Racine nième Corrigés d exercices

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1 Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = = N 8 page 9 a) Comme k est positif, k appartiet à l esemble de défiitio de la foctio f Par ailleurs, o a immédiatemet : f ( k) = k k = O e déduit : k est ue racie de f sur [ ; [ b) D après le résultat de la questio précédete, o peut factoriser la foctio polyôme f par k : ( ) = = ( )( α β γ) f k k k α β γ = α β kα γ kβ kγ Par idetificatio, o obtiet alors le système : Or : ( )( ) ( ) ( ) α = α = β kα = β = k γ kβ = γ = k kγ =k Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

2 Racie ième Corrigés d eercices O a doc fialemet : O a d abord : ( ) ( )( ), f = k = k k k ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) a b a ab b = a b a a b b E utilisat l égalité obteue à la questio précédete avec = a et k = b, o obtiet immédiatemet : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) a b a ab b = a b a a b b = ab Le résultat est aisi établi ( a) ( b) = ( )( ) a b a ab b = a b N 8 page 9 a) O a : ( ) = = ( ) D où : ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( 7 ) ( ) = ( 7 ) b) D après ce qui précède et e teat compte du fait que est strictemet positif, o a : Fialemet : ( ) = 7 = 7 = 7 7 = Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

3 Racie ième Corrigés d eercices N 86 page 9 7 a) = = = 7 = = S 7 = b) = = = = = = S = c) Comme > pour tout réel, o a : = = = 8 = 7 =± 7 S = { 7; 7} N 88 page 9 a) O résout l équatio das et o a alors : X = X = X = = 6 X X X X X 6 X X 6 ( X )( X ) = = = X = = = = X = S = { } Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

4 Racie ième Corrigés d eercices b) O résout l équatio das et o a alors : X = X = X = =7 X > X > X > X 7X 7 ( X )( X X ) = = = X Les deu solutios de l équatio ( X )( X ) = état strictemet égatives, o e déduit que le système admet pas de solutio O aurait pu coclure ecore plus rapidemet e otat que pour tout strictemet positif, o a >, > et doc > S = N 89 page 9 O remarque que l o a : viet : = et y = y O pose alors : X = et Y y = et il X = X = X = Y = y Y = y Y = y y = 8 X, Y X, Y X, Y y X Y 8 Y 8 X = = = Y = 8X X Y = X ( 8 X) = X 6X 6 = X = X = Y = y Y = y X, Y X, Y Y = 8 X Y = 8 X X 8X = ( X )( X 6) = Avec X =, il viet : Y = 6 Puis : = X = = 8 et O obtiet aisi u premier couple solutio : ( ; ) ( 8;6 6) y = y = Y = = = = Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

5 Avec X = 6, il viet : Y = Puis : Racie ième Corrigés d eercices = X = 6 = 6 et O obtiet aisi u deuième couple solutio : ( ) ( ) 6 y = Y = = = = y ; = 6; S = {( 8;6 6 ),( 6; )} N 9 page Pour =, o a : = = et = = = et les deu membres de l iéquatio sot égau, elle est doc vérifiée est solutio de l iéquatio Pour tout réel strictemet positif, o a : Fialemet : ( ) 6 S = {} ; 6 N 9 page 9 Du fait du terme, o résout cette équatio das : Avec X =, il viet X = = = X X X = X = X = X X X X = ( X ) X = = X = = 8 Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

6 Avec X =, il viet : Fialemet : = X = = 8 Racie ième Corrigés d eercices S = ;8 8 N 9 page 9 Pour tout réel, o a : symétrique Par ailleurs, pour tout réel, o a : De ce qui précède, o tire : > La foctio f est doc défiie sur qui est ( ) = ( ) = = ( ) f f La foctio f est paire l( ) f = = = e Pour tout réel, o a : ( ) ( ) Or, o a : lim ( ) = lim = et lim l et lim l ( ) = Or, o a : lim e Fialemet : = Doc : lim e ( ) = l = Doc : lim l ( ) = lim f ( ) = La foctio f état paire, o e déduit immédiatemet : lim f ( ) = La foctio f est la composée de la foctio, dérivable sur et preat ses valeurs das [ ; [, et de la foctio racie cubique, dérivable sur Comme [ ; [ est iclus das, o e déduit que la foctio f est dérivable sur La foctio f est dérivable sur Lycée Féelo Saite-Marie 6/ M Lichteberg

