Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

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1 Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet cofodues) alors ces deu réels vérifiet : b c α + β = et αβ= a a O cosidère l équatio = Vérifier qu elle adet deu solutios distictes α et β as déterier les valeurs eactes de α et β, calculer : α + β, ( α β ), + et + α β α β α 3 Déterier toutes les équatios du secod degré adettat pour racies α et β β Eercice d degré : ue faille de paraboles Pour tout réel différet de, o cosidère la parabole P d équatio : ( ) y = Motrer qu il eiste eacteet deu poits, A et B, apparteat à toutes les paraboles P Déterier le lieu C des soets des paraboles P 3 Vérifier que les poits A et B appartieet à C et doer les équatios des paraboles dot les poits A et B sot les soets Lycée Féelo aite-marie - 5 Marc Lichteberg

2 uites Eercices Eocés Versio du juillet 05 ( + ) 5 4 O pose f : a Etudier les liites de f au bores de so doaie de défiitio 5 b Motrer que la droite D d équatio y = ( + ) est asyptote oblique à la courbe représetative de la foctio f et étudier leur positio relative (o rappelle que la droite d équatio y = a+ b est asyptote oblique à la courbe représetative de la foctio f e + (respectiveet ) si o a : li f ( ) ( a+ b) = 0 (respectiveet li f ( ) ( a+ b) = 0 )) + c O ote I le poit d itersectio des deu asyptotes obteues au questios précédetes Motrer que la courbe représetative de la foctio f est syétrique par rapport à I puis otrer que la faille des paraboles P est syétrique par rapport à I (o otrera que pour tout réel différet de, il eiste u uique réel ' différet de tel que les paraboles P et P soiet syétriques par rapport à I) ' Eercice 3 A qui de predre le quart? O cosidère la figure suivate : Lycée Féelo aite-marie - 5 Marc Lichteberg

3 uites Eercices Eocés Versio du juillet 05 Le poit M est u poit du quart de cercle tel que IOM = radias Pour quelle valeur de les trajets AIM et AOM sot-ils de êe logueur? Eercice 4 U ecadreet Motrer que pour tout réel apparteat à l itervalle [ 0; ], o a : Eercice 5 L iégalité de Beroulli Motrer que pour tout réel positif et tout etier supérieur ou égal à, o a : ( ) Eercice 6 Approiatios A l aide d approiatios affies de foctios judicieuseet choisies, doer des valeurs approchées de 38 et Das chaque cas, o doera l erreur relative coise 9,8 Eercice 7 To be taget or ot to be taget? That s the questio! La droite d équatio y = 5 est-elle tagete à la courbe d équatio 3 = 4? y Eercice 8 Tagetes coues Déterier les tagetes coues au paraboles P et P d équatios respectives y = et y = + Représeter graphiqueet les paraboles P et P aisi que les tagetes obteues Lycée Féelo aite-marie 3-5 Marc Lichteberg

4 uites Eercices Eocés Versio du juillet 05 Eercice 9 Raccordeet O cosidère ue parabole P vérifiat : O0;0 P ( ) I( 4;) P La tagete à P e O est horizotale O cosidère ue parabole P vérifiat : I( 4;) P A8;0 P ( ) Déterier des équatios des paraboles P et P de sorte qu elles adettet ue tagete coue e I Représeter graphiqueet P et P et la tagete coue e I Eercice 0 Défiitio géoétrique de la parabole Das u repère orthooré, o cosidère la parabole P d équatio y = a ( a > 0 ) Pour tout α 0, o cosidère la droite d équatio = α Elle coupe la parabole P au poit M α O ote T α et N α respectiveet la tagete et la orale à P e M α Doer les équatios réduites des droites T α et N α oit R α la droite syétrique de la droite T α par rapport à la droite N α Déterier l équatio réduite de la droite R Idicatio : o pourra cosidérer le poit H ( α ;0) 3 Motrer que toutes les droites R α, quad α varie das *, passet par u êe poit F dot o précisera les coordoées 4 oit Δ la droite d équatio y = 8a oit le poit P, projeté orthogoal du poit M sur la droite Δ Coparer MF et MP α Lycée Féelo aite-marie 4-5 Marc Lichteberg

