Cours 3 : Probabilités

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1 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Cous 3 : Pobabltés Table des matèes Secto. La oulette usse : oblème emque?... 3 Secto. Rôle de la obablté e statstques ductves... 3 Secto 3. La dstbuto bomale Calcule la obablté d u ombe de succès Paamètes et focto de masse Calcul des momets statstques... 6 a. Calcul de la moyee d ue vaable aléatoe de tye bomal... 6 b. Calcul de la vaace d ue vaable aléatoe bomale... 7 c. Autes momets statstques... 8 Secto 4. La dstbuto omale Focto de masse et aamètes Pobablté d u évéemet omalemet dstbué Pouquo la omale?... a. Aoxmato de la dstbuto bomale... b. Pluseus souces d eeus... Tasfomato léae Dstbuto omale stadadsée... 5 Secto 5. La dstbuto de Webull Focto de masse et aamètes Momets statstques... 7 Secto 6. La dstbuto χ Focto de masse et aamète Momets statstques... 9 Secto 7. La dstbuto de Fshe F Focto de masse et aamète Momets statstques... 0 Commet le ue table statstque... 0 Cous 3. Pobabltés

2 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Secto 8. Cocluso... Execces... 3 Lectues Suggéée : Howell, chate,.4, chate 3, 3. à 3.3, chate 5, 5. à 5.7 clusvemet. Objectfs Coaîte les ostulats sous jacets aux dstbutos bomale, omale, χ et de Fshe. Coaîte la moyee de ces dstbutos. Pouvo omalse des doées et les déomalse. Ête e mesue de le ue table statstque de ces dstbutos. Cous 3. Pobabltés

3 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Secto. La oulette usse : oblème emque? La obablté est aaue das les aées 600, éoque où les jeux de hasad étaet tès sés. Avat de fae u a, l'astocate moye voulat coaîte ses chaces de gage. O, ls e coassaet d'autes moyes de fae ce calcul que de joue le jeu u gad ombe de fos avec u sevteu de coface. La obablté de gage devet: P( Ga Nbe de ga Nbe de ate jouée (Vous comedez que cette méthode 'état guèe utle au jeu de la oulette usse. Pou cote cette statége fo smle, cetas joueus vetèet des jeux lus comlexes, souvet basé su ue séquece. Pou évalue leu chace, cetas astocates 'euet d'autes ecous que d'alle cosulte les lus gads mathématces de leus tems (les Beoull, Pascal, Femat, etc.. Ces dees fet be lus qu'évalue les chaces de ga, ls établet les obabltés de vo tel ou tel évéemet se odue das ue stuato doée tès gééale. Nous examos quelques-ues de ces dstbutos de obablté das la sute. Secto. Rôle de la obablté e statstques ductves La obablté est la bache des mathématques qu s occue des oulatos. État doés quelques ostulats smles, eut-o savo commet les scoes de la oulato etèe seot éats. Idéalemet, o souhate avo le mos de ostulats ossbles (das le but d ue lus gade gééalté. O eut vo les obabltés comme ue gosse exéece de esé : Peut-o, a la seule logque, éde le ésultat d ue «exéece». Pa exemle, magos qu ue «exéece» cosste à lace 0 fos ue èce de moae. Peut-o éde d obte 8 fos le? Sas les mathématques, ous sommes cotat de ous fe à ote tuto, à ote exéece. Das ce cas-c, ote tuto suggèe que c est sas doute tès ae. O, les mathématces (Beoull le eme euvet ous de la obablté exacte que cela se oduse sas même avo jamas lacé ue èce de moae de leu ve. Le ésultat, ous le veos à la secto 3, est d u eu mos de 5%. La démache des obabltés cosste toujous a ose des ostulats : «Et s» et de vo quelles coséqueces o eut e te. Pa exemle, «Et s je coassas la obablté d u le los d u lacé uque, ouas-je e dédue la obablté d obte les su lacés?». Comme les ostulats sot souvet gééaux, les coséqueces touvées euvet auss sev das d autes stuatos. Pa exemle, la questo «S j a 0 efats, quel est la obablté d e avo 8 avec les yeux bleus?» écesste exactemet le même asoemet mathématque que celu avec les èces de moae ou ête ésolue. L dée gééale d todue les obabltés e statstques sea lus clae au cous suvat su la statstque ductve, das laquelle l o souhate dédue des fomatos su ue oulato à at d fomatos su u échatllo. Cous 3. Pobabltés 3

