= e 1, où e est la base des logarithmes népériens ; la relation de récurrence : n I N, u n+1

Transcription

1 ERREURS D'ARRONDIS ET CALCULATRICES par Christia Vassard et Didier Trotoux L'idée de cet article ous a été ispirée par u exemple illustrat ue cotributio de Jea-Michel Muller ("Ordiateur e quête d'arithmétique" das La Recherche spécial ombres juillet-août 995), dot o trouve les bases das "Arithmétique et ordiateur" du même auteur (Masso 989). Nous ous appuyos par ailleurs sur u article de Daiel Saada ("Les réels et la calculatrice") paru das le 339 du Bulleti Vert de l'apmep. Das certais calculs, les erreurs d'arrodis peuvet deveir si importates qu'elles ôtet tout ses aux résultats obteus : cela tiet à la représetatio des ombres-machie e virgule flottate, utilisée tat das les calculatrices scietifiques de os élèves que das les ordiateurs les plus puissats. Cette représetatio discrète du cotiu des ombres réels peut parfois poser de gros problèmes. Pour preuve, l'histoire édifiate d'alfred Logarithme qui, e bo père de famille, désire faire u placemet à très log terme pour assurer l'aveir de sa descedace. Il se reseige doc auprès du directeur de la Société Chaotique de Baque (SCB) qui lui propose so ouveau pla d'éparge e ces termes : " Votre apport iitial est de e fracs. La première aée, vous êtes perdat, o multiplie votre capital par, et l'o y prélève frac pour frais de gestio. La deuxième aée, c'est beaucoup mieux, o multiplie votre capital par 2 et l'o prélève toujours frac pour frais de gestio. La troisième aée, o multiplie votre capital par 3 et l'o prélève frac, et aisi de suite : la -ième aée, o multiplie votre capital par et l'o prélève frac. Au bout de 25 as, vous pouvez retirer votre arget. Itéressat, 'est-ce pas? " Prudet Mosieur Logarithme décide de réserver sa répose. Pouvos-ous l'aider à predre sa décisio? La situatio se mathématise sas grade difficulté. Il s'agit tout simplemet d'étudier la suite ( u ) défiie par so premier terme u = e, où e est la base des logarithmes épéries ; la relatio de récurrece : I N, u + = ( + )u Qui plus est, seul le 25 e terme ous itéresse. A première vue, c'est u calcul qui doit pouvoir s'effectuer sas grade difficulté sur ue calculatrice scietifique : 25 multiplicatios et 25

2 soustractios, ce 'est pas le bout du mode! C'est même ue situatio simple où l'écriture d'u petit programme s'impose. I) QUE DIT LA HP48S? Essayos avec la HP 48 S. Le programme est le suivat : " C " 25 FOR I I C * 'C' STO NEXT" C" C est la variable coteat le capital d'alfred; le calcul propremet dit est géré par ue boucle FOR...NEXT et u compteur de boucle I. Attetio aussi à l'utilisatio de la otatio poloaise! Bila : après 25 as, le capital d'alfred est de fracs, soit ue fortue colossale de presque 5 milliards de fracs e partat de presque rie. II) QUE DIT LA TI8? Avat de ous réjouir trop vite (pour Alfred...), effectuos ce calcul avec ue autre calculatrice, ue TI8 par exemple. Iput C I Lbl I + I I C C If I < 25 Goto Disp C Même idée que précédemmet, à ceci près que la gestio de la boucle se fait par test (il 'y a pas de FOR...NEXT sur ue TI8). Secod bila : après 25 as, le capital d'alfred s'élève maiteat à fracs soit ue dette de plus de 7 milliards de fracs! Ce pla e serait-il qu'ue gigatesque escroquerie? III) QUE DIT LA TI 92? La derière ée de chez Texas Istrumet permet deux approches : l'ue qui doe u calcul approché et l'autre qui relève du calcul formel (très proche de DERIVE mais il y a des différeces). Das les deux cas, il 'est plus

3 écessaire d'écrire u programme car la calculatrice possède des istructios spécifiques (les calculs sot faits avec l'optio MODE Display Digits FLOAT 2, c'est-à-dire avec le maximum de chiffres sigificatifs autorisés par la calculatrice). U calcul approché peut être effectué e MODE SEQUENCE ; la suite se défiit alors avec la touche Y= : u = u( ) ; ui = e. Das WINDOW, o choisit l'idice du terme iitial e faisat mi = (le premier terme de la suite est e effet u ). TABLE permet alors d'afficher les valeurs successives de u, e pesat à élargir la taille des coloes par F, Format, Cell Width = 2. Qu'observe-t-o? La suite des valeurs affichées décroît vers jusqu'à u 5 puis cotiue de décroître e tedat vers : pour u 25, o obtiet 7,6552 qui correspod doc à u capital de plus de fracs (voisi de celui trouvé avec la TI8). Du poit de vue formel, il suffit d'utiliser l'istructio Whe : whe(=,e,*u( ) ) u(). E quelques secodes, o obtiet la valeur exacte de u(25) = u 25 soit : e E approximat ce résultat ( ENTER ), o obtiet : soit fialemet quasimet le même résultat qu'avec la TI8. IV) QUE DIT DERIVE? DERIVE, le "vrai" DERIVE des ordiateurs, peut voler au secours d'alfred e effectuat u calcul avec autat de chiffres sigificatifs que l'o désire, ce que 'autorisait aucue des calculatrices précédetes (pas même la TI92). Notos que l'o e peut pas utiliser la commade ITERE (ou ITERATION) car la suite ( u ) 'est pas de la forme u + = f(u ), mais plus exactemet de la forme u + = f(u,). O peut s'e sortir avec : u() := si(=,ê,*u( ) ). O obtiet la même valeur qu'avec la TI92, mais c'est l'approximatio (6 chiffres sigificatifs) qui diffère :