5 uites Eercices Eocés Versio du juillet 05 Eercice D ou 3D? Quelles sot les diesios du rectagle d aire aiale que l o peut iscrire, coe l idique la figure ci-dessous, das u triagle isocèle de hauteur 0 c et de base c? Quel est le diaètre du cylidre de volue aiu que l o peut iscrire, coe l idique la figure ci-dessous, das u côe de révolutio de hauteur 0 c et de base de diaètre c? Lycée Féelo aite-marie 5-5 Marc Lichteberg

6 uites uériques Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Corrigés Eercice d degré : racies et coefficiets O cosidère l équatio = Le discriiat Δ associé au triôe 3 Δ = 3 4 = 9+ 8= 7 Puisqu il est stricteet positif, l équatio cosidérée adet bie deu solutios distictes + vaut : ( ) L équatio = adet deu racies distictes L idée géérale, das ce gere de questio est de faire apparaître la soe et le produit 3 des deu racies du triôe + 3 O a e effet : α + β = et αβ = O a alors : ( ) α + β = α + β + αβ αβ = α + β αβ = = + = 4 4 ( ) α β = α + β αβ = = + = αβ + = = = = α β α + β α + β α + β 7 + = = = = = α β ( α )( β ) αβ ( α + β) α + β = 4, ( α β ) = 7 4, 7 + = α β 3 et α + β = 4 3 O a : ( ) β( α ) ( α )( β ) α β α β + αβ + βα α β + = = α β α β α β + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) αβ α + β α + β αβ α + β = = αβ α + β + αβ α + β + ( ) ( ) Collège Féelo aite-marie - Marc Lichteberg

7 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 E teat copte de α + β = (résultat obteu à la questio précédete), il viet : 4 Il viet esuite : 3 ( αβ )( α + β ) α β + = α β αβ α + β + ( ) ( ) = = = 4 = = 8 α β αβ αβ = = = = α β α β αβ α + β + 4 ( )( ) ( ) ( ) α oit alors a + b + c = 0 ( a 0 ) ue équatio du secod degré adettat α et β pour racies β α β 9 b O a : α + β = 8 = 9 D où : b= a a 8 α β c Par ailleurs : = = D où : c= a α β 4 a 4 9 L équatio est doc de la fore : a + a + a = 0 soit ( 8 9 ) a + + = soit a = 0 ecore, a pouvat predre iporte quelle valeur réelle : ( ) α Les équatios du secod degré adettat α et β β sot les équatios de la fore : ( ) a = 0 où a est u réel o ul pour racies Lycée Féelo aite-marie - Marc Lichteberg

8 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Eercice d degré : ue faille de paraboles oit M ( α ; β ) u poit du pa Ce poit appartiet à toutes les paraboles P si, et seuleet si : \{ },M( α ; β) P \{}, β = ( ) α + 5α + 7 Les paraboles {}( α ) ( α α β) \, = 0 α = 0 α + 5α + 7 β = 0 ( α )( α + ) = 0 α + 5α + 7 β = 0 α = ouα = β = α + 5α + 7 = = ( α ; β) ( ;0) ou ( α ; β) ( ;0) P passet toutes par les poits A( ;0) et ( ) B;0 A titre de copléet, ous fourissos ci-dessous les représetatios graphique des paraboles P (e rouge), P (e bleu), P 4 (e jaue) et P 5 (e vert) O a égaleet A ;0 B;0 fait apparaître les poits ( ) et ( ) Lycée Féelo aite-marie 3 - Marc Lichteberg

