Chapitre 11. (Étude élémentaire des) Séries numériques

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 11. (Étude élémentaire des) Séries numériques"

Transcription

1 ECE - Aée Lycée fraçais de Viee Mathématiques - F. Gauard Chapitre. (Étude élémetaire des) Séries umériques Ce chapitre présete la otio de série umérique aisi que les premiers élémets d étude de ces objets. O y itroduit otammet quelques séries de référece et des techiques de calcul de sommes. Ces otios serot largemet complétées e secode aée mais serot tout de même écessaires dès cette aée pour itroduire la otio d espérace d ue variable aléatoire discrète. Notio de série umérique Les séries sot u type de suite que l o a déjà recotré; il s agit de suites défiies par ue somme.. Exemples et défiitios Défiitio. Soit (u ) 0 ue suite. La série de terme gééral u est la suite (S ) défiie par 0, S = u k. k= 0 Le terme S est appelé la somme partielle d idice de la série. La série est otée 0 u. Exemple. Les séries qui suivet ot ue importace particulière: () la série q, avec q R, est la série géométrique de raiso q. () la série x, avec x R, est la série expoetielle.! (3) la série α, avec α R est ue série de Riema. (4) la série est appelée série harmoique. (C est aussi ue série de Riema pour α =.) Doer l expressio géérale de la somme partielle d ue série géométrique e foctio de q (distiguer q = et q ). Remarque importate. O peut établir ue relatio simple etre la somme partielle d ue série et so terme gééral. E effet, o costate (grâce à la relatio de Chasles) que, si S représete la somme partielle de la série de terme gééral u, o a (.) S S = u k u k = u. k= 0 k= 0

2 Chapitre. Séries umériques. Séries covergetes - Séries divergetes Tout comme les suites, dot elle fot partie, o s itéresse au comportemet des séries quad l idice ted vers l ifii. Défiitio. La série 0 u est dite covergete si et seulemet si la suite (S ) 0 des sommes partielles coverge. Das ce cas, sa limite est appelée la somme de la série et o ote lim S = + k= 0 u k. divergete si et seulemet si (S ) 0 a ue limite ifiie ou pas de limite. Étudier la ature d ue série, c est détermier si elle coverge ou pas. Das le premier cas, o cherche alors à expliciter sa somme si c est possible. Exemple. Covergece des séries géométriques. Soit q R \ {}. Cosidéros la série géométrique de raiso q, c est à dire la série de terme gééral q, pour 0. O a déjà établi au Chapitre que S = q k = q+ q, ce qui permet d éocer le résultat suivat: q coverge q <. Das ce cas, la somme de la série vaut q = q. Remarque. Si la série u coverge vers ue limite l, alors cela veut dire que la suite (S ) coverge vers l mais il est alors clair que (S ) aussi (tout comme tout autre suite extraite de la suite des sommes partielles). E passat doc à la limite das la relatio (.), o voit que, écessairemet, u = S S l l = 0, +, ce qu o résume par l implicatio très importate 0 u coverge = u 0, +. Il suit otammet que si le terme gééral e ted pas vers 0, la série e peut coverger. O dit qu elle diverge grossièremet. Exercice. Quelle est la ature des séries de Riema pour α 0? La réciproque de l implicatio précédete est fausse! Il est des séries dot le terme gééral ted vers 0 mais qui diverget. L exemple le plus importat (à toujours avoir à l esprit) est celui qui suit, à savoir celui de la série harmoique. Exemple. Divergece de la série harmoique. Cosidéros la série harmoique, de terme gééral u = /. Ici, le terme gééral ted bie vers 0 et pourtat la série diverge. E effet, supposos au cotraire qu elle coverge vers ue limite l. Notat (S ) la suite de ses sommes partielles, o a doc (S ) et (S ) qui tedet toutes deux vers l. Or, o costate que 0 = l l S S = k=+ k k=+ =,

