Allocation stratégique d actifs et ALM pour les régimes de retraite

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1 N d ordre : 00-0 Année 0 THÈSE présenée devan l UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD - LYON ISFA pour l obenon du DIPLÔME DE DOCTORAT Spécalé scences acuarelle e fnancère présenée e souenue publquemen le 00/00/0 par Mr. Alaeddne FALEH Allocaon sraégque d acfs e ALM pour les régmes de rerae Composon du jury : Dreceur de hèse : Pr. Frédérc PLANCHET Dr. Dder RULLIERE (co-dreceur) Présden : Rapporeurs : Pr. Jean-Claude AUGROS Professeur à l Unversé Claude Bernard Lyon (I.S.F.A.) Pr. Jean-Paul LAURENT Professeur à l Unversé Pars Panhéon-Sorbonne Pr. Franços DUFRESNE Professeur à l Unversé de Lausanne (Susse) Dreceur de hèse : Pr. Frédérc PLANCHET Professeur assocé à l Unversé Claude Bernard Lyon (I.S.F.A.) Dr. Dder RULLIERE Maîre de conférences à l Unversé Claude Bernard Lyon (I.S.F.A.) Suffragan : Pr. Jean-Perre AUBIN Professeur Émére à l'unversé Pars-Dauphne Dr. Gullaume LEZAN Casse des Dépôs e Consgnaons (CDC) -Ecole Docorale Scences Economques e de Geson- -Insu de Scence Fnancère e d'assurances (Unv. Lyon I) - -Laboraore de Scences Acuarelle e Fnancère (équpe d accuel n 49)-

2 RÉSUMÉ La présene hèse s néresse aux modèles d allocaon sraégques d acfs e à leurs applcaons pour la geson des réserves fnancères des régmes de rerae par réparon, en parculer ceux parellemen provsonnés. L éude de l ulé des réserves pour un sysème par réparon e a foror de leur geson rese un suje peu exploré. Les hypohèses classques son parfos jugées rop resrcves pour décrre l'évoluon complexe des réserves. De nouveaux modèles e de nouveaux résulas son développés à ros nveaux : la généraon de scénaros économques (GSE), les echnques d opmsaon numérque e le chox de l allocaon sraégque opmale dans un conexe de geson acf-passf (ALM). Dans le cadre de la généraon de scénaros économques e fnancers, cerans ndcaeurs de mesure de performance du GSE on éé éudés. Par alleurs, des améloraons par rappor à ce qu se praque usuellemen lors de la consrucon du GSE on éé apporées, noammen au nveau du chox de la marce de corrélaon enre les varables modélsées. Concernan le calbrage du GSE, un ensemble d ouls permean l esmaon de ses dfférens paramères a éé présené. Cee hèse a égalemen accordé une aenon parculère aux echnques numérques de recherche de l'opmum, qu demeuren des quesons essenelles pour la mse en place d'un modèle d'allocaon. Une réflexon sur un algorhme d opmsaon globale d une foncon non convexe e bruée a éé développée. L algorhme perme de moduler faclemen, au moyen de deux paramères, la rééraon de rages dans un vosnage des pons soluons découvers, ou à l nverse l exploraon de la foncon dans des zones encore peu explorées. Nous présenons ensue des echnques novarces d'alm basées sur la programmaon sochasque. Leur applcaon a éé développée pour le chox de l allocaon sraégque d acfs des régmes de rerae par réparon parellemen provsonnés. Une nouvelle méhodologe pour la généraon de l arbre des scénaros a éé adopée à ce nveau. Enfn, une éude comparave du modèle d ALM développé avec celu basé sur la sraége Fxed-Mx a éé effecuée. Dfférens ess de sensblé on éé par alleurs ms en place pour mesurer l mpac du changemen de ceranes varables clés d enrée sur les résulas produs par nore modèle d ALM. MOTS-CLÉS Geson acf-passf, Allocaon d acfs, Généraon de scénaros, Opmsaon sochasque, Programmaon sochasque, Régme de rerae

3 ABSTRACT Ths hess focuses on he sraegc asse allocaon models and on her applcaon for he fnancal reserve managemen of a pay-as-you-go (PAYG) reremen schemes, especally hose wh paral provson. The sudy of he reserve uly for a PAYG sysem and of her managemen sll leaves a lo o be explored. Classcal hypohess are usually consdered oo resrcve for he descrpon of he complex reserve evoluon. New models and new resuls have been developed over hree levels : economc scenaro generaon (ESG), numercal opmzaon echnques and he choce of opmal sraegc asse allocaon n he case of an Asse-Lably Managemen (ALM). For he generaon of fnancal and economc scenaros, some ESG performance ndcaors have been suded. Also, we dealed and proposed o mprove ESG consrucon, noably he choce of he correlaon marx beween modelled varables. Then, a se of ools were presened so ha we could esmae ESG parameers varey. Ths hess has also pad parcular aenon o numercal echnques of opmum research, whch s an mporan sep for he asse allocaon mplemenaon. We developed a reflexon abou a global opmsaon algorhm of a non convex and a nosy funcon. The algorhm allows for smple modulang, hrough wo parameers, he reeraon of evaluaons a an observed pon or he exploraon of he nosy funcon a a new unobserved pon. Then, we presened new ALM echnques based on sochasc programmng. An applcaon o he sraegc asse allocaon of a reremen scheme wh paral provson s developed. A specfc mehodology for he scenaro ree generaon was proposed a hs level. Fnally, a comparave sudy beween proposed ALM model and Fxed-Mx sraegy based model was acheved. We also made a varey of a sensvy ess o deec he mpac of he npu values changes on he oupu resuls, provded by our ALM model. KEY-WORDS Asse-Lably Managemen, Asse Allocaon, Scenaro Generaon, Sochasc Opmzaon, Sochasc Programmng, Reremen Scheme

4 REMERCIEMENTS Je souhae ou d'abord remercer vvemen Prof. Frédérc PLANCHET pour avor drgé ma hèse. Je sus parculèremen reconnassan de la confance qu'l a su m'accorder dès les premers klomères de ce marahon, ans que de ses préceux consels. Je veux égalemen remercer Dr. Dder RULLIERE, qu a co-drgé cee hèse, e don les suggesons on éé parculèremen profables au développemen de cee hèse. J'adresse chaleureusemen mes remercemens aux membres du jury auxquels je sus reconnassan pour l honneur qu ls me fon de juger ce raval. Cee hèse a égalemen reçu un souen consdérable, à son commencemen, de la par du Prof. Jean Claude AUGROS. Je le remerce d'avor éé oujours dsponble pour répondre à mes quesons. Mes vfs remercemens s adressen à Mme. Edh JOUSSEAUME (drecrce du déparemen des Invesssemens e de Compablé à la Casse des Dépôs e Consgnaon) pour m'avor accordé sa confance e son encouragemen : des aous qu on perms le déroulemen de mon raval, au sen de son déparemen, dans les melleures condons. Ma profonde graude à Dr. Lezan GUILLAUME, mon responsable scenfque à la Casse des Dépôs e Consgnaon, qu a passé ben des heures dans la relecure de cee hèse ou en l'enrchssan avec ses pernenes suggesons. Cee hèse a bénéfcé d'un préceux souen, à son commencemen, de la par de Mr. Perre LEYGUE (Casse des Dépôs e consgnaons) envers qu je rese oujours reconnassan. J'adresse un remercemen ou parculer à ma chère femme Asma pour la paence don elle a fa preuve pendan ces dernères années de raval e l'explo de me supporer duran cee pérode. Merc égalemen à ma famlle pour avor consen l élognemen e ben d aures sacrfces en vue de l aboussemen de cee hèse. Fnalemen, je remerce ous ceux qu on parcpé, de près ou de lon, à l accomplssemen de ce raval.

5 A mes deux chers parens

6 C'es que oue œuvre scenfque "achevée" n'a d'aure sens que celu de fare naîre de nouvelles "quesons" [Max Weber - "Le savan e le polque"]

7 Sommare Sommare... Inroducon générale.4 Pare I : Les généraeurs de scénaros économques (GSE) Inroducon Chapre : Eude des GSE...9 I- Présenaon héorque I- Problèmes héorques de modélsaon lés aux GSE I- Léraure sur les srucures des GSE II- Mse en œuvre d un GSE II- Srucure schémaque de projecon de scénaros pour un GSE II- Méhodologes pour la généraon de scénaros économques II-3 Probablé rsque-neure Vs probablé réelle...36 II-4 L excluson de valeurs négaves pour les modèles de aux...37 III- Mesure de qualé III- Mesure qualave de la qualé d un GSE 38 III- Mesure quanave de la qualé d un GSE..40 III-3 Applcaon numérque Concluson du chapre...49 Chapre : Consrucon d un généraeur de scénaros économques. 50 I- Concepon e composanes I- Concepon héorque I- Composanes II- Calbrage...73 II- Présenaon du conexe de l éude II- Calbrage du modèle de l nflaon

8 II-3 Calbrage du modèle des aux réels II-4 Calbrage du modèle des acons II-5 Calbrage du modèle de l mmobler II-6 Calbrage du modèle de créd III- Projecon des scénaros.. 93 III- Élémens sur la mse en œuvre III- Tess du modèle : paramères e marce de corrélaon III-3 Résulas de projecon Concluson du chapre.0 Concluson de la pare I...0 Pare II : L allocaon sraégque d acfs dans le cadre de la geson acf-passf (ALM)..... Inroducon...3 Chapre : Les modèles d ALM classques (déermnses) 8 I- Immunsaon du porefeulle...8 I- Adossemen des flux de résorere I- Adossemen par la duraon...0 II- Modèles basés sur le surplus..5 II- Modèle de Km e Sanomero [988] II- Modèle de Sharpe e Tn [990] II-3 Modèle de Lebowz [99] II-4 Duraon du Surplus. 37 Concluson du chapre.39 Chapre : Allocaon sraégque d acfs e sraége Fxed-Mx I- Eude de l allocaon d acfs dans le cadre de la sraége Fxed-Mx I- Présenaon I- Applcaon... 43

9 II- Proposon de méhodes numérques II- Inroducon..68 II- Une grlle à pas varable par subdvson sysémaque...73 II-3 Une grlle à pas varable avec rerage possble...88 II-4 Applcaons numérques..9 II-5 Concluson Concluson du chapre. Chapre 3 : Allocaon sraégque d acfs e modèles d ALM dynamque...3 I - L allocaon sraégque d acfs dans le cadre des modèles classques d ALM dynamque..4 I- Présenaon générale I- Technques d assurance de porefeulle....5 I-3 Programmaon dynamque II- L allocaon sraégque d acfs dans le cadre de la programmaon sochasque....7 II- Inroducon II- Présenaon de la programmaon sochasque II-3 Illusraon de la programmaon sochasque avec recours dans le cas de la planfcaon de la producon...30 II-4 Formulaon mahémaque de la programmaon sochasque avec recours..36 II-5 Résoluon des programmes sochasques III- Nouvelle approche d ALM par la dscrésaon des scénaros économques III- Méhode des quanles de référence pour le GSE III- Modèle d'opmsaon basé sur la programmaon sochasque III-3 Dscusson des résulas Concluson du chapre 3.60 Concluson de la pare II 60 Concluson générale.6 Index des graphques Bblographe...7 Table des maères

10 INTRODUCTION GÉNÉRALE 4

11 Objecfs e enjeux de la hèse Le champ d éude offer par les régmes de rerae es rès éendu e peu êre segmené selon dfférenes clés elles que noammen : régmes publcs versus régmes d enreprses, geson en réparon versus geson en capalsaon, régmes à cosaons défnes versus régmes à presaons défnes, ec Tros suaons peuven êre recensées pour un régme donné : régme provsonné (cas où le régme es enu à la couverure oale des engagemens souscrs par ses cosans e reraés acuels), régme parellemen provsonné (couverure d une pare seulemen des engagemens souscrs par ses cosans e reraés acuels) e enfn régme non provsonné. Pour apprécer la soldé prudenelle d un régme de rerae, les expers se son longemps lmés à une approche bnare, selon laquelle l convena de ou provsonner dans le cas d un sysème par capalsaon e ren dans le cas d un sysème par réparon. Des ravaux récens meen en évdence l ulé de réserves pour un sysème par réparon (cf. Delarue [00]). Le fonconnemen fnancer des régmes de rerae par réparon, en parculer en France, peu êre schémasé comme su : les flux de cosaons permeen de régler les flux de presaons, ensue le surplus perme, le cas échéan, d almener une réserve desnée à régler une pare des presaons fuures. Cee même réserve peu se vor prélever le solde echnque débeur s l s avère que les cosaons son nsuffsanes pour régler les presaons. Dans le même emps, la réserve es placée sur les marchés fnancers e allouée selon dfférenes classes d acfs. La geson acf-passf d un régme par réparon parellemen provsonné peu êre basée sur l opmsaon de la valeur de la réserve, compe enu des conranes lées au passf qu l do respecer. C es dans ce cadre que le chox d une «bonne» allocaon sraégque joue un rôle essenel dans le ploage acf-passf d un régme de rerae, éan donné que les réserves conrbuen à par enère à la soldé du régme. Cependan une dffculé consse à défnr la «melleure» sraége de placemen de ces réserves sur les marchés fnancers, noammen dans un conexe de fores ncerudes économques, comme c es acuellemen le cas du fa de la récene crse fnancère. La présene hèse es consacrée aux modèles d allocaon sraégques d acfs e à leurs applcaons pour la geson des réserves fnancères des régmes de reraes sur le long-erme. Mode d organsaon des sysèmes de rerae fondé sur la soldaré enre généraons. Les cosaons versées par les acfs au re de l assurance vellesse serven mmédaemen à payer les reraes. L équlbre fnancer des sysèmes de rerae par réparon es foncon du rappor enre le nombre de cosan (populaon acve, aux de crossance des revenus) e celu des reraés. Le sysème franças de rerae es fondé sur le prncpe de la réparon. Mode d organsaon des sysèmes de rerae dans lequel les cosaons d un assuré son placées à son nom duran sa ve acve (placemens fnancers e mmoblers, don le rendemen vare en foncon des aux d nérê) avan de lu êre resuées sous forme de rene après l arrê de son acvé professonnelle. La consuon du capal peu s effecuer à re ndvduel ou dans un cadre collecf (accord d enreprse). En France, seuls les sysèmes de rerae ds sur-complémenares (ex. PREFON, COREM, le PERP ou plan d épargne populare) fonconnen selon le prncpe de la capalsaon à l excepon du RAFP. 5

12 Deux pons parculers fon l obje d un examen approfond : d une par les généraeurs de scénaros économques (GSE) ulsés pour la modélsaon des flucuaons des acfs fnancers sur le long-erme pus, dans un deuxème emps, les modèles proposés pour l élaboraon de l allocaon d acfs elle-même. A chaque fos les aspecs héorques précèderon la mse en œuvre opéraonnelle sur des exemples. Concernan les GSE, nous meons en évdence leurs prncpales composanes, que ce so au nveau de la concepon héorque ou à celu de la mse en œuvre. Le chox de ces composanes es lé à la vocaon fnale du généraeur de scénaros économques, que ce so en an qu oul d évaluaon des produs fnancers (prcng) ou en an qu oul de projecon e de geson des rsques. Par alleurs, nous développons une éude sur cerans ndcaeurs de mesure de la performance du GSE comme un oul en amon du processus de prse de décson : la sablé e l absence de bas. Une applcaon numérque permean d llusrer ces dfférens pons es présenée. Nore objecf fnal es de proposer un GSE adapé aux spécfcés de la geson acf-passf d un régme de rerae. Dfférens modèles de dffuson e d esmaon de leurs paramères on ans éé envsagés pour le panel des varables fnancères e macro-économques qu nervennen dans ce conexe. Cee pare es llusrée par une comparason des résulas du généraeur de scénaro proposé avec ceux obenus avec le modèle d Ahlgrm e al. [005]. A ce nveau, nore éude se dsngue par l'adopon d'une démarche novarce don l'objecf es de enr compe de l'nsablé emporelle de la corrélaon enre les renablés des acfs. Auremen d, nous enons compe dans la modélsaon des possblés d'évoluon de cee corrélaon selon dfférens régmes. L dée prncpale es de parr de l approche classque de changemen de régme (cf. Hamlon [989, 994] e Hardy [00]), qu concerne souven les rendemens moyens ans que les volalés, pour supposer que les corrélaons basculen elles auss d un régme à un aure. Nous nrodusons un nouveau concep qu es celu de la «corrélaon à rsque» correspondan à la marce de corrélaon dans le régme de crse (régme à fore volalé des marchés). Cee marce reflèera a pror la percepon subjecve de l nvessseur en foncon des rsques auxquels l es exposé. La marce de corrélaon dans le régme à fable volalé sera consdérée comme celle refléan la sablé des marchés (esmée par exemple à parr de données hsorques hors pérodes de crses). Une llusraon numérque de cee démarche es présenée. Concernan les modèles d allocaon d acfs, nore éude es axée sur la comparason des modèles dsponbles selon les hypohèses sous-jacenes de «rebalancemen» des porefeulles : nous fasons la dsncon enre une geson «saque» (pour laquelle les pods revennen pérodquemen à ceux de l allocaon sraégque de long-erme - cas par exemple des modèles à pods consans Fxed-Mx) e une geson de «dynamque», pour laquelle les pods peuven s écarer défnvemen de l allocaon sraégque nale selon des règles de geson prédéfnes. Nous verrons que l approche dynamque présene l avanage héorque de la robusesse face aux changemens de régme des marchés. L auorsaon du changemen des pods des dfférenes classes d acfs, sur la base d une règle de geson ben défne, consue a pror un élémen néressan. Cela en effe perme l ajusemen des exposons aux dfférenes classes d acfs sue à l évoluon des condons de marché. 6

13 La geson dynamque de porefeulle sur le long erme rese un domane de recherche relavemen peu exploré, par comparason avec l mporance des ravaux déjà réalsés sur les aspecs à cour erme. Nous pouvons néanmons cer, par exemple, les éudes de Hanau e al. [005], Hanau e al. [007], Rudolf e al. [004] e Yen e al. [003], sachan que ces dfférens aueurs fon par des dffculés praques d mplémenaon, en rason de la complexé des modèles proposés. Cee réflexon sur la consrucon de modèles d allocaon d acfs applcables dans une opque prévsonnelle à long-erme nous condura à éuder une approche nnovane fondée sur les echnques de «programmaon sochasque» (cf. Brge e Louveaux [997]). Il s'ag d'une verson adapée d une echnque déjà ulsée dans le domane de l ngénere pour la planfcaon de la producon (cf. Danzg e al. [990], Escudero e al. [993]). L objecf sera la mse en évdence e l éude des caracérsques de cee approche. Comme déjà menonné, cee hèse accorde égalemen une aenon oue parculère aux echnques numérques de recherche de l'opmum, qu demeuren des quesons essenelles pour la mse en place d'un modèle d'allocaon. Le pon de dépar sera nore consa d un emps de calcul sgnfcaf dû smulanémen à un nombre élevé de scénaros économques générés e à un nombre d allocaons d acfs esées égalemen élevé. Dans ce cadre, nous présenons un algorhme d opmsaon globale d une foncon non convexe e bruée. L algorhme es consru après une éude de crères de comproms enre, d une par, l exploraon de la foncon objecf en de nouveaux pons (correspondan à des ess sur de nouvelles allocaons d acfs) e d aure par l améloraon de la connassance de celle-c, par l augmenaon du nombre de rages en des pons déjà explorés (correspondan à la généraon de scénaros économques supplémenares pour les allocaons d acfs déjà esées). Une applcaon numérque llusre la conformé du comporemen de ce algorhme à celu prévu héorquemen. L ensemble de ce raval se place dans le conexe des régmes de rerae par réparon en France : par sue les dfférenes applcaons proposées endron compe des spécfcés de ces régmes. De même, la fasablé opéraonnelle es un des objecfs «cbles» que nous gardons à l espr ou au long de cee éude. Enfn, les ros années de préparaon de cee hèse on donné leu à la rédacon de ros arcles, poran respecvemen sur les généraeurs de scénaros économques (cf. Faleh, Planche e Rullère [00] «Les généraeurs de scénaros économques : de la concepon à la mesure de la qualé», Assurances e geson des rsques, n double avrl/julle, Vol. 78 (/)), les echnques numérques d opmsaon (cf. Rullère, Faleh e Planche [00] «Un algorhme d opmsaon par exploraon sélecve», soums) e l allocaon sraégque d acfs avec les echnques de programmaon sochasque (cf. Faleh [0] «Un modèle de programmaon sochasque pour l allocaon sraégque d acfs d un régme de rerae parellemen provsonné», soums). Imporance de l allocaon sraégque d acfs L'allocaon sraégque d'acfs d un régme de rerae (ou d une compagne d assurance en général) es souven défne comme une éape d un processus plus général de la geson acfpassf, en parculer comme l éape en aval de l appréhenson des rsques e en amon de l allocaon acque d acfs. Compe enu de ce posonnemen, l allocaon sraégque d acfs vse, so à confrmer l'opmalé de la srucure de l'acf exsan de la réserve, so à proposer une srucure opmale d'acfs de cee réserve qu permee au régme d aendre un 7

14 ceran objecf de performance fnancère ou en respecan ses engagemens avec un nveau de confance donné. La caracérsaon de sraégque ven d une par de l horzon emporel auquel s applquen les éudes d allocaon sraégque, d aure par du nombre lmé de classes d acfs consdérées dans ces éudes, généralemen lmé enre ros e dx au maxmum. Après avor déermné l ensemble des allocaons d acfs possbles (allocaons à eser), la résoluon du problème de déermnaon de l allocaon sraégque d acfs pour le régme de rerae éudé passe en praque par ros éapes prncpales. La premère éape consse à générer des rajecores pour chaque classe d acfs (acons, oblgaons, mmobler, ec.). La deuxème consse à projeer chaque allocaon possble en foncon de la règle de geson du dsposf. La rosème éape vse à déermner la valeur de la foncon objecf pour chacune de ces allocaons. Seron suscepbles d êre reenues alors celles qu à la fos maxmsen la foncon objecf e respecen les conranes fxées. L mporance de l allocaon sraégque pour les nvessseurs à long erme es mse en évdence dans l éude de Brnson e al. [99] comme le monre le graphque suvan : Allocaon sraégque d acfs + Marke Tmng + Sock pckng 97,9% Allocaon sraégque d acfs + Marke Tmng 93,3% Allocaon sraégque d acfs 9,5% Fg. : Pourcenages de la performance globale explqués par ceranes composanes de l allocaon d acfs selon l éude de Brnson e al. [99] Selon cee éude, la geson passve d un ndce de référence réplquan le jeu de pods sraégques du porefeulle suff pour obenr l essenel de la performance espérée de ce porefeulle (auremen d l évoluon de la renablé d un porefeulle es à 9,5 % le résula de l évoluon des classes d acfs sur lesquelles l es nves). L allocaon acque qu perme de bénéfcer des neffcences emporares du marché des res e qu peu avor pour source so une sélecon opmale de res dfférens de ceux de l ndce (sock pckng) so le chox opmal des daes d acha e de vene de ces res (marke mng), n explque que prés de 6,5 % de la performance globale obenue n fne sur le porefeulle. L allocaon sraégque do enr compe de l évoluon dans le emps des rendemens des acfs e de leur srucure de dépendance. Cela passe par la sélecon de la dynamque de chaque varable pour ensue effecuer l esmaon des paramères du modèle chos (le 8

15 calbrage du modèle). Nous aboussons ans à la mse en place d un modèle de généraon de scénaros économques de long erme permean la projecon auss ben de la valeur de l acf que celle du passf (le cas échéan). Allocaon sraégque e généraeurs de scénaros économques La projecon sur le long erme des valeurs de marché des acfs fnancers e des varables macro-économques, souven appelée «généraon de scénaros économques», consue une phase crucale dans le processus d allocaon sraégque des fonds d une compagne d assurance ou d un fonds de rerae. Elle es un élémen cenral de l évaluaon des provsons pour les garanes fnancères sur des conras d épargne dans le cadre de la drecve Solvablé II (cf. Planche [009]). Un généraeur de scénaros économques (GSE) s avère ans un oul mporan d ade à la décson dans le domane de la geson des rsques, en permean d obenr des projecons dans le fuur des valeurs des élémens qu son présens dans les deux comparmens du blan de la socéé : les acfs (acons, oblgaons, mmobler,..) e le passf (provsons echnques, dees fnancères,..). L obenon de ces valeurs passe par la projecon d aures varables macro-économques e fnancères elles que les aux d nérê, l nflaon des prx, l nflaon des salares e le aux de chômage. A re d exemple, les prx fuurs des oblgaons son dédus à parr de la projecon des aux d nérê (cf. Ahlgrm e al. [008]), de même les presaons fuures du régme de rerae peuven êre ndexées sur l nflaon des prx e/ou l nflaon des salares (cf. Kouwenberg [00]). Du pon de vue opéraonnel, la mse en œuvre de ces projecons s es basée nalemen sur des méhodes déermnses, dans des logques de scénaros, pour eser le comporemen des objecfs echnques dans dfférenes suaons consdérées comme caracérsques. Grâce au développemen concoman de l oul nformaque e des echnques de smulaon, l es devenu possble de générer à mondre coû de rès nombreux scénaros en enan compe des neracons enre les mulples sources de rsque e de leurs dsrbuons, dans une perspecve probablse. La consrucon e la mse en œuvre d un GSE passen par les quare éapes suvanes (vor par exemple Hbber e al. [00] ou Ahlgrm e al. [005]) : la premère éape consse en l denfcaon des sources de rsque prses en compe e des varables fnancères à modélser (aux d nérê, nflaon, rendemen des acons, ec.) qu on appellera dans la sue les varables du GSE. Ensue es effecué le chox du modèle pour la dynamque de chacune de ces varables. La rosème éape consse à séleconner une srucure de dépendance enre les sources de rsque de façon à obenr des projecons cohérenes. Ensue l esmaon e le calbrage des paramères des modèles reenus doven êre effecués. Enfn l analyse des résulas obenus de chaque GSE se fa en ermes probablses, en analysan la dsrbuon d ndcaeurs clés els que le surplus, ou la valeur nee de l acf. Consrure un GSE pernen pour l ensemble des problémaques echnques n es pas chose facle, e en praque les objecfs des décsonnares en ermes de chox de geson on une ncdence sur la manère de srucurer le généraeur (cf. Ahlgrm e al. [008]). Deux nveaux de dffculés peuven êre dsngués : celu relaf à la concepon héorque d un GSE e celu relaf à sa mse en œuvre praque. Il es donc parculèremen mporan de défnr avec précson les prncpaux élémens qu caracérsen un GSE ans que les ndcaeurs de mesure de sa qualé e de sa performance. 9

16 Allocaon sraégque dans le cadre de l ALM De son côé, la geson acf-passf, ou Asse Lably Managemen (ALM), consse dans une méhode globale e coordonnée permean à une socéé e noammen à un régme de rerae parellemen provsonné, de gérer la composon e l adéquaon de l ensemble de ses acfs e passfs. Les echnques ulsées pour sa mse en place dffèren parculèremen en foncon de la naure des engagemens du régme. Récemmen, la geson acf-passf s es mposée pour les fonds de penson comme une approche de geson des rsques qu en compe des acfs, des engagemens e auss des dfférenes neracons exsanes enre ces deux pares (cf. Adam[007]). Les gérans des fonds doven déermner les sraéges admssbles qu garanssen avec une probablé suffsane que la solvablé du fonds es assurée (compe enu des presaons aendues). La solvablé es défne comme la capacé du fonds à payer les presaons sur le long erme. La solvablé du fonds à une dae fxée es souven mesurée par le rao de fnancemen (le fundng rao). Il s ag du rao de la valeur des acfs fnancers du fonds par rappor à la valeur des engagemens acualsés à un aux de rendemen chos. Le sous fnancemen (under-fundng) aura leu lorsque ce rao es nféreur à. Une aure façon d exprmer le sous fnancemen es de dre que le surplus es négaf. Ce derner représene en fa l écar enre la valeur des acfs e la valeur des engagemens acualsés. Noons auss que la défnon de la noon d acf ou d engagemen dffère selon l approche ulsée (compable ou économque) e selon le ype de régme (capalsaon, réparon provsonné ou pas) : cela nflue sur le calcul du rao de fnancemen. Les fonds des régmes de rerae son plus ou mons exposés à pluseurs faceurs de rsque, don le plus mporan pour le géran de fonds es le rsque de sous fnancemen (rsk of underfundng) : c es le rsque que la valeur des engagemens so supéreure à la valeur des acfs. Les sources de ce rsque peuven êre classées en deux caégores : les rsques fnancers (rsque des acons, rsque de aux, rsque de créd, ) e les rsques acuarels (rsque de longévé, rsque de aux echnque supéreur aux aux observés sur le marché, ). En effe, le nveau du rao de fnancemen change au cours du emps, essenellemen à cause des flucuaons de la valeur de marché des dfférenes composanes du blan. Comme conséquence, les régmes de rerae provsonnés son, par exemple, amenés à rebalancer leur allocaon d acfs e/ou à ajuser le aux de cosaon de leurs afflés afn de meux conrôler le changemen du nveau de ce rao. Dans la léraure, les modèles d ALM son généralemen classés en ros groupes présenés chronologquemen comme su. Le premer groupe conen les modèles d adossemen (ou machng) e d mmunsaon par la duraon (cf. Macaulay [938], Redngon [95]). Ces modèles se basen sur le fa que les nvesssemens son essenellemen effecués dans des oblgaons. Cec nous perme d obenr, so un adossemen des flux de résorere des acfs fnancers à ceux du passf (machng), so un adossemen de la duraon de l acf à celle du passf (mmunsaon par la duraon). 0

17 Ces echnques éaen ulsées jusqu au mleu des années 80 e avaen comme nconvénens prncpaux la consdéraon du rsque de aux comme seule source de rsque pour le fonds, ans que la nécessé d un rebalancemen pérodque du porefeulle en réesman à chaque fos la duraon du passf, qu change connûmen du fa du changemen des aux d'nérês e de l'écoulemen du emps. Perre [009] présene une approche de la couverure de passf qu vse à résoudre les problèmes menonnés c-dessus. L acf sera consué dans ce cas d un porefeulle de couverure de ype aux (oblgaons ou dérvés) couplé à un porefeulle de rendemen. Selon Perre [009], cee archecure perme une flexblé suffsane pour permere à l acf de s adaper aux mse à jour de la valeur des engagemens lors de la revue des hypohèses acuarelles ayan perms leur évaluaon. Le deuxème groupe conen les modèles basés sur la smulaon de scénaros déermnses e sur la noon de surplus (Km e Sanomero [988], Sharpe e Tn [990], Lebowz e al. [99]). Les modèles de surplus on pour obje la mnmsaon du rsque de pere du surplus (mesuré par la varance de la renablé du surplus) sous conranes de renablé e de pods des acfs. Ils son des modèles mono-pérodques, ce qu lme leur ulé en praque pour des problèmes d allocaon sur le long erme. Le rosème groupe de modèles ulse les echnques de smulaon sochasque (Mone Carlo) pour modélser l évoluon des dfférens élémens, que ce so au nveau des acfs fnancers e des engagemens, ou au nveau des varables de marché e des varables démographques (cf. Frauendorfer [007], Munk e al. [004], Warng [004], Marelln [006]). Ans les los de probablé assocées aux résulas du fonds de rerae sur le long erme peuven êre esmées. A ce nveau, nous nous proposons de dsnguer deux sousgroupes de modèles d ALM basés sur les echnques sochasques. L élémen clé de dsncon sera s ou ou non les pods des dfférens acfs revennen pérodquemen à ceux de l allocaon sraégque défne nalemen (s ou, les modèles seron appelés modèles à pods consans ou sraége Fxed-Mx). Pour le premer sous-groupe de modèles à pods consans e malgré les avancées réalsées avec ces echnques (surou au nveau de l mplémenaon nformaque), l aspec dynamque de l allocaon sraégque rese encore margnalsé. En fa, ces modèles permeen de comparer des allocaons consanes dans le emps (saques) ndépendammen des opporunés lées aux évoluons ner-emporelles des marchés (cf. Meron [990], Dempser e al. [003], Infanger [00], Brnson e al. [99] e Kouwenberg [00]). Le deuxème sous-groupe de modèles, e le plus récen, es prncpalemen nspré de la héore du chox de la consommaon e de porefeulle développée par Meron [97]. Il s ag des modèles d allocaon dynamque ou ner emporels. Par exemple, à parr de la défnon de la foncon objecf pour l nvessseur, ces modèles permeen la déermnaon d une rajecore des pods des dfférens acfs jusqu à la dae d échéance (l ajusemen des pods es foncon des évoluons projeées du marché e de la règle de geson prédéfne). L allocaon sraégque reenue sera l allocaon opmale d acfs à la dae nale 0. Le cadre d ulsaon de ces modèles récens se heure au problème d mplémenaon vu la complexé des ouls mahémaques employés (cf. Hanau e al. [005], Hanau e al. [007], Rudolf e al. [004] e Yen e al. [003]).

18 Le nécessare posonnemen de l analyse des rsques fnancers par rappor au cadre Solvablé II Solvablé II es une drecve-cadre qu a pour bu de mere à jour le sysème européen de solvablé des enreprses d'assurance. Cee drecve vse en parculer une melleure adapaon des capaux propres exgés des compagnes d'assurances e de réassurance avec les rsques que celles-c encouren dans leur acvé. Sa mse en applcaon es prévue au 3 ocobre 0 lorsque les dscussons enre la commsson européenne e le parlemen européen auron abou e que cee drecve aura éé reranscre dans les légslaons naonales par chaque parlemen. Dans cee drecve, une formule sandard perme le calcul du capal nécessare pour couvrr les rsques supporés par les assureurs e les réassureurs noammen sue à un choc provoqué par un évènemen exceponnel (ce nveau de capal es égalemen appelé capal de solvablé requs ou SCR en anglas pour Solvency Capal Requremen). Cela es dans le bu de conrôler la probablé de rune à un an e de la lmer à mons de 0,5 %. Une aure alernave proposée aux assureurs sera l ulsaon d un modèle nerne comple (basé sur leur srucure de rsque spécfque). Dans ce cas, une valdaon de l'auoré de conrôle sera requse préalablemen à la déermnaon effecve du SCR à parr du modèle nerne. Le calcul du SCR en compe d une panople de faceurs de rsque (aux, acon, spread, concenraon, lqudé, ec.) agrégés sous forme de modules e ce en foncon du domane d acvé de la compagne. Le proje de spécfcaons echnques pour la cnquème éude 3 quanave d'mpac (QIS5) précse que l analyse des rsques se déclne en quare caégores prncpales que l on rerouve au sen des dfférens modules : le rsque de marché, provenan de l ncerude assocée à la valeur e aux rendemens des acfs fnancers. le rsque de souscrpon, provenan de l ncerude lée à la mesure des engagemens prs par l assureur en ve, en sané e en non ve. le rsque de conrepare, lé à au défau poenel des conrepares. le rsque opéraonnel comprenan l ensemble des rsques assocés aux procédures de geson nerne e aux conséquences d un dysfonconnemen à ce nveau. Chacune de ces grandes caégores de rsques se rerouve éclaée dans les dfférens sous modules qu l fau ensue agréger, de manère à enr compe de la dépendance enre les rsques (cf. graphque ). L applcaon de Solvablé II aux opéraons de rerae semble problémaque, éan donné la parcularé de ces dernères : Horzon de geson : La probablé de rune à un an n es pas forcémen une mesure de rsque pernene pour juger de la solvablé de l acvé de rerae, pour laquelle les engagemens se fon sur le long erme. Cec lasse donc une grande marge de ploage pour les régmes de rerae suscepbles d amorr sur le long erme les rsques à cour erme. 3 Afn de mesurer leurs mplcaons concrèes, les drecves européennes doven fare l obje d une éude d mpac. C es dans ce cadre que s nscr la cnquème éude d mpac (QIS 5 acronyme anglas pour Quanave Impac Sudes 5) pour Solvablé II.

19 Polque d nvesssemen : Une geson adapée aux conras rerae ournée vers des acfs rsqués ndu un beson en capal de solvablé élevé. La déenon d acfs réels ou rsqués, els que les acons ou l mmobler, es foremen pénalsée dans la formule sandard, alors qu l s ag de suppors qu présenen des avanages noables sur le long erme pour opmser le couple rendemen/rsque. Touefos, le posonnemen par rappor à la grlle d'analyse des rsques proposée par Solvablé II es nconournable compe enu de la référence que consue ce référenel (même s le présen raval n'es pas dans un conexe de Solvablé II). De ce fa, l'analyse des rsques supporés par un régme de rerae sera effecuée dans la sue conformémen à cee grlle de lecure. Gudé par des objecfs prudenels, le dsposf Solvablé II propose une grlle d analyse des rsques e défn la quanfcaon du beson en capal généré par ces mêmes rsques. Le CSR en compe d une panople de faceurs de rsques agrégés sous forme de modules (aux, acon, spread, concenraon, lqudé, ec.) en foncon du domane d acvé de la compagne. L analyse des rsques se déclne ans en quare caégores prncpales que l on rerouve au sen des dfférens modules : - le rsque de marché, provenan de l ncerude assocée à la valeur e aux rendemens des acfs fnancers ; - le rsque de souscrpon, provenan de l ncerude lée à la mesure des engagemens prs par l assureur en ve, en sané e en non ve ; - le rsque de conrepare, lé à au défau poenel des conrepares ; - le rsque opéraonnel comprenan l ensemble des rsques assocés aux procédures de geson nerne e aux conséquences d un dysfonconnemen à ce nveau. Chacune de ces grandes caégores de rsques se rerouve éclaée dans les dfférens sous modules qu l fau ensue agréger, de manère à enr compe de la dépendance enre les rsques. Source : Proje de spécfcaons echnques pour la cnquème éude quanave d'mpac (QIS5) Fg. : Les modules de la formule sandard du SCR 3

20 Présenaon déallée de la hèse Cee hèse es composée de deux pares. La premère pare es consuée de deux chapres. La deuxème pare es consuée de ros chapres. La pare I rae des généraeurs de scénaros économques (GSE). Le chapre de la pare I. Il reprend largemen les pons dscués dans l arcle de Faleh e al. [00]. Au nveau de ce chapre, nore objecf es d exposer l éa de l ar en maère d denfcaon des rsques à négrer à un GSE. Nous proposons ans dfférens crères de classemen ans qu une éude comparave des caracérsques héorques e des composanes de dfférens modèles de GSE. L nérê es poré, dans un second emps, sur les aspecs relafs à la mse en œuvre d un GSE. Nous présenons donc les caracérsques des dfférenes srucures schémaques de projecon de scénaros ulsées en praque. Toujours dans le cadre de la mse en œuvre, nous nous nsprons des ravaux de Mra [006] e de Zenos [007] pour recenser dfférenes méhodologes de généraon des scénaros (les modèles ayan ra à la dynamque des varables du GSE). Ensue, nous éudons une sére d ndcaeurs, qualafs e quanafs, pour la mesure de la qualé d un GSE ou en éudan leurs lmes. Nous nous référons pour cela au raval de Kau e al. [003]. Enfn, les prncpaux élémens exposés ou au long de ce chapre son llusrés à ravers une applcaon numérque. Le chapre de la pare I. Un généraeur de scénaro adapé aux spécfcés de la geson ALM d un régme de rerae es consru. Les élémens suvans relafs à ce GSE son déallés : sa concepon héorque, les modèles de dffuson reenus, les approches de calbrage de ses paramères ans que sa mse en œuvre. Nore objecf à ce nveau es d ulser le GSE consru en an que moyen pour llusrer un ceran nombre de résulas obenus, ou en gardan à l espr les spécfcés de la geson acf-passf d un régme de rerae. Quelques améloraons par rappor à ce qu se praque usuellemen son apporées. En parculer, nore éude se dsngue par l'adopon d'une démarche novarce don l'objecf es de enr compe de l'nsablé emporelle de la corrélaon enre les renablés des acfs. Nous nous nsprons de l approche classque de changemen de régme (cf. Hamlon [989], [994] e Hardy [00]), qu concerne souven les rendemens moyens ans que les volalés, pour éendre son prncpe e supposer un changemen de régme au nveau des marces de corrélaons auss. D un aure côé, dfférens modèles de dffuson e de calbrage son envsagés pour le panel des varables fnancères e macro-économques qu nervennen dans ce conexe. Nous comparons les résulas d esmaon des paramères du GSE avec ceux menonnés dans l éude d Ahlgrm e al. [005]. Ensue, nous éudons les résulas de projecon obenus ou en proposan un ceran nombre de ess pour juger de la cohérence de ces résulas. 4

21 La seconde pare es consacrée à l élaboraon de l allocaon d acf elle-même. Le chapre de la pare II. Il es queson dans ce chapre d analyser les approches classques (ou déermnses) de geson acf-passf à savor les modèles basés sur la noon de «duraon» e de «surplus». Nous déallons dfférenes approches ou en mean en évdence la dfférence enre elles. L objecf de ce chapre es de revor l éa de l ar en maère de modèles d ALM déermnse. Après avor ms en évdence les lmes de ces modèles, nous passons à l éude de modèles plus élaborés e plus sophsqués (obje des chapres uléreurs). Le chapre de la pare II. Nous consdérons c une approche récene d allocaon sraégque d acfs basée sur la sraége de «à pods consans» ou Fxed-Mx (cf. Kouwenberg [00]). Nous proposons une modélsaon du régme-ype de rerae e éudons cerans crères d allocaon sraégque d acfs en foncon du ype du régme (provsonné, parellemen provsonné, ec.) son éudés. Nous passons ensue à l llusraon de la sraége Fxed-Mx avec une applcaon sur les réserves d un régme de rerae parellemen provsonné. Les résulas obenus son dscués e dfférens ess de sensblé son mses en place : ces ess son lés prncpalemen à l mpac des hypohèses de rendemen ou de corrélaon reenues. Les dffculés renconrées lors de la mse en place de la sraége Fxed-Mx, dues essenellemen à la mulplcé du nombre de classes d acfs consdérées e au nombre de scénaros économques smulés, nous on mené à nous pencher sur les aspecs d opmsaon numérque. Le pon de dépar es nore consa d un emps de calcul sgnfcaf dû smulanémen à un nombre élevé de scénaros économques générés e à un nombre d allocaons d acfs esées égalemen élevé. Dans ce cadre, une présenaon déallée des ravaux menés lors de la rédacon de l arcle de Rullère e al. [00] es effecuée. Un algorhme d opmsaon globale d une foncon non convexe e bruée es présené. L algorhme es consru après une éude de crères de comproms enre, d une par, l exploraon de la foncon objecf en de nouveaux pons (correspondan à des ess sur de nouvelles allocaons d acfs) e d aure par l améloraon de la connassance de celle-c, par l augmenaon du nombre de rages en des pons déjà explorés (correspondan à la généraon de scénaros économques supplémenares pour les allocaons d acfs déjà esées). Une applcaon numérque llusre la conformé du comporemen de ce algorhme à celu prévu héorquemen e compare les résulas obenus avec l algorhme de Kefer-Wolfowz- Blum (cf. Blum [954], Kefer e Wolfowz [95]). Le chapre 3 de la pare II. Les modèles classques d ALM dynamques son explorés, noammen les echnques d assurance de porefeulle (cf. Perold e Sharpe [988]) e les echnques de programmaon dynamque (cf. Cox e Huang [989], Meron [97]). A ce nveau, les echnques d assurance de porefeulle basées sur la noon de CPPI ou Consan Proporon Porfolo Insurance (cf. Perold e Sharpe [988]) son mses en place e cerans résulas relafs à ce modèle son éudés. De même, les prncpes des echnques de programmaon dynamque e leurs lmes son égalemen mses en évdence. 5

22 Nous nous penchons par la sue sur une approche nnovane fondée sur les echnques de «programmaon sochasque» (cf. Brge e Louveaux [997]). Il s'ag d'une verson adapée d une echnque déjà ulsée dans le domane de l ngénere pour la planfcaon de la producon (cf. Danzg e al. [990], Escudero e al. [993]). Dans ce cadre, nous meons en place un modèle d ALM dynamque basé sur les echnques de programmaon sochasque. Nous proposons, au cours d une llusraon numérque, une nouvelle méhodologe de généraon de scénaros économques que nous appelons méhodologe «des quanles de référence». Cee dernère perme de parr d une srucure lnéare de généraon de scénaros (elle que décre dans le chapre de la pare I) pour rédure la dmenson du problème renconré avec la sraége Fxed-Mx ou en enan compe de la corrélaon enre les dsrbuons des dfférenes varables projeées. Cela s nsère dans le cadre de la recherche d une vson à la fos smplfée, réelle e dynamque des sraéges possbles pour l allocaon d acfs sur le long erme. A ravers la même applcaon numérque, nous comparons cerans résulas relafs aux deux approches d allocaon sraégque d acfs : celle basée sur la sraége Fxed-Mx e celle basée sur les echnques de programmaon sochasque. Nous esons égalemen la sensblé de cee deuxème approche par rappor au changemen de cerans de ses paramères, oues choses éan égales par alleurs. Cee éude sur les echnques de programmaon sochasque, dans le conexe de la geson des réserves des régmes de rerae (en parculer ceux parellemen provsonnés), reprend largemen les pons évoqués dans l arcle de Faleh [0]. Tou au long de ce raval, nous meons en évdence le len effecf enre les recherches académques e les besons des sysèmes de rerae en maère de geson des rsques e de respec des engagemens vs-à-vs des fuurs reraés. 6

23 Pare I : LES GÉNÉRATEURS DE SCÉNARIOS ÉCONOMIQUES (GSE) 7

24 Inroducon Au dépar, l analyse des rsques fuurs pour les compagnes d assurance e les fonds de rerae (ou de penson, selon la ermnologe anglo-saxonne) se fasa «à la man» en essayan de répondre à la queson «e s jamas..?» (éude de scénaros déermnses). Cec a éé suv par des éudes basées sur l adossemen du passf par l acf que ce so au nveau des flux de résorere fuurs ou au nveau des duraons de ces deux comparmens du blan. Grâce au développemen de l oul nformaque e aux echnques de smulaon de Mone Carlo, l es devenu possble de générer des mllers de scénaros économques enan compe des corrélaons enre les dfférenes sources de rsque pour ensue analyser ces résulas en ermes probablses. Les ravaux académques anéreurs à 984 raen souven une pare du problème renconré par les acuares. Les ravaux son concenrés unquemen so sur les acons, so sur les aux d nérê, so sur l nflaon. Il y a peu de ravaux qu meen oues ces varables dans un seul modèle en enan compe des dfférenes neracons enre elles. Le raval de Wlke [984] consue sans doue une référence à ce nveau. Ce professeur a présené pour la premère fos un modèle général qu nclu oues les varables macro économques e fnancères. De même, son modèle a éé smple de pon de vue de son mplémenaon, ce qu l a rendu populare e pendan deux décennes l a éé la référence de ous les modèles poséreurs proposés. Ce ype de modèle, appelé par la sue «généraeurs de scénaros économques GSE» (en anglas Economc Scenaro Generaor ou ESG) perme par exemple de prendre en compe l horzon long d nvesssemen d un fonds de rerae provsonné e de conrôler l nfluence des évoluons fuures sur le chox de ses paramères echnques (aux de cosaon, aux de presaon, ec.). Ce conrôle es souven effecué dans le bu de garanr un écar posf permanen enre la valeur des acfs fnancers à une dae donnée e la valeur des engagemens acualsés à la même dae va un aux d nérê de référence (l écar es appelé le surplus). Il es noé à ce re que les GSE consuen le cœur des modèles de geson acf-passf apparenan à la généraon des modèles d ALM sochasques. Le chox de l allocaon sraégque ven dans un deuxème emps refléer la foncon d ulé de l nvessseur de long erme. Le premer chapre de cee pare reprend largemen les pons dscués dans l arcle de Faleh e al. [00]. Nore objecf es d exposer l éa de l ar en maère d denfcaon des rsques à négrer à un GSE. Nous proposons ans dfférens crères de classemen ans qu une éude comparave des caracérsques héorques e des composanes de dfférens modèles de GSE. L nérê es poré, dans un second emps, sur les aspecs relafs à la mse en œuvre d un GSE. Nous présenons donc les caracérsques des dfférenes srucures schémaques de projecon de scénaros ulsées en praque. Toujours dans le cadre de la mse en œuvre, nous nous nsprons des ravaux de Mra [006] e de Zenos [007] pour recenser dfférenes méhodologes de généraon des scénaros (les modèles ayan ra à la dynamque des varables du GSE). Ensue, nous éudons une sére d ndcaeurs, qualafs e quanafs, pour la mesure de la qualé d un GSE ou en éudan leurs lmes. Nous nous référons pour cela au raval de Kau e al. [003]. Enfn, les prncpaux élémens exposés ou au long de ce chapre son llusrés à ravers une applcaon numérque. 8

25 Chapre : Eude des GSE I- Présenaon héorque Cee secon s néresse aux problèmes héorques de modélsaon lés aux GSE e présene une revue de la léraure concernan leurs dfférenes srucures. L objecf éan de mere en évdence les composanes essenelles d un généraeur de scénaros économques au nveau de sa concepon héorque. I- Problèmes héorques de modélsaon lés aux GSE Comme menonné c-dessus, ceranes problémaques lées à la concepon héorque des GSE son exposées. Ces dernères raen de quesons qu permeen l améloraon de la performance des résulas e le développemen du modèle pour l adaper au conexe d éude. Les problèmes de modélsaon dans les GSE son en premer leu lés aux chox du modèle de la srucure par erme des aux d nérê (STTI). La modélsaon de la dynamque des rendemens des acons ven dans un deuxème emps suscer elle auss pas mal de quesons. I-- Modèles des aux d nérê En se basan sur les ravaux de Roncall [998] e Décamps [993], deux grandes classes de modèles de aux pour l évaluaon d acfs fnancers peuven êre présenées : les modèles d absence d opporuné d arbrage (AOA) e les modèles d équlbre général. I--- Les modèles d absence d'opporuné d'arbrage (AOA) L évaluaon dans le cadre des modèles d AOA es de naure puremen fnancère. Elle repose enèremen sur l hypohèse d absence d opporuné d arbrage. L ulsaon de cee hypohèse fondamenale a perms de mere en évdence deux approches d évaluaon par arbrage : - La premère approche consdère le prx des nsrumens fnancers de aux comme foncon de varables d éa. Ces varables d éa généralemen le aux cour pour les modèles unvarés (cf. Vascek [977]), ou le couple (aux cour, aux long) pour les modèles bvarés (cf. Brennan e Schwarz [98]) son supposées de dynamque exogène. Dans de els modèles, l hypohèse d absence d opporuné d arbrage exprme que la prme de rsque du marché 4 es ndépendane de la mauré du re consdéré. Le prx d un produ oblgaare es ensue obenu comme soluon d une équaon aux dérvées parelles. La résoluon probablse de ces équaons perme une melleure nerpréaon fnancère des formules d évaluaon. - La deuxème approche d évaluaon par arbrage es celle proposée par Ho e Lee [986] e Heah, Jarrow e Meron [99]. Le pon clef de cee approche es la prse en compe de oue l nformaon conenue dans la srucure de aux nale en consdéran comme donnée exogène la dynamque smulanée de aux ayan dfférenes maurés appelée auss dynamque des aux erme conre erme. Cee 4 Supplémen de rendemen exgé par les nvessseurs pour avor assumer le rsque de déenr des acfs rsqués pluô que des acfs sans rsque. 9

26 dynamque es chose de façon à ce que l hypohèse d absence d opporuné d arbrage so respecée. Conraremen à l arbrage radonnel la prme de rsque du marché n es pas spécfée de façon exogène mas elle es défne mplcemen par la dynamque des aux erme conre erme. Par alleurs, aucune hypohèse sur la forme spécfque des prx des produs oblgaares comme foncon d une varable d éa n es fae. Enfn, la dynamque de prx des zérocoupons caracérse enèremen le modèle de courbe de aux. Les modèles d absence d opporuné d arbrage son parculèremen approprés pour évaluer les prx des produs dérvés. Comme les dérvés son évalués à parr des acfs sous jacens, un modèle qu cape explcemen les prx de marché de ces acfs es a pror plus performan qu un modèle qu ne les prends pas en compe. Ce pon a éé remarqué noammen par Hull [000] e Tuckman [00] qu consaen que le recours à l hypohèse AOA perme une évaluaon des produs dérvés plus plausble que les approches d équlbre. Ho e Lee [986] présenen un modèle en emps dscre dans le cadre des hypohèses d absence d opporuné d arbrage. Ils supposen un drf (ou une endance) de la varable dépendan du emps de façon à pouvor réplquer les prx de oues les oblgaons observées sur le marché. L équvalen du modèle de Ho-Lee en emps connu, pour le aux d nérê r, es : dr ( ) d σdb = θ + Avec B un mouvemen brownen, (ce qu mplque que pour deux daes e : B( ) B( ) ~ N( 0, )). Le drf dépendan du emps dans le modèle de Ho e Lee, θ ( ), es séleconné de façon à ce que les aux d nérê espérés convergen vers les ancpaons données par le marché e soen refléées dans la srucure de aux observée nalemen. Ce drf es lé prncpalemen aux aux forwards mplces. Heah, Jarrow e Moron [99] (HJM) généralsen l approche d absence d opporuné d arbrage : ans es prse en compe l négralé de la srucure par erme e pas seulemen le processus suv par le aux cour. Ils présenen alors la famlle des processus de aux forwards f,t de la manère suvane : ( ) df (,T ) = µ (,T, f (,T )) d + σ (,T, f (,T )) db Avec : f (,T ) = ln P T (,T ) P (,T ) : prx à la dae d un zéro coupon de maurét. µ e σ : respecvemen la endance e la volalé des aux forwards. f es le aux, déermné aujourd hu, à une dae fuure e sur une durée fuure (pérode) T. HJM remarquen que le drf des aux forwards peu êre exprmé en foncon des volalés, ce qu condu à fare de la volalé le faceur prépondéran dans l évaluaon des prx des produs dérvés. Le aux forward (,T ) 0

27 I--- Les modèles d équlbre général L évaluaon dans le cadre d un modèle d équlbre général ne nécesse pas d hypohèse sur les dynamques de prx ou de aux. Ces dynamques son obenues de manère endogène. Cee approche es celle de Cox, Ingersoll e Ross [985] e de Campbell e al. [005]. En effe, les modèles d équlbre ypques se basen sur les ancpaons des mouvemens fuurs des aux d nérê de cour erme e non pas sur la courbe de aux observé à la dae nale. Ces mouvemens peuven êre donc dérvés à parr d hypohèses plus générales sur des varables d éa qu décrven l ensemble de l économe. En ulsan un processus des aux cours, l es possble de dédure le rendemen d une oblgaon de long erme en déermnan la rajecore espérée des aux cours jusqu à la mauré de cee oblgaon. L nérê d une elle approche es rple : - s assurer que les processus éudés son cohérens avec un équlbre général, - analyser la déformaon de la courbe des aux en foncon des chocs sur les varables économques sous jacenes, - fournr une spécfcaon fondée pour l expresson des prx ou des rsques de marchés ulsés dans la valorsaon par arbrage. Un des prncpaux avanages du modèle d équlbre es que les prx de dfférens acfs radonnels on des formules analyques explces (closed-form analyc soluons). Un aure avanage es que les modèles d équlbre son relavemen facles à ulser. Mas, les modèles d équlbre de srucure par erme génèren des prx de produs de aux qu son poenellemen ncohérens avec ceux observés sur le marché à la dae nale. Même s les paramères de ces modèles peuven êre calbrés avec une précson sgnfcave, la srucure par erme résulane peu générer des prx élognés de ceux observés nalemen sur le marché. La formulaon mahémaque générale des modèles d équlbre, dans le cas où l es consdéré qu un seul faceur explque ces mouvemens, es la suvane : dr γ ( θ r ) d σr db = κ + Ce ype de modèle connu es basé sur un seul faceur sochasque : le mouvemen du aux d nérê nsanané (cour erme) r. La formule générale ncorpore le phénomène d «de reour à la moyenne». Pour le comprendre, nous consdérons le cas où le nveau acuel des aux cours r es supéreur au nveau d équlbre ancpé θ. Dans ce cas, le changemen du aux es prévu êre négaf (basse de r ) de façon à converger versθ. Dans l aure cas, celu où le nveau de r es nféreur à θ, seule une augmenaon des aux cours perme la convergence vers θ. Ans, quel que so le nveau observé des aux cours, nous supposons une évoluon de ce nveau vers θ. La vesse de reour à la moyenne es donnée par le paramèreκ. La deuxème pare de cee formule ncorpore la volalé nconnue des aux d nérê au cours du emps. Le derner erme, db, consue la varaon du mouvemen brownen, de moyenne nulle e de varance d.