9 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 P passaiet par le poit ( ) O a vu que toutes les paraboles A ;0 E d autres teres, toutes les équatios ( ) = 0 adettet coe racie O sait que le produit des racies vaut 7 Pour fié différet de, l autre racie de l équatio 7 vaut doc Aisi, le soet de la parabole d équatio ( ) y = adet pour abscisse : = + = O rearque iédiateet que ( ) e peut être ul (le uérateur de la fractio e peut l être) O pouvait bie sûr obteir directeet ce résultat e utilisat le fait que, plus b gééraleet, l abscisse du soet de la parabole d équatio y = a + b+ c vaut a L ordoée du soet de la parabole P vaut alors : 5 5 y = ( ) 5 7 ( ) + ( ) = ( ) + 7 4( ) ( ) 5 5 = + 7 4( ) ( ) 5 = = ( ) ( )( ) 4( ) + = ( ) O va aiteat chercher à éliier le paraètre etre et y Nous allos «travailler» l epressio de y qui est plus coplee O a : y = = ( ) 4( ) 4( ) 5 Coe =, il viet iédiateet : = ( ) 4( ) 0 Mais il e découle aussi : = soit = = 5 Lycée Féelo aite-marie 4 - Marc Lichteberg

10 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 D où : = ( 4 5) 8( 4 5) = + 8 ( + ) = = = = Fialeet : y = + 4 ( ) = 5 0 = 5 ( + ) ( ) ( + ) Les soets des paraboles sot doc situés sur la courbe C d équatio ( + ) 5 y = Réciproqueet, si o cosidère u poit ( ; ) ( + ) y de la courbe C d équatio 5 y =, o peut se deader s il eiste ue parabole P de soet 5 = ( ) / soet de P / + y = 4( ) La preière lige du systèe est vérifiée pour = Coe o a o costate alors que la secode lige est vérifiée ( + ) 5 y =, Lycée Féelo aite-marie 5 - Marc Lichteberg

11 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 E défiitive, pour tout poit ( ; ) ue uique valeur de telle que ( ; ) ( + ) 5 y de la courbe C d équatio y =, il eiste y est le soet de la parabole P 5 Le lieu des soets des paraboles P est la courbe C d équatio y = et tout poit de cette courbe est le soet d ue parabole P ( + ) A titre de copléet, ous avos fouri ci-dessous ue représetatio graphique de quelques paraboles P (e poitillés) pour différetes valeurs de, de leurs soets ( ) 5 + (poits rouges) et de la courbe C d équatio y = (e bleu) 3 Pour =, o a iédiateet : appartiet bie à la courbe C ( + ) ( + ) 5 5 = = 0 Aisi, le poit A( ;0) Lycée Féelo aite-marie 6 - Marc Lichteberg

12 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 ( + ) ( + ) = = = Aisi, le poit ( ) Pour =, o a : 4 0 bie à la courbe C B;0 appartiet D après la questio précédete, la parabole dot A( ;0) est le soet est la parabole de paraètre = = + = 5 5 Il s agit doc de la parabole d équatio : y = + 5+ De êe, la parabole dot B est le soet est la parabole de paraètre 5 5 = = = Il s agit doc de la parabole d équatio : 5 5 y = + 5+ Le poits A et B sot les soets respectifs des paraboles P : y = + 5+ et P : y = A titre de copléet, ous fourissos ci-après ue représetatio graphique de la courbe C (e bleu) et des paraboles P 9 et P (e poitillés) Lycée Féelo aite-marie 7 - Marc Lichteberg

13 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 4 a La foctio f est ue foctio ratioelle et est pas défiie pour = 0 o doaie de défiitio D f est doc : D f = * = ] ;0[ ] 0; + [ O va doc chercher les liites de la foctio f e 0 (à gauche et à droite), e et e li + = Par ailleurs : li = et li = O a : ( ) < 0 O e déduit (produit) : li ( ) = et li ( ) < f > 0 f = + > ( ) Esuite, pour tout réel o ul, o a : f ( ) = = = + + O a iédiateet : li ( + ) =, li ( + ) =+ et li = 0 + ± O e déduit (soe) : li + + = et li + + =+ + li f li f = + Fialeet : ( ) = et ( ) li f 0 < 0 li + f ( ) = et li f ( ) 0 > 0 ( ) = et li f ( ) + = + = + Rearque : coe o a li ( ) = et li ( ) < f 0 0 f 0 > 0 = + (ue seule liite ifiie suffit pour coclure), la courbe représetative de la foctio f, c'est-à-dire la courbe C, adet la droite d équatio 0 = coe asyptote verticale b Pour tout réel o ul, o a : ( ) ( ) ( ) f ( ) ( + ) = ( + ) = = 5 5 li li 0 ± + = = ± O e déduit iédiateet : f ( ) ( ) O e coclut : 5 = + est asyptote oblique à la courbe représetative de la foctio f e et e + La droite D d équatio y ( ) Lycée Féelo aite-marie 8 - Marc Lichteberg