7 Racie ième Corrigés d eercices Pour tout réel, o a : ( ) ( ) f = = O e déduit alors (dérivatio d ue composée) : f ' ( ) = ( ) = ( ) = ( ), f '( ) = ( ) Pour tout réel, o a : ( ) > d où : ( ) doc le même que celui de : > Le sige de f '( ) est Sur Sur, o a : ( ), o a : ( ) f ' < et la foctio f est strictemet décroissate ; f ' > et la foctio f est strictemet croissate A titre de complémet, ous fourissos ci-dessous la courbe représetative de la foctio f pour compris etre et y f() =( ) Courbe représetative de la foctio pour [ ;] Lycée Féelo Saite-Marie 7/ M Lichteberg

8 Racie ième Corrigés d eercices puis pour compris etre et (tagete horizotale à l origie) : y f() =( ) Courbe représetative de la foctio pour [ ;] N 97 page 9 a) La foctio est dérivable sur quatrième, dérivable sur foctio iverse, dérivable sur La foctio est dérivable sur La foctio f est doc dérivable sur cet itervalle et preat ses valeurs das Pour tout réel strictemet positif, o a alors : comme composée de la foctio racie (pour > ), et de la e tat que foctio liéaire comme somme de deu foctios dérivables sur f '( ) = = f '( ) = Lycée Féelo Saite-Marie 8/ M Lichteberg

9 Racie ième Corrigés d eercices b) O a : f '( ) = = = = = = La foctio f ' s aule e = (racie quatrième) est strictemet croissate sur c) La foctio et pred ses valeurs das cet itervalle La foctio = est strictemet décroissate sur comme iverse d ue foctio strictemet croissate sur cet est doc strictemet décroissate sur itervalle La foctio La foctio ( ) est strictemet décroissate sur Fialemet, la foctio f ' est strictemet croissate sur E utilisat le résultat de la questio précédete, il viet alors : Pour ; f ' = ; Pour ; (cf le cours), f '( ) < et la foctio f est strictemet décroissate ;, f '( ) > et la foctio f est strictemet croissate Remarque : o déduit de ce qui précède que la foctio f admet u miimum global e = Les résultats des calculs de limites qui suivet doivet être e accord avec ce résultat Par ailleurs, o a : f ( ) = f = = = 9 = = = ( ) =, 87 Lycée Féelo Saite-Marie 9/ M Lichteberg

10 O a : Racie ième Corrigés d eercices lim = = et la foctio racie quatrième pred des valeurs strictemet > positives sur O e déduit : lim = Par ailleurs : > ( ) lim f = > lim = D où : > O a aussi : lim = D où : lim = Par ailleurs : lim = D où : lim f ( ) = Ces résultats sot cohérets avec l eistece d u miimum e = a) D après la questio précédete, o a : ( ) lim f lim = = D où : La courbe représetative C de la foctio f admet e ue asymptote oblique Δ d équatio : y = b) O obtiet : y - f() = y = Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

11 Racie ième Corrigés d eercices N page 6 O a ( ) f = = O obtiet doc facilemet les tableau de variatios des foctios f et g à partir de ceu des foctios racie cubique ( ) et racie quatrième ( ) Il viet doc : f Et : g > = équivaut à : = Il viet alors : f ( ) g( ) > > > > > = > > > > = 7 = 7 = = ( ) = 7 = = = = L équatio f ( ) = g( ) admet comme uique solutio : 7 =, Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

12 A titre de complémet, o a : Racie ième Corrigés d eercices f = g = = =, a) et b) O obtiet : 8 y 6 g() = f() = N page 6 O ote C la courbe représetative de la foctio racie ième das u repère orthoormal a) La dérivée de la foctio racie ième est défiie sur elle pred doc la valeur par : Pour =, O a par ailleurs : = = Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

