Application des algorithmes évolutionnaires multicritères à la conception de véhicules électriques

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1 Chaptre 5 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques Dans ce chaptre, nous entreprenons vértablement la concepton systémque par optmsaton de véhcules électrques purs à l ade des algorthmes évolutonnares multcrtères. La forte complexté de ce dspostf et son caractère hétérogène et multdscplnare en font une applcaton approprée à notre démarche. La concepton d un véhcule électrque est naturellement très complexe. Aboutr à un véhcule «optmsé» satsfasant une msson donnée nécesste de fare un certan nombre de chox en terme d archtecture, de dmensonnement et de geston de l énerge. De nombreuses possbltés sont offertes au concepteur qu peut par exemple opter pour un certan type de motorsaton (électrque pure, hybrde), de transmsson mécanque (boîte de vtesses, réducteur fxe, solutons multmoteurs, ) ou de sources d énerge (ple à combustble, battere, super-capacté, ). Comment dmensonner les dfférents organes du véhcule (moteur de tracton, réducteur, source d énerge) et commander l ensemble pour gérer au meux la consommaton du véhcule? Nous percevons ben à quel pont tous ces chox sont couplés et qu ls vont ntervenr de manère forte dans les performances fnales du véhcule. Dans un premer temps, nous proposons, sur la base de travaux antéreurs réalsés au LEEI sur la concepton d un véhcule électrque, de confronter, sur un même problème, l algorthme NGAtrque détermnste (Hooke and Jeeves). Le but de cette étude est de II avec une méthode géomé comparer, sur un exemple concret, les dfférences entre les deux approches en terme de formulaton mathématque et de performance. Nous présentons ensute le système «véhcule électrque» tel que nous l avons modélsé (varables de concepton, crtères, contrantes). Pus, à l ade de ce modèle, nous montrons, sur deux mssons de crculaton dfférentes, comment la prse en compte de la fnalté du système nflue sur la concepton des dfférents sous-systèmes composant le véhcule. 49

2 Chaptre 5 5. Confrontaton de méthodes Pour commencer ce chaptre, nous proposons, dans le contexte de la concepton systémque par optmsaton, de confronter les algorthmes évolutonnares multcrtères à des méthodes de type géométrques. Dans des travaux antéreurs, menés dans le groupe ystème du LEEI, Y. Ferfermann avat déjà abordé une démarche de concepton par optmsaton sur un véhcule électrque, mas en utlsant des méthodes drectes géométrques, en l occurrence l algorthme de Hooke end Jeeves, basé sur le prncpe de l agrégaton des crtères partels en une foncton coût unque [Fef]. Nous avons déjà évoqué, dans le chaptre, les prncpales dfférences entre les méthodes d optmsaton de type agrégatves et celles de type Pareto. Afn de pouvor plus précsément confronter ces deux types d algorthmes sur un problème concret du Géne Électrque, nous proposons de résoudre le même problème d optmsaton que Y. Fefermann mas avec le NGA- II. Une comparason brute de ces deux algorthmes par rapport aux performances en terme de convergence ne saurat suffre à conclure sur la supérorté absolue d une des méthodes. La complexté de mse en œuvre est par exemple un aspect mportant de la concepton. L objectf c est de les applquer à la résoluton d un problème d optmsaton complexe et d en comparer les prncpes d applcaton et la qualté des résultats. Cette approche permettra également de confronter une méthode détermnste et une méthode stochastque, à laquelle l est souvent reprochée son caractère aléatore. Aucune analyse au sens système du terme ne sera menée sur cet exemple, l objectf étant unquement de se concentrer sur les caractérstques et les performances des méthodes. 5.. Descrpton du problème Le système d étude se compose d une chaîne de tracton type véhcule électrque pur, comportant un ensemble d accumulateurs pouvant être assocés en sére ou en parallèle, un fltre d entrée comportant une capacté et une nductance, un convertsseur statque de type onduleur de tenson, une machne à force électromotrce de forme trapézoïdale et un réducteur mécanque. Tous les détals concernant la modélsaton, les crtères et contrantes assocés au système peuvent être trouvés dans [Fef]. Les varables de concepton du problème consttuant le vecteur objet X sont présentées dans le tableau 5.. Les paramètres crcuts du moteur sont calculés analytquement à partr des paramètres géométrques ( r, l R ) selon un «modèle de synthèse par smltude» défn dans [Fef]. 5

3 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques TABLEAU 5. : VARIABLE DE CONCEPTION DU PROBLEME D OPTIMIATION E nveau de la tenson contnue d almentaton (V) f CV fréquence de commutaton des sem-conducteurs (khz) r l R C f L f rayon d alésage de la machne (m) longueur de la machne (m) capacté du fltre d entrée (F) nductance du fltre d entrée (H) Les objectfs du problèmes sont la mnmsaton : du crtère F ( X), masse totale du véhcule, qu comporte la masse de la battere de tracton, la masse de l actonneur, ans que la masse de la plate-forme à vde du véhcule du crtère F ( X), qu représente les pertes totales du système, regroupant les pertes Joule, fer et mécanques du moteur, les pertes dans la battere, dans le fltre, ans que les pertes du convertsseur statque Les contrantes sont relatves : aux domanes de varaton des paramètres d optmsaton aux domanes de varaton des paramètres du modèle de smulaton aux domanes de fonctonnement du dspostf (contrante thermque, lmte d almentaton, ) aux condtons d adéquaton entre la commande et les paramètres du fltre d entrée (ondulatons, découplage, stablté) La fgure 5. présente le synopss de la boucle d optmsaton smulaton du problème. 5

4 Chaptre 5 C aher d es Charges Modèles Comportementaux OPTIMIEUR Varables de concepton Modèle de ynthèse par mltude Paramètres crcuts Machne ynchrone à Amants Charge Méthodes Drectes Multcrtère Crtères d optmsaton et contrantes Cde Onduleur Almentaton fgure 5. : ynoptque de la boucle smulaton-optmsaton 5.. Utlsaton de la méthode de Hooke and Je eves La méthode de Hooke and Jeeves est une méthode géométrque drecte d optmsaton (sans calcul des dérvées des contrantes et des crtères). Elle comporte deux étapes prncpales qu sont la recherche de la drecton de descente et le déplacement dans cette drecton. A partr d un pont ntal ou pont de référence, l algorthme effectue une recherche exploratore par perturbaton d un ncrément + d une varable, les autres varables restant fxes. le coût de la foncton à optmser est melleur, alors cette nouvelle composante est conservée. Dans le cas contrare, la varable est perturbée en - et con servée en cas d améloraton de la foncton objectf. les deux ncréments n apportent aucune améloraton, la composante reste nchangée. A la fn du processus, toutes les composantes ont été perturbées une fos, et nous obtenons sot un pont pour lequel la foncton coût a été amélorée, sot le pont de référence lu-même. Dans ce derner cas, le processus est rétéré avec un pas plus pett (typquement / ). Dans le cas contrare, le pont obtenu et le pont de référence sont utlsés pour défnr une nouvelle drecton de recherche par extrapolaton. Un déplacement peut alors être effectué le long de cette drecton. Le nouveau pont ans obtenu devent le pont de référence. La procédure est en général stoppée lorsque les ncréments devennent nféreurs à une précson donnée vs à vs des dvers paramètres. FORMULATION DU PROBLEME D OPTIMIATION La formulaton du problème résultant de l approche adoptée par Y. Fefermann est la suvante : 5