14 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Pour étudier la positio relative de la droite D et de la courbe C, o étudie le sige de la différece f ( ) 5 ( + ), c'est-à-dire, d après la questio précédete, de 5 Il viet iédiateet : * ur, 5 0 < soit ( ) 5 f < ( + ) : la courbe représetative de la foctio f est située sous la droite D * ur +, 5 0 > soit ( ) 5 f < ( + ) : la courbe représetative de la foctio f est située au-dessus de la droite D ur *, la courbe C est située sous la droite D et sur * +, elle est située au-dessus c La courbe représetative de la foctio f adet deu asyptotes : la droite d équatio 5 = 0 et la droite d équatio y = ( + ) Les coordoées de leur poit d itersectio I ( ; y ) vérifiet doc le systèe = 0 5 y = ( + ) Celui-ci adet coe solutio iédiate le couple ( 0;5 ) Le poit d itersectio des deu asyptotes de la courbe représetative de la foctio f est le poit I0;5 ( ) Pour otrer que la courbe C est syétrique par rapport au poit I, il suffit de otrer M ; y appartiet à C si, et seuleet si, le poit que : pour tout o ul, le poit ( ) P ( ; y+ 0) appartiet à C Pour tout réel o ul, o a : ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 4 ( ) ( + ) 5 5 M ( ; y) C y = y+ 0 = y+ 0 = + 4 y+ 0 = y+ 0 = Le résultat est aisi établi 5 y+ 0 = P ( ; y+ 0) C Lycée Féelo aite-marie 9 - Marc Lichteberg

15 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 La courbe C représetative de la foctio f est syétrique par rapport au poit I0;5 ( ) oit aiteat respectiveet P et P et P ' deu paraboles d idices et ', différets de, P ' sot syétriques l ue de l autre par rapport au poit ( ) si, pour tout réel, le poit M ( ; y ) appartiet à P ( ; y 0) P + appartiet à ' O veut doc :,M ( ; y) P P ( ; y+ 0) P ' I0;5 si, et seuleet P si, et seuleet si, le poit O a : M ( ; y) P ( ) 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) y = + + y+ 0 = y+ 0 = La derière égalité traduit le fait que le poit P ( ; y+ 0) appartiet à P ' pour tout réel si, et seuleet si, o a : = ' et + 3= 7 ', c'est-à-dire + ' = 4 O peut fialeet coclure : Pour tout réel différet de, la parabole il eiste ue uique parabole, la parabole P 4, syétrique de P par rapport au poit I0;5 ( ) La faille des paraboles P est syétrique par rapport au poit I A titre de copléet, ous avos fouri page suivate ue représetatio graphique de la courbe C (e bleu), de l asyptote oblique D (e rouge) et des paraboles P 6 et P syétriques par rapport au poit I ur la parabole 6 poit M et sur la parabole P ous avos fait apparaître u P so syétrique P par rapport à I Lycée Féelo aite-marie 0 - Marc Lichteberg

16 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Eercice 3 A qui de predre le quart? Notos R le rayo du quart de cercle OA OA Das le triagle OMA, rectagle e A, o a : cos = = Doc : OA = Rcos OM R Aisi, la logueur l ( AOM) du trajet AOM vaut : ( AOM) = AO + OM = cos + = ( cos + ) l R R R Par ailleurs, l agle état eprié e radias, la logueur de l arc IM vaut R l AIM du trajet AIM vaut : Aisi, la logueur ( ) ( AIM ) = AI + IM = OI OA + = cos + = ( cos + ) l IM R R R R Lycée Féelo aite-marie - Marc Lichteberg

