l'équatio l l a = 0 ie l = + + 4a O remarque que y = a l et o motre par récurrece y l La suite y ) est croissate et majorée doc covergete b) O observe que la ouvelle suite y ) est désormais égale à b fois la précédete, elle est doc covergete y l doc x ) est borée ) est borée par ue certai M alors x M, la suite y ) déie c) Si y ) coverge vers l alors x Si x par x ) est alors iférieure à celle obteue par M ), cette derière état covergete, la suite y ) coverge Exercice 80 : [éocé] Posos M = sup a N O vérie aisémet que la suite u ) est bie déie et que pour tout M + u Supposos la covergece de la suite u ) Sa limite est strictemet positive E résolvat l'équatio déissat u + e foctio de u, o obtiet a = u + u O e déduit que la suite a ) coverge Iversemet, supposos que la suite a ) coverge vers ue limite l, l 0 Cosidéros la suite v ) déie par v 0 = et v + = v + l + pour tout N O vérie que la suite v ) est bie déie et à termes strictemet positifs L'équatio x = x + l + possède ue racie L > 0 et o a v + L v L + L

25 [ édité le 3 ovembre 07 Correctios 5 ce qui permet d'établir que la suite v ) coverge vers L Cosidéros esuite la suite α ) déie par α = u v O a et doc avec α + = α + l a ) u + a + )v + l + ) α + k α + a l ) k = [0 ; [ m + où m > 0 est u miorat de la suite covergete v ) Par récurrece, o obtiet α k α 0 + k p a p l p=0 Soit ε > 0 Puisque la suite a ) coverge vers l, il existe p 0 tel que et alors p p 0, a p l ε p=p 0 k p a p l ε + k p = kε k Exercice 8 : [éocé] La foctio itératrice de cette suite récurrete est g : x fx) + x ) O vérie aisémet que cette foctio est déie sur [a ; b] et à valeurs das [a ; b] O e déduit que la suite x ) est bie déie et que c'est ue suite d'élémets de [a ; b] O a fx ) fx ) ) + ) x x x + x = Puisque f est -lipschitziee, o a fx ) fx ) x x et doc x + x est du sige de x x Par coséquet, la suite x ) est mootoe et sa mootoie découle du sige de x x 0 La suite x ) état de plus borée, elle coverge vers ue certaie limite l avec l [a ; b] La relatio x + = x + fx ) doe à la limite sachat f cotiue doc fl) = l l = l + fl) Pour assez grad et o e déduit p 0 p=0 Aisi α 0 et par coséquet k p a p l = C te k ε et k α 0 ε α ε + kε k u L