5 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques Trouver une soluton X * E f CV r l R L f C f assurant (5.) mn F ( X, r ) α k MAE < F ( X) > + α PERTE < F ( X) > + r H ( X) k et soumse aux contrante s * g ( X ) j j,,..., N contrante et α représentent les coeffcents de pondératon assocés à chacun des crtères. PERTE F (X) et F (X ) représentent respectvement les crtères normalsés concernant la masse et les α MAE pertes globales du système. La foncton H(X ) est une foncton de pénalté dont le rôle est de détérorer le coût de la foncton objectf en cas de non respect des contrantes. on expresson générale est rappelée par l équaton (5.). Le paramètre r représente le coeff cent de pénalté. k N contrante ( ) P g j j [ ( X ] H X ) avec P ( X ) ] [ ( X ) ] max [, (5.) g j g j 5..3 Utlsaton du NGA-II Le NGA-II est décrt au chaptre 3. N ous lu avons assocé la procédure de recombnason autoadaptatve décrte dans ce même chaptre Formulaton du problème Dans le contexte multcrtère, la formulaton du problème d optmsaton devent : 53

6 Chaptre 5 * Trouver un ensemble de vecteur X E f r l R Lf C f CV assurant (5.3) la mnmsat on smultanée F ( X ) de F ( X ) soums aux contrante s g ( X * ) j,,..., N j contrante 5..4 Comparason des méthodes et des résultats d optmsaton Mse en œuvre des méthodes METHODE DE HOOKE AN JEEVE Le condtonnement du problème d optmsaton va donc nécesster : - le réglage des coeffcents de pondératon - la détermnaton des facteurs de normalsaton des fonctons objectfs - la détermnaton de la foncton et des coeffcents de pénalté - la détermnaton des facteurs de normalsaton des contrantes La détermnaton des facteurs de normalsaton des crtères peut s avérer problématque dans la mesure où l est dffcle d avor une dée a pror des domanes de varatons des crtères. Cette approche peut nécesster une sére de tests préalable sur les fonctons objectfs afn de trouver approxmatvement les valeurs maxmale et mnmale des crtères. Pour les aspects relatfs aux contrantes, l exste dfférentes approches pour en aborder la geston (pénalté extéreures, pénaltés ntéreures, )[Fef][ar99]. Quelle que sot celle utlsée, le chox de H (X) et du coeffcent de pénalté n est pas trval et dépend des caractérstques des problèmes. De plus, la foncton et le coeffcent de pénalté peuvent être dfférents s l s agt de contrantes relatves au seul domane de varaton des varables de concepton ou de contrantes fasant ntervenr pluseurs paramètres de la foncton coût, complexfant à nouveau le paramétrage de l algorthme. La normalsaton des contrantes consttue elle auss une étape 54

7 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques dffcle dans la mesure où le condtonnement du problème ne fat pas toujours apparaître la possblté de détermner les domanes de varaton de ces contrantes. Notons également que la qualté de la répartton des solutons dans l espace des objectfs dépend, avec les méthodes agrégatves, du chox du pas de varaton des coeffcents de pondératon. Ce chox est délcat à réalser car une varaton lnéare de ce pas ne garantt en aucun cas une répartton unforme des solutons dans l espace des objectfs. ALGORITHME EVOLUTIONNAIRE MULTICRITERE NGA-II Le condtonnement du problème d optmsaton se fat c très naturellement, dans la mesure où l expresson des crtères ne fat ntervenr aucune normalsaton, aucun coeffcent de pondératon, grâce à l utlsaton de la noton de domnance par rapport aux crtères. De même, les dffcultés lées à l ntégraton des contrantes dsparassent pusqu l n y a pas de foncton n de coeffcent de pénalté, et qu aucune normalsaton des contrantes n est nécessare. En cas de non respect des contrantes, leur geston est également assurée par l établssement des domnances, mas par rapport aux contrantes (vor règles du chaptre 4). De plus, le domane de varaton des paramètres n est c pas consdéré comme une contrante, mas sa geston est drectement ntégrée à l algorthme. En effet, s au cours d une procédure de crosement ou de mu taton une des varables de concepton sort de son domane de défnton, elle est automatquement ajustée à la borne extrémale correspondante. Enfn, la procédure de clusterng assure automatquement la répartton unforme des solutons dans l espace des crtères Comparason des résultats Les résultats présentés dans le thèse de Y. Fefermann sur le problème d optmsaton formulé en (5.) ont été obtenus, après condtonnement du problème d optmsaton, en réalsant une sére de 4 optmsatons, partant toutes du même pont de référence, en fasant varer les coeffcents de pondératon α MAE et α PERTE selon le protocole du tableau 5.. Dans ce même tableau, fgure le nombre d évaluatons de crtères effectuées pour chacune des exécutons. N éval TABLEAU 5.: VARIATION DE COEFFICIENT DE PONDERATION POUR LE DIFFERENTE OPTIMIATION Optmsaton α MAE α PERTE N éval Le nombre moyen d évaluatons N > par optmsaton est de 95. < éval L ensemble des solutons obtenues par cette méthode permet ndrectement de reconsttuer le front de Pareto du problème. Celu-c est présenté sur la fgure