17 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Les deu trajets ot doc êe logueur si, et seuleet si : ( cos + ) = ( cos + ) R R cos + = cos + cos = cos + = cos A l aide de la calculatrice, e tabulat la foctio cos ou à l aide d ue résolutio graphique (G-olv), o obtiet coe uique solutio :, 03 (valeur approchée à 0 ) Eercice 4 U ecadreet Motrer que pour tout réel apparteat à l itervalle [ 0; ], o a : O va cosidérer la foctio f : + 3 0; défiie sur l itervalle [ ] Lycée Féelo aite-marie - Marc Lichteberg

18 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Elle y est dérivable e tat que foctio ratioelle et pour tout réel de l itervalle [ 0; ], o a (dérivée d u rapport) : f ' ( ) ( )( ) ( 3 ) ( ) 3 3 ( ) + = 3 ( 3 4)( + ) ( ) ( ) = = = + + ( ) ( ) ( ) Pour tout réel das l itervalle [ ] s aule que pour = 0 0;, o a iédiateet ( ) + 0 et ( ) + e 3 Pour étudier le sige du triôe + 3 4, o peut rearquer que = e est racie O a alors facileet : 3 ( )( + 3 4= + + 4) Le triôe e s aulat 3 pas (discriiat stricteet égatif), le sige de est doc celui de Fialeet : f '0 = f '= 0 ( ) ( ) i ] 0;[, ( ), ( ) i ] ;] f ' < 0 f ' > 0 La foctio f est doc stricteet décroissate sur l itervalle [ 0; ] et stricteet croissate sur l itervalle [ ; ] Elle adet doc u iiu e et so aiu est atteit e 0 ou e O a : f ( 0) = = 0 et f ( ) = = 0 Aisi, le aiu de f sur l itervalle [ 0; ] vaut 0 3 Par ailleurs : f () = = + Fialeet : [ 0; ], f ( ) 0 Le résultat est établi 3 [ 0; ], 0 + Lycée Féelo aite-marie 3 - Marc Lichteberg

19 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Eercice 5 L iégalité de Beroulli Notos d abord que pour =, l iégalité est trivialeet vérifiée : = et = ( ) Nous supposos doc désorais > Pour tout etier aturel stricteet supérieur à, o défiit sur + la foctio f par : ( ) = ( ) f La foctio f est dérivable sur l itervalle + e tat que foctio polyôe et pour tout réel positif, o a : ( ) = = ( ) f ' La foctio est stricteet croissate sur + (dérivez-la si vous e êtes pas covaicu(e) ) et s aule e O e déduit iédiateet : [ 0;[, o a : f '( ) < 0 f ' ( ) = 0 ; f ' > 0 ] + [, o a : ( ) Aisi, la foctio f est stricteet décroissate sur l itervalle [ 0; ] et stricteet croissate sur l itervalle [ ;+ [ O e déduit que sur + la foctio f adet u iiu e = Ce iiu vaut : f ( ) = ( ) = 0 Aisi, pour tout réel positif, o a : f ( ) = ( ) f ( ) = 0, soit : Le résultat est établi ( ) Eercice 6 Approiatios Valeur approchée de 38 * Nous cosidéros la foctio racie carrée qui est dérivable sur + et que ous otos f pour pouvoir plus aiséet utiliser les otatios du cours Le carré parfait le plus proche de 38 est 36 O peut doc écrire : ( ) ( ) ( ) ( ) 38 = f 38 f 36 + f ' Lycée Féelo aite-marie 4 - Marc Lichteberg

20 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 O a iédiateet : f ( 36) = 36 = 6 Par ailleurs, pour tout réel stricteet positif, il viet : f '( ) D où : '36 ( ) Il viet alors : f = 36 = = = f ( 38) f ( 36 ) + f '( 36) ( 38 36) = 6 + = 6 + = L erreur relative coise vaut : 6 = 3, 65 0 = 0, 0365% Bie évideet, cette erreur est calculée à l aide d ue calculatrice qui ous fourit directeet ue valeur très précise de 38! A l aide de l approiatio affie de la foctio racie carrée e 36, o obtiet 37 6 coe valeur approchée de 38 O coet aisi ue erreur d eviro 0,0365% (surestiatio) Valeur approchée de 9,8 O va cette fois travailler avec la foctio iverse, dérivable sur * ous itéresse ici car 9,8 + ), que ous otos ecore f 0 est «proche» de 9,8 et so iverse est siple 9,8 O peut doc écrire : = f ( 9,8) f ( 0 ) + f '( 0) ( 9,8 0) O a iédiateet : ( ) f 0 = = 0, 0 Par ailleurs, pour tout réel stricteet positif, il viet : f '( ) f '0 = = = 0, D où : ( ) Il viet alors : * + (c est u itervalle qui = = f ( 9,8) f ( 0 ) + f '( 0) ( 9,8 0) = 0, 0, 0 ( 0, ) = 0,+ 0, 00 = 0,0 9,8 Lycée Féelo aite-marie 5 - Marc Lichteberg