13 Racie ième Corrigés d eercices L équatio réduite de la tagete T à C au poit d abscisse = s écrit doc : y = ( ) La droite T coupe l ae des ordoées e u poit dot l abscisse est ulle D après l équatio obteue précédemmet, so ordoée vaut doc : y ( ) = = L ordoée du poit d itersectio de la droite T avec l ae des ordoées vaut : b) O cosidère la foctio h défiie sur = par : h( ) ( ) La foctio h est dérivable sur comme somme de deu foctios dérivables sur cet itervalle (la foctio racie ième et la foctio affie : ( ) ) O a alors, pour tout réel strictemet positif : h' ( ) = = = = Pour tout réel strictemet positif, le facteur l est égalemet Le sige de h' ( ) est doc celui de la différece : = La foctio racie ième est strictemet croissate sur et pred ses valeurs das cet itervalle Comme, o a > et la foctio est strictemet croissate sur O e déduit que la foctio =, composée des deu précédetes, est strictemet croissate sur Fialemet, la foctio est strictemet décroissate sur Comme elle s aule pour =, il viet : Pour ] ;[, o a ( ) Pour ] ; [, o a ( ) h' > et la foctio h est strictemet croissate ; h' < et la foctio h est strictemet décroissate La foctio h état cotiue sur comme somme de deu foctios cotiues sur cet itervalle, o peut étedre la coclusio à ce poit Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

14 Fialemet : Racie ième Corrigés d eercices Pour [ ;], la foctio h est strictemet croissate ; Pour [ ; [, la foctio h est strictemet décroissate c) D après ce qui précède, la foctio h admet u maimum pour = La valeur maimale prise par h vaut doc : h() = ( ) = = O e déduit que pour tout positif, o a : h( ) Soit : ( ), ou ecore : ( ) Pour ue valeur de doée, l ordoée ( ) du poit correspodat sur C est iférieure à l ordoée ( ) du poit correspodat sur T D où : La courbe représetative C de la foctio racie ième est située sous la tagete T au poit d abscisse = A titre d illustratio, ous avos tracé das u même repère orthoormal les courbes et les tagetes correspodat à = (rouge), (bleu) et (vert) : 6 y f () = y y 8 6 f () = y f () = = Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

15 Racie ième Corrigés d eercices N page 6 Les réels a et b état positifs, il e va de même pour les réels a b et ab Pour les comparer, ous pouvos comparer leurs carrés : O a alors : O a doc : ( a b) ( ab) ( ) a b a b ab = et ( ab ) ( ) ( ) ( a b) = ab a b ab = a b ab ab = a b ab =, d où, fialemet : a b ab Remarquos d abord que l iégalité est immédiatemet vérifiée si l u des réels a, b ou c est ul Nous pouvos doc supposer, à partir de maiteat que les trois réels a, b et c sot o uls (doc strictemet positifs) Nous devos doc ici comparer deu réels strictemet positifs La foctio cube état strictemet croissate sur, ous pouvos comparer ( ) a b c et ( abc ) = 7abc Soit alors b et c deu réels strictemet positifs fiés quelcoques et soit ϕ la foctio défiie sur par : ϕ ( ) = ( b c) 7bc La foctio ϕ est ue foctio polyôme doc dérivable sur strictemet positif : et o a, pour tout réel ( ) ( ) ( ) ϕ ' = b c 7bc = b c 9bc = ( b c) ( bc ) = b c bc b c bc Le facteur b c bc est strictemet positif Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

16 Racie ième Corrigés d eercices Quat au facteur b c bc = b c bc qui peut être positif ( b= c= par eemple) ou égatif ( b = et c = 9 par eemple), il s aule pour ( ) Nous devos doc distiguer plusieurs situatios : = b c bc < Si ( ) Pour tout réel de, o a '( ) ϕ b c bc b c > > O a : ( ) ( ) ( ) ϕ > et la foctio ϕ est strictemet croissate lim = lim 7 = > et o e déduit : = b c bc > Si ( ) ( ), ϕ > Pour tout réel de ] ; [, o a ( ) décroissate ; Pour tout réel de ] [, o a ( ) croissate La foctio ϕ admet doc u miimum global e Or, o a : ; ( ) ϕ ( ) ϕ ' < et la foctio ϕ est strictemet ϕ ' > et la foctio ϕ est strictemet ( ) ( ) 7( ( ) ) 7 7( ( ) ) 7bc( bc b c bc ) 7bc( b c bc ) ϕ = b c bc = bc b c bc bc = bc bc b c bc bc = = D après la questio précédete, o a : b c bc Le cas ( ) O e tire alors : ( ) ( ), ϕ = b c bc = se traite comme le précédet Das toutes les situatios, o a doc : ( ), ϕ ϕ, puis : Lycée Féelo Saite-Marie 6/ M Lichteberg

