Université Claude Bernard Lyon 1. Corrigé du contrôle continu 2 du 25 octobre 2017

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1 Universié Caude Bernard Lyon 1 M1 Géomérie Corrigé du conrôe coninu du 5 ocobre 017 Les documens son auorisés mais es cacuees e es ééphones porabes son inerdis. I sera enu compe de a quaié de a rédacion pour aribuion d une noe. Probème. Soi I un inervae e η : I R une courbe pane paramérée par a ongueur d arc. Soi > 0 e γ : I R une courbe ee que, pour ou I, on ai : a) η) γ) = b) γ ) es proporionnee au veceur η) γ). Une ee courbe es appeée racrice de a courbe η : e poin γ) es racé depuis η) via a ige η) γ) qui es de ongueur. Première parie. On suppose que I = R e que η) =, 0) pour ou R. On considère a courbe γ : R R donnée par ) ) γ) = h, ch ). 1) Déerminer γ ) e rouver es poins réguiers de γ un formuaire de rigonomérie hyperboique figure en fin de suje). 1

2 Rép. On a e finaemen ) γ ) = h, ch ) 1 = 1 ch ), sh ) ) ch ) ) )) 1 = ch ) ch 1, sh ) )) 1 = ch ) sh, sh = sh ) ) ) ch ) sh, 1 ) ) ) + 1) = sh γ ) = sh ch 4 ) sh Seu e poin = 0 es donc irréguier. ) sh ) γ ) = ch ) = ) h. ch ) Monrer que γ ) es proporionne à η) γ) e déerminer e coefficien de proporionnaié. Rép. On a η) γ) = h ) ch ), ) = ) ch )sh, 1) γ ) = sh ) ) ) ch ) sh, 1 = 1 sh ) ch ) η) γ)) Le coefficien de proporionnaié es donc 1 h ). 3) Monrer que pour ou R on a η) γ) =. En déduire que γ es une racrice de η. ) Rép. On a η) γ) = ch )sh ) + 1) =. La courbe γ saisfai aux condiions a) e b), c es donc une racrice de η.

3 4) On noe α) ange oriené enre η ) e η) γ). Monrer que ) cos α) = h. Rép. Puisque η es paramérée par a ongueur d arc e que e veceur η) γ) es de norme on a cos α) = 1 η) γ)), η ). De η ) = 1, 0) e η) γ) = ch ) sh ) sh, 1) on dédui cos α) = ) ch ). 5) Monrer qu en ou poin e que α) kπ, k Z, on a α ) + 1 sin α) = 0. Rép. On dérive a reaion obenue à a quesion précédene.on a d une par cos α)) = α ) sin α) e d aure par h ) = 1 ) 1 h ) = 1 1 cos α)) I ne rese pus qu à égaer e à simpifier. = 1 sin α). Seconde parie. On ne suppose pus que η) =, 0). On considère e cas généra où η : I R es une courbe C réguière e paramérée par a ongueur d arc. On noe k ag : I R sa courbure agébrique e γ : I R une racrice de η aenion, γ n es pas paramérée par a ongueur d arc en généra). On suppose que R es orienée de façon sandard e on noe Jv e veceur obenu par roaion d ange + π du veceur v. 1) Trouver es coordonnées du veceur η) γ) dans a base η ), Jη )) en foncion de α) e de. Rép. La base η ), Jη )) es orhonormée direce, e veceur η) γ) es de norme e fai un ange α par rappor à η ), on a donc η) γ) = cos α)η ) + sin α)jη ). 3

4 ) Monrer que pour ou I on a γ ) = 1 + α ) + k ag )) sin α)) η ) α ) + k ag )) cos α)jη ). Rép. De a reaion obenue à a quesion précédene, on dédui En dérivan, i vien γ) = η) cos α)η ) sin α)jη ). γ ) = η ) + α ) sin α)η ) cos α)η ) α ) cos α)jη ) sin α)jη ) Noons que η ) = k ag )n ag ) e que n ag ) = Jη ) ainsi De pus JJη )) = η ), on en dédui : Ainsi ce qui es expression demandée. η ) = k ag Jη ). Jη ) = k ag η ). γ ) = 1 + α ) sin α) + k ag ) sin α))η ) α ) cos α) + k ag ) cos α))jη ) 3) Monrer que pour ou I on a α ) + 1 sin α) = k ag). Indicaion : On pourra cacuer γ ) η) γ)) en considéran R comme un sous-espace de R 3 pour donner un sens au produi vecorie. Rép. Puisque γ es une racrice de η, sa dérivée γ ) es proporionnee à η) γ) ce qui signifie que γ ) η) γ)) = 0. Le cacu expicie donne γ ) η) γ)) = Aη ) + BJη )) cos α)η ) + sin α)jη )) = A sin α) B cos α))η ) Jη ) avec A = 1 + α ) + k ag )) sin α) e B = α ) + k ag )) cos α). Ainsi 0 = A sin α) B cos α) = sin α) + α ) + k ag )) α ) + 1 sin α) = k ag) 4

5 ce qui es a reaion demandée. Troisième parie. On suppose mainenan que I = R e que η) = R cos R, R sin R) où R >. 1) Déerminer k ag ) on prendra soin du signe)? Rép. Avec a paramérisaion donnée pour η, on a η ) = 1 R η). Or a normae agébrique es n ag ) = 1 R Jη ) = 1 R η) e donc k ag = k = 1 R. ) Soi α 0 ] π, π [. Sous quees) condiions) a foncion consane α α 0 peu-ee êre souion de équaion obenue au 3) de a seconde parie? Rép. La foncion α α 0 es souion de α ) + 1 sin α) = k ag) si e seuemen si 1 sin α 0 = k ag i. e. sin α 0 = R. Puisque 0 < < R, on a R α 0 ] π, 0[ e = R sin α 0. ] 1, 0[. Donc α α 0 es souion si e seuemen si 3) On suppose que α es une foncion consane égae à α 0 ] π, 0[. Monrer que γ) = R e en déduire a naure du suppor de a racrice. Rép. Noons d abord que η) = Rn) = Rn ag ) = RJη ). De γ) = η) cos α)η ) sin α)jη ) on dédui γ) = RJη ) cos α 0 η ) sin α 0 Jη ). Puis, comme sin α 0 = R, on a aussi cos α 0 = 1 R e γ) = 1 R η ) + R + R )Jη ) ) ) γ) = 1 R + R 1 + R = 4 R + R + 4 R = R. 5

6 Par conséquen e suppor de γ es un cerce ou une porion de cerce) de rayon r = R e de cenre origine de R. Formuaire de rigonomérie hyperboique : ch = sh sh = ch ch sh = 1 h = sh h = 1 ch ch = 1 h 6