Correction EDHEC 2007 Voie scienti que

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1 EDHE 7 ES Exercice Page orrectio EDHE 7 Voie scieti que La correctio comporte 4 pages. Exercice. Pour tout etier o ul, la foctio x 7! e x x est cotiue sur R e tat que quotiet (dot le déomiateur e s aule pas sur cet esemble) de telles foctios. Aisi l itégrale dé issat u e présete qu ue impropreté, e : omme la foctio ' : x 7! x est strictemet décroissate sur R ; ous avos : 8x ; ' (x) ' () et : 8x ; avec : L itégrale Z permet de coclure que : Z e x x e x e x dx () e x dx coverge doc. Le critère de majoratio appliqué aux foctios positives Z e x dx x coverge et la suite (u ) N est bie dé ie. _ (a) Nous avos : 8x ; e x x e x x car x x ) x x et e x > 8x ; e x e x car x ) x x alors comme toutes les foctios e jeu sot cotiues sur [; [ ; la croissace de l itégrale ous doe : 8A ; Z A e x dx x Z A e x dx e x A e e A Le théorème de prologemet des iégalités, ous permet d écrire, comme : Z A lim A! e x dx x Z e x dx x par cvce de l itégrale et lim A! e e A e ocours 7 4 mai 7

2 EDHE 7 ES Exercice Page que : 8 N ; Z e x dx x e soit : 8 N ; w e () E la positivité de l itégrale, les bores état bie ragées, permet d écrire que : 8A ; Z A e x dx x et par passage à la limite quad A ted vers (théorème de prologemet des iégalités) : oclusio : selo () et () Z A e x dx lim A! x Z e x dx soit x ou ecore w () 8 N ; w e (b) La foctio : x 7! e x est décroissate sur [; ] ; doc 8x [; ] ; (x) e ; aisi : e x x e x alors par cotiuité de toutes les foctios e jeu sur le segmet [; ] ; les bores sot bie ragées, la croissace de l itégrale ous doe : 8 N ; Z e x dx x Z dx e x e l x l e l (l ( ) e l l ) l ( ) e oclusio : 8 N ; v l ( ) e (c) omme : lim! le théorème de comparaiso ous doe : l ( ) e lim v! ocours 7 4 mai 7

3 EDHE 7 ES Exercice Page 3 D autre part la relatio de hasles ous permet d écrire que : 8 N ; u v w où la suite (w ) N est borée, alors selo l algèbre des limites : lim u lim v!! lim! w 3. _ e x (a) La foctio : x 7! est cotiue sur ]; ] e tat que quotiet (dot le déomiateur x e s aule pas sur l itervalle) de telles foctios. L itégrale présete doc ue impropreté e : Or comme : e x x x x (car e x e x x) alors lim et est prologeable par cotiuité e e posat x! x () : Aisi (b) Il est clair que : Z e x dx est faussemet impropre e et est doc covergete x 8x ]a; ] ; où a ]; [ ; 8 N ; x x doc alors x e x x x car t 7! t est strictemet décroissate sur R e x x (e multipliat par e x sur ]a; ] ) E itégrat membre à membre, les deux foctios e jeu état cotiues sur l itervalle d itégratio ]a; ] ; les bores état ragées car a < ; la croissace de l itégrale ous permet de dire que : Z e x Z e x a x dx dx a x Sachat que : 8 N ; Z e x lim a! a x dx Z e x Z e x x dx et lim dx a! a x Z e x dx x par covergece des itégrales, le théorème de prologemet des iégalités ous doe : 8 N ; e x E comme 8x [; ] ; x ragées, ous avos alemet : Z e x x dx Z e x dx x ; par positivité de l itégrale, les bores état bie 8 N ; Z e x x dx Z e x dx x (3) ocours 7 4 mai 7

4 EDHE 7 ES Exercice Page 4 (c) Par dé itio de v ; ous avos : Z e x x dx alors selo (3) ous avos : Z Z x dx x dx Z e x v x dx 8 N ; Z x dx v I soit : Z ou ecore : x dx I v Z x l x I v l x ) l ( ) I v l ( ) dx oclusio : 8 N ; l ( ) I v l ( ) (4) (d) omme précédemmet vu, ous savos que la suite (w ) N est borée, et comme v ted vers ous pouvos écrire que : w o (v ) Aisi : soit doc : u v w omme 8 N ; l ; (4) etraîe que : v v car u v w (5) avec : puisque : et : 8 N ; lim! l ( ) l l ( ) l l ( ) l I I v l ( ) l l l ( ) et lim! l lim! I l l l l l l l l ocours 7 4 mai 7