4 PS 004 Secto 3. La dstbuto bomale Techques d aalyses e sychologe La dstbuto la lus smle est celle qu déct des évéemets ayat que deux ossbltés. Pa exemle, ue èce de moae est lacée, et le ésultat eut ête le ou face. Ou ecoe, u dvdu est chos au hasad et so sexe est oté. Le ésultat eut ête Homme ou Femme. Das l duste, ue mache eut foctoe ou ête e ae, etc. U essa où seulemet deux cas sot ossbles est afos aelé u essa de Beoull, e l hoeu du mathématce qu le eme a tavallé ce gee de oblème au cous des aées 700. E gééal, l u des deux ésultats est aelé de faço abtae u «succès» et l aute u «échec». Pou smlfe, otos la obablté d u succès, P{S}. Il s esut que - est la obablté d u échec, P{E} (souvet, les auteus otet e utlsat la lette q. Das le cas d ue èce de moae o tuquée, ½. Das le cas de la machee, l eteeeu souhate que sot le lus élevé ossble. 3.. Calcule la obablté d u ombe de succès. Das u essa de Beoull, chaque essa est déedat des essas écédets. Il découle alos que la obablté est smlemet multlcatve Pa exemle, la obablté de deux succès est P{S, S} : P{S, S} P{S} P{S}. As, P{S, S, E, S, E, E} (- (- (- 3 (- 3. Notez qu e fat, l ode das lequel les ésultats sot obteus est as motat usqu ls sot déedats. S, au leu d ête téessé das le ésultat d u seul évèemet, ous souhatos quatfe le ombe total de succès, a exemle, le ombe de maches défectueuses das ue use, ous devos te comte du ombe de faços ossbles d obte ce ésultat doé. Pa exemle, au cous d ue joute où o lace cq fos ue èce de moae, o veut savo la obablté d obte 3 les (P. O eut obte ce ésultat de l ue ou l aute de ces faços : {P, P, P, F, F} {P, P, F, P, F} {P, P, F, F, P} {P, F, P, P, F} {P, F, P, F, P} {P, F, F, P, P} {F, P, P, P, F} {F, P, P, F, P} {F, P, F, P, P} {F, F, P, P, P} sot 0 faços dfféetes d obte 3 les am 5 lacés. La obablté d obte le eme ésultat est de 3 ( -. De même la obablté d obte la secode cofguato, etc. Doc, la obablté d obte u total de 3 les am 5 laces, eu mote l ode, est de 0 3 ( -. De faço gééale, l faut toujous multle la obablté d ue cofguato a le ombe de faços de l obte. Pou cette aso, o utlse l oéateu qu dque le ombe de combasos ossbles de am évéemets baes. O calcule ce ombe! avec la fomule.!(! Cous 3. Pobabltés 4

5 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Quad ue vaable est le ésultat d u évéemet aléatoe du gee d u essa de Beoull, o dt que eflète ue dstbuto bomale. Pou smlfe, o eut éce lus desémet qu ue vaable aléatoe est le ombe de succès obteus das ue sute de essas de Beoull, au cous desquels la obablté d u succès est à l ade de la otato: ~ B(,. Das ce cas, la obablté d avo succès au cous de essas, P{ succès} est doé a f ( 3.. Paamètes et focto de masse ( Ce que l o dot ete de ce qu écède est que s l o a des ostulats smles su ue oulato (c des évéemets baes, chacu avec ue obablté et alos l est ossble d obte la obablté ou chaque obsevato ossble (obte 0 succès : f (0, obte succès : f (, etc.. Ceedat, e lus de ces ostulats su ote oulato, l est écessae de coaîte les valeus et. O aelle ces valeus des aamètes de la oulato. E obablté, et sot doées. Pa cote, comme o le vea das le cous 4, e statstque, ces valeus sot gééalemet des coues que l o essae d estme avec des échatllos. La focto f( est la focto de masse (PDF, vo lexque qu déct les obabltés ou tous les. Comme o le vea au ot c, l e faut as lus ou calcule les momets statstques d u ot de vue uemet théoque. Pou vous atque, essayez de calcule à la ma la obablté d obte 0 le su 5 lacés d ue èce de moae, le, etc. Pusque ces ombes eésetet ue féquece elatve, o eut fae u gahque des hstogammes, qu devat alos essemble à celu de la Fgue. Das le cas où est ½, o obseve ue dstbuto symétque avec ue moyee qu semble ête à.5. Ceedat, est as toujous de ½. Das le cas de machees dustelles, la obablté qu ue mache sot e ae eut ête de l ode de /00. Quelle est la obablté que l o touve tos maches e ae au même momet das ue use de 35 maches? Le gahque de la Fgue lluste ces obabltés (maque les hstogammes de à 35, mas ls sot vtuellemet de zéo. Comme o le vot, la obablté que le ombe de aes sot de 5 est excessvemet Fgue : Dstbuto du ombe de les su 5 lacés Cous 3. Pobabltés 5

6 PS 004 Techques d aalyses e sychologe fable (de l ode de Avec u tableau cumulatf (gahe des féqueces cumulatves ou CDF, o vot be que tous les ombes de aes obablemet ossbles se stuet ete 0 et, comme o le vot à la Fgue 3. Das ce dee cas, l asyméte est extême (et ostve, et le ombe modal de ae est zéo. La moyee est de 0.35 ae, sot mos de ue e moyee. S vous voulez calcule la moyee à la ma das ce dee cas, vous allez touve l execce assez laboeux. Il est ceedat ossble de ésume les momets statstques à l ade de fomules smles, comme ous le motos c Calcul des momets statstques Fgue : Exemle de dstbuto quad la obablté d u succès est /00 cous.: a. Calcul de la moyee d ue vaable aléatoe de tye bomal O eut calcule la moyee attedue de, otée c E( e utlsat la fomule du E( f ( où déote tous les ésultats ossbles ou (sot 0 succès, 0 succès, succès. Pou y ave, l faut coaîte ces elatos : (a et Fgue 3 : Exemle de dstbuto cumulatve quad est /00 Cous 3. Pobabltés 6