28 L ncerude es négrée à ravers le paramère de volaléσ : - S γ >0 : la volalé des aux d nérê es lée à leur nveau. - Sγ =0 : le modèle es équvalen au modèle de Vascek [977]. - S γ =0,5 : le modèle es le processus proposé par Cox, Ingersoll, Ross [985] appelé le modèle CIR. Chan e al. [99] esmen les paramères de cee classe de aux d nérê e déermnen, à parr de données mensuelles allan de 964 jusqu à 989, que la valeur de γ es approxmavemen de,5. Ces modèles son appelés les modèles d équlbre général car les nvessseurs évaluen le prx de l oblgaon en se référan prncpalemen aux ancpaons fuures des aux d nérê e non à la courbe des aux observée nalemen. En ulsan la rajecore smulée du aux cours jusqu à la mauré de ces oblgaons, l es possble de déermner le rendemen des oblgaons de long erme. Pour déermner oue la srucure par erme, l nvessseur pourra évaluer les prx des oblgaons de dfférenes maurés à parr de l évoluon ancpée des aux cours sur la durée de ve resane de l oblgaon. P (,T ) T = E exp r du u Avec P (,T ) le prx d une oblgaon zéro coupon à l nsan (qu pae euro à la dae T ). Un des avanages les plus remarquables des modèles d équlbre, es que les prx des oblgaons e les prx de cerans aures dérvés de aux on des formules analyques explces. Vascek [977] e CIR [985] paren de la formule c-dessus pour rerouver les prx des oblgaons : r B,T P,T = A,T e Avec A (,T ) e (,T ) ( ) ( ) ( ) B son des foncons des paramères connus κ, σ e θ. Ans, éan donné une réalsaon de r, les aux exgés sur dfférenes maurés peuven êre obenus. R r { }/ ( T ) (,T ) = log P (,T ) L nconvénen majeur des modèles d équlbre es que la STTI (cf. page ) résulane es ncohérene avec les prx de marché observés, même s les paramères son parfaemen calbrés (cf. Ahlgrm e al. [005]). Hull e Whe [990] ulsen le prncpe de drf dépendan du emps pour Ho e Lee [986] pour présener une exenson du modèle d équlbre de Vascek [977] e de CIR [985]. Le modèle à un seul faceur de Hull e Whe es : ( θ ( ) r ) d σdb dr = κ +

29 Le ableau suvan llusre les pons clefs de ces modèles : Modèles d Absence d Opporuné d Arbrage (AOA) Modèles d Equlbre Général Approches à prme de rsque exogène Approches à prme de rsque endogène Approches enèremen endogènes Courbe des aux nale - Ulsée. - Ulsée. - Non ulsée. Dynamque des aux Exogène pour des aux de mauré spécfé (cour, long,..). Exogène dans le cas des aux erme conre erme. Endogène : Ancpaon des aux cour erme fuurs à parr d hypohèses générales sur les varables qu décrven l ensemble de l économe. Prme de rsque Exogène e ndépendane de la mauré. Endogène : dédue à parr de la dynamque des aux erme conre erme. Endogène. Prx des produs de aux (oblgaons, ec.) - Prx foncon de varables d éa (aux cours, aux longs, ec.). - Prx soluon d équaons aux dérvés parelles. - Aucune hypohèse sur la forme spécfque des prx comme foncon de varables d éa. - Prx déermnés à parr des projecons de aux cours. Tab. : Comparason des caracérsques des modèles de aux d nérês Une aure problémaque héorque relave aux dfférenes varables modélsées, en parculer les aux d nérê, concerne le chox du nombre e de la naure des faceurs à ulser pour la modélsaon. Dans le cas parculer des aux d nérê, le chox défnf de ces deux élémens dépend du conexe d applcaon du GSE (projecon de grandeurs réelles, évaluaon de produs dérvés, ). La naure des faceurs peu êre de sources dfférenes : elle peu êre par exemple lée à l horzon du aux (aux cour, aux long) ou à la srucure de la courbe des aux (faceur de courbure, de ranslaon, ). A ce re, Dae e al. [009] monren la sgnfcavé sasque du chox de deux faceurs (par exemple les aux cours e les aux longs) pour explquer l évoluon de la courbe de aux. I-- Modèles de rendemen des acons Concernan les acons, dfférenes problémaques lées à l appréhenson de la dynamque de leurs rendemens monren l nsuffsance de cerans modèles adopés, jusqu à une pérode récene, par les socéés d assurance e les fonds de rerae. Souven les rendemens des 3

30 acons son assumés suvre un mouvemen brownen. En parculer, Black e Scholes [973] supposen que les rendemens suven un mouvemen brownen géomérque. Cec mplque que sur chaque sous pérode de emps, les rendemens des acons son dsrbués selon une lo normale e ls son ndépendans, les prx des acons suven un processus lognormal. Dans ce cadre, s nous supposons que S es le prx des acons à l nsan e que S es le prx 0 des acons à une dae anéreure 0, alors : log pour une moyenne µ e une volaléσ. ( S / S ) ~ N( µ ( ), σ ( )) Ce modèle lognormal, smple e praque, fourn des approxmaons rasonnables sur des pérodes coures mas l es mons adapé aux problémaques de long erme. L examen des données hsorques relaves aux rendemens des acons perme de consaer, par exemple, que l hypohèse d une dsrbuon normale ne perme pas de prévor des valeurs exrêmes de rendemen el que réalsé dans le passé (cf. Ahlgrm e al. [005], Mandelbro [005] e Hardy [00]). Un nombre mporan de modèles alernafs a éé proposé. Alexander [00] recense une varéé de ces modèle, ncluan les processus auorégressfs généraux à volalé condonnellemen hééroscédasque (GARCH, cf. Bollerslev [986]) e les analyses par composane prncpale (cf. Roncall [998]). De même, cerans chercheurs proposen l adapaon d un modèle de changemen de régme dans lequel les rendemens des acons peuven êre smulés sous l un des deux régmes suvans : un premer régme avec une hypohèse de volalé relavemen fable e une moyenne relavemen élevée des rendemens des acons e un deuxème régme avec une hypohèse de volalé relavemen élevée e une moyenne relavemen fable de ces rendemens. Une probablé de ranson enre ces deux régmes peu êre déermnée a pror (cf. Hardy [00]). L hypohèse d avor pluseurs régmes es égalemen envsageable. D aures alernaves de modélsaon son proposées noammen dans le cadre des modèles dsconnus (cf. Meron [976]). I--3 Aures classes d acfs Concernan les aures classes d acfs, els que l mmobler e les produs dérvés, malgré les dfférens cadres d hypohèses proposés pour leur projecon, elles se heuren souven aux problèmes d un hsorque peu profond, d une lqudé nsuffsane e de données confdenelles (cas des fonds de couverure). En maère de projecon de grandeurs réelles sur le long erme, ces acfs son souven raés avec prudence e ne suscen pas la grande par de l nérê des décdeurs, en parculer dans le cas de l allocaon sraégque d acfs d un fonds de rerae où la proré es souven donnée aux acons, aux oblgaons e au monéare (cf. Campbell e al. [00]). Cec ne reme pas en cause le poenel que présenen ces acfs en an que source de performance e/ou de couverure supplémenare pour le porefeulle fnancer de la socéé ou du fonds de rerae (cf. Ahlgrm e al. [005]). I- Léraure sur les srucures des GSE La léraure sur les GSE es abondane. Nous proposons c de classer les dfférens modèles en foncon de la srucure de dépendance enre les varables, en dsnguan deux caégores : srucure par cascade e srucure basée sur les corrélaons. De même, pour chacun des 4

31 modèles cés, nous précserons l objecf qu lu éa assocé lors de sa concepon. A ce re, l es noé que l ulsaon d un GSE a souven pour fnalé so la projecon sur le long erme e la prse de décson dans le cadre de la geson des rsques (dans ce cas, l nérê pore sur des grandeurs e des valeurs réelles) so l évaluaon des prx d équlbre des produs fnancers sur le cour erme, d prcng, afn de déermner la sraége de marché convenable (acha, vene, ec.). I-- Modèles à srucure par cascade Une srucure par cascade es défne comme une srucure dans laquelle nous parons de la déermnaon de la valeur d une varable (par exemple l nflaon) pour ensue dédure les valeurs des aures varables (aux réels, rendemens des acons, ec.). Jusqu au débu des années 980, les ravaux académques raen souven une pare seulemen du problème renconré par les acuares : les ravaux son concenrés sur chacune des classes d acfs fnancers (les acons, les aux d nérê, l nflaon,..) ndépendammen des évenuelles neracons enre elles. L négraon de ces neracons e l éude du chox du modèle de dynamque des acfs fnancers deven nécessare pour garanr la cohérence des projecons par rappor à un conexe donné. Le raval de Wlke [986] marque de ce pon de vue un changemen majeur. Il présene pour la premère fos un modèle général qu nclu oues les varables macro économques e fnancères. Ce modèle a l avanage d êre smple à mplémener, rason pour laquelle l es rapdemen devenu populare e consdéré comme la référence de ous les modèles proposés duran les deux décennes poséreures, malgré ses nombreuses lmes. La premère verson du modèle de Wlke a éé applquée dans le cadre de la mesure de la solvablé d une socéé d'assurance par la Faculy of Acuares [986]. De même, un des premers domanes d'applcaon du modèle de Wlke en acuara éa l'évaluaon des engagemens ndexés sur les acons : dans ce cas nous supposons que les presaons dépenden des prx fuurs des acons e que la réserve es prncpalemen nvese en oblgaons. De façon générale, ce modèle es pluô cohéren avec des logques de beson de capal e de projecon de valeur (cas de la geson acf-passf par exemple) qu avec des logques de prcng. Wlke se base sur une srucure par cascade, elle que décre c-dessus : l posule que l nflaon es la varable ndépendane «la force morce» du modèle don la déermnaon se fa en premer leu pour ensue en dérver les valeurs des aures varables, prncpalemen les dvdendes, les revenus de dvdende, les aux d nérê e la crossance des salares. Le graphque 3 llusre le prncpe d une srucure par cascade. Dans ce cadre, Wlke ulse un modèle auorégressf de premer ordre pour l nflaon. En 995, l me à jour ce premer modèle en gardan les prncpes de sa srucure par cascade mas en opan cee fosc pour une modélsaon de l nflaon par un processus ARCH (Auoregressve Condonal Heeroscedascy, cf. Engle [98]). Cec a éé jusfé, selon Wlke, par la capacé de ce ype de processus à enr compe des caracérsques des dsrbuons hsorques des données observées sur le marché de la Royaume-Un depus 99. 5

32 Inflaon Salares Dvdendes (acons) Taux des dvdendes Taux d nérê longs Taux d nérê cours (écars) Fg.3 : Srucure par cascade dans le modèle de Wlke [986] Touefos, l approche de Wlke a depus éé remse en cause, noammen du fa de sa fable capacé prédcve : l s ag d un modèle ulsan un grand nombre de paramères, don l esmaon es délcae e qu empêche de fournr des projecons pernenes. Au surplus, le modèle de Wlke se prêe mal à l évaluaon des prx des acfs dérvés, ce qu consue un handcap mporan. Il es possble de se référer sur ces pons à Rambaruh [003]. Les problèmes lés au modèle de Wlke on égalemen éé dscué par Daykn e Hey [990] e Huber [995] : cerans des paramères son nsables dans le emps e une corrélaon crosée sgnfcave enre les résdus des varables projeées es consaée. Le modèle des ndces de prx pour l nflaon n a pas de résdus normaux e ne perme pas la projecon de pérodes à chocs rrégulers avec des valeurs élevées de l nflaon. De même, la probablé d avor des valeurs négaves de l nflaon avec ce modèle es élevée. Par alleurs, Mulvey e Thorlacus [998] décrven un modèle de généraon de scénaros économques appelé CAP:Lnk (développé commercalemen par la socéé Towers Perrn). Ce modèle es basé sur une srucure par cascade de ces varables don la force morce es supposée êre le aux d nérê nomnal. Il es applqué prncpalemen dans la geson acfpassf de long erme. Parm les varables clés modélsées, nous rouvons l nflaon des prx e des salares, les aux d nérês de dfférenes maurés (réels e nomnaux), le aux de rendemen e les aux de dvdendes des acons e les aux de change. Les varables fnancères son déermnées smulanémen pour dfférenes économes dans un cadre d hypohèses générales. Ce modèle s applque ans aux porefeulles de penson e d assurance. Les dynamques des varables son denques pour ous les pays alors que les paramères son adapés aux spécfcés de chacun d enre eux. Les aueurs soulgnen que, de façon générale, les GSE remplssen au mons l une de ces ros foncons suvanes : la prévson, l évaluaon (prcng) e l analyse du rsque. Ils consdèren que l élémen clé d un GSE es le modèle de aux d nérê e supposen donc que les aux longs e les aux cours 6

33 son corrélés à ravers leurs ermes de bru blanc e que l écar enre eux es conrôlé par un erme de sablsaon. D aures modèles de srucure par cascade on éé développés pour l Ausrale (cf. Carer [99]), l Afrque du Sud (cf. Thomson [994]), le Japon (cf. Tanaka e al. [995]) e la Fnlande (cf. Ranne [998]). L élémen commun de ces modèles résde donc dans le fa que le concepeur par de la spécfcaon d une srucure en cascade du modèle à ravers les hypohèses sur les lens de causalé enre les varables. En effe, cee srucure en cascade perme un seul sens de causalé e exge du modélsaeur le chox des lens les plus pernens de pon de vue économque. Par exemple, dans le modèle de Wlke, la valeur de l ndce des prx perme de dédure la valeur de l ndce des salares e non l nverse. Le deuxème sens de causalé es supposé êre fable (ou secondare) sur le long erme. I-- Modèles basés sur les corrélaons La srucure basée sur les corrélaons repose quan à elle sur l dée de permere aux données dsponbles (hsorques) de déermner une srucure de corrélaon smulanée enre les varables pour ensue les modélser e les calbrer en foncon de cee srucure. Auremen d, cee dernère es déermnée essenellemen à ravers l esmaon des relaons de dépendance observées smulanémen dans le passé enre les varables modélsées (par exemple la corrélaon lnéare, observée dans le passé enre les rendemens des acons e l nflaon, es à reenr e à respecer lors de la projecon dans le fuur de ces varables). Ans, dans ce ype de modèle, les données hsorques dsponbles sur les varables permeen de dédure la srucure de dépendance enre elles. Les prncpaux modèles de GSE en léraure se son basés sur cee srucure. En adopan cee srucure par corrélaon, Campbell e al. [00] présenen une approche don l applcaon a éé effecuée dans le cadre de la déermnaon de l allocaon sraégque d acfs pour un nvessseur de long erme, en parculer les fonds de penson. De son côé, Kouwenberg [00] se base sur cee srucure pour développer un modèle de généraon de scénaros qu s appue sur un schéma d arborescence pour la projecon des scénaros. L aueur compare l effe du chox du schéma de projecon sur l allocaon d acfs opmale dans le cadre d une geson acf-passf d un fonds de penson allemand. La srucure d arborescence reenue par Kouwenberg [00] es plus adapée à une sére de modèles dynamques de geson acf-passf basées sur les echnques de programmaon sochasque. Les caracérsques de ce schéma de projecon de scénaros son présenées de façon déallée à la secon II de ce chapre. Hbber e al. [00] présene un aure modèle qu génère des valeurs cohérenes, selon les aueurs, de la srucure par erme des aux (aux nomnaux, réels e d nflaon), des rendemens des acons e des revenus de dvdendes. Le modèle peu êre ulsé pour générer des rajecores poenelles de chacune de ces varables dans un cadre de modélsaon fnancère e en consdéran les dfférenes corrélaons. Hbber e al. [00] fourn noammen une revue néressane des aux d nérê, des aux d nflaon e des rendemens des acons sur les cen dernères années. Leur modèle es présené comme un oul de planfcaon e de prse de décsons pour les nvessseurs sur le long erme e non comme un oul d évaluaon des produs dérvés (ou de prcng). Ahlgrm e al. [005] proposen enfn un modèle de GSE qu a le mére d êre souenu par la la Casualy Acuaral Socey (CAS) e de la Socey Of Acuares (SOA), deux assocaons professonnelles reconnues aux Eas-Uns. Ahlgrm e al. [005] paren essenellemen de la 7

34 crque de deux pons du modèle de Wlke [995] : la relaon enre l nflaon e les aux d nérê es jugée ncohérene e le raemen des rendemens des acons par une approche auorégressve semble rop smplfcaeur au regard de l hsorque observé. Ils proposen des processus alernafs en jusfan leurs chox par des backesng 5 sur des données hsorques profondes. Le modèle d Ahlgrm e al. [005] rejon le modèle de Hbber e al. [00] en se présenan comme un modèle de projecon de valeurs sur le long erme e de geson des rsques. Le modèle d Ahlgrm e al. [005] peu êre représené par les relaons suvanes : Inflaon Taux d'nérê réel Taux d'nérê nomnal Revenus de l'mmobler Monan des dvdendes Rendemen des acons (large socks ) Rendemen des acons (small socks ) Fg. 4 : Srucure du modèle d'ahlgrm e al. [005] Ce graphque llusre le rôle prépondéran de l nflaon e du aux d nérê réel dans le modèle. D aures modèles se son basés sur l hypohèse que les marchés peuven êre so fablemen effcens (c'es-à-dre les prx sur le marché reflèen oues les nformaons relaves aux prx anéreurs de l acf) so foremen effcens (c'es-à-dre les prx sur le marché reflèen oues les nformaons dsponbles sur l acf). De elles approches son souven approprées pour la modélsaon de cour erme, en parculer pour des fns d évaluaon de produs dérvés. Pour le long erme, l approche a mons de valeur, pusqu elle ne en pas compe des fondamenaux macro-économques. Smh [996] e Dyson e Exley [995] présenen des modèles basés sur les prncpes du marché effcen pour le cas de la Grande Breagne. Souven, ce ype de modèle cherche à exclure les opporunés d arbrage e ne suppose pas un reour à la moyenne pour les rendemens de ces varables. Une crque commune à ous les modèles c-dessus, à srucure par corrélaon, es qu ls son foremen dépendans des données sur lesquelles ls son basés. Auremen d, s les rendemens fuurs relafs à chaque varable du modèle possèden des caracérsques sgnfcavemen dfférenes de celles observées sur la pérode hsorque d esmaon, le GSE pourra condure à des projecons non pernenes. La prse en compe des avs subjecfs des expers sur le marché (socéés de geson, banques d nvesssemen, ec.) pour fxer ces nveaux fuurs de dépendance consue une source alernave d almenaon de ces modèles. 5 Le Backesng es le es d une sraége sur le passé e sur un panel d acfs fnancers. 8

35 Nous le voyons, le panorama des modèles proposés dans la léraure es large. Touefos, quelques-uns de ces ravaux peuven êre synhésés comme su : Srucure Cascade Corrélaon Objecf Projecon e Geson rsques Evaluaon (prcng) des Wlke [986, 995] Mulvey e Thorlacus [998] Campbell e al. [00] Kouwenberg [00] Hbber e al. [00] Ahlgrm e al. [005] - Smh [996] Dyson e Exley [995] Tab. : Classemen des prncpaux GSE cés dans la léraure Après avor chos la srucure héorque du GSE (srucure par cascade ou srucure basée sur les corrélaons), nous arrvons à l éape de sa mse en œuvre praque. Cee éape nécesse elle auss des chox à effecuer que ce so au nveau du calbrage des dfférens paramères du GSE ou au nveau de la généraon des rajecores possbles de ses varables. Concernan le calbrage d un GSE, dfférenes echnques peuven êre cées se basan sur les données hsorques, les données de marché ou les avs des expers. Ceranes de ces echnques seron exposées dans le chapre de cee pare (relave au modèle de GSE proposé). La secon suvane s néresse à des problémaques lées à la généraon des scénaros. 9

36 II- Mse en œuvre d un GSE Deux quesons prncpales peuven êre posées lors de la mse en œuvre d un GSE : d une par, sous quelle forme schémaque devons-nous représener l évoluon dans le emps des scénaros fuurs des varables fnancères e macro-économques (nflaon, rendemen des acons, )? E d aure par, quelle méhodologe devons-nous adoper pour la généraon de ces scénaros? La premère queson concerne la srucure de projecon des scénaros fuurs des dfférenes varables, ands que la deuxème a ra au chox du modèle d évoluon des valeurs des varables du GSE (processus sochasque, Boosrappng, ec.) : nous noons que ces deux élémens son cependan lés. Cee secon vse à fare l nvenare (non exhausf) des dfférenes possblés offeres face à ces deux problémaques. En effe, comme menonné au débu de cee pare, nore objecf sera de mere en évdence les prncpaux élémens qu parcpen à l améloraon de la qualé d un GSE. Les éas de sore de ce derner nfluencen drecemen les décsons prses en maère de geson des rsques ou d évaluaon des produs fnancers. La déermnaon de la srucure de projecon des scénaros e le chox de la méhodologe de leur généraon présenen deux éapes névables lors de la consrucon d un GSE. Ils nervennen, en parculer, au nveau de la mse en œuvre opéraonnelle du GSE, d où l nérê de les éuder de façon déallée e séparée. II- Srucure schémaque de projecon de scénaros pour un GSE Comme menonné c-dessus, le chox de la srucure de projecon, appelée auss srucure schémaque de projecon, pour chacune des varables du GSE peu êre consdéré comme une problémaque à par. Elle concerne la défnon du schéma graphque de ranson enre deux valeurs successves, observées à la dae e +, de la même varable. Ans à chaque varable du GSE peu correspondre une srucure de projecon parculère. Afn de smplfer l analyse, nous supposons dans la sue que la srucure de projecon chose es la même pour oues les varables. De même, nous défnssons un nœud comme la réalsaon possble de la varable modélsée à une dae donnée. Une rajecore correspond ans à l ensemble des nœuds successfs qu formen un scénaro fuur possble d évoluon de la varable fnancère ou macro-économque. Dans cee secon, les caracérsques des srucures de projecon les plus ulsées en praque son présenées avec déals. En parculer, deux prncpales srucures peuven êre avancées à ce sade : la srucure de projecon lnéare d une par (cf. Ahlgrm e al. [005]) e la srucure de projecon d arbre (ou d arborescence) d aure par (cf. Kouwenberg [00]). La dfférence prncpale enre ces deux srucures de projecon se sue au nveau de la naure de la dépendance enre les dfférenes rajecores smulées. Alors que pour les srucures de projecon lnéare, une seule rajecore es dérvée à parr de chaque nœud, les srucures par arborescence supposen quan à elles que chaque nœud possède dfférens nœud-enfans e ans dfférenes rajecores possbles son dédues à parr de chaque nœud. Par exemple, consdérons le cas où la projecon des rendemens des acons se déroule sur deux pérodes seulemen e que pour les deux srucures nous obenons n nœuds (ou rendemens) à la fn de la premère pérode. S nous opons pour une srucure lnéare de projecon, l n es possble d obenr que n nœuds (ou rendemens) à la fn de la deuxème pérode, chacun d enre eux forme avec le nœud précéden une rajecore dsnce. S par 30

37 conre nous opons pour une srucure d arbre, le nombre de scénaros à la fn de la deuxème pérode es m, avec m souven supéreur à n pusque dfférens scénaros de rendemen à parr de chacun des n nœuds, smulés fn de la premère pérode, son projeés. Le graphque suvan llusre la dfférence enre ces deux srucures : Srucure lnéare des scénaros Srucure d arbre des scénaros Source Kouwenberg [00] Fg. 5 : Comparason enre deux srucures schémaques de projecon des scénaros La srucure d arbre des scénaros es la forme la plus récene e la plus complexe à ulser. Nore nérê sera focalsé dans la sue sur ce ype de srucure : l s ag d une srucure plus adapée que la srucure lnéare pour l applcaon des echnques d opmsaon dynamque, en parculer dans le cas de la déermnaon de l allocaon sraégque d acfs opmale (cf. Kouwenberg [00]). En effe, chaque nveau dans l arbre représene une dae fuure (ou un momen de prse de décson) e les dfférens nœuds à chaque nveau représenen les réalsaons possbles de la varable modélsée à cee dae. Le graphque suvan représene un exemple plus déallé de cee srucure : Nveau 0 Nveau 0 Nveau Fg. 6 : Exemple déallé de la srucure d arbre des scénaros Comme l es monré dans ce graphque, le nombre des nœuds-enfans à chaque nveau n es pas nécessaremen égal à celu du nveau suvan. Par exemple, le nœud 0 dans le graphque a deux nœuds-enfans alors que les nœuds e on ros nœuds-enfans. Deux nveaux de l arbre peuven ne pas présener la même pérode de emps. Par exemple, dans le graphque c-dessus, le nveau 0 peu représener le débu de l année 0, le nveau la fn de la deuxème 3

38 année e le nveau la fn de la dxème année. De même, dans cerans arbres de scénaros complexes, el que présené c-dessous, l pourra avor dfférens nombres de nœuds-enfans pour les nœuds d un même nveau. nveau 0 (=0) nveau (=) nveau (=) nveau 3 (=3) A B C D E F Fg.7 : Arbre de scénaros avec dfférens nombres de nœuds-enfans pour les nœuds d un même nveau Il exse dfférenes représenaons mahémaques possbles de l arbre des scénaros. Il es référé c à la formulaon de Hochreer e al. [00]. Consdérons d abord un processus sochasque ( ) [ =0,,...T ] ξ dscre dans le emps e connu dans l espace e supposé représener la dynamque des rendemens des acons. L analyse suvane peu êre applquée aux aures varables générées par le GSE. ξ 0 = x0 représene la valeur d aujourd hu e elle es supposée êre consane. La dsrbuon de ce processus peu êre le résula d une esmaon, paramérque ou non, basée sur des données hsorques. L un des objecfs lors de la mse en place d un GSE es de rouver un processus sochasque ξ, qu prend seulemen des valeurs fnes e qu es auss proche que possble du processus réel des rendemens des acons : nous parlons dans ce cas de problème d approxmaon. A re d hypohèse, le GSE es supposé avor une srucure de projecon sous forme d arbre pour ses dfférenes varables. Nous défnssons, pour cela, l espace d éa fn de ξ par S : P ξ S = S. S x S, nous appelons le faceur de branchemen de x, le nombre des noeuds ssus drecemen de x, c es à dre la quané : So card { S } le cardnal de b( x, ) = card y : P ξ + = y, ξ = x > 0 3

39 Inuvemen, le processus ( ξ ) [ = 0,...,T ] peu êre représené sous forme d arbre, avec comme racne le noeud ( x,0 0 ). Les nœuds ( x, ) e ( y, +) son connecés par un arc s P ξ = x, ξ + = y > 0. b déermne la alle de l arbre. Typquemen, le faceur de branchemen es chos avan e ndépendammen de x. Dans ce cas, la srucure de l arbre es déermnée par le veceur [ b ( ), b ( ), b ( 3),, b ( T ) ]. Par exemple un arbre [5, 3, 3, ] a pour nombre de nveaux 5 (y comprs le nveau 0) e pour nombre de nœuds = 56 nœuds. Le nombre des arcs es oujours égal au nombre des nœuds mons. Dans ce cadre d analyse, l es possble de consdérer que la srucure lnéare consue un cas parculer de la srucure d arbre avec un faceur de branchemen égal à à parr de la deuxème composane du veceur de la srucure c-dessus (c'es-à-dre [5,,, ]). La collecon de ous les faceurs de branchemen ( x,) Selon Dupacova e al. [000], le problème d approxmaon prncpal es un problème d opmsaon de l un des deux ypes suvans e l es souven foncon de la méhode de généraon de scénaros reenue : - Le problème à srucure donnée (The gven-srucure problem) : quel ( 0 processus dscre ) [ =,...,T ] b ( 3),, ( T ) ξ avec une srucure de branchemen [ b ( ), ( ) b, b ] es le plus proche d un processus donné ( ξ ) [ = 0,...,T ]? Ben évdemmen, la noon de proxmé es à défnr de manère approprée. - Le problème à srucure lbre (The free-srucure problem) : c auss le processus ( ξ ) [ = 0,...,T ] es à approxmer par ( ξ ) [ = 0,...,T ] mas sa srucure de branchemen es à défnr lbremen excepé que le nombre oal des nœuds es fxé à l avance. Ce problème d opmsaon hybrde e combnaore es plus complexe que le problème à srucure donnée. Il es à noer que la dffculé majeure lors de l ulsaon des arbres de scénaros es l augmenaon exponenelle dans le nombre de scénaros. S ros scénaros son générés pour chaque nœud à n mpore quel nveau parm nveaux par exemple, le nombre de scénaros générés sera 3 0 (presque 3,5 mllards de scénaros). Le recours à l ulsaon de elle srucure dans le cadre de l allocaon sraégque d acfs fera l obje d une éude plus approfonde à la fn de ce raval en parculer dans le cadre de la proposon d un nouveau modèle d ALM (cf. chapre 3 de la pare II). Au delà du chox de la srucure de projecon pour les varables d un GSE, l analyse des approches possbles pour la déermnaon des valeurs fuures des varables projeées, appelée auss méhodologes de généraon des scénaros, consue un problème souven renconré par le consruceur d un GSE. Le chox d une méhodologe parculère n es pas sans mpac sur les résulas obenus n fne (cf. Ahlgrm e al. [008]). 33

40 II- Méhodologes pour la généraon de scénaros économques S nous nous plaçons dans le même cadre d analyse que celu de la sous-secon précédene, nous pouvons dre que cee pare vse à répondre à la queson suvane: commen pouvonsnous déermner la valeur d un nœud. Pour cela, dfférenes méhodologes, ayan pour fnalé la généraon de scénaros économques, peuven êre rouvées dans la léraure (cf. Kau e Wallace [003] e Mra [006]). Il es proposé dans cee sous-secon de les classer en quare groupes: les approches basées sur l échanllonnage, les approches basées sur le machng des propréés sasques, les approches basées sur les echnques de Boosrappng e les approches basées sur l Analyse en Composanes Prncpales. Ce derner groupe n es pas ndépendan des aures comme nous allons le vor dans ce qu su. II-- Les approches basées sur l échanllonnage Ces approches peuven êre classées en deux sous caégores : l échanllonnage pur unvaré (ou radonnel) e l échanllonnage à parr de margnales e de corrélaons spécfées. Cee dernère a le mére de générer des scénaros dans lesquels la corrélaon enre les varables converge vers celle cblée par le modélsaeur. L échanllonnage pur es la méhode de généraon de scénaros la plus connue. A chaque nœud de l arbre de scénaros, dfférenes valeurs son rés de façon aléaore à parr du processus sochasque { ξ }. Cela se fa so par un rage drec à parr de la dsrbuon de{ ξ }, so par l évoluon du processus selon une formule explce: ξ + = z( ξ, ε ). Dans ce cadre, la dynamque de pluseurs varables fnancères peu êre supposée suvre un processus sochasque de ype mouvemen brownen géomérque, ou ben l'une de ses varanes. Les scénaros d évoluon de ces varables son ans smulés à parr des hypohèses sur la dscrésaon d un processus brownen géomérque défn par exemple par: ds ( ) = µ S( ) d + σs( ) db( ) S ( ) es le prx de l acf, µ e σ son respecvemen le drf e la volalé. Le erme db ( ) es un mouvemen brownen, c'es-à-dre B( ) B( ) ~ N(, ) 0. Il es ans possble de smuler des processus sochasques sur un nervalle de emps donné, en arbuan des S. valeurs aléaores au mouvemen brownen e en calculan par la sue ( ) Les méhodes radonnelles d échanllonnage d'une varable aléaore permeen de consuer des échanllons seulemen à parr d une varable aléaore unvarée ; lorsque nous voulons rer un veceur aléaore (correspondan à dfférenes varables), on aura beson de rer chaque composane margnale (chaque varable) de façon séparée pour les rassembler ensue. Le résulan obenu sera un veceur de varables aléaores ndépendanes. Concernan la convergence vers les momens sasques souhaés (moyenne, varance, ec.), l exse dfférenes méhodes pour amélorer l algorhme de l échanllonnage pur. Nous pouvons par exemple ulser les méhodes de quadraure pour l négraon ou les sues à dscrépance fable (cf. Pennanen e al. [00]). Pour les dsrbuons symérques l es possble d ulser les échanllonnages anhéques. Une aure méhode pour amélorer la méhode d échanllonnage pur es d ajuser l arbre obenu de façon à avor les valeurs cbles de la moyenne e de la varance (cf. Carňo e al. [994]). 34

41 Comme menonné c-dessus, les méhodes d échanllonnage radonnel on des lmes au nveau de la généraon des veceurs mulvarés, en parculer ceux avec une corrélaon spécfée. Cependan, l exse des méhodes qu résolven ce problème en se basan sur des approches d échanllonnage radonnel pour ensue ajuser la echnque de conrôle de la corrélaon enre les scénaros projeés. Ces méhodes, que nous avons appelé «échanllonnage à parr de margnales e de corrélaons spécfées» consuen donc une exenson des approches d échanllonnage radonnel. La dfférence prncpale se sue dans le fa qu elles permeen à l ulsaeur de spécfer à l avance les dsrbuons margnales ans que la marce de corrélaon cble. En général, l n y a aucune resrcon sur les dsrbuons margnales, elles peuven même apparenr à dfférenes famlles. A re d exemple, Deler e al. [00] proposen une méhode permean de générer des X ; =,,..., varables aléaores à parr des séres emporelles mul-varées { } où = ( X,X,..., X ) ' es un veceur aléaore de dmenson ( ) X,, l observaon à la dae de ces varables. k, k correspondan à Pour cela, ls consrusen un processus appelé processus de base Z (assmlé à un veceur auo régressf gaussen sandard) e le ransforme, à ravers un sysème de ranslaon de Johnson [949], en un processus ayan au mons les quare premers momens (moyenne, écar-ype, le coeffcen de dssymére ou skewness e coeffcen d aplassemen ou kuross) du processus X. Il ajuse enfn la srucure de corrélaon de ce processus de base Z de façon à obenr celle du processus X. L approche ulsée dans ce cas es celle de Deler e al. [00]. Elle se base sur la résoluon d un ensemble d équaons permean de déermner les corrélaons à reenr enre les varables du veceur Z afn de refléer la srucure de corrélaon cble observée enre les varables du veceur X. D aures exemples de ces méhodes se rouven dans Dupacova e al. [009]. Il es à noer fnalemen que ces approches basées sur l échanllonnage son ulsées dans le cas où nous avons des hypohèses sur les foncons de dsrbuon des composanes margnales (ou des dfférenes varables modélsées). II-- Les approches basées sur le machng des propréés sasques Dans les suaons où l n y a pas d hypohèses sur la dsrbuon margnale du processus de généraon de scénaros, les approches basées sur le machng des propréés sasques, en parculer les momens, son les plus adapées. Un processus de généraon des scénaros par le machng des momens s néresse souven aux ros ou aux quare premers momens de chacune des varables projeées (moyenne, varance, skewness, kuross) ans qu à la marce de corrélaon. Ces méhodes peuven êre éendues à d aure propréés sasques (el que les quanles, ec.). Le généraeur de scénaros par le machng des momens va ensue consrure une dsrbuon dscrèe sasfasan les propréés sasques séleconnées. Par exemple, Hoyland e al. [003] commencen par spécfer le nombre mnmal de scénaros qu l fau 35

42 générer pour ensue obenr l arbre de scénaros par une opmsaon non lnéare, où l objecf es de mnmser l erreur enre les momens héorques de la varable e ceux fourns par l arbre. II--3 Les approches basées sur les echnques de Boosrappng Il s ag des approches les plus smples pour générer des scénaros en ulsan seulemen les données hsorques dsponbles sans aucune modélsaon a pror de la dynamque d évoluon des varables du GSE (cf. Albeanu e al. [008]). Le Boosrappng se base essenellemen sur la consuon d échanllons à parr des données observées. Dans ce cadre, les valeurs de chaque scénaro représenen un échanllon de rendemens d acfs obenu par un rage aléaore de cerans rendemens observés déjà dans le passé. Par exemple, afn de générer des scénaros de rendemen sur les dx prochanes années, un échanllon de 0 rendemens mensuels rés aléaoremen sur les 0 rendemens des dx dernères années es ulsé. Ce processus es répéé un ceran nombre de fos afn de générer pluseurs scénaros possbles dans le fuur. Auremen, dans le cas où nous avons k acfs à projeer, e en supposan qu un hsorque de p pérodes es dsponble, nous rons avec remse un ener enre e p e nous prenons oues les valeurs des k acfs à cee même dae de façon à enr compe de la corrélaon hsorque enre ces derners. II--4 L'ulsaon de l Analyse en Composanes Prncpales L Analyse en Composanes Prncpales (ACP) es une méhode générque d analyse de données ayan pluseurs dmensons (cf. Bouroche e al. [980]). Elle perme l denfcaon des faceurs clés régssan les endances de ces données e de rédure leur dmenson ou en conservan le plus d'nformaon possble. Pour cela, l ACP se base sur l denfcaon des veceurs propres, des valeurs propres e des covarances. En effe, l s ag d une méhode descrpve qu dépend d un modèle géomérque pluô que d un modèle probablse. L ACP propose de rédure la dmenson d'un ensemble des données (échanllon) en rouvan un nouvel ensemble de varables plus pe que l'ensemble orgnal des varables, qu néanmons conen la plupar de l'nformaon de l'échanllon. Auremen d, pour un ensemble de données dans un espace à N dmensons, nous recherchons un sous-espace à k dmensons (défn par k varables) el que la projecon des données dans ce sous-espace mnmse la pere d nformaon. Ces k varables seron appelés composanes prncpales e les axes qu elles déermnen axes prncpaux. L mplémenaon numérque de la méhode ACP es ans accessble. En praque, l ACP a pour obje de rédure le nombre des varables de dépar du modèle pour ensue applquer une approche radonnelle de généraon de scénaros (parm celles proposées c-dessus) pour les composanes prncpales. II-3 Probablé rsque-neure Vs probablé réelle Les srucures par erme dans les modèles d absence d arbrage projeen des rajecores de aux d nérê fuurs qu émanen de la courbe des aux exsane. L applcaon de els modèles suppose que les prx son déermnés à parr du prncpe d absence d opporuné 36

43 d arbrage don découle «la probablé rsque-neure» (cee echnque es surou néressane lors du développemen des echnques d arbrage). Sous cee probablé, le rendemen de ous les acfs es supposé êre le aux sans rsque e la somme acualsée d un ensemble de flux fuurs es égale à la somme de ces flux acualsés au aux sans rsque. Cee probablé a pour objecf les opéraons de «prcng» e reflèe un consensus enre deux pares accepan le ransfer de rsque. En fa, la méhodologe d évaluaon rsque-neure es ulsée par les banques d nvesssemen e les académques pour l évaluaon des produs dérvés. Pour un modèle de reour à la moyenne, la endance de long erme sera le aux sans rsque pour oues les varables. Nous esmons ans une moyenne des flux de résorere espérés du produ dérvé en ulsan les echnques de Mone Carlo. Ces flux son acualsés au aux sans rsque afn d obenr la valeur économque du produ dérvé. La probablé rsque-neure fourn des résulas cohérens par rappor à des marchés neures face au rsque mas elle n es pas recommandée pour la mesure du rsque ou pour la prévson (Adam, [007]). Par alleurs, les srucures par erme dans les modèles d absence d opporuné d arbrage son fréquemmen plus dffcles à mplémener que leurs conrepares des modèles d équlbre. Cee probablé suppose un nombre d hypohèses qu son peu conforme au monde réel. Comme conséquence, les valeurs obenues par cee méhodologe doven êre nerpréées avec prudence. Elles peuven consuer un benchmark néressan, surou lors de l évaluaon de produs dérvés par les echnques acuarelles. La probablé réelle a quan à elle un objecf de smulaon (ou de projecon) réalse : Elle corrge les smulaons rsque-neure e monre par exemple que sur le long erme l nvesssemen en oblgaons es plus néressan que l nvesssemen en monéare (cf. Campbell e al. [00]). La smulaon réelle nègre des prmes de rsque comme conrepare du rsque supplémenare assumé. Elle corrge le calcul des ndcaeurs de rsque (dans les scénaros de sress, analyse de sensblé, ec.) Elle perme à la socéé de enr compe de l évoluon de sa propre valeur de marché lors des smulaons. La probablé réelle es ulsée lors de l opmsaon de l exposon au rsque par le gesonnare acf-passf (Adam, [007]). La prme de rsque ndque une dfférence enre la performance espérée de l nvessseur e le aux sans rsque. Mahémaquemen, le passage de la probablé rsque neure à la probablé réelle se fa par l nroducon d une prme de rsque µ : réel RN db = db + µ.d II-4 L excluson de valeurs négaves pour les modèles de aux Beaucoup de dscussons exsen sur la nécessé e la façon avec laquelle nous pouvons lmer la smulaon des varables négaves (Basseo [004]). Les varables auour desquelles se concenren ces dscussons son les aux réels e les aux nomnaux, mas l nflaon es auss concernée. La queson se complque d avanage lorsque le aux nomnal es dédu à parr des deux aures aux. Parm les approches possbles : 37

44 - so l ulsaon de bornes nféreures pour les aux réels e d nflaon, - so la fxaon de bornes nféreures unquemen pour les aux d nflaon (qu peuven donc êre négafs) : les aux réels son quan à eux dédus dans un deuxème emps de façon à avor des aux nomnaux posfs. III- Mesure de qualé La mesure de la qualé d un GSE peu avor deux caracères : qualaf e quanaf. Dans les deux cas, l objecf sera de garanr des éas de sore du modèle qu permeen de prendre les melleures décsons. III- Mesure qualave de la qualé d un GSE Pour Hbber e al. [00], les propréés qu un «bon» GSE do avor son les suvanes : la représenavé, la plausblé économque, la parcmone, la ransparence e l évoluon. Le modèle do «mer» le comporemen des acfs fnancers dans le monde réel en capan leurs prncpales caracérsques (représenavé). De même, les dfférens scénaros générés devron êre plausbles e rasonnables pour les expers du marché fnancer. Cela passe par l éude de la forme de la dsrbuon e des corrélaons des dfférenes varables du modèle. A ce re, le degré de correspondance des résulas aux données hsorques consue un champ d nvesgaon néressan, malgré les crques à l'enconre de l hypohèse de reproducon des événemens hsorques dans le fuur. L ulé de la comparason des résulas obenus par rappor aux observaons déjà réalsées sur le marché peu varer en foncon des aenes du gesonnare en ermes d évoluon fuure du conexe macroéconomque. En fa, l objecf de smlude enre les deux séres (projeées e hsorques) peu êre abandonné s on juge par exemple un changemen profond du conexe économque par rappor au passé (exemple : modfcaon mporane des pods des économes à l échelle nernaonale, exploson de l endeemen publc, ). Le comporemen jon des dfférenes varables smulées dans les scénaros do auss présener un nveau suffsan de plausblé e de cohérence en respecan les prncpes économques. Cependan, l es à noer qu l n y a pas de consensus sur ceranes propréés mporanes des acfs fnancers. L exemple du prncpe de reour à la moyenne sur le marché des acons, qu spule que les rendemens sur le long erme des acons convergen vers une endance donnée, en es une llusraon (cf. Hbber e al. [00]). La parcmone fa référence, quan à elle, à la smplcé des modèles proposés par le GSE, leur permean d êre d une par compréhensbles par les ulsaeurs e d aure par mplémenables sur des suppors nformaques. Par alleurs, la parcmone perme une melleure capacé prospecve. La ransparence es enfn un élémen déermnan pour le succès du modèle, foremen lé à son poenel de communcaon : les résulas obenus devron êre présenés sous forme de graphques clars e déallés. Fnalemen, Le poenel du modèle à évoluer e à élargr le champ de son éude es un élémen d aracvé supplémenare. 38

45 Pour Zenos [007], les crères qu un GSE do sasfare afn de garanr sa bonne qualé son au nombre de ros : l exacude (correcness), la précson (accuracy) e la cohérence (conssency). Les scénaros devron avor des propréés qu son jusfées e souenues par dfférenes publcaons académques. Par exemple, la srucure par erme devra refléer le phénomène de reour à la moyenne des aux d nérê consaé dans pluseurs éudes unversares e echnques (cf. Vascek [977] e Hbber e al. [00]). De même, la srucure par erme pourra êre dédue à parr des changemens dans le nveau, la pene e la courbure els que menonné dans ceranes éudes économques (cf. Heah e al. [99]). De même, afn de vérfer la condon d exacude, les scénaros devron couvrr les scénaros mporans observés dans le passé ans que enr compe des évènemens qu ne son pas observés avan, mas qu on de fores chances d êre observés sous les condons acuelles de marché. Comme dans pluseurs cas, les scénaros représenen une dscrésaon d un scénaro connu, l accumulaon d un nombre d erreurs dans la dscrésaon es névable. Dfférenes approches peuven êre ulsées pour assurer que l échanllon de scénaros représene la foncon de dsrbuon connue sous jacene. La précson es assurée lorsque le premer momen jusqu'au plus grand momen de la dsrbuon des scénaros convergen vers ceux de la dsrbuon héorque sous-jacene. (le machng des momens e des propréés sasques son souven ulsés afn d assurer que les scénaros garden les momens héorques de la dsrbuon qu ls représenen). La demande de précson peu mener à la généraon d un nombre élevé de scénaros. Cec dans le bu de créer une dscrésaon fne de la dsrbuon connue e afn d accomplr la précson qu on consdère approprée e accepable pour le problème en queson. Cependan, compe enu des erreurs de modèle e de calbrage l es recommandé d'éver de consacrer rop d énerge à l obenon d un nveau de précson, formellemen sasfasan mas llusore de pon de vue opéraonnel. Lorsque les scénaros son générés pour dfférens nsrumens (par exemple, les oblgaons, la srucure par erme, ec.), l es mporan de vor que les scénaros son cohérens en nerne. Par exemple, les scénaros dans lesquels une augmenaon dans le aux d nérê en leu smulanémen avec une hausse des prx des oblgaons son héorquemen non cohérens (cf. Ahlgrm e al. [008]), même s à une échelle ndvduelle chacun des deux scénaros, celu du aux e celu des prx, peu êre avor leu éan donné cerans faceurs exogènes (par exemple, une augmenaon des aux par la banque cenrale accompagnée par l augmenaon de la demande sur les oblgaons comme acfs refuges sur le marché). La corrélaon enre les dfférens nsrumens peu êre ulsée afn d assurer la cohérence des scénaros. L éude de la qualé de ceranes méhodologes de généraon de scénaros es llusrée cdessus : Concernan les approches basées sur l échanllonnage : elles permeen de probablser un ensemble de scénaros fuurs en enan compe de la possblé de la reproducon des scénaros passés. S le chox de la dynamque des varables es jusfé par des références 39

46 académques, ces approches assuren la condon d exacude. Par alleurs, les condons de précson e de cohérence peuven auss êre préservées : avec un chox de echnques de calbrage e de dscrésaon adéquaes (précson) e en enan compe de la srucure de corrélaon enre les varables dans les modèles (cohérence). Nous pouvons noer que le machng des momens assure par défnon la condon de précson pusqu elle garde les propréés des momens. De même, le machng des marces de covarance assure la cohérence des scénaros. Cependan, cee approche es assez générale e n es pas valdée par des éudes académques ce qu es nécessare pour que l approche respece la condon d exacude. De son coé le boosappng des données hsorques préserve la corrélaon observée, mas ne sasfa pas la condon d exacude pour la généraon de scénaros car l ne suggèrera pas un rendemen qu n es jamas observé dans le passé (ce qu es conre-nuf, comme la reproducon du passé ne consue qu une pare des scénaros possbles dans le fuur e non la oalé des scénaros poenels, confrmaon donnée par la crse économque acuelle qu a donné leu à des rendemens records jamas observés au paraven). Lorsqu ls son rés de façon approprée, les scénaros de cee approche sasfon les condons de précson e de cohérence pusqu ls son en parfae cohérence avec les observaons réelles du passé. III- Mesure quanave de la qualé d un GSE Dans cee sous-secon, nsprée des ravaux de Kau e Wallace [003], nous essayons de présener cerans crères permean de eser de façon quanave la qualé d un GSE non pas en an qu oul de généraon de la dsrbuon réelle de ses varables mas pluô en an qu oul d ade à la prse de décson. L nérê dans ce raval sera poré sur la performance des scénaros comme un npu au modèle de prse de décson e sur la mesure de la qualé des décsons subséquenes que proposen ces scénaros (sablé, absence de bas, ec.). L objecf n es donc pas la mesure du degré de correspondance des scénaros projeés par rappor à la dsrbuon réelle des varables du GSE, une dsrbuon qu rese peu accessble quelque so les ouls d esmaon e d approxmaon employés. Nous noons auss que la connassance de la dsrbuon réelle enlève le beson de passer par un GSE pour prévor les valeurs fuures des varables fnancères e macro-économques. III-- Présenaon du problème Les noaons ulsées dans la sue son denques à celles ulsées précédemmen 6. Nous nous néressons à la foncon objecf d un modèle d opmsaon synhésé comme su : mn F x X ( x, ξ ) où ξ correspond donc à un processus sochasque dscre dans le emps e connu dans l espace. La résoluon drece du problème réel (héorque) éan supposée êre mpossble, le passage par un processus dscre { ξ } don l évoluon es représenée sous forme d un arbre ne consue qu une soluon d approxmaon (emprque). Une fos effecué, la foncon objecf deven : 6 Le chox de la srucure de projecon n nfluence pas l analyse menée dans cee sous secon. 40

47 mn F( x, ξ ) x X Comme menonné c-dessus, nous nous proposons dans ce raval de ler la performance du GSE éudé à la qualé des décsons qu l perme d obenr e non pas à la performance sasque d approxmaon e d esmaon du processus réel. D aure par, l es à rappeler que l erreur d esmaon des paramères ne fa pas pare de l obje de ce arcle ce qu ne rédu en aucun cas l mporance d éuder la robusesse des décsons obenues par le GSE par rappor aux chox effecués pour ces paramères (cf. Meucc [005]). L erreur, au nveau décsonnel, de l approxmaon d un processus sochasque{ ξ } par une dscrésaon{ ξ }, peu êre défn, so comme la dfférence enre les valeurs opmales de la foncon objecf des deux problèmes : le problème réel (héorque) e le problème d approxmaon (emprque), so comme la dfférence enre les soluons proposées par ces deux mêmes problèmes. Le premer ype d erreur, lé à la valeur opmale de la foncon objecf, peu êre formulé comme su : e f ξ, ξ = F arg mn F x; ξ ; ξ F arg mn F x; ξ ; ξ x x = F arg mn F x; ξ ; ξ mn F x; ξ () x x Nous noons que e f ξ, ξ 0, éan donné que le deuxème élémen de l écar es le vra mnmum, alors que le premer es la valeur de la foncon objecf à une soluon approxmée. La comparason es effecuée non pas au nveau des soluons opmales (x * ) mas pluô au nveau des valeurs de la foncon objecf correspondanes. En fa, nore nérê pore en premer leu sur la valeur mnmale e non pas sur les dfférenes soluons qu permeen nfne d avor cee valeur (appelée auss la performance). Il y a deux problèmes renconrés dans l équaon c-dessus de e ξ ξ : f, - rouver la valeur «réelle» de F x; ξ pour une soluon donnée x. - rouver la valeur «réelle» de F x; ξ qu suppose la déermnaon de la soluon réelle x *. Alors que le second problème es souven dffcle à résoudre, car l nécesse la résoluon du problème d opmsaon avec le processus connu réel, le premer problème peu êre résolu, à ravers la smulaon en emps dscre par exemple. Dans la sous-secon suvane, nous présenons dfférens ndcaeurs de mesure de l erreur lé à la qualé des décsons obenues par un GSE donné. Ces ndcaeurs se basen sur la défnon de condons à sasfare par la soluon emprque. 4

48 III-- Le es de la qualé des décsons obenues par le GSE Il exse au mons deux condons nécessares à sasfare par un GSE afn de garanr la fablé des décsons dédues à parr de ses projecons. La premère condon es la sablé de la valeur de la foncon objecf opmale par rappor aux dfférens arbres de scénaros : c'es-à-dre s nous générons pluseurs arbres (avec les mêmes paramères naux : endance, volalé, ec.) e que nous résolvons le problème d opmsaon pour chacun d eux, nous devrons avor les mêmes valeurs opmales de la foncon objecf (mêmes performances). L aure condon es que l arbre de scénaros n nrodu aucun bas au * nveau de la vrae soluon ( x ) e ans la soluon proposée emprquemen do correspondre à la soluon opmale réelle. La premère condon peu dans cerane mesure êre esée alors qu un es drec de la deuxème es souven consdéré comme mpossble éan donné que la foncon réelle es nconnue. III--- La condon de sablé Deux ypes de sablé peuven êre avancés : la sablé nerne de l échanllon e la sablé exerne de l échanllon. Ces deux ypes d ndcaeurs nervennen au nveau de la valeur opmale de la foncon objecf e non au nveau de la soluon opmale du problème. En fa, la sablé nerne de l échanllon sgnfe que s nous générons k arbres de scénaros avec la dscrésaon { ξ} d un processus donné { ξ }, e que s nous résolvons le problème d opmsaon pour chacun de ces arbre, nous devrons avor (approxmavemen) la même valeur opmale de la foncon objecf avec comme soluons opmales x, k =,..., K. Auremen : F x * ; ξ k F xl ξ l k,l... K * k ; La sablé exerne de l échanllon concerne quan à elle les performances des arbres de la dsrbuon réelle e elle es défn comme su : F x * ; ξ F xl ξ k,l... K * k ; Une aure formulaon possble de ces deux ndcaeurs sera : La sablé nerne : mn F x; ξ k mn F x; ξ l x x La sablé exerne : F argmn F x; ξ k ; ξ F argmn F x; ξ l ; ξ x x En ulsan l équaon () de la foncon d erreur, nous dédusons que pour le cas de la sablé exerne: e f ξ, ξ k = e f ξ, ξ l Il y a une dfférence mporane enre les deux défnons : alors que pour la sablé nerne de l échanllon nous avons beson seulemen de résoudre le problème d opmsaon basé sur les scénaros projeés par le GSE, la mesure de la sablé exerne passe par l évaluaon de la * k 4

49 foncon objecf réelle ( x; ) F ξ. En praque, l n es pas évden de eser précsémen la sablé exerne comme nous n avons pas la dsrbuon réelle des varables projeées (rendemens, aux, ec.). Cela peu êre démonré par l exemple un-pérodque e un-dmensonnel suvan 7 llusran la dfférence enre les deux ypes d ndcaeurs : mn F x R [ ] ξ ( x; ξ ) = Ε ( x ξ ) Ce problème peu êre résolu héorquemen e avor sa soluon explce pour n mpore quelle dsrbuon de ξ : F [ ] ( x; ξ ) = Ε ( ξ x) = Ε[ (( ξ Ε[ ξ ]) + ( Ε[ ξ ] x) ) ] = ( ξ - Ε[ ξ ]) ] + Ε[ ( ξ - Ε[ ξ ])( Ε[ ξ ]- x) ] + Ε ( Ε[ ξ ]- x) = Var[ ξ ] (x - Ε[ ξ ]) [ ] e la soluon opmale es alors : x * = argmn F x R ( x; ξ ) = Ε[ ξ ] F * ( x ; ξ ) = mn F( x; ξ ) = Var[ ξ ] x R Cee soluon es de explce parce que son obenon ne nécesse pas la smulaon de la dsrbuon de ξ e elle consue du fa une soluon générale e déermnse. Consdérons le cas dans lequel nous générons des arbres de scénarosξ k ( k =... K ) e que nous obendrons * les soluons x k = Ε ξ k. Nous supposons dans un premer emps que la méhode de généraon de scénaros es elle que ous les échanllonsξ k on d une par la même moyenne réelle Ε ξ k = Ε ξ e d aure par des varances * Var ξ k dfférenes. Ans F x k ; ξ k = Var ξ k sera dfférene d un * * échanllon à l aure d où une non sablé nerne. En même emps, x = x, donc F * * ( x ; ξ ) F( x ; ξ ) = Var[ ξ ] k =, ce qu confrme une sablé exerne de l échanllon. k S par conre, nous supposons que la méhode de généraon de scénaros produ des échanllons ayan ous la même varance réelle ( Var ξ k = Var [ ξ ] ), mas des moyennes k 7 Pour smplfer, ξ désgne ξ dans ce exemple. 43