21 Coe Préparatio cieces Po/Prépa HEC Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet = = et 9, ,0 = =, l erreur relative coise vaut : = = = = 4 0 = 0, 04% A l aide de l approiatio affie de la foctio iverse, o obtiet 0,0 coe valeur approchée de O coet aisi ue erreur de 0,04% 9,8 (sous-estiatio) Eercice 7 To be taget or ot to be taget? That s the questio! La droite d équatio y = 5 est-elle tagete à la courbe d équatio y 3 = 4? 3 La courbe C d équatio y = 4 peut être vue coe la courbe représetative de la 3 foctio f : 4 Il s agit d ue foctio polyôe, doc dérivable sur et de dérivée f ': 3 Pour que la droite d équatio y = 5 soit tagete à la courbe C, il faut (ais ce est pas suffisat!) qu il eiste (au ois) ue valeur de telle que f '( ) = 5 O doit doc coecer par résoudre : 3 = 5 O otre facileet que l équatio 3 5 adet pour solutios et 5 3 L équatio réduite de la tagete à C au poit d abscisse s écrit : ( ) ( ( )) ( ) ( ) y= f ' + f = 5 + 6= 5 O trouve l équatio réduite de la droite proposée das l éocé L équatio réduite de la tagete à C au poit d abscisse 5 3 s écrit : y f ' = f = = O trouve l équatio d ue droite parallèle à celle de l éocé Fialeet : La courbe d équatio 3 = 4 adet au poit ( ; 6) y ue tagete d équatio réduite y = 5 Lycée Féelo aite-marie 6 - Marc Lichteberg

22 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Rearque : pour plus de lisibilité, ous avos choisi u repère orthogoal ais o orthooral Eercice 8 Tagetes coues oit A et B des poits des paraboles P et P respectiveet tels que la droite ( AB ) soit tagete paraboles P et P e A et B respectiveet Coe A appartiet à la parabole P d équatio y = + + 3, ses coordoées sot de la fore ( a; a a 3) b; b + La droite ( ) + + De faço aalogue, les coordoées de B sot de la fore AB e peut être verticale puisqu ue parabole e peut adettre de tagete verticale O a doc écessaireet a b et le coefficiet directeur de la droite ( AB ) vaut : b + ( a + a+ 3) a a b a + a+ b + yb ya = = = b a b a a b B A Lycée Féelo aite-marie 7 - Marc Lichteberg

23 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 La droite ( AB ) sera alors ue tagete coue au paraboles P et P si, et seuleet si, so coefficiet directeur est égal au coefficiet directeur de la tagete à e A et au coefficiet directeur de la tagete à P e B La parabole P d équatio y de dérivée + = est la courbe représetative de la foctio Au poit ( a; a a 3) de la tagete vaut doc a + O a aisi ue preière égalité : a + a+ b + = a + a b P + +, le coefficiet directeur La parabole P d équatio y = + est la courbe représetative de la foctio + de dérivée Au poit b; b +, le coefficiet directeur de la tagete vaut doc b O a aisi ue deuièe égalité : O doit doc résoudre le systèe : a + a+ b + = b a b a + a+ b + = a + a b a + a+ b + = b a b O a iédiateet : a+ = b, soit : b= a Lycée Féelo aite-marie 8 - Marc Lichteberg