5 EDHE 7 ES Exercice Page 5 avec : l l l Le théorème d ecadremet permet de dire que : lim! v et lim l! l ce qui équivaut à dire, selo la caractérisatio des suites équivaletes, que : oclusio : selo (5) ; (6) par trasitivité de v u l (6) l Exercice. Tout d abord la famille (I; J; K; L) est géératrice de E par dé itio de l éocé. Il ous reste plus qu à démotrer qu elle est libre. Soit (a; b; c; d) R 4 ; tel que ai bj ck dl ; motros que a b c d : La combiaiso liéaire ulle s écrit : a b c d b a d c c d a b d c b a A M 4(R). _ ce qui etraîe que : 8> < >: a b c d et la famille est doc libre. omme so cardial vaut 4, ous pouvos dire que : (a) Sas commetaire particulier, o trouve : (I; J; K; L) est ue base de E et dim E 4 JK L KL J LJ K (7) (b) De même : J I K I L I (8) Nous e déduisos que : KJ K L L selo (7) et (8) LK L J J selo (7) et (8) JL KL K selo (7) et (8) ocours 7 4 mai 7

6 EDHE 7 ES Exercice Page 6 (c) Soit M et M deux matrices de E; elles s écrivet doc chacue sous forme de combiaiso liéaire des matrices I; J; K; L: Alors : 9 (a; b; c; d) R 4 j M ai bj ck dl 9 (a ; b ; c ; d ) R 4 j M a I b J c K d L MM (ai bj ck dl) (a I b J c K d L) dd L bb J cc K aa I bd JL cd KL bc JK cb JK db JL dc KL ad L ab J a bj ac K ca K a dl dd I bb I cc I aa I bd K cd J bc L cb L db K dc J ad L ab J a bj ac K ca K a dl ( dd bb cc aa ) I (cd dc ab a b) J ( bd db ac ca ) K (bc cb ad a d) L omme ous avos pu exprimer MM comme combiaiso liéaire des vecteurs de la base (I; J; K; L) de E; ous pouvos coclure que : E est stable pour le produit matriciel 3. omme les matrices J et K e sot pas commutates, ous devos faire attetio das le calcul et: ce qui s écrit aussi : A (J K) J JK KJ K I L L I I A A I Nous avos doc pu trouver ue matrice carrée d ordre 4 otée qui commute avec A telle que : Aisi A est iversible avec : A A I A A 4. _ (a) omme l esemble E est stable pour le produit matriciel et que A; M et A e sot élémets; alors ' A (M) E: D autre part pour tout couple (M; M ) de matrices de E et pour tout couple de réels (a; b) ; ous avos : ' A (am bm ) A (am bm ) A aama bam A e développat a' A (M) b' A (M ) et ' A est bie ue applicatio liéaire. oclusio : ' A est bie u edomorphisme de E (b) Par dé itio : Or : ker ' A fm Ej' A (M) g ' A (M) () AMA () A AMA A () M ocours 7 4 mai 7

7 EDHE 7 ES Exercice Page 7 et : ker ' A (9) L égalité (9) équivaut à dire que ' A est ijective et comme ous travaillos e dimesio ie, cela reviet à dire que ' A est bijective, autremet dit : ' A est u automorphisme de E 5. _ (a) Pour écrire A la matrice de ' A das la base (I; J; K; L) ous ous devos de calculer les images ' A (I) ; ' A (J) ; ' A (K) et ' A (L) que l o exprimera e foctio de I; J; K et L: Nous avos : Nous avos : Nous avos : ' A (J) AJA ' A (I) AIA I () (J K) J (J K) J KJ (J K) J 3 J K KJ KJK ( J K K LK) (K K K J) ( K) K () ' A (K) AKA (J K) K (J K) JK K (J K) JKJ K J JK K 3 (LJ J J K) (K J J K) ( J) J () ocours 7 4 mai 7