50 k k k = e la sablé nerne de l échanllon es ans vérfée. De l aure côé, la valeur * dfférenes, nous obenons dans ce cas F x ; ξ = Var ξ Var[ ξ ] de ( ) [ ] [ ] * F xk ; ξ = Var ξ + Ε ξ k - Ε ξ dffère enre les échanllons e la résoluon du problème ne vérfe pas la sablé exerne de l échanllon. Une queson peu êre posée à ce sade : quel es le ype de sablé le plus mporan pour juger de la performance de la méhode de généraon de scénaros? Avor la sablé exerne sans avor la sablé nerne sgnfe que la performance obenue par approxmaon peu ne pas correspondre à la performance réelle. Le cas opposé, c'es-à-dre sablé nerne sans la sablé exerne, es quan à lu plus gênan pour le processus décsonnel, pusque la performance réelle des soluons emprques dépendra de l arbre de scénaros réel séleconné, e nous ne pouvons pas ans rancher au nveau de la melleure soluon obenue par approxmaon alors que dans le premer cas nous avons au mons une soluon emprque sable héorquemen mas don la performance emprque rese non sable, ce qu paraî a pror mons gênan. Une aure queson possble es l éude d une sablé nerne de l échanllon non pas au nveau de la performance mas au nveau des soluons elles même : ans nous cherchons à avor la même soluon opmale quel que so l arbre de scénaros généré. Dans l exemple c-dessus, nous pouvons remarquer qu l es possble d avor une non sablé nerne de la valeur opmale de la foncon objecf (dfférenes varances emprques Var ξ k ) ou en gardan une sablé nerne au nveau des soluons elles mêmes (les soluons x = [ ξ ] * k Ε son les mêmes pour ous les arbres). Cec perme de dédure mmédaemen la sablé exerne de l échanllon. Ans, s nous déecons une sablé nerne de l échanllon au nveau de la foncon objecf, nous devrons regarder auss au nveau des soluons. Par conre l aure sens d analyse n es pas oujours vra e nous pouvons avor une sablé exerne même s la sablé nerne au nveau des soluons n es pas vérfée. Nous pouvons conclure n-fne que la sablé es une condon mnmale à respecer par la méhode de généraon de scénaros. Ans, avan de commencer à ravaller avec un nouveau modèle d opmsaon, ou une nouvelle méhode de généraon de scénaros, l sera judceux d effecuer les ess de sablé : le es de la sablé nerne de l échanllon e dans la mesure du possble le es de la sablé exerne de l échanllon. III--- La condon d absence de bas En plus de la condon de sablé (à la fos nerne e exerne de l échanllon), la méhode de généraon de scénaros ne devra pas nrodure de bas au nveau de la soluon proposée. Auremen, la soluon du problème d approxmaon basé sur les scénaros fourns par nore GSE : * x = argmn F x; ξ x 44

51 devra êre une soluon opmale du problème orgnal. Ans, la valeur de la vrae foncon objecf pour la soluon obenue, F x * ; ξ, devra êre approxmavemen égale à la valeur mn F x; ξ : opmale réelle ( ) x F x ; ξ = F arg mn F x; ξ ; ξ mn F x; ξ x x * En ulsan l équaon () de la foncon d erreur, cee condon s exprme comme su : e f ξ, ξ 0. Le problème es que le es de cee propréé n es pas possble dans la plupar des cas, éan donné que cela nécesse la résoluon du problème d opmsaon avec le processus connu réel, supposé jusque là comme nconnu. III-3 Applcaon numérque Afn d llusrer les pons développés jusque là, nous présenons dans ce qu su un exemple numérque smplfé prenan le cas d un nvessseur (compagne d assurance par exemple) néressé par la réparon de son capal enre n=3 acfs fnancers sur le marché européen : les acons, les oblgaons e le monéare. Chacun de ces ros classes d acfs sera représené par un ndce don la sére de données hsorques mensuelles, enre le 0/0/999 e le 3/0/009, es récupérée à parr de la base de données Bloomberg : ans nous avons reenu l ndce EONIA pour le monéare, l ndce oblgaare EFFAS-Euro pour les oblgaons e l ndce DJ Eurosoxx50 pour les acons. Nous supposons auss que ce problème d opmsaon de porefeulle es mono-pérodque : la projecon des valeurs de rendemen de chacun des ros acfs se fa sur une seule pérode (par exemple une année). Au nveau du chox de la méhodologe de généraon des scénaros du GSE, un processus sochasque refléan une hypohèse de normalé des rendemens es assocé à chacun des ros ndces, so : R = µ + σ ε avec =,, 3, R correspond au rendemen de l'ndce. La endance (ou la moyenne annualsée) µ e la volalé σ des rendemens des ros ndces son esmées sur une base hsorque (elles corresponden respecvemen à la moyenne annualsée e à la volalé emprques de chacune des ros séres de données reenues). ε, su une lo normale de moyenne nulle e de varance égale à. La srucure de dépendance enre les varables du GSE consdéré es ben une srucure par corrélaon. Les ros ndces son smulanémen dépendans l un de l aure lors de leur projecon e le nveau des corrélaons es déermné à ravers les corrélaons fxées en amon enre leurs brus ε ( =,, 3)., 45

52 La foncon objecf de nore nvessseur sera défn comme su : Mn F R ; ε = σ R Avec el que E ( ) ( ) p p U ( R p ) m0 R p le rendemen oal du porefeulle composé des ros acfs (monéare, oblgaons e acons), ( ) R p E la valeur espérée du rendemen du porefeulle, ( ) p R p σ la volalé du rendemen du porefeulle e m 0 la valeur mnmale du rendemen espéré du porefeulle (égale à 4 % dans nore cas). En praque, l espérance sera esmée par la moyenne emprque. Rappelons que pour dédure le rendemen du porefeulle sur une pérode donnée, la formule suvane es ulsée : R n = = 3 p j= j Avec p j e R correspondans respecvemen au pods e au rendemen de l acf j sur la même pérode. U correspond à l unvers des allocaons (ou composons de porefeulle) à eser. La déermnaon de ce unvers passe par la fxaon d'un pas, par exemple de 5 %, pour les pods des dfférens acfs. Auremen : n U = ( p,..., pn )\ p j =, p j = c 0, 05 0, j {,...,n},c { 0,,..., 0} j = Dans nore cas, 3 acfs e un pas de 5 %, nous obenons 3 allocaons à eser. F R p ; ε correspond à la foncon objecf réelle présenée dans la sous-secon précédene ( ) comme ( x; ) F ξ 8. La srucure de projecon adopée dans cee applcaon es une srucure lnéare e ce afn de smplfer la méhode de résoluon de la foncon objecf. Cee srucure peu êre llusrée par exemple par le graphque 8 correspondan à la varable rendemen des acons projeée sur acons une pérode de 0 ans avec 500 rajecores. Dans ce graphque, R, représene le rendemen de l ndce des acons enre la dae e - à la ème rajecore (ou scénaro). La alle de la srucure de projecon sera défne comme le nombre de rajecores smulées dans cee srucure. Un ensemble de scénaros désgnera l ensemble des rajecores obenues d une varable dans le cas d une srucure de projecon lnéare (équvalen de l arbre de scénaros dans le cas de srucure par arborescence). Dans nore éude nous envsageons de procéder comme su : nous fxons dfférenes alles des srucures de projecon adopées dans ce GSE : par exemple 50, 000, 5000 e rajecores. Pour chacune de ces valeurs, nous fasons ourner ce GSE m=30 fos en p R j j 8 La caracérsaon «réelle» ven du fa que dans nore cas la résoluon du problème passe par la smulaon e la projecon de scénaros sochasques pour les dfférens acfs: on parle dans ce cas d une résoluon emprque basée sur la méhode Mone Carlo e non d une résoluon réelle déermnée généralemen à l ade de formules explces. 46

53 résolvan à chaque fos le problème d opmsaon présené c-dessus. 0 valeurs opmales emprques de la foncon objecf son ans obenues (30 valeurs pour chacune des 4 alles proposées). Les valeurs de ces dfférens paramères (alle, nombre de fos qu on fa ourner nore GSE) son c choses de façon arbrare. L dée es de eser la sablé e la dsrbuon de la valeur opmale emprque de la foncon objecf ans que de la soluon emprque opmale (c'es-à-dre l allocaon opmale d acfs) par rappor à la alle de la srucure. Cee éude essayera de juger n fne la qualé des soluons fournes par nore GSE pour le preneur de décson. Avan d exposer e d analyser les résulas obenus, l es à rappeler que la sablé nerne de l échanllon nécesse que, pour une alle de srucure donnée, les valeurs opmales de la foncon objecf ne dépenden pas de l ensemble de scénaros projeés. L déal sera donc, dans ce cas, d avor, pour une alle de srucure donnée, 30 valeurs opmales approxmavemen denques de la foncon objecf. Pour la sablé exerne de l échanllon, les valeurs réelles de la foncon objecf (c la varance) doven êre approxmavemen les mêmes pour les dfférens ensembles de scénaros projeés. De même, ces valeurs devron êre approxmavemen égales à celles obenues dans le es de sablé nerne. Comme menonné précédemmen, cee sablé exerne de l échanllon peu êre dédue à parr de la sablé nerne de l échanllon au nveau de la soluon emprque rerouvée (l allocaon opmale dans nore cas). Dans le cadre du es de la sablé nerne de l échanllon, le ableau 3 présene les sasques relaves aux 30 valeurs opmales de la foncon objecf e ce pour les dfférenes alles proposées. acons R, acons R, acons R,T acons R 0 acons R, acons R, acons R,T 500 rajecores acons R500, acons R500, acons R 500,T Axe du emps 0=00 T=030 Fg. 8 : Projecon du rendemen des acons selon une srucure schémaque lnéare 47

54 Descrpon du es Type de es Foncon objecf Inerne F R p ; ε k Nombre de scénaros Valeur Moyenne Ecar-ype 0,088 0,075 0,075 0,077 0,0050 0,00 0,0007 0,0005 Tab. 3 : Propréés sasques des valeurs de la foncon objecf pour les dfférenes alles reenues des srucures de projecon de scénaros De même, le graphque c-dessous llusre la dsrbuon de ces valeurs opmales (médane, quanle 5 % e 75 % ans que le mnmum e le maxmum sur les 30 arbres de chaque alle) Nombre de scénaros Fg. 9 : Box plo de la dsrbuon des valeurs de la foncon objecf pour dfférenes alles de scénaros Comme nous pouvons le consaer, plus le nombre de scénaros augmene plus la valeur opmale de la foncon objecf a endance à basser e à se sablser auour d une valeur cenrale (en parculer à parr de scénaros). La condon de sablé nerne de l échanllon peu ans êre respecée par nore GSE à parr d une cerane alle de la srucure. D un aure côé, s la varaon du pods opmal de chaque acf es relavemen fable (bornée enre deux valeurs proches) cela garan la sablé exerne de l échanllon. Dans ce cadre, nous analysons les 30 veceurs d allocaons opmales obenus pour les ensembles de scénaros ayan pour alle Les sasques de ces soluons son présenées dans le ableau suvan, ans que le graphque correspondan c-dessous, e permeen de consaer relavemen une sablé exerne de l échanllon (vu que les écars ypes e/ou les éendus des pods des dfférens ndces son relavemen fables). 48

55 Moyenne Ecar-ype Eendue Mnmum Maxmum Monéare 0,37 0,05 0,05 0,35 0,4 Oblgaons 0,55 0,0497 0, 0,5 0,6 Acons 0,08 0,054 0,05 0,05 0, Tab. 4: Propréés sasques des pods des 30 allocaons opmales obenues pour la alle de scénaros 0.9 Monéare Oblgaon Acon Pods opmal Srucure projeée Fg. 0 : Les allocaons opmales obenues pour les dfférens ensembles de scénaros (30 ensembles) ayan chacun la alle de scénaros Concluson du chapre Les résulas obenus à ravers cee applcaon consuen des ndcaeurs que le décdeur peu ulser pour jusfer la sablé de sa décson fnale par rappor à son généraeur de scénaros : les graphques e les ableaux présenés confrmen la possblé d avor une sablé nerne e une sablé exerne de l échanllon. En praque, les hypohèses de raval e les varables de rsque prses en compe dans le processus décsonnel son évdemmen beaucoup plus nombreuses e plus complquées mas cela ne lme pas l nérê de ces ndcaeurs comme des ouls d ade à la mesure de la performance de la décson. La prochane éape es une llusraon plus globale du processus de consrucon d un GSE. Le conexe de cee consrucon es celu de la projecon sur le long erme de grandeurs réelles pour des fns de geson acf-passf (cas des fonds de rerae e de cerans conras d assurance). Le bu du chapre suvan es donc d exposer la démarche suve pour répondre à ce beson ans que les pons qu, en praque, nécessen une aenon parculère de la par du modélsaeur. 49

56 Chapre : Consrucon d un généraeur de scénaros économques I- Concepon e composanes Le généraeur de scénaros économques consru dans l'éude suvane en compe des relaons enre les dfférenes varables économques e fnancères. La méhodologe de mse en place du modèle ans que les echnques de calbrage ulsées son égalemen exposées. L obje de l ulsaon de ce GSE sera la projecon sur le long erme de dfférenes varables fnancères. Il s ag en quelque sore de préparer le erran au fonconnemen des modèles de geson acf-passf d un régme de rerae comme nous allons le vor dans la pare II. Nous supposons que les acfs consuan l unvers d nvesssemen son les suvans : le monéare, les oblgaons d Ea à aux fxe (de dfférens nveaux de duraon), les oblgaons d Ea à aux ndexé à l nflaon (de dfférens nveaux de duraon), les oblgaons non gouvernemenales à aux fxe (de duraon moyenne 5 ans), les acons e l mmobler. Unvers d'nvesssemen Monéare - ZC 5 ans (nomnal) oblgaons d Ea à aux fxe de mauré 5 ans ZC 0 ans (nomnal) oblgaons d Ea à aux fxe de mauré 0 ans ZC 5 ans (nomnal) oblgaons d Ea à aux fxe de mauré 5 ans ZC 8 ans (réel) oblgaons d Ea à aux ndexé à l nflaon de mauré 8 ans ZC 5 ans (réel) oblgaons d Ea à aux ndexé à l nflaon de mauré 5 ans Créd 5 ans oblgaons non gouvernemenales à aux fxe de mauré 5 ans Acons - Immobler - Tab.5 : Unvers d'nvesssemen consdéré dans l'éude I- Concepon héorque Une premère éape dans la concepon héorque du GSE obje de l llusraon vse à arbrer enre un modèle par cascade e un modèle basé sur les corrélaons. Comme l es menonné dans la sous-secon I- du chapre précéden, les modèles basés sur les corrélaons s'appuen sur des descrpons ad hoc de chaque classe d'acf e les agrègen ensue pour proposer une descrpon globale de l'acf. Dans le cadre d'un modèle basé sur les corrélaons, chaque classe es ans modélsée fnemen ce qu, dans le cadre d'une démarche de geson acf-passf (ALM), perme de décrre de manère précse l'allocaon effecuée. Les modèles par cascade proposen une descrpon srucurée de pluseurs classes d'acfs à parr en général d'une varable explcave de référence (comme par exemple le modèle de Wlke [995] qu s'appue sur une modélsaon de l'nflaon don découlen les aux e les 50

57 prx des acons). Les classes d'acfs els que les aux d'nérê peuven apparaîre modélsées de manère relavemen sommare en comparason à la précson des modèles basés sur les corrélaons. Toues ces observaons, ans que celles présenées dans la sous-secon II- du chapre précéden, nous on condus à reenr un modèle proche de celu d Ahlgrm e al. [005] pluô qu un modèle du ype Wlke [995] dans le cadre de la présene éude. Le modèle GSE développé ne supposera pas l exsence d une srucure par cascade enre ces varables. Concernan le chox d un modèle de srucure par erme des aux, ce derner do enr compe de l objecf de planfcaon sraégque de long erme qu dffère d un objecf d applcaon de cour erme (basé sur la comparason des prx obenus avec ceux des produs dérvés observés sur le marché). Dans cee éude, nous n envsageons pas d ulser le modèle de GSE, obje de l llusraon, pour des opéraons de «radng». Nous cherchons pluô à fournr aux fonds de rerae un ensemble de scénaros de aux d nérê e de rendemen d acfs qu so plausble par rappor aux endances fuures e aux réalsaons passées. Un cadre de modélsaon avec des hypohèses d équlbre général sera favorsé. Les dfférens acfs n auron pas le même rendemen espéré e une prme de rsque sera accordée à chacun d enre eux. En chosssan la srucure par erme des aux, nous essayeron égalemen de respecer les pons menonnés c-dessous relaves à l éude hsorque des mouvemens de la courbe des aux. L éude hsorque des mouvemens de la courbe des aux me en relef les pons suvans (Marelln e al. [003]) : - les aux d nérê nomnaux ne son pas négafs. - les aux d nérê son affecés par des effes de reour à la moyenne. - les aux longs e les aux cours ne son pas parfaemen corrélés. - les aux à cour erme son plus volales que les aux à long erme. - les courbes de aux d nérê peuven avor dfférenes formes (quas-plae, crossane, décrossane, avec une bosse, avec un creux). Dans le modèle développé, la srucure par erme des aux nomnaux es dédue à parr de la srucure par erme des aux réels e de la srucure par erme des aux d nflaon ancpés. Nous avons chos de modélser ces deux dernères par le modèle de Hull e Whe à faceurs [994] applqué dans un cadre d équlbre général, avec un prncpe de reour à la moyenne e avec un drf dépendan du emps. Il se base sur le prncpe de reour à la moyenne des aux d nérê. Ce modèle a le mére d êre ulsé pour des fns de projecon de long erme e dans un cadre d analyse d un «monde réel» (Ahlgrm e al. [005]). Il fourn auss des formules explces pour les prx des oblgaons zéro-coupon ce qu perme à son ulsaeur d obenr les aux de rendemens de dfférenes maurés, à n mpore quelle dae duran la pérode de smulaon (courbe des aux). Le chox d un modèle mul-facorel garan une flexblé au nveau de la forme de la courbe des aux. Il es monré d un aure côé que le pouvor explcaf d un modèle à deux paramères es suffsan pour la prévson des changemens de aux d nérê (Dae e al. [009]). Ces deux faceurs reenus seron le aux long (sur un horzon long, 0 ans par exemple) e le aux cour ou le aux nsanané (sur un horzon cour, 3 mos par exemple). Nous pouvons ans obenr dfférenes formes de la courbe des aux en foncon de l évoluon de sa pare de long erme par rappor à sa poson nale. De même, en consdéran deux faceurs, nous évons la lme du modèle à un seul faceur qu es celle 5

58 d une corrélaon parfae, égale à, enre les aux de rendemen exgés sur dfférenes maurés. Ans, les aux cours e les aux longs n auron pas à évoluer oujours dans un «lock-sep». En ce qu concerne les acons, dfférens aueurs on soulevé la problémaque des régmes qu caracérsen le processus d'évoluon de la renablé des acfs fnancers. Le GSE que nous allons mere en place ne suppose pas le reour à la moyenne pour les rendemens des acons. La dynamque des rendemens des acons se base sur le modèle de changemen de régme el que présené par Hardy [00]. Les acons peuven évoluer dans le cadre de l un de deux régmes suvans : un régme à espérance de rendemen élevée e à volalé fable des rendemens des acons e un régme à espérance de rendemen relavemen fable (vore même négave) e à volalé relavemen élevée. Ce modèle perme de générer un skewness (coeffcen d asymére) e un kuross (coeffcen d aplassemen) plus proche de ceux de la dsrbuon emprque des rendemens des acons (Hbber e al. [00]). Le rendemen des acons sous chaque régme es supposé suvre un mouvemen brownen géomérque el que celu de Black e Scholes [973]. L'un des avanages de l'applcaon des modèles à changemen de régmes es la prse en compe de la non-normalé des dsrbuons des processus à modélser. De même, ce modèle perme de enr compe de l'nsablé emporelle de la relaon enre les aux (en parculer l nflaon) e les rendemens des acons don l'orgne peu êre arbuée à l'émergence de bulles spéculaves e/ou à des flucuaons non dcées par les fondamenaux (cf. Fama [98]). A ce nveau, nore éude se dsngue par l'adopon d'une démarche novarce don l'objecf es de enr compe de l'nsablé emporelle de la corrélaon enre les renablés des acfs. Auremen d, nous enons compe dans la modélsaon des possblés d'évoluon de cee corrélaon selon dfférens régmes. L dée prncpale es de parr de l approche classque de changemen de régme, qu concerne souven les rendemens moyens ans que les volalés, pour supposer que les corrélaons basculen elles auss d un régme à l aure. Nous nrodusons un nouveau concep qu es celu de la «corrélaon à rsque» correspondan à la marce de corrélaon dans le régme de crse (régme à fore volalé des marchés). Elle reflèera a pror la percepon subjecve de l nvessseur en foncon des rsques auxquels l es exposé. La marce de corrélaon dans le régme à fable volalé sera consdérée comme celle refléan la sablé des marchés (esmée par exemple à parr de données hsorques hors pérodes de crses). Concernan les valeurs des oblgaons non gouvernemenales (à rsque de créd), ces dernères son déermnées à ravers l approche des coeffcens d abaemen : approche développée par les assureurs dans le cadre de la projecon de leurs évaluaons de provsons économques (MCEV 9 e Solvablé II). Le monéare es modélsé selon un modèle lognormal à volalé fable. L mmobler es modélsé selon un modèle de Vascek [977] (l équvalen de Hull e Whe [990] avec un seul faceur : le aux cour). La présenaon du GSE, obje de l llusraon, sera accompagnée par la comparason de ce derner avec le modèle d Ahlgrm e al. [005] noammen au nveau du calbrage des paramères. 9 Marke Conssen Embedded Value es le sandard de valorsaon des compagnes d assurance en juse valeur. 5

59 I- Composanes En maère de geson acf-passf, l s avère ule de s appuyer sur une modélsaon des prncpales classes d acfs dsponbles dans le bu de consrure un modèle global dans lequel ces classes son représenées de manère cohérenes dans une perspecve de long erme en phase avec les besons d un régme de rerae. I-- Srucure de corrélaon Deux prncpales quesons s mposen lors de l éude des modèles de corrélaon. D une par, quelle es l mporance de l esmaon de la corrélaon dans le conexe de l applcaon consdérée? D aure par, quel es le melleur modèle d esmaon de cee corrélaon? Concernan la premère queson sur l mporance de l esmaon des corrélaons, nous nous référons à l éude de Sknz e al. [007]. Ces derners exploren l mporance de l esmaon de la corrélaon dans le conexe de la geson des rsques. En parculer, ls éuden l effe de l erreur d esmaon de la marce de corrélaon sur le nveau esmé de la Valeur à Rsque 0 (VaR ou Value-a-Rsk) d un porefeulle d acfs donné. Ils consaen que l erreur d esmaon de la marce de corrélaon nfluence sgnfcavemen le calcul de la VaR e meen ans en évdence l mporance de mnmser cee erreur pour les gesonnares de rsque (rsk managers). Plus précsémen, plus l erreur d esmaon de la marce de corrélaon augmene plus l erreur au nveau de la VaR augmene. Cec es vra que ce so avec des porefeulles lnéares (composés d acfs classques) ou avec des porefeulles composés d opons. Pour ces deux porefeulles, nous supposerons que la VaR es calculée respecvemen avec la marce de varances-covarances e les méhodes de smulaon Mone Carlo. Ans le chox d un modèle qu mnmse l erreur d esmaon des corrélaons es mporan pour le gesonnare des rsques. Un résula addonnel obenu par les aueurs consse dans le fa que plus le «vra» nveau de la corrélaon es fable plus la sensblé du pourcenage d erreur de calcul de la VaR es élevé. Cec mplque que, dans le cas d un porefeulle lnéare, la sensblé es d auan plus mporane que le porefeulle es ben plus dversfé. De même, dans le cas d un porefeulle d opons, la sensblé de l erreur de calcul de la VaR par rappor à l erreur d esmaon des corrélaons es d auan plus fore que le nveau des corrélaons enre les acfs sous-jacens es fable. Par alleurs, l éude de Sknz e al. [007] monre que, dans le cas d un porefeulle d opons, le bas ndu par l erreur d esmaon des corrélaons dépend du nveau par rappor à la monnae e de la mauré. Les résulas monren à ce nveau que la VaR relave à un porefeulle d opons avec des maurés coures e dans la monnae es la plus sensble à l erreur de corrélaon. Ben évdemmen, ce résula n es pas le benvenu chez les gesonnares de rsque, du fa que la plupar de l acvé de ransacon des opons es concenré sur des opons à mauré coure e proche de la monnae. 0 La VaR d'un porefeulle d'acfs fnancers correspond au monan de peres maxmales sur un horzon de emps donné e avec un nveau de confance prédéfn. Il s'ag la mesure de rsque de référence ulsée dans Solvablé II. 53

60 Fnalemen, les résulas de Sknz e al. [007] ndquen que la sensblé de la VaR à l erreur d esmaon de la marce de corrélaon dépend égalemen de la méhode de calcul de la VaR. Ans, la pernence des résulas obenus par les smulaons Mone Carlo do êre vérfée à ravers dfférens ess de backesng. De même, l es souven adms que, pour les porefeulles lnéares, le gesonnare de rsque es ndfféren dans le chox enre la marce de varances-covarances e les smulaons Mone Carlo : la VaR calculée à ravers les méhodes Mone Carlo devra converger en prncpe vers celle obenue par la marce de varancescovarances. Cependan, comme le bas provenan de l erreur d esmaon des corrélaons dépend de la méhode employée, l ulsaon des smulaons Mone Carlo es de préférence à éver même dans le cas de pes porefeulles lnéares. Sknz e al. [007] confrmen égalemen que quelle que so l approche d esmaon reenue, l erreur es oujours névable. En parculer, dans les pérodes de sress des marchés, où la VaR es supposé êre ule, les corrélaons déven sgnfcavemen de leurs valeurs esmés nalemen (vor Bhansal e Wse [00] qu meen en évdence les lmes des echnques sasques dans ce cas). A ce nveau, la parcularé de l éude menée par Sknz e al. [007] consse dans le fa que ces derners se son néressés à la relaon enre l erreur d esmaon de la marce de corrélaon e l erreur de calcul de la VaR pluô que de s néresser au modèle qu mnmse l erreur d esmaon de la marce de corrélaon. Auremen d, ls on supposé que ce qu compe fnalemen pour les gesonnares de rsque es de mnmser l erreur de calcul de la VaR, quel que so le nveau d erreur obenu dans l esmaon de la marce de corrélaon. Ans, ls paren de la queson : es ce que le chox d une approche d esmaon de la marce de corrélaon, pluô qu une aure approche, mpace le nveau de la VaR obenu n fne e à quel nveau? S de elles relaons sysémaques n exsen pas, le gesonnare de rsque se rouve lbre dans le chox de son modèle d esmaon de la marce de corrélaon. Il pourra ensue, par exemple, chercher à denfer d aures faceurs menan à des erreurs dans son modèle de calcul de la VaR. Même s l mporance des hypohèses de corrélaon es de premer plan dans ceranes applcaons, du fa de leur nfluence sur les décsons fnales du gesonnare (cf. Wansco [990]), cerans chercheurs on endance à assocer un degré plus fable à cee mporance. C es le cas de Black&Lerman [99] qu affrmen, que dans le cas d une allocaon d acfs mono-pérodque ype Markowz, le modèle es sgnfcavemen plus sensble aux hypohèses émses sur les espérances e les volalés des dfférenes classes d acfs pluô qu aux hypohèses de corrélaons adopées dans le modèle. L mporance des hypohèses de corrélaon es donc foncon du conexe d applcaon e dépend des spécfés de l éude envsagée. Concernan la deuxème queson sur la performance de la méhode d esmaon des corrélaons, de nombreux ravaux on essayé de rouver la réponse en évaluan la performance de la prévson de dfférens modèles de corrélaons dans le cas de mulples applcaons fnancères. Cons par exemple, Elon e Gruber [973] e Chan e al. [999] dans le conexe de l allocaon d acfs, Beder [995] e Alexander e Legh [997] dans le conexe de la geson des rsques, Gbson e Boyer [998] e Bysröm [00] dans le conexe du prcng des opons. Cependan, l évdence en maère de la sélecon du melleur modèle de corrélaon es lon d êre ranchée. De même, du fa que la plupar des applcaons nécesse la prévson smulanée de la volalé e de la corrélaon, l évaluaon de la performance de la prévson de la corrélaon ndépendammen de celle de la volalé apparaî comme peu cohérene. 54

61 La corrélaon enre les aux (en parculer l nflaon) e les rendemens des acons sera éudée dans la sue. Ce suje se caracérse par le fa d êre conroversé dans la léraure. L'équaon de Fsher [930] spule que le aux nomnal de renablé d'un acf fnancer, el que les acons, es égal à la somme de l'nflaon ancpée e du aux réel de renablé de l'acon. Cee dené es basée sur deux hypohèses. La premère es relave à l'effcence du marché des acons; ands que la seconde spule que le aux réel de renablé es déermné par des faceurs réels, e qu'ans l es ndépendan des ancpaons nflaonnses. Or, de mulples ravaux emprques (don Fama [98] e Km [003]) desnés à eser l'équaon de Fsher révèlen une relaon négave enre la renablé des valeurs e l'nflaon. Cee nouvelle relaon es qualfée dans la léraure économque de sock reurn-nflaon puzzle. Une mulude d'éudes fu consacrée à l'analyse de cee relaon nverse enre la renablé des acfs e une varéé de mesures de l'nflaon ou de l'nflaon ancpée. L'une des hypohèses mplces à la relaon de Fsher es que les marchés fnancers son effcens. L'adopon d'une elle hypohèse es synonyme d'une relaon sable enre les prx des acfs fnancers e leurs déermnans fondamenaux. Or, les ravaux de Shller [98] don les résulas révélaen que la varance des cours boursers es rop élevée par rappor à celles des fondamenaux von à l'enconre de l'hypohèse d'effcence des marchés. Arus [998] affrma que la relaon enre l'nflaon e le prx des acfs peu êre nsable. L'absence d'une relaon sable, au mons à cour erme, enre les cours boursers e leurs déermnans fondamenaux peu êre explquée au nveau macroéconomque, so par l'rraonalé ou la myope des agens économques, so par l'exsence de bulles raonnelles. Auremen d, éuder la relaon enre les prx des acfs fnancers e l'nflaon sans enr compe de ces mperfecons e anomales condu nécessaremen à des relaons erronées. Le graphque llusre cee nsablé au nveau des corrélaons glssanes enre l'nflaon e les rendemens des acons aux Eas-Uns : par exemple, pour deux crses dfférenes (celle de 00 e de celle de 008) ce nveau de corrélaon passe de 0, à 0, ce qu s'explque par la dfférence de la source de la crse e de ses effes sur le comporemen des nvessseurs. En adopan un modèle ssu de la combnason de la héore de la demande de la monnae e de la héore quanave de la monnae, Fama [98] affrma que la relaon négave enre les aux nomnaux de renablé des acons e l'nflaon n'es que le refle du len négaf enre cee dernère e l'acvé économque réelle. Il explque que dans la mesure où l'acvé économque réelle es négavemen corrélée à l'nflaon e pusque la renablé des acons es corrélée posvemen à l'acvé économque, la corrélaon négave enre l'nflaon e les aux nomnaux de la renablé des acons es fausse. Elle ne représene qu'une relaon proxy du len enre les évoluons des prx des acons e de la producon. Ans, la hèse de de "proxy effec hypohess" de Fama es souven avancée pour jusfer les résulas emprques opposés à l'dené de Fsher. Il fau soulgner que la plupar des ravaux emprques relafs à l'analyse de la relaon de l'nflaon e la renablé des acons ne ennen pas compe de l'nsablé emporelle de cee relaon don l'orgne peu êre arbuée à l'émergence de bulles spéculaves e/ou à des flucuaons non dcées par les fondamenaux. L nsablé dans le emps de la corrélaon enre les dfférens faceurs de rsque, quel que so l horzon de calcul de cee corrélaon (5 ans, 0 ans, ec.), consue un élémen d éude mporan au nveau du chox du nveau de fnesse d un modèle d acfs (cas de l allocaon 55

62 d acfs). Cee mporance proven de l mpac sgnfcaf des hypohèses de corrélaon reenues sur les résulas fnaux obenus e ans sur la décson fnale du manager. Evoluon de la corrélaon (glssane) sur 5 ans enre l'nflaon e le rendemen des acons aux Eas-Uns depus 970 0,3 0, Effe de la crse de 008 0, 0,0-0, déc-69 déc-70 déc-7 déc-7 déc-73 déc-74 déc-75 déc-76 déc-77 déc-78 déc-79 déc-80 déc-8 déc-8 déc-83 déc-84 déc-85 déc-86 déc-87 déc-88 déc-89 déc-90 déc-9 déc-9 déc-93 déc-94 déc-95 déc-96 déc-97 déc-98 déc-99 déc-00 déc-0 déc-0 déc-03 déc-04 déc-05 déc-06 déc-07 déc-08-0, -0,3 Effe de la crse de 00: Bulle echnologque -0,4-0,5 Corrélaon glssane Fg. : Evoluon de la corrélaon (glssane) sur 5 ans enre l'nflaon e le rendemen des acons aux Eas-Uns depus 970 L'omsson des régmes qu caracérsen les processus généraeurs de la renablé des acons dans l'analyse de la relaon " nflaon-renablé " peu nrodure des bas e suggérer la présence d'une corrélaon négave. S l'nroducon des régmes génère une relaon conforme à l'dené de Fsher (corrélaon posve enre l'nflaon ancpée e la renablé des acons), nous pourrons mere en doue les argumens avancés par Fama. E le rendemen des acons sera, alors, un ndcaeur avancé de l'nflaon fuure. A ce nveau, nore éude se dsngue par l'adopon d'une démarche novarce don l'objecf es de enr compe de l'nsablé emporelle de la corrélaon enre les renablés des acfs. Auremen d, nous enons compe dans la modélsaon des possblés d'évoluon de cee corrélaon selon dfférens régmes. L dée prncpale es de parr de l approche classque de changemen de régme, qu concerne souven les rendemens moyens ans que les volalés, pour supposer que les corrélaons basculen elles auss d un régme à l aure. Un nouveau concep es ans nrodu e sera appelé la «corrélaon à rsque». Il s ag de la marce de corrélaon dans le régme de crse (régme à fore volalé des marchés). Elle reflèera a pror la percepon subjecve de l nvessseur en foncon des rsques auxquels l es exposé. La marce de corrélaon dans le régme à fable volalé sera consdérée comme celle refléan la sablé des marchés (esmée par exemple à parr de données hsorques hors pérodes de crse). En fa, pour le régme de fable volalé (régme pour le rendemen des acons), nous avons supposé une marce de corrélaon, enre les varables économques e fnancères (le rendemen des acons, le rendemen de l mmobler, le monéare, les aux d nflaon ancpés longs e cours, les aux réels longs e cours) qu es esmée à parr des données hsorques après élmnaon des pérodes aberranes ou de crses. Elle correspond alors à la 56

63 marce de corrélaon en suaon de sablé économque. Cependan, nous avons chos de fxer des corrélaons dans le cas de suaons de crses (régme pour les rendemens des acons), qu corresponden aux corrélaons «à rsque» pour l nvessseur : l s ag de la relaon enre les varables qu reflèera les cranes de l nvessseur. Ans, nous meons en relef l exposon au rsque exrême en cas de crse. S nous consdérons par exemple que nore nvessseur cran une basse des acons accompagnée par une hausse des aux (basse de la valeur des oblgaons) due à une hausse des aux d nflaon (cas d un passf ndexé à l nflaon) e une basse des aux réels (cas de ralenssemen de l économe), alors les corrélaons son fxées en suaon de crse (régme pour les acons) de façon à avor une corrélaon négave élevée enre les acons e les aux d nflaon, une corrélaon posve enre les acons e les aux réels e mplcemen une corrélaon négave enre les aux d nflaon e les aux réels. Dans un cadre d évaluaon Mark-o Marke des engagemens, comme la duraon du passf es élevée par rappor à celle de l acf, ce qu es le cas en général, du fa que les maurés des produs oblgaares son relavemen coures, la crane de l nvessseur sera la basse des acons accompagnée par une basse des aux d nflaon ancpés e des aux réels : ce qu ramène le fonds de rerae à une suaon de sous fnancemen. Une fos que ce scénaro es chos comme scénaro caasrophe, nous fxerons des corrélaons posves élevées enre ces varables pour le cas d un régme à volalé élevée des acons. Cee démarche nègre ans la méhodologe déermnse de «sress scenaro» dans un conexe de smulaon sochasque. Cela perme, même s la démarche proposée ne présene pas assez d élémens quanafs, de enr compe dans les smulaons de la percepon subjecve du rsque exrême par l nvessseur. La corrélaon enre les acfs es présenée c dans un cadre «non lnéare» (avec deux régmes de corrélaon). Au nveau de chaque régme, les corrélaons enre les dfférens acfs du porefeulle peuven êre llusrées par exemple à ravers la marce c-dessous : OBLIGATION OBLIGATION dz ACTION dz IMMOBILIER dz MONETAIRE dz dz d ρ d ρ d ρ d ACTION dz ρ d d ρ d ρ d dz ρ d ρ d d ρ d IMMOBILIER 3 dz ρ d ρ d ρ d d MONETAIRE Tab. 6 : Illusraon de la marce de corrélaon enre les dfférens acfs du porefeulle où ρ : la corrélaon enre les oblgaons e les acons. Noons, cependan, que les dffculés lées à l agrégaon des rsques peuven êre égalemen résolues par l nroducon de copules : ces foncons permeen de modélser l négralé de la srucure de dépendance enre pluseurs varables e donc de prendre en compe les dépendances non lnéares (cf. Hora e al. [008], Armel e al. [00]). 57

64 I-- Chox des modèles de dffusons Dans cee éude, le chox d un modèle de dffuson concerne les varables fnancères suvanes : la srucure par erme des aux d nérê (y comprs les aux nomnaux, réels e d nflaon), le rendemen des acons, le rendemen des oblgaons créds e le rendemen de l mmobler. Ces varables son reenues compe enu de leur mporance dans le cadre d une allocaon sraégque de long erme d un fonds de rerae (cf. Campbell e al. [00]). I--- Le modèle de srucure par erme des aux d nérê Une aenon parculère do êre porée à l nflaon, qu es ulsée pour revalorser les cosaons e les presaons de els régmes. Par alleurs, un modèle d acfs dans un conexe de rerae se do d une par d négrer des flucuaons de cour erme sur la valeur des acfs e d aure par d êre cohéren à long erme avec les équlbres macro-économques relan l nflaon, les aux d nérê e le aux de crossance de l économe. En effe, à long erme, l es généralemen consdéré (cf. Planche e Thérond [007]) qu l exse un len éro enre le aux d nérê nomnal prévalan sur les marchés fnancers, le aux d nflaon, c es-à-dre l évoluon de l ndce des prx, e le aux d nérê réel. Plus précsémen, le aux d nérê nomnal es égal (ou converge) à la somme du aux d nérê réel e du aux d nflaon : Taux d' nérê nomnal Taux d' nflaon + Taux d' nérê réel Smulanémen, l exse un len éro à long erme enre le aux d nérê réel e le aux de crossance réel de l économe. Nous consdérons ans que le aux d nérê réel ne peu êre longuemen rès dfféren du aux de crossance de l économe sauf à provoquer des arbrages enre acvé fnancère e acvé réelle d une par, enre nvesssemen dans un pays e nvesssemen dans d aures pays d aure par. Nous pouvons donc écrre : Taux d' nérê réel à long erme Taux de crossance de l' économe à long erme Ces conranes on donc éé prses en compe dans le chox du modèle. Le graphque monre une corrélaon fore enre l nflaon e les aux d nérê nomnaux de cour erme au Royaume-Un à parr de 960. L dée de base dans le modèle consru : la srucure par erme des aux d nérê nomnaux es éable à parr de deux composanes séparées : - La srucure par erme des aux réels : nous supposons qu l s ag de la courbe des aux des oblgaons ndexées à l nflaon. - Un modèle de l nflaon ancpée pour dfférens horzons. Il es mplcemen supposé que les nvessseurs comprennen le processus généran l nflaon e ajusen leurs ancpaons de façon cohérene avec la rajecore déjà déermnée. Les deux srucures par erme son combnées afn d obenr celle des aux nomnaux en enan compe de : - La corrélaon enre ces deux composanes, 58

65 - La prme de rsque du emps (prme de erme) e/ou la prme de rsque nflaon. Taux nomnaux cours Taux d nflaon Année Source Hbber e al. [00] Fg. : La corrélaon enre les aux d nflaon e les aux nomnaux cours au Royaume-Un. Taux d nérê réel : Modèle de Hull-Whe à faceurs Nous ulsons un modèle qu es l exenson de l un des premers modèles sochasques de aux d nérê : le modèle de Vascek [977]. Ce derner spécfe un processus sochasque en emps connu avec une propréé de reour vers la moyenne pour les aux de cour erme (ou les aux nsananés). Nous pouvons ajouer une prme de rsque demandée par l nvessseur pour avor déenu l oblgaon plus longemps que le monéare. Ce modèle es élarg par l addon d un deuxème faceur sochasque. Ce faceur prévo que le nveau des aux d nérê de long erme su lu auss un processus sochasque de reour à la moyenne. Ce modèle es nspré d un modèle général de srucure par erme à faceurs décr par Hull e Whe [994]. Les équaons régssan ce processus son les suvanes : dl r ( ) = k( µ lr lr ( ) ) d + σ dz( ) ) = k ( l ( ) r( ) ) d + σ dz ( ) dr( r Avec : r ( ) = le aux d nérê réel à cour erme (à l nsan ) ou le aux réel nsanané. l r ( ) = le aux d nérê réel à long erme (à l nsan ). k = le paramère d auo régresson du processus des aux réels à cour erme (vesse de reour à la moyenne). k = le paramère d auo régresson du processus des aux réels à long erme. σ = la volalé annualsée (écar-ype) des aux d nérê réels à cour erme. σ = la volalé annualsée (écar-ype) des aux d nérê réels à long erme. l r ). µ lr = le aux d nérê réel à long erme moyen (ou le nveau de reour à la moyenne de ( ) dz ( ) = le choc au processus de aux réels à cour erme avec une dsrbuon N( g r d,d). 59

66 dz ( ) = le choc au processus de reour à la moyenne des aux réels à cour erme avec une dsrbuon N( g r d,d). g r = un paramère qu reflèe l excès de rendemen enre les oblgaons ndexées à l nflaon de cour e de long erme. lb _ r = la borne nféreure du aux réel à cour erme r ( ). r r. hb _ = la borne supéreure du aux réel à cour erme ( ) Le graphque suvan donne une dée sur les résulas pouvan êre obenus par ce modèle. Ic r( ) représene le aux forward nsanané (cour erme). Nous pouvons ensue dédure la courbe des aux spos en combnan les aux forwards approprés Illusraon du phénomène de reour à la moyenne des aux réels dans le cadre d'un modèle de Hull e Whe à faceurs aux réels cours aux réels longs Horzon exprmé en année Horzon exprmé en années Fg.3 : Illusraon du phénomène de reour à la moyenne des aux réels dans le cadre du modèle de Hull e Whe à deux faceurs Le prx, à l nsan, d une oblgaon zéro-coupon qu pae une uné en erme réel à l nsan T es donné par les équaons suvanes (cf. Hbber e al. [00]) : Avec : B B ks e ( s) = k P réel ks ks k e e ( s) = k k k (,T ) exp[ A( T ) B ( T ) r( ) B ( T ) l ( ) ] k = r 60

67 A ( s) = ( B ( s) s) µ + B ( s) lr σ k µ lr σ B 4k ( s) σ s ( B ( s) + B ( s) ) + k k + ( k k ) ks ( e ) k k k ( k k ) ( k + k )s ( e ) + ( k + k ) k ( k k ) k ks ( e ) k Nous pouvons auss calculer le rendemen connu composé à l nsan pour une mauré T : R r (,T ) = log{ P (,T )} / ( T ). Le modèle d nflaon : Modèle de Hull-Whe à faceurs La même srucure par erme es ulsée : dl réel ( ) = k3( µ l l ( ) ) d + σ 3dZ 3 ( ) ) = k ( l ( ) ( ) ) d + σ dz ( ) d( Avec : ( ) = le aux d nflaon à cour erme (à l nsan ) ou le aux d nflaon nsanané. = le aux d nflaon à long erme (à l nsan ). l ( ) k 4 = le paramère d auo régresson du processus des aux d nflaon à cour erme (vesse de reour à la moyenne). k = le paramère d auo régresson du processus des aux d nflaon à long erme. 3 σ 4 = la volalé annualsée (écar-ype) des aux d nflaon à cour erme. σ = la volalé annualsée (écar-ype) des aux d nflaon à long erme. 3 µ l = le aux d nflaon à long erme moyen (ou le nveau de reour à la moyenne de ( ) dz 4 ( ) N( g d,d). dz 3 ( ) ( g d,d) N. l ). = le choc au processus de aux d nflaon à cour erme avec une dsrbuon = le choc au processus de aux d nflaon à long erme avec une dsrbuon g = un paramère qu reflèe la prme de rsque nflaon enre les oblgaons nomnales e les oblgaons ndexées à l nflaon. lb _ = la borne nféreure du aux d nflaon à cour erme ( ).. hb _ = la borne supéreure du aux d nflaon à cour erme ( ) Nous pouvons de la même façon ensue dédure la srucure par erme des ancpaons l. d nflaon à parr du aux d nflaon à cour erme ( ) e de la valeur de ( ) So alors : P (,T ) = la valeur acualsée d une oblgaon à l nsan qu pae uné à l nsan T e don l acualsaon se fa par rappor à l ancpaon d nflaon. Le rendemen équvalen sera : R { }/ ( T ) (,T ) = log P (,T ) nf laon 6

68 Nous pouvons auss nclure la prme de rsque d nflaon dans la srucure par erme des ancpaons d nflaon. Comme pour les aux réels, deux bornes (supéreure e nféreure) peuven êre fxées par l nvessseur.. La srucure par erme des aux nomnaux Hbber e al. [00] explcen la valeur du aux nomnal e le prx d un zéro coupon nomnal en foncon de la relaon enre les aux réels e les aux d nflaon ancpés dans le cadre d un modèle de Hull e Whe à faceurs. Cas de l ndépendance enre les aux réels e les aux d nflaon ancpés : où : Taux nomnal = + r es l nflaon (de cour erme ou de long erme suvan le cas) ; r es le aux d nérê réel (de cour erme ou de long erme suvan le cas). L orgne de cee formule, qu n es qu une approxmaon, proven de la proposon de Fsher [930] qu spule que le aux d nérê nomnal es dédu de la relaon suvane : [( + ) ( + )] Taux nomnal = r Comme conséquence nous obenons (Hbber e al. [00]) : P (,T ) = P (,T ) P (,T ) nom réel nf laon Cas de la dépendance enre les aux réels e les aux d nflaon ancpés : Nous ajouons une quané refléan la covarance enre les deux varables (Hbber e al. [00]) : Avec : P nom (,T ) = P (,T ) P (,T ) + ρ. [ Var( exp{ R (,T )}). Var( exp{ R (,T )}) ] réel nf laon ρ = la corrélaon enre le choc du aux réel nsanané e le aux d nflaon ancpé dz 4. nsanané ( ) R R r T (,T ) = r( s) (,T ) = ( s) T dz e ( ) ds ds Afn de calculer cee covarance, nous parons de l expresson de la varance suvane correspondan aux aux réels: Var ( exp{ R (,T )}) = exp{ E( R (,T )) + Var( R (,T ))}.(exp{ Var( R (,T ))} ) r r r r r 6

69 63 Avec : ( ) ( ) ( ) x x T.,T R E lr r + + = µ ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y y y k / y y y y T. y,t R Var r + + = ( ) ( ) ( ) { } ( ) k T k exp r x lr = µ ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) k T k exp l k T k exp k k k x lr r = µ + = k k y σ σ ( ) k k k k y k = σ σ ( ) { } 3 k T k exp y = ( ) 4 k k k k y = σ ( ) { } ( ) 5 k T k exp y = ( ) 6 k k k y + = σ σ ( ) { } ( ) 7 k T k exp y = ( ) 8 k k k k y = σ ( )( ) { } ( ) 9 k k T k k exp y + + = ( ) 0 k k k k y = σ

70 y = ( exp{ k ( T ) }) k Une expresson analogue es ulsée pour la varance correspondan à la srucure des aux d nflaon ancpés. Ans, à ravers la prse en compe du produ de ces deux varances e de la corrélaon, nous obendrons le erme de covarance qu permera le calcul du prx d un zéro-coupon nomnal dans le cadre de la dépendance des aux.. Prse en compe de la prme de erme dans la STTI La prme de erme (ou de l horzon) a pour effe d ajuser la rajecore du aux d nérê de cour erme, de façon à ce que la courbe des aux ne so pas un esmaeur basé de l évoluon fuure effecve des aux cours (cf. Hbber e al. [00]). Ean données les valeurs acuelles à l nsan de r ( ) e de ( ) (supposées c êre respecvemen le aux nomnal cour e long erme), nous pouvons calculer les valeurs espérées e les varances de ces deux varables à la dae T>. Elles son obenues par les expressons suvanes : k ( T ) [ l ( T )\ l ( ) ] = µ + e ( l ( ) ) E µ r r lr r lr k ( T ) k ( T ) k ( T ) [ r( T )\ r( ),l ( ) ] = µ + e ( r( ) µ ) + e e ( l ) l r ( ) ( ) k E r lr lr r µ lr k k Var Var ( ) k( T ) [ l ( T )\ l ( ) ] = e r r σ k k ( T ) [ r( T )\ r( ),l ( ) ] = e kσ... k k r k Comme r ( ) e ( ) σ k σ k ( T ) ( ) + ( e ) k ( T ) k ( T ) ( e ) + e k k +... ( k )( ) + k T ( ) ( e ) l r son normalemen dsrbuées, nous aurons beson seulemen des momens c-dessus afn de smuler ces dsrbuons e négrer à la STTI la prme de erme. k k Ans : l r r ( T ) = E[ lr ( T )\ lr ( ) ] + Var[ lr ( T )\ lr ( ) ].Z ( T ) ( ) = E[ r( T )\ r( ),l ( ) ] + Var[ r( T )\ r( ),l ( ) ].Z ( T ) r r Avec : Z ( T ) e ( T ) Z son deux mouvemen brownens sandards ndépendans. Cependan, s nous avons une prme de erme non nulle, façon suvane : g r, ces équaons son ajusées de la 64

71 l r ( ) ( ) r ( T ) = E[ lr ( T )\ lr ( ) ] + Var[ lr ( T )\ lr ( ) ]. Z( T ) + g r. ( T ) ( ) = E[ r( T )\ r( ),l ( ) ] + Var[ r( T )\ r( ),l ( ) ]. Z ( T ) + g. ( T ) r La nouvelle courbe obenue reflèera l aude de l nvessseur vs-à-vs du rsque. Par exemple, s l nvessseur exge un rendemen supplémenare sur une oblgaon de long erme, alors g r es négave e la valeur espérée fnale d une poson dynamque dans le monéare sera nféreure à la valeur espérée fnale d un nvesssemen nal en oblgaon de mauré par exemple de 0 ans (avec l hypohèse d un rebalancemen connu permean de garder la même mauré dans le porefeulle). La prme de l horzon peu êre exprmée en ermes de rendemen espéré sur une oblgaon zéro-coupon (Yelds), ou en ermes de renablé espérée (Reurns). En se référan à Hbber e al. [00], nous avons : σ σ Prme de Terme (Rendemen)= σ σ - g + + r k k k k σ σ Prme de Terme (Renablé)= - g r + k k Noons qu une prme de erme posve nécesse une valeur de r g r négave. Dans le modèle de l nflaon, le paramère de la prme de rsque reflèe le rendemen supplémenare exgé sur une oblgaon nomnale par rappor à une oblgaon ndexée à l nflaon, e cee «prme de rsque nflaon» es négrée de la même façon dans le modèle de aux d nérê réel. I--- Le modèle des acons Face aux lmes des modèles classques (hypohèses de normalé, ec.), nous avons opé pour l ulsaon du modèle de changemen de régme (RSLN : Regme Swchng Log Normal, cf. Hardy [00]) pour le cas du GSE obje de l llusraon. En effe, une méhode smple pour enr compe de la volalé sochasque es de supposer que la volalé peu prendre une des K valeurs dscrèes, en passan d une valeur à l aure de façon à défnr par le modélsaeur. Cec es la base du modèle lognormal de changemen de régme. Ce modèle manen le caracère de la smplcé fourn par le modèle lognormal classque. De même, l perme de refléer les mouvemens exrêmes observés sur les marchés. Le prncpe de changemen de régme a éé nrodu par Hamlon [989] qu a décr un processus de changemen de régme auorégressf. Dans Hamlon e Susmel [994] dfférens modèles de changemen de régme son analysés, en esan un nombre dfféren de régme e des modélsaons dfférenes. L objecf es de modélser des séres économérques hebdomadares. Les deux chercheurs concluen qu un modèle à volalé auorégressve condonnellemen hééroscédasque de ype ARCH es le plus adéqua. Le modèle de changemen de régme a éé proposé la premère fos comme un modèle radusan la dynamque des acons par Hardy [00]. L dée sous jacene à ce modèle es que les marchés peuven passer d un nsan à l aure d un régme à fable volalé à un régme à r 65

72 volalé relavemen élevée. Les pérodes de volalé élevée peuven êre ndues par exemple par une polque monéare de cour erme ou par une ncerude économque élevée. Cec perme de générer des dsrbuons de rendemens qu son plus pernenes par rappor aux dsrbuons emprques. La dsrbuon des rendemens des acons es ans supposée ranser enre dfférens éas de la naure (régmes). Une marce de ranson conrôle les probablés de passage enre les régmes. En fa, le processus proposé es markoven : la probablé de changemen de régme dépend seulemen du régme couran e non pas de la oalé de la rajecore hsorque du processus. I---- Le modèle nal de changemen de régme Les rendemens des acons on éé décomposés en deux pares : rendemen des acons hors dvdendes e aux de dvdende (Hardy [00] e Ahlgrm e al. [005]).. Rendemen des acons hors dvdendes Les rendemens (hors dvdendes) des acons, noés s, son égaux au aux d nérê nomnal (aux sans rsque), so + r, augmené d un excès de rendemen arbuable à l apprécaon du capal e noé x : s = + r + x Hardy [00] applque le modèle à changemen de régme à l excès de rendemen des acons. En oure, Ahlgrm e al. [005] reprennen la même approche e esmen les sx paramères de ce modèle à parr de deux jeux de données dsncs : un premer jeu (large socks) comprenan des séres observées enre 87 e 00 e un deuxème jeu (small socks) comprenan des séres observées enre 96 e Taux de dvdende Ahlgrm e al. [005] proposen de modélser le aux de dvdende, noé y, par : où : ( log( y )) = µ log( y ) κ y es la vesse de reour à la moyenne ; d y ( y ) d σ ydby, κ + µ y es le logarhme du aux de dvdende moyen. Le modèle sur le logarhme du aux de dvdende es comparable à celu relaf à l nflaon (avec un seul faceur). Touefos, une des prncpales dffculés du sous-modèle sur le aux de dvdende es la dsponblé des données. En effe, les séres de données sur les aux de dvdende avec un hsorque suffsammen long ne son pas dsponbles publquemen. Auss, pour esmer les paramères de ce sous-modèle, Ahlgrm e al. [005] ulsen des données prvées. Une aure alernave proposée par Ahlgrm e al. [005] sera de reenr les aux de dvdendes sur un nombre lmé d acons. 66

73 De ce fa, nous préférerons ravaller avec des rendemens d'acons déermnés avec une hypohèse de rénvesssemen des dvdendes. I---- Rendemen des acons avec dvdendes rénvess : approche alernave Au regard des dffculés suscepbles d êre renconrées dans le cadre des spécfcaons du modèle d Ahlgrm e al. [005] (modélsaon à parr de l excès de rendemen sur les acons e des aux de dvdendes), une alernave es proposée pour modélser le rendemen des acons. Cee alernave repose sur une modélsaon des rendemens oaux des acons (e non unquemen l excès de rendemen) avec dvdendes rénvess. En ermes de chox de modèle, l approche à changemen de régme d Hardy [00] es manenue. So Y = log S+ / S le logarhme du rendemen des acons pour la + ème pérode. Dans le modèle à changemen de régme, nous consdérons : S le cours des acons (dvdende rénves) à la dae e ( ) ( µ ρ σ ) Y \ ρ ~ N, ρ où ρ représene le régme applqué à l nervalle [, +] (avec ρ = ou ) ; [ ρ = j \ ] p, j = Pr + ρ = représene la probablé de changemen de régme (avec = ou, j= ou ) ; Θ = µ, µ, σ, σ, p,, p, représene les paramères à esmer. { } Par alleurs, nous noons que Hardy a esé dans ce cadre le cas des modèles à deux e à ros régmes (K=,3) e elle consae qu en ajouan un rosème régme la modélsaon de S n es pas amélorée de façon sgnfcave. Garder deux régmes seulemen perme en plus la smplfcaon du modèle e une pernence melleure lors de l esmaon des paramères. Ans, dans le modèle de GSE obje de l llusraon, nous avons égalemen supposé l exsence unque de deux régmes. La projecon de la rajecore des rendemens enre ces deux régmes se base sur un algorhme de smulaon d une dsrbuon unforme cumulée. Cee dernère perme de déermner le régme de volalé de la pérode suvane. Les corrélaons des acons (au nveau des brownens) avec les aures varables du modèle dffèren selon les régmes. En cas de régme à volalé élevée (crse), nous supposerons une corrélaon «à rsque» pour l nvessseur comme explqué c-dessus. I---3 Le modèle des oblgaons "créd" Porra e Ponce [008] précsen que les res de créance son généralemen affecés par un rsque de créd, qu englobe un rsque de défau (défallance de l empruneur) e un rsque de sgnaure (dééroraon du créd de l empruneur). Le spread de aux radu ce rsque de créd : l es égal à la dfférence enre le aux proms (a pror observable pour chaque re) e le aux sans rsque. Dans le déal, le spread es composé de l espérance de basse du aux dû à la prse en compe du défau, d une prme de rsque refléan l averson au rsque dans le monde réel e d une prme de lqudé (cf. Porra e Ponce [008]). Deux approches peuven êre envsagées a pror pour négrer le rsque de créd au modèle décr c : 67