24 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 O procède alors par substitutio : a + a+ b + = a + a b a + a+ ( a ) + = a + a ( a ) a + a+ 4 a+ + = a+ 3a+ a + a+ a + a+ + = 3a + 5a+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + 3a + 4a= 0 a( 3a+ 4) = 0 4 a= 0oua= 3 3a 6a 4 6a 0a 4 Pour a = 0, o obtiet b = 0 = Pour a =, o obtiet b = = = Le systèe adet doc deu couples solutios : ( 0; ) et 4 ; 3 3 Pour a = 0, o obtiet sur la parabole P le poit A de coordoées ( a; a + a+ 3) = ( 0;3) et pour b =, o obtiet sur la parabole P le poit B de coordoées b; b + = ( ; ) Coe la pete de la droite ( AB ) est égale à b = ( ) = alors ue équatio de cette droite est : y ya = ( A), soit y 3 ( 0) AB s écrit doc : y = + 3 = L équatio réduite de la droite ( ) 4 Pour a =, o obtiet sur la parabole P le poit C de coordoées ( a; a + a+ 3 ) = ; 3 9 et pour b =, o obtiet sur la parabole P le poit D de 3 7 coordoées b; b + = ; 3 9 Lycée Féelo aite-marie 9 - Marc Lichteberg

25 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 b = alors ue équatio de cette droite y ya = A, soit y = L équatio réduite de la droite y = Coe la pete de la droite ( CD ) est égale à est : ( ) ( CD ) s écrit doc : Les paraboles P : y = et P : y = + adettet deu tagetes coues : les droites d équatios y = + 3 et y = O obtiet : Lycée Féelo aite-marie 0 - Marc Lichteberg

26 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 Eercice 9 Raccordeet Nous pouvos poser : P : y = a + b + c et P : ' ' ' y = a + b + c Coe O0;0 P ( ), il viet iédiateet c = 0 Par ailleurs, le coefficiet directeur de la tagete au poit de P d abscisse vaut a + b E O, o a = 0 et le coefficiet directeur de la tagete e ce poit vaut doc b Mais d après l éocé, cette tagete est horizotale et doc de coefficiet directeur ul O a doc b = 0 Ue équatio de P s écrit doc y = a Efi, coe I( 4;) P, o a = a 4 soit a = = 6 8 Fialeet : P : y = 8 Le coefficiet directeur de la tagete à P e I vaut doc : 4 4 = Coe I( 4;) P, o a : Coe A8;0 P ( ), o a : = + + soit 6 a' + 4 b' + c' = 0 = a' 8 + b' 8 + c' soit 64 a' + 8 b' + c' = 0 a' 4 b' 4 c' Le coefficiet directeur de la tagete à P e I vaut : a' 4 + b' = 8 a' + b' Puisque l o souhaite que les tagetes e I à P et à P soiet cofodues, o doit avoir : 8 a' + b' = E défiitive, les coefficiets a ', b ' et c ' vérifiet le systèe : 6 a' + 4 b' + c' = 64 a' + 8 b' + c' = 0 8 a' + b' = O a : 6 a' + 4 b' + c' = 6 a' + 4 b' + c' = 6 a' + 4 b' + c' = 6 a' + 4 b' + c' = 64 a' + 8 b' + c' = 0 8( 8 a' + b' ) + c' = c' = 0 c' = 8 8 a' b' 8 a' b' 8 a' b' + = + = + = 8 a' + b' = 6 a' + 4 b' = 0 b' + 4 b' = 0 b' = 8 b' = 4 b' = 4 c' = 8 c' = 8 c' = 8 c' = 8 c' = 8 8 a' = b' 8 a' = b' 8 a' b' 8 a' 3 = = 3 a ' = 8 Lycée Féelo aite-marie - Marc Lichteberg

27 Foctios Eercices Corrigés Versio du juillet 05 3 Fialeet : P : y = La tagete e I( 4; ) au deu paraboles et, de fait, pour équatio réduite y ( 4) P et P adet pour coefficiet directeur = soit y = 3 Les paraboles P : y = et : y = ue tagete coue d équatio y = P adettet au poit I( 4; ) O obtiet facileet : Lycée Féelo aite-marie - Marc Lichteberg

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