CALCUL MATRICIEL. A. Définition et opérations sur les matrices. a1,1 a1, = est appelé jème colonne de A. = est appelé ième ligne de A

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1 CACU MATRICIE A. Défiiio e oéraios sur les marices ) Défiiio Soie e deux eiers aurels o uls O aelle marice à liges e coloes à coefficies das K ( K R ou K ) de forma ( ) ou ableau de la forme a a A a a e coefficie ai es siué sur la ième lige e ème coloe O oe ( ) A a O oe ( K ) Soi ( ) i i C ou marice où les a i so élémes de K M l esemble des marices à liges e coloes à coefficies das K 2) Marices ariculières A a ue marice à liges e coloes à coefficies das K i i Si o di que A es ue marice coloe Si o di que A es ue marice lige Pour la marice coloe Pour i la marice lige i ( ai ai ) C a es aelé ème coloe de A a es aelé ième lige de A Si o di que la marice A es ue marice carrée d ordre 3) es marices carrées esemble des marices carrées d ordre es oé M ( K ) es élémes diagoaux de A so les scalaires a i i our i : ils forme la diagoale de la marice A

2 Ue marice carrée d ordre es riagulaire suérieure si " ( i ) Î i > Þ ai 0 2 es coefficies sriceme e dessous de la diagoale so uls Ue marice carrée d ordre es riagulaire iférieure si " ( i ) Î i < Þ ai 0 2 es coefficies sriceme au-dessus de la diagoale so uls Ue marice carrée d ordre es diagoale si " ( i ) Î i ¹ Þ ai 0 2 es coefficies o siués sur la diagoale so uls æ 0 0 ö ç M ç Ue elle marice s écri avec "i Î i Î K elle se oe aussi çm 0 O 0 ç è 0 0 ø A Diag (... ) Ue marice scalaire es ue marice diagoale do ous les coefficies diagoaux so æ ç 0 égaux : elle s écri ç çm ç è0 0ö 0 M avec Î K e aussi Diag (... ) O 0 0 ø 0 0 æ 0 0ö ç 0 0 M O désige ar I la marice scalaire Diag (...) ç ç M 0 O 0 ç è 0 0 ø Exemles : Comléer e e Ecrire la marice A sous la forme d u ableau si Même quesio si avec 2 avec +

3 4) Oéraios sur les marices a) Egalié Soie ' ' quare eiers aurels o uls es deux marices A ( a ) i e A' ( a' ) i ' i ( i ) ai a ' i so égales si e seuleme si ' ' e i ' b) Somme de deux marices de même forma Soie deux marices A ( a ) i e ( ) i B b deux élémes de M ( K ) i i O aelle somme A + B la marice S ( s ) addiio des marices es : i i Commuaive c es-à-dire ( ) M ( ) elle que : ( i ) s a + b ( ) 2 A B K B + A A + B Associaive c es-à-dire ( ) M ( ) a marice ulle de forma ( ) oée O (ous ses coefficies so uls) es éléme eure c esà-dire M ( ) 3 ( ) ( ) ( ) A B C K A + B + C A + B + C A K A + O O + A A i i i Toue marice A M ( K ) adme ue marice oosée oée ( A) A + ( A) ( A) + A O c) Mulilicaio d ue marice ar u scalaire Pour ou K le rodui de la marice A ( a ) oée A elle que : i i ai Cee oéraio vérifie les roriéés suivaes : ( ) A M K A A 2 ( ) ( ) ( ) ( ) A M K K A A i i elle que ar le scalaire es la marice ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( A B) ( M K ) K + A A + A e A + B A + B P i i d) Combiaisos liéaires de marices Soie m u eier aurel o ul e... m Ue marice B M ( K ) m... m els que B A A A Coséquece : k A A des élémes de M ( K ) es combiaiso liéaire des marices A... Am s il exise m scalaires k k m m O désige das M ( K ) our ou coule ( i ) 3 ar E i la marice do ous les coefficies so uls à l exceio ce celui de la ième lige e ème coloe qui vau esemble M ( K ) Toue marice de ( K ) E effe soi ( ) coie doc marices élémeaires M es combiaiso liéaire des marices i B b ue marice quelcoque de ( K ) i i E élémes de M ( K ) M o a : B bi E i i