74 - la modélsaon des probablés de défau hsorques e leur len avec les spreads observés pour pouvor calculer le prx des res présenan une possblé de défau ; - une démarche smplfée ulsée courammen dans les MCEV (Marke Conssen Embedded Value) e les éas Solvablé II (QIS ou Quanave Impac Sudes, blan économque) des assureurs ve e basée sur le calbrage d abaemens sur le nomnal du re oblgaare. Ces deux approches son décres c-après, ans qu une rosème approche d un modèle «mélange» (qu fera l obje d une éude comparave avec la démarche des coeffcens d abaemen). I---3- Modélsaon des probablés de défau Deux élémens doven êre décrs c : - l mpac du défau sur la déermnaon du prx du re ; - la dynamque des probablés hsorques de défau.. L mpac du défau sur le prx du re : À l mage de l llusraon de Porra e Ponce [008], consdérons un re zéro-coupon de max durée T quelconque, qu vau en dae 0 e qu prome un flux ( rt T X = e ) en dae T, avec max max r le aux serv par le re. L espérance du flux aléaore X réellemen payé par le re en T s écr alors : où : E * ( ) ( ) ( max ) ( r max * r T T ) T T X = φ e + φ α e T * φ T représene la probablé cumulée, en unvers rsque neure, que l émeeur so en défau de paemen en dae T ; α représene la fracon de remboursemen de sa dee en cas de défau de paemen en dae T (aux de recouvremen). Par alleurs, dans un unvers rsque-neure la prme de rsque es nulle, e en néglgean la prme de lqudé, nous avons : ( rt ) ( X ) e * E = où r représene le aux sans rsque. De ces deux dernères égalés, nous dédusons que le spread s es égal à : ( φ ( α )) * max s = rt r = log T T d où nous dédusons que la probablé de défau cumulée enre 0 e T es : * T 68

75 φ * T ( ) α e = st Cee approche éable donc un len formel enre la possblé de défau e l exsence d un spread par rappor au aux sans rsque. Le prx d une oblgaon présenan un rsque de défau 0, P 0, T va la formule : P ( T ) es alors obenu à parr du prx sans rsque de défau ( ) D ( 0, ) ( φ * ) ( 0, ) φ * α ( 0, ) P T = P T + P T. D T T Les spreads son ulsés pour calculer les probablés de défau "rsque neure" nervenan dans la formule c-dessus.. Les probablés hsorques de défau Dans le cadre de l unvers rsque-neure ulsé c-dessus pour la déermnaon de l mpac sur le prx de la possblé de défau, la prme de rsque caracérsan l averson au rsque es nulle. Au nveau de la probablé de défau, cee absence de prmes de rsque es compensée par une surpondéraon des évènemens défavorables e condu ans à une majoraon sgnfcave de cee probablé. En d aures ermes, les probablés de défau en unvers rsque-neure esmées à parr des spreads son neemen supéreures aux probablés de défau hsorques (cf. Porra e Ponce [008] pour une llusraon). Mas dans la modélsaon des scénaros économques l es nécessare de dsposer non seulemen du prx des acfs oblgaares à chaque dae, mas égalemen de enr compe des probablés de défau hsorques observées sur le marché. Ces probablés de défau devron êre cohérenes avec le rang des conrepares e avec la mauré des res. Usuellemen ces probablés son présenées en foncon de la noaon de l émeeur pour un horzon d un an. La queson de la dynamque emporelle de ces probablés es délcae e fa l obje d une abondane léraure (vor par exemple Bluhm e Overbeck [007]). Afn de ne pas complexfer rop le modèle, l es reenu c de consdérer les probablés de défau comme fxes pour un nveau de noaon déermné. En praque, nous ulserons les probablés de défau cumulées communquées par des agences de noaons elles que Moody s ou Sandard & Poor s. Ces probablés hsorques permeen de smuler des événemens de défau lors de la projecon des flux. I---3- Démarche des coeffcens d abaemen L approche c-dessus présene cependan ros défaus mporans en praque : - l'esmaon des paramères, noammen dans une perspecve de long erme, n'es pas smple e de ce fa les modèles ans calbrés s avèren peu robuses ; - la manpulaon d'une srucure par erme des défaus es conragnane en ermes de sockage comme de smulaon ; - la smulaon du défau dans le cadre de la projecon de l'acf alourd l'algorhme e s'avère coûeuse en emps de calcul. 69

76 C'es pourquo l es proposé d'ulser une méhode alernave développée par les assureurs dans le cadre de leurs évaluaons de provsons économques (MCEV e Solvablé II). Cee méhode consse smplemen à ulser pour les oblgaons avec défau le modèle d'évaluaon des oblgaons sans rsque de défau en abaan le nomnal de manère à recaler le prx héorque ssu du modèle avec le prx de marché nal. Le calcul du rendemen du créd repose sur le coeffcen d abaemen qu es le rappor enre le prx du marché de l oblgaon créd e le prx héorque de l oblgaon zéro coupon nomnale d une même mauré. coeff _ ab = P _ créd / P _ nomnal Où coeff _ ab es le coeffcen d abaemen recherché. De même, par analoge au calcul du prx de l oblgaon nomnale, le calcul du prx du marché de l oblgaon créd versan un euros à sa mauré es réalsé à parr de l acualsaon des flux au aux acuarel de marché de l oblgaon, so : P _ créd = Tx _ créd + où : ( ) M Tx _ créd : le aux acuarel observé sur le marché des oblgaons corporaes ; P _ créd : le prx de l oblgaon à l nsan du calcul ; M : la mauré resane. Cee modélsaon du défau es déermnse (le coeffcen calculé à la dae nale es supposé êre consan sur oue la pérode de projecon), mas présene de nombreux avanages praques : - calbrage smple e cohérence avec les prx de marché ; - pas de smulaon du défau lors des projecons, la valeur des res reflèe déjà ce rsque ; - approche légmée par son sau de «sandard de place». Elle présene l nconvénen de ne pas mpacer le rendemen des res par l nroducon du défau, qu se radu unquemen par un effe de mnoraon de la valeur. I Modèle «mélange» de créd Ce modèle s appue sur la modélsaon des spreads avec un modèle à changemen de régme, selon la logque suvane : - le spread es projeé avec un modèle RSLN; - le prx des zéro-coupons es ensue calculé à parr du aux d nérê (projeé par un modèle de Vascek) majorés de ce spread en remplaçan dans la formule fermée du prx du zéro-coupon sans rsque de défau le aux cour par le aux cour majoré du spread ; - les prx projeés son ensue ulsés pour déermner le aux de rendemen ρ 0 e sur ce rendemen es applqué le aux de défau e de recouvremen pour obenr fnalemen : ( ) ( ) ( d ) ρ = + ρ π 0 70

77 avec π la probablé de défau hsorque e d le aux de recouvremen. Auremen, le «spread» de créd ou l écar de aux de rendemen exgé enre les oblgaons gouvernemenales e les oblgaons non gouvernemenales es modélsé selon un modèle mxe RSLN-B&S el que décr c-dessus. Le «spread» smulé es négré dans le modèle de aux d nérê afn de déermner le prx d un zéro-coupon avec rsque de créd. Ce prx ne en pas compe de la probablé de défau : cee dernère es présene lors du calcul de la performance de l acf e elle es consdérée comme consane. De même, le aux de recouvremen, qu reflèe la par récupérée en cas de défau de la créance nale, es supposé comme éan une consane. Oure les dffculés praques de calbrage des spreads à parr de données hsorques, ce modèle s appue sur deux approxmaons fores e délcaes à jusfer : - Déermner le prx d un re présenan un rsque de défau ulsan la formule fermée du modèle de base dans laquelle le aux cour r es remplacé par le aux cour majoré du spread mplque que x = r + s devra lu-même suvre un modèle de Vascek, ce qu n es pas compable avec l hypohèse RSLN fae sur s ; ( ) - La formule ρ ( ρ ) π ( d ) = + do êre calculée avec des 0 esmaons «rsque neure» de π e de d, ce qu n es pas l usage qu en es fa acuellemen. Au surplus, le défau es nrodu deux fos dans ce modèle : la premère va le spread dans la formule de prx e une seconde fos dans le rendemen, alors que la jusfcaon de l exsence du spread es précsémen l exsence du défau, comme nous l avons dscué au débu de cee pare. I---4 Le modèle de l mmobler Ahlgrm e al. [005] admeen que les rendemens ssus de l mmobler, noés (re), son modélsés par Hulle e Whe à un faceur (l équvalen de Vascek [977]) : ( ) ( ) ( ), d re = κ µ re d + σ db re re re re où : κ re es la vesse de reour à la moyenne ; µ re es le rendemen moyen ssu de l mmobler. I---5 Le monéare Le monéare (M) es modélsé selon un modèle lognormal avec un brownen corrélé avec les aures acfs. Il représene l acf sans rsque de cour erme. dm = µ M d + σ M dz Avec : M es le aux de rendemen du monéare µ es le rendemen annuel moyen du monéare M M 7

78 σ M es la volalé du rendemen du monéare dz es un mouvemen brownen corrélé avec les aures varables du modèle M Le graphque 4 llusre la srucure adopée dans le GSE proposé e me en évdence le len enre les dfférenes varables. Courbe des aux, perspecves économques, données hsorques, ec. Inflaon ancpée sur le long erme H y p o h è s e s Inflaon ancpée sur le cour erme Coeffcen d abaemen Prx zéro-coupon (don le rendemen es égal à l nflaon ancpée) Prx zéro-coupon non gouvernemenal (à rsque de Créd) Prx zéro-coupon nomnal d e c o r r é l a o n s Taux d nérê réel sur le long erme Taux d nérê réel sur le cour erme Rendemen des acons Prx zéro-coupon ndexé à l nflaon (don le rendemen es égal au aux réel) Rendemen de l mmobler Rendemen fnancer du porefeulle du régme Monéare Fg. 4 : Illusraon de la srucure du GSE consru 7

79 II- Calbrage II- Présenaon du conexe de l éude Dans cee sous-secon, nous présenons de façon llusrave ceranes approches possbles pour le calbrage e l esmaon des paramères des dfférens modèles de dffuson. Pour cela l conven de présener les caracérsques des données reenues ans que les approches générales reenues pour le calbrage. II-- Descrpon des données reenues Dans ce conexe, la premère éape consse à denfer les conranes du modèle. Une aenon parculère va êre consacrée à l nflaon, prncpalemen en rason du rôle cenral qu elle joue dans le modèle de geson acf-passf. Par alleurs, la modélsaon de l acf do négrer la perspecve de long erme dans laquelle s nscr la geson de ce acf. Cee perspecve de long erme a des conséquences au nveau de l'esmaon des paramères du modèle reenu : l'esmaon do êre menée sur des séres don la profondeur do êre cohérene avec l'horzon de projecon envsagé. Ans, dans le cas de la zone euro par exemple, des données d un hsorque de dx ans son nsuffsanes dans le cadre de nos projecons de long erme (d auan plus qu enre 999 e 009 nous compons deux crses fnancères don une parculèremen prononcée en 008). Pluseurs dzanes d années d hsorque son ans nécessares pour l éude. Oure l hsorque, l conven égalemen de s assurer que la fréquence des données es cohérene avec l horzon de projecon. Les données devron ans êre de fréquence annuelle, afn de ne conserver que la endance de long erme des séres. Les paramères du GSE proposé seron calbrés, à re llusraf, sur les données de Frgg [007] en comparan cerans des résulas avec ceux obenus par Ahlgrm e al. [005]. Ces données son présenées c-après (les données effecvemen reenues pour le calbrage son en gras e alque). Les données ulsées par Frgg [007] permeen de répondre à ces conranes d hsorque e de fréquence. Concernan l hsorque, l essenel des données de Frgg [007] couvre les années 800 à 005 (dans la présene éude, l convendra ouefos de se lmer aux années 955 afn de lmer les bas dus à une dfférence de conexe rop mporane noammen les Guerres mondales ). Concernan la fréquence, nous noeron que les données de Frgg [007] son annuelles. Pour la zone géographque, on noera que Frgg [007] présene une sére de données pour la France, le Royaume-Un e les Éas-Uns. Dans le cadre de la présene éude, seules les données relaves à la France seron reenues pour le calbrage. Aucune donnée relave à la zone euro n éan dsponble dans cee sére. Comme menonné c-dessus, la dsponblé des données pour la zone euro se lme ouefos à un hsorque de dx ans. 73

80 Séres macroéconomques Indce des prx à la consommaon (, base 000) Produ néreur bru (mllards d' ) Revenu dsponble des ménages (mllards d' ) Séres démographques Populaon (y comprs DOM) (mllers) Nombre de ménages, France méropolane (mllers) Nombre de ménages (y comprs DOM) (mllers) Taux d'nérê à long erme Taux d'nérê à cour erme Séres fnancères Valeur d'un nvesssemen en acons, dvdendes rénvess (, base 000) Valeur d'un nvesssemen en oblgaons, nérês rénvess (, base 000) Valeur d'un nvesssemen au marché monéare, nérês rénvess (, base 000) Prx de l'or (, base 000) Indce du prx des logemens, France (, base 000) Indce du prx des logemens, Pars (, base 000) Prx "sandard" des logemens ( ) (NB: n'es pas un prx moyen) Séres mmoblères Valeur d'un nvesssemen en logemen locaf, Pars (, base 000) Monans de ransacons mmoblères (oues ransac-ons soumses aux dros de muaon) (mllards d' ) Monans de ransacons mmoblères (logemens ancens) (mllards d' ) Nombre de logemens commencés (unés) Tab. 7 : Les dfférenes séres reenues pour le calbrage 74

81 Les sources des 5 séres reenues son les suvanes : - Indce des prx à la consommaon (, base 000) : INSEE. - Taux d'nérê à long erme : de 9 à 959, aux des oblgaons émses (INSEE), de 960 à 988, TMEOG (INSEE) e depus 9895 : TME (CDC-Ixs). - Taux d'nérê à cour erme : de 99 à 997, aux au jour le jour (INSEE), depus 998, TMM (CDC-Ixs). - Valeur d'un nvesssemen en acons, dvdendes rénvess (, base 000) : jusqu en 999, (Arbulu [998]) e depus 000: SBF50. - Indce du prx des logemens, France (, base 000) : Frgg [00]. II-- Approche e méhode de calbrage Il s ag c de présener, de façon générale, l approche e la méhode de calbrage du modèle. À ce effe, l conven de dsnguer prncpalemen deux ypes de modèle. D une par les modèles de ype Vascek [977] qu s apparenen à des modèles auorégressfs d ordre après dscrésaon (modèles sur l nflaon, les aux d nérê réel e les rendemens de l mmobler dans lesquels l conven d esmer la consane e le coeffcen de la varable), e d aure par les modèles à changemen de régme de ype Hardy [00] (modèle sur le rendemen oal des acons dans lesquels l conven d esmer pour chaque régme la moyenne, la volalé e la probablé de changemen de régme). Méhode de calbrage des modèles de ype auorégressf Le calbrage des modèles de ype auorégressf se fera en pluseurs éapes, décres c-après. Esmaon des paramères Dans le cas des modèles de ype auorégressf AR(), l esmaon des paramères peu êre réalsée à parr de la méhode classque des mondres carrés. En parculer, l convendra de reenr une esmaon par les mondres carrés smples pour les modèles de ype Vascek à unfaceur e par les doubles mondres carrés (DMC) pour les modèles de ype Vascek à deux faceurs. Tess sur le modèle e les coeffcens La pernence du modèle sera apprécée à parr de sa qualé d ajusemen e de sa sgnfcavé globale. La qualé d ajusemen sera évaluée à parr du coeffcen de déermnaon ( R², représene la par de la varance de la varable endogène explquée par la varance du modèle) e la sgnfcavé globale sera mesurée à parr d un es de Fsher (es don l hypohèse nulle H0 correspond à la nullé de ous les coeffcens du modèle, cf. Fsher [954]). En complémen, l convendra d évaluer la sgnfcavé ndvduelle des coeffcens à parr du es de Suden (es don l hypohèse nulle H0 correspond à la nullé du coeffcen consdéré, cf Suden [908]). Dans les résulas présenés une probablé es assocée aux ess de Fsher e de Suden, l s ag de la probablé de rejeer à ord H0. Auss, dans nos analyses, lorsque cee probablé sera nféreure à 5 %, nous rejeerons H0. 75

82 Analyse des résdus Une aenon parculère do êre accordée à l analyse des résdus, e dans ce conexe la premère éape es de s assurer que les résdus son de moyenne nulle. Dans une seconde éape, l convendra de déecer l évenuelle auo-corrélaon des erreurs, classque dans les modèles de séres emporelles. À ce effe, au-delà de l examen vsuel des résdus, l convendra d ulser le es de Durbn-Wason pour les auo-corrélaons d ordre (es pour lequel l hypohèse nulle H0 correspond à l absence d auo-corrélaon d ordre, cf. Durbn e al. [95]) e le es de Breusch-Godfrey pour les auo-corrélaons d ordre p (es pour lequel l hypohèse nulle H0 correspond à l absence d auo-corrélaon d ordre p, cf. Godfrey [979]). Dans les résulas présenés une probablé es assocée aux ess de Durbn-Wason e de Breusch-Godfrey, l s ag de la probablé de rejeer à ord H0. Auss, dans nos analyses, lorsque cee probablé sera supéreure à 5 %, nous acceperons H0, c es-à-dre que nous acceperons l absence d auo-corrélaon (respecvemen d ordre ou d ordre p ). Dans une rosème éape, l convendra égalemen de déecer une évenuelle hééroscédascé, fréquene dans les modèles de séres fnancères. À ce effe, le es appropré es le es ARCH (AuoRegressve Condonal Heeroscedascy). Ce es perme en effe de modélser des séres don la volalé dépend du passé, e noammen celles présenan de fores pérodes de volalé suves de pérodes d accalmes (comme nous en observons dans les séres fnancères). Ic, l hypohèse nulle H0 correspond à l absence de processus ARCH pour jusfer le processus. Dans une quarème éape, l convendra de réalser un es de normalé des erreurs. À ce effe, nous reendrons le es de Jarque-Bera (cf. Jarque e al. [980]), fondé sur la noon d asymére (Skewness) e d aplassemen (Kuross). Pour ce es, l hypohèse nulle H0 es celle de la normalé des résdus (auss, lorsque la probablé assocée es supéreure à 5 %, nous accepons l hypohèse H0 de normalé des résdus). Méhode de calbrage des modèles de ype Hardy [00] Dans le cas du modèle de ype Hardy [00], les paramères pourron êre esmés à parr de l approche du maxmum de vrasemblance ou de l approche des flres de Kalman (déallées c-après). II- Calbrage du modèle de l nflaon Après avor exposé la méhode reenue pour le calbrage ans que les données correspondanes, nous présenons les résulas obenus des esmaons des dfférens paramères. Un es d adéquaon es fnalemen effecué. II-- Méhode Pour mémore, face aux lmes consaées sur le modèle d'nflaon à un faceur (mauvase représenaon de l'évoluon des aux nomnaux) l'approche du modèle Hull e Whe à deux faceurs es reenue. 76

83 L objecf de l éude envsagée c ne dépasse pas le cadre de la comparason avec les résulas obenus par Ahlgrm e al. [005] (qu on adopé le modèle de aux de Hull e Whe à faceur : les aux cours). Ans, dans le cadre de l'esmaon des paramères du modèle, nous supposerons que la pare cour erme es basée sur le modèle à un faceur, avec l'hypohèse smplfcarce que la valeur de long erme de l'nflaon nervenan dans la dffuson du processus de cour erme es sablsée à sa valeur lme (qu es égale au aux d'nflaon de long erme) : d ( µ ) d σ db, = κ + so après dscrésaon exace (cf. Planche e al. [005]) : + ( ) κ ( ) ( κ ) = e + µ e + ε σ, e κ ( κ ) II-- Données Cee sous-secon vse à calbrer un modèle de mesure d nflaon. Cee mesure de l nflaon IPC à la dae es égale à = log, où IPC représene l ndce des prx à la IPC consommaon (dsponble en lecure drece dans les données de Frgg [007]). II--3 Esmaon des paramères Dans une premère éape, l esmaon des paramères es réalsée à parr d un modèle auorégressf d ordre de la forme : + = α + β + ε ', Nous obenons les résulas suvans : α = 0, 0e β = 0, 77. Pour revenr au modèle nal décr par Ahlgrm el al. [005], les coeffcens esmés son alors ransformés. La vesse de reour à la moyenne es ans calculée comme su : d où κ = 0, 6. ( κ ) β = e κ = log ( β ) De même le aux d nflaon moyen es déermné par : α = µ µ = ( κ ) ( log ( β )) ( e ) = µ e α ( β ) ( ) 77

84 d où µ = 0, 05. Enfn, l écar ype de l erreur du modèle nal es égal à l écar ype du modèle esmé, dvsé par e κ ( κ ). Auss, l écar-ype du modèle es σ = 0, 03. Le ableau suvan recense les dfférens paramères nécessares à l almenaon de l algorhme du modèle d nflaon, en précsan les valeurs obenues par Ahlgrm e al. [005] d une par, e celles obenues dans le cadre du présen calbrage d aure par. Nous noerons que le calbrage d Ahlgrm e al. [005] es réalsé à parr de données amércanes sur la pérode (pour mémore les données de Frgg [007] reenues dans la présene éude poren sur la France sur la pérode ). Paramère Inulé AHLGRIM ET AL. FRIGGIT κ q Vesse reour à la moyenne 0,4 0,6 µ q Taux d nflaon moyen 0,048 0,05 σ q Écar ype de l erreur 0,04 0,03 Tab. 8 : Calbrage du modèle des aux d nflaon Les résulas du calbrage de la présene éude son comparables à ceux obenus par Ahlgrm e al. [005]. Touefos, l es à noer que les paramères présenés ne son pas les paramères esmés mas son ssus d une ransformaon non lnéare de ceux-c. Cee approche es de naure à nrodure un bas dans les paramères e nve à apprécer la précson des esmaeurs avec prudence. II--4 Tess d adéquaon du modèle Concernan les ess sur le modèle e les coeffcens, nous obenons les résulas suvans : - coeffcen de déermnaon : R ² = 0, 60 ; - es de sgnfcavé globale du modèle (Fsher) : global es donc sgnfcaf) ; P _ value,. = (le modèle - es de sgnfcavé des coeffcens (Suden) : o consane : P _ value = 0, 04 (la consane es donc sgnfcave) o coeffcen de la varable : P _ value = 4, 5. 0 (le coeffcen de la varable es donc sgnfcaf). Concernan les ess sur l analyse des résdus, nous obenons les résulas suvans : - 9 moyenne des résdus :, es sur l auo-corrélaon d ordre (Durbn-Wason) : P _ value = 0, 58 (absence d auo-corrélaon d ordre ) - es sur l auo-corrélaon d ordre p = (Breusch-Godfrey) : P _ value = 0, 37 (absence d auo-corrélaon d ordre p = ) ; 78

85 - es sur l hééroscédascé (ARCH) : P _ value = 0, (absence d hééroscédascé) ; 6 - es sur la normalé (Jarque-Bera) : P _ value =,. 0 (l hypohèse de normalé des résdus n es donc pas vérfée). Le ableau suvan reprend les prncpaux résulas sur les ess d adéquaon réalsés. Tes Résula Inerpréaon R ² 0,60 Le pouvor explcaf du modèle es de 60 % Fsher P _ value = 4, 5. 0 Le modèle global es sgnfcaf Suden (consane) P _ value = 0, 04 La consane es sgnfcave Suden (varable) P _ value = 4, 5. 0 Le coeffcen de la varable es donc sgnfcaf Moyenne résdus 9, 6. 0 La moyenne des résdus es consdérée nulle Durbn-Wason P _ value = 0, 58 Absence d auo-corrélaon d ordre Breusch-Godfrey P _ value = 0, 37 Absence d auo-corrélaon d ordre p = ARCH P _ value = 0, Absence d hééroscédascé Jarque-Bera 6 P _ value =,. 0 Hypohèse de normalé des résdus non vérfée Tab. 9 : Résula des ess d adéquaon pour le modèle des aux d nflaon Horms le es sur la normalé des résdus, l ensemble de ces ess valde les condons posées a pror pour la valdaon du modèle e du calbrage. Nous noerons ouefos que l hypohèse de normalé des résdus n éan pas vérfée, l convendra de consdérer avec prudence d une par les ess de Suden, e d aure par les nervalles de confance des projecons. II-3 Calbrage du modèle des aux réels Après avor exposé la méhode reenue pour le calbrage ans que les données correspondanes, nous présenons les résulas obenus des esmaons des dfférens paramères. Un es d adéquaon es fnalemen effecué. II-3- Méhode Pour mémore, le modèle reenu pour les aux d nérê réel es le suvan (avec r pour les aux cours, e l pour les aux longs) : ( ) ( ) dr = κ l r d + σ db r r r, dl = κ µ l d + σ db l l l l, so après dscrésaon exace (cf. Planche e al. [005]) :, r + = r ( ) ( κr ) e l e ( κ + r ) + ε r, σ r ( κr ) e κ r l + = l ( ) ( κl ) ( κl ) e + µ e l + ε l, σ l ( κl ) e κ l 79

86 Au regard de la dépendance enre les aux long e les aux cours, l ulsaon des Mondres Carrées Ordnares (MCO) pour l esmaon des modèles n es pas approprée. L esmaon des paramères peu êre réalsée à parr d une applcaon des MCO en deux éapes : Eape : l = β + β l + ε ' Eape : + l, r = α l$ + α r + ε ' + r, Pour revenr au modèle nal, les coeffcens esmés son alors ransformés : nous dédusons κ = log ), le aux d nérê la vesse de reour à la moyenne des aux réels à long erme ( ( ) réel moyen à long erme ( µ = l β ( β ) long erme (égal à l écar ype du modèle esmé dvsé par l ) e l écar ype de l erreur du modèle nal de aux à κ ( l e ) ) κ Une fos les paramères du premer modèle esmé (éape des DMC), l conven de modélser les aux d nérê réels à cour erme, en reenan les aux réels à long erme esmés comme varable explcave (éape des DMC). À la dfférence des modèles précédan, ce modèle sur les aux cours compe deux varables endogènes : ( ) r = α lˆ + + α r + ε ' r, ( ) ( ) où les coeffcens son e κ r α = e e κ r α =, so α = α. Dans ce conexe, le modèle reenu pour l esmaon des paramères relafs aux aux cours es : ˆ ( ) r = α l r + ε '. + r, Des résulas de ce modèle, nous dédusons la vesse de «reour à la moyenne» (l s ag en praque d un «reour» vers les aux réels à long erme) des aux réels à cour erme ( κ r = log( α )) e l écar ype de l erreur du modèle nal de aux à cour erme (égal à κ ( r e ) l écar ype du modèle esmé dvsé par ). κ II-3- Données Cee sous-secon vse à calbrer les modèles de aux d nérê réels (aux long e aux cour). Ces aux son dsponbles en lecure drece dans les données de Frgg [007]. II-3-3 Esmaon des paramères r l β Esmaon des paramères : ère éape des MCO Concernan la premère éape, nous obenons les résulas suvans : β = 0 0e β = A, parr des équaons c-dessus, l en ressor les résulas suvans : k l = 0, 45 σ l = 0,0.,, µ l = 0, 03 e 80

87 Esmaon des paramères : ème éape des MCO Nous obenons α = 0, 33. A parr des équaons c-dessus, l en ressor les résulas suvans : k r = 0,40 e σ r = 0, 0. Le ableau suvan recense les dfférens paramères nécessares à l almenaon de l algorhme du modèle de aux d nérê réel, en précsan les valeurs obenues par Ahlgrm e al. [005] d une par, e celles obenues dans le cadre du présen calbrage d aure par. Nous noerons que le calbrage d Ahlgrm e al. [005] es réalsé à parr de données amércanes sur la pérode (pour mémore les données de Frgg [007] reenues dans la présene éude poren sur la France sur la pérode ). Paramère Inulé AHLGRIM ET AL. FRIGGIT κ r Vesse reour à la moyenne (cour erme) 6, 0,40 σ r Écar ype de l erreur (cour erme) 0, 0,0 κ l Vesse reour à la moyenne (long erme) 5, 0,45 µ l Taux d nérê réel moyen (long erme) 0,08 0,03 σ l Écar ype de l erreur (long erme) 0, 0,0 Tab. 0 : Calbrage du modèle des aux d nérê réels Malgré un aux d nérê réel moyen (long erme) comparable, les résulas du calbrage obenus lors de l éude avec les données de Frgg [007] présene des dfférences sgnfcaves avec ceux obenus par Ahlgrm e al. [005]. Ces dfférences son ouefos jusfées par la naure des données reenues par Ahlgrm e al. [005] pour calbrer le modèle : ls reennen des données mensuelles. Comme ndqué cdessus, en reenan des données à fréquence mensuelle nous nrodusons un bru de cour erme qu n es pas cohéren avec les besons de long erme. Ce bru se radu dans les résulas d Ahlgrm e al. [005] par une vesse de reour à la moyenne e par une volalé de l erreur supéreures à celles obenues dans le calbrage résulan des données mensuelles de Frgg [007]. Nous noerons enfn que là encore les paramères présenés ne son pas les paramères esmés mas son ssus d une ransformaon non lnéare de ceux-c. Cee approche es de naure à nrodure un bas dans les paramères e nve à apprécer la précson des esmaeurs avec prudence. II -3-4 Tess d adéquaon du modèle Tess d adéquaon du modèle : ère éape des MCO Le ableau suvan reprend les prncpaux résulas sur les ess d adéquaon réalsés pour la premère éape des MCO (modèle sur les aux d nérê réels longs). 8

88 Tes Résula Inerpréaon R ² 0,4 Le pouvor explcaf du modèle es de 4 % Fsher 7 P _ value = 6, 0. 0 Le modèle global es sgnfcaf Suden (consane) P _ value = 0, 0 La consane es sgnfcave Suden (varable) 7 P _ value = 6, 0. 0 Le coeffcen de la varable es donc sgnfcaf Moyenne résdus 9, 8. 0 La moyenne des résdus es consdérée nulle Durbn-Wason P _ value = 0, 67 Absence d auo-corrélaon d ordre Breusch-Godfrey P _ value = 0, 30 Absence d auo-corrélaon d ordre p = ARCH P _ value = 0, 7 Absence d hééroscédascé Jarque-Bera 6 P _ value =,. 0 Hypohèse de normalé des résdus non vérfée Tab. : Résulas des ess d adéquaon pour le modèle de aux d nérê réels ( ère éape) Horms le es sur la normalé des résdus, l ensemble de ces ess valde les condons posées a pror pour la valdaon du modèle e du calbrage. Nous noerons ouefos que l hypohèse de normalé des résdus n éan pas vérfée, l convendra de consdérer avec prudence d une par les ess de Suden, e d aure par les nervalles de confance des projecons. Tess d adéquaon du modèle : ème éape des MCO Le ableau suvan reprend les prncpaux résulas sur les ess d adéquaon réalsés pour la deuxème éape des MCO (modèle sur les aux d nérê réels cours). Tes Résula Inerpréaon R ² 0,5 Le pouvor explcaf du modèle es de 5 % Fsher 3 P _ value = 6,. 0 Le modèle global es sgnfcaf Suden (varable) 3 P _ value = 6,. 0 Le coeffcen de la varable es donc sgnfcaf Moyenne résdus 3 3, 7. 0 La moyenne des résdus es consdérée nulle Durbn-Wason P _ value = 0, 5 Absence d auo-corrélaon d ordre Breusch-Godfrey P _ value = 0, 40 Absence d auo-corrélaon d ordre p = ARCH P _ value = 0, 98 Absence d hééroscédascé Jarque-Bera 6 P _ value =,. 0 Hypohèse de normalé des résdus non vérfée Tab. : Résulas des ess d adéquaon pour le modèle de aux d nérê réels ( ème éape) Horms le es sur la normalé des résdus, l ensemble de ces ess valde les condons posées a pror pour la valdaon du modèle e du calbrage. Comme pour la premère éape, nous noerons que l hypohèse de normalé des résdus n éan pas vérfée, l convendra de consdérer avec prudence d une par les ess de Suden, e d aure par les nervalles de confance des projecons. 8

89 II-4 Calbrage du modèle des acons Au regard des dffculés praques relaves aux spécfcaons du modèle d Ahlgrm e al. [005] pour la modélsaon des acons (modélsaon de l excès de rendemen sur les acons d une par e des aux de dvdendes d aure par), une alernave a éé proposée pour modélser le rendemen des acons. Cee alernave repose sur une modélsaon des rendemens oaux des acons (e non unquemen sur l excès de rendemen) avec dvdendes rénvess par une approche à changemen de régme de ype Hardy [00]. II-4- Méhode Méhode : Méhode du Maxmum de Vrasemblance So Y log( S+ / S ) = ( y, y,..., ) es ( Θ) = f ( y \ Θ) f ( y \ Θ, y ) f ( y \ Θ, y, y )... f ( y \ Θ, y,..., y ) y = le log rendemen du mos +. La vrasemblance des observaons y n L 3 n n Avec f la foncon de dsrbuon de y. Ans la conrbuon, à la log-vrasemblance, de l observaon de la dae es : log f y \ y, y,..., y Θ ( ), Nous pouvons calculer cee expresson de façon récursve (en suvan Hamlon e Sumsel [994], par exemple), en calculan pour une observaon à la dae : f ( ρ, ρ, y \ y,..., y, Θ) = p( ρ \ y,..., y, Θ) p( ρ \ ρ, Θ) f ( y \ ρ, Θ) (E) où : p ( ρ \,Θ ρ ) es la probablé de ranson enre les régmes. f y \ ρ, Θ = φ y µ ρ σ avec φ la foncon de densé d une lo normale sandard. ( ) ( ) ) ( \ y,..., y Θ), / ρ p ρ es obenue à parr de l éraon précédene. Elle es égale à : p ( ρ \ y,...,y, Θ) = f ( ρ, ρ =, y- \ y, y 3,...,y, Θ) + f ( ρ, ρ =, y- \ y, y 3,...,y, Θ) f ( y \ y, y,...,y, Θ) 3 Dans le cas d un modèle RSLN à deux régmes ( ρ = ou ), l équaon (E) peu avor quare valeurs en foncons de celles prses par ρ e ρ, à savor : f ρ, ρ =, y \ y,..., y Θ ( y \ y, y,..., y Θ) f f f ( =, ) ( ρ =, ρ =, y \ y,..., y, Θ) ( ρ =, ρ =, y \ y,..., y, Θ) ( ρ, ρ =, y \ y,..., y Θ) =, f 3, sera ans la somme de ces quare possblés d éa de la naure. Pour commencer l éraon, nous avons beson d une valeur nale pour p ( ρ 0 ). Cee dernère es dédue à parr de la dsrbuon nvarane de la chaîne de Markov. En effe, la 83

90 = π π es la dsrbuon de la probablé ncondonnelle du processus. Sous cee dsrbuon π, chaque ranson es affecée par la même dsrbuon, c'es-à-dre π P = π, éan donné π p, + π p, = π e π p, + π p, = π. Auremen p, p, p, + p, = e donc π =. De même π = π =. p + p p + p dsrbuon nvarane π (, ),, Ans, pour un ensemble de paramère de dépar Θ, nous pouvons commencer le calcul récursf comme su : f f f ( ρ =, y \ Θ) ( ρ =, y \ Θ) y µ = π φ σ y µ = π φ σ ( y \ Θ) = f ( ρ =, y \ Θ) + f ( ρ =, y \ Θ),, E nous calculons deux valeurs relaves à l expresson suvane : f ( ) ( ρ, y \ Θ) p ρ \ y, Θ = ρ =, f y \ Θ ( ) Cee expresson sera ulsée dans l éraon suvane lors du calcul de ( ρ,, y \ y,θ) f ρ L objecf sera donc la maxmsaon du log de la foncon de vrasemblance résulane. Aure formulaon de l approche : Noaons : p j probablé de ranson de l éa vers l éa j. = p = P ρ = j \ ρ =, Θ ( ) ( ) pj j - Θ n ( ) probablé d obenr l observaon y sachan que nous avons dans le régme n. Θ ( ) = f ( y \ = n, Θ) Θ n ρ n y µ n ( ) = Φ σ n Y j ( ) probablé d êre passé du régme à j e d observer y connassan l hsorque de la sére y en. Y f j ( ) = ( ρ =, ρ = j, y \ y,..., y, Θ ) Y. j ( ) = Y j ( ) + Y j ( ) Y ( ) = Y.. ( ) = Y. ( ) + Y. ( ) ( ) P k Probablé d êre dans le régme k en, sachan l hsorque de la sére y en. 84

91 P P ( ) = P( ρ = k \ y,..., y, Θ) Y k ( ) + Yk ( ) Y.k ( ) ( ) = = Y ( ) Y ( ) k k La relaon prncpale es la suvane : Y Y j j ( ) = P ( ) p j Φ j ( ) Y ( ) ( ) + Y ( ) = Y ( ) Pour l nalsaon de l algorhme : p π = p + p π = π Y. = π Φ Y. ( ) ( ) P = Y ( ) ( ) ( ) Méhode : Flre de Kalman p j Φ j ( ) La procédure générale es présenée en déal par Hamlon e al. [994]. Elle es basée sur la méhode du flre de Kalman. Présenaon générale de l approche du flre de Kalman Nous supposons que la sére emporelle y0, y,,..., y n es observable. Cee varable peu par exemple êre le aux de rendemen d un re fnancer. Elle dépend de la varable x qu elle n es pas observable. Comme l on ne peu observer x, l faudra smuler sa valeur. Nous ne connassons pas non plus la varance de x, représenée par ω. Le modèle se présene comme su : y = θ + θ x + ε (Equaon de mesure) x + 3 = θ + θ x 4 + η (Equaon de ranson ou d' éa) y, représenée par le veceur ( ) Avecθ les paramères à esmer ; ε un bru gaussen don la varance es de bru gaussen don la varance es de ν e η, un ν. La premère équaon es de équaon de mesure alors que la seconde es l équaon de ranson ou d éa. Au emps (-), des esmés de x, de sa varanceω ans que des coeffcensθ, doven êre fourns. S nous nous suons au emps 0, nous devons dsposer d une esmaon prélmnare de x0 e de ω 0. Mas comme ces valeurs son alors nconnues, nous pourrons arbuer une valeur nulle à x 0 e une valeur élevée à ω 0 de façon à prendre en compe l ncerude mporane qu es alors relée à l esmaon de x 0. 85

92 Revenons au emps (-) de la smulaon (ou ben du flrage) e donnons les ros éapes de la procédure suve par le flre de Kalman. L éape : éape de la prévson Nous calculons alors les deux prévsons suvanes: x /, la prévson de x au emps (-), so l espérance condonnelle de x, éan donnée l nformaon dsponble au emps (-) ; ω /, la prévson de ω au emps (-), so l espérance condonnelle de ω, éan donnée l nformaon dsponble au emps (-). Ces prévsons, qu son des esmaons condonnelles non basées, se calculen comme su : L éape : éape de la révson Au emps, nous dsposons d une nouvelle observaon de y, so y. Nous pouvons alors calculer l erreur de prévsonυ : υ y θ θ x =,, / La varance deυ, représenée ψ par, es de : ψ θ ω ν =, / +, Nous nous servons de υ e de ψ pour mere à jour x e sa varance ω : θ, ω / υ x = x / + ψ ω = ω / θ +, ω / ψ Ces deux derners esmaeurs son les esmaeurs non basés condonnellemen qu mnmsen la varance. Le flre de Kalman es donc opmal, en ce sens qu l es le melleur esmaeur dans la classe des esmaeurs lnéares (cf. Hamlon e al. [994]). L éape3 : esmaon des paramères Nous recourons à la méhode de maxmum de vrasemblance pour esmer les paramèresθ. La foncon de vrasemblance es la suvane : l = log( ψ ) υ ψ Nous passons au emps (+) e nous refasons cee procédure en ros éapes jusqu à la pérode n. Mse en place l approche du flre de Kalman pour le RSLN (Chourdaks [004]) So : - x l éa de la naure (le régme) à l nsan ( x =,,..., N ) qu es une varable non observable e déermnan le rendemen fnancer y. - p j la probablé de passage de l éa à l éa j 86

93 - D représene un veceur des probablés de passage vers un éa défn j. Exemple ( ) = ( p p D pour le cas d une modèle à régmes : ( ) ) A l nsan, nous parons des probablés ( ) Pr{ x = I } P \ = \ e la donnée es la flraon refléan les nformaons sur la rajecore des régmes jusqu à. y. I Chourdaks [004] par de l approche des flres de Kalman pour présener sa propre méhode. Les éapes de cee méhode son llusrées comme su : - La prévson de la probablé de l éa fuur : P \ ( ) = D( ).P \ ( ) Exemple : ( ) p.p ( ) p. P ( ) P \ = \ + \ s nous supposons deux régmes seulemen dans nore modèle. - Le calcul de la densé pondérée de - La flraon de la probablé de l éa fuur: P\ ( ) y : ζ ( ) = f ( y \ x = ) P ( ) \ = N ζ j= ζ ( ) ( j) Nous obenons ans la foncon du log de vrasemblance : ( j) N log ζ. Pour la mse en oeuvre, nous avons opé pour l approche composée des deux éapes suvanes nsprée de celle de Chourdaks [004] : Calcul de la vrasemblance à maxmser Inpus : Y veceur des rendemens hsorques observés ( lgnes x T colonnes) j Y 0 p = p p + p p + p f dens = f Y Y (Y,m 0, 5 s,s ) (Y,m 0, 5 s,s avec f Y : densé de la lo normale p cp = p p p Algorhme : n : nombre de colonne de dens (=T dans nore cas) m : nombre de lgnes de dens (= dans nore cas) ks : marce des probablés prévsonnelles (forecased probables) à m lgnes e n+ colonnes ( x T+ dans nore cas), 87

94 ks : marce des probablés flrés (flred probables) à m lgnes e n colonnes ( x T dans nore cas) ks (:, ) = Y 0 : la premère colonne de ks sera Y 0 Pour ndx = jusqu' à n zea = ks(:,ndx ).* dens(:,ndx ) zea = zea / somme( zea ) ks(:,ndx ) = zea zea = cp'* zea ks(:,ndx + ) = zea Boucle ermnée lkk = T log ks( j ) j dens ( j ) Densé pondérée Proba Flrée Proba Prévsonnelle Oupus : lkk : vrasemblance à maxmser Calbrage des paramères du modèle RSLN Inpus : par : veceur des paramères nés (6 paramères dans le cas d un modèle à Régmes : m, m, s, s, p, p ) Algorhme : Max( Lkk) par \ Y : Maxmser Lkk en par sachan les données observées Oupus : par : les paramères du modèle RSLN calbrés Cee approche es mse en place grâce aux foncons d opmsaon du logcel MATLAB. II-4- Données Le calbrage es relaf à un modèle de mesure des rendemens des acons (avec dvdendes VIA rénvess). Cee mesure à la dae es égale à α = log, où VIA représene la valeur VIA d un nvesssemen en acon (dsponble en lecure drece dans les données de Frgg [007]). II-4-3 Esmaon des paramères Les esmaons menées avec les données de Frgg [007] son comparées à celles obenues par Hardy [00] (les esmaons d Ahlgrm e al. [005] poran sur un pérmère dfféren, elles ne son pas comparables à celles obenues dans la présene éude). Auss, le ableau suvan recense les dfférens paramères nécessares à l almenaon de l algorhme du modèle sur les acons, en précsan les valeurs obenues par Hardy [00] d une par, e celles obenues dans le cadre du présen calbrage d aure par. Nous noerons que le calbrage d Hardy [00] présené es réalsé à parr d un hsorque de l ndce amércan S&P 500 couvran la pérode (pour mémore les données de Frgg [007] reenues dans la présene éude poren sur la France sur la pérode ). 88

95 Paramère Inulé HARDY FRIGGIT µ ss Moyenne (régme, fable volalé) 0,0-0, σ ss Écar ype (régme, fable volalé) 0,035 0,06 p ss, Probablé de passage du régme à 0,037 0,6479 p ss, Probablé de passage du régme à 0,0 0,57 µ ss Moyenne (régme, fore volalé) -0,06 0,66 σ ss Écar ype (régme, fore volalé) 0,078 0,399 Tab. 3 : Esmaon des paramères du modèle RSLN pour les acons II-5 Calbrage du modèle de l mmobler Après avor exposé la méhode reenue pour le calbrage ans que les données correspondanes, nous présenons les résulas obenus des esmaons des dfférens paramères. Un es d adéquaon es fnalemen effecué. II-5- Méhode Pour mémore, le modèle reenu pour l mmobler es le suvan : so après dscrésaon exace : ( ) ( ) ( ), d re = κ µ re d + σ db, re re re re ( ) ( κ re ) ( κre ) ( re) = ( re) e + µ e + re + ε re, σ re e κ ( κ ) re re II-5- Données Cee sous-secon décr le calbrage d un modèle sur une mesure des rendemens de IPL l mmobler. Cee mesure à la dae es égale à ( ) re = log, où IPL représene IPL l ndce des prx des logemens (dsponble en lecure drece dans les données de Frgg [007]). II-5-3 Esmaon des paramères Dans une premère éape, l esmaon des paramères es réalsée à parr d un modèle auorégressf d ordre de la forme : ( re) ( re) = α + β + ε ' + re re re, Nous obenons les résulas suvans : α re = 0, 0e β = 0, re 86. Pour revenr au modèle nal décr par Ahlgrm e al. [005], les coeffcens esmés son alors ransformés (à l mage des 89

96 ravaux effecués dans le cadre du modèle d nflaon). Il en ressor les résulas suvans : k re = 0, 5, = 0, µ re 09 e σ re = 0, 04. Le ableau suvan recense les dfférens paramères nécessares à l almenaon de l algorhme du modèle sur les rendemens de l mmobler, en précsan les valeurs obenues par Ahlgrm e al. [005] d une par, e celles obenues dans le cadre du présen calbrage d aure par. Nous noerons que le calbrage d Ahlgrm e al. [005] es réalsé à parr de données amércanes sur la pérode (pour mémore les données de Frgg [007] reenues dans la présene éude poren sur la France sur la pérode ). Paramère Inulé AHLGRIM ET AL. FRIGGIT κ re Vesse reour à la moyenne, 0,5 µ re Rendemen moyen de l mmobler 0,03 0,09 σ re Écar ype de l erreur 0,03 0,04 Tab. 4 : Esmaon des paramères du modèle de l mmobler Les résulas du calbrage obenus lors de l éude avec les données de Frgg [007] présene des dfférences sgnfcaves avec ceux obenus par Ahlgrm e al. [005]. Ces dfférences son ouefos jusfées par la naure des données reenues par Ahlgrm e al. [005], dfférene de celle de la présene éude. En effe, Ahlgrm e al. [005] reennen des données amércanes rmesrelles sur la pérode , conre des données françases annuelles sur la pérode dans la présene éude. Auss, Ahlgrm e al. [005] ne ennen pas compe des pérodes e alors qu elles corresponden en France à des nveaux de rendemen élevés (en France, enre le rendemen annuel moyen es près de 0 % e enre 00 e 005 le rendemen annuel moyen es passé de 7 % à 4 %). Ces nveaux de rendemen élevés en France sur ces pérodes augmenen la moyenne, la vesse de reour à la moyenne e la volalé des rendemens. Nous noerons que les paramères présenés ne son pas les paramères esmés mas son ssus d une ransformaon non lnéare de ceux-c. Cee approche nrodu un bas dans les paramères e nve à apprécer la précson des esmaeurs avec prudence. II-5-4 Tess d adéquaon du modèle Le ableau 5 reprend les prncpaux résulas sur les ess d adéquaon réalsés. Horms le es sur la sgnfcavé de la consane, l ensemble de ces ess valde les condons posées a pror pour la valdaon du modèle e du calbrage (y comprs l hypohèse sur la normalé des résdus). Touefos l es à noer que la sgnfcavé de la consane n éan pas vérfée, l convendra d nerpréer le rendemen moyen de l mmobler avec prudence (le rendemen moyen éan calculé à parr de la valeur de cee consane). 90

97 Tes Résula Inerpréaon R ² 0,76 Le pouvor explcaf du modèle es de 76 % Fsher 6 P _ value =,. 0 Le modèle global es sgnfcaf Suden (consane) P _ value = 0, La consane n es pas sgnfcave Suden (varable) 6 P _ value =,. 0 Le coeffcen de la varable es donc sgnfcaf Moyenne résdus 8, 5. 0 La moyenne des résdus es consdérée nulle Durbn-Wason P _ value = 0, 6 Absence d auo-corrélaon d ordre Breusch-Godfrey P _ value = 0, 9 Absence d auo-corrélaon d ordre p = ARCH P _ value = 0, 93 Absence d hééroscédascé Jarque-Bera P _ value = 0, 5 Hypohèse de normalé des résdus vérfée Tab. 5 : Résulas des ess d adéquaon pour le modèle de l mmobler II-6 Calbrage du modèle de créd Dans ce qu su, le calbrage es effecué pour les deux approches exposées dans le paragraphe I---3 de ce chapre : l approche des coeffcens d abaemen e l approche «mélange». Approche des coeffcens d abaemen Le aux de marché corporae reenu, à re llusraf, es égal à 3,7 % (pour une mauré moyenne de 5 ans). Les oblgaons corporae ulsées lors de l'esmaon de cee valeur son présenées dans le ableau 6. En supposan un aux nomnal, pour la même mauré, de 3, % le coeffcen d abaemen peu êre obenu de la façon suvane : 5 ( + 3, 7%) coeff _ ab = P _ créd / P _ no mn al = = 97, 6% ( + 3, %) 5 Cee valeur es esmée à parr d une moyenne du aux acuarel d un ensemble d oblgaons corporae ssu du len suvan : hp://www.fnancef.fr/oblgaons/ableau.asp?donnees=corporae&pays=&duree=3-6. 9

98 Nom de l'oblgaon Durée de ve resane (ans) TAUX ACTUARIEL (%) CASA 4,0 % 0/04/4 (AA)* 4,9 3,83 % CASINO 5,5% 3/0/05 (BBB)* 5,7 4,37 % CRED AGRI 4,90% 9//4 (AA)* 5,05 4,93 % DANONE 5,5% 06/05/05 (A)** 5,43 3, % EDF 5,5% 3/0/05 (AA-)* 5,48 3, % SANOFI 3,5 % 0/0/04 (AA-)* 4,86,7 % SCHNEIDER 5,375% 08/0/05 (A-)* 5,07 3,34 % CARREFOUR 5,5% 0/0/04 (BBB-)* 4,86 3,7 % BOUYGUES 4,375% 9/0/04 (BBB+)* 4,9 3,39 % ARCELOR FIN 4,65% 07//04 (BBB)*** 4,937 4,00 % ARCELOR FIN 5,5% 5/07/04 (BBB)*** 4,937 5,37 % *Rang de Fch IBCA **Rang de Sandard & Poor s ***Rang de Moody s Tab. 6 : Exemple de données ulsées pour l esmaon des paramères du modèle créd Approche «mélange» Pour rappel, l approche «mélange» consse à modélser le spread à parr d un modèle à changemen de régme (modèle RSLN). Nous présenons c-après des paramères llusrafs esmés en se basan sur le même prncpe de calbrage que celu ulsé dans le cas des rendemens des acons : Spread Paramères ajusés Valeur nale 0,90 % Marce des probablés de passage enre les deux régmes [[p p ] ; [p p ]] [[70 % 30 %] ; [90 % 0 %]] Moyenne du spread pour le régme (fable volalé) 0,60 % Volalé du spread pour le régme (fable volalé) 0,0 % Moyenne du spread pour le régme (fore volalé) 0,90 % Volalé du spread pour le régme (fore volalé) 0,0 % Tab. 7 : Résulas d esmaon des paramères du modèle créd avec changemen de régme 9

99 III- Projecon des scénaros La présene secon es relave à l éape du backesng. Plus précsémen, elle présene e commene les résulas des projecons du rendemen, de la volalé e des corrélaons réalsées dans le cadre de la valdaon du modèle e de son paramérage. Il es rappelé que le calbrage des modèles es ulsé à re llusraf. III- Élémens sur la mse en œuvre Au nveau de la srucure schémaque de projecon des scénaros, nous avons opé pour la srucure lnéare (cf. sous-secon II- du chapre de cee pare). Pour rappel, c-dessous un exemple de cee srucure lors d une projecon de 500 rajecores de rendemen annuel des acons enre 00 e 030 : acons R, acons R, acons R,T acons R 0 acons R, acons R, acons R,T 500 rajecores acons R500, acons R500, acons R 500,T Axe du emps 0=00 T=030 Fg. 5: Illusraon de la srucure schémaque lnéare dans le cas de la projecon des rendemens des acons En vue de smuler des brownens ayan une srucure de corrélaon prédéfne, nous ulsons la décomposon de Cholesk de leur marce de varance covarance (cf. ableau 6). En fa, s nous consdérons un veceur aléaore gaussen ( X,X,..., ) X = X n don la dsrbuon es mul-normale non dégénérée, sa densé es de la forme : f X ( X ) = exp ( x µ )'. Σ.( x µ ) n ( π ) de( Σ) Avec : = µ, µ,..., µ : Veceur espérance des los margnales ( ) µ n Σ : Marce de varance-covarance Plus précsémen, cee dernère marce s écr dans le cas de n=4: ρ Σ = ρ3 ρ4 ρ ρ ρ 3 4 ρ ρ 3 ρ 3 34 ρ4 ρ4 ρ 34 93

100 Comme Σ es symérque e défne posve ( Y ' ΣY > 0, Y 0 ), l es possble de rouver b b b 0 0 une marce T unque, défne comme su : T = el que : Σ = TT'. b3 b3 b33 0 b4 b4 b43 b44 Cee dernère expresson correspond à la décomposon de Cholesk de Σ. Elle es ulsée ensue pour la smulaon de brownens qu reflèen la même srucure de dépendance exsane enre les composanes du veceur X pusque nous savons que s Z es un veceur ndépendan denquemen dsrbué (..d) de lo commune normale cenrée rédue N (0,), alors le veceur X = TZ + µ a pour marce de varance-covarance Σ e pour moyenne µ. Nous ulsons cee relaon pour rerouver de proche en proche les valeurs des coeffcens de la marce rangulare T : X = b. Z + µ En consdéran la varance de chacun des ermes de cee égalé, nous obenons b = X = b.z + b. Z + µ En consdéran la varance de chacun des ermes de cee égalé, nous obenons b + b = S nous nous néressons à la covarance, nous ombons sur l égalé suvane : cov ( X, X ) = ρ = E[ b.z ( b.z + b. Z )] ρ Fnalemen, = = b ρ e b = b ( ρ ) Ec. Le graphque suvan llusre le cas où nous souhaons smuler des varables négavemen corrélées. Cela passe par la généraon dans un premer emps de brownens ndépendans (composans le veceur Z)..d e de lo N (0,). 94

101 Illusraon du passage de brownens ndépendans à des brownens corrélés négavemen Fg. 6 : Illusraon du passage de brownens ndépendans à des brownens corrélés négavemen Noons que ce modèle suppose que les aux d nérês suven la lo normale, donc l y a une possblé d obenr des aux réels négafs. Deux bornes, une borne supéreure e une aure nféreure, peuven êre fxée par l nvessseur pour les aux nsananés e les aux longs. Les modèles développés (un modèle pour les aux cours, noés r, e un modèle pour les aux longs, noés l ) reprennen l approche de reour à la moyenne du modèle de Hull e Whe [994] à deux faceurs : dr = κ l r d + σ db ( ) ( ) r r r, dl = κ µ l d + σ db l l l l, Nous rappelons que la dscrésaon reenue es la dscrésaon exace (cf. Planche e al. [005]) : r + = r ( ) ( κr ) e l e ( κ + r ) + ε r, σ r ( κr ) e κ r l + = l ( ) ( κl ) ( κl ) e + µ e l + ε l, σ l ( κl ) e κ l La dscrésaon exace do êre ulsée lorsqu'elle es dsponble, cee dscrésaon éan la seule à ne pas nrodure de bas sur la lo du faceur dscrésé. 95

102 où : κ r (resp. κ l ) es la vesse de reour à la moyenne ; µ l es le aux d nérê à long erme moyen. D un aure côé e compe enu de l absence de données fables pour la pare long erme, l a éé reenu pour la moyenne de long erme l'objecf BCE de % e pour les deux aures paramères des nveaux permean d'avor des résulas cohérens, sans aucun calbrage sasque. Mse en œuvre de la démarche créd La mse en œuvre de la démarche repose sur la spécfcaon du prx des oblgaons sans rsque de défau e sur le prx observé sur le marché des oblgaons présenan un rsque de défau. Les prx O( T ) des oblgaons sans rsque de défau de nomnal N, de mauré T e de aux facal γ se dédusen va la formule suvane (cf. Planche e al. [005]) : T O T N P P T = ( ) = γ l ( 0, ) + l ( 0, ) où Pl (, T ) représene le prx à la dae des zéro-coupon de mauré T. La démarche présenée consse à déermner l abaemen α el que : ( ) = α O( T ) S T où S ( T ) représene le prx de marché observé pour les oblgaons de mauré T avec rsque de défau. En praque, nous noerons que α dépend de la mauré e du rang des oblgaons présenan un rsque de défau. C-après des paramères relafs à l envronnemen du calcul. Noons qu avec 000 smulaons nous obendrons des résulas qu son égaux aux résulas observés avec un nombre de smulaons supéreur. Horzon de projecon (en années) 50 Nombre de pas 00 Nombre de smulaons 000 Tab. 7 : Paramères ulsés dans le GSE consru III- Tess du modèle : paramères e marce de corrélaon Cee sous-secon es relave aux ess du modèle, e en parculer aux ess sur les paramères e la marce de corrélaon. L analyse e l nerpréaon de ces ess devra êre raée avec prudence (exsence de bas dus à l absence de lnéaré dans les ransformaons effecuées, prse en compe de la pérodcé des projecons, ec.). 96

