Statistique Descriptive (Stat I) Dr. Jamal Hayek. Session 1 : Séries statistiques

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1 Saisique Descripive (Sa I) Dr. Jamal Hayek Session 1 : Séries saisiques 1. Un peu de vocabulaire Les principaux ermes du vocabulaire saisique son fixés par la norme NF X5-1. Passons en revue les principaux élémens de la erminologie saisique : POPULATION : ensemble sur lequel pore l'éude saisique e qui conien un grand nombre d'élémens. En général, l'éude saisique es effecuée sur un exrai de la populaion appelé ECHANTILLON. exemple : on désire mesurer le diamère des grains de sable d'une plage. Comme le nombre de grains de sable es rès élevé e que la mesure du diamère de ous les grains de sable es impossible, on prélève un échanillon de 1 grains de sable sur lesquels on effecuera les mesures de diamère. INDIVIDU ou UNITE STATISTIQUE : élémen quelconque d'une populaion ou d'un échanillon. exemple : en reprenan l'exemple précéden, un grain de sable es un individu. CARACTERE ou VARIABLE STATISTIQUE : propriéé ou aspec éudié dans une populaion. Il fau disinguer les caracères QUANTITATIFS : représenés par des nombres exemples : âge d'une personne, nombre de salariés d'une enreprise, salaire d'un employé. Ils se divisen en deux caégories : les caracères MESURABLES : leurs valeurs représenen les mesures du caracère dans une unié choisie (on rappelle qu'une grandeur es mesurable quand on peu définir l'égalié e la somme). exemples : aille d'une personne en cm, salaire d'un employé en les caracères REPERABLES : leurs valeurs son exprimées par rappor à une échelle de mesure.

2 exemple : empéraure en C (la empéraure n'es pas une grandeur mesurable car la somme de deux empéraures n'a pas de sens : une quanié d'eau à 2 C ajouée à une quanié d'eau à 1 C ne fai pas une quanié d'eau à 12 C!) les caracères QUALITATIFS : non naurellemen exprimés par des nombres. Pour pouvoir uiliser ces caracères il fau leur aribuer des valeurs (numériques ou non) à l'aide d'un code. exemples : siuaion de famille (célibaaire = 1, marié = 2, veuf = 3, divorcé = 4) ; profession (code INSEE) Suivan les valeurs numériques prises par un caracère, on disingue les caracères DISCRETS ou DISCONTINUS : leurs valeurs son "isolées" les unes des aures. exemple : nombre d'enfans d'une famille (,1,2,...) les caracères CONTINUS : dans un inervalle de variaion donné, leurs valeurs son quelconques exemple : aille d'une personne. EFFECTIF : nombre d'élémens correspondan à une valeur donnée du caracère. exemple : sur un ensemble de 1 familles, on rouve 4 familles de 6 enfans : 4 es l'effecif correspondan à la valeur 6 du caracère "nombre d'enfans". SERIE STATISTIQUE : ensemble de couples (x, n) où x représene une valeur fixée du caracère e n l'effecif correspondan. exemple : sur 1 familles on observe 12 familles de enfan, 26 familles de 1 enfan, 2 familles de 2 enfans, 15 familles de 3 enfans, 14 familles de 4 enfans, 9 familles de 5 enfans, 4 familles de 6 enfans. La série saisique correspondan à cee siuaion es : (12, ) (26, 1) (2, 2) (15, 3) (14, 4) (9, 5) (4, 6) 2. Présenaion des résulas saisiques sous forme de ableaux

3 a) exemple 1 On considère le classemen de voans effecifs d'une circonscripion élecorale suivan le candida pour lequel ils on voé (le cas des absenions, des voes blancs ou nuls n'es pas considéré ici). Les candidas son désignés par les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ( le caracère es qualiaif e discre) e la série saisique es (1, ) (2, ) (3, ) (4, ) (5, 2 812) (6, 1 285). On peu représener cee série saisique par un ableau à lecure plus agréable : candidas nombre de voix L'effecif correspond au nombre de voix obenues par chaque candida. Puisque le caracère es discre, il es commode de désigner ses valeurs par x i où i varie de 1 à 6. On désignera de la même façon les valeurs de l'effecif par n i. L'indice i numéroe donc ici les cases du ableau précéden e s'uilise facilemen : pour x 3 = 3 on a n 3 = L'effecif oal es la somme de ous les ni : n = n 1 + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 + n 6 = On a couume d'écrire cee expression sous la forme conracée suivane : qui se li "somme des quaniés ni pour i varian de 1 à 6". Lorsque 'on désire faire des éudes comparaives, on uilise, à la place de l'effecif, la FREQUENCE qui es définie par Le ableau suivan donne les fréquences en remplacemen des effecifs candidas x i fréquences f i ,354,25,26,166,3,14

4 Comme on peu le vérifier sur le ableau précéden, la somme de oues les fréquences es égale à 1 ; en effe : donc Remarque : Les fréquences permeen d'obenir des pourcenages. Ainsi, par simple lecure du ableau précéden, nous voyons que le candida numéro 4 a obenu 16,6% des voix. b) exemple 2 Noes d'oral en géomérie analyique de 28 candidas admissibles à l'ecole Cenrale en 195. Le caracère es ici la noe obenue (enre e 2) : ses valeurs son donc n'impore quel nombre compris enre e 2 (par exemple 14, ). Il s'agi d'un caracère coninu. Pour la commodié de l'éude, on paragera alors l'inervalle de variaion du caracère en CLASSES : a x < b ou x [a,b[ La différence b-a es appelée l'amplitude de la classe [a,b[. Sous forme de ableau, l'éude saisique se décrira ainsi : Noes sur 2 (x i ) effecif (n i ) fréquence (f i ) [6,8[ [8,1[ [1,12[ [12,14[ [14,16[ [16,18[ [18,2[ ,4,29,14,225,357,25,32 Remarque 1 : la numéroaion des effecifs e des fréquences doi correspondre à la numéroaion des classes : exemple : 4ème classe : [12,14[ n 4 = 63 f 4 =,225