8 EDHE 7 ES Exercice Page 8 Nous avos : Selo () ; () ; () et (3) : ' A (L) ALA (J K) L (J K) (JL KL) (J K) (JLJ KLJ JLK KLK) JK K J KJ (L I I L) (L) L (3) A mat (' A ; (I; J; K; L)) (b) Selo () et () ous pouvos d ores et déjà dire que et sot deux valeurs propres de A et comme cette derière est clairemet iversible (il su t d iverser les deux coloes cetrales pour voir que rg A 4), est pas valeur propre. Mais cela e ous doe pas les autres valeurs propres évetuelles, c est pourquoi ous reviedros à la dé itio classique d ue valeur propre ce qui ous amèera à résoudre u système homogèe. est ue valeur propre de A si et seulemet si A I est o iversible avec : A I A E ectuos l opératio élémetaire L $ L 3 alors : A puis l opératio L 3 L 3 L A I I A A A A I est o iversible si et seulemet si la réduite de Gauss obteue est o iversible, soit si et seulemet si l u (au mois) de ses coe ciets diagoaux est ul, c est-à-dire si et seulemet si f ; g : oclusio : sp ( A ) f ; g Détermios E ( A ) et E ( A ) les sous-espaces propres associés respectivemet associés à ocours 7 4 mai 7

9 EDHE 7 ES Exercice Page 9 et avec : E ( A ) E ( A ) 8 >< X >: 8 >< X >: Vect 8 >< X >: 8 >< X >: Vect x y z t x y z t x y z t x y z t A M 4 (R) j A (X) X 9 > >; A M 4 (R) j y z et t A ; 9 > AA (4) A M 4 (R) j A (X) 9 > X >; A M 4 (R) j x et y z A ; 9 > AA (5) Selo (4) et (5) : dim E (' A ) dim E (' A ) et comme dim E 4; ous avos : dim E (' A ) dim E (' A ) dim E >; >; ce qui permet de dire que : ' A est diagoalisable 6. _ (a) est ue démostratio classique de cours. Notos P (p ij ) (i;j)[j;4j] ; Q (q ij ) (i;j)[j;4j] deux matrices de E; R la matrice produit P Q (r ij ) (i;j)[j;4j] et e S le produit QP (s ij ) (i;j)[j;4j] avec par dé itio : 8 (i; j) [j; 4j] ; r ij 8 (i; j) [j; 4j] ; s ij 4X p ik q kj k 4X q ik p kj k ocours 7 4 mai 7

10 EDHE 7 ES Exercice Page Das ce cas : tr (P Q) 4X i 4X r ii i k 4X k i 4X k i 4X k 4X p ik q ki 4X p ik q ki e iversat l ordre de sommatio 4X q ki p ik par commutativité du produit das R s kk tr (QP ) oclusio : 8 (P; Q) E ; tr (P Q) tr (QP ) (b) Avat de commecer, sigalos que la matrice A vaut : A A A Aisi ous costatos que t A A; o dit que A est atisymétrique. ' A est u edomorphime symétrique si et seulemet si : 8 (P; Q) E ; (' A (P ) j Q) (P j ' A (Q)) A Or : Or : (' A (P ) j Q) tr t ' A (P ) Q tr t AP A Q car A tr t (AP A) Q A; t (A) t A et par liéarité de la trace tr t A t P t A Q par propriété de la traspositio tr ( A) t P ( A) Q car A est atisymétrique tr At P AQ (6) (P j ' A (Q)) tr t P ' A (Q) tr t P AQA tr At P AQ car tr () tr () (7) ocours 7 4 mai 7