7 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Cous 3. Pobabltés 7 (b M M M b a b a M ( 0 +, Notos qu avec la elato (a, ous ouvos éce : f ( ( ( ( ( Dès los, o eut éce : E 0 ( ( ( S ous osos et M, ous obteos : M M M E 0 0 ( ( ( que l o eut ésoude à l ade de la elato (b e osat a et b (- : ( E M + ( ( b. Calcul de la vaace d ue vaable aléatoe bomale Pou calcule la vaace attedue, otée Va(, ous utlsos la secode elato su la vaace ésetée au cous.4 : E E Va 0 ( ( ( ( ( (

8 PS 004 À ouveau, osos. Va( 0 0 ( + ( ( + Techques d aalyses e sychologe 0 ( Le eme teme ete cochets eésete la moyee d ue vaable qu seat bomale ete 0 et. Posos ~ B( -,. Le secod teme se ésout suvat la elato (a otée à la sous-secto écédete. Va( [ E( + ( + ] [( + ] [ + ] ( c. Autes momets statstques Suvat ue méthode smlae, o eut auss ésoude l'asyméte attedue S( et la utose attedue Ku(. O obtet : S( ( 6 ( Ku( + 3 ( De fat, o véfe qu avec 35 maches ( 35 et la ossblté d ue mache e ae à / 00 ( 0.0, o s atted à ce que le ombe moye de maches e ae das l use sot de 0.35 avec ue vaace de (sot u écat tye de ès de 0.59 et ue asyméte de.66, sot ue dstbuto tès décalée ves la gauche. Secto 4. La dstbuto omale Das cette secto, ous cosdéos ue dstbuto das laquelle les ésultats ossbles sot tous les ombes éels (as seulemet les ombes etes ostfs, comme das le cas de la Bomale. Cette dstbuto est aelée la dstbuto omale ou ecoe gaussee (du om de so veteu, Cal Fedch Gauss. Tout comme la bomale, l s agt d ue dstbuto am ue fté d autes ossbles. La omale est as ue lo de la atue que l o obseve éellemet. Il s agt e fat d ue théoe basée su des ostulats smles, que ous allos suvole lus tad (e scece, luseus cocets e sot as afatemet vas mas doet des aoxmatos tès utles. 4.. Focto de masse et aamètes La dstbuto omale est sécfée a la fomule mathématque de sa PDF : Cous 3. Pobabltés 8

9 PS 004 Techques d aalyses e sychologe zµ σ f ( z e. πσ (Das cette fomule, o dvse a π ca so l a totale sous la coube seat de π alos qu e obablté, l ae totale dot ête de. Cette focto est souvet eésetée a la famlèe coube e fome de cloche que l o etouve à la Fgue Fgue 4 : Exemle de dstbuto omale avec moyee 0 et écat tye La coube omale est cotue ou toutes les valeus de z das l tevalle ]-, + [, de telle faço que tous les tevalles ossbles ot ue obablté lus haute que zéo. Pou cette aso, l est éféable de eésete gahquemet la omale avec ue coube cotue lutôt qu avec des hstogammes. Cette dstbuto est afatemet et toujous symétque, de telle faço que la moyee, la médae, et le mode coïcdet. L ae totale sous la coube égale toujous usque qu l s agt de la obablté qu u évéemet ( mote lequel se oduse. La dstbuto omale est ue famlle de coubes usqu ue coube omale eut se dstgue d ue aute a la osto (Fgue 5, gauche, a l échelle (Fgue 5, cete ou a les deux à la fos (Fgue 5, dote. Ce qu dstgue ue coube omale d ue aute sot les aamètes de la oulato, qu sot au ombe de deux : la osto µ et l échelle σ. Pou fae lus cout, o ote que ~ N(µ, σ. La focto attet so maxmum (le mode quad l'exosat µ σ z est mmum. C est doc de que la moyee est auss attete quad z vaux µ, doc µ. O eut auss ouve ce ésultat comme ous l avos fat ou la bomale e utlsat la défto de, Fgue 5 : Quelques dstbutos omales Cous 3. Pobabltés 9

10 PS 004 Techques d aalyses e sychologe sot + z E ( z f ( z. Ceedat, z est cotue et e ed as uquemet les valeus etèes ] -3, -, -, 0,,, 3, [. Il faut doc océde avec des tevalles fmet etts, ce que emet le calcul ftésmal (lu auss veté a Gauss. O dot doc ésoude + + zµ σ E ( z f ( z dz, c est à de E( z e dz. Heueusemet, cette fomule se πσ ésout assez faclemet, et o obtet que E ( µ tel qu attedu. De la même faço, o + + zµ σ ésout Va( ( z µ f (z dz ( z µ e dz ou obte que Va ( σ. πσ Doc, le aamète d échelle σ déct afatemet la vaace de la oulato. 4.. Pobablté d u évéemet omalemet dstbué Avec la dstbuto bomale, l o ouvat de que f ( dque la obablté d obte succès. Ceedat, ou la dstbuto omale (et toute focto cotue, f (z est as teétable. E effet, f ( z P { z }. Ceedat, ou u ombe éel, quelle est la obablté d obte exactemet ue valeu écse z? Même s je vous doas u tems f, la obablté que vous ussez me de exactemet le ombe π est ulle. De même, das ue oulato où la talle moyee des dvdus est de m75, quelle est la obablté que vous échatlloez u dvdu mesuat exactemet m75 (c est à de mète? De fat, P { z } (la obablté d échatlloe u dvdu mesuat exactemet z m est zéo eu mote z. Pa cote, o eut se demade quelle est la obablté que ote vaable aléatoe sot aoxmatvemet z, c est à de, P { z } P { z z z + z} où z dque la écso voulue. Su u gahque, o veat cec comme l ae d ue secto de la coube omale. Le calcul d ue ae sous ue coube eut ête dffcle, mas la tâche ous est gademet facltée a les féqueces cumulatves. Vo la Fgue 6. Pa défto, ue féquece cumulatve doe la obablté qu ue vaable aléatoe sot féeue à ue valeu z, ce que l o ote a F ( z. E fasat la dfféece F ( z z F ( z z, o obtet la obablté que sot féeu à z + z, mas as z z z + z F( z + z F( z z z + z z z z z 4 Fgue 6 : Pobablté d obte le scoe z Cous 3. Pobabltés 0

