PROBABILITES. A. Espaces probabilisables. 1) Définition d une tribu :

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1 . Espaces probablsables Défto d ue trbu : PROBBILITES chaque expérece aléatore o assoce u esemble oté, appelé uvers, dot les élémets représetet les dfféretes ssues possbles de l expérece aléatore : est doc l esemble des ssues ou cas possbles (ou résultats observables O appelle trbu (ou -algèbre sur tout esemble T (oté auss de partes de vérfat les proprétés suvates : T (T o vde 2 S T alors T (T stable par complémetare 3 S ( IN est ue sute d élémets det, alors uo déombrable 2 Remarque et déftos : T est stable par uo fe d élémets de T S ( est ue sute d élémets det, alors IN tersecto déombrable T est stable par tersecto fe d élémets de T 0 0 T (T stable par T (T stable par chaque expérece aléatore E est assocé l uvers des possbles Chaque élémet det, trbu sur, est appelé évéemet lé à l épreuve aléatore E (Par exemple est l évéemet certa et est l évéemet mpossble Le couple,t est appelé espace probablsable lé à l épreuve aléatore E Chaque sgleto (esemble à u élémet det est-l u évèemet? -t-o, T? Das le cas où l esemble est au plus déombrable, la répose est ou s T esemble des partes ou sous-esembles de Démostrato : O sat déjà que T Récproquemet, motros que s, T alors T. Pour cela preos u élémet quelcoque de, est au plus déombrable (parte d u esemble au plus déombrable et o a T doc T ce qu prouve que T Par double cluso, o a be T (. uo déombrable d élémets de

2 Coséquece : das le cas où l esemble est f ou f déombrable, o predra T Das ce cas chaque sgleto est u évèemet, l est appelé évèemet élémetare assocé à l épreuve aléatore E Das le cas où l esemble est f o déombrable, est trop gros, o utlse alors ue trbut Remarquos que, das ce cas, la défto d ue trbu mplque pas que tous les sgletos soet élémets de cette trbu 3 Trbu egedrée par ue famlle d évèemets, I ue famlle quelcoque de sous-esembles de, la trbu egedrée par Sot est la plus pette trbu sur qu cotet tous les sous-esembles Remarque : l esemble I est pas forcémet au plus déombrable La trbu egedrée par ue famlle cotet tous les complémetares des évèemets de cette famlle as que les uos et tersectos fes ou déombrables des évèemets de cette famlle et de leurs complémetares 4 La trbu borélee S, o appelle trbu borélee sur et o ote B la trbu egedrée par les tervalles ouverts de Tout esemble de cette trbu est appelé esemble boréle ou smplemet boréle O motre que B cotet tous les tervalles de (même o ouverts Par exemple : S a et b sot deux réels tels que a b, alors a, b a, b B comme tersecto déombrable de boréles S a et b sot deux réels tels que a b, alors a, b a, b B comme tersecto déombrable de boréles S a et b sot deux réels tels que a b, alors a, b a, b a, b B comme uo fe de boréles a, a a, a B tteto o motre que B P 2

3 B. Espaces probablsés Défto d ue probablté : Sot (,T u espace probablsable O appelle probablté sur (,T toute applcato P défe sur T à valeurs das 0, telle que : P ( 2 Pour toute sute ( IN d élémets de T deux à deux compatbles, 0 0 Remarque : a La secode proprété est dte proprété de -addtvté de la probablté P. b Tout trplet (, T, P est appelé espace probablsé. 2 Proprétés d ue probablté Sot (,T, P u espace probablsé a = 0 Tout évéemet, dfféret de, tel que P 0est dt églgeable ou quas mpossble Tout évéemet, dfféret de, tel que P est dt presque certa ou quas certa Cas partculer : Sot ; vérfe ue proprété Pr S P o dt que la proprété Pr est presque sûremet vrae ou sûremet vrae presque partout b S et B sot deux évéemets compatbles alors B B. Rappels : et B sot deux évéemets compatbles s et B sot deux partes dsjotes de T est à dre B =. B est l évéemet «ou B» Gééralsato : S, 2 sot évéemets compatbles deux à deux, alors,..., Soet et B deux évéemets Rappel :, le complémetare de das, est l évéemet cotrare de c L applcato P est crossate c est à dre s B(o dt que mplque B alors B Rappel : d B B B. B est l évéemet «et B». 3