5 Remarque 2 : Lorsque les classes on une ampliude égale, ce qui es ici le cas, on peu convenir de désigner chacune d'elles par son CENTRE : classe [a, b[ cenre = (a + b)/2 6O1n14 18peu alors remplacer la première ligne du ableau précéden par la ligne suivane : Noes sur 2 (x i ) Cee convenion perme de remplacer une série saisique à caracère coninu par une série saisique à caracère discre. Remarque 3 : on peu aussi effecuer des regroupemens de classes : classes d'ampliude 4 : x i n i classes d'ampliude 6 : x i n i En procédan ainsi, on perd évidemmen en précision auan que ce que l'on gagne en simplificaion. c) exemple 3 Du recensemen général de l'agriculure en 1955, on a exrai les renseignemens suivans : répariion des exploiaions (bois non compris) selon la surface oale en France : surface des exploiaions en ha (x i ) [,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1 [ [1,2 [ [2,5 [ [5,1 [ [1,2 [ 2 e plus nombre d'exploiaion

6 s (n i ) fréquences (f i ),6 6,1 2,18 2,2 8,235,165,33,7, 2 Remarque 1 : Pour des raisons évidenes de présenaion, les classes n'on pas la même ampliude. On éviera, dans la mesure du possible, de représener ici direcemen une classe par son cenre sans donner d'indicaions complémenaires. On peu êre amené à chercher, par exemple, le nombre e le pourcenage des exploiaions ayan une surface inférieure à 5 ha. On a alors inérê à uiliser la noion d'effectif CUMULE ou de FREQUENCE CUMULEE. où p es le numéro de la classe où l'on désire arrêer le compage (pour la quesion posée p = 6 ce qui correspond à x < 5). surface des exploiaions en ha (x i ) [,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1[ [1,2[ 2 e plus effecif cumulé fréquence cumulée,66,168,35,558,793,958,991,998 1 Le précéden ableau perme de répondre à la quesion posée : exploiaions (soi 95,8%) on moins de 5 ha. Remarque 2 : A l'exrémié finale du ableau (dernière classe), l'effecif cumulé correspond à l'effecif oal e la fréquence cumulée correspond à 1 (soi 1%). Remarque 3 : Sans précision supplémenaire, effecif e fréquence cumulés son considérés comme CROISSANTS. On peu aussi uiliser des effecifs e des fréquences cumulés DECROISSANTS : surface des exploiaions [,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1[ [1,2[ 2 e

7 en ha (x i ) plus effecif cumulé décroissan fréquence cumulée décroissane 1,934,832,65,442,27,42,9,2 Cee disposiion perme de voir, par exemple, que exploiaions (soi 83,2%) on 2 ha e plus. d) exemple 4 Les exemples précédens on poré sur des séries saisiques SIMPLES : leur populaion éai éudiée suivan un seul crière. Une série saisique DOUBLE es une série saisique éablie suivan les valeurs de DEUX caracères. Donnons en un exemple : Populaion de 142 enfans de sexe masculin d'une école maernelle éudiée suivan le poids e l'âge des enfans : [3,4[ [4,5[ [5,6[ disribuion marginale Inférieur à [15,2[ [2,25[ [25,3[ 1 1 disribuion marginale L'uilisaion des disribuions marginales perme de décomposer une série saisique double en deux séries saisiques simples.

8 Exercices 1) D'après la disribuion suivane du nombre d'enfans à la charge des familles : Enfans Familles éablir un ableau où figureron les effecifs, les fréquences, les effecifs cumulés croissans e décroissans. 2) Même quesion pour la série saisique suivane décrivan la populaion acive par âge dans les Haus de Seine (en milliers d'individus) : âge au 1/1/ à 19 2 à à 29 3 à à 39 4 à à 49 5 à à 59 6 à à 69 7 à e plu s nombre 3,5 4 51, 4 79,8 87,1 8, 8 71,9 2 58,6 2 7,6 2 66, 6 45,3 8 17,7 5,3 6 3,2 2 3) Le ableau suivan donne la disribuion du personnel d'une enreprise selon l'ancienneé de ravail en années : ancienneé [,2[ [2,4[ [4,6[ [6,1[ [1,15[ [15,2[ 2 e plus Personnel

9 Compléer ce ableau par les effecifs e fréquences cumulés croissans e décroissans. 4) On mesure dans une série de classes de 4ème la aille des élèves de sexe masculin ce qui aboui à la disribuion suivanes où le caracère es décri par le cenre des classes d'ampliude 1 : aille (en cm) nombre d'élèves a) Récrire la première ligne en uilisan l'éendue des classes : [a,b[ b) Récrire le ableau avec des classes d'ampliude 2, puis avec des classes d'ampliude 4, puis avec des classes d'ampliude 8. 5) On considère la série saisique double relaive aux voiures de peie cylindrée circulan dans Paris classées suivan les deux crières suivans : x : puissance en CV e y : durée des pneumaiques en milliers de km. Les effecifs son donnés en pourcenage. y\x Déerminer les séries marginales.

10 Soluions 1) Enfans Effecifs Fréquences,21,285,19,117,85,66,35,9,4 Effecifs croissans fréquences croissanes Effecifs décroissans Fréquences décroissanes ,21,495,685,81,886,952,987,996 1, ,,79,55,315,199,114,48,13,4 2) âge au 1/1/ à 19 2 à à 29 3 à à 39 4 à à 49 5 à à 59 6 à à 69 7 à e plus Effecif s 3,5 4 51, 4 79,8 87,1 8, 8 71,9 2 58,6 2 7,6 2 66, 6 45, 38 17,7 5,36 3,22 Fréquenc es,4 6, 76,12,13,12,1 8,8 8,1 6,9 9, 68,2 7, 8, 5 Effecif s croissan s 3,5 4 81, , , , 56 4, , 1 529, , , , , , 44 fréquenc es,4 6,1 22,24 2,37 2,49 2,6,68 8,79 4,89 3,9 61,98 7,99 5 1,