17 Racie ième Corrigés d eercices O a doc, pour tout réel strictemet positif : Soit : ( b c) 7bc b c bc O e tire, b et c ayat été choisis quelcoques das : a b c abc L iégalité est fialemet valable pour tous réels a, b et c das : Pour tous réels a, b et c das, o a : a b c abc N page 6 Les réels et état strictemet positifs, ous pouvos comparer leurs logarithmes l épéries : l = l e = l et, e particulier, pour = : l = l l Cosidéros alors la foctio ϕ défiie sur par : ϕ ( ) = Elle y est dérivable comme rapport de deu foctios dérivables et o a, pour tout réel strictemet positif : ϕ ' l l ( ) = = E teat compte de : l = = e et du fait que la foctio logarithme épérie est strictemet croissate sur, il viet : Pour ] ; e[, ( ) Pour ] e; [, ( ) Tavaillos d abord sur l itervalle ] ; [ ϕ ' > et la foctio ϕ est strictemet croissate ; ϕ ' < et la foctio ϕ est strictemet décroissate e O a : ] e; [ Pour tout etier aturel l l = ϕ ϕ = D où : supérieur ou égal à, o a doc : ( ) ( ) Il reste doc à traiter les cas = et = Lycée Féelo Saite-Marie 7/ M Lichteberg

18 Racie ième Corrigés d eercices O a d abord : < et la foctio racie cubique est strictemet croissate sur O e déduit : <, soit < Or : pour = = = O a doc : < et l iégalité est bie vérifiée 6 Pour =, il coviet de comparer : = et La foctio état strictemet croissate sur, ous pouvos comparer les puissaces siièmes de ces deu ombres : 6 6 = = = ( ) 8 et 6 = = 9 Comme 8< 9, il viet Coclusio géérale : < L iégalité est vérifiée pour = Pour tout etier aturel o ul, o a : N 8 page 67 Comme : = = = Par ailleurs : 8 = 8 = =, il viet : f ( ) ( ) = = = = = 8 D où : f ( ) ( ) f ( ) = 8 et ( ) 8 = = = = = f 8 = a) O cherche : lim f ( ) > > 8 8 = lim Nous avos affaire ici à ue forme idétermiée du type L eposat de l epressio cojuguée comportat u au déomiateur, ous pouvos utiliser Lycée Féelo Saite-Marie 8/ M Lichteberg

19 Pour tout strictemet positif, o a : f Racie ième Corrigés d eercices ( ) 8 f ( ) f ( ) = f ( ) 8 ( f ( ) ) 8 = f ( ) = 8 6 = 8 Le facteur 8 du déomiateur e pose pas de problème puisqu il ted vers 6 lorsque ted vers par valeurs strictemet positives 6 Nous ous itéressos doc désormais à positif O a, e développat le cube au umérateur : pour tout réel strictemet 6 = 6 8 = = 8 Or, lim = = > mais : lim 8 > = Lycée Féelo Saite-Marie 9/ M Lichteberg

20 O e déduit fialemet : Racie ième Corrigés d eercices ( ) f 8 lim = > ( ) 8 ( ) ( ) f f f b) O viet d obteir : lim = lim = > > O e déduit immédiatemet : La foctio f est pas dérivable e (à droite) c) D après le résultat précédet, o peut coclure que : La courbe représetative C de la foctio f admet e so poit d abscisse ulle ue tagete verticale a) Pour tout réel strictemet positif, o a : f '( ) = = Pour tout de ] ;8 ], ( ) f ' = b) Pour tout strictemet positif (et doc à fortiori sur ] ;8 ] ) o a [ ;8 [, o a : > et doc > > Pour tout de O déduit de ce qui précède que la dérivée de f est égative sur ] ;8 ] et e s y aule que pour = 8 La foctio f est doc strictemet décroissate sur cet itervalle Comme elle ;8 comme composée de foctios cotiues, o e déduit fialemet : est cotiue sur [ ] La foctio f est strictemet décroissate sur [ ;8 ] Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

21 Racie ième Corrigés d eercices O obtiet : y 8 6 f() =(- ) Lycée Féelo Saite-Marie / M Lichteberg

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