4 U exemle : B 2 3 3E + 2E2 + 3E3 + 0E2 E22 4E e) Produi de deux marices Soie m e q rois eiers aurels o uls. Soie ue marice A ( a i ) B ( b i ) ue marice de forma ( ) O défii la marice C ( c i ) ( ) B b i que l o oe C AB de forma ( ) m rodui de la marice A ( a i ) i m c a b ar : de forma ( ) i i k k k m e ar la marice ATTENTION : O eu doc mulilier A ar B que si le ombre de coloes de la marice A es égal au ombre de liges de la marice B Remarques : a ème coloe de AB es le rodui de A ar la ème coloe de B a ième lige de AB es le rodui de la ième lige de A ar B Disosiio raique «sur deux éages» : b b b b a a2 a ai ai 2 a i am a m Exemle : Soie les marices 2 0 A 0 3 e 4 0 B AB e rodui de A ar B es ossible uisque le ombre de coloes de A es égal au ombre de liges de la marice B O eu remarquer que le rodui de B ar A es imossible Proriéés de la mulilicaio des marices 4

5 Soie deux marices A ( a i ) e B ( b i ) ( m ) e ( ) deux marices de formas resecifs e rodui AB es ossible mais le rodui BA es ossible que si m e e gééral o a AB BA (la mulilicaio des marices es as commuaive) ATTENTION à l ordre das lequel o écri le rodui a mulilicaio des marices es associaive c'es-à-dire m e m Quelque soie les rois marices A B e C de formas resecifs ( ) ( ) ( ) O a A( BC) ( ) AB C a mulilicaio des marices es disribuive ar raor à l addiio des marices c'es-à-dire m e Quelque soie les rois marices A B e C de formas resecifs( ) ( ) ( ) O a A( B + C ) AB + AC Exemle : Soie les marices 0 A 0 0 e B AB BA O eu remarquer sur ce exemle qu u rodui de deux marices o ulles eu êre égal à la marice ulle a règle : u rodui de faceurs es ul alors l u au mois des faceurs es ul es doc FAUSSE avec les marices. f) Trasosiio a rasosée d ue marice A ( a ) i M ( K ) es la marice ( ) ( ) M ( ) i 2 ( ) ( ) ( ) A B K K A + B A + B e A A De lus Soie ue marice A ( a i ) ( AB) B A de forma ( ) m e B ( b i ) A a oée A T ou A ' i i ue marice de forma ( ) o a : 5

6 E effe : soi A ( a ) i m e B ( b ) i ( i ) i i T T T T Soi A ( a ' ) i B ( b' ) i ( i ) i m i Nous avos doc di bk ia k a kbk i T Or ( ) ( ) i i m k k AB c' avec c ' c a b d Proriéés : i i k k i i k Ue marice carrée A ( a ) ( K ) i i Ue marice carrée A ( a ) ( K ) A B C c avec c a b i m i m i i k k k B A D d avec d b' a ' i i k k k doc o a bie ( ) T T T AB B A M es die symérique si i i M es die aisymérique si B. esemble des marices carrées ) Proriéé sulémeaire de la mulilicaio Soi I 0 0 la marice ideié d ordre Quel que soi la marice carrée A d ordre AI I A A T A A T A A a marice uié d ordre es doc éléme eure our la mulilicaio das l esemble des marices carrées d ordre Remarque : E oa O la marice carrée ulle d ordre o a quel que soi la marice A carrée d ordre AO O A O Aeio : e rodui de deux marices carrées d ordre disices de la marice ulle d ordre eu doer la marice ulle : la roosiio ( AB O ) ( A O ou B O ) 2) Puissaces d ue marice carrée : Soi ue marice A carrée d ordre o ose es as vraie! 0 A I e our ou eier aurel m o ul m A AA A m marices 6

7 Cas des marices diagoales : e rodui de deux marices diagoales de même ordre es ue marice diagoale de ce ordre a uissace d ue marice diagoale es ue marice diagoale do les ermes so les uissaces de ermes iiiaux λ λ2 0 Soi ue marice D diagoale carrée d ordre 0 λ Pour ou eier aurel D λ λ2 0 0 λ Démosraio ar récurrece Cas des marices riagulaires e rodui de deux marices riagulaires suérieures de même ordre es ue marice riagulaire suérieure de ce ordre e rodui de deux marices riagulaires iférieures de même ordre es ue marice riagulaire iférieure de ce ordre Démosraio : Soie deux marices A ( a i ) e B ( b i ) a marice C ( c i ) elle que C AB i Si i > alors c a b + a b i i k k i k k k k i carrées d ordre riagulaires suérieures es défiie ar i c a b i i k k k uisque la remière somme vau 0 car a i k 0 quad i > k e la secode vau 0 car b 0 quad k i > k es marices riagulaires o des uissaces riagulaires Démosraio ar récurrece 7

