EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. ****

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1 SESSION 3 PSIM7 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI MATHEMATIQUES Durée : heures Les calcularices so auorisées **** NB Le cadida aachera la lus grade imorace à la claré, à la récisio e à la cocisio de la rédacio Si u cadida es ameé à reérer ce qui eu lui sembler êre ue erreur d'éocé, il le sigalera sur sa coie e devra oursuivre sa comosiio e eliqua les raisos des iiiaives qu il a éé ameé à redre **** O désige ar N l esemble des eiers aurels, ar N* l esemble N rivé de e ar R l esemble des ombres réels Ea doé u eier aurel, o oe [, O oe [ l esemble des eiers aurels els que R l esace des olyômes à coefficies réels e, our N, o oe R [ le sous esace de R [ des olyômes de degré iférieur ou égal à O ideifiera le olyôme P R[ avec la focio olyôme associée O oe C l esace des focios coiues défiies sur l iervalle [, e à valeurs das R, o oe R l esace des resricios à [, des olyômes de R [ e o oe R l esace des resricios à [, des olyômes de R [ Par abus, o aellera olyôme ue focio de R Le bu du roblème es de défiir ue méhode de calcul aroché d ue famille d iégrales Das la arie I, o éudie ue famille de olyômes La arie II uilise ue srucure d esace réhilberie réel de l esace C, our obeir ue formule de calcul eace de ceraies iégrales La arie III codui à la méhode de calcul aroché aocée Tourez la age SVP

2 Das ou le roblème, désige u eier aurel Pour ou eier C ar : our ou [,, ( ) = cos( Arc cos ) N, o défii la focio PARTIE I Simlifier les eressios de,,, 3 e cosaer que ces focios o des eressios olyomiales, que l o eliciera Tracer, sur u même dessi, les grahes de,, e 3 Préciser les racies e les eremums de chaque focio Pour N* +, o oe θ = π e = cos (θ ) e [, 3 Pour N*, déermier les racies de la focio Morer que les racies de deu à deu oosées so O suose l eier Calculer la somme = = Morer que ( ) Pour [, avec θ [,π Soi [, i e θ =, le chageme de variable bijecif θ Arc cos Pour, erimer + ( ) + ( ) e focio de e de ( ) =, erme d écrire ( ) = cos 6 E déduire que our ou N, la focio, d u olyôme T de R [ Préciser le degré de T e le coefficie de so erme de lus hau degré es la resricio à l iervalle [ 7 Morer que our ou eier, le olyôme T a as de racie comlee o réelle (θ) PARTIE II Soi f ue focio de C Morer que la focio Pour N, o oe I = d - - f ( )! es iégrable sur, [

3 Calculer I e I Pour, doer ue relaio ere I e I (o ourra, ere aure méhode, uiliser le chageme de variable θ = Arc cos ) 3 E déduire les valeurs de I e I Quelle es la valeur de I our N? 3 Défiiio d ue srucure réhilberiee réelle sur C 3 Morer que l alicaio de C C das R défiie ar ( g) défii u rodui scalaire sur C 3 Morer que la famille de focio l esace vecoriel R Calculer la orme de chaque focio, our [, 33 Déduire de ce qui récède que, our ou ( ) d = + ( ) g( ) d f f,! < f g > =, es ue base orhogoale de e ou [,, o a O veu moer qu il eise rois réels a a uiques, els que our ou olyôme P R, o a ( ) 3 3 () ( ) d = a + + P ap ap O suose que l égalié () es saisfaie ar ou P R E rea successiveme les olyômes P défiies ar P ( ) =, P ( ) =, P ( ) =, déermier les réels a a Morer que le rile ( a ) P ( ) = uis P ( ) = a rouvé covie our les olyômes P défiies ar E déduire que l égalié () es vérifiée our ou olyôme P R calcul d ue iégrale Morer que la focio! es iégrable sur,[ ( ) Calculer l iégrale de la formule () = J d, à l aide du chageme de variable = e ( ) Tourez la age SVP

4 PARTIE III Soi N* Ea doé des réels a a e ue focio f C ( ) = + S f a f ( ) où = cos π =, o oe O se roose de morer qu il eise des réels a uiques, els que our ou olyôme P de R, o ai : () P ( ) a d = S O suose que l égalié () es saisfaie our ou P R E rea successiveme our olyômes P les moômes,,, morer que les réels a a so les soluios d u sysème de équaios liéaires à icoues, do le déermia es o ul (o e demade as le calcul des iégrales qui ierviee das le secod membre du sysème) ( P) O suose qu il eise des réels, a () soi vérifiée ar les focios a els que, our ou [,, la relaio Morer qu alors la relaio () es vérifiée our ou olyôme P R E uilisa ce qui récède, e ariculier I e II3, morer que les a so ous égau e calculer leur valeur 3 O suose que les a o la valeur rouvée e Soi P u olyôme de R E écriva la divisio euclidiee de P ar (sur [, ), morer que P vérifie () Ea doé ue focio g 3 Soi f C ( ) = Su g [, g C, o oe D ( g) - - > = g ( ) d S ( g) e o oe 3 Soi P R Morer qu il eise u eier, qui déed de P, el que our ou, o a D ( f ) π f P 3 E déduire ( f ) ( ) f lim S = d + Pour [,, o red ( ) e Morer que la série f = Soi m u eier de N*! coverge e que! m + = m+ m!

5 Déermier u olyôme P de degré m el que f P m m! 3 Jusifier que ( f ) rès S fouri ue valeur arochée de l iégrale d e à -3 Calculer cee valeur arochée Fi de l'éocé - - Tourez la age SVP