103 Face aux lmes de l esmaon des paramères des modèles de GSE, en parculer à cause de la non évdence de l hypohèse de la reproducon de l hsorque dans le fuur, nous supposerons que le seul garan de la fablé du GSE consdéré par la sue sera le degré de correspondance des résulas obenus (projecons) par rappor à ceux prévus lors du calbrage (avs des expers, paramères hsorques, ancpaons à parr des valeurs acuelles de marché des dfférenes produs e varables fnancères, ec.). Le respec de cee correspondance sera consdéré comme une condon mnmale à vérfer. III-- Tess sur les paramères e sur les développemens nformaques Les ess sur les paramères peuven êre organsés en deux pares. Comparason de valeurs héorques e de valeurs emprques Le premer pon es relaf à la comparason de valeurs héorques e de valeurs emprques esmées sur les rajecores smulées. À ce effe, l conven de dsnguer dfférenes classes d acfs. Cas des acons e de l mmobler Pour les acons e l mmobler, nous pouvons comparer les valeurs héorques e emprques des rendemens ou des volalés. So x,, x, +,..., x, + h la rajecore des rendemens emprques de la smulaon jusqu à l horzon + h : I H - le rendemen moyen emprque es égal à ˆ µ = x, h (où I représene le I H + + = h= 0 nombre oal de smulaons e H l horzon de la projecon) ; I, H, + h. I + H + - la volalé moyenne emprque es calculée par ˆ σ = ( x ˆ µ ) Cas des produs monéares Dans le cas des produs monéares, la comparason présenée c-dessus peu égalemen êre applquée. Cas des produs oblgaares Concernan les produs oblgaares, la comparason en lecure drece es plus dffcle car dans les sores du modèle nous dsposons du prx des oblgaons, desquels son dédus les rendemens e les volalés assocés, alors que les paramères reenus pour ces classes d acfs poren sur la moyenne des aux d nérê réel e des aux d nflaon. La comparason des valeurs héorques e emprques pourra ouefos êre effecuée à parr des formules de prx des oblgaons zéro-coupon, sans enr compe du rsque de défau. En effe, par exemple dans les modèles de ype Vascek à un-faceur les prx à la dae des zérocoupon de mauré T, noés (, ) l P T, son déermnés à parr des aux r (κ représenan la vesse de reour à la moyenne e µ représenan le aux moyen) par la relaon suvane (cf. Hull [000]) :, h 97

104 B (,T ) ( ) ( ) P,T ( r ) = A,T e Avec : ( ) B,T ( ) B(,T ) = exp ( κ ( T e )) = κ ( T + )( κ µ σ / ) σ B(,T ) A,T 3 Il conven ans de comparer le prx héorque Pl (, T ) obenu avec le paramère de aux Pˆ, T obenu avec la moyenne (sur l ensemble des smulaons e moyen au prx emprque ( ) l ensemble de la durée de projecon) des aux projeés. l κ 4κ Tess aux lmes (cas du modèle des acons) Le deuxème pon es relaf aux ess aux lmes. À ce effe, l s ag par exemple de reenr un seul régme pour le RSLN en mean une probablé de ranson à 0 ou de consdérer des versons déermnses en mean les volalés à 0. Nous pouvons égalemen vérfer pour le modèle de aux que nous rerouvons le modèle à un faceur en mean les paramères du aux long à 0. Dans le même espr, nous pouvons vérfer que les sens de varaon des grandeurs modélsées son conformes à la héore (observer ce qu se passe lorsque la volalé augmene sur une opon, une oblgaon, ec.). III-- Tess sur les marces de corrélaon Une fos les ess sur les paramères e les développemens nformaques réalsés, l conven de décrre un es de cohérence du paramérage conssan à esmer emprquemen la marce de corrélaon des rendemens e à la comparer à celle que nous observons sur le marché (s elle es dsponble). En fa la marce de corrélaon héorque (npu du GSE) e par la sue la marce de corrélaon emprque (oupu du GSE) peu dfférer de celle observée réellemen sur le marché (avec des données hsorques) en foncon des prévsons de l'nvessseur. Cela ne reme pas en cause l'nérê de la comparason enre ces deux dernères marces par exemple pour effecuer des ess de sensblé. La marce que nous observons sur le marché prend égalemen la forme suvane : ρ ρ ρ ρ, ρ, ρ ρ,,, K K, K, K où ρ, j représene la corrélaon enre les classes d acfs numéros k e k, e es déermnée par : 3 exp désgne c la foncon exponenelle. 98

105 ρ k, k ( k,k ) ( k ) σ ( k ) cov = = σ I, H ( ( xk ) ( x ))(( ) ( ), k x k x h, h k ), h I H (( xk ) ( x )). (( ) ( ), h k xk x, h k ) I, H,, h, h avec : ( x k ) représenan le rendemen des acfs de la classe k ; ( x k ) représenan le rendemen des acfs de la classe k ; représenan le nombre de smulaons (I smulaons au oal) ; h représenan l année de projecon (H années de projecon au oal). III-3 Résulas de projecon Nous présenons c-après des graphques mean en évdence quelques propréés héorques du modèle de GSE obje de l éude (exemple : reour à la moyenne pour les aux, changemen de régme pour les acons, ec.) ans que cerans résulas sur les nveaux des rendemens. Rendemens moyens e volalés sur oue la pérode de projecon Le ableau suvan llusre la volalé e le rendemen moyen obenus sur oue la pérode de projecon. En parculer, nous observons que la volalé es cohérene avec le rendemen. Pour le monéare, les acons e l mmobler nous observons que les rendemens moyens e les volalés son du même ordre de grandeur que les paramères du calbrage ce qu es donc cohéren avec les approches reenues pour modélser ces acfs. Rendemens moyens e volalés Rendemen Volalé Monéare 3,5 %,5 % ZC 5 ans (nomnal) 4,5 % 4,4 % ZC 0 ans (nomnal) 4,3 % 6,67 % ZC 5 ans (nomnal) 4,34 % 7,46 % ZC 8 ans (réel) 3,59 % 3,96 % ZC 5 ans (réel) 3,6 % 4,49 % Créd 5 ans 4,7 % 4,4 % Acons 7, % 6,53 % Immobler 5,9 % 8,8 % Tab. 8 : Exemple des projecons de rendemen obenues par le GSE consru La prme de rsque enre les oblgaons nomnales e les oblgaons ndexées es égale à près de 75 pons de base pour les ZC 5 ans e apparaî a pror mporane. Nous noerons ouefos qu enre 004 e 009 cerans fonds présenen des prmes de rsques pour ces 99

106 classes d acfs de près de 00 pons de base 4. Sauf précson conrare, ous les chffres présenés c-après son éabls à parr des résulas c-dessus obenus dans le cadre du scénaro cenral. Courbe des aux des oblgaons ndexées sur l nflaon d une mauré de 5 ans La courbe des aux présenée c-après en bleu (cf. graphque 7) correspond à la courbe des aux dédue des valeurs des aux de rendemen annualsés e projeés de l oblgaon ndexées d une mauré de 5 ans avec un pas rmesrel (ce qu correspond à un nombre de 60 pas au oal). En rouge une approxmaon par une foncon lnéare par morceau es racée. Cee foncon correspond aux quare droes don les penes son calculées respecvemen sur les quare pérodes 0- ans, -5 ans, 5-0 ans, 0-5 ans. Il es précsé que l uné de emps consdéré dans le graphque es rmesrelle. Ces penes on les valeurs suvanes : Pérodes Pérode 0- Pérode -5 Pérode 5-0 Pérode 0-5 Uné de emps rmesrelle 0,5 % 0,04 % 0,0 % 0,0046 % Uné de emps annuelle 0,59 % 0,5 % 0,06 % 0,0 % Tab. 9 : Penes de la courbe des aux obenues va le GSE consru Rappelons que la pene sur une pérode s éalan enre e +h es la dfférence enre le aux à l nsan +h e le aux à l nsan le ou dvsé par h. Fg.7 : Courbe des aux des oblgaons ndexées sur l nflaon d une mauré de 5 ans 4 cf. par exemple les fonds suvans : hp://www.sgam.fr/poral/se/sgamfr/menuem.8d6c603bb0b5bf398c6e500000f7/?vgn exod=5ce99634dd3400vgnvcm frcrd&counryso=fr&spaced=&la ng=fr&sn=lu hp://www.sgam.fr/poral/se/sgamfr/menuem.8d6c603bb0b5bf398c6e500000f7/?vgn exod=5ce99634dd3400vgnvcm frcrd&counryso=fr&spaced=&la ng=fr&sn=lu

107 Une aure façon de consrure la courbe des aux sera de parr des aux cours smulés selon les modèles de aux proposés (Hull e Whe à faceurs), pour ensue déermner les aux sur dfférens horzons (ou maurés) en ulsan la formule présenée dans le paragraphe I--- R,T = log P,T / T. du chapre, à savor : ( ) { ( )} ( ) Dans ce cadre, nous avons consdéré le cas où le aux réel long observé nalemen ( 0) l r es sgnfcavemen plus élevé que le nveau moyen de long erme µ. Cela donne leu à une courbe des aux réels avec une nflexon. La STTI des aux nomnaux aura égalemen cee même forme pusque elle es dédue à la fos à parr des aux réels e des aux d nflaon (ancpés). Nous confrmons ans l avanage, précédemmen cé, du chox d un modèle de aux à deux faceurs : ce derner perme d obenr dfférenes formes de la courbe des aux en conformé avec ce qu es observé réellemen (cf. Marelln e al. [003]). Le phénomène de reour à la moyenne, qu par hypohèse concerne les varables de aux du GSE consru, peu êre ms en évdence au nveau des courbes de aux elles-mêmes. Le graphque 9 llusre ce cas de fgure. En consrusan les STTI à sx daes dfférenes, à savor (la dae nale e cnq daes fuures : fn de la deuxème année, fn de la cnquème année, fn de la dxème année, fn de la qunzème année e fn de la vngème année), nous consaons à parr d une cerane dae une cerane sablé de la courbe La mauré maxmale représenée par la STTI es c 30 ans. lr Srucure par erme des aux nomnaux, des aux réels e e des aux d'nflaon en cas de aux réels longs élevés par rappor à ceux d'équlbre: mse en évdence de la courbure de la STTI Mauré exprmée en nombre d'années STTI des aux réels STTI des aux d'nflaon ancpés STTI des aux nomnaux Fg. 8 : Srucure par erme des aux nomnaux, des aux réels e des aux d nflaon en cas de aux réels longs élevés par rappor à ceux de l équlbre : Mse en évdence de la courbure de la STTI 0

108 0.07 Allure moyenne de la courbe des aux à la dae nale de projecon Allure moyenne de la courbe des aux à la fn de la deuxème année de la pérode de projecon Horzon en années Allure moyenne de la courbe des aux à la fn de la cnquème année de la pérode de projecon Horzon en années Allure moyenne de la courbe des aux à la fn de la dxème année de la pérode de projecon Horzon en années Allure moyenne de la courbe des aux à la fn de la qunzème année de la pérode de projecon Horzon en années Allure moyenne de la courbe des aux à la fn de la vngème année de la pérode de projecon Horzon en années Horzon en années Fg.9 : Evoluon dans le emps de la STTI : Mse en évdence du phénomène de reour à la moyenne Ce même phénomène es confrmé pour ce qu concerne les écars absolus moyens, cee fosc, enre les aux de deux maurés dfférenes (cf. graphque 0). Nous appellerons «penes moyennes de aux» les écars absolus moyens enre deux aux de maurés dfférenes évalués à la même dae, ls son calculés respecvemen sur les quare pérodes 0- ans, -5 ans, 5-0 ans, 0-5 ans. Ces écars, exprmés en pon de base, se sablsen après cnq années auour de leurs nveaux moyens. De même, nous consaons une décrossance de ce écar en augmenan les maurés consdérées (passage d un écar moyen de 57 pons de base (pb) enre les aux de mauré ans e ceux nsananés à 8 pb enre les aux de mauré 5 ans e 0 ans). Cela es cohéren avec les hypohèses consdérées d une fable volalé sur les nveaux des aux longs. 0

109 6 x 0-3 Evoluon des penes de aux moyens ou au long de la pérode de projecon Horzon de projecon (exprmé en année) Pene moyenne de aux 0- ans Pene moyenne de aux -5 ans Pene moyenne de aux 5-0 ans Pene moyenne de aux 0-5 ans Fg. 0 : Evoluon des penes moyennes de aux (écars absolus moyens enre les aux de deux maurés dfférenes) ou au long de la pérode de projecon Pene 0- ans Pene -5 ans Pene 5-0 ans Pene 0-5 ans Moyennne projeée * * Moyenne exprmée en pon de base (e sur oue la pérode de projecon) Tab. 0 : Moyennes des dfférenes penes de aux projeées Les graphques c-dessous représenen, sous forme d hsogrammes, les dsrbuons obenues de dfférenes varables de aux e/ou de rendemen. Les hsogrammes permeen d avor une vson globale sur la fréquence des nveaux de aux e/ou de rendemen smulés. Ceres, l exse pluseurs ess sasques pour juger de la conformé des valeurs projeées avec les hypohèses de dépar reenues dans le modèle (normalé, ec.). Cependan l éude des modèles prs ndvduellemen ne consue pas nore prncpal cenre d nérê e c es pluô la srucuraon de ces dfférens modèles enre eux, dans l objecf de la consrucon d un GSE, qu susce le plus nore aenon. 03

110 Hsogramme des aux nomnaux de cour erme (3 mos) à la fn de la premère pérode 50 Hsogramme des aux nomnaux de long erme (0 ans) à la fn de la premère pérode Fg. : Hsogramme des aux nomnaux de cour erme (3 mos) à la fn de la premère pérode Fg. : Hsogramme des aux nomnaux de long erme (0 ans) à la fn de la premère pérode Hsogramme des aux réels sur le cour erme (3 mos) à la fn de la premère pérode 50 Hsogramme des aux réels de long erme (0 ans) à la fn de la premère pérode Fg. 3 : Hsogramme des aux réels sur le cour erme (3 mos) à la fn de la premère pérode Fg. 4 : Hsogramme des aux réels de long erme (0 ans) à la fn de la premère pérode 350 Hsogramme des aux d'nflaon ancpés sur le cour erme ( 3 mos) à la fn de la premère pérode 50 Hsogramme des aux d'nflaon ancpés sur le long erme (0 ans) à la fn de la premère pérode Fg. 5 : Hsogramme des aux d nflaon ancpés de cour erme (3 mos) à la fn de la premère pérode Fg. 6 : Hsogramme des aux d nflaon ancpés de long erme (0 ans) à la fn de la premère pérode 04

111 50 Hsogramme de la dsrbuon des performances des oblgaons gouvernemenales nomnales de duraon 5 ans à la dae 300 Hsogramme de la dsrbuon des performances des oblgaons ndexées à l'nflaon de duraon 8 ans à la dae Fg. 7 : Hsogramme de la dsrbuon des oblgaons nomnales gouvernemenales de duraon 5 ans sur la premère pérode Fg. 8 : Hsogramme de la dsrbuon des oblgaons ndexées nflaon de duraon 8 ans sur la premère pérode 50 Hsogramme de la dsrbuon des performances des oblgaons non gouvernemenales de duraon 5 ans à la dae Fg. 9 : Hsogramme de la dsrbuon des rendemens des oblgaons nomnales non gouvernemenales de duraon 5 ans sur la premère pérode Marce de corrélaon des brownens sur la pérode de projecon Il es mporan de précser que les valeurs reenues dans la marce de corrélaon des brownens, ulsée en npu du GSE, se basen sur des ajusemens : cerans nveaux de corrélaons son en effe arbués de façon subjecve sans nécessaremen s algner sur les résulas hsorques. Cela nous a condus à proposer la marce suvane à re llusraf : 05

112 Acon Inflaon longue Inflaon Taux long réel Taux cour réel Monéare Immobler Acon Acon 00,00 % -0,00 % 0,00 % -0,00 % 0,00 %,00 % 75,00 % 0,00 % Inflaon longue -0,00 % 00,00 % 0,00 % -0,00 % 0,00 % 0,00 % -0,00 % 40,00 % Inflaon 0,00 % 0,00 % 00,00 % 0,00 % -30,00 % 0,00 % 30,00 % -40,00 % Taux long réel -0,00 % -0,00 % 0,00 % 00,00 % 0,00 % 0,00 % -0,00 % 30,00 % Taux cour réel 0,00 % 0,00 % -30,00 % 0,00 % 00,00 % -,00 % -40,00 % 40,00 % Monéare,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 % -,00 % 00,00 % 6,00 % 0,00 % Immobler 75,00 % -0,00 % 30,00 % -0,00 % -40,00 % 6,00 % 00,00 % -37,00 % Acon 0,00 % 40,00 % -40,00 % 30,00 % 40,00 % 0,00 % -37,00 % 00,00 % Tab. : Corrélaons héorques enre les dfférenes varables (npu du GSE) La marce c-après llusre les corrélaons enre les brownens projeés (obenues après projecon de 000 scénaros). Nous observons que les valeurs affchées son rès proches des valeurs présenées dans la marce de corrélaon des brownens en npu. Ces valeurs corresponden aux valeurs aendues e son donc cohérenes. Corrélaons enre les brownens (modèle BS régmes) Acon Inflaon longue Inflaon Taux long réel Taux cour réel Monéare Immobler Acon Acon 00,00 % -9,58 % -0,39 % -0,06 % -0, %,03 % 74,94 % 0,00% Inflaon longue -9,58 % 00,00 % 9,97 % -9,7 % 0,7 % 0,04 % -9,8 % 40,0 % Inflaon -0,39 % 9,97 % 00,00 % 0,37 % -9,77 % 9,94 % 9,64 % -39,98 % Taux long réel -0,06 % -9,7 % 0,37 % 00,00 % 0,0 % 0, % -9,94 % 9,84 % Taux cour réel -0, % 0,7 % -9,77 % 0,0 % 00,00 % -0,94 % -40,07 % 39,77 % Monéare,03 % 0,04 % 9,94 % 0, % -0,94 % 00,00 % 5,95 % 0,09 % Immobler 74,94 % -9,8 % 9,64 % -9,94 % -40,07 % 5,95 % 00,00 % -36,95 % Acon 0,00 % 40,0 % -39,98 % 9,84 % 39,77 % 0,09 % -36,95 % 00,00 % Tab. : Corrélaons obenues lors des projecons enre les dfférenes varables Marce de corrélaon des rendemens sur la pérode de projecon Nous nous néressons c à la dépendance enre eux des rendemens des ndces projeés. Cee dépendance es refléée par les corrélaons enre les brownens qu nervennen dans la dynamque des varables modélsées. Les valeurs cbles son en praque fournes sur la base d avs d expers, d une éude hsorque ou encore dédus de manère mplce de l observaon du marché. Il s ag en fa d une marce de corrélaons jugée «rasonnable» par la place. Globalemen les valeurs obenues dans le cadre du présen backesng son cohérenes avec les valeurs héorques ulsées nalemen en npu. Nous noons que seules les corrélaons enre l mmobler e les oblgaons présenen des dfférences enre les valeurs cbles e celles obenues par backesng. Plus parculèremen nous remarquons que : Les corrélaons enre les zéro-coupons (ZC) nomnaux e les ZC réels son de l ordre de 45 % à 55 % e donc son cohérenes avec les valeurs cbles (pour mémore ces valeurs son de l ordre de 60 %). La corrélaon enre les acons e l mmobler es de plus de 0 %, ce qu es cohéren avec la valeur cble (6 %). 06

113 Les corrélaons enre les ZC réels son rès fores (de l ordre de 99 %). Ces fores corrélaons son d un coé cohérenes avec l approche du calcul des prx de ces oblgaons e représenen, d un aure coé des nveaux proches de ceux de la cble. Elles radusen le caracère rès conran de la courbe des aux, déermnée dans le cadre d un modèle à deux faceurs. Corrélaons enre les ndces projeés Monéare ZC 5 ans (nomnal) ZC 0 ans (nomnal) ZC 5 ans (nomnal) ZC 8 ans (réel) ZC 5 ans (réel) Oblgaon créd Acons Immobler Monéare 00,00 % -7,9 % -8,79 % -9,80 % 0,46 % 0,40 % -7,9 %,06 %,45 % ZC 5 ans (nomnal) -7,9 % 00,00 % 98,56 % 97,3 % 56,49 % 55,44 % 99,99 % 4,38 %,3 % ZC 0 ans (nomnal) -8,79 % 98,56 % 00,00 % 99,73 % 46,9 % 46,80 % 98,56 % 5,85 %,45 % ZC 5 ans (nomnal) -9,80 % 97,3 % 99,73 % 00,00 % 4,78 % 4,94 % 97,3 % 5,80 %,0 % ZC 8 ans (réel) 0,46 % 56,49 % 46,9 % 4,78 % 00,00 % 99,68 % 56,49 % 5,8 % 5,66 % ZC 5 ans (réel) 0,40 % 55,44 % 46,80 % 4,94 % 99,68 % 00,00 % 55,44 % 5,83 % 5,77 % Oblgaon créd -7,9 % 99,99 % 98,56 % 97,3 % 56,49 % 55,44 % 00,00 % 4,38 %,3 % Acons,06 % 4,38 % 5,85 % 5,80 % 5,8 % 5,83 % 4,38 % 00,00 % 0,7 % Immobler,45 %,3 %,45 %,0 % 5,66 % 5,77 %,3 % 0,7 % 00,00 % Tab. 3 : Corrélaons obenues lors des projecons enre les dfférens rendemens Corrélaon des acfs dans un régme à fable volalé La marce suvane présene la marce de corrélaon des acfs lorsque les acons évoluen dans un régme à fable volalé. Nous remarquons que dans ce régme l mmobler par exemple es posvemen corrélé avec les acons. Corrélaon régme (fable volalé) Monéare ZC 5 ans (nomnal) ZC 0 ans (nomnal) ZC 5 ans (nomnal) ZC 8 ans (réel) ZC 5 ans (réel) Oblgaon créd Acons mmobler Monéare 00,00 % -7,9 % -8,77 % -9,78 % 0,7 % 0,7 % -7,9 %,03 %,6 % ZC 5 ans (nomnal) -7,9 % 00,00 % 98,56 % 97,30 % 56,35 % 55,9 % 00,00 % 5,5 %,3 % ZC 0 ans (nomnal) -8,77 % 98,56 % 00,00 % 99,73 % 46,70 % 46,57 % 98,56 % 6,63 %,54 % ZC 5 ans (nomnal) -9,78 % 97,30 % 99,73 % 00,00 % 4,53_% 4,68 % 97,30 % 6,50 %,3 % ZC 8 ans (réel) 0,7 % 56,35 % 46,70 % 4,53 % 00,00 % 99,68 % 56,35 % 5,9 % 5,37 % ZC 5 ans (réel) Oblgaon créd Acons Immobler 0,7 % 55,9 % 46,57 % 4,68 % 99,68 % 00,00 % 55,9 % 6,49 % 5,49 % -7,9 % 00,00 % 98,56 % 97,30 % 56,35 % 55,9 % 00,00 % 5,5 %,3 %,03 % 5,5 % 6,63 % 6,50 % 5,9 % 6,49 % 5,5 % 00,00 %,88 %,6 %,3 %,54 %,3 % 5,37 % 5,49 %,3 %,88 % 00,00 % Tab. 4 : Corrélaons obenues lors des projecons enre les dfférens rendemens dans un régme à fable volalé 07

114 Corrélaon des acfs dans un régme à fore volalé La marce suvane présene la marce de corrélaon des acfs lorsque les acons évoluen dans un régme à fore volalé. Nous remarquons que dans ce régme l mmobler es négavemen corrélé avec les acons. Cela peu s explquer par l'hypohèse de dépar consdérée : l mmobler es consdéré comme une valeur refuge en cas de crse. Corrélaon en régme (fore volalé) Monéare ZC 5 ans (nomnal) ZC 0 ans (nomnal) ZC 5 ans (nomnal) ZC 8 ans (réel) ZC 5 ans (réel) Oblgaon créd Acons mmobler Monéare 00,00 % -7,66 % -8,55 % -9,57 % 0,84 % 0,78 % -7,66 % -0, %,8 % ZC 5 ans (nomnal) -7,66 % 00,00 % 98,56 % 97,3 % 56,54 % 55,46 % 00,00 % -38,98 %,0 % ZC 0 ans (nomnal) -8,55 % 98,56 % 00,00 % 99,73 % 46,9 % 46,79 % 98,56 % -35,8 %,3 % ZC 5 ans (nomnal) -9,57 % 97,3 % 99,73 % 00,00 % 4,77 % 4,9 % 97,3 % -3,3 % 0,97 % ZC 8 ans (réel) 0,84 % 56,54 % 46,9 % 4,77 % 00,00 % 99,68 % 56,54 % -44,60_% 5, % ZC 5 ans (réel) 0,78 % 55,46 % 46,79 % 4,9 % 99,68 % 00,00 % 55,46 % -44, % 5,3 % Oblgaon créd -7,66 % 00,00 % 98,56 % 97,3 % 56,54 % 55,46 % 00,00 % -38,98 %,0 % Acons -0, % -38,98 % -35,8 % -3,3 % -44,60 % -44, % -38,98 % 00,00 % -0,57 % Immobler,8 %,0 %,3 % 0,97 % 5, % 5,3 %,0 % -0,57 % 00,00 % Tab. 5 : Corrélaons obenues lors des projecons enre les dfférens rendemens dans un régme à fore volalé Les graphques suvans présenen l évoluon des rendemens des acons enre les deux régmes sur une rajecore smulée (chose à re llusraf). Le nombre de fos où ces rendemens se rouven sous le régme (régme de «crse») es neemen plus fable que celu sous le régme (régme normal). Cela reflèe une probablé plus fable de se rerouver dans le régme de crse, comme supposé dans les hypohèses de dépar dans le modèle des acons.,5,5 0, Mos Régme dans lequel se rouve les rendemens des acons à une dae donnée Fg. 30 : Evoluon du marché des acons enre le régme (acons à fable volalé) e le régme (acons à fore volalé) sur une rajecore smulée 08

115 Comparason de l approche du coeffcen d abaemen avec l approche «mélange» pour le créd Nous avons monré que les approxmaons reenues pour la méhode «mélange» son délcaes à jusfer. Au-delà des descrpons fonconnelles de cee approche, l s ag c de présener quelques résulas obenus en l ulsan. L approche du coeffcen d abaemen consse à calculer le prx de l oblgaon créd en mulplan le prx des oblgaons nomnales par un coeffcen d abaemen dépendan de la mauré. Auss, dans un premer emps le ableau c-après compare les rendemens e les volalés des oblgaons du créd correspondan aux deux approches : l approche du coeffcen d abaemen e l approche «mélange». Noons que la dscrésaon des formules, ulsée lors du calcul, es exace dans les deux approches. Le calbrage reenu pour cee comparason es le même que celu présené dans la sous-secon II-6 du chapre à l excepon de la marce de corrélaon des brownens qu nègre en plus une lgne e une colonne correspondan aux corrélaons avec les spreads de créd. Oblgaon créd 5 ans Coeffcen d abaemen approche «mélange» Rendemens 4,7 % 3,98 % Volalés 4,4 % 4,7 % Tab. 6 : Dscrésaon exace pour Coeffcen d abaemen e l approche «mélange» Nous observons que les rendemens e les volalés son du même ordre de grandeur. Cela sgnfe que les approches, ben que dfférenes, condusen à des résulas proches. Ans, l approche du coeffcen d abaemen donne des résulas comparables à ceux de l approche «mélange» en ermes de rendemens moyens e de volalés. Effe de la dscrésaon À re llusraf, le ableau suvan présene les rendemens e les volalés des deux approches mas en reenan la dscrésaon d Euler pour oues les varables modélsées dans le cas de l approche «mélange» (nous rappelons que oues les varables son mplémenées en enan compe d une dscrésaon exace dans le cas de l aure approche des coeffcens d abaemen). En ermes de résula, nous consaons que les rendemens moyens dans les deux approches son proches. Cependan les volalés son sgnfcavemen dfférenes. Donc le chox de la dscrésaon a un mpac sgnfcaf sur le nveau de la volalé des oblgaons créd lorsqu elles son modélsées avec ces deux approches dfférenes. Oblgaon créd 5 ans Dscrésaon Dscrésaon exace d Euler Rendemens 4,7 % 3,96 % Volalés 4,4 % 7,43 % Tab. 7 : Dscrésaon exace pour Coeffcen d abaemen e d Euler pour l approche «mélange» 09

116 Concluson du chapre L obje du chapre de cee pare éa de présener un modèle sochasque de généraon des scénaros économques don la vocaon fnale es plus proche du domane de la geson des rsques que de celu du prcng. Nous avons égalemen essayé d éuder dfférens aspecs lés au processus de calbrage du GSE consru e de mere en avan les élémens pernens relafs à ce processus. Nous rappelons qu l exse, dans la léraure, d'aures modèles canddas (cf. Ahlgrm e al. [008]). Nous ne préendons pas que le modèle présené es le «melleur» modèle (d alleurs aucun modèle ne l es) mas nous avons la garane que celu-c respece ceranes condons mnmales elles que la parcmone e la plausblé économque dans le sens où le GSE ulsé es capable d mer cerans phénomènes fnancers mporans observés sur les marchés fnancers. Ces phénomènes aren souven l aenon des analyses qu s néressen aux comporemens jons de l nflaon, des aux d nérês e des marchés des acons. Les éas de sore (ou l oupu) du modèle proposé on éé ans llusrés en paran nalemen des paramères obenus va l approche de calbrage décre. Concluson de la pare I Le glssemen sémanque du «modèle d acfs» vers le «généraeur de scénaros économques» maéralse la profonde évoluon de ce suje depus une dzane d années manenan. Longemps ulsée dans le cadre d éudes spécfques e poncuelles, la consrucon d une représenaon des acfs dans lequel l assureur peu nvesr ses avors e du conexe économque dans lequel ls évoluen es devenue un élémen essenel de la descrpon des rsques que celu-c do gérer. Que ce so dans le cadre prudenel, pour la déermnaon des provsons e du capal de solvablé, pour sa communcaon vers les ers (MCEV e éas compables) ou pour ses besons de ploage echnques (chox d allocaons sraégque e acque, ess de renablé, ec.), l organsme assureur do dsposer d un cadre rgoureux e cohéren prenan en compe l ensemble des acfs de son blan e les rsques assocés. S l denfcaon de ces rsques peu êre consdérée comme relavemen aboue, la crse fnancère a ms en évdence ceranes fablesses dans leur modélsaon. Deux élémens son ans ms en évdence e von sans doue donner leu à de nombreux développemens dans les prochanes années (cf. Planche e al. [009]) : - la srucure de dépendance enre les acfs ; - le rsque de lqudé, nmemen assocé à la geson effcace des couverures fnancères. La quas-oalé des modèles acuels s appuen sur des srucures de dépendance dans lesquels la corrélaon en une place cenrale ; de nombreux ravaux, don nous pourrons rouver une synhèse dans Kharoub-Rakoomalala [008], meen en évdence le caracère dynamque de l nensé de la dépendance. En praque, l nensé de la dépendance augmene dans les suaons défavorables, ce qu lme l effcacé des mesures de 0

117 dversfcaons calbrées avec des srucures ne prenan pas en compe ce effe. L nroducon de srucures de dépendance non lnéares négran de la dépendance de queue apparaî ans comme un élémen nconournable de l évoluon des généraeurs de scénaros économques. Le rsque de lqudé es égalemen apparu comme un élémen majeur de la crse des subprmes e, plus généralemen, de la crse fnancère qu elle a engendrée. Au momen où la généralsaon des approches marke conssen (basées sur les valeurs de marché) mpose d évaluer les opons e garanes fnancères des porefeulles dans la logque de déermnaon du coû de leur couverure, encore fau-l pour que le monan obenu a du sens que la couverure pusse êre réajusée régulèremen, ce qu n es possble qu avec des acfs lqudes. Cela mpose par conséquen s ce n es une adapaon de l approche dans le cas d acfs peu lqudes, à ou le mons la prse en compe d une prme de lqudé pour refléer dans le monan affché ce rsque d mpossblé de gérer déalemen la couverure. Au-delà de ces deux élémens srucurans, l effcacé opéraonnelle des modèles ms en œuvre dépend, nous l avons vu, dans une rès large mesure de la pernence des paramères reenus pour les almener. La déermnaon de ses paramères es complexe e fa appel à la fos à des consdéraons d ordre sasque (exploaon des hsorques), économque (cohérence des valeurs de long erme prédes par le modèle avec les relaons économques fondamenales), fnancères enfn (cohérence avec les prx observés sur le marché). La prse en compe raonnelle de ces dfférenes composanes nécesse une réflexon spécfque e fa pare négrane des chox srucurans en ermes de geson des rsques que peu effecuer l organsme assureur. Enfn, la défnon d'ndcaeurs de performance du modèle conrbue à une melleure almenaon du processus de prse de décson. L exploaon de ces ndcaeurs dans le cas de modèles plus complqués e plus concres, el que les modèles de geson acf-passf, consue nore prochan champ d nvesgaon.

118 PARTIE II : L ALLOCATION STRATÉGIQUE D ACTIFS DANS LE CADRE DE LA GESTION ACTIF-PASSIF

119 Inroducon Cee seconde pare es consacrée à l élaboraon de l allocaon d acf elle-même. Rappelons que concernan les régmes de rerae par réparon, ros suaons peuven êre recensées : régme provsonné (cas où le régme es enu à la couverure oale des engagemens souscrs par ses cosans acuels e fuurs), régme parellemen provsonné (couverure d une pare seulemen des engagemens souscrs par ses cosans acuels e fuurs) e enfn régme non provsonné. Le fonconnemen fnancer des régmes de rerae en France (obje de la plupar des applcaons llusraves dans ce raval) peu êre schémasé comme su : les flux de cosaons permeen de régler les flux de presaons. Le surplus, le cas échéan, perme d almener une réserve desnée à régler une pare des presaons fuures. Cee même réserve peu se vor prélever, le cas échéan, le solde echnque débeur (cosaons nsuffsanes pour régler les presaons). Enre emps, la réserve es placée sur le marché fnancer e répare enre dfférenes classes d acfs. La geson acf-passf d un régme par réparon parellemen provsonné peu êre basée sur l opmsaon de la valeur de la réserve, compe enu des conranes lées au passf qu l do respecer. C es dans ce cadre que le chox d une «bonne» allocaon sraégque joue un rôle essenel dans le ploage acf-passf d un régme de rerae, éan donné que les réserves conrbuen à par enère à la soldé du régme. Cependan une dffculé consse à défnr la «melleure» sraége de placemen de ces réserves sur les marchés fnancers, noammen dans un conexe de fores ncerudes économques, comme c es acuellemen le cas du fa de la récene crse fnancère. Il es à rappeler que le modèle d allocaon d acfs le plus répandue es celu de Markowz [95]. L objecf de ce modèle es de résoudre le problème suvan : pour une renablé espérée fxée par l nvessseur, rouver les proporons à nvesr dans chaque re, condusan à un porefeulle de rsque mnmum e sous un ensemble de conranes. L ensemble des porefeulles vérfan le programme d opmsaon de Markowz pour dfférens nveaux de renablé espérée, décr une hyperbole dans le repère (rsque mesuré par l écar ype de la renablé / renablé espérée). Le modèle de Markowz n es pas un modèle de geson au jour le jour mas un modèle de srucure à long erme qu a condu à de nombreux développemens sur la héore de la geson de porefeulle. La lme de ce modèle résde dans le fa d ulser la varance pour mesurer le rsque du porefeulle. Quoque smple e parfos effcace, la varance es conre nuve : Les nvessseurs n on aucune averson face à des rendemens supéreurs à ceux prévus, ls s néressen seulemen à ce qu es en dessous de leurs prévsons où de leurs objecfs personnels. Or, la varance es une mesure de dsperson qu ne fa aucune dfférence enre ce qu es en dessous e au-dessus de l espérance de rendemen. En plus l ne en pas compe de l exsence d un passf. Dans la léraure, les modèles d ALM son généralemen classés en ros groupes présenés chronologquemen comme su. Le premer groupe conen les modèles d adossemen (ou machng) e d mmunsaon par la duraon (cf. Macaulay [938], Redngon [95]). Ces modèles se basen sur le fa que les 3

120 nvesssemens son essenellemen effecués dans des oblgaons. Cec nous perme d obenr, so un adossemen des flux de résorere des acfs fnancers à ceux du passf (machng), so un adossemen de la duraon de l acf à celle du passf (mmunsaon par la duraon). Ces echnques éaen ulsées jusqu au mleu des années 80 e avaen comme nconvénens prncpaux la consdéraon du rsque de aux comme seule source de rsque pour le fonds, ans que la nécessé d un rebalancemen pérodque du porefeulle en réesman à chaque fos la duraon du passf, qu change connûmen du fa du changemen des aux d'nérês e de l'écoulemen du emps. Perre [009] présene une approche de la couverure de passf qu vse à résoudre les problèmes menonnés c-dessus. L acf sera consué dans ce cas d un porefeulle de couverure de ype aux (oblgaons ou dérvés) couplé à un porefeulle de rendemen. Selon Perre [009], cee archecure perme une flexblé suffsane pour permere à l acf de s adaper aux mse à jour de la valeur des engagemens lors de la revue des hypohèses acuarelles ayan perms leur évaluaon. Le deuxème groupe conen les modèles basés sur la smulaon de scénaros déermnses e sur la noon de surplus (Km e Sanomero [988], Sharpe e Tn [990], Lebowz e al. [99]). Les modèles de surplus on pour obje la mnmsaon du rsque de pere du surplus (mesuré par la varance de la renablé du surplus) sous conranes de renablé e de pods des acfs. Ils son des modèles mono-pérodques, ce qu lme leur ulé en praque pour des problèmes d allocaon sur le long erme. Le rosème groupe de modèles ulse les echnques de smulaon sochasque (Mone Carlo) pour modélser l évoluon des dfférens élémens, que ce so au nveau des acfs fnancers e des engagemens, ou au nveau des varables de marché e des varables démographques (cf. Frauendorfer [007], Munk e al. [004], Warng [004], Marelln [006]). Ans les los de probablé assocées aux résulas du fonds de rerae sur le long erme peuven êre esmées. A ce nveau, nous nous proposons de dsnguer deux sousgroupes de modèles d ALM basés sur les echnques sochasques. L élémen clé de dsncon sera s ou ou non les pods des dfférens acfs revennen pérodquemen à ceux de l allocaon sraégque défne nalemen (s ou, les modèles seron appelés modèles à pods consans ou sraége Fxed-Mx). Pour le premer sous-groupe de modèles à pods consans e malgré les avancées réalsées avec ces echnques (surou au nveau de l mplémenaon nformaque), l aspec dynamque de l allocaon sraégque rese encore margnalsé. En fa, ces modèles permeen de comparer des allocaons consanes dans le emps (saques) ndépendammen des opporunés lées aux évoluons ner-emporelles des marchés (cf. Meron [990], Kouwenberg [00], Infanger [00], Dempser e al. [003]). Le deuxème sous-groupe de modèles, e le plus récen, es prncpalemen nspré de la héore du chox de la consommaon e de porefeulle développée par Meron [97]. Il s ag des modèles d allocaon dynamque ou ner emporels. Par exemple, à parr de la défnon de la foncon objecf pour l nvessseur, ces modèles permeen la déermnaon d une rajecore des pods des dfférens acfs jusqu à la dae d échéance (l ajusemen des pods es foncon des évoluons projeées du marché e de la règle de geson prédéfne). L allocaon sraégque reenue sera l allocaon opmale d acfs 4

121 à la dae nale 0. Le cadre d ulsaon de ces modèles récens se heure au problème d mplémenaon vu la complexé des ouls mahémaques employés (cf. Hanau e al. [005], Rudolf e al. [004] e Yen e al. [003]). Concernan les modèles d allocaon d acfs, nore éude es axée sur la comparason des modèles dsponbles selon les hypohèses sous-jacenes de «rebalancemen» des porefeulles : nous fasons la dsncon enre une geson «saque» (pour laquelle les pods revennen pérodquemen à ceux de l allocaon sraégque de long-erme - cas par exemple des modèles à pods consans Fxed-Mx) e une geson de «dynamque», pour laquelle les pods peuven s écarer défnvemen de l allocaon sraégque nale selon des règles de geson prédéfnes. Nous verrons que l approche dynamque présene l avanage héorque de la robusesse face aux changemens de régme des marchés. L auorsaon du changemen des pods des dfférenes classes d acfs, sur la base d une règle de geson ben défne, consue a pror un élémen néressan. Cela en effe perme l ajusemen des exposons aux dfférenes classes d acfs sue à l évoluon des condons de marché. Cee réflexon sur la consrucon de modèles d allocaon d acfs applcables dans une opque prévsonnelle à long-erme nous condura à éuder une approche nnovane fondée sur les echnques de «programmaon sochasque» (cf. Brge e Louveaux [997]). Il s'ag d'une verson adapée d une echnque déjà ulsée dans le domane de l ngénere pour la planfcaon de la producon (cf. Danzg e al. [990], Escudero e al. [993]). L objecf sera la mse en évdence e l éude des caracérsques de cee approche. Comme déjà menonné, cee hèse accorde égalemen une aenon oue parculère aux echnques numérques de recherche de l'opmum, qu demeuren des quesons essenelles pour la mse en place d'un modèle d'allocaon. Le pon de dépar sera nore consa d un emps de calcul sgnfcaf dû smulanémen à un nombre élevé de scénaros économques générés e à un nombre d allocaons d acfs esées égalemen élevé. Dans ce cadre, nous présenons un algorhme d opmsaon globale d une foncon non convexe e bruée. L algorhme es consru après une éude de crères de comproms enre, d une par, l exploraon de la foncon objecf en de nouveaux pons (correspondan à des ess sur de nouvelles allocaons d acfs) e d aure par l améloraon de la connassance de celle-c, par l augmenaon du nombre de rages en des pons déjà explorés (correspondan à la généraon de scénaros économques supplémenares pour les allocaons d acfs déjà esées). Une applcaon numérque llusre la conformé du comporemen de ce algorhme à celu prévu héorquemen. Le plan de cee deuxème pare sera comme su : Premer chapre : Il es queson dans ce chapre d analyser les approches classques (ou déermnses) de geson acf-passf à savor les modèles basés sur la noon de «duraon» e de «surplus». Nous déallons dfférenes approches ou en mean en évdence la dfférence enre elles. L objecf de ce chapre es de revor l éa de l ar en maère de modèles d ALM déermnse. Après avor ms en évdence les lmes de ces modèles, nous passons à l éude de modèles plus élaborés e plus sophsqués (obje des chapres uléreurs). 5

122 Deuxème chapre : Nous consdérons c une approche récene d allocaon sraégque d acfs basée sur la sraége de «à pods consans» ou Fxed-Mx (cf. Meron [990], Kouwenberg [00], Infanger [00], Dempser e al. [003]). Nous proposons une modélsaon du régme-ype de rerae e éudons cerans crères d allocaon sraégque d acfs en foncon du ype du régme (provsonné, parellemen provsonné, ec.) son éudés. Nous passons ensue à l llusraon de la sraége Fxed-Mx avec une applcaon sur les réserves d un régme de rerae parellemen provsonné. Les résulas obenus son dscués e dfférens ess de sensblé son mses en place : ces ess son lés prncpalemen à l mpac des hypohèses de rendemen ou de corrélaon reenues. Les dffculés renconrées lors de la mse en place de la sraége Fxed-Mx, dues essenellemen à la mulplcé du nombre de classes d acfs consdérées e au nombre de scénaros économques smulés, nous on mené à nous pencher sur les aspecs d opmsaon numérque. Le pon de dépar es nore consa d un emps de calcul sgnfcaf dû smulanémen à un nombre élevé de scénaros économques générés e à un nombre d allocaons d acfs esées égalemen élevé. Dans ce cadre, une présenaon déallée des ravaux menés lors de la rédacon de l arcle de Rullère e al. [00] es effecuée. Un algorhme d opmsaon globale d une foncon non convexe e bruée es présené. L algorhme es consru après une éude de crères de comproms enre, d une par, l exploraon de la foncon objecf en de nouveaux pons (correspondan à des ess sur de nouvelles allocaons d acfs) e d aure par l améloraon de la connassance de celle-c, par l augmenaon du nombre de rages en des pons déjà explorés (correspondan à la généraon de scénaros économques supplémenares pour les allocaons d acfs déjà esées). Une applcaon numérque llusre la conformé du comporemen de ce algorhme à celu prévu héorquemen e compare les résulas obenus avec l algorhme de Kefer-Wolfowz- Blum (cf. Blum [954], Kefer e Wolfowz [95]). Trosème chapre : Les modèles classques d ALM dynamques son explorés, noammen les echnques d assurance de porefeulle (cf. Perold e Sharpe [988]) e les echnques de programmaon dynamque (cf. Cox e Huang [989], Meron [97]). A ce nveau, les echnques d assurance de porefeulle basées sur la noon de CPPI ou Consan Proporon Porfolo Insurance (cf. Perold e Sharpe [988]) son mses en place e cerans résulas relafs à ce modèle son éudés. De même, les prncpes des echnques de programmaon dynamque e leurs lmes son égalemen mses en évdence. Nous nous penchons par la sue sur une approche nnovane fondée sur les echnques de «programmaon sochasque» (cf. Brge e Louveaux [997]). Il s'ag d'une verson adapée d une echnque déjà ulsée dans le domane de l ngénere pour la planfcaon de la producon (cf. Danzg e al. [990], Escudero e al. [993]). Dans ce cadre, nous meons en place un modèle d ALM dynamque basé sur les echnques de programmaon sochasque. Nous proposons, au cours d une llusraon numérque, une nouvelle méhodologe de généraon de scénaros économques que nous appelons méhodologe «des quanles de référence». Cee dernère perme de parr d une srucure lnéare de généraon de scénaros (elle que décre dans le chapre de la pare I) pour rédure la dmenson du problème renconré avec la sraége Fxed-Mx ou en enan compe de la corrélaon enre les dsrbuons des dfférenes varables projeées. 6

123 A ravers la même applcaon numérque, nous comparons cerans résulas relafs aux deux approches d allocaon sraégque d acfs : celle basée sur la sraége Fxed-Mx e celle basée sur les echnques de programmaon sochasque. Nous esons égalemen la sensblé de cee deuxème approche par rappor au changemen de cerans de ses paramères, oues choses éan égales par alleurs. 7

124 Chapre : Les modèles d ALM classques (déermnses) Il es queson dans ce qu su d analyser les approches classques (ou déermnses) de geson acf-passf à savor les modèles basés sur la noon de «duraon» e de «surplus». Nous déallons dfférenes approches ou en mean en évdence la dfférence enre elles. L objecf de ce chapre es de revor l éa de l ar en maère de modèles d ALM déermnse. I- Immunsaon du porefeulle Redngon [95] défn l mmunsaon du porefeulle comme «l'nvesssemen de l'acf d'une elle manère que le porefeulle so proégé conre un changemen des aux d'nérê». Auremen, c'es une sraége d'nvesssemen qu, dans le cas de l'assurance ve ou de celu des régmes de rerae, produ des flux exacemen adossés en mauré e en valeur à ceux que do payer l'enreprse. Cee echnque suppose que le rsque prncpal des porefeulles fnancers es celu du changemen des aux d nérê. Nous pouvons énumérer deux approches classques apparenan à la caégore de l'mmunsaon : - l'adossemen des flux de résorere (cash flows) à ceux du passf. - l'adossemen des duraons de l'acf e du passf. Nous rappelons cependan quelques noons qu seron reprses uléreuremen dans cee éude (cf. Le Vallos e al. [003]). Taux de rendemen acuarel En suvan à une démarche nverse à celle du calcul de la valeur acuelle d un acf (ou de oues séquences de flux fxes), l es possble de calculer, à parr du prx de marché, un aux d acualsaon des flux de résorere correspondans d aux de rendemen acuarel r a. Ce derner vérfe : n F Prx de marché = Valeur acuelle = = ( + ra ) Avec F es le flux de l acf fnancer (coupon, dvdende, amorssemen ) à l époque. Courbe des aux zéro-coupon Le calcul du aux de rendemen acuarel des acfs fnancers, e des oblgaons en parculer, présene l nconvénen de ne pas donner la même valeur de aux pour les dfférens acfs. Dans le cas des oblgaons, cela es dû prncpalemen à deux faceurs. Le premer faceur es que les nvessseurs demanden aux émeeurs prvés des prmes de rsque appelés spread de sgnaure qu compense le rsque de défallance propre à chaque émeeur (ce spread dffère donc d une oblgaon à l aure). Le deuxème faceur es la dépendance des aux de rendemen acuarels des échéances des oblgaons correspondanes. En fa même s nous lmons l analyse aux empruns d Ea, ous denque en erme de rsque, nous 8

125 consaons encore des dfférences enre les aux de rendemen acuarels de dfférens res. Il faudra ulser un aux d acualsaon dfféren pour chaque échéance. Le seul cas ou le aux de rendemen acuarel observé correspond sans ambguïé à une seule mauré es le cas où l n y a qu un seul flux de résorere. Ce cas exse pusqu l correspond aux res ds oblgaons zérocoupon pour lesquels les nérês son versés en une seule fos au momen de l échéance fnale e unque. L observaon des prx des zéro-coupon permera donc de bâr une courbe des aux zérocoupon. Cee courbe exse, mas en praque elle es obenue par des moyens dfférens compe enu de la fable lqudé des zéro-coupon exsans sur le marché. La courbe zérocoupon es égalemen appelée srucure par erme des aux, ou encore courbe des aux spo. Valeur acuelle nee des acfs oblgaares En praque l n es pas nécessare de calculer la valeur acuelle des acfs oblgaares, pusqu l es plus smple d observer leur valeur de marché. Cependan, dans le cas des oblgaons à aux fxe, la séquence des flux de résorere fuurs assocés à un re es parfaemen connue. Nous consdérons même généralemen que dans le cas des empruns d Ea, cee séquence es cerane e ne présene aucun rsque de défallance de l émeeur. A l ade de la srucure par erme des aux (noée r ) l es possble de reconsuer le prx d équlbre de l oblgaon sans n F rsque : Prx de marché Prx esmé = r Valeur acuelle des passfs = ( + ) Par analoge avec la valorsaon des acfs, la valorsaon des flux du passf se fa en se basan sur la courbe des aux zéro-coupon. Cee dernère, perme de enr compe de la mauré de chacun des flux pour lu arbuer un aux d acualsaon précs. De même, l faudra ajouer à cee courbe des aux sans rsque une prme de rsque (spread). Elle permera de reomber sur une «valeur de marché» des passfs. Le problème c es que le nveau réel de cee prme es nobservable sur le marché dans la mesure où les engagemens du passf ne s échangen pas régulèremen sur des marchés lqudes e organsés. En praque, le calcul de la valeur acuelle du passf peu êre réalsé avec une prme de rsque arbraremen chose, évenuellemen nulle. I- Adossemen des flux de résorere Il s'ag de la procédure d'mmunsaon la plus smple e la plus ancenne. Elle consse à nvesr la rchesse nale dans un porefeulle de res (le plus souven des zéro-coupons) qu produsen exacemen, e aux échéances prévues, les flux du passf. Auremen, lorsque sur chaque pérode les flux nes obenus (oal des enrées de flux oal des sores de flux) son oujours posfs ou nuls, l acf es d adossé au passf. Il es d exacemen ou parfaemen adossé s les flux nes son nuls. Les anglo-saxons parlen dans ce cas de méhode de cash flow machng. Une fos que ous les passfs son couvers par cee méhode, les acfs excédenares son alors consdérés comme lbres e représenafs de la 9

126 suaon nee réelle de la socéé (le shareholder surplus). Le même rasonnemen peu êre adopé dans le cas des régmes de rerae par réparon. En praque, l adossemen par les flux de résorere es oujours ulsé par les socéés avec la dfférence que les passfs peuven êre regroupés sur d aures crères que le seul «rendemen». En fa, les engagemens au passf des assureurs par exemple son généralemen répars par famlle de conras (en foncon des prx de reven, des aux de rendemen acuarels, de la durée des res ) appelés conons, pus les provsons correspondanes e les flux de résorere assocés son calculés. Cela perme oure l adossemen des flux de résorere, la bonne adéquaon des acfs en ermes de aux de rendemen fnancer e compable comparé au aux garan moyen du passf correspondan. L adossemen des flux de résorere es valable à rès cour erme, mas malheureusemen, elle ne rouve pas d'applcaons praques à long erme. En effe, les flux de l'acf e ceux du passf son rès nfluencés par des faceurs exernes, noammen les aux d'nérê. Ils son donc eux-mêmes suje à des varaons dans des sens dfférens, l mpore donc de réérer souven cee mmunsaon. I- Adossemen par la duraon Cee echnque consse à apparer les sensblés de l'acf e du passf vs-a- vs de la varaon des aux d'nérê. En d'aures ermes, elle consse à défnr une sraége d'nvesssemen qu fa que la valeur de marché des acfs su ou mouvemen de la valeur acuelle des engagemens. L'mmunsaon par la duraon défn un porefeulle don la valeur, au premer ordre, évolue comme la valeur acuelle des engagemens. La règle de décson dans cee echnque es basée sur l'ndce de «sensblé», défn par Macauley [938]. Il es obenu à parr de la formule de développemen lme de Taylor du prx en foncon du aux d'nérê. Pour un re, don les caracérsques conracuelles son déermnées ndépendammen du mouvemen des aux, la sensblé es exprmée comme la varaon relave de cee valeur ndue par une varaon nfnésmale de aux d nérê. - La sensblé de l acf : Nous reprenons l expresson smplfée de la valeur acuelle d une oblgaon à aux fxe en foncon du aux d acualsaon acuarel r a : VA r ( ) a = n F ( r ) = + La varaon de la valeur acuelle pour une pee varaon du aux d acualsaon es donnée par le calcul de la dérvée premère : a dva r dr ( ) a = VA' ( r ) a = n = F ( + r ) a + Cee dérvaon n a de sens que s les flux F son fxes par rappor à r. 0

127 La sensblé es ans donnée par l expresson suvane : sensblé = dva r ( ) a VA dr = VA n = F ( + r ) a + Lorsque les flux de résorere son ous posfs, la sensblé de la valeur acuelle aux varaons du aux d acualsaon es nécessaremen négave. Cela es effecvemen le cas pour les oblgaons don la valeur de marché croî quand les aux bassen e récproquemen. La sensblé es appelée auss duraon modfée. - La duraon de l acf La duraon elle que défne par Macaulay [938] es donnée par l expresson suvane : duraon = n n ( ra ) = + = + n = F F ( + r ) a = ( ra ) ( ) VA r F a Avec F une sére de flux fxes. La duraon peu s nerpréer comme la durée de ve moyenne de l oblgaon. En fa, chaque F durée éan pondérée par la valeur acuelle du flux correspondan. Elle peu ( ) + ra s nerpréer auss comme l élascé du prx de l oblgaon par rappor aux varaons des aux. C es la défnon de Hcks [946] qu rele la sensblé à la duraon : ( a ) ( ) dva r ( a ) ( ) dva r duraon = VA ra VA ra = ( + ra ) dra dra = + r a ( + r ) sensblé La duraon s nerprèe auss comme la dae à la quelle les deux effes de la varaon des aux, effe sur la valeur e effe sur le revenu, se compensen. Elle es compable avec une srucure par erme des aux à condon de se lmer aux varaons parallèles des courbes de aux. Auremen, la varaon de aux dr do s applquer d une façon unforme à la courbe des aux (chaque r deven r + dr ) ce qu correspond ben à une ranslaon unforme de la courbe des aux. La duraon s exprme dans ce cas comme su : n F n F ( ) = + r = ( + r ) duraon = = n F VA r = ( + r ) ( ) a