11 EDHE 7 ES Exercice 3 Page oclusio : selo (6) et (7) 8 (P; Q) E ; (' A (P ) j Q) (P j ' A (Q)) et ' A est u edomorphisme symétrique (c) omme ous veos de voir que ' A est u edomorphime symétrique, le cours ous dit qu il est diagoalisable ( A est costitué que de réels) ce qui a été co rmé au 5.a et que ses sous-espaces propres sot deux à deux orthogoaux. Or comme ceux-ci sot ker (' A id) et ker (' A id) alors : ker (' A id) et ker (' A id) sot supplémetaires orthogoaux das E Exercice 3. Nous savos que les variables de la suite (X ) sot iid de loi commue la loi expoetielle de paramètre qui, d après le cours, s ideti e totalemet à la loi grad gamma de paramètres et. Alors par stabilité de cette derière pour la somme de variables idépedates ous pouvos écrire que : X S X k,! (; ) Toujours d après le cours : k E (S ) et V (S ). Utilisos le théorème de la limite cetrée dot voici le rappel : Soit (X ) N ue suite de variables aléatoires dé ies sur u même espace probabilisé. O suppose que les variables sot iid, de loi commue pas forcémet coue, admettat ue espérace m et ue variace o ulle. Posos : alors : e qui etraîe que : 8 N ; S (S ) N X k X k et S S E (S ) (S ) L! N où N,! N (; ) Z x lim P! ([S x]) p exp t dt E appliquat cela à otre variable S ous obteos : lim P ([S ]) lim P S E (S )!! (S ) (S ) lim P! ([S ]) Z t p exp dt oclusio : ous avos bie lim! P ([S ]) (8) 3. Il est clair que pour tout etier o ul, P ([S ]) F S () où F S est la foctio de répartitio de la variable S dé ie par : 8x R; F S (x) Idépedates et idetiquemet distribuées. Z x f S (t) dt ocours 7 4 mai 7

12 EDHE 7 ES Exercice 3 Page 4. _ où f S est ue desité de S que ous pouvos predre égale à : 8 < x e x si x f S (x) () : si x < Aisi : 8 N ; P ([S ]) F S () oclusio : selo (8) et (9) Z Z f S (t) dt f S (t) dt Z t Z t e t Z t e t lim! Z e t () dt f S (t) dt par hasles dt (9) ( )! ( )! dt (a) omme le ombre ratioel est o ul le résultat de la questio précédete permet d écrire que : Z t e t ( )! dt ()! E ectuos u chagemet de variable de variable a e das l itégrale, doc licite, car de classe sur [; ] : z t dt alors dz et : Alors () ous doe : Z! )!! ) Z oclusio : 8 N ; Z t e t z e z dz Z z e z dz!! ( )! dt z e z dz! Z! Z Z Z Z! (z) z e z ( )! e z ( )! z dz dz e z ( )! z! Z z e z dz dz e z dz! par compatibilité de avec le produit z e z! dz! ocours 7 4 mai 7

13 EDHE 7 ES Problème Partie Page 3 (b) Nous admettos que! p e (formule de James Stirlig) alors :! oclusio : ) ) R Z Z Z z! z! z z!! e z e z e z e z dz dz dz dz!!! p e p e p e p r! e Problème Partie I. _ (a) Appliquos la formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets U; U de probabilités o ulles, égales à ; puisque les ures sot équiprobables du fait qu elles sot choisies au hasard. ela doe : P ([X ]) ([X ]) P (U) ([X ]) P (U) PU (b) Ecore ue fois utilisos la formule des probabilités totales associée au même système complet d évéemets utilisé à la questio précédete, et : 8k ; P ([X k]) ([X k]) P (U) ([X k]) Faisos ue pause pour expliquer les calculs : \ : : : \ k \ k P (U) PU \ : : : \ k \ k \ : : : \ k \ k PU \ : : : \ k \ k () \ : : : \ k \ k k () car l ure U état choisie au départ, tous les tirages s y fot, et ceux-ci doet des résultats idépedats du fait que les tirages se fot avec remise. Pour vous covaicre du résultat, ocours 7 4 mai 7

14 EDHE 7 ES Problème Partie Page 4 voici la démostratio : \ : : : \ k \ k P \ : : : \ k \ k \ U P (U) par dé itio d ue probabilité coditioelle P (U) ( ) \ ( ) \\ ( 3 ) \\:::\ k ( k ) \\:::\ k k P (U) selo la formule des probas composées ( ) \ ( ) \\ ( 3 ) \\:::\ k ( k ) \\:::\ k k ( ) ( ) ( 3 ) ( k ) k car les tirages état e ectués avec remise, les résultats e dépedet pas des boules précédemmet obteues mais seulemet de l ure das laquelle ils sot e ectués {z } k termes De même : oclusio : selo () ; () et (3) k \ : : : \ k \ k 8k ; P ([X k]) k! k (3) Pour k ; l expressio doe :! et doc : 8k ; P ([X k]) k! k. X admet ue espérace si et seulemet si la série de terme gééral : kp ([X k]) k k! k où k est covergete. La covergece est assurée par le fait que kp ([X k]) s exprime comme combiaiso liéaire de termes gééraux de séries dérivées de séries géométriques de raisos et ocours 7 4 mai 7