8 3) Proriéés des marices carrées qui commue Soie deux marices A e B deux marices carrées d ordre qui commue c'es-à-dire AB BA O a les égaliés ( ) A + B A + 2AB + B ( ) ( )( ) A B A 2AB + B A + B A B A B 2 2 (aalogue aux ideiés remarquables) Formule du biôme : Soie deux marices A e B deux marices carrées d ordre qui commue c'es-à-dire AB BA k k Pour ou eier aurel ( A + B) A B k 0 k 4) Marices carrées iversibles Défiiio : Ue marice carrée A d ordre es iversible s il exise ue marice carrée que AA' A' A I Cee marice A' es alors aelée marice iverse de A e es oée A A' d ordre elle esemble des marices carrées d ordre iversibles es oé G ( K ) «groue liéaire» Proriéés : Si A G ( K ) e B G ( K ) alors AB G ( K ) e ( ) AB B A E effe ( ) AB B A ABB A AI A AA I e B A AB B I B B B I doc AB G ( K ) e ( ) si e seuleme si alors A G ( K ) A G K Das ce cas ous avos ( A) ( A ) Démosraio : Si A G ( K ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) A A A A I I e ( A) ( A ) Doc A G ( K ) Si A G ( K ) alors A A G K A A AA I I. 8

9 C. Oéraios élémeaires e calcul mariciel ) Rael : cours sysème liéaires O aelle oéraio élémeaire sur les liges d u sysème ( S ) à équaios e coloes à coefficies das K (ou sur les liges de la marice A du sysème ( S ) à liges e coloes) ( ) ( ) a x + a2 x a x b a a b x a2x a22x2... a2 x b x ax a2x2... a x b ( ) a a b Toue oéraio cosisa à : Echager deux liges que l o oe i our deux eiers i Mulilier ue lige ar u scalaire o ul que l o oe i i Aouer à ue lige u mulile d ue aure lige que l o oe i i + A Remarque : O se ermera ar la suie d effecuer e ue seule fois la successio des deux derières oéraios élémeaires ar l oéraio oée i i + où aurelleme 0 Nous allos ierréer ces oéraios élémeaires e ermes de rodui mariciel 2) Oéraios élémeaires e marices Si ar l oéraio élémeaire i avec i la marice A se rasforme e A' alors o a : 0 A' EA avec E I Ei i E + Ei + E i les deux 0 de la 0 diagoale se rouve e osiio i e Ue elle marice es aelée marice de rasosiio (ou de ermuaio) e es oée P i A' Si ar l oéraio élémeaire i i avec 0 la marice A se rasforme e A' alors o a : 0 EA avec E I + ( ) Ei i 0 0 le scalaire se rouve e lige e coloe i 0 Ue elle marice E es aelée marice de dilaaio e es oée Di ( ) 9

10 A' Si ar l oéraio élémeaire i i + avec i la marice A se rasforme e A' alors o a : 0 EA avec E I + Ei 0 0 le scalaire se rouve e lige i e e coloe 0 Ue elle marice E es aelée marice de rasvecio oée T ( ) i O aelle marice élémeaire oue marice de rasvecio ou de dilaaio ou de rasosiio Ces marices so carrées d ordre e so iversibles e o a : i 2 * K K P i Pi Di Di e T i ( ) Ti ( ) Exemle : 0 Soi la marice A P D ( ) P A soi 2 3 our A D ( ) A soi T ( 2) T ( 2) A soi

11 3) Algorihme de Gauss-Jorda a) Suie fiie d oéraios élémeaires e rodui mariciel Soie deux marices A e A' élémes de M ( K ) elles que l o asse de l ue à l aure ar ue suie fiie d oéraios élémeaires sur les liges Si ces oéraios élémeaires so successiveme associées aux mulilicaios ar les marices élémeaires... ù E E m ( m N ) alors o a : A' Em... E A Coséquece : Soie deux marices A e A ' élémes de M ( K ) Si A e A ' so équivalees ar liges (c es-à-dire si o asse de l ue à l aure ar ue suie fiie d oéraios élémeaires sur les liges. O oe A A' ) alors il exise ue marice E M ( K ) iversible elle que A' E A E effe le rodui de marices iversibles es ue marice iversible b) Traducio maricielle de l algorihme de Gauss -Jorda Toue marice es équivalee ar liges à ue uique marice écheloée réduie ar liges. Si A ( K ) M alors il exise ue marice rodui de marices élémeaires e ue uique marice écheloée réduie ar liges elle que A ER Remarque : A ER R E A E iversible avec E rodui de marices élémeaires Exemle : Soi la marice 2 A Aisi A ER avec 0 R T T D T T P 3 e E De lus R P T T D T T A