11 PS 004 Techques d aalyses e sychologe féeu à z - z, ce qu est be ce que l o echeche. Il est cla de cet exemle que ou des vaables cotues, la focto de dstbuto cumulatve (CDF est la lus utle Pouquo la omale? Il exste tos asos d utlse la omale. Pemèemet, la omale est ue tès boe aoxmato de la dstbuto Bomale quad est gad. Deuxèmemet, la omale est la dstbuto édte quad l exste luseus souces d eeus das os doées. Falemet, à cause du théoème cetal lmte. Das ce qu sut, ous élaboos à oos des deux emèes asos, et gados le théoème cetal lmte ou le cous 5. a. Aoxmato de la dstbuto bomale Calcule la dstbuto bomale eut ête assez fastdeux quad le ombe d essas de Beoull est gad ( >>. Pou cette aso, ue aoxmato est souhatable. L aoxmato que ous ésetos c est valde que losque ½ (toute aoxmato fate quad >> est aelée ue aoxmato asymtotque. Nous veos d autes exemles d aoxmatos asymtotques. Sot ~ B(,. Pusque E( et Va( (, ous allos ose ~ N(, (-. O eut mote fomellemet que losque >>, l écat ete la obablté édte a f (z et F ( z + / F ( z / se édut à zéo. La euve est ceedat to logue ou la mette c. Nous allos lutôt mote u exemle où est modéémet gad et vo que la dfféece est déjà tès fable. Das le tableau qu sut, ous llustos les obabltés ou les 6 cas ossbles de succès quad 5. Das cet exemle, ½ exactemet. Comme o le vot, l écat ete la bomale et la omale est sgfat (de l ode du mllème. Il est ceedat légèemet lus gad aux extémtés usque la omale s éted de à +, cotaemet à la bomale. Ue aute faço de mote que la omale est detque à la bomale ou >> quad est ½ est de egade les momets statstques. E effet, s les deux dstbutos ot les même valeus ou tous les momets (moyee, vaace, sewess, utose, et tous les autes, alos focémet l s agt de la même dstbuto (l s agt d u théoème ouvé das Camé. Cous 3. Pobabltés

12 PS 004 Techques d aalyses e sychologe z f (z F (z+0.5-f (z Avec la défto de et de c-haut, o eut fae le tableau qu sut des quate emes momets : Bomale Valeu Nomale E( N E( (a déf. de Va( N(- Va( (a déf. de S( (quad ½ Ku( (quad 0 S( 3 Ku( Comme o le vot, les quate emes momets coesodet afatemet, et s l o cotuat avec les autes momets, la coesodace cotueat défmet. Das ce qu écède, o eted a >> u suéeu à 0. b. Pluseus souces d eeus Suosos que la mesue de chacue de os doées butes sot etachée d u gad ombe d «eeus» qu affectet le scoe védque que l o auat obteu. Ces ombeuses souces d eeus euvet ête lées à des mesues mécses ou (e sychologe euvet ête lées à des facteus tels l atteto, les éoccuatos du sujet, l hstoque du sujet, etc. qu veet tous modfe légèemet sa vae efomace. Cous 3. Pobabltés

13 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Notos alos le scoe mesué et T le scoe éel du sujet. Nous avos que T + e. Notos qu c, T est as ue vaable aléatoe usqu l s agt du scoe déal du sujet. La vaable aléatoe e est la souce d aléa qu ed ue vaable aléatoe. Pou lluste le fat que e eflète u gad ombe de souces d eeus, osos e g e + e + e e ( 3 N où chaque souce d eeu e est sot ésete et édut la efomace du sujet ou absete et favose ue boe efomace. Le but de la costate g est de mette su l échelle des efomaces (e ot de QI, e teme de vtesse, etc. l effet cumulé des eeus tel que das l absece d eeu, la efomace e sot as affectée. Nous avos doc que e + ou e -. De lus, ous ostulos que P { e + } ½. Redu à ce ot, vous devez vo où je m e vas : chaque souce d eeu est u essa de Beoull! Regados quel est le ombe d eeus moye, où Z dque le ombe de souce d eeus ostves, et Z le ombe de souces d eeus égatves : E( e E( gz g( Z E g 0 ( gz g ge( Z g g L es eeus favoables et défavoables s'aulet mutuellemet e moyee. De lus, la vaace se calcule auss a ( gz g Va( e Va Va(gZ + 0 4g Va( Z 4g ( g Cec osé, ous touvos doc que E( E(T + e T+E(e T et que Va( Va(T + e Va(e g. De fat, la vaablté obsevée das ésulte uquemet de la vaablté das e qu est bomale. Comme o ostule que >>, la vaablté de e est aoxmée a ue dstbuto omale, d où l s esut selo os ostulats que est omalemet dstbué ( ~N( T, g. Tasfomato léae Il est afos utle, ou smlfe le tatemet d u objet mathématque, de chage sa osto de faço à ce qu l se ésete sous u fomat lus stadad (fomat caoque. Pa exemle, das l exemle c-cote, l est lus smle de délace le ectagle de faço que so cete coïcde avec l oge de l abscsse. Délace u objet (exécute ue taslato s effectue smlemet e soustayat la dfféece ete la osto actuelle et la osto Cous 3. Pobabltés 3