3 ce qui est absurde. Aisi, la série diverge. De plus, (S ) état clairemet croissate = + Exercice. (Covergece de la série de Riema pour α = ). O cosidère la série de Riema de terme gééral u = / dot o ote (S ) la suite des sommes partielles. () Que peut-o dire de la mootoie de (S )? () Motrer que, pour tout, o a. (3) E déduire u ecadremet de S puis la ature de la série. Remarque. (Séries de Riema). O viet de voir trois exemples de séries de Riema (avec α 0, α = et α = ) dot les atures étaiet différetes. Il existe u critère de covergece pour ces séries, qui sera officiellemet éocé das le cours de deuxième aée et qui repose sur ue comparaiso du terme gééral avec ue itégrale. Ne pouvat laisser le suspese durer plus logtemps, o l éoce quad même ici..3 Opératios sur les séries covergetes coverge α >. α Le résultat suivat traduit le fait que la ature d ue série e déped pas de ses premiers termes. Propositio. Soiet 0 et deux etiers aturels. Alors, les séries 0 u et u ot la même ature. E revache, si elles sot toutes les deux covergetes, leurs sommes respectives sot e géérales différetes. 0 u coverge u coverge. Mais, + 0 u + = u. Exercice 3. Après avoir justifié sa covergece, calculer la somme de la série Propositio. Soiet 0 u et 0 v deux séries covergetes, et λ,µ R. Alors la série λ u +µ v, de terme gééral (λu +µv ), est ecore covergete. Sa somme est égale à la combiaiso liéaire correspodate des sommes des deux séries. Exercice 4. Détermier la ature des séries de termes gééraux suivats: (i) +, (ii) 3 +, (iii) 6 l(+)..4 Covergece absolue 0 Défiitio 3. O dit qu ue série u coverge absolumet si la série u coverge. O costate que pour des séries dot tous les termes sot positifs, la covergece et la covergece absolue sot deux otios idetiques. Il e va de même pour des séries dot tous les termes sot égatifs. La covergece absolue implique toujours la covergece simple. La démostratio (admise ici, mais qui pourrait être u exercice itéressat pour u lecteur ambitieux) repose sur u découpage de la série selo le sige de ses termes. Le résultat est le suivat. Théorème. Si ue série coverge absolumet alors elle coverge simplemet. La réciproque est fausse. u coverge = u coverge. Mais, u coverge u coverge. Le cotre-exemple le plus cou est celui de la série harmoique alterée, qui suit e exercice. 3. 3

4 4 Chapitre. Séries umériques Exercice 5. (Série Harmoique alterée). O cosidère la série ( ) dot o ote (S ) la suite des sommes partielles. () Motrer que (S ) et (S + ) sot adjacetes. () E déduire la ature de la série harmoique alterée. Est-elle absolumet covergete?.5 Covergece des séries à termes positifs Si (u ) est ue suite à termes positifs, alors la suite (S ) des sommes partielles de la série de terme gééral u est clairemet croissate. Aisi, le théorème de covergece mootoe permet de justifier le résultat suivat. Théorème. Soit u ue série à terme positifs. Si la suite des sommes partielles (S ) est majorée, alors la série coverge. Sio, elle diverge vers +. Remarque 3. O a u éocé aalogue avec ue série à termes égatifs dot la suite des sommes partielles est miorée. Ue suite covergete état majorée, il découle immédiatemet le résultat suivat, extrêmemet utile pour détermier la ature des séries à termes positifs. Corollaire. (Comparaiso des séries à termes positifs). Soiet u et v deux séries à termes positifs. (i) Si v est covergete et si (à partir d u certai rag), u v la série u est égalemet covergete, et o a =0 u (ii) Si u diverge (vers + ) et si (à partir d u certai rag), u v, alors la série v diverge vers +. Exercice 6. () O cosidère la série e +e. Motrer que, k N, e k +e k e k. E déduire que la série coverge. =0 () O cosidère la série 3. Motrer que, k, de la série. Quelques séries umériques usuelles. Séries géométriques et leurs dérivées v. k k 3. E déduire la ature k O a vu précédemmet que les séries géométriques étaiet covergetes si et seulemet si leur raiso q vérifiait q <. De ce résultat, o peut déduire la covergece d autre séries. Théorème 3. Les séries q, q, et ( )q sot covergetes si et seulemet si q <. Das ce cas, q k = + q, kq k = k= + ( q), et k(k )q k = k= ( q) 3.

5 Remarque 4. () O peut remarquer qu o obtiet la somme de la série géométrique dérivée e dérivat par rapport à q la somme de la série géométrique et la somme de la série géométrique dérivée deux fois e dérivat deux fois par rapport à q la somme de la série géométrique. Cela permet de retrouver facilemet les deux derières formules coaissat la première. () O e doe des résultats que sur les deux premières dérivées car ce sot celles qu o utilise le plus fréquemmet, otammet pour les calculs d espérace et de variace e probabilité. Mais le reste foctioe de la même maière.. Série expoetielle Théorème 4. La série expoetielle x! coverge pour tout réel x. De plus, o a + 3 Techiques pour les calculs de somme 3. Décompositio k = k(k )+k Méthode. Il est souvet utile pour faire apparaître des séries usuelles d utiliser que k = k(k )+k, ou que k = (k )+. Exercice 7. Justifier la covergece et calculer les sommes suivates 5 x k k! = ex. () k 5 k () (k +) e k (3) k= k 3k + k! Remarque 5. Plus gééralemet, il est utile de décomposer k sous la forme k = a 0 +a k +a k(k )+a 3 k(k )(k )+...+a k(k ) (k +). 3. Télescopage(s) O a déjà recotré des sommes dites télescopiques das la maipulatio du symbole Σ. O peut reformuler les résultats déjà observés sous la forme de la propositio qui suit. E particulier, o pourra recourir à l étude de la série (u + u ) das le but d étudier la suite (u ). Propositio 3. Ue suite (u ) est covergete si et seulemet si la série (u + u ) est covergete. Auquel cas, o a (u k+ u k ) = lim u u 0. + Exercice 8. () Soiet (u ) défiie par so premier terme u 0 et par la relatio de récurrece u + = u +!. Motrer que (u ) coverge et préciser sa limite. () Mêmes questios avec (v ) défiie par la relatio de récurrece v + = v + e. Exercice 9. Soiet f la foctio défiie sur [0;] par f : x x x et (u ), de premier terme u 0 ]0;[, vérifiat la relatio de récurrece N, u + = f(u ) = u u. () Dresser le tableau de variatios de f. () Motrer que N, u ]0;[. (3) Étudier la mootoie puis la covergece de (u ). Détermier sa limite. (4) Motrer que la série u coverge et préciser sa somme.