4 De plus, o obtiet des approximatios extrêmemet fluctuates de u 25 simplemet e faisat varier le ombre de chiffres sigificatifs. O costate la grade istabilité du calcul pour les petites précisios : les approximatios obteues variet etre 7 et! Toutefois, à partir de 3 chiffres sigificatifs, le résultat semble se stabiliser autour de,399 ce qui laisse à peser qu'alfred récupèrera u capital s'élevat à u peu mois de 4 cetimes, au bout de 25 aées. Ue étude mathématique plus approfodie s'impose doc pour justifier rigoureusemet le comportemet de la suite (u ) et doer à Albert le coseil judicieux qu'il atted. V) ETUDE MATHEMATIQUE DE CETTE SUITE. O rappelle doc que (u ) est défiie par :

5 so premier terme u = e, où e est la base des logarithmes épéries ; la relatio de récurrece : I N, u + = ( + )u. ) première expressio de u : u =! () k! k+ Démostratio : Ceci se démotre par récurrece e utilisat le développemet de e e série : e = k k! Pour =, o retrouve bie u = e =! k k! Supposos la propriété démotrée au rag. Alors u + = ( + )u = ( + )! k! k+ = ( + )! ( + )! + k! k+2 = ( + )! k+2 k! CQFD. La relatio () peut ecore s'écrire : u =! e k= k! (2) Cette ouvelle écriture permet d'écrire u autre programme de calcul sous DERIVE, doat le terme de rag de la suite (u ) : u() :=! (ê somme(/k!,k,,)) où ê (obteu par ALT e) est la base des logarithmes épéries. O obtiet alors (oter la curieuse présece du facteur 494) : u 25 = 494( e ) (pour la TI92, c'est aalogue, à très peu de choses près :

6 ! (e Σ(/k!,k,,)) u() et l'approximatio ( ENTER ) doe :, ) 2) Deuxième expressio de u : u = ( t) e t dt Démostratio : O utilise la formule de Taylor avec reste itégral, appliquée à la foctio expoetielle sur l'itervalle [;x] (x état u réel strictemet positif). Il est clair que si l'o pose f(x) = e x, alors pour tout etier aturel de I N*, f admet ue dérivée d'ordre et : x I R, f () (x) = e x E particulier, f () () = pour tout etier aturel o ul. La formule de Taylor doe alors : e x = + x! + x2 x !! + E faisat x =, il viet : e = k= x (x t) e t dt! k! +! ( t) e t dt et e remplaçat das (2), il viet : u = ( t) e t dt D'où ue autre faço de calculer les termes successifs de cette suite avec DERIVE : u():=int(( t)^*exp(t),t,,) O obtiet u résultat ayat la même forme que précédemmet. (Avec la TI92, o etre u():= (( t)^*exp(t),t,,) et o obtiet le résultat après u temps de calcul plus log qu'avec les formules précédetes, de l'ordre de 3 miutes). 3) Quelques coséqueces peuvet être déduites de cette ouvelle expressio. La suite ( u ) est positive car : pour tout x de [;], ( t) e t

7 La suite ( u ) est strictemet décroissate. E effet : u + u = ( t) + e t dt ( t) e t dt = t( t) e t dt < (iégalité stricte car la foctio défiie sur [;] par g(t) = t( t) e t est égative et cotiue sur [;] sas être partout ulle sur cet itervalle : doc so itégrale etre et e peut pas être égale à ) La suite ( u ) est doc covergete, car strictemet décroissate et miorée par. Pour tout de I N, + u e + E effet, pour tout t de [;], e t e D'où : ( t) ( t) e t e( t) (car ( t) sur [;]) Soit : ( t) dt u e ( t) dt. U calcul simple doe : ( t) dt = ( t) + + =, ce qui + prouve bie que + u e + La suite ( u ) coverge vers, selo le théorème du gedarme, ou du sadwich, (ou du sadwich au gedarme!), car elle est ecadrée par deux suites covergeat vers. Le pauvre Alfred 'a doc aucu espoir de s'erichir avec ce placemet douteux : bie au cotraire, plus le temps passe et plus so capital se rapproche de frac. 4) ifluece du premier terme sur le comportemet de la suite. Etudios maiteat la suite ( v ) défiie par : so premier terme v = a, où a est u réel quelcoque ; la relatio de récurrece : I N, v + = ( + )v. Je dis que : v = u +! (a + e). La démostratio peut se faire par récurrece. Ceci est vrai pour = car v = a = u +! (a + e) = e + a + e. O suppose la propriété démotrée pour u etier.