14 PS 004 Techques d aalyses e sychologe voulue de l objet (a exemle c, o eut voulo délace de 3 cm. Smlaemet, o eut chage l étedue d ue fome e dvsat la mesue de so étedue. E teme mathématque, o tasfome ue vaable x e ue vaable x avec cette smle tasfomato où est la osto ogale et e est l étedue : x' x e Pa exemle, c-cote, l o tasfome la dote dot l équato est y / 4x 3 e 3 osat x ' x +. O véfe faclemet que la dote tasfomée ésultate est / 4 x + 3 y ' / 4x' 3 / 4 3 x x / 4 Pete ¼ Odoée à l oge -3 Fgue 7 : Deux exemles de taslato et de chagemet d échelle hozotal Ue tasfomato eut auss océde à l eves ou tasfome ue coube caoque e ue fome lus élaboée, a exemle, ou asse du cecle à l ellse. Suosos que l o souhate délace le cecle de 3 cm ves la dote ( et éte le gad axe du double (e. L équato du cecle état : y x, o obseve que x 3 ( x 3 y ` x` qu est be l équato d ue ellse. 4 De la même faço, o eut délace des dstbutos. Sot ue dstbuto dot la osto (la tedace cetale se touve à cm, et l étedue (l'écat tye est de deux utés. Fgue 8 : Déomalsato a taslato et chagemet d échelle hozotal Cous 3. Pobabltés 4

15 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Fgue 9 : Nomalse ue dstbuto E chageat x ou x comme écédemmet, o se touve à amee la dstbuto au cete, et so échelle à. Das le cas d ue omale N(,, o se touve à édue tous les scoes de deux (.e. u délacemet égal à la moyee µ, doc, la moyee devet 0, et o édut auss l étedue a, d où l écat tye devet. O véfe faclemet e calculat l eséace et la vaace avec les fomules usuelles : µ µ µ µ E ( ' E( E( 0 σ σ σ σ σ µ σ Va ( ' Va( Va( σ σ σ As, S ~ N(,, alos (-µ/σ ~ N(0,. Losqu o alque ue tasfomato léae à ue vaable aléatoe das le but de tasfome sa dstbuto e ue dstbuto caoque, o va ale de stadadsato. (Notez qu c, la dstbuto la lus smle est N(0, et o as N(0, 0. Voyez-vous ouquo?. La stadadsato eut ête effectuée eu mote la fome de la dstbuto. Ceedat, seulemet la osto et l échelle sot affectés a ue telle tasfomato. S la dstbuto est asymétque avat la omalsato, elle le estea aès Dstbuto omale stadadsée Pou faclte l étude des caactéstques de la lo omale et sutout ou ouvo déteme ademet les ootos sas devo costue ue fté de coubes coesodat à toutes les moyees et écats tyes ossbles, ous utlsos toujous la dstbuto omale stadadsée, ecoe aelée la dstbuto omale cetée édute. L obsevato du gahque de la Fgue 0 emet d aéce la elato ete l écat tye et le oucetage de l ae sous la coube : ue ooto de 34% de l ae totale (doc 34% de toutes les ossbltés se stue ete 0 écat tye (la moyee et écat tye; 68% ete et + écat tye; seulemet % des cas se stuet au dessus de écats tyes, et à eu ès tos cas su 000 (0.6% sot sot au dessus, sot e deçà de tos écats tyes. Cous 3. Pobabltés 5

16 PS 004 Techques d aalyses e sychologe La tasfomato léae vue lus haut, das le cas d ue vaable aléatoe de tye omale, est souvet aelée ue cote z, ou ecoe u scoe z. N mote quel omalemet dstbué eut ête exmé e cote z (o devat lutôt ote Z, usque Z est % 95.44% 99.74% Fgue 0 : La dstbuto omale auss ue vaable aléatoe. E se éféat à la coube omale stadadsée, o eut obte u estmé de la féquece de cette valeu, c est à de sa obablté das la oulato. Pa exemle, s u goue d étudats obtet à u exame ue moyee de 70 et u écat tye de 0 (et s les ésultats sot be dstbués omalemet, o eut coclue que 68% des otes devaet se touve ete 60 et 80 (± écat tye, qu ue ote de 90% ou lus (suéeue à écats tyes devat ête obteue a evo % des étudats, et qu ue ote de 40 (e bas de 3 écats tyes est vamet excetoellemet mauvase. Ue aute fomato motate eut ête obteue a la tasfomato de doées butes e cotes z. Comme chaque vaable est alos mesuée su la même échelle et ésete la même moyee, elles deveet comaables. Pa exemle, ue ote de 75 e mathématque et ue ote de 7 e faças euvet semble smlaes. Ceedat, s l o sat que la moyee du goue e math est de 60 avec u écat tye de 5, et que la moyee e faças est de 75 avec u écat tye de 5, o découve u gée des maths et u ète écva. Secto 5. La dstbuto de Webull La bomale vue au début de cette secto s'téesse à des évéemets du tye «obte succès am essas de Beoull»,.e où est le ombe de succès am évéemets. Postulos lutôt que : a chaque évéemet doe ue valeu éelle ostve lutôt qu ue valeu bae, et b que je sus téessé a le lus ett (ou le lus gad de ces évéemets. U exemle s obseve los d ue couse de 00m «obte u melleu tems de 9 s quad 0 coueus cométtoet». Les coueus edat ot be u tems, mas état as le melleu tems, l est ejetté. L exemle tyque ous ovet de la Hollade. Ce ays est e gade ate sous le veau de la me, et des baages de 6 mètes otèget les habtats. Que suvee ue Cous 3. Pobabltés 6

