Exercice 1 : (8 points)
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- Marie-Agnès Dufour
- il y a 5 ans
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1 CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 8 Vedredi 9 octobre 8 E salle 6, deux heures de h à 5 h : LES SUITES La première feuille de ce devoir doit être ue feuille double Lisez bie l éocé Vous pouvez faire les exercices das l ordre que vous souhaitez, mais e mélagez pas deux exercices différets Le soi apporté à la présetatio, la clarté de la rédactio, sot des critères importats das l évaluatio de la copie Bo travail Exercice : (8 poits) Soit ( u ) la suite défiie par u = 5 pour tout ombre etier aturel par u = = f ( u ) foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f ( x) ) Das u repère orthoormé ( O; i, j) x = x + après avoir fait ue étude rapide et la droite ( ) d équatio y + u u +, où f est la d uité cm, tracer la courbe représetative ( C f ) de cette foctio f, ) Sur l axe des abscisses placer le premier terme de cette suite ( u ), puis costruire, e expliquat votre = x démarche, les termes u; u et u et e laissat apparets les traits de costructio ) Quelles cojectures peut-o émettre sur le ses de variatio et sur la covergece de cette suite ( u ) ) a) Démotrer que pour tout réel x >, o a f ( x ) > b) Démotrer que pour tout etier aturel, o a u > 5 ) Etudier les variatios de la suite ( u ) 6 ) La suite ( u ) est-elle covergete? Das l affirmative doer, avec justificatio, sa limite 7 ) Ue deuxième méthode pour détermier la limite de la suite ( u ) a) Soit la suite ( v ) défiie pour tout ombre etier aturel par Pourquoi cette suite ( v ) est-elle défiie sur N? b) Quelle est la ature de la suite ( v )? Justifier votre répose v = u c) Pour tout ombre etier aturel exprimer v puis u e foctio de d) E déduire alors la limite de la suite ( u ) Exercice : ( poits) O cosidère la suite ( u ) défiie par ) O suppose que la suite ( u ) coverge vers u réel oté l u = et pour tout etier aturel u =,5u + + +,5 a) Doer la défiitio de la covergece d ue suite u + coverge alors aussi vers le réel l puis e déduire la limite de la suite b) Justifier que la suite ( ) ( u u ) +,5 c) Prouver alors que cela est impossible puis coclure v défiie par pour tout etier aturel v = u + ) Soit la suite ( ) a) Quelle est la ature de cette suite ( v )? Doer ses élémets caractéristiques b) Exprimer v puis u e foctio de c) E déduire alors la limite de la suite ( u )
2 Exercice : (8 poits) O cosidère la suite ( u ) défiie par ) Calculer les quatre termes,, et puis à près u = et pour tout etier aturel u = + u u u u u de cette suite Doez les résultats sous forme de fractio irréductible ) Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel o a ) Etudier le ses de variatio de la suite ( u ) ) Démotrer que pour tout etier aturel o a u 5 ) La suite ( u ) est-elle covergete? 6 ) Détermier la limite l de la suite ( u ) u = + 7 ) Ecrire u algorithme, e lagage aturel, qui affiche e sortie le plus petit etier aturel tel que Préciser alors la valeur de ce seuil 8 ) O cosidère l algorithme ci-dessous : Etrée Saisir u ombre etier aturel N Iitialisatio U pred la valeur S pred la valeur Traitemet Pour K allat de jusqu'à N faire U pred la valeur U S pred la valeur S + U Fi du Pour Sortie Afficher S a) Faire foctioer cet algorithme e preat N = puis N = b) Que représete les variables U et S? c) Quel est le rôle de cet algorithme? 9 ) O pose = S la somme des ( ) N Utiliser le résultat de la questio ) pour exprimer ) Préciser le ses de variatio de la suite ( S ) ) Questio Bous Etat doé ue suite ( x ) de ombre réel, o cosidère la suite ( ) k = par : T = xk = x + x + x + + x k = + premiers termes cosécutifs de la suite ( u ) u l < pour tout S e foctio de, puis e déduire la limite de la suite ( ) T défiie pour tout ombre etier aturel Idiquer pour chacue des deux propositios suivates si elles sot vraies ou fausses, e justifiat avec soi votre répose T est égalemet covergete - Propositio : Si la suite ( ) - Propositio : Les suites ( ) x est covergete alors la suite ( ) x et ( ) T ot le même ses de variatio S