128 S nous éendons la noon de la duraon à des flux varables (oblgaons à aux varables par exemple), nous pourrons dans cerans cas obenr la relaon c dessus enre la duraon e la ' F r son connues), mas la dfférence c es que la duraon sensblé (an que les dérvées ( ) n es plus assmlable à une durée moyenne. a La duraon peu êre négave s cerans des flux son négafs. La sensblé dans ce cas es posve : la valeur acualsée de la séquence examnée augmene quand les aux augmenen e nversemen. La duraon d une oblgaon zéro coupon es égale à la durée de cee oblgaon. Le calcul de la duraon d un porefeulle s effecue par ros méhodes : La premère consse à déermner la moyenne des duraons pondérées par la valeur de marché des res correspondan (coupons courus nclus). L nconvénen de cee méhode c es qu elle ne peu avor de sens que s les aux acuarels de ous les res éaen denques, ce qu ben enendu n es jamas le cas. La deuxème méhode consse à cumuler ous les flux de résorere du porefeulle e à calculer un aux de rendemen acuarel unque en foncon de la valeur de marché oale, coupon courus nclus. Il es ensue possble de calculer une duraon globale pusque la formule de calcul es valable à oue séquence de flux fxes. La rosème méhode es la plus rgoureuse. Elle consse à calculer la valeur acuelle e la duraon de chaque re avec une courbe des aux commune, pus à calculer la moyenne pondérée par les valeurs acuelles e non pas par les valeurs de marché. C es héorquemen la melleure soluon, car chaque flux de résorere es acualsé avec le aux qu correspond à sa mauré. En praque, la dfférence obenue enre les dfférenes méhodes de calcul de la duraon d un porefeulle n es pas sgnfcave. Par alleurs, nous pouvons éendre la noon de duraon à d aures acfs non oblgaares malgré qu ls son plus ou mons sensbles à la varaon des aux noammen les acons. Pour ces derners le calcul de la duraon peu êre effecué dans le cadre du modèle Gordon- Shapro [956] (qu perme d analyser le prx d une acon comme éan l acualsaon de la sére des dvdendes projeés) ou ou smplemen dans le cadre de la régresson des prx de marché par rappor aux varaons de aux. Les acfs e les passfs condonnels ne doven donc pas fare l obje de calculs élémenares d adossemen en duraon. Pour accomplr une mmunsaon par la duraon, l'nvessseur do acquérr des res don la duraon moyenne es égale à la duraon des flux du passf. La noon de sensblé es un ndcaeur de l exposon au rsque de aux par la Valeur Acuelle Nee (VAN) de la socéé. En fa, à parr de la relaon suvane : VAnee = VAacf VApassf nous pouvons exprmer l exposon de la VAN au rsque de aux comme su : dvanee dr = dvaacf dr dvapassf dr

129 S nous consdérons le cas où la VAN nale es égale à zéro, e où la sensblé de l acf e du passf son denques, alors la varaon de aux es sans nfluence sur la VAN : dvanee = 0 dr Nous parlons dans ce cas de l mmunsaon du rsque de aux. En effe, la VAN deven nsensble, snon à oue varaon de aux, du mons à une pee varaon parallèle de la courbe des aux. Ce effe es obenu en algnan les sensblés de l acf e du passf. Nous noons égalemen que : - Plus la duraon es élevée plus le rsque es grand e plus son prx es sensble aux varaons du aux de marché. - Plus le coupon es fable, plus la sensblé es élevée. - Nous couvrons sysémaquemen le passf par une oblgaon de durée plus longue (car la duraon es nféreure à la durée sauf pour le cas des zérocoupon). - En cas de basse des aux, le gan réalsé sur la valeur de l oblgaon es supéreur à la pere encourue sur le passf. - L mmunsaon en duraon d un porefeulle n es parfae que s elle es réalsée avec des nsrumens zéro-coupon. Elle ne en pas compe de la forme de la courbe des aux, n de ses déformaons, n de sa dynamque. - Lmes de l adossemen par la duraon Ils exsen deux lmes prncpales des ndcaeurs c-dessus : - Le domane d ulsaon de ces conceps es lmé aux varaons parallèles de la courbe des aux. - Les calculs de la duraon e de la convexé ne garden leurs sgnfcavé que pour des flux fxes, ndépendans des aux de marché. La premère lme n es pas sans conséquence mas elle n nvalde pas oalemen l analyse du rsque de aux. En effe, les varaons parallèles de la courbe des aux représenen la prncpale source de rsque pour la plupar des porefeulles oblgaares (résulas obenus par des analyses sasques de la varance des aux en composane prncpale). En revanche, la deuxème lme (flux fxes) es rès conragnane pour l analyse des passfs comprenan des opons complexes exercées par les clens (el que l opon de racha de l épargne). L exercce de cerans de ces opons dépend foremen de l évoluon des aux sur le marché. Pour le cas d opon de racha, une augmenaon des nveaux de aux a pour conséquence évdene la hausse des nveaux de rachas afn de profer de placemen plus renable sur le marché. En praque, nous fasons souven l hypohèse que pour de pees varaons des aux de marché, les flux de résorere lés au passf resen fxes. Les calculs de 3

130 sensblé e de duraon on alors une valdé «locale» don l nérê es cependan lmé pour l adéquaon acf-passf. Par alleurs, l'mmunsaon par la duraon requer un rebalancemen pérodque du porefeulle en réesman à chaque fos la duraon du passf, celle-c change connûmen du fa du changemen des aux d'nérê e de l'écoulemen du emps. Lorsque nous ulsons une sraége avec une duraon consane à chaque rebalancemen, nous rsquons de se rouver dans des suaons de redondance ou de défc. Le prncpal nconvénen rese l'hypohèse de changemens parallèles dans la srucure des aux. Pour lever parellemen ce nconvénen, nous pouvons ulser le deuxème erme du P = f. Nous nrodusons alors la noon de convexé. développemen lme de la foncon ( ) - La convexé de l acf r La sensblé perme de raer de la varaon du cours des oblgaons par rappor aux pees varaons parallèles de la courbe des aux. Mas lorsque la varaon des aux es fore, l erreur obenue en mesuran la varaon relave du cours par la droe angene deven mporane. Nous fasons donc recours au développemen de Taylor du second ordre pour amélorer nore esmaon de la varaon de la valeur VA : VA VA' r + VA" r! Formule où VA ' e VA " représenen respecvemen la dérvée premère e la dérvée seconde de VA ( r ). En dvsan par VA, Nous obenons : VA VA' VA" r + r VA VA! VA L expresson de la convexé es la suvane : n VA" F ( ) ( ) convexé = = + VA VA + r = ( + r ) Avec cee défnon, l approxmaon de la valeur acuelle du cours de l oblgaon es la suvane: convexé VA VA sensblé r + ( r) Comme la duraon, la convexé es compable avec l analyse de la srucure par erme des aux. Nous pouvons écrre : n F convexé = ( + ) + VA = ( + r ) Comme pour la duraon cee exenson n es valde que pour des varaons parallèles de la courbe des aux. Lorsque les flux de résorere son ous fxes e posfs, la convexé es posve. Quel que convexé so le sens de la varaon du aux d acualsaon, le erme ( r) nerven posvemen dans la varaon du cours. Il es donc, habuel de consdérer qu une convexé supplémenare lée à la dsperson des flux de résorere es «la benvenue». 4

131 L'nsuffsance de l'ndce de «duraon», comme mesure de sensblé, dans le cas sysémaque où les flux son sensbles aux varaons de aux a éé la movaon majeure du développemen d aures approches (don les modèles basés sur le surplus e les echnques de smulaons). Le bu es de fournr un ndce de «sensblé» plus adapé au cas des flux sensbles aux varaons de aux. II- Modèles basés sur le surplus Ces modèles son basés sur la noon du surplus S qu es souven défn comme éan la dfférence enre la valeur de marché des acfs e la valeur acuelle du passf. Dans la sue, nous llusrons ces modèles va ros approches : celle de Km e Sanomero [988], Sharpe e Tn [990] e Lebowz [99]. Une quarème approche permean de ler smulanémen les noons du surplus e de la duraon sera égalemen présenée. II- Modèle de Km e Sanomero [988] Ce modèle donne plus d mporance aux condons spécfques à l enreprse concernée. Celles-c son représenées par un rao d effe de lever : «surplus/valeur de marche nale de l acf». Il s applque aux porefeulles consués de pluseurs classes d acfs. Le bu du modèle es de mnmser le rsque de pere du surplus (mesuré par la varance de la renablé du surplus) sous conranes de renablé e de pods des acfs. Formulaon héorque La noon de renablé du surplus ulsée es la varaon relave du surplus sur la pérode (année par exemple) : S S0 R S = S0 avec le surplus nal S0 e S le surplus fnal. Nous consdérons un porefeulle avec M classes d'acfs rsqués e un passf évalué en valeur = R, acuelle. Le veceur des renablés aendues es : R [ A R P ] ( M +,) ( R A ) représene le veceur renablés des acfs. M R P la varaon relave de la valeur acuelle du passf. Le veceur des pods es noé : w = [ wa, w P ] Le pods de l acf es mesure par la valeur de marché nale de ce acf dvsée par la valeur nale du surplus. A0 wa = pods de l acf. S0 P0 w P = pods du passf. S0 Nous vérfons que la somme des pods es égale a un. La renablé du surplus es donc : R = w' R + w S A A P R P 5

132 Ce modèle dépend d un rao S 0 k 0 = appelé rao de solvablé nal. A0 Nous vérfons que k0 = avec rf 0 le rao de fnancemen nal (valeur de marché des rf 0 acfs dvsée par la valeur acuelle du passf). Ce modèle perme d obenr une fronère effcene en ulsan la même démarche que Markowz [95] : mnmser la varance de la renablé du surplus σ s pour un nveau de renablé du surplus donné avec une conrane sur les pods (somme des pods égale a un). Noaons Dans leurs ravaux, Km e Sanomero [988] ulsen les noaons suvanes : A = e' V C = e' V F F 0 = R' = V A A A ' AP V V R e A A A V V > AP AP 0 > 0 B = R' F A = e' V V A A D = BC A V R AP A > 0 > 0 Avec : e ' = (,..., ) V A la marce covarance des acfs V le veceur covarance enre les acfs e le passf. AP Equaon analyque de la fronère effcene Le couple soluon du problème vérfe la relaon suvane, cee relaon es l équaon d une hyperbole dans le repère écar-ype du surplus/renablé du surplus (cf. graphque 3) : R S = R SM ± C [ DC( σ σ )] / S SM R SM e σ SM son les caracérsques du porefeulle de varance mnmale (Coordonnées du somme de l hyperbole). R R SM SM A k C C k k = ( CF AF ) RP ( ( ) ) Var R + p F F k0 C k0 k0 = La pare supéreure de l hyperbole représene une fronère effcene qu dépend du nveau du rao k 0 (solvablé de l'enreprse). 6

133 Renablé espérée du surplus 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 30 % Volalé du surplus Fg. 3 : Fronère effcene (Km&Sanomero) Conrane de défc Nous supposons que le veceur des renablés R = [ RA,RP ]( M +, ), es gaussen (la varable renablé du surplus su donc une lo normale). Nous nrodusons la conrane de défc suvane : «La probablé pour que la renablé du surplus so nféreure à un ceran seul ne do pas dépasser une probablé donnée». Ce qu reven à lmer la probablé de pere d une pare du surplus nal. Cee conrane es représenée par une droe de défc dans le repère (écar-ype de la renablé du surplus, renablé du surplus espérée). L nersecon enre cee droe e la fronère effcene donne le porefeulle effcen vérfan la conrane (cf. graphque 3). Renablé espérée du surplus 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 30 % -5 % Volalé du surplus Droe de défc Fronère effcene Fg. 3 : Fronère effcene e conrane de défc (Km&Sanomero) 7

134 Nous pouvons auss, en ulsan les echnques de Roy [95], chercher le porefeulle effcen qu mnmse la probablé de perdre un pourcenage du surplus nal. Cee approche a deux avanages : La prse en compe de la corrélaon enre la valeur de marché de l'acf e la valeur acuelle du passf L nroducon d une relaon enre la solvablé de l'enreprse e l'allocaon opmale d'acfs. II- Modèle de Sharpe e Tn [990] Ce modèle s applque auss à un porefeulle composé de pluseurs classes d acfs. Le passf es évalué en valeur acuelle e l acf en valeur de marché. Il es basé sur la noon de surplus S défn comme éan la dfférence enre la valeur de marché des acfs e la valeur acuelle du passf. Le bu du modèle es de mnmser le rsque de pere du surplus (mesuré par la varance de la «renablé du surplus») pour un nveau de «renablé du surplus» donné e sous un ensemble de conranes (même démarche que Markowz [95]). La noon de renablé du surplus ulsée es la varaon du surplus dvsée par la valeur nale des acfs : S S0 R S = A0 L ensemble des porefeulles vérfan ce programme d opmsaon pour dfférens nveaux de renablé espérée, décr une hyperbole dans le repère (rsque mesuré par l écar ype de la renablé du surplus, renablé espérée du surplus). La pare supéreure de cee hyperbole représene la fronère effcene. Formulaon héorque Le porefeulle es composé de n acfs rsqués de renablé R ( =,...,n) La sraége d nvesssemen es donnée par le chox du porefeulle ( x ),..., n n = R A p x = n ( x) = = x R : la renablé du porefeulle des acfs. R : la varaon relave de la valeur acuelle du passf. rf 0 : rao de fnancemen nal Rs ( x) = RA ( x) RP : la renablé du surplus. rf [ cov( R, )] R j 0 V = la marce de varance covarance supposée régulère, ( cov( R, R P )) ( E( R )) (,..., ) δ = le veceur des covarances enre les acfs e le passf, µ = le veceur des renablés espérées des acfs, e = : le veceur uné ransposé * x : Porefeulle opmal, mn x : Porefeulle a varance mnmale, = avec x = 8

135 Les porefeulles effcens Le porefeulle * mn * x = x + λz * x soluon du problème d opmsaon es donné par la relaon suvane : λ dépend du nveau de renablé du surplus. V e e' V x mn δ = + V δ V e représene le porefeulle a varance mnmale. e' V e rf 0 e' V e e'v z * µ = V µ V e e'v e La fronère effcene En remplaçan le porefeulle effcen par son expresson, nous obendrons les deux équaons suvanes : * * mn Var R x = λ Var R z + Var R x ( s ( ) ( A ( ) ( s ( ) * * mn E ( R ( x ) = λ E( R ( z ) + E( R ( x ) s A En élmnan le λ dans les deux équaons, nous obenons l équaon d une hyperbole. La pare supéreure de cee courbe représene la fronère effcene dans le repère (volalé du surplus, renablé aendue du surplus). Conrane de défc «La probablé pour que la renablé du surplus so nféreure à un ceran seul ( u ) ne do pas dépasser une cerane probablé ( p )». S nous supposons que le veceur des renablés es gaussen, la varable aléaore renablé du surplus su une lo normale. La conrane de défc se radu par l équaon de droe suvane dans le plan (volalé du surplus, renablé espérée du surplus) : N( 0, ) E( RS ) = qp * σ S + u N ( 0, ) q : représene le quanle de la lo normale cenrée rédue assocé à la probablé -p. P L nersecon enre la droe de défc e la fronère effcene donne le porefeulle effcen de renablé maxmale e vérfan cee conrane. Remarque: Une conrane de défc sur le rao de fnancemen Le rao de fnancemen à l nsan fnal (grandeur nconnue) es donné par la relaon suvane : + RA ( ) ( x) rf x = rf 0 + RP La conrane de défc es la suvane: «la probablé pour que le rao de fnancemen fnal so nféreur à 00 % ne do pas dépasser une cerane probablé p». Cee conrane se radu par l équaon de droe suvane : N ( 0, ) E( R ) = q + S P σ S rf 0 S 9

136 Les courbes obenues dans ce cadre (cf. graphque 33) auron ans la même allure obenue dans le graphque précéden (avec le modèle de Km&Sanomero). 5 % Renablé espérée du surplus 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 30 % -5 % Volalé du surplus Droe de défc Fronère effcene Fg. 33 : Fronère effcene e conrane de défc (Sharpe &Tn) II-3 Modèle de Lebowz [99] Ce modèle s applque à un porefeulle composé de deux acfs: acons e oblgaons. Il consse à déermner d une par le pourcenage d acons e d aure par la «duraon» de la composane oblgaare qu permeen de maxmser la «renablé du surplus» e donc la renablé du porefeulle ou en respecan des conranes sur l acf e le passf. Ces conranes son modélsées en probablé «d nsuffsance» e concernen des grandeurs e des renablés exprmées en valeur de marché ou valeur acuelle. a - Hypohèses e noaons : R A : renablé des acons (su une lo normale). R A : renablé aendue des acons. σ A : volalé des acons, écar-ype de la renablé RA. R : renablé des oblgaons (su une lo normale). O R O : renablé aendue des oblgaons. σ O : volalé des oblgaons, varable endogène au modèle. ρ : corrélaon ( R, R ) A O R pf : renablé du porefeulle (su une lo normale de moyenne R pf ). R = αr + α R pf A ( ) O α : pourcenage d acons. σ : volalé du porefeulle. σ α σ + ( α ) σ + α( α ) σ σ ρ pf pf = a 0 A O 30

137 R P : Varaon relave des valeurs acuelles du passf. rf 0 : Rao de fnancemen nal (valeur de marche nale de l acf dvsée par la valeur acuelle nale du passf). D : duraon des oblgaons. 0 La volalé de la composane oblgaare es supposée proporonnelle à sa duraon. σ = auxan 0 D0σ auxan σ : écar-ype du aux d nérê pour les empruns an. Les oblgaons de oues les maurés fournssen le même rendemen. La renablé du surplus : mesure de rsque acf / passf La renablé du surplus es représenée dans ce modèle par le rappor enre la varaon du surplus e la valeur acuelle nale du passf. S S0 R S = P S 0 le surplus nal, S le surplus fnal e P 0 la valeur acuelle nale du passf. En décomposan l expresson du surplus, la renablé du surplus deven : R rf * R R b - La conrane sur l acf «La probablé pour que la renablé du porefeulle d acfs so nféreure à un ceran seul ne do pas dépasser une probablé donnée» P R pf < u' < p 0 ( ) ' La probablé d nsuffsance p ' e le seul crque u ' son fxes arbraremen selon la olérance au rsque de l nvessseur. Cee conrane dans le plan rsque/renablé espérée es caracérsée par une droe de «défc». (Tous les porefeulles au dessus de cee droe vérfen cee conrane). S = 0 pf P c - La conrane sur le surplus R pf = u' +σ pf * q N ( 0, ) p' «La probablé pour que la renablé du surplus so nféreure a un ceran seul (u) ne do pas dépasser une probablé donnée ( p )». P R S < u < ( ) p Nous supposons que R pf e R P son normalemen dsrbuées, e que oue combnason lnéare de ces deux varables aléaores es auss normalemen dsrbuée ( R pf N ( R pf, σ pf ) e R N ( R P σ )). P, P Nous avons donc : R ( R S σ ) S N, S 3

138 De la même façon que la conrane de «défc» sur l acf, nous dédusons l néquaon suvane : N ( 0, ) u + σ q < RS Démarche héorque : La fronère de la courbe qu décr cee conrane es caracérsée par : N ( 0, ) u + σ q = RS S S P P S pf R S P = rf * R σ = rf * σ + σ * rf * σ pf R pf P * σ * Corr P ( R, R ) pf p L équaon de la fronère deven après subsuon des expressons c-dessus : rf α σ + rf α α σ ρ rf α σ σ [ ( ) ] ( ) ( ) rf 0 [ A P ] ( α R A + ( α ) R O ) R P u q N P ( ) σ α σ + ασ σ ρ = 0 0 P rf A rf, A P Les seules nconnues resanes son le pourcenage d acon α e la volalé de l oblgaon à déenr dans le porefeulleσ 0. Pour un α donne, cela reven à résoudre une équaon du second degré enσ 0. La condon de posvé sur le dscrmnan de cee équaon perme d obenr un ensemble de valeurs de α à parr desquelles nous calculons les σ 0 correspondans. Grâce aux valeurs de ces deux varables, nous reconsuons un ensemble de porefeulles de coordonnées ( σ, R 0 pf pf ) dans le repère rsque/renablé don les surplus assocés vérfen la conrane de défc. La conrane sur le surplus es représenée par une courbe convexe en forme d œuf. d - Porefeulle opmal vérfan les deux conranes La pare supéreure à la droe de défc e à l néreur de «l œuf» représene ous les porefeulles qu vérfen les deux conranes. Le porefeulle nersecon de la droe e de * * «l œuf» de surplus, de caracérsques R pf e σ pf, correspond au porefeulle de renablé espérée la plus grande qu rempl les deux demandes de «défc». La par opmale d acons à déenr en porefeulle : * α = R pf R O R A R O La volalé opmale des oblgaons à déenr en porefeulle : * σ * O = * * ( σ ) + ( α ) σ ( ρ ) pf A * α * α σ A ρ 3

139 e- L mpac des changemens des paramères Varaon du seul de renablé de l acf : Les changemens du seul de renablé de l acf enraînen des changemens parallèles de la droe de défc comme le monre le graphque suvan : Renablé espérée % Rsque % Fg. 34 : Exemple de l mpac de la varaon du seul de renablé de l acf Varaon de la probablé de défc de l acf : La pene de la droe de «défc» cro lorsque la probablé p dmnue, alors que le pon d nersecon de cee droe avec l axe des ordonnées rese fxe (cf. graphque 35). Renablé espérée % Rsque % Fg. 35 : Exemple de l mpac de la varaon de la probablé de défc de l acf 33

140 Varaon du seul de renablé du surplus : Lorsque le seul de renablé du surplus augmene, la alle de l œuf dmnue e la renablé du porefeulle opmal auss (pour une conrane fxe sur l acf). Cela es llusré dans le graphque suvan : Renablé espérée % Rsque % Fg. 36 : Exemple de l mpac de la varaon du seul de renablé du surplus Varaon de la probablé de défc du surplus : L œuf de défc vare de la même façon que précédemmen. Varaon du rao de fnancemen nal : Plus le rao de fnancemen nal dmnue, plus l œuf de défc réréc e se déplace vers la droe (cf. graphque 37). Renablé espérée % Rsque % Fg. 37 : Exemple de l mpac de la varaon du rao de fnancemen nal 34

141 f- Conrane sur la renablé relave par rappor à un benchmark «La probablé pour que la renablé du porefeulle d acfs so nféreure d un ceran seul à la renablé du benchmark ne do pas dépasser une cerane probablé». " P R < u = p R rel ( ) " rel : La renablé relave, c es l écar enre la renablé du porefeulle d acfs e la renablé du benchmark. Le benchmark consdéré es composé de deux acfs : acons e oblgaons. Le pourcenage en acons e la duraon de la composane oblgaare du benchmark son connus. Les renablés du porefeulle d acfs e du benchmark son données par : R = ar + a R R pf ben = br A A + ( ) O ( b) RO R A : La renablé de l acon qu es la même pour le porefeulle d acfs e le benchmark, R : La renablé de la composane oblgaare du porefeulle, O R O : La renablé de la composane oblgaare du benchmark, a : le pourcenage d acons dans le porefeulle, à déermner. b : le pourcenage d acons dans le benchmark, connu. La renablé relave a pour expresson : R = a b R La renablé relave espérée es donc : R rel = a b R rel ( ) A + ( a) RO + ( b) R O ( ) A + ( a) R O + ( b) R O Nous supposons que les deux oblgaons on la même renablé espérée ( R O = RO ): ( a b)( R A R O ) R rel = C es donc le produ de «l excès» d acons ( a b ) e de la prme de rsque. La varance de la renablé relave es donnée par : [( R ) ] rel R rel σ rel = E Avec l hypohèse de normalé, e en posan : corr ( A,O ) = corr( A, O ) = ρ nous obenons : σ = a b σ ρ + a b σ ρ + a σ rel ( ) ( ) [( ) ( ) ( b) σ ] A A O O Cee relaon donne une formule usuelle pour la varance de la renablé relave e perme de rouver des porefeulles qu renconren la conrane de défc. " " P ( Rrel < u ) = p Cee conrane se radu par la relaon suvane (hypohèse de normalé) : N (, ) R = u" + 0 σ rel q p" Les seules nconnues son le pourcenage d acons a e la volalé de l oblgaon à déenr dans le porefeulleσ O. Pour un a donné, cela reven à résoudre une équaon du second rel 35

142 degré en σ O. La condon de posvé sur le dscrmnan du rnôme perme d obenr un ensemble de valeurs de «a» à parr duquel nous calculons les σ O correspondans. Les valeurs de ces deux varables permeen de reconsuer un ensemble de porefeulles de coordonnées ( σ, R pf ) dans le repère rsque/renablé espérée vérfan la conrane de pf défc. L ensemble des porefeulles vérfan la conrane sur renablé relave décr une courbe convexe en forme d œuf comme le monre le graphque suvan : Renablé espérée 0 % E C 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 0 % 5 % 30 % Volalé Fg. 38 : Représenaon graphque des porefeulles vérfan la conrane sur la renablé relave L ensemble des porefeulles opmaux respecan les ros conranes de Lebowz se sue dans la zone grse. Les porefeulles effcens se suen alors sur l arc [CE]. Le porefeulle E correspond au porefeulle effcen répondan à la recherche d un rendemen opmal. Le pon C ndque un porefeulle effcen qu a un rsque nféreur. Pusque les prévsons de l nvessseur ne son jamas sures a 00 %, l es rasonnable de préférer un pon comprs enre E e C a la place d un pon exrême. g- Lme du modèle e es de robusesse Les lmes de ce modèle résden dans le fa qu l es basé sur des hypohèses rès fores : - la volalé de la composane oblgaare es proporonnelle à sa «duraon». - les oblgaons de oues les maurés fournssen le même rendemen. - les renablés son normalemen dsrbuées. Ce modèle économque ne respece pas les conranes règlemenares, echnques, e compables. Il suresme donc la capacé de prse de rsque. Pour eser la robusesse du modèle, nous fasons varer les hypohèses sur les enrées (corrélaon, volalé e renablés aendues) e nous mesurons l mpac de ses varaons sur le pourcenage d acons e la duraon de la composane oblgaare. h- Une varane du modèle de Lebowz Pour mesurer le rsque acf/passf, nous remplaçons la renablé du surplus par une mesure plus concrèe : la «renablé du rao de fnancemen». C es la varaon relave du rao de fnancemen sur la pérode consdérée. S nous noons rf 0 e rf les raos de fnancemen nal e fnal, la «renablé du rao de fnancemen» noée RRF es donnée par : 36

143 rf rf0 RRF = rf0 Cee mesure dépend unquemen de la renablé de l acf e de la varaon relave de la valeur acuelle du passf e ne dépend pas du rao de fnancemen nal. Nous noons : A à e A les valeurs de marché de l acf en débu e fn de pérode, P 0 e P les valeurs acuelles du passf en débu e fn de pérode, A A0 P P0 R pf = e R p = A P 0 0 Nous obenons : R pf R RRF = + R P P Nous pouvons négrer la renablé du rao de fnancemen dans l analyse d allocaon d acf sous forme de conrane de défc : «la probablé pour que la renablé du rao de fnancemen so nféreure a un ceran seul ne do pas dépasser une probablé donnée». Le seul de défc dépend conraremen à la RRF du rao de fnancemen nal. Nous modfons le modèle de Lebowz en remplaçan la conrane sur la renablé du surplus par la conrane sur la RRF. P ( RRF < u) < p Cee conrane es représenée par une courbe convexe. II-4 Duraon du Surplus Le surplus es la dfférence enre la valeur de marche de l'acf e la valeur acuelle du passf. Nous nrodusons les noaons suvanes : - A : valeur de marché de l'acf - P : valeur acuelle du passf - S = A P : surplus A - rf = : le rao de fnancemen P - r : le aux d'nérê A - D A = ( + r) la duraon de l acf A r P - D P = ( + r) la duraon du passf P r Nous défnssons la «duraon» du surplus de la même façon : S D S = ( + r) S r En remplaçan S par son expresson, nous obenons la formule suvane : SD = AD PD S A P 37

144 En dvsan cee expresson par le surplus S, nous obenons : Ceranes remarques peuven êre avancées : D S = D P + rf rf ( D D ) A P - Un adossemen par la duraon n'élmne pas le rsque de aux sur le surplus. En effe, la formule précédene donne une duraon du surplus égale à la duraon du passf lorsque le rao de fnancemen es dfféren de 00 % : D S = DA = DP. - La duraon de l'acf qu perme d'élmner le rsque de aux sur le surplus (duraon du * surplus nulle) es donnée par : DA = DP rf Pour un rao de fnancemen supéreur à 00 %, l'acf obenu es plus cour que le passf. - Lorsque le surplus es nul, la duraon du surplus n'es pas défne. - Nous pouvons représener graphquemen la duraon du surplus en foncon de la dfférence enre la duraon de l'acf e la duraon du passf. La courbe obenue es une droe qu radu ous les nveaux de rsque de aux sur le surplus en foncon de cee dfférence. Pour un rao de fnancemen supéreur à 00 % (pene de la droe posve), nous obenons la courbe suvane : D S D A -D P Fg. 39 : Exemple de la varaon de la duraon du surplus en foncon de l écar enre la duraon de l acf e celle du passf Noons que nous pouvons défnr de la même façon la «convexé» du surplus noée S nous noons respecvemen la formule suvane : C A e C S C S : S C S = S r C les convexés de l'acf e du passf, nous obenons P = C P + rf rf ( C C ) A P 38

145 Concluson du chapre L aspec mono-pérodque qu caracérse les dfférens modèles classques de geson acfpassf (que ce so celles basées sur les echnques d mmunsaon ou celles basées sur la noon du surplus) lme leur capacé à refléer de façon fable les perspecves d évoluon des dfférenes varables fnancères, en parculer sur le long erme. Cela deven d auan plus complqué que les varables à consdérer son plus nombreuses e que la nécessé de prendre en compe les corrélaons enre les dfférenes varables es plus mporane. Nous noons comme même que les modèles classques de la geson acf-passf, servan en parculer pour l allocaon sraégque d acf, éaen de lon l oul de référence sur le marché e ce depus les années 950. Les lmes que présenen ces modèles ans que le développemen des suppors nformaques au cours des années 980 on perms récemmen de passer vers d aures ypes de modèles : les modèles sochasques d'alm. Ces derners seron l obje du chapre suvan. 39

146 Chapre : Allocaon sraégque d acfs e sraége Fxed-Mx Les modèles sochasques d ALM ulsen les echnques de smulaon sochasque (Mone Carlo) pour modélser l évoluon des dfférens élémens, que ce so au nveau des acfs fnancers e des engagemens, ou au nveau des varables de marché e des varables démographques. Nous pourrons ans esmer les los de probablé assocées aux résulas du fonds de rerae sur le long erme. Un passage vers le cadre mul-pérodque es effecué. Dans un cadre d une allocaon sraégque sochasque, la revue de cerans récens ravaux peu êre ule. Frauendorfer [007] monre commen un crère moyenne-varance peu êre applqué dans un cadre mul-pérodque afn d obenr les porefeulles effcens d une geson acf-passf. Le modèle d opmsaon en compe des coûs de ransacon e des volalés sochasques auss ben des acfs que du passf. De plus, un oul général permean la projecon des engagemens du fonds de penson ans que la projecon des rendemens des acfs es présené. Dans une éape suvane, la dynamque de la srucure par mauré des engagemens (lably maury srucure) es modélsée comme un ndce personnalsé (cusomzed ndex) don la volalé e la corrélaon avec les rendemens de l acf devennen une composane négrale de l approche de changemen de régme applquée. Les résulas numérques llusren la dversfcaon des acfs e la relaon enre la varablé du rendemen e la dynamque des engagemens. Marelln [006] consdère le problème de sélecon de porefeulle dans un cadre neremporel, en présence de conranes sur le passf. En ulsan la valeur des engagemens comme un numérare naurel (naural numerare), l rouve que la soluon à ce problème ndu un héorème de séparaon en ros fonds. Cela consue une jusfcaon à ceranes praques appelées Lably-Drven-Invesmen (LDI), offeres par dfférenes banques d nvesssemen e des socéés de geson de porefeulle. La LDI se base sur l nvesssemen en deux ypes de fonds (en plus de l acf sans rsque) : le porefeulle de performance e le porefeulle de couverure du passf. Auremen, cee sraége consse à séparer le porefeulle en deux pares, don l une recour à l mmunsaon conngene e don l aure cherche le rendemen absolu. Pour cee seconde pare le conrôle de rsque passe mpéravemen par les méhodes de ess de sress capables d évaluer les rsques exrêmes. Warng [004] fa la revue, ou en les mean à jour, des dfférenes echnques de déermnaon des fronères effcenes de surplus ans que l allocaon d acf du surplus (surplus asse allocaon). L acualsaon de ces echnques se fa à ravers la prse en compe des caracérsques sysémaques (béa) e non sysémaques (alpha). Il développe ans une vson économque des engagemens, en ermes d'alpha e de béa. Cela nous donne une mesure des engagemens qu es plus néressane pour résoudre le problème d allocaon d acf e ce par rappor à ce qu es fourn dans les approches sandards. Avec ces ouls nous pouvons amélorer le conrôle des rsques pour les fonds de penson, à ravers le conrôle de la couverure du passf par les acfs. En plus, cee vson favorse, de façon approprée, le recours à l alpha e plus généralemen à la mesure du rsque dynamque provenan de la geson acve. Munk e al. [004] présenen la sraége opmale d allocaon d acfs pour un nvessseur qu peu nvesr en cash (monéare), en oblgaons nomnales e en acons (ou ndces d acons). Le modèle suppose le reour à la moyenne des rendemens des acons e des aux de rendemen réels aléaores. Le modèle de marché es calbré pour le cas des données 40

147 hsorques des Eas-Uns (acons, oblgaons e nflaon). En plus, afn d llusrer les allocaons d acfs opmales, Munk e al. [004] présenen une méhode de calbrage où les paramères d averson au rsque e les horzons d nvesssemen son esmés de façon à avor les recommandaons opmales pour dfférens groupes d nvessseurs : «agressf», «modéré» e «conservaf» à dfférenes horzons d nvesssemen. A ce nveau, nous nous proposons de dsnguer deux sous-groupes de modèles d ALM basés sur les echnques sochasques. L élémen clé de dsncon sera s ou ou non les pods des dfférens acfs revennen pérodquemen à ceux de l allocaon sraégque défne nalemen (s ou, les modèles seron appelés modèles à pods consans ou sraége Fxed- Mx). Pour le premer sous-groupe de modèles à pods consans e malgré les avancées réalsées avec ces echnques (surou au nveau de l mplémenaon nformaque), l aspec dynamque de l allocaon sraégque rese encore margnalsé. En fa, ces modèles permeen de comparer des allocaons consanes dans le emps (saques) ndépendammen des opporunés lées aux évoluons ner-emporelles des marchés (cf. Meron [990], Kouwenberg [00], Infanger [00], Dempser e al. [003]). L éude de l allocaon sraégque d acfs dans le cadre des modèles à pods consans es l obje de ce chapre. Le deuxème sous-groupe de modèles, e le plus récen, es prncpalemen nspré de la héore du chox de la consommaon e de porefeulle développée par Meron [97]. Il s ag des modèles d allocaon dynamque. Par exemple, à parr de la défnon de la foncon objecf pour l nvessseur, ces modèles permeen la déermnaon d une rajecore des pods des dfférens acfs jusqu à la dae d échéance (l ajusemen des pods es foncon des évoluons projeées du marché e de la règle de geson prédéfne). L allocaon sraégque reenue sera l allocaon opmale d acfs à la dae nale 0. Le cadre d ulsaon de ces modèles récens se heure au problème d mplémenaon vu la complexé des ouls mahémaques employés (cf. Hanau e al. [005], Hanau e al. [007], Rudolf e al. [004] e Yen e al. [003]). Dans ce chapre, nous consdérons une approche d allocaon sraégque d acfs basée sur la sraége de «à pods consans» ou Fxed-Mx. Nous proposons une modélsaon du régme-ype de rerae e éudons cerans crères d allocaon sraégque d acfs en foncon du ype du régme (provsonné, parellemen provsonné, ec.) son éudés. Nous passons ensue à l llusraon de la sraége Fxed-Mx avec une applcaon sur les réserves d un régme de rerae parellemen provsonné. Les résulas obenus son dscués e dfférens ess de sensblé son mses en place : ces ess son lés prncpalemen à l mpac des hypohèses de rendemen ou de corrélaon reenues (le graphque 40 llusre les éapes générales nécessares pour l aboussemen d un processus d ALM sochasque). Les dffculés renconrées lors de la mse en place de la sraége Fxed-Mx, dues essenellemen à la mulplcé du nombre de classes d acfs consdérées e au nombre de scénaros économques smulés, nous on mené à nous pencher sur les aspecs d opmsaon numérque. Le pon de dépar es nore consa d un emps de calcul sgnfcaf dû 4

148 smulanémen à un nombre élevé de scénaros économques générés e à un nombre d allocaons d acfs esées égalemen élevé. Dans ce cadre, une présenaon déallée des ravaux menés lors de la rédacon de l arcle de Rullère e al. [00] es effecuée. Un algorhme d opmsaon globale d une foncon non convexe e bruée es présené. L algorhme es consru après une éude de crères de comproms enre, d une par, l exploraon de la foncon objecf en de nouveaux pons (correspondan à des ess sur de nouvelles allocaons d acfs) e d aure par l améloraon de la connassance de celle-c, par l augmenaon du nombre de rages en des pons déjà explorés (correspondan à la généraon de scénaros économques supplémenares pour les allocaons d acfs déjà esées). Une applcaon numérque llusre la conformé du comporemen de ce algorhme à celu prévu héorquemen e compare les résulas obenus avec l algorhme de Kefer-Wolfowz- Blum (cf. Blum [954], Kefer e Wolfowz [95]). ACTIF PASSIF Allocaon d'acfs Allocaon d'acfs Défnon de scénaros echnques Modélsaon Fnancère Scénaros d'évoluon des marchés fnancers Jeu d'hypohèses sur les paramères echnques Scénaros d'nflaon, de aux d'nérê e de rendemens fnancers Flux de passf / Nveau des engagemens Modélsaon du régme Mesure, année après année : - du rao de couverure - du nveau de solvablé Analyse des endances e des rsques du marché Valdaon de la polque d'allocaon d'acfs e des flux de résorere Fg. 40 : Illusraon du modèle de geson acf-passf dans le cadre sochasque 4

149 I- Eude de l allocaon d acfs dans le cadre de la sraége Fxed-Mx I- Présenaon La geson à pods consans es une geson pour laquelle les pods revennen pérodquemen à ceux de l allocaon sraégque long-erme. Auremen d, à chaque fn de pérode de smulaon nous reconsuons le fonds géré (en effecuan les opéraons d achas/venes nécessares) de façon à respecer les proporons nales reenues par l allocaon sraégque. Cee approche es égalemen appelée règle de geson par «rebalancemen» ou Fxed-mx. Il s ag d une sraége d nvesssemen don le prncpe consse dans un rebalancemen pérodque des pods vers des nveaux cbles, correspondans à ceux de l allocaon sraégque opmale. Cee sraége repose mplcemen sur le prncpe suvan : à l ssue de chaque sous-pérode e lors du rebalancemen, la pare des acfs qu a éé la plus performane duran cee souspérode es vendue sue à l augmenaon de son pods par rappor aux nveaux cbles de l allocaon sraégque. Elle es donc vendue à un prx consdéré comme «élevé». L aure pare des acfs va êre, quan à elle, acheée à un prx «pas cher» : son rendemen éan relavemen plus fable sur la sous-pérode consdérée. Nous convergeons fnalemen vers une composon du porefeulle denque à celle de l allocaon sraégque cble (cf. Zenos [007]). Cela consue un pon for de cee sraége. Les propréés héorques de la sraége Fxed-Mx son par exemple dscuées dans Meron [990], Dempser e al. [003], Infanger [00], Brnson e al. [99] e Kouwenberg [00]. Il s ag d une sraége d une grande mporance en praque pusqu elle es souven ulsée pour le chox d un porefeulle de référence appelé benchmark : ce derner perme de juger la performance des gérans. Pluseurs éudes on éé dédées à l évaluaon de la conrbuon de la geson acve des acfs (arbrages sur de coures pérodes) dans la performance globale du porefeulle (cf. Brnson e al. [99]). Les résulas emprques monren la fable valeur ajouée de la geson acve e confrmen l mporance du benchmark (e donc l mporance de la sraége Fxed-Mx qu défn ce derner) dans le processus de geson (cf. Blake e al. [999], Brnson e al. [99]). La combnason de la sraége Fxed-Mx avec un modèle d ALM sochasque dédé à un régme de rerae ypque en France sera l obje de l éude suvane. Le GSE ulsé es celu décr dans la pare I de ce raval. I- Applcaon Lors de cee applcaon nous présenons une modélsaon du régme-ype. Deux éudes son égalemen menées : une premère éude sur des crères d opmsaon pouvan êre consdérés e une deuxème éude sur la queson du aux d acualsaon des engagemens d un régme de rerae. Ensue, nous présenons les hypohèses e la méhodologe reenues. Les résulas obenus son enfn dscués. 43

150 I-- Modélsaon du régme-ype Cee sous-secon a pour obje de présener une proposon de modélsaon des flux fnancers fuurs dans le conexe de la geson à long erme d une réserve. I--- Noaons Dans la sue, nous ulserons les noaons suvanes : n le semesre ; ( ρn ) n 0 rendemen (a pror aléaore) sur la pérode [, [ la sue des rendemens (nes de fras) de l acf du régme où ρ n désgne le n n + ; ( pn ) la sue des presaons désnflaées où n 0 presaons à verser au re de la pérode (semesre) [, [ ( cn ) la sue des cosaons désnflaées où n 0 cosaons à recevor au re de la pérode [, [ ( ) ( x n ) n 0 p n représene le monan des n n + ; c n représene le monan des n n + ; la sue des faceurs d ndexaon de la grandeur x désnflaée avec x = c, p selon que nous consdérons les faceurs d ndexaon des cosaons ou des presaons ; ( x) l ndcaeur de paemen de la sue assocée à la grandeur x : ( ) 0 ( ) cosaons relaves à la pérode [ [ son versées en n +. I--- Modélsaon = s les n, n + son versées en n, = s elles L obje de ce paragraphe es de précser les grandeurs qu devron êre suves afn de consrure les ndcaeurs / crères permean de réalser l allocaon sraégque d acfs. À ce sade de l éude, l ne s ag ouefos pas de précser quels pourron êre ces ndcaeurs e ces crères.. Dynamque du régme Du pon de vue compable, le monan de la réserve oale évolue selon la dynamque suvane : ( ρ ) R = R + c p + + c p ( c) ( p ) ( c) ( p ) n+ n ( c ) n ( c ) n ( p ) n ( p ) n n ( c ) n + ( c ) n + ( p ) n + ( p ) n + Voc un exemple de forma d almenaon des données de la maquee d ALM : 44

151 Pérode Flux de cosaons Acf Crculan c p D c - c D 3 3 p D c D 4 D 4 4 p D 3 3 c D 5 D 5 D p D 4 4 p 5 Tab. 8 : Illusraon du modèle d almenaon des données de la maquee d ALM - c : cosaon oale reçue à la dae. - p : presaon oale payée à la dae. - D j : dro acqus exgble à la pérode j au re des cosaons passées cumulées jusqu à la pérode (auremen socks à des dros acqus e exgbles en j). Suv compable Le suv compable do permere de reconsuer, à chaque débu e fn de pérode, le blan du régme. Celu-c es composé : - à l acf : de la valeur compable des acfs fnancers ; d une évenuelle créance (nee) envers des débeurs au re des cosaons à percevor ; des aures acfs non-echnques ; de la résorere ; - au passf : de la valeur compable de la réserve ; des provsons echnques complémenares ; d une évenuelle dee (nee) envers ; des aures passfs non-echnques (ex ransfer, fras de geson admnsraves fuures ec.). Par alleurs, le rendemen compable de l acf du régme éan consué : - des varaons de surcoe-décoe des res oblgaares, - des ombées de coupons des res oblgaares, 45

152 - des ombées de dvdendes des acons e des OPCVM, - des loyers des nvesssemens mmoblers, - de la rémunéraon de la résorere, - de la réalsaon des plus/mons-values laenes.. Suv de la résorere Sur chaque pérode, le beson en résorere es obenu comme éan le solde enre : - d une par les presaons payées sur la pérode e les fras sur la pérode ; - d aure par les cosaons perçues sur la pérode e les revenus des acfs fnancers (y comprs nérês provenan d évenuelles créances sur l Éa e les collecvés) avan ou désnvesssemen / nvesssemen. S l es posf, le beson en résorere perme de défnr le nveau mnmal de réalsaons d acfs à effecuer pour êre capable de payer les presaons.. Suv de la valeur Il s ag c d effecuer, à chaque débu e fn de pérode, un blan «économque» du régme en valorsan chacun de ses poses, non plus selon les méhodes compables qu s y applquen mas selon des méhodes économques. En praque, les prncpaux poses mpacés son : - les acfs fnancers qu son valorsés à leur prx de marché ou selon une méhode marke-conssen pour les acfs non coés sur un marché lqude e acf ; - l engagemen du régme au re des dros acqus évalué selon une approche Solvablé II (bes esmae + marge pour rsque) ; - l engagemen du régme au re des dros fuurs (s les condons fuures du régme son déséqulbrées). Ces deux derners pons ne pourron ouefos êre apprécés que selon la dsponblé des données sur la dsncon enre les dros acqus e les dros fuurs. Nous supposerons que ces nformaons ne son pas dsponbles à ce sade. Dans le cadre de la défnon des npus des modèles développés, l convendra ouefos de dsnguer la populaon en groupe fermé (en y dsnguan les reners acuels e les reners fuurs) e les nouveaux enrans. Pour l éablssemen des prncpes de cee compablé «économque», la référence aux modèles IFRS e Solvablé II pourra êre ulsée pour jusfer des méhodes e défnr un cadre. I-- Eude des crères d allocaon Nous vsons, dans ce qu su, à formalser e à synhéser cerans crères (qu peuven servr en an que conranes ou en an qu objecfs (c es-à-dre la foncon à opmser) pour un 46

153 régme de rerae. Pour mémore, l allocaon sraégque do permere sur dfférens horzons d opmser la foncon objecf, en respecan l ensemble des conranes e en enan compe des règles de geson. Une foncon «objecf» es ans à défnr. Elle reflèera le «budge de rsque» de l nvessseur. La forme générale de cee foncon sera la maxmsaon de la valeur d un ndcaeur de performance sous conrane que la valeur d un ndcaeur de rsque so nféreure à un plafond. La valeur généralemen ulsée dans un cadre d éude d ALM fnancère es celu du rao de fnancemen : l s ag du rappor à un nsan donné enre, d une par, la valeur de la réserve ajusée à la marge d exploaon e d aure par, la valeur acualsée des engagemens fuurs (cf. Planche e al. [007]). o Approche code des assurances I--- Analyse générale de la solvablé du régme L analoge avec le code des assurances e, en parculer, des régmes de renes provsonnés, condu à s assurer que : Où : R PM p r c r + p k + n c k + n ( ) ( ) n n = En ( p ) ( p ) ( + a ) ( c ) ( c ) ( + a ) k k k k k = n r a représene le faceur d acualsaon exprmé dans la base de la pérode reenue ; n représene la dae d observaon ; E n représene l espérance à la dae n. Ce es perme de s assurer que la valeur acuelle des soldes echnques fuurs es couvere par le monan de la réserve. Ce qu sgnfe que, sous l hypohèse que les flux fuurs ancpés se réalseron, placer le monan de la réserve au aux d acualsaon r a permera de régler les presaons dues. Incdemmen ce crère peu êre réalsé sans que pour auan le monan de la réserve so posf à ou nsan dans le fuur : à cerans momens, le solde peu êre débeur e nécesser un emprun de résorere. Une verson éendue de ce crère consse à regarder ce solde à chaque dae de fn de pérode + p k + n c k + n m : m n Rm PM ( ) ( ), m = E n p p p ( ra ) ck ( ) k k c k r ( ) ( ) + + c a k = m o Approche économque Sur la base du suv de la «valeur» du régme (cf. la sous-secon I-- de ce chapre), l apparaî opporun d esmer le nveau du surplus selon une approche économque e d en suvre l évoluon au fl du emps. Dans ce conexe, le surplus économque s exprme comme éan la dfférence enre l acf du régme (évalué économquemen c) e les provsons du régme (égalemen évaluées selon une approche économque) e aures dees. 47

154 o Objecfs de l allocaon L allocaon sraégque repose souven sur la maxmsaon de la foncon de la rchesse du régme (valeur de la réserve) ou de son corollare le Taux de Rendemen Inerne (TRI), parculèremen sur dfférens horzons d nvesssemen (cour erme, moyen erme, long erme). Le TRI es le aux de rendemen permean d avor la relaon suvane : R c p dh d H 0 = + 0 d H 0 = 0+ ( + TRI) ( + TRI) R où : c représene les cosaons (y comprs nflaon) à la dae ; p représene les presaons (y comprs nflaon) à la dae ; R représene la valeur de la réserve à la fn de l année 0, dae de déermnaon de 0 ce qu reven à : l allocaon sraégque (dae de dépar) elle que défne c-dessus; dh représene l horzon de placemen de l allocaon sraégque ; TRI le aux de rendemen nerne. d H dh d H R 0 ( + TRI) ( c p )( + TRI ) = = 0+ R d H Il es précsé que la réserve ulsée c es la réserve nvese (réserve fnancère). Dans la descrpon des crères recherchés de l allocaon sraégque, l conven de dsnguer dfférens ypes de régmes de rerae (régme provsonné, régme parellemen provsonné, régme non provsonné). En oure, quel que so le régme, dans le développemen de l allocaon sraégque de l acf, une aenon parculère sera porée à la dsncon enre la phase de consuon e la phase de resuon du régme. I--- Crères d'allocaon en foncon du ype du régme Dans ce qu su, nous présenons cerans crères qu peuven servr à la fos comme objecf e/ ou conrane selon le ype du régme. o Pour un régme parellemen provsonné : manenr un rao de couverure des dros acqus par la réserve. Il s ag du rappor enre la valeur des acfs de la réserve fnancère e la valeur des flux fuurs (au re des dros acqus) acualsés au aux sans rsque. Les conranes de solvablé pour l allocaon sraégque peuven êre de dfférenes ordres : elles poren d une par sur l horzon de vablé, e d aure par sur le nveau des réserves e des presaons. Un horzon de vablé mnmal de H v années L horzon de vablé correspond à l horzon d épusemen des réserves (pour mémore, la réserve à la dae es égale à la somme de la réserve à la dae -, de la marge d exploaon à 48

155 la dae e des produs fnancers à la dae ). Ce crère reven à vérfer la condon suvane (pour H =30): v R = + ( + rj ) j= p = + ( + rj ) j= + c Un horzon de solvablé mnmal de h années Un deuxème crère possble d allocaon sraégque pore sur le rappor enre le nveau des presaons à erme à h ans e les réserves à cee échéance : la réserve devra assurer, de façon permanene, la capacé de provsonner m fos la presaon à payer dans h années. Auremen, pour chaque année, la somme de la réserve de l exercce ajusée de l acualsaon des flux fuurs du régme, projeées sur les h années suvanes do au mons êre équvalene à un engagemen prédéfn (par exemple une fos e dem l acualsaon en de la presaon prévsonnelle à horzon de h ans par rappor à ). Le aux d acualsaon r ulsé do correspondre à un aux de rendemen prudemmen esmé des acfs en représenaon de l engagemen sur la pérode de projecon. Les aux reenus peuven ans êre ceux de la courbe des aux forwards zéro-coupon obenue à parr des oblgaons éa ndexées. Fnancèremen ce ype de crère peu êre exprmé pour chaque fn d année par la formule suvane : où : + h c p p R + + h m + = + ( + rj ) ( + rj ) h j= + j= + c : représene les cosaons (y comprs nflaon) à la dae ; p : représene les presaons (y comprs nflaon) à la dae ; r : représene le aux de rémunéraon pruden de la réserve à la dae j (par j convenon nous l'assmlons au aux de rendemen de l oblgaon ndexée de long erme) ; m : représene le rappor mnmum enre la valeur de la réserve à une dae donnée e le flux de presaon cble acualsé correspondan (par exemple m =,5) ; h : représene l horzon de projecon pour le flux de presaon à couvrr par rappor à la dae. Ce crère peu êre égalemen exprmé par la relaon suvane : 49

156 [ C m], avec C R + + h = + ( + rj ) j= + = + h ( + rj ) Dans un unvers nceran (en parculer avec un horzon de long erme), le respec du crère do êre probablsé avec un nveau de confance α (par exemple 97,5 %) où α es le rsque d erreur oléré ou «la probablé de rune», so : j= + p P[ C m] α Ans, pour les crères de solvablé assocés à la comparason enre le nveau des réserves e celu des presaons l exemple de formule développée c-dessus donne : R + P + h = + ( + rj ) + h ( + rj ) c + h p j= + m p + h j= + c p o Pour un régme provsonné : manenr un rao de couverure des dros acqus par le oal de la réserve e de la marge acuarelle fuure (ou «Poenel de Réparon Fuur», cf. Delarue [00]). Il s ag du rappor enre la valeur des acfs de la réserve fnancère e la valeur des flux fuurs (au re des dros acqus e des cosaons fuures nees des presaons ndues par les dros que ces cosaons génèren) acualsés au aux sans rsque. Ce rao peu-êre fxé enre 90 % e 00 % par exemple. Auremen, dans le cas d un régme don le bu es de provsonner les engagemens fuurs, nous cherchons à rémunérer au meux ces dros acqus en maxmsan le rendemen des réserves représenaves des dros acqus par les cosans du régme. L dée es donc de s néresser d abord pendan la durée de l allocaon à l engagemen économque du régme, c'es-à-dre aux presaons fuures lées aux dros acqus en vgueur e évaluées à parr du rendemen echnque du régme. L allocaon sraégque chose sur la durée D do permere de mnmser le coû de fnancemen de ces engagemens sur la pérode consdérée. Auss, le crère proposé conssera à mnmser l espérance de la valeur acuelle des Dros Acqus à la dae 0. Cee valeur acuelle es la somme : - des presaons dues e réglées sur la pérode d allocaon ( 0 à D) acualsées aux aux de rendemen pérodques du porefeulle fnancer (allocaon d acfs) ; - de la provson de ous les flux de presaons dues au-delà de ce horzon représenafs des dros acqus jusque là e acualsés au aux sans rsque. α. 50

157 où : 0 ValeurDrosAcqus D dh j Provson _ TSR j= 0+ 3/ / H = 0+ ( + rj ) ( + rj ) = + 0 d 0 Provson _ TSR j= 0+ j= 0+ 3/ / dh = d = 0+ = dh D dh d H f ( + rsr ) : dae nale (par exemple dae de calcul de l allocaon sraégque) ; dh D j : représene les presaons (avec l ndexaon nflaon) payables à la dae correspondans aux socks en j des dros acqus e non échus anéreurs à cee dae ; r j : représene le rendemen du porefeulle d acfs fnancers au cours de la pérode j ; d H : représene l horzon de l allocaon sraégque ; Provson _ TSR 3 / /d : représene la valeur des flux fuurs (au re des dros H acqus) acualsés au 3// d H au aux sans rsque. : dae fnale de la sére dsponble des flux au re des dros acqus à 0 (nous chosrons par exemple une dae lonane, ou ben un horzon de «vager»,.e la dae de décès du derner survvan des cosans). Concernan les conranes relaves aux aux de couverure d aures engagemens els que les dros acqus. Les conranes à respecer seron par exemple : avec : - couverure des presaons acquses par la réserve : ϕ es le rao de couverure à la dae ; ( 3/ / ) ( 3 ) Réserves ϕ = > β Provsons _ TSR / / β es comprs enre 6 % e 0 % (exemple régme cas ) ; Provsons _ TSR(3/ / ) représene la valeur des flux fuurs (au re des dros acqus) acualsés au 3// au aux sans rsque. - couverure des presaons acquses par la réserve e la marge acuarelle fuure (ou «Poenel de Réparon Fuur») : S nous défnssons la Marge Acuarelle 5

158 Fuure (MAF) par : MAF = peu s exprmer par : c = ( + r ) j= p j, le rao de couverure des presaons φ = ( 3/ / ) + _ ( 3/ / ) Réserves MAF Provsons TSR. En résumé, les conranes à consdérer pour les régmes de ype provsonnés avec prse en compe des dros acqus son les suvanes (au chox) : - la VaR à 99 % du rao de couverure des presaons acquses par la réserve do êre supéreure à un coeffcen béa (fxé en npu, exemple enre 6 % e 0 %) VaR99% [Réserves(3//) / Provsons_TSR(3//)] > béa - la VaR à 99 % du rao de couverure des presaons acquses par la réserve e la marge acuarelle fuure do êre supéreure à un coeffcen béa (fxé en npu, exemple enre 90 % e 00 %) VaR99% [(Réserves(3//) + MAF) / Provsons_TSR(3//)] > béa o Pour un régme non provsonné : un prncpal objecf dans ce cas vse à maxmser un rao de couverure des prochans flux nes de règlemen par les acfs jusqu à la dae prévsonnelle d épusemen des réserves, supéreur à 00 %. Il s ag du rappor enre le oal de la valeur des acfs de la réserve fnancère augmené de la valeur acualsée des flux fuurs de règlemen nes encassés (cosaons mons presaons) e la valeur des flux fuurs de règlemen nes décassés. Il s ag en fa d un rao de «lqudé» ou de «résorere» du régme. Les conranes posées conssen, par exemple, à vérfer que dans la majoré des cas (par exemple dans 99 % des cas) : le rao de couverure des flux fuurs de résorere ou règlemen (ampué d une année par rappor à l horzon de vablé du régme qu correspond à l horzon d épusemen des réserves) es supéreur à 00 %, cela sgnfe que le budge de rsque pour le chox de l allocaon ne peu êre supéreur à la pere d une année de presaon. Dans ce cadre, nous supposons que la Valeur à Rsque (VaR), pour un ceran nveau de confance, du rappor (rao de couverure) à la dae d H enre les deux quanés c-après do êre supéreure à 00 % : - la réserve, augmenée de la valeur acualsée des flux fuurs de règlemen ne encassés (.e. posfs) jusqu à la dae d e - la valeur acualsée des flux fuurs de règlemen ne (.e. négafs) jusqu à la dae d e Le aux d acualsaon des flux fuurs es le même que celu défn pour l acualsaon des flux d un régme parellemen provsonné lors du calcul des raos prudenels. 5