17 PS 004 Techques d aalyses e sychologe maée suéeue à la hauteu des baages (comme e 95, et c est la catastohe. O veut doc coaîte la obablté de l évéemet «la lus haute maée est de 6 mètes am les 365 maées de l aée». U aute exemle etet ou la euosychologe ous vet de l étude du délacemet de l flux eveux. Selo ue vso, les flux eveux sot tès edodats, voyageat su u gad ombe de fbes aallèle d ue ae du ceveau à l aute. Ceedat, cetas ostulet que seuls les sgaux les lus ades sot cucaux. La questo est doc de coaîte la dstbuto des évéemets «le tems du lus ade sgal am les mlles de sgaux edodats». 5.. Focto de masse et aamètes O démote (mas je saute les détals qu avec seulemet les deux ostulats a et b chaut, o eut déteme la fome de la dstbuto. Il s agt d ue lo letemet asymtotque (. e. ou >>>, c est à de lus de 00 sous-évéemets que l o omme la dstbuto de Webull (du om de l géeu qu l a todut das l étude des matéaux. Sa focto de masse est doée a l équato : f ( z β γ γ ( z α ou laquelle o ote ~ W(α, β, γ. La dstbuto de Webull écesste tos aamètes ou ête dessée, sot α, β, et γ. Le eme eésete la osto de la dstbuto, sot l edot où elle débute, le secod eésete l échelle de la dstbuto (est smlae mas as uméquemet équvalet à l écat tye, et le dee est la fome de la dstbuto, sot so degé d asyméte (ecoe ue fos, smlae mas as uméquemet équvalet à la sewess. γ e zα β Les mages de la Fgue llustet tos Webull avec comme fome,., et 3 esectvemet. Toutes ot la même échelle (60 et la même osto (400. Aès omalsato, elles ataet toutes à zéo et auaet ue échelle de, mas seaet éamos de fomes dfféetes. γ Fgue : Tos dstbutos de Webull Momets statstques O eut démote que Cous 3. Pobabltés 7

18 PS 004 Techques d aalyses e sychologe E( α + βγ( + / γ Va( β ( Γ( + / γ Γ( + / γ Secto 6. La dstbuto χ Suosos que ous ayos u échatllo {,, 3, N } té d ue oulato omalemet dstbuée ( ~ N(µ, σ. Ue faço de sythétse cet échatllo est de calcule la moyee. Ceedat, ous avos vu écédemmet que l o eut omalse les doées µ avec la fomule '. Qu advet-l s l o décde de calcule ue statstque σ totalemet abtae, que l o aellea G, calculé a la fomule : G ` Comme ous l avos vu au cous, l s agt d ue somme (omalsée des écats à la moyee, qu doe toujous zéo. Cette statstque est doc as téessate. Regados lutôt ue aute statstque, que l o aelle G (c, le caé fat ate du om, et e sgfe as qu l faut mette la valeu de G écédete au caé, calculée a ( µ µ G ' σ σ c est à de la somme des caés des scoes omalsés. Be que cette statstque semble abtae, a l s agt be d ue statstque usqu elle etoue ue valeu sythétsat u échatllo, b o vea lus lo (cous 6 qu elle eut ête tès utle das ceta cas. 6.. Focto de masse et aamète O démote (mas ecoe ue fos, o saute les détals que la statstque G ossède ue dstbuto théoque que l o aelle la χ. Sot ue vaable G ~ χ (, la focto de masse est doée a la fomule : Fgue : Tos exemles de dstbuto χ Cous 3. Pobabltés 8

19 PS 004 Techques d aalyses e sychologe f G ( z z Γ La dstbuto χ est etèemet défe a le aamète, le ombe d tems addtoés. est doc le seul aamète ou déce la oulato des tous les G ossble. Ce déteme la fome de la dstbuto, comme o le vot c-bas ou, 5, et 0. e z 6.. Momets statstques Pusque ou chaque scoe, o soustat µ avat de mette au caé, o se etouve e fat à calcule E( (vo f du cous, qu doe la vaace. Doc, le ésultat attedu ou u, sot E(, est de, usque la vaace est de.il découle que ou la somme de tel scoe, E(G. O démote auss que la vaace Va( G. O vot tutvemet ces mesues su le gahque c-haut, où autat le ot d équlbe que l échelle des dstbutos χ coît avec le aamète. De lus, la sewess et la utose sot doés a S( G Ku( G Comme o le vot, lus s accoît, lus les momets deux et tos tedet ves 0 et 3 esectvemet. C est à de que ou >> la dstbuto χ ( ted à deve detque à la dstbuto omale N(,. Secto 7. La dstbuto de Fshe F La dstbuto F suose que ous avos deux échatllos tés d ue même oulato, {,, 3, x } et {,, 3, y }, où ~ N(µ, σ} et ~ N(µ, σ}. S l o calcule du eme échatllo la statstque G comme écédemmet et que l o dvse a N, o devat obte ue statstque dot la moyee est autou de. O fat de même ou, et o ed le ato du eme su le secod ou obte ue statstque F. La fomule comlète est doc : G F G x ( µ ( µ x ou laquelle o dt que F ~ F(,. Cette dstbuto est asymétque ou ou ett. O emaque que le aamète σ s aule usque a hyothèse, l s agt du même σ au uméateu et au déomateu : σ σ Cous 3. Pobabltés 9

