1/7 Notes de cours en calcul des probabilités (JJ Bellanger) I : Espaces Probabilisés

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1 /7 otes de cours e calcul des probabltés (JJ Bellager I : spaces Probablsés I : SPACS PROBABILISS I.-xpérece aléatore Itutvemet ue expérece aléatore est ue expérece dot o e peut pas prévor le résultat exact : e la répétat pluseurs fos das des codtos strctemet detques (pour ce qu est des paramètres maîtrsés par l expérmetateur les résultats obteus pourros dfférer. Le résultat d u essa est a pror o prévsble. La caractérsato d ue expérece aléatore peut évdemmet se fare e décrvat par le meu le protocole suv ( matérel utlsé réglages. U autre pot de vue dt phéoméologque (et qu e s téresse e quelque sorte qu à l extéreur des choses cosste à e cosdérer que l esemble des résultats possbles et à essayer de quatfer le pourcetage de chaces pour que le résultat obteu présete telle où telle caractérstque comme par exemple le résultat est par das le lacemet d u dé la casaque du jockey vaqueur est rouge etc Cec se formalse e trodusat l esemble des résultats possbles des sous-esembles de sur lesquels ue même proprété est vérfée (par rouge.. et qu o appellera évéemets (c est le fat qu o e sache pas à l avace s ou ou o le résultat obteu vérfera cette proprété qu costtue u évéemet à l ssue de l expérece des valeurs affectées à chaque évéemet dîtes valeurs de probablté comprses etre 0 et et qu s terprètet comme u pourcetage de chaces (rameé etre 0 et pour que l évéemet se réalse. La formalsato mathématque tégre des otos écessares du pot de vue de l utlsateur et permet d e assurer la cohérece logque d trodure u calcul d ue part sur les évéemets et d autre part sur les probabltés d évéemets. Le premer type de calcul utlse des opératos esemblstes qu portet sur les évéemets (qu sot des sous-esembles de et le deuxème utlse des opératos arthmétques pusque les quattés mapulées sot alors des ombres réels (comprs etre 0 et. C est pour dsposer d u cadre o ambgu que sot trodutes les structures mathématques espace probablsable et espace probablsé défes das ce qu sut. I.-spaces probablsables.défto O appelle espace probablsable ue pare ( das laquelle est u esemble quelcoque et ue collecto de sous-esembles de appelée trbu (o dt trbu d évéemets qu répod par défto aux cotrates (axomes suvates :.. s alors où désge le complémet de das 3. s et F alors F 4. pour toute famlle d évéemets I où I est u esemble déombrable d dces I. quelcoque du pot de vue mathématque mas pas de celu de l utlsateur qu l terprétera comme l esembles des résultats possbles d ue expérece aléatore

2 /7 otes de cours e calcul des probabltés (JJ Bellager I : spaces Probablsés Corollares :.. toute tersecto fe ou déombrable d évéemets d ue trbu est u évéemet de cette même trbu. Autremet dt l opérato d tersecto déombrable est fermée das ue trbu Remarque : les axomes. et 3. et 4. exprmet la fermeture des opératos esemblstes de complémetato et d uo respectvemet o déombrable (pour 3. et déombrable (pour 4.. S o e coserve que les tros premers axomes la collecto d évéemets est appelée algèbre d évéemets. Toute trbu est évdemmet ue algèbre alors que la récproque est fausse..lagage esemblste et lagage des évéemets Le résultat d ue expérece état u élémet de o dra que l évéemet (sous esemble est réalsé s et que est pas réalsé s c est l évéemet complémetare qu cotet. O a ue correspodace mmédate etre le lagage des sous esembles et celu des probabltés. Celle c est précsée das le tableau c-dessous :