159 I---3 Crères d'allocaon en foncon da la phase dans laquelle évolue le régme Dans le cas où le régme es dans une phase d accumulaon de réserve l horzon naurel pourra êre la fn prévsonnelle de la pérode d accumulaon des réserves. Par alleurs, pour un régme en phase d épusemen, la maxmsaon du rao de lqudé peu reser un bon objecf. Dans le cas d un régme de ce ype, la foncon objecf à maxmser pourra ans êre formalsée de la manère suvane : Médane du rappor à la dae d H enre les deux quanés c-après : - le oal de la valeur des acfs de la réserve fnancère, augmenée de la valeur acualsée des flux fuurs de règlemen ne encassés (.e. posfs) jusqu à la dae d e - la valeur acualsée des flux fuurs de règlemen nes décassés (.e. négafs) jusqu à la dae d e avec : d H = dae de l horzon de l allocaon d = dae prévsonnelle d épusemen des réserves e Nous rappelons que le flux de règlemen ne pour une année es la dfférence enre les cosaons encassées de l'année e les presaons versées de l'année so c p. Quel que so le ype du régme ou la phase dans laquelle l évolue, une aenon parculère do êre apporée aux peres poenelles de cour erme. I--3 Eude de la queson du aux d acualsaon des engagemens Deux prncpaux ypes d éudes de congruence acfs/passfs (ALM) peuven êre présenés. Leur dfférence clé se sue au nveau du chox du aux d acualsaon des engagemens. ALM acuarelle L évaluaon des engagemens se fa en applquan un aux d nérê fxe (appelé aux echnque ou aux acuarel). L ALM acuarelle perme d obenr une valeur «acuarelle» des engagemens Dans ce cadre, les engagemens ne conennen pas de rsque de aux. Nore benchmark sera le «rendemen absolu» ALM fnancère (marke-based) L évaluaon des engagemens se fa en ulsan les aux du marché (aux sans rsque, aux de swap). L ALM fnancère perme d obenr une valeur de «marché» des engagemens. Dans ce cadre, le profl de rsque des engagemens ressemble à un porefeulle oblgaare. Benchmark: «engagemens» Les conséquences de ces éudes sur la sraége d nvesssemen opmale peuven êre synhésées comme su : 53

160 ALM acuarelle la sraége opmale cherche à aendre un rendemen égal ou supéreur au rendemen acuarel requs avec la volalé absolue la plus fable possble. ALM fnancère (marke-based) la sraége opmale se compose de deux porefeulles: Un porefeulle core «réplquan» les engagemens au plus près (porefeulle d oblgaons de longues duraons) : recherche de couverure des engagemens Un porefeulle saelle exposan les acfs à des prmes de rsque supéreures à celles des oblgaons (acons, mmobler, acfs alernafs) : recherche de performance absolue Le chox du aux d acualsaon des engagemens susce un déba enre les professonnels depus quelques années, surou depus la crse des fonds de penson de 00 (crse de sous fnancemen). Un écar de quelques pons dans le chox du aux peu fare varer le monan de la provson de manère sgnfcave. Cerans recommanden auss d ulser des aux de cour erme pour les provsons d une populaon proche de l âge de la rerae, e des aux de long erme pour une populaon jeune. Dans ous les cas, le déba sur le aux d acualsaon ne peu pas êre décorrélé du processus de réévaluaon des renes (cf. Planche e Thérond [007]). Dans le cas où l acualsaon es effecuée avec le aux sans rsque du marché, le rsque de aux nérê se manfese surou en cas de basse des aux. Quand le aux d nérê basse, la valeur de l acf augmene, dans des proporons qu dépenden de la composon du porefeulle du fonds (acons ou oblgaons noammen). S ce aux d nérê es celu ulsé pour acualser les engagemens, leur valeur acualsée augmene égalemen. Le rsque de aux proven de ce que l acf e le passf n on généralemen pas la même sensblé aux aux d nérê : une basse des aux à long erme se radu, en règle générale, par une hausse de la valeur du passf plus mporane que celle de l acf. Dans ces condons, le aux de couverure du fonds, défn comme le rappor enre la valeur des acfs e la valeur acualsée des engagemens, se déérore. De même, la basse des aux rédu la marge fnancère fuure car le rendemen des nouveaux acfs peu apparaîre nsuffsan pour fare face aux aux garans par les conras anéreurs. Jusqu à une dae récene, les engagemens des fonds de penson anglo-saxonnes (Eas-Uns, Royaume-Un, Pays-bas, ec.) éaen valorsés avec un aux d acualsaon fxe, par exemple 4 % par an. Mas, depus quelques années, les règles prudenelles e les normes compables de ces pays on évolué en drecon d une compablsaon en juse valeur où la courbe des aux d nérê de marché es ulsée pour acualser les versemens (selon les pays, l s ag du aux des oblgaons d Éa, du aux moyen des oblgaons émses par les enreprses ou du aux observé sur le marché des conras d échange de aux appelé aux de swap). La mesure en juse valeur présene smulanémen des avanages e des nconvénens : 54

161 - Avanages de la mesure en juse valeur des engagemens des fonds de penson : Elle accroî la ransparence, favorse la porablé des dros à la rerae, qu peuven êre ransférés à ou momen d un fonds à l aure sur la base de leur valeur de marché, e perme d ulser des nsrumens fnancers pour gérer plus fnemen les rsques. - Inconvénens de la mesure en juse valeur des engagemens des fonds de penson : Le passage d un aux fxe à des aux de marché crée un rsque de aux sur le passf du fonds, qu n es généralemen pas couver par une varaon équvalene de la valeur de l acf. D aure par, la hausse des aux rédu la valeur de marché des acfs, en parculer celle des porefeulles oblgaares, e peu provoquer évenuellemen le racha de cerans conras, noammen ceux à rendemen garan nféreur à celu des nouveaux conras proposés. Dans ce qu su, nous allons llusrer la mse en place d un modèle d allocaon sraégque d acfs pour un régme de rerare parellemen provsonné. Ce modèle es basé sur la sraége Fxed-Mx. I--4 Hypohèses du modèle Concernan le passf, le fonds es consdéré comme un fonds fermé (pas de nouveaux cosans jusqu à la fn de la pérode d éude). Les flux nes à payer son défns en ermes de «marge d exploaon» : + Flux echnques (cosaons normales e réroacves + compensaons) - Presaons (allocaons + capaux décès + ransfers) = Marge echnque - Fras de geson - Dépenses au re de l acon socale = Marge d exploaon Nous supposons que la projecon du flux es déjà effecuée en ermes de flux réels. La pérode de projecon sera celle du 0/0/00 au 3//060. Le graphque 4 monre un exemple de projecon des flux de passf pour ce ype de fonds. L horzon de projecon des scénaros économques e fnancers es de 50 années (du 0/0/00 au 0/0/060) avec un pas de projecon rmesrel. La fréquence de rebalancemen du porefeulle vers l allocaon sraégque esée es égalemen rmesrelle (nous rappelons qu on se sue dans le cas d un modèle Fxed-Mx e ans un reour pérodque aux pods prédéfns par l allocaon sraégque es effecué). Une approche d ALM fnancère a éé adopée : acualsaon des flux du passf avec la courbe des aux smulée à chaque nsan. La valeur acuelle à l nsan de N flux fuurs es donnée par l expresson suvane : N Flux Engagemens Acualsés = = ( + r ) avec : r j le aux d nérê sur la sous pérode j (aux réel en cas de flux réels e aux nomnal en cas de flux nomnaux). j = j 55

162 La même démarche es ulsée pour l ndexaon des flux de passf par les aux d nflaon smulés. Dans ce cas, le flux réel à un nsan es mulplé par le coeffcen d ndexaon dédu à parr des aux d nflaon réalsés sur les pérodes enre l nsan nal 0 =0 e : Flux ndexé = Flux Réel avec : j le aux d nflaon sur la sous pérode j. ( + j ) Nous supposons que le chox de l allocaon sraégque sera prncpalemen gudé par des crères poran sur le nveau des réserves : maxmsaon d un monan de réserve à erme ou de sa résulane le Taux de Rendemen Inerne (TRI) à horzon de l allocaon sraégque. Auremen d, nous supposerons que la polque d nvesssemen vse à maxmser la valeur de la réserve fnancère du régme à une dae donnée dans le fuur : ce qu reven à maxmser le aux de rendemen nerne de la réserve enre la dae nale e cee dae fuure. Smulanémen, deux conranes seron à respecer par l allocaon opmale : j= Conrane : Le rappor à une dae 0 donnée enre : La somme de la valeur de la réserve à la dae 0 e des flux fuurs de cosaon sur les H prochanes années (ces flux son acualsés à la dae v 0 ) La somme des flux fuurs de presaon sur les H prochanes années (ces flux v son acualsés à la dae 0 ) devra égalemen êre supéreur à un nveau m dans (-α ) % des cas. Conrane : Le rappor à une dae 0 donnée enre : La valeur projeée de la réserve à la dae 0 plus H années max La presaon prévsonnelle versée à la dae 0 plus H années devra êre max supéreur à un nveau m dans (-α ) % des cas De pon de vue mahémaque, ce sysème d opmsaon peu êre formulé ans : TRI ( 0+ Hmax ) H ( 0 max ) 0 max ) + H ( + TRI ) + ( c p )( + TRI = R( 0 Hmax ) = 0+ Max R H v c R + = 0 + ( ) + rj j = 0 + S/C P m α 0 + H v p = 0 + ( + rj ) j =

163 R + P 0 + H max = 0 + ( + r ) j j = 0 + m α p 0 + H max 0 + H max j = 0 + c p ( + r ) j Avec : c représene les cosaons (y comprs nflaon) à la dae ; p représene les presaons (y comprs nflaon) à la dae ; R 0 représene la valeur de la réserve à la fn de l année 0, dae de déermnaon de l allocaon sraégque (dae de dépar) TRI le aux de rendemen nerne. r j : représene le aux de rémunéraon pruden de la réserve à la dae j (aux nomnal sans rsque); m : représene le rappor mnmum pour la conrane (dans nore cas m = ) ; m : représene le rappor mnmum pour la conrane (dans nore cas m =,5) ; H v : représene l horzon consdéré pour le calcul du rappor de la conrane (dans nore cas H =30 ans). v H max : représene l horzon consdéré pour le calcul du rappor de la conrane (dans nore cas H =0 ans). max α e α corresponden aux marges d erreur au nveau du respec de la conrane e respecvemen ( α = α =.5 % dans nore cas) Le rappor de la premère conrane peu êre assmlé à un rao de couverure des flux de presaon sur les prochanes années par la réserve nale augmenée des flux fuurs de cosaon sur les mêmes années : cela assure dans un ceran sens la vablé du régme. De même, le rappor de la deuxème conrane représene un rao de couverure de la presaon à payer dans années par la valeur de la réserve de la même année : cela assure dans un ceran sens un nveau de solvablé requs par le fonds après Hmax années. Cela correspond au cas d un régme de rerae parellemen provsonné. Concernan les conranes de pods sur la composon de l allocaon cble, Il do êre possble d mposer a pror pour chaque classe d acf de l allocaon une composon mnmum e maxmum à respecer pour chaque allocaon esée. 57

164 Monan des flux d'exploaon désnflaés Année Fg. 4 : Exemple d évoluon des flux nes de résorere (flux désnflaés) Nous rappelons fnalemen, qu en ermes de règles de geson, l es consdéré qu'à chaque fn de pérode de smulaon nous «forçons» le fonds à respecer les proporons nales («rebalancemen»). Cec es du à la sraége Fxed-Mx adopée. Cee dernère présene l avanage : - d êre cohérene avec l'dée d'allocaon sraégque ; - de consdérer le fonds comme un FCP (Fonds Commun de Placemen) en ravallan avec son rendemen ssu des pondéraons des rendemens de chaque poche ; - d éver de défnr des règles complexes d'nvesssemen / désnvesssemen. I--5 Méhodologe reenue Les éapes de cee éude acf-passf son les suvanes : Eape de smulaon des scénaros économques e fnancers Il s ag d une éape commune e prélmnare e au cours de laquelle nous nous basons sur le GSE proposé dans la pare I pour : La smulaon des dfférens aux d nérê réels (longs e cours), des aux d nflaon ancpés (longs e cours) avec déducon des aux nomnaux (longs e cours). La smulaon du rendemen des acons, du rendemen de l mmobler e de l évoluon du aux monéare. La déermnaon des prx des zéros coupons nomnaux, ndexés à l nflaon e à rsque de créd. La déermnaon des performances des produs de aux, selon les formules présenées dans l annexe relaf aux scénaros déermnses. 58

165 Ces smulaons se feron selon la srucure schémaque lnéare (quel que so la classe d acfs consdérée). Ce ype de srucure es souven ulsé dans le cas de la sraége Fxed- Mx (cf. Kouwenberg [00]). Pour rappel, cee srucure se présene ans (cas des acons) : acons R, acons R, acons R,T acons R 0 acons R, acons R, acons R,T 500 rajecores acons R500, acons R500, acons R 500,T Axe du emps 0=00 T=030 Fg. 4 : Illusraon de la srucure schémaque lnéare dans le cas de la projecon des rendemens des acons Eape de préparaon des flux du passf Cee éape consse dans la préparaon des flux ndexés (en foncon de la polque des presaons du régme) ans que de la projecon de l évoluon de la valeur acualsée des engagemens du régme. Les opéraons suvanes son mses en place : L ajusemen de la fréquence nale des flux du passf (la marge d exploaon) à la fréquence reenue dans nore éude (rmesrelle). Le calcul des coeffcens d'ndexaon des presaons à parr des aux d nflaon smulés par le GSE. L ndexaon des flux du passf. Le calcul des coeffcens d'acualsaon des flux à parr des aux d nérês smulés par le GSE (en cas de flux de passf naux exprmés en euro réel, nous ulsons le aux réel smulé pour l acualsaon des flux fuurs). La déermnaon de l évoluon des engagemens acualsés à chaque nsan. Eape de déermnaon de l évoluon du rao de couverure Pour une allocaon donnée, nous passons par les opéraons suvanes pour déermner la dsrbuon des raos de couverure (que ce so le rao de solvablé ou le rao de vablé comme défnes c-dessus) : L ajusemen de la valeur de la réserve à chaque fn de pérode par rappor aux flux ndexés : 59

166 Réserve fn de pérode = Réserve débu de pérode capalsée sur le marché fnancer + flux fn de pérode. La déermnaon de l évoluon du rao de couverure ou au long de la pérode de projecon e pour les dfférenes rajecores smulées. Schéma opéraonnel llusran l approche reenue pour l ALM - Nous consrusons nalemen un rès grand nombre d allocaons «ess» (ex ) - Parallèlemen nous smulons un grand nombre de scénaros de marché (ex ) pour chaque classe consuan l acf (aux, acon, mmobler) - Nous applquons les scénaros de marché à chacune des allocaons ess, afn de smuler les rajecores (évoluons) correspondanes de la réserve enre la dae de calcul de l allocaon e l horzon du régme. - Nous aurons ans par ex rajecores smulées pour chacune des allocaons ess. - Nous effecuons enfn un «r» parm les allocaons ess, afn d obenr des allocaons des «admssbles» : l s ag des allocaons assocées à la melleure probablé que le rendemen so maxmal ou en respecan les conranes défnes c-dessus. Cee probablé es évaluée sur la base des rajecores smulées. Le graphque suvan llusre les prncpales éapes du modèle de geson acf-passf consdéré : Modèle de GSE Modèle du passf Prévson sochasque des varables économques Scénaros d nflaon Flux réels de résorere (déermnses) Généraon des scénaros d acfs Généraon des scénaros du passf Rendemen sochasque des acfs Flux nomnal de résorere (sochasques) Modèle d opmsaon avec la sraége à pods consans Allocaon opmale Fg. 43 : Illusraon du modèle de geson acf-passf sochasque obje de l applcaon dans le cadre de la sraége Fxed-Mx 60

167 I--6 Résulas obenus Dans le cadre de l applcaon de la sraége Fxed-Mx, nous opons pour la majoraon des pods des dfférenes classes d acfs dans l allocaon opmale de la manère suvane : pondéraon maxmale de 40 % pour la classe des oblgaons à aux fxe, la classe des acons, l'mmobler e les oblgaons ndexées e pondéraon maxmale de 0 % pour le monéare. L nérê de ce plafonnemen des pods des classes d acfs es d ordre praque : l perme de rédure le nombre d allocaons possbles, e donc de mnorer les emps de calculs du moeur ALM. L objecf éan d llusrer le caracère opéraonnel du moeur ALM, la marce d allocaon es générée en fxan un pas de mallage (de 5 %) e des bornes pour les pods de chaque acf. Les bornes on éé choses en prenan en compe deux faceurs : le premer consse à lmer la alle de la marce des allocaons possbles e le second consse à couvrr un ensemble d allocaons pernenes e vrasemblables. Les bornes reenues pour l llusraon des résulas son donc les suvanes : Borne mn Borne sup Monéare 0,00 % 30,00 % ZC 5 ans (nomnal) 0,00 % 30,00 % ZC 0 ans (nomnal) 0,00 % 30,00 % ZC 5 ans (nomnal) 0,00 % 0,00 % ZC 8 ans (réel) 0,00 % 30,00 % ZC 5 ans (réel) 0,00 % 0,00 % Oblgaon créd 0,00 % 30,00 % Acons 5,00 % 40,00 % Immobler 0,00 % 0,00 % Tab. 9 : Bornes reenues pour les pods de dfférenes classes d acfs D un aure côé, deux scénaros économques on éé consdérés : un scénaro de sress e un scénaro alernaf. En praque, le bu de ce ype de scénaro es de eser la robusesse des allocaons opmales obenues avec le scénaro cenral (présené dans la secon III du chapre de la pare I). C-après les paramères relafs à un scénaro de sress (avec fore basse des rendemens des acons : chue de 30 % sur un an) e au scénaro alernaf (basse connue de l nflaon moyenne de 00 pb). Il es rappelé que les paramères ulsés pour les dfférens scénaros son puremen llusrafs. 6

168 Paramère Scénaro cenral Scénaro sress (fore basse des rendemens des acons -30%) Scénaro alernaf (basse de l'nflaon moyenne de 00 bp) Inflaon à long erme Vesse de reour à la moyenne 0,0% 0,0% 0,0% Volalé 5,00% 5,00% 5,00% Moyenne,00%,00%,00% Valeur nale,00%,00%,00% Inflaon à cour erme Vesse de reour à la moyenne 0,00% 0,00% 0,00% Volalé,00%,00%,00% Valeur nale,00%,00%,00% Borne nféreur -,00% -,00% -,00% Borne supéreur 3,00% 3,00% 3,00% Taux d'nerê réel long Vesse de reour à la moyenne 35,00% 35,00% 35,00% Volalé,50%,50%,50% Moyenne 3,00% 3,00% 3,00% Valeur nale,50%,50%,50% Taux d'nerê réel cour Vesse de reour à la moyenne 40,00% 40,00% 40,00% Volalé,50%,50%,50% Valeur nale,00%,00%,00% Borne nféreur pour les aux -,00% -,00% -,00% Borne supéreur pour les aux 4,00% 4,00% 4,00% Acon Valeur nale 00,00% 00,00% 00,00% Moyenne regme (fable volalé) 7,50% chue 30% sur un an 6,50% Volalé du régme (fable volalé) 6,00% 6,00% 6,00% Moyenne régme (fore volalé) -0,00% chue 30% sur un an -,00% Volalé du régme (fore volalé) 7,00% 7,00% 7,00% Immobler Vesse de reour à la moyenne 5,00% 5,00% 5,00% Volalé 0,00%,00% 0,00% Moyenne 6,00% 6,00% 5,00% Valeur nale 5,00% 5,00% 5,00% Créd Coeffcen d'baemen* Mauré 5 ans 97,8% 97,8% 97,8% Mauré 4 ans e 9 mos 97,7% 97,7% 97,7% Valeur nale Moyenne regme (fable volalé) Volalé du régme (fable volalé) Moyenne régme (fore volalé) Volalé du régme (fore volalé) Monéare (lognormal) Moyenne 3,50% 3,50%,50% Volalé,50%,50%,50% Tab.30 : Paramères reenus pour les dfférens scénaros 6

169 Il es à précser que le TRI e le médan de la réserve son calculés sur un horzon égal à l horzon d allocaon (9 ans). Par alleurs, la VaR du rao de vablé e la VaR du rao de solvablé son éabls pour un horzon d allocaon de 9 ans (sachan par alleurs que l horzon de la conrane de solvablé es de 0 ans e que l horzon de la conrane de vablé es de 30 ans). La performance e la volalé son des valeurs moyennes calculées sur l ensemble de la projecon (50 ans). Au nveau des résulas sur l allocaon opmale, nous observons à premère vue que le pods du monéare es nul. Auss, nous observons que les pods cumulé des oblgaons nomnales e l oblgaon créd es de 40 %. Cee valeur es de 0 % pour les oblgaons ndexées à l nflaon e de 50 % pour les acfs rsqués (acons e mmobler). En oure l allocaon opmale présenée c-dessous ne compore pas d oblgaon nomnale e d oblgaon ndexée à l nflaon de mauré 5 ans, éan donné que ces pods son nuls dans la marce des allocaons esées. Le ableau c-après présene les dx melleures allocaons parm les 985 allocaons esées avec le scénaro économque cenral, la melleure allocaon es marquée en bleu : TRI moyen (9 ans) 0,63% 0,630% 0,69% 0,630% 0,69% 0,63% 0,63% 0,63% 0,630% 0,630% Médan de la réserve (9 ans) VaR Rao de pérenné (9 ans),06,06,06,06,06,06,06,06,06,06 VaR Rao de fnancemen (9 ans),786,788,79,79,787,79,788,79,79,786 Performance moyenne à long erme (50 ans) 5,55% 5,553% 5,545% 5,546% 5,55% 5,548% 5,553% 5,549% 5,547% 5,550% Volalé à long erme (50 ans) 7,396% 7,44% 7,385% 7,370% 7,38% 7,373% 7,38% 7,375% 7,369% 7,370% Monéare 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% ZC 5 ans (nomnal) 0% 5% 30% 5% 0% 5% 0% 0% 0% 5% ZC 0 ans (nomnal) 5% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 5% ZC 5 ans (nomnal) 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% ZC 8 ans (réel) 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% ZC 5 ans (réel) 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% Oblgaon créd 5% 5% 0% 5% 0% 5% 0% 0% 0% 0% Acons 40% 40% 40% 40% 40% 40% 40% 40% 40% 40% Immobler 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% Tab.3 : Lse des dx melleures allocaons obenues dans l exemple llusraf Nous noons que le pods du monéare es nul dans les 0 allocaons. Nous observons égalemen sur l ensemble des allocaons une réparon équlbrée enre les acfs rsqués (acons e mmobler), qu on un pods oal de 50 %, e les acfs mons rsqués (oblgaons), qu on égalemen un pods oal de 50 %. En complémen, un es es mené sur les 0 melleures allocaons obenues. Le es sur ces dx allocaons es réalsé pour s assurer de leur robusesse en cas de scénaros de sress (fore basse des acons sur un an) ou alernaf (dmnuon du nveau d nflaon de long erme) : l s ag ans de s assurer que ces 0 melleures allocaons vérfen les conranes dans les deux scénaros complémenares reenus (scénaro de sress e scénaro alernaf). En praque, cela consse à lancer la pare du code relaf aux conranes consdérées en reenan en npu la marce des 0 melleures allocaons. Dans le cadre de ce es, l s avère que les 0 allocaons présenées comme les melleures dans le scénaro cenral vérfen ben les conranes dans les deux scénaros complémenares. Auss, les allocaons opmales proposées semblen résser à des scénaros 63

170 de projecons des acfs dfférens de ceux reenus dans le scénaro cenral. La concluson de ce es confrme le caracère robuse des dx allocaons esées. Valeur moyenne de la réserve Rao de couverure Médan Rao de couverure des flux jusqu'en 09 sur un horzon de 0 ans (08) e un nveau de confance de 97.5% Alloc Alloc Alloc3 Alloc4 Alloc5 Alloc6 Alloc7 Alloc8 Alloc9 Alloc0 Alloc Alloc Alloc3 Alloc4 Alloc5 Alloc6 Alloc Acuelle Alloc8 Alloc9 Alloc0 Alloc Alloc Alloc3 Alloc4 Alloc5 Alloc6 Alloc VaR à 97.5% VaR du rao de solvablé à 99,5% Fg. 44 : Rao de couverure des flux jusqu en 09 sur un horzon de 9 ans (08) e un nveau de confance de 97,5 % Les résulas suvans son ndqués à re d llusraon : Valeur à Rsque (VaR) du rao de solvablé à 99,5 % e valeur moyenne de la réserve dans le graphque 44, cec pour un échanllon donné d allocaon. On oben alors une courbe d effcence au sens de la héore de Markowz [95] : un ceranes allocaons permeen d avor plus de rendemen (valeur moyenne de la réserve) pour un nveau de rsque plus rédu (VaR du rao à 99,5 %). Il s ag du cas, par exemple, des deux allocaons ayan le couple de rendemen/rsque encerclé dans le graphque 44 e qu garanssen un nveau de VaR supéreur à. Le graphque 45 llusre, quan à lu, un es effecué sur la sensblé de l allocaon opmale par rappor aux changemens des nveaux des rendemens espérés des acons. 64

171 00% 90% 80% Par de chaque acf 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% % % 3% 4% Mon Nom 5 ans Nom 0 ans Nom 5 ans Indexé 8 ans Indexé5 ans Créd 5 ans Acon Fg. 45 : Sensblé de l allocaon opmale par rappor à l espérance de rendemen des acons Deux consas peuven êre avancés à ce re : - une sensblé sgnfcave de l allocaon sraégque d acfs par rappor aux hypohèses de dépar sur les rendemens des acons. - une sensblé crossane : plus les hypohèses de rendemen son élevées plus la varaon des pods de l allocaon sraégque opmale es sgnfcave dans nore cas. Dans ce qu su nous nous néressons à l mpac du recours à deux marces de corrélaon dfférenes (cf. secon I, chapre de la pare I) enre les acons e les aures classes d acfs : une premère marce refléan la srucure dépendance dans un conexe «normal» e une deuxème marce refléan une suaon de «crse» (appelée marce de «corrélaon à rsque»). Pour cela, un premer ableau (cf. ableau 3) es présené ndquan l allocaon opmale obenue dans le cas d un seul régme ( marce de corrélaon) e dans le cas de deux régmes ( marces de corrélaon), oues choses éan égales par alleurs. Nous consaons que, dans ce derner cas, nous sommes mons exposés aux classes d acfs rsqués (exposon oale aux acons e à l mmobler à la haueur de 65 % conre 70 % dans le cas d un seul régme. Cela consue une réponse à une averson au rsque supplémenare prse en compe va la marce de «corrélaon à rsque»). 65

172 Alloc opm marce de corr Alloc opm marce de corr Nom 5 ans 0% 0% Nom 0 ans 0% 5% Nom 5 ans 5% 0% Indexées 8 ans 0% 0% Indexées 5 ans 5% 0% Créd 5 ans 40% 40% Acons 30% 5% Tab. 3 : Allocaons opmales en foncon du nombre de régmes de corrélaons Le même raval a éé effecué au nveau des VaR (Valeur à rsque) correspondan au monan de la réserve oale observée à une dae donnée (horzon de l allocaon). Ans, pour deux nveaux de confance possbles (97,5 % e 99,5 %), nous avons calculé ces valeurs dans le cas où nous avons un seul régme de corrélaon e dans le cas où nous avons deux régmes de corrélaon (cf. ableau 33). Les résulas confrmen une mondre exposon dans le cas de deux régmes e monren une sensblé sgnfcave du nveau de la VaR (en monan) par rappor à l approche reenue (dans le cas du seul de 97,5 %, nous remarquons ben un doublemen du monan exrême en passan de l approche à un seul régme à l approche à deux régmes de corrélaon). VaR 97,5 % VaR 99,5 % Alloc opm marce de corr Alloc opm marce de corr Tab.33 : Valeur à Rsque de la valeur de la réserve en foncon du nombre de régmes de corrélaons L hsogramme c-dessous confrme égalemen ce consa va des queues exrêmes relavemen plus épasses (e plus éendues vers la gauche) dans le cas d un seul régme par rappor à ceux observés dans le cas de deux régmes. 66

173 6 x 0 4 Dsrbuon de la valeur de la réserve oale (nee des flux de résorere ) d a n s le c a s d e p ro je c o n d e s c é n a ro s a ve c d e u x m a rc e d e c o rré la o n 5 4 Fréquence Fréquence 3 E x p o s o n a u rs q u e re la ve m e n p lu s m p o ra n e p o u r l'a llo c a o n opm ale avec une s eule m arc e de c orr A llo c o p m a le d a n s le c a s d 'u n e s e u le m a rc e Valeur de la réserve nee Valeur de la réserve nee A llo c o p m a le d a n s le c a s d e d e u x m a rc e s x 0 4 Fg. 46 : Dsrbuon de la valeur de la réserve oale (nee des flux de résorere) dans le cas de projecon de scénaros avec deux marces de corrélaon 67

174 II- Proposon de méhodes numérques La résoluon du problème posé peu êre présenée en ros éapes. La premère consse à générer des rajecores pour chaque classe d acfs. La deuxème consse à projeer chaque allocaon en foncon de la règle de geson du dsposf e à en reenr une, qu condu à une rajecore de rendemen de l acf synhéque. La rosème éape vse à déermner la valeur de la foncon objecve (le passf éan déermnse). Les allocaons suscepbles d êre reenues seron alors celles qu maxmsen la foncon objecve e respecen les conranes du dsposf. Ce paragraphe présene les méhodes de mse en œuvre opéraonnelle de l allocaon sraégque. Le nombre d allocaons possbles avec les neufs classes (noammen lorsque le pas de l allocaon es égal à %) rsqueraen d engendrer des emps de mporans, ce qu lmeraen les performances opéraonnelles du modèle. Dans ce conexe, la réducon du nombre de classes ou l augmenaon du pas dans le chox des allocaons possbles améloreraen les performances opéraonnelles du modèle. Néanmons, la réducon du nombre de classes d acfs ne peu aller au-delà d un mnmum de classes d acfs sur les aux nomnaux (hors monéare) e les aux réels, à savor une mauré moyen erme e une mauré long erme. Cela se jusfe par pluseurs rasons : - pouvor eser dans l allocaon, au mons l échéance de rénvesssemen e de «refxaon» du rendemen en regard de la couverure à l nflaon ; - les engagemens des régmes pouvan êre rès longs, l conven de enr compe un mnmum du posonnemen sur la courbe des aux. Quelle que so la méhode reenue, le nombre d allocaons possbles nécesse de recourr à des algorhmes d opmsaon effcaces, l approche conssan à eser de manère exhausve l ensemble des allocaons possbles n éan pas envsageable. Cee pare rae donc un problème d opmsaon dans le cas où la foncon objecf es esmée à l ade de smulaons. Il présene un algorhme d opmsaon globale d une foncon non convexe e bruée. L algorhme es consru après une éude de crères de comproms enre, d une par, l exploraon de la foncon objecf en de nouveaux pons e d aure par l améloraon de la connassance de celle-c, par l augmenaon du nombre de rages en des pons déjà explorés. Une applcaon numérque llusre la conformé du comporemen de ce algorhme à celu prévu héorquemen. Les performances de l algorhme son analysées au moyen de dfférens crères de convergence. Des zones de confance son égalemen proposées. Enfn, une comparason avec un algorhme classque d opmsaon sochasque es menée. II- Inroducon II-- Le problème d opmsaon Nous allons chercher à déermner l opmum global d une foncon réelle défne sur un ensemble Θ soumse à un bru, ans que les paramères de Θ condusan à ce opmum. Ans,dans le conexe de l allocaon sraégque opmale d acfs, une allocaon parculère, 68

175 d θ R, * Ν peu nécesser de smuler de nombreuses rajecores de pluseurs acfs, sur d une successon de pérodes, afn de déermner un unque ndcaeur de rsque ou de gan, brué, F (θ) : l ndcaeur en queson peu êre un rao de fnancemen, un ndcaeur de gan pénalsé en foncon du rsque, ou un ndcaeur synhéque de comproms rsque/gan. Le calcul de chaque F (θ) es coûeux en erme de emps de calcul, e les allocaons condusan f θ = E F θ son recherchées pour l allocaon opmale. à un opmum de ( ) [ ( )] Nous consdérons c une foncon objecf réelle f (θ) d un paramère θ Θ, * d Ν : d d Θ R, f : Θ R, Θ R Nous supposerons que f es connue e bornée, non nécessaremen dérvable, e que Θ es une unon fne de d-smplexes, ypquemen un ensemble de pourcenages d allocaon possbles, nclus dans [ 0, ] d. Enfn, f n es pas nécessaremen une foncon convexe de θ, de sore que la foncon peu posséder pluseurs opma locaux. En oure, nous supposerons que f n es pas drecemen connue, mas qu elle es esmée à d l ade de smulaons. En ou pon θ R, du fa des erreurs d esmaon, l observaeur ne peu accéder qu à des réalsaons d une varable aléaore F ( θ ) = f ( θ ) + ε ( θ ), où ε ( θ ) représene un bru d espérance nulle, don nous posulerons l exsence d une varance fne, non nécessaremen homogène en θ. Nous posulons que les { ε( θ) } θ Θ son muuellemen ndépendans. La foncon bruée F es donc elle que : θ Θ : E V [ F( θ )] = f ( θ ) [ F( θ )] < Nous nous placerons dans le cadre d une mnmsaon. Sous ces hypohèses, chercher à opmser la foncon bornée f ( θ) = E[ F( θ) ] reven alors à rechercher, à parr de réalsaons poncuelles ndépendanes de la foncon bruée F :. L unque valeur mnmale de la foncon objecf f, * m = nf E[ F( θ) ] θ Θ. L ensemble des paramères condusan à une valeur proche de = { θ Θ,E[ F( θ) ] x} pour ou réel x donné dans un vosnage de S x * m * m : Le premer pon es néressan, mas s agssan d allocaon d acfs, le résula le plus ule es naurellemen le second. En un mo, nous cherchons ous les paramères θ condusan à un f ( θ) proche de l opmum. En présence d une ncerude sur l esmaeur de f, la recherche d un paramère * θ condusan à un opmum global supposé de f nécesse l exploraon de ous les paramères suscepbles de condure à un opmum global nféreur. Il sera ans nécessare de * connaîre l ensemble S x des paramères condusan à une valeur esmée de f proche de m. En oure, en présence de pluseurs paramères soluons, seul l ulsaeur de l algorhme peu 69

176 décder lequel prvléger. C es la rason pour laquelle nous rechercherons l ensemble des paramères soluon, e non un seul pon de ce ensemble. Lorsque la foncon F es déermnse, dans le cas où f ( θ) = F( θ), dfférenes méhodes d opmsaon peuven êre proposées, comme les méhodes de descene de graden, de Newon-Raphson, de Hooke e Jeeves, la méhode de Nelder, Mead [965], ou des méhodes spécfquemen adapées à ceranes formes de f, comme lorsque f es convexe. Ces méhodes ne garanssen ouefos pas que l opmum obenu es un opmum global. S agssan d opmsaon globale déermnse, les premères recherches daen d envron rene ans e son arbuées à Hansen [979]. L opmsaon Lpschzenne, l algorhme de Schuber (cf. Schuber [97]) ou l algorhme DIRECT (cf. Jones e al. [993]) son des méhodes largemen ulsées dans un cadre déermnse. D une façon plus générale, ces algorhmes peuven s négrer dans le cadre d algorhmes de ype Branch and Bound (cf. Lawler e al. [966]), où la zone à explorer (c Θ ) es paronnée en pluseurs zones (branchng), don ceranes son exclues de l analyse selon cerans crères (boundng). Les crères d exclusons de ce ype d algorhme reposen noammen sur des propréés de la foncon objecf e sur une arhméque d nervalle (cf. Wolfe [996]), nous parlons alors d opmsaon globale déermnse, permean de garanr avec cerude l absence d opmum sur les zones exclues. En consdéran que f es le résula d une expérence, généralemen coûeuse en erme de emps de calcul, les echnques d opmsaon enren dans le cadre de Compuer Expermens e la représenaon de la foncon en dehors des pons d observaon peu s appuyer sur dfférenes echnques de régresson, de Krgeage, ou de champs gaussen (cf. Krge [95], Jones e al. [998], Sanner e al. [003]). Une revue des dfférenes echnques ulsées dans le champ de l opmsaon globale pourra êre rouvée dans Hors, Parlados [995], ans que dans pluseurs hèses récenes (cf. Emmerch [005], Gnsbourger [009] e Vllemonex [009]). Lorsque la foncon F es aléaore, lors de la recherche d un unque opmum non nécessaremen global, une rès large léraure exse sur les algorhmes sochasques pour la recherche d opmum. Lorsque d = des algorhmes els que celu de Kefer-Wolfowz (vor Kefer, Wolfowz [95] peuven êre ulsés. Dans le cas d >, une exenson due à Blum peu êre exploée (vor Blum [954]). Srugarek [006] présene un ensemble d algorhmes plus récens e plus déallés poran sur l opmsaon sochasque. S agssan de la recherche de racnes, que nous pourrons égalemen raer avec l algorhme c présené, des echnques classques son celles dérvées de l algorhme de Robbns-Monro (Robbns, Monro [95]). De même, l algorhme de Cohen-Culol perme de résoudre des problèmes rès proches avec une conrane de conrôle de la probablé de rune (vor Cohen e al. [994]). Nous ne déallerons pas c l ensemble des echnques ulsées dans les champs de l opmsaon sochasque (recherche d opmum), ou de l approxmaon sochasque (recherche de racnes). Enfn, lorsque la foncon F es aléaore, e lorsque nous cherchons un mnmum global d une foncon non nécessaremen convexe, le bru complque encore le problème dffcle de l opmsaon globale (vor Bulger e al. [005] pour une dscusson sur ce suje). Ceranes méhodes sochasques on éé adapées à un envronnemen brué : nous pouvons cer les méhodes généques (vor Allo [996], Mahas e al. [996] en présence de bru), ans que les méhodes de recu smulé (vor Aars e al. [985], Brankee al. [008] en présence de bru). Encore peu connues dans le domane de l acuara, quelques exensons 70

177 d algorhmes de ype Branch and Bound son égalemen proposées dans un cadre sochasque (cf. par exemple Norkn e al. [996]). Le rsque de se romper d opmum Lorsque F es aléaore, nous pouvons envsager l usage d algorhmes sochasques d opmsaon locale. Touefos, ou comme les méhodes déermnses de descene de graden, ces algorhmes requèren de chosr un pon de dépar suffsammen proche d un opmum global, e d éver les plus évdens opma locaux. Sauf pour quelques foncons f parculères, l s ag alors d appréhender dans un premer emps la forme de la foncon f. Une exploraon globale de la foncon s avère donc souven nécessare, le rsque éan mons de mal esmer la valeur d un opmum global, que de se romper d opmum en chosssan ndûmen un mauvas opmum local. Une seconde pse sera d éablr un grand nombre de rages de F, afn de se ramener, à une marge d erreur près, au cas déermnse. Cela auorsera l usage d algorhmes d opmsaon locale déermnse, généralemen rapdes. Touefos, la recherche d un opmum local se fera au prx d une exploraon préalable de la foncon. De surcroî, l algorhme ulsé sera lourdemen pénalsé par le grand nombre de rages requs pour F. De la même façon, cee pénalé frappera les algorhmes d opmsaon globale déermnse. Enfn, les méhodes généques ou le recu smulé ne vsen pas drecemen à proposer des zones de confance pour les opmseurs de la foncon objecf. Il nous a semblé délca de quanfer, avec ces méhodes, le rsque de proposer un opmum local e d gnorer un opmum global melleur. Explorer ou connaîre A re llusraf, plaçons nous un nsan dans un cadre smplfé, en * présence d un unque mnmseur θ = arg mn f ( θ). Supposons que l observaeur pusse réalser n rages de F en chaque pon d un ensemble Θ = { } θ Θ θ,..., m θ m la valeur n, qu déermne la précson de la connassance de f, e l ampleur de l exploraon de f, un esmaeur envsageable es le suvan : n f ( ) = ( ) n θ F θ θ Θ m n = * θ n,m = arg mn θ Θ m f n ( θ ). En supposan donnée Θ m qu déermne * θ de l unque mnmseur La queson se pose c de l arbrage enre le chox d un n élevé ou d un cardnal de Θ m élevé. Les algorhmes usuels d opmsaon supposen généralemen que l ensemble des pons F ( θ) son connus, e gnoren, à nore connassance, la queson praque de l opmsaon du couple de paramère ( n, m ). En effe, la déermnaon d une réalsaon de la varable aléaore F peu prendre un emps de calcul mporan. En conséquence, n réalsaons de F en chaque pon de Θ m condusen à un oal de ( n. m ) rages de F. Or, les rages éan coûeux en ermes de emps de calcul, le nombre de rages es nécessaremen lmé. Pour un budge de rages fxé, le chox d un nombre de smulaons n élevé rédu la varance de n f, e donc amélore poncuellemen la connassance de f, mas lme égalemen l exploraon de la foncon en d aures pons. * θ 7

178 Cee llusraon smplfée nrodu la problémaque de l arbrage enre l exploraon de la foncon en dfférens pons e la connassance poncuelle de celle-c. Trouver les mnmseurs de f va requérr d une par d explorer la foncon en dfférens pons (nous parlerons d exploraon), e d aure par d opérer égalemen pluseurs rages de F en chaque pon exploré pour obenr un esmaeur non basé e auss peu dspersé que possble de l espérance de la foncon (nous parlerons de connassance poncuelle). Nous proposerons dans cee pare un algorhme qu vse à répondre à ce arbrage. Objecf poursuv L objecf que nous poursuvrons c es l exploraon des zones suscepbles de conenr un mnmum global de f : nous chercherons donc à explorer sélecvemen la foncon f, de façon à avor une vson globale de celle-c, ou en prvlégan ceranes zones d nérês, comme les mnma globaux, dans un souc d économe * du nombre de rages de la foncon F. L algorhme vse au fnal à esmer m ans que S, pour x donné dans un vosnage de * m. II-- Approche reenue L approche proposée c s apparene à une approche de ype Branch and Bound, mas aucune zone n es jamas défnvemen exclue de l analyse, l dée éan c d ordonner les zones en foncon de la probablé qu une zone conenne un opmum, selon un modèle que nous déallerons. Nous nous placerons dans le cadre de la mnmsaon d une foncon, nous chercherons c à quanfer la probablé qu une zone conenne un mnmum plus pe qu un mnmum observé, pour au fnal consrure l ensemble des zones suscepbles de conenr un mnmum global. Grlle à pas fxe Une soluon smple e rès commune es l ulsaon d une grlle de smulaon, à pas fxe. Selon cee soluon, la foncon f es explorée sur un ensembleθ. Θ m es une grlle de pas δ, oues les composanes de θ Θ m parcouren l ensemble des d valeurs mulples de δ dans Θ : Θ m = θ Θ, θ Ν. Le nombre n de rages de F ( θ) es δ denque pour chaque θ Θ m. Cee soluon es néanmons rès onéreuse en erme de emps de calcul, dans la mesure où n smulaons seron condues sur chacun des pons, y comprs ceux rès élognés d un opmum, pour lesquels la melleure connassance de f n appore quasmen ren. Grlle à pas varable Nous chercherons donc à mere en place une grlle à pas varable, où les rerages de F se feron prncpalemen dans les zones suscepbles d accuellr le mnmum. Il va s agr d une par d esmer f en de nouveaux pons θ (sommes), e d aure par de réparr de nouvelles smulaons enre les ancens sommes e les nouveaux, en foncon de l nérê que peu avor, sur la connassance du mnmum global, l ajou de smulaons en chacun de ces pons. Les posons des sommes envsagés ne seron plus régulèremen répares, e le nombre de smulaons condues en chaque somme va dfférer selon les sommes. Une premère dffculé es le chox d une forme convenable pour les zones de recherche, pour les cellules de la grlle. Une aure dffculé es que nous avons beson de devner où condure les fuures smulaons. Pour cela, l fau avor une dée de commen va x m 7

179 évoluer la foncon enre les pons explorés : l fau en un sens devner quel pourra êre l mpac de fuures smulaons avan même de les réalser. Algorhmes présenés e srucure du documen Nous allons aborder dans cee éude deux algorhmes réalsan une grlle à pas varable. Dans la sous-secon II-, nous envsagerons le cas où le nombre de rages en chaque pon es fxe, l algorhme cherchan alors unquemen à déermner les prochans pons où évaluer la foncon F. Dans la sous-secon II-3, nous nrodurons la possblé d opérer des rerages en des pons déjà explorés. Enfn, dans une dernère sous-secon II-4, nous présenerons des llusraons smples e vsuelles du comporemen de l algorhme proposé sur une foncon bmodale élémenare. Une comparason avec un algorhme classque d opmsaon sochasque sera égalemen menée. II- Une grlle à pas varable par subdvson sysémaque II-- Forme des zones de recherche Zone nale de recherche En praque, par exemple lors de l opmsaon de chox d nvesssemens de d + acfs, les proporons nveses dans chacun des acfs se sommen à un. Il suff alors de rechercher d pourcenages d allocaon, l allocaon numéro d + se d dédusan des d allocaons précédenes. Il s ag donc d opmser une foncon de R dans R. d Nous nommerons Z 0 R la zone nale de recherche, smplexe sandard orhogonal consué des sommes (, 0,, 0), (0,, 0,, 0),..., (0,, 0, ), ans que du somme (0,, 0). Cela correspondra ben à la suaon où la seule conrane es d avor une somme des composanes nféreure à un, par exemple d pourcenages d allocaon d acfs don la somme es nféreure à 00 %, la dfférence avec forman l allocaon de l acf numéro d + : Z d {( ) } = x,...,xd R,x xd,x 0,... x 0 d Dans les suaons où l opmum es à rechercher sur une zone plus complexe soumse à de nombreuses conranes, l algorhme proposé sera applcable s cee zone peu êre représenée dès l nalsaon par une unon fne de smplexes. Dans ous les cas, nous supposerons que l ensemble des sommes de la ou des zones nales on éé explorés, par la réalsaon de rages de F( θ) en chacun des sommes de l enveloppe de ces zones. Mécansme de scsson L dée d une grlle à pas varable es de séparer la zone de recherche de l opmum en pluseurs zones de dfférenes alles. A chaque éape, la scsson d une zone peu se fare en opéran des rages de F en un ou pluseurs pons non encore explorés de Θ. Cerans algorhmes d opmsaon globale fonconnen, dans un conexe parculer déermnse, par subdvson de la zone à explorer. Nous pouvons noammen cer l algorhme DIRECT (pour DIvdng RECangles, cf. Jones e al. [993]), qu subdvse d unpavé de R en pluseurs sous-pavés. S la subdvson d une zone nécesse l exploraon de + n+ nouveaux pons, l paraî préférable de chosr n =. Dans ce seul cas, le chox d un nouveau pon de subdvson se fa alors en connassance de ous les précédens rages de la foncon. Nous avons c chos un mode de dvson qu d une par nous sembla plus adapé 0 73

180 aux problèmes défns sur une unon de smplexes, e d aure par ne nécessa l exploraon que d un unque pon à chaque subdvson. Nous supposerons que les zones de recherche son des ensembles convexes, de façon à d facler d évenuelles nerpolaons au coeur de chaque zone. Imagnons un pavé de R don on connaî les sommes, e à l néreur duquel nous ajouerons un pon θ c. Commen découper rapdemen ce pavé en une paron d ensembles convexes don l enveloppe convexe conendra θ c? La réponse n éan pas s évdene, nous operons pour le chox suvan : - Les zones consdérées seron délmées par d + sommes. - Chaque nouveau pon sera ajoué sur un segmen de l enveloppe convexe de la zone. - A chaque éape, chaque zone sera évenuellemen scndée en deux ensembles convexes. Tou pon à l néreur d une zone apparendra à une zone convexe délmée par d + pons, e le chox d un nombre de sommes égal à d + faclera par la sue la séparaon d une zone en pluseurs zones. D aure par, le chox d un nombre fxe de sommes délman chaque zone sera de naure à facler l mplémenaon de l algorhme. Nous appellerons zone un d-smplexe, c es-à-dre un ensemble convexe nclus dans Θ, avec d Θ R, don l enveloppe convexe es déermnée par d + sommes dsncs (les sommes d forman un repère affne de R ). Par la sue, nous noerons S ( Z ) l ensemble des d + sommes délman une zone convexe Z. La zone nale de recherche de l opmum es noée Z 0. A l ssue de l éape numéro k, la zone de recherche es subdvsée en un ensemble de zones recouvran Z 0, don l nersecon es de mesure nulle. Ce ensemble de zones es noé Z k. Consdérons un ensemble de sommes E délman une zone Z e deux pons dsncs θ e θ de ce ensemble. Supposons que θc so le barycenre (par exemple équpondéré) enre ces deux pons. Lorsque la décson es prse de scnder cee zone en deux zones Z e Z, les ensembles de sommes délman ces deux zones seron : E E θ θ E ( ) { c } ( E θ ) { θ } = = Une preuve de ce lemme es donnée en appendce. Par souc de smplcé, nous nommerons par la sue sommes d une zone Z l ensemble des d + sommes délman l enveloppe convexe de la zone Z. Le graphque 47 llusre en dmenson la façon don une zone peu êre progressvemen subdvsée. Nous pouvons remarquer que le chox d une décomposon de l ensemble Θ en θ es un problème de un ensemble de zones conenan des pons de rage { } c =,,..., n rangulaon, classque en géomére algorhmque. Une echnque de rangulaon rès connue es la rangulaon de Delaunay (cf. De Berg e al. [008]). Le problème éan c de chosr un pon de rage au sen d une zone e non pas de consrure des zones pour séparer des pons de rage exsans, les zones seron scndées par la smple bssecon présenée. 74

181 Un des avanages de la bssecon présenée es de permere l exploraon des fronères de la zone nale. D aures chox de subdvson de zones son naurellemen possbles, par exemple auour de l sobarycenre d une zone. Comme nous pouvons l observer sur le graphque 47 ans que sur les dfférenes llusraons de la sous-secon II-4, l unon des enveloppes convexes des zones scndées forme un ensemble beaucoup plus vase que l enveloppe convexe du smplexe nal, de sore que les pons de rage ne son pas condamnés à reser dans l enveloppe de la zone nale. Dans le cas de barycenres équpondérés, nous pouvons d alleurs monrer par récurrence qu l es possble d aendre en un nombre fn d éapes ou pon de Θ de coordonnées : d k j ( k,..., k ) avec pour ou j {,...,d }, k N d j, j N, j Fg. 47 : Un exemple de paron d une zone dans II-- Chox de la zone à explorer ou segmener R en 60 zones. ( d = ) Idée du poenel d une zone L éude de la possblé pour f d aendre un mnmum global sur une zone non explorée nécesse de fxer des hypohèses : s f es supposée exrêmemen erraque, f pourra franchr un seul nféreur sur à peu près n mpore quelle zone, e les rages opérés de F n apporeron que rès peu d nformaon. Une soluon classquemen reenue, dans le domane de l opmsaon globale déermnse, es le chox d une forme Lpschzenne pour f (cf Jones e al. [993]) : cela reven à dre, dans un cadre déermnse, 75

182 que f pourra aendre un mnmum global sur une zone s la pene nécessare pour cee aene es nféreure à un ceran seul, ou que f ne pourra pas aendre le mnmum global. Cee logque bnare perme d ndquer de façon cerane s f apparen ou non à un nervalle donné, e correspond à une logque d arhméque d nervalle (cf. Wolfe [996]). En l absence d nformaon rès précse sur f, nous avons préféré une logque probablse, malgré une par de subjecvé qu elle peu engendrer : pluô qu une ndcarce de franchssemen possble à valeur dans { 0, }, nous allons rechercher une mesure sur [ 0, ] quanfan la probablé, selon la représenaon de f par l observaeur, que f franchsse le seul sur une zone. S cee soluon nrodu une nécessare subjecvé sur le calcul de cee probablé, elle offre néanmons l avanage de manenr une hérarche enre dfférenes zones, ce qu es noammen ule lorsque beaucoup de zones son suscepbles de conenr l opmum, e perme de ne jamas exclure a pror de zone. Comme le emps de calcul de F es supposé beaucoup plus mporan que le emps d exécuon de l algorhme de chox des zones à explorer, nous chosrons à chaque éape de l algorhme une unque zone à scnder en deux ou à explorer davanage. L objecf éan de lmer les rsques qu une zone non explorée conenne un opmum, nous pocherons à chaque éape une zone à explorer, avec une probablé proporonnelle à un coeffcen β spécfque à la zone. Pour chaque zone Z, le coeffcen β( Z ) déermnera s l es plausble (dans un sens que nous précserons) que la zone conenne un mnmum plus pe que le mnmum esmé m *. Afn d approcher ce coeffcen sur oue la zone, nous aurons beson de le déermner en un unque pon. Selon un modèle probablse que nous précserons, nous nommerons "poenel" d un pon une mesure d auan plus grande que la foncon objecf es suscepble, en ce pon, d êre plus pee que le mnmum global observé. Une représenaon probablse du poenel d un pon passe par la modélsaon de la connassance ncerane de la foncon f au vu des rages opérés en dfférens pons, par exemple au moyen de champs aléaores condonnels. Nous présenons c une approche plus smple paran d une modélsaon de l ncerude en dmenson, pus agrégean dfférenes ncerudes compe enu des sommes explorés. Poenel d un pon en drecon d un somme Consdérons un somme θ déjà exploré d une zone Z, e un pon θ de cee zone, dsnc de θ. Par souc de smplcé, nous éuderons c l évoluon de la foncon f enre ces deux pons θ e θ en connassance de la seule exploraon en θ. Même en l absence d erreur d échanllonnage au somme θ, l évoluon de la foncon f es naurellemen nconnue sur le segmen ]θ ; θ ] : nous parlerons d erreur de grlle. Nous supposerons que, à parr de la seule connassance de f au pon θ, l observaeur représene ~ f (θ ) par une varable aléaore fθ (θ ), chose de lo normale, d espérance f (θ ) e don l écar-ype es une foncon crossane de la dsance d ( θ,θ ). Nous chosrons : ~ f ( θ ) - f ( θ ) N 0, σ θ g ( ) ( ) ( ) α K g σ θ,θ = σ d θ, θ σ > 0, α > 0 K 76

183 Cela reven à décrre l ncerude maxmale pesan sur f ~, lorsque condon de ype Hölder (ou de ype Lpschz lorsque α = ). σ g es soums à une ~ A re d llusraon, pour θ 0 [θ ; θ ], la représenaon fθ ( θ 0 ) - f ( θ ) par un mouvemen brownen correspond à ~ α =. La représenaon de la pene ( fθ ( θ 0 ) - f ( θ ))/ d ( θ,θ ) 0 par un mouvemen brownen correspond à α = 3. Nous évoquerons plus en déal le chox de α e σ au paragraphe II--3, ans que dans la sous-secon d applcaon numérque II-4. K En présence d erreur d échanllonnage, nous dsposons d un esmaeur f (θ ) de f (θ ). S f (θ ) - f (θ ) es elle-même une varable aléaore de lo normale cenrée e de varance ~ σ e (θ ) f θ - θ, alors :, ndépendane de l erreur de grlle ( ) ( ) ~ f θ f ( ) ( θ )- f ( θ ) N 0, σ ( θ ) + σ ( θ, θ ) θ e g En connassance d une réalsaon de f (θ ), nous noerons : * L( θ, θ ) = P[ ~ fθ ( θ ) m ] où * m représene la valeur du mnmum global de (θ ) f. L θ,θ sera nommée poenel dreconnel du pon θ en drecon de θ. Le faceur de normalsaon / n a aucune ncdence sur les comparasons des poenels enre eux (comme ou faceur srcemen posf), mas permera par la sue à la quané L de pouvor aendre oues les valeurs de [0, ], e non pas seulemen [0, /]. Le poenel ~ dreconnel s nerprèe alors comme la probablé que fθ franchsse un mnmum global ~ connu sachan que fθ décroî depus le pon d accroche θ. La quané ( ) Il es possble de enr compe de l erreur d esmaon du mnmum ~ l esmaeur * f θ - d espérance θ f m es une varable aléaore ndépendane de ( ) ( θ ) * m e de varance σ θ,θ σ * L ( θ, θ ) σ, * m f ( θ ) m* = -Φ σ ( θ, θ ) T avec ( ) = + ( ) + ( ) α T m σ e θ σ K d θ, θ σ T θ,θ, ( ) > 0 * m : en supposan que, de lo normale, La foncon Φ désgne la foncon de réparon d une lo normale cenrée rédue. Nous prendrons la convenon L( θ, θ ) = dans le cas où ( θ,θ ) = 0, en l absence de bru e f ( θ ) = m* lorsque σ = 0 ou θ = θ. Nous n évoquerons pas en déal la déermnaon rès classque, en K un pon exploréθ, de l esmaeur (θ ) f de (θ ) σ T f, n de l esmaeur de la varance de (θ ). f 77