8 Chaptre Numéro de l optmsaton Masse totale du véhcule (kg) Pertes totales (W) fgure 5. : Front de Pareto obtenu avec la méthode de Hookes ans Jeeves Pour comparer cette méthode avec le NGA-II, nous décdons de nous baser sur un nombre d évaluatons de crtères smlare (envron 4*3 8 évaluatons). Il nous faut ntégrer l aspect stochastque de l algorthme, donc partager le nombre d évaluatons de crtères sur pluseurs exécutons. Pour une exécuton, les évaluatons dovent être répartes entre le nombre d ndvdus de l a populaton N, le nombre de génératons N, le nombre total d évaluatons pour une optmsaton étant donné par nd éval géné nd géné N N. N. Il nous semble ntéressant d opter pour une talle de la populaton supéreure à 4, afn d obtenr une melleure caractérsaton du front optmal. En conséquence, nous chosssons pour le NGA-II les paramètres de réglages donnés dans le tableau 5.3. Le nombre total d évaluatons de chaque foncton objectf est dans ces condtons de 75. TABLEAU 5. :PARAMETRAGE DU NGA-II N nd Talle de la populaton 5 Nombre de génératons N géné 7 Nombre d optmsatons 5 Taux de mutaton des varables de concepton /nombre de varables Taux de mutaton du gène de crosement 5% Les 5 fronts optmaux obtenus avec le NGA-II sont présentés sur la fgure

9 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques 4 Masse totales du véhcule (kg) Pertes totales (W) fgure 5.3 : Résultats des cnq exécutons avec le NGA-II Nous pouvons constater que le NGA-II a correctement convergé sur ce problème pusque les 5 exécutons condusent à des résultats reproductbles. La fgure 5.4 présente la comparason des deux méthodes. Les résultats avec le NGA-II correspondent au front de Pareto global extrat des cnq optmsatons précédentes. Nous remarquons que les deux méthodes aboutssent globalement aux mêmes résultats, ce qu montre que les méthodes évolutonnares sont au mons tout auss effcaces que les méthodes détermnstes sur ce problème. Remarquons même que chacune des exécutons du NGA-II n a nécessté que 5*7, sot 35 évaluatons des crtères pour aboutr à l obtenton de 5 solutons optmales qu sont, en terme de convergence, tout à fat correctes. Le même nombre d évaluatons de crtères avec l algorthme de Hookes and Jeeves ne permet de détermner que solutons du front. Mass e totale du véhc ul e (kg) 4 3 NGA-II Hookes and Jeeves Pertes totales (W) fgure 5.4 : Comparason des fronts optmaux avec les deux algorthmes 57

10 Chaptre 5 Il ne faut pas pour autant conclure à la supérorté absolue des méthodes évolutonnares multcrtères tant que n a pas été abordée la précson de ces solutons. Ces chffres montrent cependant nettement que les méthodes ntégrant naturellement le formalsme multcrtère possèdent un pouvor d exploraton ben supéreur aux méthodes agrégatves. Les performances relatves à la détecton des solutons extrémales peuvent être consdérées égales. La soluton à pertes mnmales est trouvée par le NGA-II et celle à masse totale mnmale est trouvée par l algorthme de Hookes and Jeeves. Les dfférences entre les deux algorthmes sur ces ponts extrémaux sont nfmes et nous pouvons consdérer qu ls ont tout deux correctement détecté les sol utons extrémales. Pour caractérs er la qualté des solutons obtenues en terme de dstrbuton, nous calculons pour chacun des fronts la quantté (défne au chaptre 3) qu, rappelons le, mesure la qualté de la dstrbuton des solutons sur le front optmal. En ce qu concerne la précson des solutons, nous recherchons, pour chacun des deux fronts, le pourcentage p dom de solutons d une populaton (Hookes and Jeeves ou NGA-II) qu domnent, au sens de Pareto, des solutons de l autre front. Ces résultats sont regroupés dans le tableau 5.3. TABLEAU 5.3 : ÉLEMENT COMPARATIF DE DEUX ALGORITHME Hookes and Jeeves NGA-II p 35.7% 3.4% dom Nous pouvons alors remarquer que le NGA-II assure une ben melleure répartton des solutons le long du front optmal. En effet, comme nous l avons déjà évoqué, les méthodes agrégatves sont peu robustes par rapport à cet aspect pusqu l est dffcle de chosr a pror les coeffcents de pondératon assurant une répartton unforme des solutons dans l espace des objectfs. Le NGA-II, grâce à son opérateur de clusterng, se montre ben plus effcace. En terme de précson par contre, le nombre pdom ndque qu l exste plus de solutons du front «Hookes and Jeeves» qu domnent des solutons du front «NGA-II» que l nverse. Cec confrme la melleure précson des méthodes géométrques, qu sont des méthodes locales. Grâce à cet exemple, nous montrons que ces deux approches sont vables pour la concepton. Nous llustrons également de façon plus concrète l ntérêt d envsager une optmsaton mxte, dans laquelle nteragraent des méthodes évolutonnares, à caractère global et des méthodes géométrques, à caractère local. Nous pouvons magner profter des capactés d exploraton des premères pour localser une zone optmale et utlser ensute les secondes pour trer proft de leur capacté d explotaton afn d affner la précson des solutons. 5. Problématque de la concepton du véhcule électrque De nombreuses recherches sont en cours sur ce thème. En terme d archtecture, les solutons les plus avancées et les plus vables économquement semblent être les structures hybrdes, qu 58

11 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques mêlent une motorsaton thermque, un alternateur, ans qu une machne électrque assocée à une pette quantté de battere. Les archtectures «tout électrque» souffrent à l heure actuelle de problèmes lés au stockage de l énerge embarquée. Les performances des accumulateurs en terme d énerge massque sont encore ben fables par rapport aux carburants pétrolers [Mul]. Malgré ces défauts, ce type de véhcule nous semble ben appropré s l on veut se focalser sur la démarche de concepton. Nous avons donc retenu comme système d étude un véhcule électrque pur consttué : d un châsss présentant une masse à vde de 8kg d une chaîne de tracton électromécanque, composée d un moteur synchrone à amants assocé à un réducteur mécanque fxe d une battere d accumulateurs d un onduleur trphasé L optmsaton de ses performances pour une msson donnée passe par un dmensonnement adéquat des dfférents éléments du véhcule. Dans ce contexte, pluseurs questons se posent alors en terme de concepton. Comment dot être dmensonné le moteur de tracton (couple et vtesse de dmensonnement de la machne, proprétés en survtesse et surcouple, )? Quel rapport de réducton chosr pour le réducteur mécanque? Quel type d accumulateurs est-l préférable d embarquer et comment agencer les cellules élémentares? Nous proposons donc de montrer dans quelle mesure l approche systémque de concepton par optmsaton permet d apporter des éléments de réponse à ces questons. 5.3 Blan des efforts applqués au véhcule Afn de pouvor smuler la msson d un véhcule, l faut être capable de détermner quels sont les couples et les vtesses mposés au moteur de tracton par le profl de route. Pour ce fare, nous établssons un blan des efforts applqués au véhcule [Ran3] Forces aux roues L effort total F tot nécessare à l avancement du véhcule est la somme de dfférentes composantes ssues du blan des forces mécanques applquées au véhcule : F + (5.4) tot Froul + Faero + Fpente Facc Le tableau 5.4 précse les notatons utlsées. F roul est la force de résstance au roulement 59