6 6 Chapitre. Séries umériques 4 Autres exercices Exercice 0. Motrer que les séries suivates sot covergetes et calculer leurs sommes : ) l ( ) k+ k ) ( ) (+) l 3) 3 + 4) ( ) l(k)l(k +) (+)! 5 k k 0 5) 5, 6) 4 +5, 7) ( ), 8) ( ), ) ( ) ( ) 0) ) 4( ) + ) 3 3!! (+)! 3) 3+ 4) ( ) k 0 k 0 Exercice. () Soit x R. Motrer la covergece et calculer la somme des séries de terme gééral u et v, avec u = x ()! et v = x+ (+)!. ( O pourra cosidérer les séries u + v et u v.) () Expliciter e particulier =0 ()! Exercice. O cosidère la série () Motrer que pour tout etier ( + ) et =0 (+)!. dot o ote (T ) la suite des sommes partielles. ( ). () E déduire que, pour tout, ( + ) T. (3) La série iitiale est-elle covergete? Exercice 3. Soit (u ) N la suite défiie par u 0 R + et N, u + = u e u. () Motrer que pour tout etier, u > 0. () Étudier le ses de variatio et la covergece de la suite (u ) N. (3) Pour tout etier, o pose v = l(u ). Motrer que pour tout etier N, u k = v 0 v +. (4) E déduire la ature la série u. Exercice 4. Soit f la foctio défiie sur R par : f(x) = xl x si x 0 et f(0) = 0. () Étudier les variatios de f et costruire sa courbe représetative. () Motrer qu il existe u uique réel x > 0 tel que f(x ) =. (3) Pour quelles valeurs de x la série de terme gééral u = (f(x)) coverge-t-elle? E doer alors la somme.

7 7 Exercice 5. O veut établir la covergece et la somme de la série de terme gééral ) u = l (+ ( ) ( ). Pour tout etier, o pose S = u k. k= () Vérifier que S + = (u k +u k+ ). () E déduire ue expressio simple de S +. (3) E déduire l étude de la suite (S ). (4) Coclure sur la série de terme gééral u. Exercice 6. O cosidère la suite défiie par : u 0 ]0;[ et N, u + = u u. () Motrer que la suite (u ) est covergete et détermier sa limite. () Étudier la ature de la série u et doer sa ( somme, ) si elle existe. u+ (3) Prouver que la série de terme gééral v = l est divergete. (4) E déduire la ature de u. Exercice 7. O cosidère la foctio f défiie sur R par : f(x) = ex +e x. O défiit la suite u par : u 0 = et N, u + = u f (u ). () Étudier la foctio f et dresser so tableau de variatios. () Motrer que la suite u est strictemet positive et strictemet décroissate. (3) E déduire que u est covergete et doer sa limite. O pose pour tout etier : v = u +. u (4) Motrer que v est strictemet égatif. (5) Motrer que la suite (v ) est covergete de limite ulle. (6) Simplifier l(+v k ) et détermier la ature de la série correspodate. (7) (a) Justifier qu il existe 0 N, tel que, pour tout 0, / v < 0. (b) Motrer que, pour tout x [ /; 0], x l( + x). (c) E déduire la ature de la série v. (8) Motrer que x [0;], x (9) E déduire la ature de la série u. (0) Détermier la ature de u. u e x x +e x 4. Exercice 8. (D après Edhec 997) Soit p u etier aturel fixé. O cosidère la série u, où u = () Motrer que si p = 0 ou si p =, alors u diverge. () Das toute la suite, o suppose doc que p. O ote (S ) la suite des sommes partielles de la série. (a) Motrer que, pour tout etier, (+p+)u + = (+)u +. (b) E déduire, par récurrece sur, S = p ( (+p+)u +). ( +p ).