4 Gééralsato : formule du crble ou de Pocaré Soet, 2,..., évéemets ( P 2... ( Remarque mportate : le programme précse de coaître cette formule das le cas 3 Il sufft doc de coaître : Pour tous évèemets et B, B B B Pour tous évèemets Bet, C, B C B P C B P C P B C P B C e Proprétés de la lmte mootoe de la probablté : Pour toute sute crossate ( IN d évéemets (c est à dre, o a : 0 lm Pour toute sute décrossate ( IN d évéemets (c est à dre, o a : lm. 0. Coséqueces du théorème de la lmte mootoe : Pour toute sute Pour toute sute ( d évéemets, o a : IN ( d évéemets, o a : IN lm 0 0 lm 0 0 f Défto d ue probablté sur u uvers f ou déombrable : Sot, 2,..., ou,,..., 2,... Ue probablté P sur,t P ( ou Récproquemet : Ue famlle de réels u uvers f ou déombrable. est caractérsée par la doée des réels p * ; ces réels vérfet : p 0 pour tout eter 2 p ou p p ( ou ue seule probablté P sur, P Rappel : le sgleto est appelé évéemet élémetare. * vérfat les codtos et 2 déft ue et 4

5 Proposto : La probablté d u évéemet est la somme des probabltés des évéemets élémetares qu le costtuet. Probablté uforme sur u uvers f :,...,. Sot, 2 Lorsque 2... probablté P est appelée probablté uforme sur, P, o dt qu l y a équprobablté et la = O a alors P... ( 2 Card et Card Pour tout évéemet, P ( = Card ombre de cas favorables à la réalsato de ombre de cas possbles C. Probablté codtoelle et dépedace Sot (,T, P u espace probablsé. Défto d ue probablté codtoelle : Soet et B deux évéemets tels que P ( 0, B P ( B B / P ( La probablté codtoelle P possède toutes les proprétés d ue probablté. Doc s (,T, P est u espace probablsé alors, pour tout évèemet T tel que P 0,, TP, est u espace probablsé 2 Défto de deux évèemets dépedats : Deux évéemets et B sot dépedats pour la probablté P s B. B Les évèemets 3 Théorème : S P ( 0, et B sot dépedats s et seulemet s P ( B B. 4 Défto de l dépedace mutuelle de pluseurs évèemets, 2 a Idépedace mutuelle de évèemets,...,, 2 sot évèemets mutuellemet dépedats (ou dépedats pour la probablté P s pour toute parte fe J (o vde de, o a J. J 5

6 Remarque : L dépedace mutuelle etraîe l dépedace deux à deux des évéemets mas la récproque est fausse S, 2,..., sot évéemets mutuellemet dépedats alors les évéemets B, B2,..., B obteus e posat B ou B ( sot égalemet mutuellemet dépedats. b Idépedace mutuelle d ue sute fe d évèemets La sute est ue sute d évèemets mutuellemet dépedats pour la probablté P s pour toute parte fe J (o vde de o a J. 5 Les tros formules fodametales Sot (,T, P u espace probablsé. a Formule des probabltés composées Pour tous évéemets et B de probablté o ulle, o a B. P ( B B. P ( Gééralsato : S, 2,..., sot évéemets ( 2 tels que alors o a : B J.... P (... P ( b Formule des probabltés totales Sot ( I u système complet d évéemets (I ue parte o vde de. Pour tout évéemet B, P ( B B Rappel : La famlle I ( I est u système complet d évéemets (I ue parte o vde de s les sot compatbles deux à deux et Le système complet I ( I est ue partto de s et seulemet s I c Formule de Bayes Sot ( I u système complet d évéemets de probablté o ulle (I ue parte o vde de dt système des causes. (. ( B P P B Pour tout évéemet B de probablté o ulle, PB( B. P( B Remarque : Cette formule découle rapdemet de la défto d ue probablté codtoelle et des deux formules précédetes. I 6