12 Chaptre 5 Froul frmg (5.5) Le coeffcent f r, coeffcent de frottement des roues, dépend de pluseurs paramètres (vtesse, dmenson du pneumatque, matéraux, type de sculpture, ). Une approxmaton de ce coeffcent est donnée pour un pneumatque de type radal par la formule : f r (.4+.4V ) C h (5.6) F aero représente la force de résstance aérodynamque Faero ρ C ( V vent) V x (5.7) Fpente représente la force nécessare pour vancre une pente d nclnason θ pour un véhcule de masse M F Mg snθ (5.8) pente Facc représente le terme dynamque d accélératon ou de décélératon du véhcule dv F M M γ (5.9) acc dt Fnalement, la force totale nécessare à l avancement du véhcule vaut : F f Mg C V V Mg M dv r + ρ x( ) + snθ + tot vent (5.) dt 6

13 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques TABLEAU 5.4 : GLOAIRE DE VARIABLE UTILIEE LOR DU BILAN DE EFFORT M (kg) Masse totale du véhcule V (m.s - ) Vtesse du véhcule g 9.8 (m.s - ) Accélératon de la pesanteur C.5 Coeffcent caractérsant la surface de roulage h ρ.93 (kg.m -3 ) Densté volumque de l ar (m ) ecton frontale véhcule C.4 Coeffcent de pénétraton dans l ar x V (m.s - ) Vtesse du vent vent 5.3. Couple aux roues Le couple total C trans sur l arbre de transmsson et sa vtesse de rotaton Ω trans sont lés à la force totale aux roues F et à la vtesse V du véhcule par les équatons : tot C trans Ftotr (5.) où r représente le rayon de la roue (m). Ω V trans (5.) r Introducton du réducteur La chaîne de tracton étudée est mune d un réducteur mécanque relant l actonneur à l arbre de transmsson des roues. Ce réducteur est, entre autre, caractérsé par un rapport de réducton N. Dans ces condtons, la pulsaton de rotaton du moteur d entraînement Ω mot et le couple qu l dot fournr sont lés aux grandeurs côté transmsson par les relatons : C mot Ω mot Ω trans N (5.3) C mot C tot (5.4) N Remarque : c, les pertes lées à la transmsson mécanque ne sont pas consdérées mas seront prses en compte a posteror. 6

14 Chaptre Descrpton de la msson de l actonneur Pour décrre la msson du véhcule, nous chosssons de caractérser un profl de route par un profl de vtesse V k, synchronsé sur un profl de pente θ k. Comme le montre la fgure 5.5, la connassance de ces deux profls permet de détermner les sollctatons mposées au groupe moto-propulseur. Compte tenu des expressons précédentes, l est possble, à partr de la connassance de la msson, de dédure la trajectore du pont de fonctonnement de l actonneur dans le plan couple-vtesse en foncton du temps. Ce schéma montre comment l est possble d ntégrer le caractère de «fnalté» au sen même du processus de concepton systémque. V θ k f ( ) k t k f ( t ) k Données Blan Bla n des des eff efforts orts t k t k + t k C trans ( θ, V, γ ) f k k k Ω trans V k r C trans ( t k ) Ω trans( t k ) C mot( t k ) Ω mot ( t k ) fgure 5.5 : Prncpe de calcul des sollctatons mposées à l actonneur par le profl de msson 5.4 Modélsaton du véhcule au sens systémque 5.4. Modélsaton de la battere La battere est la source d énerge du véhcule. Elle est consttuée de l assocaton sére et/ou p arallèle de cellules élémentares. La geston de l énerge au sen du système prend c une mportance partculère. En effet, contrarement aux problèmes du chaptre 4, le cas du véhcule électrque ntrodut l énerge embarquée comme contrante d optmsaton. La connassance de l état de charge d une cellule est donc un élément détermnant par rapport au comportement du système co mplet. Cette grandeur spécfe en effet le «nveau» du réservor d énerge que consttue la battere, quantté qu l faut être capable d évaluer pour vérfer s le véhcule peut assurer sa msson. 6

15 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques Expresson de l état de charge d une cellule Une cellule est, d un pont de vue énergétque, caractérsée par sa capacté C cel. Il s agt de la quantté d électrcté, exprmée en A.h, qu elle est capable de resttuer, après une charge complète, et lorsqu elle est déchargée avec un courant mantenu constant. Cette capacté vare selon pluseurs facteurs, comme l ntensté de la décharge, la température, la concentraton de l électrolyte, Ans, la quantté d électrcté maxmale dsponble, sous un courant de décharge I, est plus fable que la capacté théorque de l accumulateur, défne pour une décharge à courant nfntésmal. Une grandeur généralement utlsée pour caractérser les accumulateurs de tracton automoble est la capacté C 3 défne pour une décharge en 3 heures à courant I 3 C 3 3 constant. La quantté d électrcté accessble pour une décharge en heures à courant I constant se dédut de la capacté maxmale par la relaton emprque de Peukert [Bar94], qu s écrt : C I C n 3 avec n : coeffcent de Peukert (5.5) I 3 Pour une décharge à courant I cel constant, nous exprmons, grâce à l équaton (5.6), l état de charge EDC d une cellule élémentare de l accumulateur : EDC I cel ( t) t (5.6) C Pour notre applcaton, le courant I cel est constamment varable au cours du temps. Nous dscrétsons alors l équaton précédente en consdérant le courant constant entre deux pas de calcul. Nous pouvons ans détermner l expresson de la varaton de l état de charge EDC k de la cellule à l nstant k : EDC k I C cel k t I C cel 3 k I I cel 3 k n t (5.7) Cette approche permet également de prendre en compte les phases de recharge de la battere. En effet, s le courant dans la cellule devent négatf, son état de charge augmente. Au fnal, l état de charge de la cellule s exprme par : EDC k EDC + EDC (5.8) k k Remarque : Le modèle de la cellule est établ en fasant des hypothèses assez restrctves en ce qu concerne la dynamque du courant débté. Le calcul de l état de charge par la méthode proposée est une approche moyenne et ne peut en aucun cas représenter le comportement de la 63