8 8 Chapitre. Séries umériques (c) Motrer que la suite (v ) défiie par v = (+p)u est décroissate et miorée par 0. E déduire qu elle coverge vers ue limite qu o otera l, vérifiat l 0. (d) Motrer que u coverge et exprimer sa somme e foctio de p et l. (e) O suppose que l 0. Motrer qu alors lim + l u =. E déduire qu il existe u rag N à partir duquel u l/, N. (f) Coclure, par l absurde à la valeur de la somme de u.

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite

Chapitre 1. Les suites numériques Principe de récurrence Limite d une suite Eseigemet spécifique Chapitre 1. Les suites umériques Pricipe de récurrece Limite d ue suite I. Rappels sur les suites umériques 1. géérale Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut

Plus en détail

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley

Suites numériques 1 / 12 A Chevalley MT8 A 03 Suites umériques Aleth Chevalley. Rappels.. Défiitio O appelle suite umérique réelle, toute applicatio f : ϒ qui à tout etier aturel, fait correspodre le ombre réel f() et o désige la suite par

Plus en détail

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal)

«J'aimais et j'aime encore les mathématiques pour elles-mêmes comme n'admettant pas l'hypocrisie et le vague, mes deux bêtes d'aversion» (Stendhal) Lycée Stedhal (Greoble) Niveau : Termiale S Titre Cours : Chapitre 0 : Les suites Aée : 204-205 «J'aimais et j'aime ecore les mathématiques pour elles-mêmes comme 'admettat pas l'hypocrisie et le vague,

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

Feuille d Exercices : Suites, suite!

Feuille d Exercices : Suites, suite! ECS 1 Dupuy de Lôme Semaie du 6 décembre 004 Feuille d Exercices : Suites, suite! Exercice 1 : Pour tout etier, o défiit u = 1. Motrez que u est mootoe.. Motrez que v est géométrique. k= 3. E déduire l

Plus en détail

Cours de mathématiques P.S.I.*

Cours de mathématiques P.S.I.* Cours de mathématiques PSI* D'après les cours de M Guillaumie Heriet Queti Séries umériques Das tout le chapitre, K désige le corps R ou C, et o désige par u ue suite de K Gééralités Vocabulaire Défiitio

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2

Exercices. Exercice 1 (Suites adjacentes) On considère les suites (u n ) n N et (v n ) n N définies par: 1 k u n = n 3, v n = u n + 1 n 1 2n 2 Exercices Exercice (Suites adjacetes) O cosidère les suites (u ) N et (v ) N défiies par: u 3, k3 k 2 + v u + 2 2 Motrer que (u ) N et (v ) N sot adjacetes. Exercice 2 Soiet les deux suites (u ) et (v

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques «I» : Suites arithmétiques 1/ Défiitio Suites arithmétiques et géométriques La suite (u ) est arithmétique de raiso r sigifie que : Pour tout etier aturel : u +1 = u + r Exemple : La suite ( ; 5 ; 8 ;

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propriété P() dépedat de l idice Si les propositios ()

Plus en détail

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites numériques L2 - Math4 Exercices corrigés sur les suites umériques Eocés Exercice Les assertios suivates sot-elles vraies ou fausses? Doer ue démostratio de chaque assertio vraie, et doer u cotre-exemple de chaque

Plus en détail

S n = u u n. S = u k. k=0

S n = u u n. S = u k. k=0 Chapitre 3 Séries umériques 3. Défiitios et exemples 3.. Défiitios Défiitio 3.. Soit (u ) ue suite réelle. O lui associe (S ) ue ouvelle suite défiie par S = u 0 + + u. O appelle série de terme gééral

Plus en détail

Feuille d exercices 4

Feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 2009/200 MIME 22 LM5-Suites et Itégrales Groupe 22 Feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ecrire l éocé qui traduit : (u ) N est pas croissate Cet

Plus en détail

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n.

Lycée secondaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math. ; 9) U n = 2! ! U n. Lycée secodaire Série D exercices Prof : Selmi.Ali Mareth Thème : Suites réelles 4 ième Math Exercice Das chacu des cas suivats, calculer la limite de la suite ( U ) lorsque + ) U = 3 + ; ) U = si π =

Plus en détail

Comportement asymptotique des suites

Comportement asymptotique des suites Comportemet asymptotique des suites Table des matières 1 Itroductio 2 2 Limite d ue suite 2 2.1 Limite fiie d ue suite........................................... 2 2.2 Limite ifiie d ue suite..........................................