11 croissan es Effecif s décroiss ans 667, ,9 585, 86 56, 6 418, , , 96 28, , 72 71,6 6 26,2 8 8,58 3,22 Fréquenc es décroiss anes 1,9 54,87 8,75 8,62 8,5 8,4,31 2,2 6,1 7,3 9,1 3, 5 3) ancienneé [,2[ [2,4[ [4,6[ [6,1[ [1,15[ [15,2[ 2 e plus personnel Fréquences,29,59,88,235,221,74,294 Effecifs croissans Fréquences croissanes Effecifs décroissans Fréquences décroissanes ,29,88,176,412,632,76 1, ,971,912,824,588,368,294 4) a)

12 aille (en cm) [95,1 5[ [15,1 15[ [115,1 25[ [125,1 35[ [135,1 45[ [145,1 55[ [155,1 65[ [165,1 75[ [175,1 85[ [185,1 95[ nomb re d'élèv es b) classes d'ampliude 2 : aille (en cm) nombre d'élèves [95,115[ [115,135[ [135,155[ [155,175[ [175,195[ classes d'ampliude 4 : aille (en cm) nombre d'élèves [75,115[ [115,155[ [155,195[ classes d'ampliude 8 : aille (en cm) nombre d'élèves [35,115[ [115,195[ ) y\x disribuion marginale

13 disribuion marginale Session 2 : Représenaions graphiques Il exise plusieurs ypes de représenaion graphique d'une série saisique : diagrammes carésiens qui conduisen aux diagrammes en bâons e aux hisogrammes diagrammes polaires diagrammes à seceurs diagrammes figuraifs nuages de poins ec Nous allons dans cee session passer en revue les principales représenaions graphiques 1. Diagrammes en bâons

14 Dans un sysèmes d'axes (choisis ici perpendiculaires), on représene chaque couple (x i, n i ), où x i es une valeur du caracère e ni l'effecif correspondan, par un poin d'abscisse x i e d'ordonnée n i. Au lieu de l'effecif, on peu évidemmen prendre la fréquence. On obien ainsi un diagramme carésien. Dans le cas d'un caracère discre, les saisiciens on couume de remplacer les poins par des bâons vericaux. exemple 1 : résula du voe d'éleceurs relaivemen à 6 candidas : candid as nombr e de voix

15 exemple 2 : dans le cas d'un caracère coninu, répari en classes d'égales ampliudes, on peu se ramener au cas précéden en uilisan le cenre de chaque classe ; ainsi, pour la disribuion suivane relaive aux noes d'oral obenues par des candidas à un concours : Noe s sur 2 (x i ) [6, 8[ [8, 1[ [1, 12[ [12, 14[ [14, 16[ [16, 18[ [18, 2[ effec if (n i ) fréqu ence (f i ), 4, 29,1 4,2 25,3 57,2 5, 32 on obien le diagramme en bâons ci-conre. La ligne brisée qui join ous les sommes des bâons es appelé le POLYGONE DES EFFECTIFS si les haueurs des bâons corresponden aux effecifs ou le POLYGONE DES FREQUENCES si les haueurs des bâons corresponden aux fréquences. Lorsque le caracère es coninu, il y a en fai une infinié de couples (x,f) e le polygone des fréquences devien une courbe coninue appelée COURBE DES FREQUENCES don la forme générale es donnée ci-conre.

16 2. Hisogrammes Les hisogrammes son uilisés dans le cas des caracères coninus : sur l'axe des abscisses, les classes remplacen des valeurs isolées du caracère e, de ce fai, les bâons son remplacés par des recangles. exemple 2 : l'hisogramme correspondan es le suivan : Puisque la haueur des recangles es proporionnelle à l'effecif correspondan e puisque les ampliudes des classes son égales, l'aire oale de l'hisogramme es proporionnelle à l'effecif oal.

17 Le polygone des effecifs (ou des fréquences) s'obien en joignan les milieux des côés supérieurs des recangles. Par convenion, il commence à zéro e se ermine à zéro comme indiqué sur la figure précédene. Avec cee convenion, il es clair que aire oale de l'hisogramme = aire de la surface limiée par le polygone des effecifs les deux son proporionnelles à l'effecif oal Examinons mainenan le cas imporan suivan où les ampliudes des classes son inégales. Il fau alors suivre la règle suivane : L'aire de chaque recangle doi êre proporionnelle à l'effecif correspondan. Reprenons l'exemple 2 en considéran d'une par une répariion en classes d'ampliudes égales, d'aure par, une répariion en classes d'ampliudes inégales : ampliudes égales : Noes sur 2 [6,8[ [8,1[ [1,12[ [12,14[ [14,16[ [16,18[ [18,2[ fréquence,4,29,14,225,357,25,32 ampliudes inégales : Noes sur 2 [6,8[ [8,1[ [1,14[ [14,2[ fréquence,4,29,329,639 Les hisogrammes correspondans son les suivans :

18 Pour respecer la règle précédene, il fau, par exemple, que l'on ai : A = A1 + A2 + A3 Pour qu'il en soi ainsi, il fau prendre sur l'hisogramme de droie, f 4 =,639/3 =,213 puisque l'ampliude de la classe correspondane a éé mulipliée par 3. De même, pour la classe [1,14[, la fréquence à marquer sur l'hisogramme de droie doi êre f 3 =,329/2 =,165.