15 EDHE 7 ES Problème Partie Page 5 e valeur absolue strictemet iférieures à. Aisi X admet ue espérace égale à : E (X) X k! k k k X k k X k k k k X k k X k k k k oclusio : ( ) E (X) ( ) 3. Motros que X et Y suivet la même loi. oaissat la loi de X; il ous faut chercher la loi de Y: Tout d abord Y () N : Nous avos toujours par la formule des probabilités totales : P ([Y ]) ( ) P (U) ( ) (4) Pour tout k : P ([Y k]) ([Y k]) P (U) ([Y k]) Selo (4) et (5) oclusio : \ : : : \ k \ k P (U) PU \ : : : \ k \ k \ : : : \ k \ k PU \ : : : \ k \ k k e utilisat le même raisoemet qu au.b 8k ; P ([Y k]) k! (5) k P ([X k]) X et Y suivet la même loi! k e résultat est tout à fait ormal vu la symétrie des coteus des ures U et V das lesquelles les tirages sot toujours e ectués, sas chagemet à partir du premier tirage, ce qui aurait pu ous éviter d e ectuer la démostratio précédete. 4. Les istructios maquates sot : Repeat x : x ; tirage : rad om () ; util (tirage > ); ocours 7 4 mai 7

16 EDHE 7 ES Problème Partie Page 6 Partie II. _ (a) Le protocole iterveat qu à partir du secod tirage, le résultat est exactemet le même que celui obteu das I..a (avec le même raisoemet) : P ([X ]) (b) Utilisos la formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets U; U ; cela doe : 8k ; P ([X k]) ([X k]) P (U) ([X k]) Avec, comme das la partie : \ : : : \ k \ k P \ : : : \ k \ k \ U P (U) \ : : : \ k \ k P (U) PU \ : : : \ k \ k \ : : : \ k \ k PU \ : : : \ k \ k par dé itio P (U) ( ) \ ( ) \\ ( 3 ) \\:::\ k ( k ) \\:::\ k k P (U) selo la formule des probas composées ( ) \ ( ) \\ ( 3 ) \\:::\ k ( k ) \\:::\ k k ( ) P ( ) P ( 3 ) P k ( k ) P k k car selo les modalités des tirages das cette partie, les di éretes probabilités coditioelles se simpli et e e teat compte que de la couleur de la boule obteue au tirage précédet {z } k termes k E revache : \ : : : \ k \ k P \ : : : \ k \ k \ U par dé itio ( ) \ ( ) \\ ( 3 ) \\:::\ k ( k ) \\:::\ k k selo la formule des probas composées ( ) P ( ) P ( 3 ) P k ( k ) P k k k 3 k (8) car le premier tirage s e ectue das l ure V et comme il doe ue boule blache, le deuxième tirage s e ectue das U aisi que les suivat jusqu au rag k puisque les tirages e doet (6) (7) ocours 7 4 mai 7

17 EDHE 7 ES Problème Partie Page 7 que des boules blaches, sauf le derier. Alors selo () et () : 8k ; P ([X k]) oclusio : selo (6) ; (7) et (8) k k k 8k ; P ([X k])! k! k. X admet ue espérace si et seulemet si la série de terme gééral kp ([X k]) ; k est covergete. Or pour tout k : kp ([X k]) k ( ) k k k La covergece est assurée par le fait que kp ([X k]) est proportioelle au terme gééral d ue série dérivée d ue série géométrique de raiso e valeur absolue strictemet iférieure à. Aisi X admet ue espérace égale à : E (X) P ([X ]) X k kp ([X k]) X k 3 ( ) ( ) k X k k X k k k k k A A oclusio : E (X) 3 ( ) 3. Pour des raisos évidetes de symétrie du coteu des ures et des modalités de chagemet d ure: X et Y suivet la même loi Maiteat o laisse au lecteur le soi de refaire la démostratio, s il le veut! ocours 7 4 mai 7