3 3/7 otes de cours e calcul des probabltés (JJ Bellager I : spaces Probablsés Lagage esemblste Sous esemble vde semble fodametal Sous esembles et F dsjots Uo de et F Itersecto de et F F Lagage probablste véemet mpossble (jamas réalsé véemet certa (toujours réalsé véemets et F compatbles est réalsé ou F est réalsé (ou o exclusf est réalsé et F est réalsé mplque F 3.Rappel (de quelques proprétés des opératos esemblstes ( F ( F ( F ( F formules de De Morga : et S ( I est ue partto de (cad s les sot dsjots à et leur uo sur I est égale à alors pour tout F de o a : F ( F Sot ue applcato quelcoque f : défe sur u esemble quelcoque vers u autre esemble égalemet quelcoque. otat ( : f ( o a : f I f = ( F f ( f ( F f ( F f ( f ( F f ( f ( 4.Chox d ue trbu sur u esemble doé. Sur u même esemble (à codto qu l cotee au mos élémets l est toujours possble de sélectoer plus d ue trbu. Par exemple : la trbu mmale (la plus pette est m à chaque évéemet o peut assocer la trbu à toute partto D ( I de o peut assocer la trbu D costtuée par tous les esembles de la forme I G où pour tout G pred sot la valeur sot la valeur. Formellemet o a doc ( J : J Pt( I où Pt(I désge l esemble des partes de I

4 M 4/7 otes de cours e calcul des probabltés (JJ Bellager I : spaces Probablsés Pt( l esemble des partes se trouve être toujours par costructo ue trbu sur. C est la trbu la plus grosse (la plus grade sur pusqu elle cotet tous ses sous-esembles. 5.Proprété Sot ( ue famlle (fe déombrable ou même o déombrable de trbus sur u même esemble. Alors l est très smple de vérfer que la collecto des sous-esembles qu sot chacu das chaque trbu c est à dre la collecto A : obteue par tersecto des trbus est elle même ue trbu. Cette proprété permet d trodure la oto de trbu egedrée par ue famlle d évéemets (sous-esembles. 6.Défto O appelle trbu egedrée sur par la collecto C ( t t T où T peut être déombrable ou o l tersecto (qu a u ses d après la proprété c-dessus de toutes les trbus sur qu coteet chacue cette collecto. O otera (C cette trbu. O a doé plus haut l exemple des trbus D qu sot egedrées respectvemet au ses de la défto doée c-dessus pour la premère par l évéemet et pour la secode par la partto C. 7.Quelques exemples classques d espaces probablsables Cas des espaces dscrets. O dt que est dscret s est déombrable : I. Das ce cas o pred fréquemmet be que cela e sot be etedu pas oblgatore Pt(. Cas où R (drote réelle. O utlse jamas l esemble des partes pour des rasos techques (dffculté de costructo d ue mesure de probablté oto abordée plus lo das ce chaptre sur cette trbu. La trbu de lo la plus utlsée das ce cas est la trbu appelée trbu des boréles de R ou ecore trbu de Borel sur R (du om du mathématce fraças mle Borel. lle peut être défe comme état la trbu egedrée par la famlle des tervalles fermés [ a b] de R. Il est cepedat vérfable que cette trbu coïcde etre autres avec chacue des trbus suvates : trbu egedrée par les ] a b[ trbu egedrée par les [ a b] trbu egedrée par les [ a b[ trbu egedrée par les ] a[ trbu egedrée par les ouverts de la topologe usuelle sur R. Produt d espaces probablsables Soet ( et ( espaces probablsables. O trodut alors l espace probablsable déf par : ( (

5 5/7 otes de cours e calcul des probabltés (JJ Bellager I : spaces Probablsés La trbu 3 est appelée produt (ou produt tesorel des trbus et et est otée. L espace est appelé produt des espaces et. 3 ( 3 3 ( ( Cec peut s étedre au produt d u ombre quelcoque d espaces probablsables. C est as que peuvet être troduts les espaces probablsables ( R B e fasat le produt de espaces (RB. La trbu B est appelée trbu des boréles sur R. Trbus défes à partr d ue applcato f : S est ue trbu sur la collecto f ( de sous esembles de est ue trbu sur (exercce : le vérfer. Cette trbu est appelée trbu egedrée sur par f. S est ue trbu sur la collecto / f ( de sous esembles de est ue trbu sur (exercce : le vérfer. Cette trbu est appelée trbu dute sur par f. I.-spaces probablsés.défto d ue mesure de probablté tat doé u espace probablsable ( o appelle mesure de probablté sur cet espace toute applcato de la forme : P : [0] qu assoce à tout évéemet ue valeur de probablté comprse etre 0 et et qu est telle que : ormalsato : addtvté déombrable : pour toute famlle déombrable I d évéemets das à compatbles o a : P ( I I.Proprétés d ue mesure de probablté P ( 0 F das F et F F pour toute famlle déombrable I o a : P A B C A B C A B BC AC A B qu se gééralse pour par la formule de Pocaré (vor exercce ( C.. formule des probabltés totales : s ( désge c ue uo d évéemets Idé dsjots tous les état das alors pour tout F das o a P ( F F cotuté : pour toute sute o crossate d évéemets o a lm I I I