19 3. Diagrammes cumulaifs Dans un repère carésien, on peu égalemen représener les effecifs ou les fréquences cumulés. Il fau cependan disinguer rois cas 1) le caracère es discre Raisonnons sur l'exemple suivan : exemple 5 : nombre d'enfans par femme sur une populaion de 3 femmes : x i n i effecif cumulé Si l'on race la courbe de l'effecif cumulé en foncion du caracère, on obien la courbe "en escalier" suivane : La forme de cee courbe es due au fai que, lorsque le caracère passe par l'une de ses valeurs discrèes, l'effecif cumulé passe brusquemen d'une valeur à la suivane, puis rese saionnaire jusqu'au prochain sau. 2) le caracère es coninu e répari en classes

20 L'effecif cumulé au débu d'une classe n'es pas le même qu'à la fin en général. On considère qu'à l'inérieur d'une même classe, l'effecif cumulé es une foncion linéaire du caracère. On obien ainsi un POLYGONE CUMULATIF composé de segmens de droie. exemple 2 : 3) le caracère es coninu, les classes on une ampliude nulle En faisan endre vers zéro l'ampliude des classes, le polygone cumulaif dans le cas d'un caracère coninu, end vers une COURBE CUMULATIVE don la forme générale es représenée ci-dessous :

21 4. Diagrammes polaires Le principe es schémaisé sur le dessin ciconre : l'angle es proporionnel au caracère le rayon veceur es proporionnel à l'effecif correspondan En général, les diagrammes polaires son uilisés dans le cas de caracères périodiques. exemple 6 : saisiques mensuelles des sinisres auomobiles

22 5. Diagrammes à seceurs. Les diagrammes en seceurs son uilisés pour mere en évidence l'imporance relaive des effecifs. Le diagramme ressemble à une are don les pars son elles que l'angle au cenre es proporionnel à la valeur de l'effecif. exemple 7 : répariion géographique des aciviés d'une sociéé mulinaionale :

23 6. Diagrammes figuraifs Un diagramme figuraif consise à représener les effecifs par des dessins plus ou moins pioresques qui donnen qualiaivemen l'imporance relaive des phénomènes. Evidemmen, sur la plan quaniaif, ils son rès peu précis. exemple 8 : Chepel des mouons à laine en 196

24 7. Nuages de poins Dans le cas d'une série double, on peu représener chaque couple (n1,n2) par un poin ce qui donne, au oal, un "nuage" de poins. En général, on ne dispose pas de ous les couples quand il s'agi d'un caracère coninu, mais d'une répariion en classes. Dans ce cas on race pour chaque couple de classes (donc dans un recangle) un nombre de poins réparis de manière homogène égal à l'effecif. exemple 4 : Populaion de 142 enfans de sexe masculin d'une école maernelle éudiée suivan le poids e l'âge des enfans :

25 [3, 4[ [4, 5[ [5, 6[ disribu ion margina le inférieur à [15,2[ [2,25[ [25,3[ 1 1 disribuion marginale Exercices 1) D'après la disribuion suivane du nombre d'enfans à la charge des familles : Enfans Effecifs Fréquences,21,285,19,117,85,66,35,9,4 Effecifs croissans fréquences croissanes ,21,495,685,81,886,952,987,996 1,

26 Effecifs décroissans Fréquences décroissanes ,,79,55,315,199,114,48,13,4 racer le diagramme en bâons des effecifs, le polygone des effecifs, les diagrammes cumulaifs croissan e décroissan. 2) Pour la série saisique suivane décrivan la populaion acive par âge dans les Haus de Seine (en milliers d'individus) : âge au 1/1/ à 19 2 à à 29 3 à à 39 4 à à 49 5 à à 59 6 à à 69 7 à e plus Effecif s 3,5 4 51, 4 79, 8 87, 1 8, 8 71,9 2 58,6 2 7,6 2 66, 6 45,3 8 17, 7 5,3 6 3,2 2 racer l'hisogramme des effecifs. 3) Le ableau suivan donne la disribuion du personnel d'une enreprise selon l'ancienneé de ravail en années : ancienneé [,2[ [2,4[ [4,6[ [6,1[ [1,15[ [15,2[ 2 e plus personnel L'enreprise n'embauche que du personnel d'au moins 2 ans e l'ouvrier le plus âgé a 6 ans.

27 a) Tracer l'hisogramme e le polygone cumulaif des effecifs. b) Tracer sur un même graphique les polygones cumulaifs croissan e décroissan. c) Déerminer graphiquemen l'ancienneé du 2ème ouvrier le moins ancien l'ancienneé du 6ème ouvrier le plus ancien la rang de l'ouvrier ayan 8 années d'ancienneé le nombre d'ouvriers don l'ancienneé es comprise enre 5 e 25 années. 4) Représener par deux diagrammes circulaires à seceurs la répariion des principaux débouchés du bois d'oeuvre e du bois d'indusrie uilisés en 1965 conformémen aux ableaux suivans : Bois d'oeuvre 18 8 m 3 Bâimen 51% Venes direces du négoce e de la scierie 2% Emballage 11% Conreplaqués 6% SNCF 5% Bois d'indusrie 9 1 m 3 Pâe 67% Panneaux 16% Bois de mines 11% Divers 6% Meubles 4% Divers 3% 5) Représener au moyen d'un diagramme polaire la série saisique suivane :

28 Nombre de mariages par rimesre en 195 e 1951 dans le déparemen de l'aude (source INSEE) : année 1er rim. 2ème rim. 3ème rim. 4ème rim Soluions 1) a)

29 b)

30 2)

31 3) a) ancienneé [,2[ [2,4[ [4,6[ [6,1[ [1,15[ [15,2[ 2 e plus personnel Effecifs croissans Effecifs décroissans

32 Remarque 1 : l'ancienneé maximum es de 4 ans ; on a donc choisi pour la dernière classe [2,4[. Remarque 2 : les ampliudes des classes son inégales. En prenan comme ampliude de base 2, il fau diviser l'effecif de la classe [6,1[ par 2, celui des classes [1,15[ e [15,2[ par 2,5, celui de la classe [2,4[ par 1. b) c)

33 En uilisan le polygone cumulaif croissan, on consae que pour 2, on obien une ancienneé de 5 ans environ (plus que 5 mais moins que 6) En uilisan le polygone cumulaif décroissan, on consae que pour 6, on obien une ancienneé de 13 ans environ. En uilisan le polygone cumulaif croissan, on consae que pour une ancienneé de 8, on obien un rang de 35 environ. L'uilisaion du polygone cumulaif croissan monre que les ancienneés 5 e 25 corresponden aux rangs 19 e 16 ; donc = 87 ouvriers on une ancienneé comprise enre 5 e 25 ans. 4) 5)

34 Session 3 : Paramères de posiion Pour comparer deux séries saisiques, on emploie deux ypes de paramères : les paramères de POSITION : mode, médiane, moyennes les paramères de DISPERSION : éendue, écar moyen, variance, écar-ype, coefficien de variaion, indice de dispersion