18 EDHE 7 ES Problème Partie 3 Page 8 4. Voici ue propositio : Program edhec_7bis ; Var x,, tirage, hasard : iteger ; egi Radomize ; Readl() ; hasard : radom() ; x : ; If hasard the begi x : x ; tirage : radom() ; If (tirage > ) the Repeat x : x ; tirage : radom() ; util (tirage > ) ; ed Else Repeat x : x ; tirage : radom() ; util (tirage > ) ; Writel(x) ; Ed. Partie III. _ (a) Là ecore le protocole iterveat qu à partir du secod tirage, le résultat est exactemet le même que celui obteu das I..a (avec le même raisoemet) : P ([X ]) (b) Utilisos ecore la formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets U; U ; cela doe : 8k ; P ([X k]) ([X k]) P (U) ([X k]) \ : : : \ k \ k P (U) PU \ : : : \ k \ k \ : : : \ k \ k PU \ : : : \ k \ k avec comme das la questio I..b : \ : : : \ k \ k ( ) P ( ) P ( 3 ) P k ( k ) P k k k car les tirages se fot toujours das U (3) (9) et : \ : : : \ k \ k ( ) P ( ) P ( 3 ) P k ( k ) P k k k car les tirages se fot toujours das V (3) oclusio : selo (9) ; (3) et (3) 8k ; P ([X k]) k ( ) k k!! k (3) et comme la formule reste valable pour k puisque :! ( ) k ocours 7 4 mai 7

19 EDHE 7 ES Problème Partie 3 Page 9 alors : 8k ; P ([X k])! ( ) k k! (c) X admet ue espérace si et seulemet si la série de terme gééral k ( ) k k ; k ; est covergete. Or comme ce terme gééral s exprime comme combiaiso liéaire de termes gééraux de séries covergetes e tat que séries dérivées de séries géométriques de raisos respectivemet égales à et strictemet iférieures à u e valeur absolue. Aisi X admet ue espérace égale à : E (X) X! k ( ) k k k X k X k k k k k séparatio légitime, toutes les séries sot cvtes ( ) oclusio : X admet ue espérace égale à ( ). _ (a) Par la formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets avos pour tout i : P ([Y i]) ([Y i]) P (U) ([Y i]) U; U ; ous \ : : : \ i \ i P (U) PU \ : : : \ i \ i \ : : : \ i \ i PU \ : : : \ i \ i avec e utilisat le même raisoemet qu au III..b. : \ : : : \ i \ i P {z } P 3 Pi {z } i P i ( i ) {z } {z } oire das U oire das V oire das U blache das V {z } i termes dot i termes égaux à et i égaux à i i i i (34) car les tirs se fot alterativemet das U (à tous les rags impairs) et das V (à tous les rags pairs). (33) ocours 7 4 mai 7

20 EDHE 7 ES Problème Partie 3 Page D autre part : \ : : : \ i \ i P {z } P 3 Pi i P i ( i ) {z } {z } oire das V oire das V blache das U {z } i termes dot i termes égaux à et i égaux à i i i i (35) car les tirs se fot alterativemet das V (à tous les rags impairs) et das U (à tous les rags pairs). oclusio : selo (33) ; (34) et (35) 8i N ; P ([Y i]) i i i! i i i!! i i!! i i oclusio :! ( ) i i i i 8i N ; P ([Y i]) (b) De même e utilisat toujours la formule des probabilités totales associée au système complet d évéemets U; U ; ous avos pour tout i : P ([Y i ]) ([Y i ]) P (U) ([Y i ]) \ : : : \ i \ i P (U) PU \ : : : \ i \ i \ : : : \ i \ i PU \ : : : \ i \ i avec e utilisat le même raisoemet qu au III..a. : \ : : : \ i \ i P {z } P 3 Pi {z } i P i ( i ) {z } {z } oire das U oire das V oire das V blache das U {z } i termes dot i termes égaux à et i égaux à i i i (36) (37) ocours 7 4 mai 7