184 L usage de la moyenne e de la varance emprque non basée donnera, à parr de n 0 observaons de F ( θ) noées F ( θ),, F n0 ( θ), n : fˆ σ n0 F 0 = ( θ ) = ( θ ) n n ( θ) = σ F ( θ), avec σ ( ) 0 F θ = F ( ) ( ) θ - fˆ θ n n - e 0 0 = 0 ( ) σ F ( θ) un esmaeur de cee varance. Des raffnemens peuven êre envsagés afn de enr compe de l erreur d esmaon de σ F. Noons surou la nécessé d un paramère n, nombre de rages requs pour l esmaon désgne c la varance de F ( θ), e σ F ( θ ) 0 de la varance emprque σ e ( θ). Dans le cas déermnse, nous pouvons fxer n 0 =, fˆ (θ ) = f (θ ) e σ e ( θ) =0. Mas dans le cas général, ce paramère n 0 resera une enrée de l algorhme. Evenuellemen, l usage d une hypohèse de réparon gaussenne pour F( θ) peu permere de ne pas mémorser l négralé des rages de F ( θ), mas de smplemen mémorser le nombre de rages précédens, leur somme e la somme de leurs carrés. Pour l esmaon de * obenues pour fˆ (θ ) * m e de σ e θ * e ( ) σ, nous reendrons en premère approche les valeurs * m au derner pon opmal * θ renconré parm les rages réalsés éravemen par l algorhme, ben que là encore des perfeconnemens pussen êre suggérés. Remarquons que le poenel peu êre adapé à d aures recherches que la recherche d opmum. Ans, s l on rechercha les paramères θ els que f (θ ) apparenne à un ensemble A R, on pourra ulser un poenel proporonnel à P[ ~ f θ ( θ) A]. L algorhme peu ans êre rès faclemen adapé à la recherche de racnes. Poenel d un pon Consdérons un pon θ à l néreur d une zone Z, e cherchons à défnr une mesure d auan plus grande qu un mnmum global de f peu êre observé au pon θ. Ce pon θ es mun de d + poenels dreconnels en drecon des d + sommes délman la zone Z, sommes noés c θ, {,..., d +}. Ces poenels marquen chacun la * probablé, selon la modélsaon de l observaeur, que la foncon f franchsse le seul m sur l un des segmens [θ, θ ]. Les poenels de pons de dfférenes zones son desnés à êre comparés enre eux. La prncpale exgence es c de respecer la logque booléenne selon laquelle s le mnmum ne peu pas êre aen en drecon d un somme, alors l es exclu qu l so aen sur la zone. Une mesure commode respecan cee exgence es naurellemen le produ, qu correspond ben au ET booléen lorsque les quanés L ( θ,θ ) apparennen à { } 0,. 78

185 Nous appellerons poenel du pon θ dans la zone Z la quané : ( θ ) = L( θ θ ) γ Nous avons chos c d nrodure une foncon len g ( x ) = x, pour γ > 0, qu préserve les propréés requses de logque booléenne du produ, e perme de modfer le comporemen de l algorhme. Le chox de γ, régssan la convexé de g, perme de dsordre les poenels e de moduler ans l mporance relave accordée à la zone de plus grand poenel. Au nveau de l mpac de la dsorson, pour un coeffcen γ rès grand, le rage d une zone revendra au rage sysémaque de la zone don le poenel es le plus grand. Un coeffcen γ fable condura à davanage explorer des zones de poenel médan. Le faceur γ s nerprèe comme un faceur de proré arbuée aux zones de grand poenel. Nous avons consaé que l effe de γ éa modese pour des valeurs rasonnables de paramères (cf. sous-secon II-4 de ce chapre). Consdéran par alleurs une cerane redondance de ce paramère avec les paramères ( σ K,α ) du poenel, nous operons sauf menon conrare pour : γ = / ( d +) qu a le mére de clarfer l nerpréaon du poenel : β Z ( θ) correspondra smplemen à la moyenne géomérque des poenels dreconnels. Le poenel d un pon s nerpréera alors comme un poenel dreconnel moyen. Le chox d une mesure pour le poenel d un pon jusfera de nombreuses éudes. S agssan d agrégaon de poenels dreconnels e de foncons lens, d aures dsorsons de probablés faclemen ulsables pourron êre rouvées dans Benvenüe e Rullère [00]. Une aure pse pour cee agrégaon es l usage de copules, ou encore celle de la logque floue (cf. Zadeh [965]). Nous éudons acuellemen d aures mesures de ce poenel σ θ, θ', ans (cf. Rullère e al. [00]), basés sur l agrégaon des varances dreconnelles ( ) que la modélsaon de f ~ par des champs aléaores, en len avec la héore du Krgeage (cf. par exemple Krge [95], Jones e al. [998]). Ces mesures présenen l avanage d élmner l agrégaon de poenels dreconnels, au prx d un modèle d une complexé parfos accrue. Il fau néanmons empérer l mpac du chox d une mesure de poenel : les poenels des dfférens pons servron à éablr une hérarche des zones les plus suscepbles de conenr un opmum global, afn de chosr laquelle explorer en proré. Le chox de la foncon len g crossane modfera les prorés d exploraon, mas ne modfera pas la hérarche ellemême, e celle-c dépendra en rès grande pare de l élognemen de f à la valeur de l opmum.,, un poenel permera smplemen de dre s l es possble ou non que f possède un mnmum global sur une zone, compe enu des sommes adjacens e de la valeur esmée du mnmum. Cela correspond à l dée développée dans les algorhmes mean en oeuvre une arhméque d nervalle (cf. Wolfe [996]). Le poenel proposé c do êre vu comme une smple mesure, à valeur sur [0, ], permean S les poenels dreconnels apparenaen à { 0 } β d + Z, = γ T 79

186 d éendre une logque d arhméque d nervalle qu condura à des poenels défns sur { 0, }. Poenel d une zone En praque, une zone sera d auan plus suscepble de conenr un * mnmum plus pe que la valeur esmée de m s sa surface es grande e s ses pons on un poenel élevé. Une mesure logque de la "surface probable" d une zone Z es donnée par : β ( Z ) = β ( θ ) θ Z Ben que le calcul de cee négrale pusse êre approché par des echnques de smulaon, nous avons préféré reenr comme mesure du poenel d une zone la mesure suvane : β Z = V Z. β θ β Z Z d θ ( ) ( ) ( ) θ sobarycenre des sommes de la zone Z, où V ( Z) es le volume de la zone Z (hypervolume dans le cas d > 3). Cee soluon a le mére de la smplcé, offre l avanage d êre rès rapde e de ne pas êre aléaore. Un calcul d un β ( Z) précédemmen mené n aura donc pas à êre rééré s la zone Z n es pas modfée. En oure, l objecf es de comparer les coeffcens β enre eux : le calcul fn de l négrale a peu de rasons explces de beaucoup perurber la hérarche enre les dfférenes zones. Enfn, l sobarycenre nous a paru ben rendre compe de l erreur de grlle au sen de la zone, e faclera l nerpréaon fuure du poenel d une zone. S agssan du calcul du volume V ( Z), dans le cas où d =, les zones son des rangles e un volume V ( Z) es donné par la formule de Héron. Dans le cas général, le déermnan de Cayley-Menger donne le volume exac de la zone (cf. Sommervlle [958]). Plus smplemen, dans le cas d une séparaon d une zone en deux volumes égaux, ce qu sera c le cas, la smple mémorsaon du volume de la zone à subdvser perme de dédure mmédaemen le dem-volume de chaque zone flle. Chox d une zone en foncon des poenels Comme nous l avons évoqué, le chox d une + zone Z parm un ensemble z de zones se fera de la façon suvane : la probablé de pocher une zone sera proporonnelle au poenel de chaque zone. Noons z { Z,...,Z n } { U } ν ν,,... = l ensemble des zones dans lequel do êre pochée désgne une sue de varables aléaores de lo unforme sur [0,], muuellemen = ndépendanes, pocher une zone parm n avec une probablé fxée au proraa de son poenel reven à chosr, à une éape ν de l algorhme : + Z = Z k * ( U ν ) avec : * k ( u) = mn{ k {,..,n},b k u.b n } e : k ( ) B = β, k {,...,n} k Z = Ce chox découle de pluseurs dées. D une par, l dée d explorer de façon unforme la zone de recherche lorsque les poenels son égaux, d aure par l dée de préserver, à la façon d un Z β Z + Z. S 80

187 recu smulé, la possblé d exploraon de zones a pror peu promeeuses. Nous magnons, en présence d un rès grand nombre de rès pees zones, que cee soluon lme le rsque de confner les pons de rage dans le vosnage d un unque mnmseur, e favorse ans une cerane prudence dans l exploraon de la foncon. D aures chox possbles son évoqués dans la secon d applcaons numérques (sous-secon II-4 de ce chapre). II--3 Chox des paramères ( σ K,α ) du poenel Au moyen du poenel que nous avons défn, nous avons ransféré une par de la subjecvé du chox du prochan pon de rage sur le chox de quelques paramères, au premer rang desquels se rouven les coeffcens de ype Hölder α e σ K. Le chox ou l esmaon de ces paramères es un problème délca qu nécessera à lu seul une éude poussée, e que nous présenons c de façon smplfée. Le chox des paramères α e σ K dépend de la connassance de la foncon f consdérée, ans que, lorsque celle-c s avère nsuffsane, de la prudence de l observaeur. Le chox du paramère α es un chox de modèle : envsageons-nous que f pusse varer brualemen sur un rès pe nervalle comme le fera une rajecore de mouvemen brownen, ou de façon plus régulère, comme une foncon lpschzenne? Consdérons deux pons dsncs θ e θ, en gnoran dans un premer emps l erreur d échanllonnage aux sommes explorés. S seul θ es exploré, l observaeur suppose a ~ α pror que Y f ( θ) - f ( θ ) θ,θ = θ es dsrbué selon une lo normale cenrée, d écar-ype σ d, K où d = d( θ,θ ), d >0. Après exploraon des deux pons, l observaeur dspose d une observaon ( d, y) de ce couple ( d,y ). En supposan que son collecées n réalsaons ( d, ), en les supposan de surcroî muuellemen ndépendanes, une esmaon maxmum y de vrasemblance de σ en connassance de α condura à : K σ K = n e une esmaon maxmum de vrasemblance de α en connassance de que : n n y ( ) ln d ( ) α = ln d σ d = K n = y d = α σ K condura à α el S l on consdère que, en ou pon exploré θ, fˆ ( θ) sub une erreur d esmaon, on peu ' ~ observer Y ( ( ) ) ( ( ) ) θ,θ = fθ θ + Nθ - f θ + Nθ, où N θ e N θ son des varables aléaores ' ndépendanes, de los normales, de varances respecves σ θ e σ θ. Alors Y θ,θ es supposée α dsrbuée selon une lo normale cenrée, de varance σ e + σkd, où σ e = σθ + σθ représene une erreur d esmaon, connue après exploraon des deux pons pusque mesurée aux pons d observaon. L esmaon maxmum de vrasemblance de respecvemen à σ K e α els que : σ K (sachan α) e de α (sachan σ K ), condu 8

188 n = σ e d + α σ K d α = n α α = ( σ + σ d ) e y d K n = d α ( ) α ( σ + σ d ) e ln d K y = n = d σ α e + ( ) ln d σ d K α Dans la praque, la répéon des éapes d esmaon de σ K sachan α pus de α sachan σ K a rapdemen convergé dans ous les cas que nous avons esé (cf sous-secon II-4 de ce chapre). Cee esmaon nous a condus à des résulas rès proches de ceux obenus en maxmsan drecemen la log-vrasemblance de l échanllon : ln V n n n α ( σ ) ( ) ( ) k,α = - ln π - ln σ e + σ K d - α ( σ + σ d ) = = e y K Au fur e à mesure des nouveaux rages, chaque nouveau pon θ 0 exploré condu, en drecon des d + sommes de la zone, à d + nouvelles réalsaons de varables aléaores de lo normale cenrée, d écar-ype foncon de la dsance, e l es alors possble de corrger à chaque éape une valeur a pror de α e de σ. Il fau c noer que ren n nerd de fare varer les coeffcens α e σ K en foncon de la zone consdérée, e l esmaon des coeffcens pourra se fare sur chaque zone Z en ' affecan chaque réalsaon de la varable aléaore Y θ,θ (sur d aures zones) de pods d auan plus élevés que la θ e θ son proches de la zone consdérée Z. L esmaon de coeffcens de Hölder à parr d observaons de rages de F es un vase suje (cf. Blanke [00] pour un arcle raan de ce ype d esmaon sur des processus). Les chox numérques concres des paramères de l algorhme seron déallés dans la sous-secon d applcaon numérque II-4. Enfn, le rasonnemen enu jusqu à présen se basa sur le fa que pour deux pons d une zone, l observaeur représena la varaon des penes enre ces deux pons par une varable aléaore don l écar-ype éa une foncon crossane de la dsance. Même s cela n es pas requs pour l mplémenaon de l algorhme, un élémen suscepble de fournr a poseror des nformaons sur l hypohèse prse es le suvan : pour une zone Z, nous défnssons une varable aléaore IR α : f ( ) ( θ ) - f ( θ ) IR α Z = d θ, θ K ( ) α θ, θ veceurs aléaores dsncs ssus de rages ndépendans, unformes sur Z. Précsons c les modalés des rages. D une par, le rage unforme d un veceur θ sur une zone Z peu s opérer faclemen en chosssan des coordonnées barycenrques de façon unforme dans un smplexe uné : ans, s ω es la j ème coordonnée barycenrque de θ dans j 8

189 + j,..., d +, nous pourrons prendre ω j = e j / eo, avec e = la zone Z, { } ensemble { e } j j {,..., d + } d o e j j=, pour un de varables aléaores muuellemen ndépendanes, de lo exponenelle de paramère (ce qu reven à prendre les nervalles successfs de sasques d ordre d un veceur unforme). Le leceur néressé par ce ype de rages pourra consuler noammen Smh e Tromble [004]. D aure par, nous convendrons que ( θ, θ ) es le premer couple dsnc ssu de rages unformes (du fa de la précson arhméque fne des ordnaeurs, la probablé que les deux pons soen confondus peu êre non nulle en praque, ben qu exrêmemen fable). Selon le modèle présené, à défau d aures nformaons, l observaeur suppose qu l exse une quané α 0 elle que la varaon de f enre θ e θ ne s explque que par la dsance d( θ,θ ) α, e pour lequel l écar-ype de IR α ( Z) sera fn (ce qu n es pas acqus pour ou α ben sûr). Sous l hypohèse prse, ce écar-ype fournra une nformaon sur les varaons de penes auxquelles l ulsaeur pourra s aendre. En parculer, s IR α ( Z) es supposé dsrbué de façon gaussenne, alors son écar-ype emprque correspondra à un esmaeur de σ K en connassance de α. Des dsrbuons de IR α seron llusrées dans la sous-secon II-4. II--4 Chox du somme de scsson + Une fos une zone Z chose parm un ensemble de zones z, l va s agr de scnder la zone en ajouan un pon à l néreur de celle-c. De par nos chox précédens, ce pon se suera sur l un des segmens de l enveloppe convexe de la zone. Pour la zone de + Z, nous noerons C {( θ j, θ )} j j, j + Z. Le somme de séparaon reenu peu êre chos de nombreuses façons. = l ensemble des couples de sommes dsncs La soluon que nous reendrons consse c à séleconner, parm l ensemble des couples possbles, l un de ceux qu maxmsen la longueur du segmen. S θ,...,θd + désgnen les + sommes de la zone Z, nous chosrons comme somme de séparaon de la zone le somme + θ, θ el que : θ, sobarycenre du segmen ( ) j j ( θ j, θ j ) = arg max d( θ, θ j ) ( θ, θ j ) C C = {( θ, θ j )} {,...,d }, j { +,...,d + } Dans le cas de pluseurs segmens de longueur maxmale, nous convendrons que arg max désgnera un segmen chos de façon unforme parm l ensemble (fn) des segmens de longueur maxmale. Chosr le pon de segmenaon sur un segmen de longueur maxmale a le mére de lmer l apparon de smplexes rès déséqulbrés dans leurs longueurs de segmen : en effe, la connassance de l apparenance de l opmum à une zone es mons ule s cee zone es rès allongée dans ceranes drecons. Le chox d un somme condusan égalemen à la paron des zones adjacenes, l apparon de smplexes rès déséqulbrés, s elle es ans lmée, 83

190 n es ouefos pas absolumen exclue. Une dée de la forme des zones ans obenues en dmenson es llusrée par la fgure, qu a éé consrue par scsson du segmen de plus grande longueur de la zone chose. + Lorsque des smulaons son opérées au pon θ du segmen chos de séparaon, la scsson des zones se fa ans : + L ensemble des zones z conenan ce segmen es déermné (celles qu conennen les deux sommes du segmen à la fos). + Chacune des zones Z de l ensemble z es scndée en deux zones Z e Z comme ndqué dans le paragraphe II-- de ce chapre. II--5 Schéma de l algorhme de scsson sysémaque Les données en enrée de l algorhme son les paramères de régularé α e σ K, le nombre de smulaons n 0 à opérer en chaque pon (nombre de rages requs pour l esmaon de la varance emprque σ e ( θ) ), le nombre d éapes n de l algorhme. Nous supposons égalemen que la zone de recherche Z 0 es connue e que les premers rages on éé réalsés aux sommes de cee zone. L algorhme récapule le procédé général de scsson des zones. L algorhme perme de consrure à chaque éape j l ensemble des zones z forman une paron de la zone de recherche nale Z 0. Par consrucon, les nouveaux sommes de scsson son oujours explorés, de sore que l on a exploré, en fn d algorhme, l ensemble des sommes de la paron fnale z n. Nous rappelons c que l ensemble des sommes d une zone Z es noé S ( Z). L algorhme es c présené de façon synhéque. Chacune des éapes de l algorhme es déallée dans les secons précédenes. L exploaon des nombreuses données dsponbles en sore de l algorhme es déallée dans la sous-secon II--6 c-après. Algorhme : algorhme à scsson sysémaque Enrée: σ K, α, n 0, n Enrée: z 0 = { Z 0 } pour j = 0 à n - chox d une zone calculer mˆ * e σ * Z z j, calculer ( ) pocher une zone + Z de z j (cf. II--) m β Z + Z en foncon des { β( Z )} Z z j + + chox d un somme de scsson θ de Z (cf. II--4) + pocher un somme de scsson θ + scnder les zones conenan θ calculer z j +, ensemble des nouvelles zones rages au somme θ + Z + + calculer n 0 rages de F ( θ ) mse à jour faculave du couple ( σ K, α ), évenuellemen par zone (cf. II--3) j 84

191 fn pour Sore: mˆ *, σ * m Sore: Z z, V ( Z), β ( Z) n Sore: Z z, θ S( Z), fˆ ( θ), σ e ( θ), ( θ) n β Z II--6 Résula fnal e crère de convergence Zones de confance Nous supposons c que l algorhme de scsson sysémaque es ermné, par aene du crère d arrê proposé (nombre suffsan de rages c) : plus aucun rage de F ne sera donc opéré. Un esmaeur de la valeur m * de l unque mnmum global de f es fourn par l algorhme. Pour auan, nous recherchons essenellemen à agr sur les paramères, c es-à-dre à obenr l ensemble des paramères suscepbles de condure à ce mnmum, ce qu nous donnera égalemen une ndcaon sur la fablé du résula obenu e sur les nvesgaons fuures à opérer, par exemple pour déparager deux canddas poenels. Nous cherchons donc un ensemble dscre (car l do êre raé numérquemen) s approchan (selon une mesure qu sera défne uléreuremen) de : S x = { θ Θ,E[ F( θ) ] x} pour ou x apparenan à un vosnage de m *. A l ssue de l algorhme, le domane de recherche nal Z 0 es scndé en un ensemble de zones z. La défnon des zones de confance sera faclée s nous défnssons le poenel d un pon y comprs sur les fronères qu peuven apparenr à pluseurs zones à la fos (sur les faces des smplexes). Les pons apparenan à plus d une zone formeron un ensemble de volume nul. Touefos, afn de lever oue ambguïé pour ces pons parculers, nous défnrons pour chaque pon une unque valeur de poenel : β ( θ) = max β ( θ) z Z z,θ Z L ensemble des paramères admssbles, que nous nommerons égalemen zone de confance, sera défn pour un seul s [ 0, ] comme l ensemble des pons canddas θ pour lesquels f ( θ) es poenellemen nféreur à m * : Z Ŝ m*,s { θ Θ,β ( θ) s} = 0 z L ensemble Θ0 des pons canddas pourra êre l ensemble des pons pour lesquels des rages on éé opérés, ou ben, lorsque cela facle l usage fuur de Ŝ m*, s, un ensemble de pons régulèremen espacés, pour un pas donné srcemen posf δ : d Θ 0 = { θ Θ, θ Ν } δ Lorsque s es égal à 0, ous les pons de Θ0 son reenus. Lorsque s augmene, l ensemble Ŝ se resren à l ensemble des paramères pour lesquels fˆ ( θ) es rès proche de m *. m*,s 85

192 En résumé, nous obenons fnalemen : la valeur * m de l opmum de f, l ensemble des paramères Ŝ m*, s suscepbles de condure à ce opmum. Crère de convergence en connassance du résula Nous allons dans un premer emps chercher un crère de convergence de l algorhme lorsque nous connassons l ensemble de soluons S m*. Un el crère faclera la compréhenson de l algorhme sur des foncons de es, e consuera un oul de comparason de dfférens algorhmes. Nous cherchons à produre un ensemble Ŝ m* qu donne une représenaon fdèle de S m*. Par fdèle, nous magnons d une par que ou pon du vérable ensemble soluon S m* do êre proche d un pon de l ensemble soluon proposé Ŝ m* : Ŝ m* do êre suffsammen grand (condon n o ). D aure par, l ensemble proposé ne do pas non plus conenr de pons rop élognés des vérables soluons, e ou pon de l ensemble proposé Ŝ m* do êre proche d un pon de Ŝ S m : m* ne do pas êre rop grand (condon n o ). Cela nous condura à proposer, comme dsance enre les deux ensembles Sm * e Ŝ m* la dsance de Hausdorff, pour X Θ, Y Θ : d H ( X,Y ) = max { sup nf d( x, y),sup nf d( x, y) y Y x X S X = Ŝ m*, ses l ensemble proposé e Y = S m * es l ensemble cble, alors majorer le premer erme du max ndque que ou pon de la cble Y es proche d un pon de X (condon n o ). Majorer le second erme du max ndque que ou pon de X es proche d un pon de Y (condon n o ). Fnalemen, un pon que nous proposons comme soluon ne do pas êre rop élogné d une soluon réelle, e une soluon réelle ne do pas êre rop élognée d un pon proposé comme soluon. La dsance de Hausdorff es donc parfaemen adapée à l objecf recherché. Cee dsance représene, pour le pre pon de l un des ensembles, la dsance de ce pon à l aure des deux ensembles : elle fourn drecemen une dée de l ncerude sur l ensemble des paramères condusan à l opmum. Nous obenons donc un crère de convergence en connassance du résula recherché S m* : x X H ( s) d ( Ŝ,S ) ρ = Le crère précédan dépendan de la mesure chose pour le poenel, nous proposons égalemen l usage d une dsance de Hausdorff parelle : ρ sup nf d ( x, y) = y S m * x Θ e Où Θ e représene l ensemble des pons explorés. Ce crère fourn la pre dsance d un pon soluon au plus proche pon exploré. Il ndque donc s ous les pons soluons on ben éé explorés, e sera naurellemen rès bon s Θ e recouvra Θ. Ce crère n a de sens que dans la mesure où le nombre de rages oal de F es lmé : l pourra noammen servr à comparer dfférens algorhmes pour un même budge de rages. Son avanage es de ne requérr que l ensemble des pons de rage successfs de F. Une lme de ce crère es qu un algorhme peu converger rès ve vers un opmum global sans avor exploré les zones canddaes, e donc en ayan prs un rsque mporan : rouver rapdemen le vra opmum m*,s m* y Y } 86

193 global d une foncon n ndque pas s la méhode es prudene ou non, e seule la consdéraon de la varablé de la foncon enre les pons de rage perme de rancher cee queson (en un sens l usage d un poenel). Une aure lme de ce crère es qu l ne en pas compe de la précson de l esmaon de f aux pons explorés. Nous avons néanmons enu à le présener dans la mesure où l s ag d un des crères permean de comparer l algorhme proposé à d aures algorhmes ne permean pas le calcul de poenels. Il fau noer que du fa du caracère aléaore de la foncon observée e de l algorhme proposé, ces crères devraen varer selon les exécuons de l algorhme. En oue rgueur, pour un crèreρ, la comparason de pluseurs algorhmes sur une foncon es, pour un même budge de rages auorsé, devra requérr l obenon des dsrbuons deρpour chaque algorhme, pus l usage d un ndcaeur de rsque, comme un quanle deρ. Une pse pour le chox opéraonnel des paramères de l algorhme es l éude approfonde du comporemen du crère chos en foncon de ces paramères. Crère de convergence hors connassance du résula Dans la praque, nous ne connassons pas l ensemble cble S m*, pusque nous cherchons précsémen à en cerner les conours. S nous cherchons à assurer que la foncon es suffsammen ben connue sur chaque zone, un ndcaeur de convergence es smplemen la quané : ρ maxβ( Z) 3 = avec le chox c opéré ( Z ) V ( Z ) ( ) de ce chapre). Z z β =.β θ, Z B Z θb sobarycenre de la zone Z (cf. secon II- Z Majorer ce ndcaeur garanra en effe que pour oue zone Z z : So que la présence d un mnmum global au pon cenral es rès peu probable, β éan suffsammen fable. ( ) Z θ B Z So que la zone es suffsammen pee e que le mnmum poenel a ben éé exploré, V ( Z) éan suffsammen fable. Enfn, s nous cherchons à assurer que chaque pon ne condura pas à un mnmum plus pe que celu connu, pour un écar η donné, un crère pourra êre : ( m* -η ρ maxβ ) ( θ) 4 = Θ θ 0 ( ) Nous noons c β m* ( θ) z le poenel au pon θ obenu pour un mnmum global esmé m * (l ndce supéreur ( m* ) éa resé mplce jusqu à présen pour ne pas alourdr les noaons). D aures crères peuven naurellemen êre envsagés. Un élémen nconournable dans la défnon d un crère es la modélsaon de f ( θ) ou de l ncerude de fˆ ( θ) en dehors des pons θ d observaon : s f es ou es supposée exrêmemen erraque, oue zone sera suscepble de conenr un pon condusan à un opmum global, e le crère devra êre rès dfféren de celu obenu en supposan f rès régulère. C es un avanage des crères proposés c, à l excepon deρ, mas c es égalemen une lmaon pusque ces crères ne s applqueron qu aux algorhmes proposan une paron de l espace en zones affecées d un poenel. z 87

194 II-3 Une grlle à pas varable avec rerage possble Jusqu à présen, chaque zone éa sysémaquemen subdvsée en deux. Or, l peu êre plus avanageux, pluô que de subdvser une zone, d ajouer des smulaons en des pons déjà explorés. Ce sera l obje de cee sous-secon. II-3- Crères de scsson Supposons que nous esmons une espérance e un nervalle de confance de la foncon f ( θ), aux pons explorés θ e θ. Supposons que θ c so le barycenre équpondéré (sobarycenre) enre ces deux pons. La queson que l on se pose es la suvane : au vu des nervalles de confance de f ( θ), connus aux pons θe θ, e connassan la varablé de l évoluon de f ( θ) sur ce segmen, mesurée par les paramères (α ; σ K ), nous cherchons un crère permean de déermner la décson à prendre enre les suvanes : dmnuer l ncerude sur fˆ ( θ ) par de nouveaux rages de F en,. θ, { } scnder le segmen en deux pares, en opéran des rages de F au nouveau pon θ c. Pluseurs crères peuven êre reenus pour opérer ce chox. Le chox du crère reenu au fnal dépend essenellemen de l objecf poursuv : s assurer que le mnmum ne peu êre présen dans une zone sous l hypohèse que la foncon objecf ne vare pas rop brusquemen, mnmser le maxmum des poenels d une zone, ec. Ce chox pouvan dépendre du problème consdéré, nous déallerons c-dessous deux crères don nous éuderons la performance dans la sous-secon II-4 de ce chapre. Comparason des erreurs de grlle e d esmaon Consdérons une zone Z. En un pon θ de ~ Z, le poenel es la mesure reenue pour quanfer la probablé que f ( θ) so plus pee que l opmum global mˆ * esmé. Cee mesure dépend à la fos de l erreur d esmaon aux sommes explorés adjacens, e à la fos de l erreur de grlle, lée à l élognemen enre θ e les sommes adjacens (e dépendan de la régularé supposée de ~ f, mesurée par αeσ K ). Par souc de smplcé, l ncerude lée à l esmaon du mnmum global m* ne sera pas c scndée en erreur d esmaon e erreur de grlle. Consdérons l erreur d échanllonnage. Cee erreur es lée à la mauvase connassance de la foncon f aux pons explorés, du fa du nombre rédu de rages e du bru frappan f. Elle dépend essenellemen de la probablé de présence du mnmum aux sommes θ de Z du fa de rop larges nervalles de confance aux pons explorés. En l absence de doue lé à l évoluon de la foncon enre ces pons, cee probablé peu êre mesurée par le poenel β( θ) calculé en l absence d erreur de grlle : β ( ) ( ) e θ = βθ / σ K = 0 Consdérons l erreur de grlle. Cee erreur dépend essenellemen de la possblé que la foncon évolue brusquemen enre un somme de Z e le pon θ consdéré. En l absence de doue lé à la mauvase connassance de la foncon aux exrémés du segmen, compe enu de la seule mauvase exploraon de la foncon, cee erreur peu êre esmée au pon θ par le 88

195 poenel en θ, calculé en l absence d erreur d esmaon aux d + sommes θ de la zone Z : β ( θ) β( θ) / =0 = + g = σ,,..., d e Envsageons de scnder un segmen auour d un pon barycenre non encore exploré θ c. S le poenel en ce pon es grand essenellemen à cause de l erreur de grlle, l apparaîra rasonnable de scnder le segmen e d explorer θ c. S le poenel es grand essenellemen à cause de l erreur d esmaon, l paraîra plus rasonnable au conrare de rédure cee dernère en exploran davanage les sommes du segmen. Le crère de scsson que nous reendrons sera donc le suvan : En dmenson d =, s d = d( θ,θ ) d( θ, θ ) β θ β Crère n o : Scsson s ( ) ( ) g c θ c es l sobarycenre de θ e θ, alors nous pouvons noer σ = σ θ σ θ, compe enu de la 0 c = c. S nous supposons ( ) ( ) e e = e défnon reenue c pour le poenel d une zone, nous monrons faclemen que l équvalence suvane es obenue : α ( ( θ ) β ( θ ) ( σ σ d ) β g c e c e K 0 Ce derner crère s nerprèe alors rès asémen : la scsson es opérée s l erreur de grlle α ( σ ) g = σ K d 0 es supéreure à l erreur d esmaon ( σ ) e. En dmenson d >, le crère β ( θ) β ( θ) g e perme de enr compe en un pon θ des dfférences évenuelles de dsances aux sommes adjacens, e des dfférences d erreurs d esmaon aux dfférens sommes de la zone Z : Ce crère reven à opérer une moyenne parculère enre les erreurs d esmaon σ e les erreurs de grlle σ en drecon des dfférens sommes. e g En oue logque, s F es aléaore e s σ K = 0, alors la supposon de la connassance parfae de f enre les pons de rage condu à seulemen meux esmer fˆ aux sommes de la zone Z. Par alleurs, en l absence d erreur d esmaon (par exemple s F es déermnse), le crère condu ben à une scsson sysémaque, l deven naurellemen nule d effecuer un rerage. Melleur poenel après ajou de n 0 smulaons Nous envsageons c le cas où la réparon se fa en foncon de l améloraon du poenel maxmal de la zone, scndée ou non. Nous + supposons que n0 smulaons seron ajoués sur un somme de la zone chose Z. Les erreurs d esmaon corresponden à des écars-ype de varables aléaores supposées de lo normales. Il es donc smple d esmer quelle sera la réducon de la varance emprque en cas d ajou de n 0 smulaons, avan même la réalsaon de ces smulaons. Ans, en un pon déjà exploré θ, s n rages de F on déjà eu leu e s ( θ) représene la varance θ emprque de F en ce pon, nous pourrons proposer σ ( θ) = σ ( θ) / n + n0 e σ F θ e F θ. c 89

196 S nous envsageons d ajouer n 0 smulaons en un somme exsan θ de la zone chose, l es donc asé d esmer la nouvelle erreur d échanllonnage σ e ( θ) en cas d ajou. S nous envsageons d ajouer n 0 pons sur le barycenre θ c du segmen chos, nous pouvons alors esmer σ ( ) par nerpolaon lnéare, avan l exploraon du pon c F θ c θ, e en dédure une esmaon de l erreur d échanllonnage ( θ ) σ ( θ ) / n0 cas d exploraon. σ = en Quel que so le somme chos pour l ajou parm les d + sommes exsans, nous pouvons + donc donner un nouvel esmaeur βˆ ( Z ) du poenel de la zone chose après ajou de n 0 smulaons. S un somme exsan do êre prvlégé pour l ajou, l semble logque de convenr d un ajou sur celu de ces d + pons qu condu à mnmser cee valeur esmée, ce mnmum éan noé βˆ mn : + ( ) ˆ β mn = mn ˆ β Z + θ S ( Z ) n0ajous enθ S au conrare une scsson es envsagée, deux zones Z e Z seron formées. La scsson pourra êre prvlégée, par exemple, s les poenels esmés sur ces deux zones son ous deux nféreurs à β mn : ( β ) ˆ < β mn Crère n o : Scsson s max ˆ ( Z ), ˆ β ( Z ) L espr éan alors qu une scsson ne do pas condure à augmener le maxmum des β( Z ) sur l ensemble des zones { Z } à l éape consdérée : l ajou se pore ans sur le somme don nous esmons qu l mnmse le maxmum des poenels sur l ensemble des zones. Cee réparon es égalemen plenemen cohérene avec la défnon chose des coeffcens β, e elle condu, par consrucon, à une dmnuon du poenel maxmum esmé sur l ensemble des zones, ce qu es de naure à facler les fuures démonsraons de la convergence de l algorhme, noammen s le crère de convergence ρ 3 es ulsé. II-3- Schéma de l algorhme à rerage possble Algorhme : algorhme à rerage possble Enrée: σ K, α, n 0, n Enrée: z 0 = { Z 0 } pour j = 0 à n - chox d une zone calculer mˆ * e σ * Z z j, calculer ( ) pocher une zone + Z de z j (cf. II--) m β Z + Z en foncon des { β( Z )} Z z j + s crère scsson ( Z ) vra (cf. II-3-) alors + + chox d un somme de scsson θ de Z (cf. II--4) e c F 90

197 + θ pocher un somme de scsson + scnder les zones conenan θ calculer z j +, ensemble des nouvelles zones snon chox d un somme de rerage + θ de + Z (cf. II-3-) θ S z j + = z j, les zones son nchangées fn s rages au somme + + θ Z + calculer n 0 rages de F ( θ ) mse à jour faculave du couple ( σ K, α ), évenuellemen par zone (cf. II--3) fn pour Sore: mˆ * e σ * m Sore: Z z, V ( Z), β ( Z) n pocher un somme déjà exploré + ( Z + ) Sore: Z z, θ S( Z), fˆ ( θ), σ e ( θ), ( θ) n β Z L algorhme récapule le procédé général de scsson des zones. L algorhme perme de consrure à chaque éape j l ensemble des zones z forman une paron de la zone de recherche nale Z 0. Ce algorhme dffère de l algorhme par sa faculé d opérer un nouveau rage en un somme déjà exploré de la zone à explorer, pluô que de sysémaquemen scnder + Z. II-4 Applcaons numérques II-4- Foncon es ulsée Nous présenerons c une applcaon paran d une foncon es connue, afn noammen de vérfer le bon comporemen de l algorhme. Par souc de lsblé, cee applcaon sera ou d abord présenée en dmenson d = (mas l algorhme présené dans ce paper es proposé * pour oue dmenson d Ν, e le problème de la monée en dmenson sera évoqué par la sue). j + Z 9

198 Fg. 48 : Allure générale de la foncon es ( ) θ f pour θ Z0 Nous consdérerons c la foncon suvane dans le cas d = (correspondan par exemple à 3 pods d allocaon d acfs se somman à ). f ( θ) = ( mn( x,y) - 0. ) + ( max( x,y) ) F( θ) = f ( θ) + σ ( U ) B θ = ( ) x,y avec U une varable aléaore unforme sur [0,]. L espérance f de la foncon F adme.,..,. deux mnma, l un en θ * = ( 0 0 6), l aure en θ * = ( ), la valeur de f éan alors 0. A re ndcaf, afn d magner les varaons possbles de cee foncon, la foncon f aen son maxmum sur Z 0 en θ = ( 0, 0) e nous avons alors f ( θ) = (mas nous cherchons c le mnmum, non le maxmum). Un bru pouvan condure à des varaons d amplude de 0. enre deux pons proches es donc assez élevé au regard du domane de varaon [0, 0.37] de la foncon sur la zone nale de recherche. Un aperçu de la foncon f es donné dans le graphque 48. 9

199 Fg. 49 : Ensemble des pons de smulaons de F pour une varablé σ B = 0 (scsson sysémaque) σ K = e un nveau de bru Dans le cadre de l algorhme à scsson sysémaque, nous ulserons c oujours les paramères suvans : le nombre n de rages réalsés, sera n = 000, le nombre de rages en chaque pon sera n 0 = 0, le coeffcen de proré sera γ = / ( d +) = / 3, condusan à une moyenne géomérque des poenels dreconnels pour le poenel d un pon, le seul η du crère de convergence ρ 4 sera η = Par alleurs, pour chaque llusraon, nous précserons le nveau du bru σ B frappan la foncon f, les coeffcens de varablé σ K e α, le seul s du crère de convergence ρ. A re de remarque, le graphque 47 présenée précédemmen a éé obenue avec la foncon F évoquée c-dessus, à parr des paramères ( σ K,α ) = (,.5) e σ B = 0. (e γ = dans ce seul cas). II-4- Comporemen de l algorhme à scsson sysémaque Dans cee sous-secon, nous allons observer le comporemen de l algorhme n o à scsson sysémaque, lorsque le nveau de varablé σ K vare, pour dfférens nveaux de bru σ B. 93

200 Dans ce paragraphe, le paramère α es c fxé, égal à.5, e correspond à un modèle où les penes son supposées suvre un mouvemen brownen depus un pon d accroche (cf. défnon du poenel dreconnel dans les paragraphes II-- e II--3 de ce chapre). A re ndcaf, nous menonnerons dans la légende de cerans graphques la valeur obenue r pour le veceur crère de convergence, ρ = ( ρ ( s),ρ,ρ,ρ ( η ) 3 4, avec s égal à 0 % du poenel maxmal observé, e η = 0.0. Le déal du calcul de ces crères ans qu une analyse plus déallée des valeurs numérques obenues pour ceux-c seron abordés dans le paragraphe II-4-5 de ce chapre. Pour un nveau de varablé supposée de la foncon σ K =, llusré dans les graphques 49, 50, e 5, lorsque le nveau de bru passe respecvemen par σ B = 0, σ B = 0. e σ B = 0.3, nous observons ben l exploraon préférenelle des zones à proxmé des mnmseurs de f. Ben enendu, cee exploraon es plus éendue lorsque le nveau de bru augmene, pusque du fa de ce bru, l assurance de l absence d aures opma locaux nécesse l exploraon d une zone plus vase. Il fau noer que dans la praque, ce nveau de bru de F es généralemen une donnée exogène sur laquelle l n es pas possble d agr. Pour un nveau de bru fxé à σ B = 0., llusré dans les graphques 50, 5 e 53, lorsque la varablé supposée de la foncon passe successvemen par σ K =, σ K = 0 e σ K = 00, nous observons un résula parfaemen logque : s le comporemen aendu de la foncon enre les pons de rage es supposé peu varable, l algorhme se concenre sur les zones proches des mnmseurs supposés. Dans le cas nverse, une varablé exrême σ K = 00 condu à une réparon quas unforme des pons d exploraon : avec une elle varablé, l opmum global de la foncon peu en effe se rouver dans n mpore quelle zone. Il fau ouefos remarquer que la fxaon d un seul de varablé σ K rop fable condura par défnon à supposer que le comporemen de la foncon es globalemen connu enre les pons explorés, ce qu condu à néglger des zones pouran suscepbles de conenr un opmum. L arbrage enre la rapdé de convergence vers les opma globaux e le rsque d avor néglgé une zone dépendra donc largemen de ce paramère σ K. Pour α fxé, la fxaon du paramère σ K es donc un problème délca, que nous aborderons dans le paragraphe II-4-4. Elle pourra se baser en parculer sur les exploraons précédenes de la foncon, sur d aures connassances de celles-c, ans que sur les conranes d mplémenaon e de nveau de rsque accepé. Il fau noer à ce suje que ren dans le modèle n oblge à fxer cee valeur consane sur l ensemble de la zone de recherche, e qu l es égalemen possble de enr compe d une varablé parculère de la foncon sur ceranes zones. En résumé, pour l algorhme n o à scsson sysémaque, l algorhme vse essenellemen à réparr des pons d exploraon, en délassan emporaremen ceranes zones non suscepbles de conenr le mnmum. Selon les paramères choss e la foncon opmsée, le comporemen aendu es le suvan, conforme à ce que nous avons pu observer : Lorsque le bru es mporan devan les varaons de la foncon, ou lorsque l ncerude sur la varablé de la foncon σ es élevée, l algorhme explore assez K 94

201 unformémen la foncon, de façon smlare aux radonnelles grlles de recherche à pas fxe évoquées précédemmen. Lorsque le bru n es pas rop élevé e lorsque la varablé de la foncon σ K es fable, les pons de rage se concenren sur les zones conenan les pons soluons supposés, le comporemen de la foncon éan supposé sans surprse enre les pons déjà explorés. Le chox du coeffcen σ K de varablé de la foncon f dépend donc du bu poursuv : rop élevé, l exploraon de la foncon sera rès poussée, e le emps de calcul pourra êre élevé s nous vsons une bonne connassance d un opmum de la foncon. Pour un σk rop fable, l algorhme se focalsera rès ve sur un opmum local, donc permera un gan en erme de emps de calcul, à précson égale, mas le rsque de ne pas explorer une zone suscepble de conenr un aure opmum, évenuellemen melleur, sera plus élevé. Fg. 50 : Ensemble des pons de smulaons de F pour une varablé σ K = e un nveau de bru σ = 0. (scsson sysémaque), ρ r = (0.0, 3.5E-03, 6.8E-07,.9E-) B 95

202 Fg. 5 : Ensemble des pons de smulaons de F pour une varablé σ K = e un nveau de bru σ = 0.3 (scsson sysémaque), ρ r = (0.3, 5.9E-03,.6E-06, 5.8E-) B Fg. 5 : Ensemble des pons de smulaons de F pour une varablé σ K = 0 e un nveau de bru σ = 0. (scsson sysémaque), ρ r = (0.45,.E-03, 7.3E-05, 0.7) B 96

203 Fg. 53 : Ensemble des pons de smulaons de F pour une varablé σ K = 00 e un nveau de bru σ B = 0. (scsson sysémaque), ρ r = (0.60, 8.8E-03, 5.9E-04, 0.97). La recherche de l opmum d une foncon consane bruée condu à un nuage de pons d allure proche de celu-c. Fg. 54 : Ensemble des pons de smulaon de F pour un nveau de bru σ B = 0., crère de scsson n o, pour une varablé ( σ K ;α ) = (,.5), e un nombre mnmal de rage n 0 = 0. La surface des bulles es proporonnelle au nombre de rages de F en chaque pon. ρ r = (0.085, 8.8E-03, 3.E-05, 8.E-04) 97

204 Fg. 55 : Ensemble des pons de smulaon de F pour un nveau de bru σ B = 0., crère de scsson n o, pour une varablé ( σ K, α ) = (,.5), e un nombre mnmal de rage n 0 = 0. La surface des bulles es proporonnelle au nombre de rages de F en chaque pon. ρ r = (0.0, 8.8E-03, 6.7E-05, 6.E-03) Fg. 56 : Ensemble des pons de smulaon de F pour un nveau de bru σ B = 0., crère de scsson no, pour une varablé ( σ K, α ) = (,.5), e un nombre mnmal de rage n 0 = 0. La surface des bulles es proporonnelle au nombre de rages de F en chaque pon. ρ r = (0.0, 0.0,.5E-05,.6E-0) 98

205 II-4-3 Comporemen de l algorhme avec rerages possbles Les deux graphques 54 e 55 llusren les rerages qu peuven s opérer sur des sommes déjà explorés, afn d amélorer la connassance de la foncon f en ces pons. Pour ces fgures, nous avons ulsé le crère de scsson n o envsagean l améloraon du poenel après ajou de n 0 smulaons (cf. II-3- de ce chapre). Lorsque le nveau de bru es σ B = 0., le graphque 54 monre que les rerages on essenellemen leu auour des pons soluons supposés, lorsqu l n es plus seulemen nécessare d avor une dée de la zone où se sue un mnmseur, mas qu l fau égalemen esmer avec précson la valeur m * de l opmum aen. Lorsque le bru augmene, cela end naurellemen à dsperser un peu les pons d exploraon, e favorse le rerage, dans la mesure où l ncerude en cerans pons, du fa du bru, deven plus fore que l ncerude lée à la varaon de la foncon enre les pons de la grlle. Le graphque 56 llusre un chox de scsson sur crère n o comparan drecemen erreur de grlle e erreur d esmaon (cf. II-3- de ce chapre) : elle donne une dée de l mpac du chox du crère de scsson, qu condu à un comporemen proche pour les deux crères. Les rerages sur des sommes exsans se fon lorsque la présence du mnmum es suffsammen vrasemblable e que l ncerude pesan sur les sommes de la zone do êre dmnuée. Pour les deux crères abordés c, l fau enfn noer que pour un nveau de bru nul, aucun rerage n nerven (les graphques llusran ce résula, qu condusen au graphque 49, on ouefos éé oms). Cela es logque dans la mesure où ces rerages n apporeraen ren à la connassance de la foncon f. Pour l algorhme avec rerages possbles, le comporemen aendu es le suvan, conforme à ce qu a éé observé : Lorsque le bru es fable, ou à plus fore rason lorsque F es déermnse, la seule ncerude résde dans le comporemen de la foncon enre les pons, e l algorhme crée sysémaquemen de nouveaux pons de rage. En présence d un bru, les pons de rerage se concenren dans les zones pees, généralemen proches d un pon soluon. Pour ces pons, la réducon de l erreur de grlle, fable sur de coures dsances, es mons prorare que la réducon de l erreur d esmaon. σ B = 0 σ B = 0., σ e =0 σ B = 0., σ e esmé σ B =0., σ e esmé scsson sys. scsson sys. scsson sys. avec rerages. σ K α σ K α σ K α σ K α n= n= n= Tab. 34 : Coeffcens σ K e α esmées par maxmum de vrasemblance, en présence ou non d un bru σ B, à parr de n pons explorés 99

206 II-4-4 Esmaon des paramères ( σ K,α ) Le ableau 34 représene les esmaons des coeffcens σ K e α, opérées à parr d un nombre n de pons explorés, pour des données soumses à un bru σ B. L esmaon es réalsée par maxmum de vrasemblance, comme ndqué au paragraphe II--3 de ce chapre, à l ade d un pon fxe qu a convergé dans oues les suaons esées. Ic, seuls les segmens délman les zones on éé reenus pour l esmaon, e non pas les segmens jognan deux pons explorés de zones dsnces. Les zones en queson on éé obenues par l algorhme avec des paramères naux ( σ K,α )= (0.3, 0.9). Dans la premère colonne de ce ableau 34, lorsque σ B = 0 (e en conséquence σ e = 0), nous pouvons consaer une relave sablé des paramères esmés, même dans le cas où l esmaon se base sur un nombre resren de segmens (lorsque n = 0 e en l absence de consdéraon de segmens ner-zones). Dans la deuxème colonne, en alque, lorsque σ B = 0. e pour ou pon σ e ( θ) = 0, l esmaon es menée comme s l esmaeur fˆ corresponda à la foncon f aux pons explorés. Cee colonne es donnée à re ndcaf, dans la mesure où l es parfaemen possble de enr compe des erreurs d esmaon aux pons explorés (cf. colonnes 3 e 4). La non prse en compe des erreurs d esmaon explque le coeffcen α nféreur dans le cas brué, qu correspond ben à une ncerude accrue sur les pees dsances, du fa du bru supporé par fˆ. Ce phénomène es d auan plus marqué que les zones son pees (c lorsque n es grand). Dans le cas brué, le coeffcen α nféreur es ouefos compensé par une pene σ K nféreure. Enfn, dans les rosème e quarème colonnes, l esmaon es menée sur des données bruée, en enan compe cee fos du bru σe aux pons explorés. La rosème colonne présene une esmaon ssue d un découpage par scsson sysémaque des zones, ands que la quarème présene une esmaon ssue de l algorhme avec rerages possbles. Les paramères observés sur ces colonnes 3 e 4 peuven varer un peu, noammen lorsque le nombre de segmens ulsés pour l esmaon es rédu. Touefos, dans les observaons que nous avons pu mener, une valeur mons élevée de α (volalé supéreure sur de coures dsances) es sysémaquemen compensée par une valeur mons élevée de σ K (volalé globale nféreure) : nous aborderons ce pon par l observaon des écars-ypes de la varable aléaore IR α dans le graphque 58. Le comporemen de l algorhme nalsé avec les dfférens paramères opmaux obenus es resé assez sable dans les exemples que nous avons esés. C es ce qu ndque le graphque 57, qu présene les pons d exploraon obenus, lorsque σ = 0., pour l algorhme nalsé avec les paramères esmés hors bru pour n = 000, ( σ K,α )= (.0743,.5665) (à gauche) ou esmés en présence de bru ( σ K,α )= (0.5545;.09) (à droe). Un coeffcen α supéreur perme de focalser les recherches un peu plus rapdemen sur de pees zones, mas la dfférence de valeur enre les coeffcens α esés es c rop énue pour que l effe global sur le comporemen de l algorhme en so beaucoup affecé. B 00

207 Enfn, nous avons déermné, ndépendammen de l algorhme proposé, l écar-ype emprque de la varable aléaore IR : α IR ( Z) = α ( θ ) ( ) - f θ ( ) α f dθ, θ θ θ, veceurs aléaores dsncs ssus de rages ndépendans, unformes sur Z. Le déal de la cee varable aléaore e des rages unformes sur une zone Z es donné dans la sous-secon II--3 de ce chapre. L écar-ype de cee varable aléaore fourn des nformaons sur la varaon des penes observées sur la zone en foncon de la dsance consdérée. Comme nous pouvons le vor dans le graphque 58, ces écars-ype son légèremen supéreurs dans le cas de la dem-zone Z correspondan à la pare de Θ suée au dessus de la droe d équaon y = x. Cela es logque dans la mesure où f a la forme d une cuvee sur cee zone e non plus de deux cuvees, les penes son c en moyenne un peu plus abrupes que lorsque nous relons deux pons d une même cuvee, pluô que deux pons de cuvees dfférenes. Nous pouvons remarquer que les ordres de grandeurs rouvés par maxmum de vrasemblance son ou à fa conformes à l écar-ype emprque de IR α, noammen de celu de IR α ( Z ), dans la mesure où dès la premère éraon de l algorhme, le smplexe nal es scndé en une zone Z e sa zone complémenare. La varable IR α n es pas ulsée par l algorhme, mas fourn une ndcaon sur l erreur fae a pror sur la régularé de la foncon objecf selon le modèle proposé. Même l ne s ag pas c de fournr une éude exhausve de la dsrbuon de IR α, qu dépend naurellemen de la foncon objecf ulsée, l nous a paru néressan de monrer quelle pouva êre la naure de cee erreur de modèle sur les données c esées. Le résula de cee analyse apparaî dans le graphque 59. Sur nore foncon objecf, la dsrbuon a poseror de IR α s es révélée fnalemen assez proche de la dsrbuon a pror supposée gaussenne, noammen pour α=.. Pour des α plus élevés, la présence de nombreuses valeurs rès élevées se radu par une légère sousévaluaon de la fréquence des penes rès élevées, e une sur-évaluaon de la fréquence des penes moyennes : la dsrbuon observée a poseror semble lepokurque. Il es égalemen possble que la dsrbuon de IR évolue au fur e à mesure des découpages. α Ces résulas ndquen qu l apparen à l observaeur d négrer une évenuelle prudence, en suresman par exemple le coeffcen σ K ou en sous-esman le coeffcen α, e qu l es auss envsageable de modfer a poseror la dsrbuon supposée des penes, ou le kuross de la dsrbuon, l hypohèse gaussenne pouvan servr de dsrbuon a pror lors d une nférence bayesenne. Un écar mporan peu égalemen ndquer une erreur dans le chox du coeffcenα, le modèle devan condure à un IR α proche d une lo normale pour un α à déermner, non pour ous. Remarquons ouefos que, convolués avec l erreur d esmaon en chaque pon, les écars observés peuven en pare s esomper. D aure par, s la hérarche enre les zones les 0

208 plus suscepbles de conenr un opmum global peu se rouver affecée par le décalage observé, elle n es pas non plus radcalemen remse en cause, le coeffcen d aplassemen de la dsrbuon ulsé ayan peu d ncdence pour des valeurs de f proches de la valeur esmée de l opmum global (pour une zone don les sommes conduraen à fˆ ( θ ) = mˆ *, le poenel en ou pon de la zone sera égal à, quel que so le coeffcen d aplassemen de la dsrbuon ulsée) : le poenel es ulsé pour opérer un arbrage enre dfférens pons d exploraon possbles, non pour prévor précsémen le comporemen de la foncon en ces pons. Fg. 57 : Pons d exploraons obenus, lorsque σ B = 0., avec les paramères esmés hors bru, σ,α )= (.0743,.5665) (à gauche) ou esmés en présence de bru ( σ K,α ) = (0.5545;.09) (à droe) ( K Fg. 58 : Ecar-ype emprque de IR α ( Z) obenu pour la zone Z 0 correspondan au smplexe Z orhogonal sandard nal (en ponllé) e pour la dem-zone Z correspondan à la pare de 0 suée au dessus de la premère bssecrce (ra plen) 0

209 Fg. 59 : Dsrbuon a pror de IR α (courbe gaussenne connue au premer plan) e hsogramme a poseror, pour la dem-zone Z obenue après la premère éraon de l algorhme. Cas α =. (à gauche) e α =.5 (à droe). Les écars-ype emprques obenus à parr de l hsogramme son respecvemen σ = 0.4 e σ = 0.73 II-4-5 Crères de convergence crères de convergence calculés Le crère ρ ( s) es défn dans la sous-secon II--6 de ce chapre. Il s appue sur une zone de confance proposée pour l ensemble des soluons, zone comprenan un ensemble de pons de poenel supéreur à un seul s. Le crère ρ ( s) ndque la plus grande dsance possble enre un pon de cee zone e le pon soluon le plus proche : l peu donc s nerpréer comme un rayon maxmal de la zone de confance depus chaque pon soluon. Le crère ρ 4, dépend quan-à-lu d un seul η qu sera, dans les applcaons numérques présenées, oujours fxé ans η = 0.0. Ce crère ndque la plus grande probablé (selon le modèle chos), qu un mnmum plus pe que ( m * -η ) so observé en un pon θ (cf. sous-secon II--6 pour une défnon précse). Dans les applcaons numérques, pour le calcul des crères ρ e ρ 4, l ensemble des pons canddas Θ 0 a éé consru sans opérer de nouveaux rages de F, en pochan a poseror 50 pons dans chaque zone (de façon unforme, cf. Smh e Tromble [004]), e en calculan leur poenel en foncon des pons explorés aux sommes de chaque zone. Pour le crère ρ, l ensemble des sommes proposés Ŝm*, s a éé exra de Θ 0 en ne reenan que les pons don le poenel éa supéreur au seul s fxé. Il es enfn rappelé que le crère ρ es consru sur l ensemble Θedes sommes explorés, e le crère ρ 3 sur l ensemble des zones consrues (cf. II--6) : Ŝ { θ Θ,β ( θ) s} m*,s = 0 H ( s) d ( Ŝ,S ) ρ = ρ sup nf = y S m * x 3 = maxβ Z z n ρ Θ m*,s e d ( Z) z m* ( ) x,y 03

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