35 Dans cee session, nous nous inéressons aux paramères de posiion. 1. Mode On appelle MODE ou DOMINANTE la valeur x du caracère qui correspond à l'effecif le plus grand. exemple 1 : caracère discre candidas nombre de voix le plus grand effecif éan , le mode es x = 1. exemple 2 : caracères coninu Noes sur 2 (x i ) effecif (n i ) [6,8[ [8,1[ [1,12[ [12,14[ [14,16[ [16,18[ [18,2[ le plus grand effecif es 1, la CLASSE MODALE es donc la classe [14,16[. On conviendra de prendre pour mode le cenre de cee classe : x = 15. Remarque 1 : L'effecif d'une série peu présener plusieurs maxima, relaifs ou non : Il es bien éviden que l'usage du mode n'a d'inérê que dans le cas des séries unimodales.

36 Remarque 2 : Dans le cas d'un caracère coninu, deux répariions différenes en classes peuven conduire à deux valeurs différenes du mode. Considérons en effe, dans le cadre de l'exemple 2, la répariion suivane : Noes sur 2 (x i ) [6,8[ [8,1[ [1,14[ [14,2[ effecif (n i ) Pour enir compe de l'inégalié des ampliudes des classes, les effecifs à considérer son 1, 8, 92/2 = 46, 179/3 = 59,67. On en dédui que le mode es x = Médiane On appelle MEDIANE la valeur du caracère qui parage la série saisique en deux séries d'effecifs égaux. La médiane correspond ainsi à la valeur x m pour laquelle la fréquence cumulée vau 1/2. Indiquons commen, dans la praique, on déermine la médiane. Déerminaion par le calcul Deux cas son à considérer :

37 le caracère es discre - premier exemple : la médiane es x m = 4 - second exemple : Il n'y a pas ici de médiane. En effe, pour x i < 3, n 1 + n 2 = 7 andis que pour x i > 3, n 4 + n 5 + n 6 = 14. A cause de la disconinuié du caracère, on peu dire que la médiane es 3,... La conclusion es que, en général, dans le cas d'un caracère discre, la médiane n'exise pas. le caracère es coninu Reprenons le cas de l'exemple 3. surface des exploiaions en ha (x i ) [,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1[ [1,2[ 2 e plus nombre d'exploiaions (n i ) effecif cumulé

38 L'effecif moiié es /2 = ,5 ce qui monre que la CLASSE MEDIANE (ou INTERVALLE MEDIAN) es la classe [5,1[. Rese à déerminer dans cee classe la médiane qui es du ype x m = 5 + x (avec < x < 5) Pour obenir la quanié x, on procède par inerpolaion linéaire. Le nombre d'exploiaions de la classe [5,1[ correspondan à x es , = ,5 pour un accroissemen du caracère de 1-5 = 5, l'effecif cumulé s'accroî de pour un accroissemen du caracère de x, l'effecif cumulé s'accroî de ,5 d'où x = (5 x ,5)/ ,61 La médiane es donc x m 8,61. Déerminaion graphique Raisonnons sur l'exemple 9 ci-dessous exemple 9 : Classemen selon leur âge de 15 ouvriers d'une enreprise : caracère (âge en années) [2,25[ [25,3[ [3,35[ [35,4[ [4,45[ [45,5[ [5,55[ [55,6[ effecif effecif cumulé croissan effecif cumulé décroissan L'hisogramme de cee série saisique es représené ci-dessous :

39 Pour obenir la médiane, on peu soi racer le polygone cumulaif croissan : la médiane correspond à une fréquence cumulée croissane de 1/2. soi racer le polygone cumulaif décroissan : la médiane correspond à une fréquence cumulée décroissane de 1/2. soi racer les deux polygones cumulaifs croissan e décroissan : la médiane es l'abscisse de leur poin d'inersecion.

40 On peu généraliser la noion de médiane : la médiane perme de parager l'effecif oal en deux effecifs égaux ; si on sépare à leur our ces effecifs en deux effecifs égaux (conenan chacun 25% de l'effecif oal), on obien les valeurs du caracère : Q1, Q2 = x m = Q3. Ces valeurs son appelées QUARTILES. On peu égalemen envisager un parage de l'effecif en 1 (1) effecifs égaux, chacun représenan 1% (1%) de l'effecif oal ; les valeurs correspondanes du caracère son les DECILES (CENTILES).

41 3. Moyennes Il exise plusieurs sores de moyennes. Nous nous bornons ici aux principales définiions. Moyenne arihméique pondérée La moyenne arihméique pondérée m d'une série saisique à caracère discre es définie par la relaion On la noe égalemen <x> ou. En posan on a d'où exemple 5 : Appliquons ces relaions au cas suivan : nombre d'enfans par femme sur une populaion de 3 femmes :

42 nombre d'enfans x i nombre de femmes n i fréquence f i ,13,1,27,23,13,1,,3 Selon la première relaion m = [4x + 3x1 + 8x2 + 7x3 + 4x4 + 3x5 + x6 + 1x7]/3 = 2,6 3 Selon la seconde relaion m =,13x +,1x1 +,27x2 +,23x3 +,13x4 +,1x5 + x6 +,3x7 = 2,6 3 Un aure mode de calcul, qui perme des simplificaions, es parfois uilisé. Il consise en l'emploi d'une MOYENNE PROVISOIRE. On choisi m en général rès proche de la moyenne m, par exemple, on peu prendre le mode : = x. Chaque x i peu êre écri : x i = + (x i - ) d'où exemple 5 : Appliquons cee relaion à l'exemple 5 en prenan = 2 : x i x i

43 n i (x i - ) Le oal des valeurs de la dernière ligne es 18 e m = /3 = 2,6 3 exemple 1 : Appliquons les rois modes de calcul de la moyenne arihméique à l'exemple suivan où le caracère es coninu e répari en classes. On représene alors chaque classe par son cenre x i : Répariion d'une populaion salariée suivan la disance du domicile au lieu de ravail. disance en km [,1[ [1,2[ [2,5[ [5,1[ [1,2[ [2,5[ oaux cenres x i,5 1,5 3,5 7, nombre de personnes n i n i x i 176,5 238,5 892,5 1 12, f i,353,159,255,147,59,27 f i x i,18,24,89 1,1,89,95 4,24 x i ,5 31,5 n i (x i - ) ,5 85,5 74

44 où, dans ce dernier cas, on a pris = 3,5. Aures moyennes Donnons sans rop insiser les définiions suivanes d'aures ypes de moyennes : MOYENNE QUADRATIQUE : MOYENNE GEOMETRIQUE : MOYENNE HARMONIQUE : h On démonre que h g m q.