Plus en détail

TD1 - Suites numériques

TD1 - Suites numériques IUFM du Limousi 2008-09 PLC1 Mathématiques S. Viatier Exercices TD1 - Suites umériques Exercice 1 Soit α > 0, étudier la covergece des suites déies par u = ( ) 1 + si α, v = 3 + cos α ( ) 1 + α. 3 + Idicatio

Plus en détail

5 Pour tout entier naturel n, on pose : 6 Démontrer que, pour tout entier naturel n : n k k! = (n + 1)! 1

5 Pour tout entier naturel n, on pose : 6 Démontrer que, pour tout entier naturel n : n k k! = (n + 1)! 1 Exercices 7 SUITES NUMÉRIQUES Récurrece O appelle factorielle et o écrit! le produit des etiers cosécutifs de à : Par covetio : 0! =.! = 3 ) Pour ue foctio f, o ote f ) sa dérivée - ième. Soit f défiie

Plus en détail

TD n o 1 : suites numériques

TD n o 1 : suites numériques MAT232 : séries et itégrales gééralisées Uiversité Joseph Fourier 23-24 Greoble TD o : suites umériques Rappel importat : il existe u cours de L e lige, ititulé M@ths e Lge, à l adresse : http://ljk.imag.fr/membres/berard.ycart/mel/

Plus en détail

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels

Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels Agrocampus Ouest ENIHP ère aée p. Cours I : SUITES NUMERIQUES / Défiitio I Quelques rappels Défiitio : Ue suite u est ue applicatio de l esemble N ou ue partie de N das R qui à chaque élémet de N associe

Plus en détail

Correction du TD 3 : Séries numériques

Correction du TD 3 : Séries numériques Mme Marceli - Lycée Clemeceau Séries umériques Correctio du TD : Séries umériques Exercice A chaque fois, puisqu'o demade la covergece et la valeur, o reviet à la somme partielle : esuite, soit o recoaît

Plus en détail

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004

SÉRIES DE FONCTIONS SUITES ET PC*2. 13 octobre octobre octobre 2004 3 octobre 2004 Exemple 2. O se doe a I et q C(I, K). L équatio différetielle liéaire : y (x) q(x) y(x) = 0 avec les coditios y(a) = α, y (a) = β SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS PC*2 3 octobre 2004 Admet

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Suites Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako I Gééralité sur les suites: - Pricipe du raisoemet par récurrece : Soit la propositio P() dépedat de l etier () la propositio est

Plus en détail

1. Convergence des Séries Numériques

1. Convergence des Séries Numériques Séries umériques 8 - Sommaire. Covergece des Séries Numériques.. Nature d ue série umérique.......2. Séries géométriques............ 2.3. Coditio élémetaire de covergece. 2.4. Suite et série des différeces.......

Plus en détail

Chapitre : Séries numériques.

Chapitre : Séries numériques. ESI. Math. 009/00. Chapitre : Séries umériques. Itroductio géérale: Le but de ce chapitre est de défiir ce qu est ue série umérique et ce que veut dire qu elle coverge, o doera otamet u ses à ue somme

Plus en détail

Séries numériques. 1 q n+1 1 q. si q 1 ; n + 1 si q = 1. q k = k=0. , posons U n = k. α. k=1

Séries numériques. 1 q n+1 1 q. si q 1 ; n + 1 si q = 1. q k = k=0. , posons U n = k. α. k=1 Séries umériques Défiitios et premières propriétés. Défiitios Défiitio (Série umérique) Soit () N ue suite complexe. Pour tout N o pose : U = ( ème somme partielle). La suite (U ) N est alors appelée la

Plus en détail

SUITES (Partie 2) = 3u n. et u 0. q n na (inégalité de Bernoulli), a pour limite car lim 4 n = +.

SUITES (Partie 2) = 3u n. et u 0. q n na (inégalité de Bernoulli), a pour limite car lim 4 n = +. SUITES (Partie ) I Comportemet à l'ifii d'ue suite géométrique ) Rappel Défiitio : Ue suite (u ) est ue suite géométrique s'il existe u ombre q tel que pour tout etier, o a : u + = q u Le ombre q est appelé

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u :

SUITES NUMERIQUES. q n. pour q. n + Une suite numérique est une fonction associant à tout nombre entier naturel n, un nombre réel u(n) : u : SUITES NUMERIQUES Coteus : Capacités attedues : Commetaires : Suites Limite d ue suite défiie par so terme gééral Notatio lim u Suites géométriques : - somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon.

Auteur : Simplice TANKOUA Activités de mise en place de la leçon. Auteur : Simplice TANKOUA (stakoua@yahoofr) Cours SUITES NUMÉRIQUES Leço : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Activités de mise e place de la leço Activité : (formule explicite) Exercice O cosidère la liste ordoée

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π. Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand?

n² n b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant u n? Quel est le plus petit de ces termes? Quel est le plus grand? Exercice : Détermier la limite de chaque suite (u ). a) u = si π b) u = () c) u = + d) 0,5 + cos(π) Exercice 2 : la costate d Apéry Pour tout etier, u = 3 + + 2 3 +. + 3 ) Doer u miorat de cette suite.