3 CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 8 Vedredi 9 octobre 8 E salle 6, deux heures de h à 5 h : LES SUITES CORRECTIONS Exercice : (8 poits) Soit ( u ) la suite défiie par u = 5 pour tout ombre etier aturel par u = = f ( u ) foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f ( x) ) Das u repère orthoormé ( O; i, j) x = x + après avoir fait ue étude rapide et la droite ( ) d équatio y Cette foctio est dérivable, sur ] ; [ ( x ) ( x ) + u u +, où f est la d uité cm, tracer la courbe représetative ( C f ) de cette foctio f, = x + comme quotiet de deux foctios dérivables, ce qui ous doe + 9 x >, f '( x) = = >, doc la foctio est strictemet croissate sur ] ; + [, ( x + ) ( x + ) d autre part o motre de faço assez simple que : Limf ( x) = Limf ( x) = et + doc les droites x = et y = sot deux asymptotes à la courbe, d où le tableau x x de variatio et la courbe :
4 ) Sur l axe des abscisses placer le premier terme de cette suite ( u ), puis costruire, e expliquat votre démarche, les termes u; u et u et e laissat apparets les traits de costructio u u = = f u ( ) u + ( ) d équatio y sur l axe des ordoées ( O; j) et efi avec la droite = x o peut alors placer le terme Et aisi de suite pour les termes suivats u ; u ; u 5 etc Ce qui ous doe le schéma ci-dessus Das u premier temps o place u = 5 sur l axe des abscisses ( O; i) puis so u image u = = f ( u ) u + sur l axe des ordoées ( O; j) et efi avec la droite ( ) d équatio y le terme u sur l axe des abscisses ( ; ) = x o peut alors placer u sur l axe des abscisses ( ; ) Esuite o place l image O i O i ) Quelles cojectures peut-o émettre su le ses de variatio et sur la covergece de cette suite ( u ) D après ce graphique o peut cojecturer que cette suite ( u ) semble être décroissate et elle doit coverger vers
5 ) a) Démotrer que pour tout réel x >, o a f ( x ) > La foctio f état strictemet croissate pour tout x >, doc x f = = = + ( ) soit x f ( x) > > > o a f ( x) f ( ) > et comme b) Démotrer que pour tout etier aturel, o a u > O démotre cette relatio par récurrece sur N Iitialisatio : Si =, o a u = 5 >, doc la relatio est vraie au rag = Hérédité : La relatio est vraie au rag c est-à-dire o a u > qui est l hypothèse de récurrece et il faut alors motrer cette relatio au rag au-dessus c est-à-dire au rag +, soit motrer que u + >? Avec l hypothèse de récurrece u > et comme la foctio f est strictemet croissate o a u > f ( u ) > f ( ) u + > ce qu il fallait démotrer Coclusio : u >, N 5 ) Etudier les variatios de la suite ( u ) O peut motrer de ouveau par récurrece que cette suite est strictemet décroissate c est-à-dire motrer que pour tout etier aturel, o a u < + u Iitialisatio : u 9 Si =, o a u < u vraie car u = = =,7 et u = 5 doc u < u doc la relatio est vraie au u rag = Hérédité : La relatio est vraie au rag c est-à-dire o a u+ < u qui est l hypothèse de récurrece et il faut alors motrer cette relatio au rag au-dessus c est-à-dire au rag +, soit motrer que u? < u + + Avec l hypothèse de récurrece u+ < u et comme la foctio f est strictemet croissate o a u < u f u < f u u < u ce qu il fallait démotrer ( ) ( ) Coclusio : u u < N ce qui prouve que la suite ( ) +, u est strictemet décroissate 6 ) La suite ( u ) est-elle covergete? das l affirmative doer, avec justificatio, sa limite La suite ( u ) état décroissate et miorée par, elle coverge doc vers u réel l l u + ted vers l et f ( l) = puis par uicité de la limite de ( u + ) o a l + l f l = = l l = l l + l = l + l l + l l + = l l + = l = l + De plus, quad alors l équatio ( ) ( ) ( ) 5