45 4. Comparaison des paramères de posiion En général, la courbe des fréquences (supposée unimodale) es dissymérique e le mode, la médiane e la moyenne arihméique son des nombres différens qui se réparissen comme l'indique, par exemple, la figure ci-dessous : Lorsque la courbe des fréquences n'es pas rop dissymérique, les rois paramères de posiion saisfon approximaivemen la relaion suivane (formule empirique de Pearson- Morice) : x = 3x m + 2m Lorsque la courbe des fréquences es symérique (e unimodale), les rois paramères de posiion son confondus :

46 Exercices 1) Les recees d'un commerçan, relevées pendan une période de 6 mois environ, son les suivanes : recee s en [4,5 [ [5,6 [ [6,7 [ [7,8 [ [8,9 [ [9,1 [ [1,11 [ nombre de jours recee s en [11,12 [ [12,13 [ [13,14 [ [14,15 [ [15,16 [ [16,17 [ nombre de jours Calculer le mode, la médiane, les quariles, la moyenne arihméique. 2) On a usiné sur un our auomaique une imporane série d'axes cylindriques don le diamère nominal prévu devai êre de 2 mm avec une olérance de +-,25 mm (les pièces don le diamère es exérieur à l'inervalle 19,75 à 2,25 éan inuilisables pour

47 l'assemblage e devan êre rebuées). La machine es réglée au mieux de ses possibiliés echniques (à des variaions aléaoires près qu'il n'es pas possible d'éliminer) ; un échanillon de 15 pièces prises au hasard dans le lo a donné les résulas suivans : diamère en mm nombre de pièces diamère en mm nombre de pièces [19.7,19.8[ [19.8,19.85[ [19.85,19.9[ [19.9,19.95[ [19.95,2.[ [2.,2.5[ [2.5,2.1[ [2.1,2.15[ [2.15,2.2[ [2.2,2.3[ a) Consruire l'hisogramme représenaif de cee série b) Consruire la courbe cumulaive c) Déerminer la médiane, la moyenne arihméique. 3) Une enreprise qui exploie un parc de axis a relevé, pour 1 d'enre eux, les disances qu'ils avaien parcourues au momen de leur mise à la réforme : disance parcourue (en milliers de km) nombre de axis [8,85[ [85,9[ [9,95[ [95,1[ [1,15[ [15,11[ [11,115[ [115,12[ Tracer la courbe des fréquences e calculer le mode, la médiane e la moyenne. Vérifier la relaion de Pearson-Morice.

48 4) On considère la répariion des cliens d'une enreprise indusrielle d'après le monan de leurs commandes au cours d'un mois déerminé. monan en des commandes nombre de cliens [,4[ [4,8[ [8,1[ [1,12[ [12,14[ [14,16[ monan en des commande s [16,18 [ [18,2 [ [2,22 [ [22,24 [ [24,26 [ [26,3 [ nombre de cliens a) Consruire l'hisogramme e le polygone des fréquences b) Consruire le polygone cumulaif c) Déerminer le mode, la médiane, la moyenne, les quariles. 5) Pour une même durée de ravail, les salaires d'une enreprise se réparissen comme sui : salaires en 3 à 4 4 à 5 5 à 6 6 à 7 7 à 8 8 à 9 9 à 1 nombre de personnes a) Déerminer le salaire médian, le salaire moyen, le salaire dominan.

49 b) Tracer le polygone des effecifs cumulés en indiquan la posiion des rois valeurs précédenes. c) Indiquer e calculer les premier e roisième quariles. Soluions 1)

50 mode : 115 ; médiane : graphiquemen, on consae que la médiane es environ 11. Par le calcul d'inerpolaion linéaire, on rouve la valeur

51 x m = (85-83)/11 = 111,82 quariles : Q1 = 9 + 1(42,5-38)/56 = 97,76 ; Q3 = (127,5-11)/133 = 1213,16 moyenne : 186 9/17 = 199,41 2)

52 médiane : 19,95 +,5x27/32 = 19,99 moyenne : 2 999,75/15 = 19,99

53 3) mode : x = 12,25 médiane : x m = 1 + 5x4/25 = 1,8 moyenne : m = 1,25 La formule de Pearson es x = 3x m - 2m = 3x1,8-2x1,25 = 11,9 ; la formule es donc rès approximaive (mais il es vrai que la courbe des fréquences es relaivemen anisymérique.) 4)

54

55 mode : 17 médiane : (1-87)/24 = 158,33 quariles : Q1 = 8 + 2(5-38)/13 = 984,62 Q3 = (15-136)/2 = 194 moyenne : 29 5)

56 salaire dominan : 65 salaire moyen : 1593/25 = 63,72 salaire médian : 6 + 1x5/81 = 66,17 Q1 = 5 + 1x38/63 = 56,3 Q3 = 8 + 1x9/21 =,84,29 1. Eendue, écar inerquarile Session 4 : Paramères de dispersion On appelle ETENDUE d'une série saisique la différence enre les valeurs exrêmes du caracère. On appelle ECART INTERQUARTILE la différence enre le 1er e le 3ème quariles.