21 EDHE 7 ES Problème Partie 3 Page car les tirs se fot alterativemet das U (à tous les rags impairs) et das V (à tous les rags pairs). D autre part : \ : : : \ i \ i P 3 Pi i {z } oire das V P {z } oire das U P i ( i ) {z } {z } oire das U {z } i termes dot i termes égaux à et i égaux à blache das V i i i (38) car les tirs se fot alterativemet das V (à tous les rags impairs) et das U (à tous les rags pairs). oclusio : selo (36) ; (37) et (38) 8i N ; P ([Y i ]) i! i i i oclusio : i 8i N ; P ([Y i ]) et comme pour i ; i alors que P ([Y ]) e repreat le résultat (4) de la questio I.3 puisque les di érets protocoles des tirages itervieet qu à partir du deuxième tirage, ous pouvos écrire que : i 8i N; P ([Y i ]) (c) omme les termes gééraux déped explicitemet de ; o otera (E p (Y )) p et (E p (Y )) p les deux suites extraites, de (E p (Y )) p : O pose pour tout etier aturel p o ul E p (Y ) E p (Y ) px k px i kp ([Y k]) px k Xp ip ([Y i]) (i ) P ([Y k]) i px i p i i px i p i i i px i i i kp ([Y k]) avec : X (i ) i i X i i Xp p i i i X i i Xp i i ocours 7 4 mai 7

22 EDHE 7 ES Problème Partie 3 Page Nous recoaissos à ce iveau trois sommes partielles de séries covergetes (série géométrique et sa série dérivée de raiso strictemet iférieure à u e valeur absolue). Par passage à la limite quad p ted vers l i i : lim E p (Y ) p! 4 ( ) ( ) 3 ( ) après simpli catios oclusio : comme la limite existe et est ie : la suite (E p (Y )) p coverge vers O pose pour tout etier aturel p o ul E p (Y ) kp ([Y k]) et ous costatos (au lieu de tout refaire) que : 3 ( ) p X k avec : E p (Y ) px k kp ([Y k]) (p ) P ([Y p ]) (p ) P ([Y p ]) (p ) p p p p! p p p! Or : avec : p! p p exp p l lim p exp p l car l < p! car par croissaces comparées 8 (; ) R ; lim x! x e x aisi : d où : lim (p ) P ([Y p ]) p! lim E p (Y ) lim E p (Y ) p! p! 3 ( ) Aisi les suites extraites de (E p (Y )) p ; de rag pair et de rag impair, sot covergetes vers ue limite commue, ce qui iduit que la suite (E p (Y )) p est covergete de limite 3 ( ) : Aisi : ocours 7 4 mai 7

23 EDHE 7 ES Problème Partie 3 Page 3 oclusio : lim E p (Y ) lim p! p! k E (Y ) px kp ([Y k]) 3 ( ) Y admet ue espérace égale à 3 ( ) 3. _ (a) Lorsque ; et! 8k ; P ([X k]) ( ) k k k k (39) 8i N ; P ([Y i]) i 4 4 i 4 i (4) i 8i N ; P ([Y i ]) i 4 i (4) Selo (4) et (4) : oclusio : selo (39) et (4) k 8k ; P ([Y k]) k (4) X et Y suivet la même loi, la loi G (b) Le fait que soit égal à red la costitutio des deux ures U et V idetiques (le passage de l ue à l autre ure e chage rie) et das ce cas les variables X et Y représetet des temps d attete d u premier succès (soit la première boule blache, soit la première boule oire) de probabilité lors d ue série illimitée d épreuves de eroulli idépedates et de même paramètre. ocours 7 4 mai 7

24 EDHE 7 ES Problème Partie 3 Page 4 4. Nous avos : E (Y ) E (X) 3 () ( ) ( ) () 6 ( ) () () () ( ) ce qui est toujours vrai Ayat raisoé par équivaleces successives, ous pouvos a rmer que : le cas d égalité état trivialemet obteu pour : 5. Voici ue propositio de programme : E (Y ) E (X) Program edhec_7ter ; Var x,, tirage, hasard : iteger ; egi Radomize ; Readl() ; hasard : radom() ; x : ; If hasard the Repeat x : x ; tirage : radom() ; util (tirage ) Else Repeat x : x ; tirage : radom() ; util (tirage > ) ; Writel(x) ; Ed. zzzzz ocours 7 4 mai 7