16 Chaptre 5 cellule lorsqu elle est soumse à des sgnaux fortement dscontnus. Dans ce derner cas, d autres phénomènes, que nous ne consdérons pas c, apparassent pendant la réacton électrolytque et modfent le comportement électrque de la cellule Modèle crcut de la battere La cellule élémentare peut, d un pont de vue électrque, être consdérée comme un générateur possédant une force électromotrce potentelle à vde E et une résstance nterne R cel. Cellule élémentare E R cel I cel I cel V cel fgure 5.6 : chéma électrque équvalent d une cellule élémentare Comme nous l avons déjà évoqué, la battere se construt en assemblant des cellules élémentares, en sére et/ou en parallèle. Le schéma équvalent de la battere, présenté à la fgure 5.6, est alors dédut de l assemblage des cellules élémentares, à l ade du théorème de Thévenn. Le courant dans une cellule, utlsé pour le calcul de l état de charge, dépend du type d assocaton réalsée, et l s exprme par : I bat I cel (5.9) N cel_p Les paramètres E et R cel sont fonctons du nveau d énerge dsponble dans la battere, du courant débté et de la température de l accumulateur. Pour smplfer le modèle, nous fasons l hypothèse que la résstance nterne R cel est constante, quel que sot le régme de fonctonnement de la cellule. 64

17 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques I cel I cel I bat Nombre de cellules en sére N cel_s V bat N cel_s E _cel N N cel_s cel_p V bat I cel N cel_p Nombre de cellules en parallèle fgure 5.7 : Agencement des cellules élémentares Le comportement de la fem potentelle à vde E peut être modélsé à partr des essas réalsés par le constructeur. Pour une décharge à courant constant, la tenson à vde E d une cellule, max partant de sa valeur maxmale E (pour EDC ), dmnue du fat de la consommaton de mn produts réactfs, jusqu à attendre une te nson E dte «d arrêt», au-delà de laquelle la cellule ne peut plus débter. Cette tenson lmte correspond à un état de charge de la cellule égal à.. Ans, pour un courant de décharge égal à I 3, la fem potentelle à vde E attent sa lmte basse au bout de 3h, comme le montre la fgure 5.8(a). La varaton de E peut alors être tracée en foncton de l état de charge EDC de la cellule, comme llustré à la fgure 5.8 (b). Ans, la connassance de l état de charge de la cellule permet d évaluer la valeur E de la fem potentel par l ntermédare de l équaton (5.). max mn E E max E ( EDC ) + E (5.).8 65

18 Chaptre 5 max E E Dmnuton de la fem potentel max E E mn E mn E 3h t. EDC E (a) Varatons de pour une décharge complète à (b) Varaton de E en foncton de l état de courant constant I 3 charge de la cellule fgure 5.8 : Varaton de la fem potentelle d une cellule Types de cellule utlsés Dans cette applcaton, nous utlsons des cellules ION-LITHIUM du constructeur AFT, spécalement conçues pour la tracton. Actuellement en plene progresson technologque, ces accumulateurs présentent des pussances massques très supéreures à celles des batteres plombbeaucoup plus lnéare, notamment par acde par exemple. De plus, leur comportement est rapport à la varaton de la résstance nterne qu est néglgeable entre % et % de charge. Nous chosssons de mettre à la dsposton de l optmsaton tros types de cellules élémentares présentant des caractérstques dfférentes. Ces cellules sont présentées dans le tableau 5.5. Pour la technologe ION-LITHIUM, le coeffcent de Peukert n de l équaton (5.5) vaut n.. TABLEAU 5.5: CARACTERITIQUE DE CELLULE ELEMENTAIRE UTILIEE DAN LA PROCEDURE D OPTIMIATION Type de cellule Capacté 39 A.h C 3 Résstance nterne Masse 7 m Ω.5 kg 5 A.h 6.75 m Ω.75 kg 6 A.h 3 m Ω.68 kg fem potentelle max E mn E 4 V.7 V Remarque : nous constatons, sur le tableau 5.5, que la technologe pénalse nettement les cellules de pettes capactés en terme de résstance nterne et d énerge massque. 66

19 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques 5.4. Modélsaton de la machne synchrone Le modèle de dmensonnement de la machne synchrone est rgoureusement le même que celu présenté dans le chaptre 4. La stratége de commande utlsée est détallée en annexe B Modélsaton du réducteur Afn de rendre plus réalste le modèle du système, nous avons jugé utle de modélser le réducteur mécanque de façon plus précse. Nous avons pour cela cherché à approcher sa masse M reducteur, ans que son rendement η reducteur, qu permet de calculer les pertes P red dont l est le sège. La modélsaton des réducteurs est complexe. Elle fat appel à des notons de mécanque et de résstances des matéraux assez pontues. En utlsant [LeB99], nous avons construt un modèle smplfé de réducteur, valable unquement pour une structure à engrenage cylndrque drot. Tous les détals sur ce modèle peuvent être trouvés en Annexe H. Le modèle du réducteur est caractérsé par deux varables de concepton : le rapport de réducton N et le couple dmensonnant C correspondant au couple à transmettre. 5.5 Formulaton du problème d optmsaton 5.5. Chox des varables de concepton Le problème d optmsaton tel que nous l avons défn comporte 4 varables de concepton, 6 à caractère dscret et 8 à caractère contnu. Le tableau 5.6 défnt l ensemble de ces varables et leur domane de défnton. Il nous a semblé ntéressant d ajouter aux varables structurelles une varable de concepton relatve à la geston de l énerge dans le véhcule, pour tenter de prendre modestement en compte les couplages entre les aspects dmensonnement et geston système, qu sous tendent le concept de «concepton smultanée» défn au chaptre. Nous pouvons par exemple nous demander dans quelles condtons la récupératon de l énerge au frenage du véhcule est préconsée. Dot-on récupérer un maxmum de cette énerge ou exste-l des confguratons où l faut la lmter, à cause des pertes qu elle engendre dans l onduleur, la machne et la battere? Nous défnssons ans une varable de concepton K frenage qu symbolse le pourcentage de l énerge récupérée au frenage pour un véhcule donné. 67