57 On défini de façon analogue l'écar inerdécile ou l'écar inercenile : 2. Ecar moyen On appelle ECART MOYEN la moyenne arihméique des écars (en valeur absolue) par rappor à la moyenne arihméique : exemple 1 : Calculons l'écar moyen dans le cas de ce exemple ; la moyenne es m = 4,24

58 On a, successivemen : éendue : 5 Q1 = + 1*(25 - )/353 =,71 Q3 = 2 + 3*(75-512)/255 = 4,8 écar inerquarile : Q3 - Q1 = 4,9 écar moyen : e = 3889,16/1 = 3,89 3. Variance e écar-ype La VARIANCE (encore appelée FLUCTUATION) es la moyenne des carrés des écars par rappor à la moyenne : L'ECART-TYPE ou ECART QUADRATIQUE MOYEN ( en anglais STANDARD DEVIATION) es la racine carrée de la variance : Nous pouvons exprimer la variance (e donc l'écar-ype) sous une forme différene, mais équivalene, par uilisaion d'une moyenne provisoire.

59 En effe, x i - m = (x i - ) - (m - ) (x i - m) 2 = (x i - ) 2 + (m - ) 2-2(m - )(x i - ) i n i (x i - m) 2 = i n i (x i - ) 2 + (m - ) 2 i n i - 2(m - ) i n i (x i - ) Puisque m i n i = i n i x i, le dernier erme s'écri : -2(m - ) i n i (x i - ) = -2(m - )[ i n i x i - i n i ] = -2(m - )[m i n i - i x i ] = -2(m - ) 2 i n i Finalemen i n i (x i - m) 2 = i n i (x i - ) 2 +(m - ) 2 i n i - 2(m - ) 2 i n i = i n i (x i - ) 2 - (m - ) 2 i n i d'où l'on dédui le héorème de Koenig : Comme la moyenne provisoire es oalemen arbiraire, on peu prendre = ce qui condui à la relaion suivane : 2 = q 2 - m 2 avec qui représene le carré de la moyenne quadraique En jargon de saisicien, la relaion précédene se li "moyenne des carrés - carré de la moyenne". Appliquons ces relaions à l'exemple 1 : exemple 1 : m = 4,24 e = 5

60 Le ableau perme de calculer la variance de différenes façons : avec la définiion : 2 = 421,9/1 = 4,21 d'où = 6,34 avec la moyenne provisoire 5 : 2 = 4788,5/1 -(4,24-5)2 = 4,21 d'où = 6,34 avec la moyenne provisoire : 2 = 58188,5/1 - (4,24)2 = 4,21 d'où = 6,34 4. Coefficien de variaion Lorsqu'on dilae ou conrace l'échelle des caracères, la dispersion d'une série saisique es modifiée. En effe, dans une elle opéraion x i,, m deviennen x' i, ', m' avec x' i = kx i, ' = k, m' = km. Nous voyons que, si l'écar-ype e la moyenne son modifiés, par conre le rappor de ces deux quaniés es inchangé. Ce rappor es appelé COEFFICIENT DE VARIATION : coefficien de variaion = /m Cee quanié, don la valeur rese inchangée par changemen homohéique d'échelle, perme la comparaison de deux séries saisiques don l'échelle des caracères n'es pas la même. 5. Indice de concenraion

61 Reprenons l'exemple 1 e effecuons les calculs indiqués dans le ableau ci-dessous : Représenons graphiquemen le pourcenage de n i x i cumulés en foncion du pourcenage d'effecif cumulé. On obien une courbe, die COURBE DE LORENTZ ou COURBE DE CONCENTRATION qui s'inscri dans un carré. Si la populaion éai uniformémen réparie, les deux colonnes (% d'effecif cumulé e % de n i x i cumulés) seraien ideniques. Ce cas correspondrai à une concenraion nulle e la courbe de concenraion serai confondue avec la diagonale du carré (droie d'équipariion). Plus la courbe de Lorenz s'écare de la droie d'équipariion, plus la concenraion es fore. On convien de mesurer la concenraion par un INDICE DE CONCENTRATION appelé INDICE DE GINI :

62 indice de Gini = A / A où A es l'aire de la surface limiée par la courbe de Lorenz e la droie d'équipariion e A es l'aire du demi carré, soi 5. Pour l'exemple 1, l'indice de Gini vau,68. On noera que l'indice de Gini es compris enre e 1 ; la valeur correspond à une concenraion nulle, la valeur 1 à la concenraion maximum. Exercices 1) Les recees d'un commerçan, relevées pendan une période de 6 mois environ, son les suivanes : recee s en [4,5 [ [5,6 [ [6,7 [ [7,8 [ [8,9 [ [9,1 [ [1,11 [ nombre de jours recee s en [11,12 [ [12,13 [ [13,14 [ [14,15 [ [15,16 [ [16,17 [ nombre de jours a) Calculer l'écar moyen, la variance, l'écar-ype, l'écar inerquarile. b) Quel es le pourcenage des recees supérieures à m - 2 e inférieures à m + 2? 2) Une enreprise qui exploie un parc de axis a relevé, pour 1 d'enre eux, les disances qu'ils avaien parcourues au momen de leur mise à la réforme : disance parcourue (en [8,85[ [85,9[ [9,95[ [95,1[ [1,15[ [15,11[ [11,115[ [115,12[

63 milliers de km) nombre de axis Déerminer l'écar-ype. 3) On considère la répariion des cliens d'une enreprise indusrielle d'après le monan de leurs commandes au cours d'un mois déerminé. monan en des commandes nombre de cliens [,4[ [4,8[ [8,1[ [1,12[ [12,14[ [14,16[ monan en des commande s [16,18 [ [18,2 [ [2,22 [ [22,24 [ [24,26 [ [26,3 [ nombre de cliens a) Déerminer l'éendue, l'écar inerquarile, l'écar moyen, la variance, l'écar-ype, le coefficien de variaion. b) Tracer la courbe de concenraion e calculer l'indice de Gini. 4) Pour une même durée de ravail, les salaires d'une enreprise se réparissen comme sui : salaires en 3 à 4 4 à 5 5 à 6 6 à 7 7 à 8 8 à 9 9 à 1