20 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Cous 3. Pobabltés 0 ( ( ( ( ( ( x x x F µ µ µ σ µ σ σ µ σ µ À la Fgue 3, o vot ue llustato ou, 5, et 0 ou (gauche et 50 (dote. 7.. Focto de masse et aamète La focto de masse de la dstbuto de Fshe est doée a : F z z z f ½ ½ ½ ½ ½!!(½ (½! ½ (½ ( Momets statstques La moyee de cette dstbuto est as exactemet, mas ted ves cette valeu quad l échatllo utlsé au déomateu est gad. De lus, quad et sot gads, la vaace ted ves zéo, la sewess ves 0 et la utose ves 3. Doc, cette dstbuto ted à deve omal ou de gads échatllos. Fomellemet, 4 ( ( ( ( ( + F F Va E Commet le ue table statstque Cetaes dstbutos de féquece sot faclemet calculables avec ue calculatce (a exemle, la bomale. D autes a cote, e le sot vtuellemet as (a exemle, la χ avec sa focto Γ -combe savet que Γ( ½ π?-. O eut alteatvemet utlse u Fgue 3 : 6 exemles de la dstbuto de Fshe

21 PS 004 Techques d aalyses e sychologe logcel, tel Mathematca ou Excel, ou calcule ces valeus à chaque fos que c est écessae. Ceedat, ces logcels sot d toducto écete et étaet as accessbles (ou exstaet tout smlemet as l y a seulemet 0 as. Pou cette aso, o etouve féquemmet des tables où les calculs ot déjà été éalsés. La emèe chose à comede quad o egade ue table est de be sas quelle sote de valeu est tabulée. E gééal, ou ue vaable aléatoe dscète (qu e ed que des valeus etèes, tel la bomale, o ésete la obablté d u évéemet écs, que l o ote : f ( P{ }. Il faut le : la obablté que la vaable aléatoe ee la valeu. C est ce que l o etouve das la Table (su le ste web. Das le cas d ue vaable aléatoe cotue (qu eut ede toutes les valeus éelles, tel la omale, la χ et la F, o ésete lutôt les obabltés cumulatves, que l o ote : F ( z P{ z }, c est à de la obablté que la vaable aléatoe ee ue valeu féeue ou égale à z. La Table ésete u tel exemle avec la dstbuto omale stadadsée. Pusqu l y a as de aamète ou cette coube, ue smle table de F ( z e focto de z sufft. Dès que la dstbuto que l o veut tabule ossède des aamètes (tel la χ, la table devet de talle gagatuesque usqu l faut vae autat z que le aamète (ν ou la χ. Ceedat, usque la χ, la F, et même la t (que l o vea au cous 5 e sot utlsées que ou des fs de tests statstques, o va lutôt océde à l eves : Tabule la valeu de z ou laquelle F ( z égale ue valeu cble. E statstque ductve (cous 4, o est souvet téessé a des valeus lmtes, a exemle la valeu z tel que 95% des obsevatos devaet ête féeues. Pou cofode les étudats, o va vese et cheche le z tel que 5% des obsevatos soet suéeues (c est be la même chose. O a doc z e focto du aamète et e focto de la obablté cble - F ( z P{ z }. Les tables 3, 4, et 5 sot costutes de cette faço. Exemle d utlsato de la table omale stadadsée Das ue stallato de 5000 amoules électques, o a costaté que la ve moyee des amoules état de 00 heues avec u écat tye de 00 heues. Ic, s o établssat u échatllo, chaque doée bute seat e fat l heue à laquelle l amoule a gllé, et ote échatllo seat u esemble coteat des ombes d heues ou qu ue amoule glle. Fomellemet, o a 00 heues et t 00 heues. Imlctemet, o ostule que la oulato est omalemet dstbuée.. Combe eut-o évo d amoules hos d usages au bout de 900 heues? Ces 900 heues, e temes d écat tye coesodet à (900-00/ Le sge mos sgfe qu l s agt d ue cote z féeue à la moyee (be etedu, usque 900 < 00. Les égatfs e sot as ésets su la table, mas usque la coube est afatemet symétque, o touve F(-.5 F( Il s agt de la ooto attedue des amoules qu vot glle avec 900 heues. Pusque ous e avos 5000, 6.7% 5000 doe 335 amoules.. Combe d amoules seot hos d usage e evo 300 heues ± 00 heues? Cous 3. Pobabltés