6 Soit l = et doc Limu =, ce qui démotre les deux cojectures précédetes 7 ) Ue deuxième méthode pour détermier la limite de la suite ( u ) a) Soit la suite ( v ) défiie pour tout ombre etier aturel par Pourquoi cette suite ( v ) est-elle défiie sur N? u v = u Il faut que u u, N, ce qui est le cas car o a démotrer à la quatrième questio que >, N, doc u, N et cette suite ( v ) est bie défiie sur N b) Quelle est la ature de la suite ( v )? Justifier votre répose u + Si o calcule v+ = = = = puis o calcule u u u u + u u + u + u + u + u v+ v = = = = et doc v+ v u u u u est ue suite arithmétique de raiso ( ) r = et de premier terme v = = u = + ce qui prouve que la suite ( v ) Comme ( ) c) Pour tout ombre etier aturel exprimer v puis u e foctio de + v est ue suite arithmétique o a alors v = v + r = + soit v = Puis v = = u = u = + = soit u u u = + d) E déduire alors la limite de la suite ( u ) O a u quotiet de deux polyômes et doc les termes de plus haut degré doet et = d où Limu = 6
7 Exercice : ( poits) O cosidère la suite ( u ) défiie par ) O suppose que la suite ( u ) coverge vers u réel oté l a) Doer la défiitio de la covergece d ue suite u = et pour tout etier aturel u =,5u + + +,5 La suite ( u ) admet le réel l pour limite quad si, tout itervalle ouvert ] ; [ tous les termes de la suite ( u ) à partir d u certai rag O dit alors que la suite ( ) a b coteat le réel l, cotiet u est covergete Remarque : Limu = l - O écrit alors ou bie Limu = l - Ue suite qui e coverge pas est dite divergete u + coverge alors aussi vers le réel l puis e déduire la limite de la suite b) Justifier que la suite ( ) ( u u ) +,5 Soit I u itervalle ouvert coteat le réel l Il existe tel que pour tout etier, o a u I, alors pour tout etier et, o a u + I, doc u + coverge alors aussi vers le réel l la suite ( ) Et par soustractio u,5u + l,5 l c est-à-dire que u,5u +,5l c) Prouver alors que cela est impossible puis coclure Comme u =,5u + + +, 5, o e déduit que u+,5u = +,5 et quad alors +,5 Doc la suite ( u+,5u ) a pour limite +, il est doc impossible que la suite ( u ) ait pour limite u réel l, elle est doc pas covergete d où la suite ( u ) est divergete ) Soit la suite ( ) v défiie par pour tout etier aturel v = u + a) Quelle est la ature de cette suite ( v )? Doer ses élémets caractéristiques Pour tout etier aturel, o calcule : v = u + + =,5u + +, 5 + =,5u +,5 ( ) [ ] + + v =,5 u + ce qui doe, v + +,5v = et doc la suite ( ) v défiie par pour tout etier aturel v = u + est ue suite géométrique de raiso q =, 5 et de premier terme v = u + = + soit v = Comme la suite ( ) b) Exprimer v puis u e foctio de v est géométrique o a v = v q =,5 soit v =,5 Et avec v = u + o e déduit que u = v + soit u =,5 + c) E déduire alors la limite de la suite ( u ) Quad o a,5 car <,5 < et doc par additio Coclusio : La suite ( u ) diverge vers + Limu = + 7
8 Exercice : (8 poits) O cosidère la suite ( u ) défiie par u = et pour tout etier aturel u = + u ) Calculer les quatre termes u, u, u et u de cette suite Doez les résultats sous forme de fractio irréductible puis à près 7 = doe u = u + = + u = ou u =, = doe u = u + = + u = ou u =, = doe u = u + = + u = ou u =, = doe u = u + = + u = ou u =, ) Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel o a Iitialisatio u = + Pour =, o a Hérédité u = + = + = O suppose que la relatio est vraie au rag, ( P ) vraie c est-à-dire o a, doc la relatio est vraie au rag iitial, soit ( P ) est vraie u = + récurrece, et il faut démotrer cette relatio au rag au-dessus, c est-à-dire démotrer que ( ) + qui est l hypothèse de P + est vraie u + = +? O sait que u+ = u + et e utilisat l hypothèse de récurrece, o e déduit que u + = + + = + + = + = +, ce qu il fallait démotrer, doc ( P + ) est vraie Coclusio O a, N, u = + 8