12 c) Oéraios sur les coloes es oéraios élémeaires sur les coloes d ue marice A éléme de M ( K ) so Echager deux coloes que l o oe Ci C our deux eiers i Mulilier ue lige ar u scalaire o ul que l o oe Ci Ci Aouer à ue lige u mulile d ue aure lige que l o oe Ci Ci + C Soi A M K A M K i A D es la marice obeue e aliqua à A l oéraio Ci Ci avec 0 A P i es la marice obeue e aliqua à A l oéraio Ci C avec 0 i es la marice obeue e aliqua à A l oéraio Ci Ci + C A T Deux marices A e A ' élémes de M ( K ) so équivalees ar coloes s il exise ue suie fiie d oéraios élémeaires sur les coloes ermea de asser de l ue à l aure O oe A A' C Il exise alors ue marice Q G ( K ) elle que A' A Q Toue marice es équivalee ar coloes à ue marice uique écheloée réduie ar coloes Si A ( K ) M alors il exise ue marice E ' rodui de marices élémeaires e ue uique marice R ' écheloée réduie ar coloes elle que A R ' E ' Remarque : ue marice es die écheloée réduie ar coloes si sa rasosée es ue marice écheloée réduie ar liges 2

13 D. Marices carrées iversibles e sysèmes liéaires Soi u sysème ( S ) à équaios e icoues ( ) ( ) a x + a2 x a x b a a x b a2x + a22x a2 x b2 2 ax a2x2... a x b ( ) a a x b ) Théorème Soie ue marice A M ( K ) e ue marice B M ( K ) ( S ) es oé AX B avec X M ( K ) es roosiios suivaes so équivalees : a) A I b) A es iversible c) Pour ou B ( K ) d) Pour ou B ( K ) M le sysème AX B adme ue uique soluio M le sysème AX B adme au lus ue soluio e) e sysème AX O adme que la soluio ulle O f) a marice A es de rag Démosraio : «raisoeme circulaire» a b c d e f a Suosos que à gauche ar A I alors E G ( K ) EA I e comme E es iversible e mulilia E il vie : A E doc A es iversible A X B Suosos A iversible AX B X A B le sysème AX B a doc ue uique soluio c d : immédia Suosos d vraie le sysème homogèe AX O adme au lus ue soluio comme O es soluio c es la seule e f : Démoros la coraosée Suosos que le rag de A es sriceme iférieur à.alors le sysème AX O adme ue ifiié de soluios (cours sysèmes liéaires) : ce qui es faux ar hyohèse : doc le rag de A es f a : si le rag de A es alors A I (cours sysèmes liéaires) 2) Coséqueces a) Corollaire Ue marice riagulaire es iversible si e seuleme si ses élémes diagoaux so ous o uls 3

14 b) Corollaire 2 Soi A Î M ( K ). es roriéés suivaes so équivalees : i. ii. a marice A es iversible Il exise A ' Î M ( K ) elle que A ' A I iii. Il exise A ' Î M ( K ) elle que A A ' I orsque ii. ou iii.es vraie o a alors A ' A- Démosraio : i. Þ ii. immédia e i. Þ iii. immédia Suosos qu il exise A ' Î M ( K ) elle que A ' A I e sysème AX O adme que la soluio ulle uisque AX O Þ A ' AX O Þ X O e héorème ous di alors que A es iversible doc ii. Þ i. Suosos qu il exise A ' Î M ( K ) elle que AA ' I Par rasosiio o a ( AA ') ( A ') AT I : doc AT es iversible ce qui eraîe que A es T T iversible Sacha que A es iversible alors AA ' I Þ A- AA ' A- Þ A- A ' Poi Méhode : Pour rouver qu ue marice A es iversible e déermier so iverse il suffi de rouver ue marice A ' ell que A ' A I OU AA ' I Profios-e our exoser les riciales méhodes our morer qu ue marice es iversible Uiliser la défiiio (e le corollaire 2) Uiliser ue combiaiso liéaire ulle de uissaces de la marice (méhode du olyôme aulaeur) Calculer l iverse ar la résoluio d u sysème liéaire. O uilise le héorème récéde : A es iversible le sysème. adme ue uique soluio Méhode de Gauss -Jorda a marice A es iversible si se seuleme si A : I O asse de l ue à l aure ar ue suie fiie d oéraios élémeaires sur les liges 4

15 Si ces oéraios élémeaires so successiveme associées aux mulilicaios ar les marices élémeaires... ù E E m ( m N ) alors o a : I Em... E A O eu doc affirmer (corollaire ) que A E... E m Fialeme A Em... E I Das la raique : O cosrui la marice M ( A I ) O effecue ue suie fiie d oéraios élémeaires qui rasforme la arie «gauche» e la marice I cee même suie d oéraios élémeaires rasforme la arie «droie» e A U exemle : soi Formos la marice 2 A a marice A es équivalee à I : A I doc A es iversible e A

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