Plus en détail

v 0 = 0 = 3v n 2 pour tout n N

v 0 = 0 = 3v n 2 pour tout n N Termiale S Aée scolaire 07-08 Chapitre Suites umériques Bejami Gausso fermathsfr Rappels et gééralités sur les suites O rappelle que N désige l esemble des etiers aturels : N = {0; ; ; 6} Défiitio Ue suite

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1

Exercice 6 [ ] [Correction] (a) Étudier u n où u n = 1 (b) Étudier v n où v n = 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 8 décembre 6 Eocés Séries umériques Nature de séries umériques Exercice [ ] [Correctio] Détermier la ature des séries dot les termes gééraux sot les suivats : a

Plus en détail

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions

Séries Numériques. Chapitre Suites Numériques Définitions Chapitre Séries Numériques Suites Numériques Défiitios Ue suite umérique est ue applicatio de N (ou d ue partie de N) à valeurs das R ou das C O la ote u(), ou u, et o désige la suite (c est-à-dire l applicatio)

Plus en détail

1.Définition. L image par f de l entier n est le terme général de la suite noté : u n = f(n).

1.Définition. L image par f de l entier n est le terme général de la suite noté : u n = f(n). SUITES ET SERIES SUITES 1.Défiitio O appelle site esemble de ombres 1, 2,... défiis das l ordre croissat et vérifiat certaies règles de défiitio. Chaqe ombre de la site s appelle terme, est par exemple

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs UFR SFA, Licece 2 e aée, MATH326 Séries à termes positifs Das ce chapitre, u Ø 0, pour tout, et o étudie q u. O a S S = u Ø 0 : (S ) est croissate!. Gééralités. Propositio. Soit (u ) Ø0 ue suite de réels

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

Chapitre 8 : Séries. Introduction. 1 Dénitions. ECE3 Lycée Carnot. 2 décembre 2010

Chapitre 8 : Séries. Introduction. 1 Dénitions. ECE3 Lycée Carnot. 2 décembre 2010 Chapitre 8 : Séries ECE3 Lycée Carot 2 décembre 200 Itroductio Reveos pour itroduire ce chapitre quelques siècles e arrière, au temps de Zéo d'élée, philosophe grec du ciquième siècle avat J-C. Celui-ci

Plus en détail

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites

Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites I Rappels de première Chap2 Les suites : Raisoemet par récurrece limites de suites II Suites majorées, miorées, borées Défiitios : O dit qu ue suite ( u ) est majorée lorsqu il existe u réel M tel que

Plus en détail

TS Exercices sur les limites de suites (1)

TS Exercices sur les limites de suites (1) TS Exercices sur les limites de suites () Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q. Das chacu des cas suivats, doer la limite de la suite u. ) u0 ; q ) u 0 ; q ) 0 4 ) u0 6 ; q )

Plus en détail

Compléments sur les suites Suites adjacentes

Compléments sur les suites Suites adjacentes DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:3 Complémets sur les suites Suites adjacetes I Ecadremet d ue suite EXERCICE ) Motrer que pour tout k N et pour tout x [k ; k+], o a : k+ k+ k x dx k ) O pose u

Plus en détail

TS Limites de suites (3)

TS Limites de suites (3) TS Limites de suites (3) I. Rappels sur les suites majorées, miorées, borées ) Défiitio (suite majorée, miorée, borée) 5 ) Propriété Si u réel M est u majorat d ue suite u, alors tous les réels supérieurs

Plus en détail

Suites et séries réelles

Suites et séries réelles Suites et séries réelles Ue suite umérique est ue famille de ombres réels ou complexes idicées par les etiers aturels. O ote ue suite u idifféremmet (u ) N, ou (u ) 0, ou simplemet (u ). L esemble des

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI

Suites numériques. I/ Définition, propriétés globales Résumé du cours de MPSI Ξ 2 Suites umériques 2016-2017 Résumé du cours de MPSI I/ Défiitio, propriétés globales 1/ Défiitio Ue suite de complexes u est ue applicatio de N das C Notatios : L'image d'u etier par u se ote u( ou

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN

LIMITES DE SUITES. n ) u n = 2 n pour n IN 5 ) u n = 2n + 1 n - 5 pour n ³ 6 6 ) u n = (-1)n pour n IN LIMITES DE SUITES I Limites fiies ou ifiies Exercice 1 Pour chacue des suites, e calculat différets termes, cojecturer la valeur limite de u quad deviet ifiimet grad (c'est-à-dire quad ted vers + ). 1

Plus en détail

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1

SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE 1 SOLUTIONS AUX EXERCICES DE LA FEUILLE. Exercice. Ue suite de réels positifs qui coverge vers 0 est décroissate à partir d u certai rag. C est faux. Pour costruire u cotre-exemple, o pourrait cosidérer

Plus en détail

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition.