6 6/7 otes de cours e calcul des probabltés (JJ Bellager I : spaces Probablsés pour toute sute o décrossate d évéemets o a lm posat respectvemet lm das le cas o crossat et lm das l autre cas ces proprétés se résumet par lm lm Vocabulare : tout trplet ( P où ( est u espace probablsable et P ue mesure sur cet espace sera appelé espace probablsé. I.3-Probabltés codtoelles.défto Sot l espace probablsé ( P. Pour les évéemets et F das avec P ( F 0 o F appelle probablté codtoelle de s F le ombre / F qu est comprs F etre 0 et (par costructo. S P ( F 0 et P ( 0 o peut écrre : F / F F F /.Proprété L applcato PF : PF ( / F est ue ouvelle mesure de probablté sur ( appelée mesure codtoée par. Remarque : s F o a oblgatoremet / F et s F o a oblgatoremet / F 0 3.Formule de Bayes Sot ue partto I dé avec les probabltés 0 coues. Pour tout évéemet pour lequel les probabltés codtoelles P ( F / sot égalemet coues o pourra écrre : F / / F I k F / k I Cette formule peut être utlsée e pratque lorsque qu u expérmetateur se demade à l ssue de l expérece aléatore laquelle des hypothèses a été réalsée (sas qu l pusse l observer drectemet alors que par cotre l est avert de la réalsato d u évéemet F. l absece de cette derère formato la probablté dte probablté a pror pour que sot réalsé est. Lorsqu o est avert de la réalsato de F la probablté pour que sot réalsé codtoellemet à F appelée probablté a posteror peut être calculée avec la formule de Bayes. I.4-xemples d espaces probablsés

7 7/7 otes de cours e calcul des probabltés (JJ Bellager I : spaces Probablsés.Les espaces dscrets L espace probablsé ( P est dt dscret s où I est sot f sot f déombrable et les sot des sgletos. La trbu chose est alors gééralemet l esemble des partes Pt (. Pour spécfer ue mesure P sur ( l sufft de se doer les valeurs p. O a : de probablté pour tous les sgletos de : p 0 et p : p Das le cas partculer où est f de cardal et où p.. p o a : card( 'ombre de cas favorables' das le vocabulare tradtoel. card( 'ombre de cas possbles'.les espaces fs o déombrables ous ous cotetos c de cosdérer le cas où ( ( B R. La trbu B chose ordaremet est celle egedrée par tous les pavés -dmesoels de R cad tous les esembles de la forme a b ].. [ a b ]. lle est appelée trbu des boréles sur [ R comme das le cas u-dmesoel. U résultat élémetare de l expérece aléatore état c ue collecto de ombres réels o se trouve pour spécfer P das la même démarche que celle cosstat à spécfer la lo d ue varable aléatore -dmesoelle. O se reportera pour cela e II. : lo de probablté d ue varable aléatore. I.4-Idépedace etre évéemets.défto Sot u espace probablsé ( P. Par défto les évéemets.. prs das (et qu correspodet doc à sous-esembles de sot dts dépedats das l esemble pour la mesure de probablté P s pour tout sous-esemble de K dces dstcts..k prs das.. avec K o a k k. k.. K k.. K Remarques : O a doc e partculer et j j j k k.. k.. k I ( j j mas ces seules codtos e sot pas e gééral équvaletes à l dépedace das l esemble (elles e suffset pas. Des évéemets de ( dépedats das l esemble pour ue mesure P e serot pas e gééral dépedats das l esemble pour ue autre mesure Q sur le même espace..défto trbus.. ( P sot dtes dépedates das l esemble s.. prs sur respectvemet das.. P... est ue famlle dépedate das l esemble pour