8 Alors v + = ( + )v = = ( + )(u +! (a + e)) ( + )u + ( + )!(a + e) = u + + ( + )!(a + e) CQFD si a > e, lim v = + + L'étude précédete permet de coclure que : si a < e, lim v = + Plus précisémet, il est clair que v! (a + e) pour tedat vers + doc o peut s'attedre à ce que v tede très rapidemet vers ±, état doé la présece de!. 5) Ceci permet de justifier les résultats obteus, sachat que e est peu différet de 2, avec 2 chiffres après la virgule. Pour e, la TI8 doe 2, , après avoir pris soi de mettre e évidece les trois chiffres de réserve : e est doc ue valeur approchée par défaut et l'o est doc das le cas où la suite ted vers. C'est la même valeur approchée de e qui est utilisée par la TI92, avec cette fois u seul chiffre de réserve : les coclusios sot doc les mêmes que pour la TI8. Pour e, la HP48 doe 2, : e est cette fois-ci ue valeur approchée par excès, ce qui explique que la suite obteue tede vers +. Pour DERIVE, la justificatio est de même ature : tout déped, suivat la précisio choisie, de la valeur approchée de e (et doc de e ) reteue. Si c'est ue valeur approchée par défaut, la suite doit tedre vers et si c'est ue valeur approchée par excès, elle doit tedre vers +. Ue différece de foctioemet essetielle cepedat : DERIVE mémorise de faço itere tous les ombres soit comme des etiers, soit comme des fractios réduites d'etiers. Aisi, avec ue précisio de 6 chiffres sigificatifs, la valeur de e reteue par DERIVE est : 2,7828 (etrer e puis approx) mais cette valeur est mémorisée de faço itere comme de 23225/8544 (il suffit de demader ue simplificatio - commade Simplifie - du 2,7828 précédemmet obteu) soit eviro 2, qui est bie ue valeur approchée par excès de e. Ce qui explique que l'o obtiee u résultat tedat vers +. A l'iverse, avec ue précisio de chiffres sigificatifs, e est mémorisé comme : /579395, soit ecore 2, qui est ue

9 valeur approchée par défaut ; o obtiet cette fois-ci ue suite qui ted vers. Qu'e est-il de l'erreur commise, e foctio de la précisio reteue? Si o coserve chiffres après la virgule, e supposat, pour simplifier que les résultats sot troqués, l'erreur commise sur e est de.

10 Cette erreur est certes faible e gééral : pour la TI8, vaut 2 e comptat les chiffres de réserve (3) ; pour la HP48, vaut (pas de chiffres de réserve) ; pour la TI92, vaut 2 ( chiffre de réserve e MODE Display Digits FLOAT 2) ; pour DERIVE, est modulable comme o l'a vu. Mais quad o veut calculer u 25, cette erreur est multipliée par 25! qui est u très grad ombre (soit eviro,55 25 ) et les résultats obteus peuvet deveir complètemet fataisistes pour de trop petites valeurs de (ce qui est le cas avec toutes les calculatrices). Pour DERIVE, les résultats sot fortemet etachés d'erreurs jusqu'à = 26 mais à partir de = 3, les premières décimales 'évoluet plus. C'est l'exemple typique d'u calcul istable, sesible à de toutes petites perturbatios iitiales (le fameux effet "papillo"). E coclusio, c'est DERIVE qui doe le bo résultat car il autorise le calcul avec plus de chiffres sigificatifs, ce qui permet de maîtriser l'explosio des erreurs d'arrodis. Il est tout à fait remarquable das cette situatio d'avoir affaire à ue suite qui coverge pour ue seule valeur de so terme iitial, qui plus est, ue valeur irratioelle, qui e peut doc pas être représetée exactemet das ue arithmérique de type fiie! E coclusio, quelle répose peut-o apporter à otre ami Albert? Qu'il propose à so baquier de placer 2 fracs plutôt que e fracs. Là, toutes les calculatrices et autres ordiateurs se récociliet (et pour cause!) et doet comme résultat après 25 as de placemet 4, fracs. Si so baquier accepte, c'est la faillite de la SCB... BIBLIOGRAPHIE : "Ordiateur e quête d'arithmétique" de Jea-Michel Muller das le uméro spécial de la Recherche sur les ombres ( 278 juillet-août 995) ; Les réels et la calculatrice : article du bulleti vert de l'apmep 339 de Daiel SAADA ; pour approfodir, "Arithmétique des ordiateurs" de Jea-Michel Muller collectio Etude et Recherche e Iformatique (Masso 989).