CHAPITRE II. - Séries à termes réels positifs ou nuls. III-Séries - à termes quelconques. Définition. CHAPITRE II Séries umériques I II - Défiitios et propriétés géérales - Séries à termes réels positifs ou uls III-Séries - à termes quelcoques I-Défiitios et propriétés géérales Défiitio. Soit (u N ue suite

Plus en détail

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème

Exercices. Limites de suites. Limite d une suite Dans les exercices suivants, déterminer la limite de la suite (u n ) en précisant le théorème Exercices Limites de suites Exercice Limite d ue suite Das les exercices suivats, détermier la limite de la suite (u ) e précisat le théorème utilisé. ) u = + + + + ) u = cos(), N 3) u = + cos 4 3 4) u

Plus en détail

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES

Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Nous allos voir commet : 1) Cojecturer le comportemet d ue suite ) Raisoer par récurrece 3) Utiliser les suites arithmétiques et géométriques 4) Étudier le comportemet

Plus en détail

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation

Etude asymptotique de suites de solutions d une équation [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mai 206 Eocés Etude asymptotique de suites de solutios d ue équatio Exercice [ 02289 ] [Correctio] Soit u etier aturel et E l équatio x + l x = d icoue x R +.

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites

12 Cours - Suites.nb 1/11. Suites 12 Cours - Suites.b 1/11 Suites I) Gééralités 1) Défiitio 2) Notatio 3) Commet peut être défiie ue suite 4) Suites et ordre 5) Propriété vraie à partir d u certai rag 6) Exercice 7) Suites arithmétiques,

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

SÉRIES. Cette question spécifique appelle des résultats spécifiques qui sont l objet du chapitre. u k (n ème reste de la série), alors : lim.

SÉRIES. Cette question spécifique appelle des résultats spécifiques qui sont l objet du chapitre. u k (n ème reste de la série), alors : lim. Christophe Bertault Mathématiques e MPSI SÉRIES INTRODUCTION AUX SÉRIES. SÉRIE, SOMME, PREMIERS EXEMPLES Défiitio (Série, sommes partielles) Soit(u ). Pour tout, o pose : U partielle). La suite(u ) est

Plus en détail

Analyse mathématique II

Analyse mathématique II UNIVERSITÉ IBN ZOHR Faculté des Scieces Juridiques Écoomiques et Sociales Corrigés des QCM Aalyse mathématique II FILIÈRE SCIENCES ÉCONOMIQUES ET GESTION PREMIERE ANNÉE Sessio ormale 03/04 40 questios

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul de limites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = +

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques

Synthèse de cours PanaMaths (TS) Suites numériques Sythèse de cours PaaMaths (TS) Suites umériques Das ce chapitre, le terme «suite» désige ue suite umérique (c'est-à-dire, das le cadre du programme de Termiale S, ue suite de réels). Ue telle suite sera

Plus en détail

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel,

pour 1. b) si ( ) converge, alors 567 =l avec l réel, Exercices aales corrigés : Suites Sujet atioal septembre 007 ( bac blac 008) La suite u est défiie par : = et = pour tout etier aturel a O a représeté das u repère orthoormé direct du pla doé ci-dessous,

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

Limite d'une suite. soit n > 9

Limite d'une suite. soit n > 9 Limite d'ue suite I) Limite d'ue suite : a) ite ifiie : défiitio : Ue suite (u ) a pour ite + quad ted vers + si tout itervalle de la forme ]A; +[ (A état u réel) cotiet tous les termes u à partir d'u

Plus en détail

FONCTIONS DE CLASSE C 1

FONCTIONS DE CLASSE C 1 FONCTIONS DE CLASSE C FONCTIONS DE CLASSE C La otio de classe C pour ue foctio est présete e aalyse (étude de foctios umériques à ue variable réelle, itégratios par parties) et e probabilités (foctio de

Plus en détail

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé

Planche n o 6. Séries numériques. Corrigé Plache o 6 Séries umériques Corrigé Exercice o Pour, o pose u l ère solutio u l ++, u existe + + + l + +O +O O Comme la série de terme gééral,, coverge série de Riema d exposat α >, la série de terme gééral

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 22 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE MP MATHEMATIQUES EXERCICE : ormes équivaletes. Soit f E. f est de classe C sur [,]. Doc la foctio f est cotiue sur le segmet [,] et par suite la foctio

Plus en détail

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées

Ch.1 ( ) ( ) + 9 ( ) ( ) = n ( n + 1 )( n + 2) ( )? ( ) ( ) ( )( n + 2) SUITES PARTIE 1 récurrence et suites bornées Termiale S Ch1 SUITES PARTIE 1 récurrece et suites borées Das tout le chapitre, les etiers cosidérés sot aturels, c'est-à-dire positifs ouls I Raisoemet par récurrece 1 / Itroductio Exercice 1 : soit u

Plus en détail

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =?