22 PS 004 Techques d aalyses e sychologe O veut coaîte le ombe de aes ayat leu avat 500 heues, mas ayat eu leu aès 00 heues. Ces ombes, ue fos omalsés, ous doet z max.5 et z m Pou z max la ooto de aes ayat leu avat est de 0.933, auquel l faut soustae la ooto des amoules qu seaet tombées e ae avat z m, das ue ooto de La dfféece est de 0.64, sot 6.4%. Su ue oulato de 5000, ça doe 30 amoules. 3. Combe de tems faut-l attede ou avo 0% d amoules e ae? Ic, o cheche le z tel que 0% des valeus seot féeues. Ce sea cetaemet ue valeu égatve (e bas de la moyee usque à la moyee, 50% des cas sot déjà couvets. Comme la table est symétque, o cheche la valeu ostve qu excède 80% ( 0%, et o metta u sge mos devat ce ombe. E egadat das la table, la valeu z tel que ous sommes le lus ès de 80% est est doc u ombe d heues (e scoe stadadsée tel que 0% des amoules flachet auaavat. S l o «dé omalse», o obtet : t +, sot 03 heues. Secto 8. Cocluso Cous 3. Pobabltés

23 PS 004 Techques d aalyses e sychologe Execces. Coceat la dstbuto omale, laquelle de ces affmatos est fausse : a Elle est la base de luseus aalyses statstques b Les mesues se stuet gééalemet à l téeu de 3 ou 4 écats tyes c L ae sous la coube coesod à la obablté d La obablté d aato d u évéemet décoît avec la dstace à la moyee e Aucue est fausse. La cote z est l écat d ue mesue à la moyee dvsé a l écat tye a Va b Faux 3. Ue cote z gade a ue fable obablté de se odue a Va b Faux 4. Das u test de dx questos, o veut éleve u échatllo de 3 questos ou f de véfcato. Combe d échatllos est-l ossble de éleve? 5. Ue dstbuto omale est écessaemet symétque autou de sa moyee a va b faux 6. Los d u tage au sot, l y a lus de chace que la valeu obteue sot stuée ès de la moyee, eu mote la oulato a Va b Faux 7. Ue féquece elatve élevée mlque ue fable obablté a Va b Faux 8. Quelle caactéstque s alque à ue dstbuto dot les mesues butes qu se dstbuaet omalemet ot été tasfomées e cote z? a Sa moyee est égale à 0 b Sa vaace est de c Elle est e fome de cloche d a et b s Alquet e a, b, et c s alquet. 9. Losque vous lacez 0 èces de moae, quelle est la obablté d obte 0,,, ou 3 faces a 0.00 b 0.0 c 0.00 d 0.7 e E laçat 5 èces de moaes, quelle est la obablté d obte exactemet 0 faces a b 0.05 c 0.53 d 0.96 e aucue de ces éoses. E laçat u dé, quelle est la obablté d obte u sx. Cous 3. Pobabltés 3

24 PS 004. Ue obablté eut ête exmée sous fome de oucetage a Va b Faux 3. La féquece elatve assocée à u évéemet coesod à la obablté de cet évéemet c Va d Faux Sot ue dstbuto dot la moyee est de 40 et l écat tye de 0; 4. Nomalsez ces valeus : a 44 b 36 c 45. d 0 e Touvez les valeus éelles coesodat aux valeus omalsées suvates : a.00 b.90 c.00 d 3.00 e 0.40 Cet étudats ot sub u exame où la moyee du goue est de 75% avec u écat tye de 8. Les ésultats se dstbuet omalemet. 6. Quelle ooto des étudats ot evo 80% (ete 75% et 85% : 7. Quelle est la obablté qu u étudat at ue ote suéeue ou égale à 90% Techques d aalyses e sychologe 8. Quelle est la obablté qu u étudat sot lus de deux écats tyes e bas de la moyee 9. Combe s atted-t-o à avo d étudats avec ue ote ete 85% et 90% 0. À table, avec 5 covves, quelqu u oose u toast. Combe eted-t-o de vees se fae?. Combe exste-t-l de combasos qu emettet de fome ue éque de 5 joueus avec ue baque de 0 oms.. Das ue dstbuto omale stadadsée, quelle ooto des cas seot coms ete la moyee et le scoe suvat : a.0: b +0.5: c +.0: d +.0: e +3.0: 3. Das ue dstbuto omale stadadsée, quelle ooto des cas sea stuée au-dessus des scoes suvat : a.0: b +0.5: c +.0: d +.0: e +3.0: 4. Postulat ue dstbuto omale dot la moyee est 80, l écat tye est de 8, et 50, ou quel scoe s atted-t-o à touve dvdus avec u scoe féeu a 6 esoes : b Cous 3. Pobabltés 4

25 PS 004 c 63 d 75 e À suose qu l exste u test sychologque valde se dstbuat omalemet et ayat ue moyee de 00 et u écat tye de 0, e dessous de quelle scoe se touve des atcats : a 0% b 5% c % 6. État doé u goue de 500 atcats de as ayat obteus à u test ue moyee de 48 avec u écat tye de 8 et u goue de 800 atcats de 4 as ayat obteu au même test ue moyee de 56 et u écat tye de 0, et ostulat la omalté des scoes a Combe de atcats de as ot u ésultat suéeu à la moyee obteue chez les 4 as? b Combe de 4 as ot des ésultats féeus à la moyee obteue chez les as? 7. La moyee de toutes les cotes z dvduelle est la même chose que la moyee des doées butes esute tasfomée e cote z? a Va b Faux Techques d aalyses e sychologe Cous 3. Pobabltés 5