20 Chaptre 5 TABLEAU 5.6 : VARIABLE DE CONCEPTION DU PROBLEME D OPTIMIATION RELATIF AU VEHICULE ELECTRIQUE Varables de concepton Nature Domane de défnton Machne synchrone à amants permanents e Densté de courant dans les encoches Contnu 6 J e 6 [A/m ] Nombre de pares de pôles Dscret p [,] Rapport rayon d alésage / longueur Contnu. R Nombre d encoches / pôle / p hase Dscret N epp [,3 ] Couple de dmensonnement Contnu C dm [ N.m] - Pulsaton de dmensonnement Contnu ω dm [rad.s ] Onduleur Fréquence de découpage Contnu. F [khz] Type d nterrupteur Dscret a nter [,] Réducteur mécanque Rapport de réducton Contnu N Couple de dmensonnement Contnu C red [ N.m] Battere Nombre de cellules en sére Dscret N cel_s [,] Nombre de cellules en parallèle Dscret N cel_p [,] Type de cellules Dscret a [, ] cel Geston énergétque Récupératon au frenage Contnu K frenage rl dec 68

21 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques 5.5. Expresson des crtères Les crtères partels du problème d optmsaton sont présentés dans le tableau 5.7. Les crtères partels relatfs aux pertes sont évalués sur la globalté de la msson (vor annexe H pour leurs expressons détallées). TABLEAU 5.7 : COMPOITION DE CRITERE D OPTIMIATION F ( X) F ( X) Pertes par commutaton (W) P com_ond ( X) Pertes par conducton (W) P cond_ond ( X) Pertes Joule moteur (W) P j ( X) Pertes fer moteur (W) P fer ( X) Pertes Joule battere (W) P bat ( X) Pertes réducteur (W) P red ( X) Masse du cuvre (kg) M cuvre ( X) Masse du stator (kg) M stator ( X) Masse du rotor (kg) M rotor ( X) Masse des amants (kg) Masse du radateur (kg) M amant ( X) M ( X) radateur Masse du réducteur (kg) M reducteur ( X) Défntons des contrantes Contrantes relatves à la machne synchrone à amants permanents Les contrantes g ( X) et g ( X), relatves au nombre mnmal et maxmal de conducteurs par encoche, sont les mêmes que celles défnes au chaptre 4. La formulaton des autres contrantes de la machne, à savor la contrante thermque et la contrante de démagnétsaton, nécesstent réflexon. En effet, nous ne sommes plus, comme dans le chaptre 4, dans le cas d un régme statonnare pusque le pont de fonctonnement de l actonneur se déplace dans le plan couplevtesse au cours de la msson. Dans ce contexte, la vérfcaton du respect des contrantes en régme permanent n est plus suffsante pour s assurer qu une soluton est réalsable. La prse en compte des phénomènes dynamques nhérents à la msson mpose de vérfer que ces contrantes sont respectées quel que sot le pont de fonctonnement auquel l actonneur est amené à travaller. De plus, dans la formulaton que nous avons chose, l actonneur va fonctonner à des couples et des vtesses dfférentes des valeurs ( C dm, ω dm ) pour lesquelles l a été dmensonné. Ans, lors 69

22 Chaptre 5 de la smulaton de la msson avec un actonneur donné, nous pouvons nous contenter d évaluer la contrante en température sur le bobnage et vérfer qu elle ne dépasse pas la température crtque des solants. Nous ne nous préoccupons alors pas de savor s l actonneur est thermquement capable de tenr, en régme permanent, au pont de fonctonnement ( C dm, ωdm ). Comme nous l avons déjà évoqué au chaptre 4 pour le problème d optmsaton N, la sgnfcaton physque de ces varables dmensonnantes est dans ce cas à nterpréter avec précautons pusqu elles ne correspondent plus forcement à des grandeurs attegnables par l actonneur. Des résultats d optmsaton, nous attendons notamment des réponses à une des questons prncpales du dmensonnement d une chaîne de tracton pour véhcule électrque : comment chosr le pont de dmensonnement de la machne? Il semble alors dffcle, s l on perd la sgnfcaton physque de C dm et ω dm, de mener ce type d analyse. Nous avons donc opté pour une formulaton des contrantes de la machne en deux nveaux : un nveau de contrante relatf au régme permanent, pour lequel nous nous assurons que la machne respecte, pour son pont de dmensonnement, les contrantes de température et de non-démagnétsaton. un nveau de contrante relatf au régme transtore, pour lequel nous nous assurons que la machne respecte en tout pont de sa msson ces mêmes contrantes. Ans, les contrantes g 3( X) (contrante thermque) et g 4 ( X ) (contrante de démagnétsaton), défnes dans le chaptre précédent, sont recondutes. Elle évaluent la capacté de la machne à fonctonner à son pont de dmensonnement. Deux contrantes supplémentares, décrtes c-après, sont alors ajoutées pour s assurer, au cours de la msson, que la température du bobnage et les champs nverses applqués aux amants n attegnent pas des valeurs crtques. T EMPERATURE DU BOBINAGE AU COUR DE LA MIION g ( ) La température du bobnage est évaluée en utlsant le modèle thermque dynamque détallé en annexe C. Comme le montre la fgure 5.9, l présente des paramètres relatfs aux capactés thermques des matéraux permettant d ntégrer les régmes transtores de la varaton de température. 5 X 7

23 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques T cu T so T co T ca R bob R so R so-co R j co R co-ca R ca R f co R ext P j C cu C so C co C ca P fer T ref fgure 5.9 : Modèle thermque transtore de la machne à amants Ans, nous nous assurons que pour chaque pont de fonctonnement k de la msson, la température T cuvre du cuvre n attent pas la température crtque T k solant_ma x des solants par rapport à la température ambante. L élévaton maxmale de température tolérée en régme transtore est dfférente de celle tolérée en régme permanent car nous consdérons que la température ambante de fonctonnement de la machne dans le contexte du véhcule électrque est supéreure à C. En consdérant une température ambante de 6 C, l élévaton maxmale de température T cuvre du bobnage est lmtée à C. la température crtque est dépassée, nous exprmons la contrante par l écart entre la température attente et la température lmte. La smulaton de la msson n est pas arrêtée même s une soluton ne respecte plus la contrante au cours de sa msson. Cela permet d évaluer la température sur toute la msson et de fournr ans à l algorthme d optmsaton des valeurs de contrantes les plus sgnfcatves possbles afn le guder dans la résoluton du problème. Pour un pont k de la msson, la contrante g ( ) assocée s exprme alors par : 5 X k ( T ambant + T cuvre ) solant_ma x g 5 ( X ) k k T s T solant_ma x est dépassé au pont k g 5 ( X) snon k (5.) ur une msson de N ponts, la contrante fnale g ( ) est défne par la somme des msson contrantes g ( ) de chacun des ponts : 5 X k 5 X N msson g ( X ) 5 g 5 k k ( X ) (5.) g 5 (X) ne sera en l occurrence jamas négatve pusqu elle vaut s elle est respectée pour tous les ponts de la msson. La détermnaton de T cuvre nécesste d utlser une méthode d ntégraton numérque (Runge- k Kutta ). e pose alors le problème du chox du pas d ntégraton. Les paramètres de ce modèle dépendent des dmensons géométrques de la machne. Comme celles-c sont susceptbles de varer dans des proportons mportantes, l faut, pour chaque confguraton testée, s assurer de la bonne adéquaton entre le modèle smulé et le pas. Chosr un pas de smulaton unque pour toutes les solutons mpose de connaître a pror les cas les plus contragnants (ceux nécesstant 7