1 Séries numériques COURS L2, SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES =? COURS L2, 200-20. SUITES, SÉRIES, INTÉGRALES IMPROPRES Séries umériques. série géométrique et série téléscopique + 2 + 4 + 8 + 6 +? Figure. quelle est la logueur? Soit q > 0 (das l exemple ci-dessus q

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes

1. Limite d'une suite... p2. Suites convergentes Suites covergetes 1.... p2 4. Cas particuliers... p9 2. Limites et comparaiso... p6 5. Suites mootoes... p11. Opératios sur les limites... p7 1. Limite d'ue suite 1.1. Limite ifiie a) Défiitios O dit que

Plus en détail

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites

Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites Uiversité de Cergy-Potoise Départemet de Mathématiques L MIPI - S2 205/206 Cours de Mathématiques : Polyômes et Suites - Polycopié d Exercices Chapitre : Nombres complexes Exercice a) Détermier la partie

Plus en détail

Feuille 2 : Séries numériques.

Feuille 2 : Séries numériques. Feuille 2 : Séries umériques. Master Eseigemet Spécialité Maths Coseils O accordera ue importace toute particulière aux démostratios des théorèmes du cours. Certais exercices de cette feuille sot ispirés

Plus en détail

Corrigé feuille d exercices 4

Corrigé feuille d exercices 4 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 008/009 MIME LM5-Suites et Itégrales Groupes Corrigé feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ue suite u N est pas croissate, si o N, u + u est vérifiée

Plus en détail

Limites de suites, cours, terminale S

Limites de suites, cours, terminale S Limites de suites, cours, termiale S Covergece de suites Déitio : Soit (u ) ue suite. O dit que (u ) coverge vers u réel l ou a pour limite l lorsque tout itervalle ouvert A coteat l, cotiet tous les termes

Plus en détail

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire

Cours de Mathématiques Séries numériques ou vectorielles Sommaire Sommaire Sommaire I Gééralités sur les séries......................... 2 I. Espace vectoriel des séries, Sous-espace des Séries covergetes.... 2 I.2 Critère de Cauchy. Espace des séries ormalemet covergetes....

Plus en détail

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M

( ) ( ) ( ) ( 4) Terminale S Exercices sur le chapitre «Suites numériques» Page 1. deux nombres réels. Initialisation Récupérer la valeur de M Termiale S Exercices sur le chapitre «Suites umériques» Page Exercice : O cosidère la suite ( p ) défiie sur N par ) O cosidère l algorithme suivat : Variables u etier aturel et deux ombres réels Iitialisatio

Plus en détail

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation).

P(n) : quelque soit n entier naturel : n 3 = ( n) 2. P(n 0 ) est vraie (initialisation). T ale S Chapitre. Résumé page 3.. Pricipe de récurrece. a. Exemple. 3 + 3 = + 8 = 9 = ( + ) 3 + 3 + 3 3 = + 8 + 7 = 36 = ( + + 3) O voudrait démotrer la propriété géérale : P() : quelque soit etier aturel

Plus en détail

Les suites réelles. Copyright Dhaouadi Nejib Dhaouadi Nejib

Les suites réelles. Copyright Dhaouadi Nejib Dhaouadi Nejib Les sites réelles Copyright Dhaoadi Nejib 009 00 http://wwwsigmathscocc Dhaoadi Nejib http://wwwsigmathscocc Page : Sites Réelles Das ce chapitre I désige l esemble des etiers 0 ( 0 N ) I Rappels et complémets

Plus en détail

Chapitre 2 : Raisonnement par récurrence, manipulation de sommes.

Chapitre 2 : Raisonnement par récurrence, manipulation de sommes. ECS1B Carot Chapitre 013/014 Chapitre : Raisoemet par récurrece, maipulatio de sommes Objectifs : Écrire propremet u raisoemet par récurrece (simple, double Maipuler les symboles Σ et sas erreur ceci viedra

Plus en détail

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( )

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( ) Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page sur 5 Ce que dit le programme : Défiitio Soiet f ue foctio défiie sur u itervalle I de R et a = O dit que f est cotiue e a si lim f x f a O dit que f

Plus en détail

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3

Suites de réels. Contents. 1 Retenez au moins ça 3 Suites de réels Cotets 1 Reteez au mois ça 3 Bore supérieure 3.1 Déitios.......................................... 3.1.1 Relatio d'ordre sur u esemble E....................... 3.1. Ordre total.....................................

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d u dé truqué - Deuxième aée - 1. X pred ses valeurs das {1,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque

Plus en détail

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

Suites numériques. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Suites umériques. 1. Mode de géératio des suites... p2 4. Le raisoemet par récurrece... p4 2. Relatio de récurrece... p3 5. Ses de variatio des suites... p6 3. Suites arithmétiques, suites géométriques...

Plus en détail