9 ) Etudier le ses de variatio de la suite ( u ) O calcule la différece etre deux termes cosécutifs + 8 u+ u = + = = = <, N, doc 5 u est strictemet décroissate La suite ( ) ) Démotrer que pour tout etier aturel o a u N o a > doc + > + et doc N o a u 5 ) La suite ( u ) est-elle covergete? La suite ( ) u état strictemet décroissate et miorée par car u doc d après le théorème de la covergece mootoe, o e déduit que la suite ( u ) est covergete ce qui sigifie que 6 ) Détermier la limite l de la suite ( u ) Limu = l avec l Limu = l D après la questio précédete o a et doc égalemet Limu l = + et comme u+ = u + alors le 5 5 Limu = réel l est solutio de l équatio l = l + l l = l = l = et doc ) Ecrire u algorithme, e lagage aturel, qui affiche e sortie le plus petit etier aturel tel que Préciser alors la valeur de ce seuil u l < Ici l est la limite de la suite ( u ) doc l =, il faut doc écrire u algorithme qui doe e sortie le plus petit etier tel que u < Etrée Saisir u ombre etier aturel et u ombre réel u Iitialisatios u Traitemet TANT QUE u FAIRE + u u + 5 FIN DU TANT QUE Sortie Afficher 9
10 Avec EXCEL ou ue calculatrice o obtiet : Avec ALGOBOX, o obtiet : Exécutio avec e= : = Terme abs(u- ) < NON, NON,8 NON,96 NON,9 NON 5,8 NON 6,768 OUI La valeur de ce seuil est doc = 6 8 ) O cosidère l algorithme ci-dessous : Etrée Saisir u ombre etier aturel N Iitialisatio U pred la valeur S pred la valeur Traitemet Pour K allat de jusqu'à N faire U pred la valeur U S pred la valeur S + U Fi du Pour Sortie Afficher S
11 a) Faire foctioer cet algorithme e preat N = puis N = Avec u tableau, o obtiet les résultats suivats : Avec ALGOBOX : Exécutio avec N= Exécutio avec N= Exécutio avec N= b) Que représete les variables U et S? La variable U reçoit les premiers termes de la suite ( u ) jusqu au ième terme, avec la variable N etrée au début de cet algorithme La variable S reçoit la somme des premiers termes cosécutifs de la suite déjà calculés pour k=, S = u + u, et aisi de suite jusqu a S = u + u + + u
12 c) Quel est le rôle de cet algorithme? Pour u ombre etier aturel N, etré au départ, cet algorithme calcule et affiche la somme des + u, c est-à-dire S = u + u + + u premiers termes cosécutifs de la suite ( ) S la somme des ( + ) premiers termes cosécutifs de la suite ( u ) 9 ) O pose S = et o ote N Utiliser le résultat de la questio ) pour exprimer S = u + u + + u, soit + termes cosécutifs, doc S = u + u + + u = = ( ) = ( + ) + = ( + ) pour tout S S e foctio de, puis e déduire la limite de la suite ( ) = = ( + ) + 5 Ce qui doe S ( ) S + ou bie, après simplificatio S = ( + ) + 5 = = c est-à-dire S = + 6 Comme < <, o a 5 quad, o a + 6 et doc par additio LimS = + ) Préciser le ses de variatio de la suite ( S ) Si o calcule + S+ S = = + = , ce qui doe 5 S+ S = + >, 5 N, doc la suite ( S ) est strictemet croissate
13 ) Questio Bous Etat doé ue suite ( x ) de ombre réel, o cosidère la suite ( ) k = par : T = xk = x + x + x + + x k = T défiie pour tout ombre etier aturel Idiquer pour chacue des deux propositios suivates si elles sot vraies ou fausses, e justifiat avec soi votre répose T est égalemet covergete - Propositio : Si la suite ( ) x est covergete alors la suite ( ) Propositio fausse : u de la première questio a pour limite doc elle est covergete, mais la suite La suite ( ) ( S ) (questio précédete) est divergete, car sa limite vaut + - Propositio : Les suites ( x ) et ( ) Propositio fausse : T ot le même ses de variatio La suite ( u ) de la première questio est décroissate, car ( S ) est croissate, questio précédete < < et >, alors que la suite 5
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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