24 Chaptre 5 un pas de calcul fable). Extrare cette nformaton semble réellement dffcle compte tenu de la complexté des expressons des paramètres du modèle thermque. De plus, opter pour un pas par défaut ne consttue pas une démarche favorsant la mnmsaton du temps de calcul. Pourquo smuler avec un pas de calcul fable s le m odèle ne le nécesste pas? Ans, pour chaque confguraton, nous recherchons, à l ade de la représentaton d état, la valeur de la constante de temps mnmale du mo dèle, à partr de laquelle nous fxons le pas de calcul (vor Annexe C). Ce derner sera donc, pour chaque confguraton testée, adapté pour smuler «au plus juste». CONTRAINTE DE DEMAGNETIAT ION EN REGIME DYNAMIQUE g ( ) L évaluaton de la contrante de démagnétsaton en régme dynamque est basée sur le même prncpe que précédemment. le courant crtque de démagnétsaton I demagn est dépassé pour un pont k de la msson, nous évaluons l écart en tre ce courant et le courant I msson réellement k attent. 6 X g g ( X ) I réel I s le courant dépass ont k demagn I demagn est é au p k ( X) snon 6 k 6 k (5.3) La contrante relatve à la msson s exprme alors par : g N msson 6( X) g 6k k ( X) (5.4) CONTRAINTE UR LE R EPECT DE LA MIION g ) La varaton du pont de fonctonnement du système m pose de vérfer que l actonneur, assocé à sa stratége de command e, est capable d attendre les couples et les vtesses mposés par la msson. Comme nous l évoquons dans l an nexe B, un pon t k est consdéré non attegnable s l ntersecton entre la drote de couple et le cercle l mte en te nson n exste pas. Dans ces condtons, nous défnssons une varable n k qu vaut lorsque l actonneur ne peut fonctonner dans les condtons spécfées et snon. La contrante g 7( X) résultante vaut alors : 7(X N msson 7( ) n k k g X (5.5) Contrantes relatves à l onduleur CONTRAINTE THERMIQUE DE COMPOANT g ( ) La détermnaton de la température de fonctonnement des IGBT fat appel au modèle thermque transtore présenté en Annexe H. Pour smuler l évoluton des températures, l faut connaître la valeur R de la résstance thermque du radateur. a détermnaton est plus problématque TH _ RAD 8 X 7

25 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques que dans le cas statonnare. Les pertes moyennes dsspées étant varables au cours du temps, l nous est mpossble d aborder la démarche de chox du radateur comme dans le chaptre 4 (chox a pror du radateur connassant les pertes moyennes). Nous chosssons donc de smuler la msson avec, par défaut, le plus pett radateur dsponble. celu-c assure un refrodssement suffsant du composant (respect de la contrante thermque sur la température de joncton), l est conservé. Dans le cas contrare, nous recherchons, pour la température maxmale T attente au cours de la msson, les dmensons du radateur assurant la satsfacton de j_max_msson cette contrante., compte tenu du type de profl de radateur chos, le radateur n est pas physquement réalsable (longueur maxmale du profl attente), la soluton testée dot être rejetée (elle est non réalsable). La contrante g 8 ( X ) est alors calculée en évaluant l écart entre la température T j_max_msson attente par les jonctons des composants et la température lmte de joncton T C j_ max : g X ) T T (5.6) 8( j_max_msson j_max CONTRAINTE UR LE CONTENU HARMONIQUE DE LA TENION ONDULEUR g ( ) Comme dans le chaptre 4, l faut également s assurer que la fréquence de découpage des nterrupteurs F dec est supéreure à un certan seul pour garantr un contenu spectral de la tenson onduleur acceptable ( pn Ω ). Pour chaque pont de fonctonnement, nous évaluons g ( ) en dsant que : 9 X k F dec trans 9 X g 9 ) pn Ω F k trans k dec 9 ( X) k (X s la fréquence mnmale est dépassée g snon (5.7) La contrante g ( ) est donnée par : 9 X N msson g ( X) g ( X) 9 k 9 k (5.8) Contrantes relatves à la battere Deux contrantes sont assocées au régme de fonctonnement de la battere d accumulateurs. La premère, g ( X), est relatve à l état de charge des cellules et la seconde, g ( X), concerne le calcul du courant débté par la battere. CONTRAINTE UR L ETAT DE CHARGE DE CELLULE g ( ) Pour que les solutons testées soent consdérées réalsables, l faut vérfer que l énerge embarquée est suffsante pour franchr le profl de route. Il faut donc contrôler l état de charge des cellules pendant la msson. De plus, comme nous l avons vu dans le paragraphe 5.4.., la X 73

26 Chaptre 5 valdté du modèle des cellules nécesste de ne pas descendre à mons de % de l état de charge ( EDC. ), à cause des phénomènes lés à la tenson d arrêt. Ans, pour chaque pont k de la msson, nous calculons la quantté g ( ) défne par : X k g ( X ). EDC k k s EDC nféreur à. g ( X) snon k (5.9) La contrante g ( ) pour la msson totale est alors évaluée de la manère suvante : X N msson g( X) g ( X) k k (5.3) CONTRAINTE UR LE CALCUL DU COURANT BATTERIE g ( ) Comme nous l évoquons dans l Annexe H, certans ponts de fonctonnement sont non réalsables à cause des chutes de tenson nternes dans la battere trop mportantes vs à vs de la force électromotrce E. Cette stuaton est détectable quand le calcul du courant dans la battere est mpossble (équaton du second degré possédant un dscrmnant négatf). La contrante g ( ) est calculée à partr de g ( ) défne par : X X k X g ( X) k s I bat g ( X) snon k ne peut être calculé au pont k (5.3) Nous pouvons alors écrre : N msson g( X ) g k k ( X) (5.3) Contrante relatve au réducteur g ( X) La caractérsaton du réducteur mpose de connaître son rapport de réducton N et son couple de dmensonnement C det. Comme C det est une varable de concepton, l est lbre de varer dans d mportantes proportons, et l faut vérfer que la msson n mpose pas des couples à transmettre supéreurs à ce que peut supporter le réducteur. Ans, une fos la msson smulée, nous pouvons extrare le couple maxmal attent et vérfer que : C max_ msson g X ) C C (5.33) ( max_ msson det Le problème comporte donc contrantes et nous donnons, sur la fgure 5., le graphe assocé à leur enchaînement. 74

27 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques g ( X) X g ( X) X g ( X) 3 3 X g ( ) X 4 mulaton msson g 5 ( X ) 5 X g ( X ) 6 6 X g ( X ) 7 7 X g 8 ( X ) 8 X g 9 9(X) ) g ( X ) X g ( X ) X g ( X ) X F ( X) F ( X) Nveau Nveau Nveau 3 Nveau 4 fgure 5. : Graphe des contrantes assocé au problème de concepton du véhcule 5.6 De la msson au système Comme nous l avons déjà soulgné, un des objectfs de l approche systémque est d nclure, dès les premers stades du processus de concepton, la msson pour laquelle un système dot être conçu. Dans ces condtons, le dmensonnement et l optmsaton des performances du dspostf ntègrent tous les couplages pouvant exster entre les éléments et la fnalté du système. Cette démarche permet d espérer plus de précson, en cblant exactement les besons. Nous proposons, pour mettre en évdence l nfluence de la msson du véhcule électrque sur son dmensonnement, de mener une optmsaton du véhcule pour deux mssons dfférentes : une msson urbane et une msson routère Caractérstques des mssons de crculaton Les mssons choses, étables par l INRET (Insttut Natonal de Recherche sur les Transports et la écurté), provennent de données statstques portant sur un ensemble de msson de crculaton réelles [Tr96]. Les profls de pentes sont plats. MIION URBAINE La msson urbane est caractérsée par des vtesses du véhcule fables (aux alentours de 4 km.h - ), avec une ponte de vtesse à 9 km.h - envron (fgure 5.(a)). Le pas d échantllonnage de la msson est de seconde. La fgure 5.(b) présente, pour ce profl en vtesse, l hstogramme de la vtesse de rotaton aux roues. Nous remarquons alors que cette msson comporte un nombre mportant de ponts à pulsaton quas nulle. Nous dstnguons également que cette msson comporte une concentraton nette des ponts de fonctonnement autour de 4 rad.s -. 75

28 Chaptre 5 Vtesse du véhcule (km.h - ) Temps (s) nts de fonctonnement po Répartton des Pulsaton de rotaton aux roues (rad.s-) (a) Profl de vtesse (b) Hstogramme de la pulsaton mécanque aux roues fgure 5. : Profl de vtesse de la msson urbane Pour une masse totale du véhcule de kg (sot kg de masse embarquée), la fgure 5.(a) montre l allure du couple aux roues mposé par ce profl de crculaton. Pour cet exemple, la répartton des ponts de fonctonnement aux roues dans le plan couple-vtesse est présentée à la fgure 5.(b) Couple aux roues (N.m) oues (N.m) Couple aux r Temps (s) (a) Couple aux roues pour une masse totale de kg Vtesse de rotaton aux roues (rad.s - ) (b) Ponts de fonctonnement dan le plan couplevtesse pour une masse de kg fgure 5. : ollctatons mposées à la chaîne de tracton - Cas de la msson urbane La durée de cette msson type est de 374 secondes ( 3 mnutes) durant lesquelles le véhcule parcourt. km. Nous chosssons d mposer une autonome mnmale de km pour le véhcule. L optmsaton sera donc menée en répétant 6 fos le profl de vtesse élémentare présenté. A partr de la connassance de la masse embarquée, nous pourrons dédure les sollctatons mposées à la chaîne de tracton. 76

29 Applcaton des algorthmes évolutonnares multcrtères à la concepton de véhcules électrques MIION ROUTIERE Le profl de vtesse de la msson routère consdérée et son hstogramme sont donnés aux fgures 5.3(a) et (b). Les vtesses moyenne et maxmale attentes par le véhcule sont plus mportantes que dans le cas de la msson urbane (jusqu'à km.h - pour la vtesse maxmale). L hstogramme de la pulsaton aux roues montre également que la plus forte densté de ponts de fonctonnement se stue à des vtesses élevées (aux alentours de 85 rad.s - ). De la même manère que pour la msson urbane, nous présentons, pour une masse totale du véhcule de kg, l allure du couple aux roues mposé par ce profl et la répartton des ponts de fonctonnement aux roues dans le plan couple-vtesse (fgure 5.4). La durée de cette msson type est de 734 secondes ( mnutes) durant lesquelles le véhcule parcourt 5.4 km. Nous chosssons d mposer la même autonome que pour le véhcule urban, sot km. L optmsaton sera donc menée en répétant 3 fos le profl en vtesse élémentare. - ) Vtesse du véhcule (km.h nnement Répartton des ponts de foncto Temps (s) (a) Profl de vtesse Pulsaton de rotaton aux roues (rad.s-) (b) Hstogramme de la pulsaton mécanque aux roues fgure 5.3 : Profl de vtesse de la msson routère 77

30 Chaptre 5 Couple aux roues (N.m) Temps (s) (a) Couple aux roues pour une masse totale de kg Couple aux roues (N.m) Vtesse de rotaton aux roues (rad.s - ) (b) Ponts de fonctonnement dan le plan couplevtesse pour une masse de kg fgure 5.4 : ollctatons mposées à la chaîne de tracton - Cas de la msson routère 5.6. Concepton par optmsaton dans le cadre d une msson urbane Dffcultés de convergence Le problème d optmsaton tel qu l a été formulé s avère relatvement complqué à résoudre. En effet, nous avons dans un premer temps lancé exécutons de l algorthme avec ndvdus et 5 génératons (sot 5 smulatons de la msson totale). Comme le montre le tableau 5.8, l algorthme pene déjà à trouver des confguratons réalsables. Le nombre N real de génératons écoulées avant de trouver les premers ndvdus réalsables est très varable. Lors des exécutons 4, 6 et, nous voyons même qu aucune soluton réalsable n est trouvée. TABLEAU 5.8 : REULTAT DE EXECUTION MENEE AVEC LE NGA-II Exécuton N real Mnmum de F ( ) X Mnmum de F ( ) X Les dfférences entre les valeurs mnmales des crtères F ( X) et F ( X) montrent que certanes exécutons n ont vsblement pas convergé. En partculer, les exécutons et 3 apparassent nettement comme étant les plus mauvases. Pour les autres exécutons, les dfférences sont mons marquées. Cette dsperson selon les exécutons montre ben l mportance du caractère 78