64 nombre de personnes a) Déerminer la variance e l'écar-ype b) Tracer la courbe de concenraion e calculer l'indice de Gini. 5) L observaion des prix d un aricle en 2 poins de vene donne les résulas suivans : Classes de prix en Euros Nombre de poins de vene ) Représener graphiquemen cee série saisique 5.2) Déerminer la moyenne m e les quariles Q1 e Q3. 5.3) Déerminer l écar moyen, la variance, l écar-ype, l écar inerquarile. 5.4) Déerminer les pourcenages du nombre oal d observaions qui se siuen dans les inervalles (m, m + ) e (m 2, m + 2) 6)Une enquêe sur les salaires des ouvriers d une enreprise a poré sur un échanillon de 1 salariés Salaire horaire en Euros Nombre

65 d ouvriers 4,8 5,4 2 5,4 6, 2 6, 6,6 4 6,6 7,2 8 7,2 7,8 11 7,8 8,4 15 8,4 9, 16 9, 9,6 14 9,6 1,2 11 1,2 1,8 8 1,8 11,4 4 11,4 12, 3 12, 12, ) Représener graphiquemen cee série saisique 6.2) Déerminer la moyenne m des salaires 6.3) Déerminer la variance e l'écar-ype. 7) Les diamères de pièces usinées, mesurés en millimères, son donnés par le ableau suivan : 19,87 19,95 19,84 2,7 19,93 2,6 19,97 19,92 2,12 2,4 19,7 19,9 2,8 19,85 2,7 2,9 19,91 2,9 2,1 19,99 19,96 2,4 2,1 19,98 19,99 19,87 19,94 19,82 2,1 2,13 2,11 19,84 2,6 2,8 2,12 2,2 19,91 2,4 19,94 2,2

66 19,95 2,3 19,93 19,97 19,94 19,96 2,26 2,15 19,72 2,14 2,2 2,16 2,11 2,2 19,9 19,93 2,5 19,89 19,86 19,98 19,88 2, 2,18 2,3 19,97 2,5 2,3 19,81 2,6 19,8 19,89 19,96 2,1 2,21 2, 19,98 19,95 2,5 2,17 19,99 7.1) Présener sous forme de ableau la disribuion des effecifs en groupan les valeurs du caracère en classes de 5 cenièmes de millimère, sauf la première e la dernière qui seron 19,7 à 19,8 e 2,2 à 2,3. 7.2) Représener graphiquemen la série saisique 7.3) Déerminer le mode, la médiane, la moyenne 7.4) Déerminer l'écar moyen, la variance, l'écar ype. Soluion des exercices 1) Le ableau résume les calculs nécessaires (voir exercice 1 de la session 3)..

67 m - 2 = 577,31 e m + 2 = 1621,51 L'effecif correspondan à x < m - 2 es 2 + 3*77,31/1 = 4,32 soi 2,54% L'effecif correspondan à x < m + 2 es *21,51/1 = 166,8 soi 97,69% L'effecif correspondan à m - 2 < x < m + 2 es 97,69-2,54 = 95,15% 2) On peu employer le héorème de Koenig (avec une moyenne provisoire de ) :

68 q 2 = /1 = 1 128,25 ; m 2 = (1 25/1) 2 = 1 5,6 ; 2 = q 2 - m 2 = 78,19 d'où = 8,84 3) On se référera à l'exercice 4 de la session 3. On avai obenu : m = 1469,5 ; Q1 = 984,62 ; Q3 = 194 ; q 2 = A parir du ableau précéden, on obien : éendue : 3 écar inerquarile : Q3 - Q1 = 955,38 écar moyen : e = /2 = 561,47

69 variance : 2 = /2 = ,75 écar-ype : = 692,33 coefficien de variaion : /m =,47 Pour calculer l'indice de concenraion, il fau dresser le ableau suivan : l'indice de concenraion es donc 1338,92/5 =,27 4) Le ableau suivan perme de calculer la variance e l'écar-ype par uilisaion du héorème de Koenig :

70 variance : 2 = 16485/25-63,72 2 = 199,16 ; écar-ype : = 14,11 Pour calculer l'indice de concenraion, on uilise le ableau suivan, servan à racer la courbe de Lorenz :

71 L'indice de concenraion es 67,96/5 =,12 5) les ableaux suivan seron d'uilié :

72 5.1) Représenaions graphiques : 5.2) paramères de posiion moyenne : m = 14241/2 = 712,5

73 la médiane x m, les quariles Q1 e Q3 s'obiennen par inerpolaion à parir des effecifs cumulés. 5.3) paramères de dispersion écar moyen : e = 2724,3/2 = 13,62 variance : v = 63469,5/2 = 317,3 écar-ype : = 17,81 écar inerquarile : Q3 - Q1 = 722,3-7,6 = 21,7 5.3) Le calcul s'effecue par inerpolaion :

74 On en dédui les pourcenages cherchés : 1(x2 - x1)/2 = 71,24% = 93,81% e 1(x4 - x3)/2 6) le ableau aide à calculer les paramères : 6.1) représenaion graphique

75 6.2) moyenne : m = 872,4/1 = 8,72 6.3) variance : 236,82/1 = 2,37 ; écar-ype : = 1,54 7) 7.1) 7.2)

76 7.3) mode : 19,975 ; médiane : 2 ; moyenne : m = 16/8 = 2 7.4) écar moyen e = 1,3/8 =,16 ; variance v =,975/8 =,11 ; écar-ype s =,16 Session 1 : Noions sur l'ajusemen linéaire 1 - Principe de l'ajusemen Une série saisique es une collecion de couples (x i, n i ) où x i es la valeur du caracère (ou le cenre d'une classe) e n i l'effecif correspondan. A chaque couple (x i, n i ) on peu faire correspondre un poin dans un repère carésien de sore que la représenaion graphique d'une série saisique es un nuage de poins :

77 Effecuer un ajusemen consise à : rouver la courbe qui passe "au mieux" au milieu de ces poins rouver l'équaion de cee courbe L'inérê de cee procédure es d'exprimer les résulas d'une éude saisique par une loi simple d'éliminer les erreurs ou flucuaions accidenelles Les figures suivanes décriven des ajusemens des séries saisiques des exemples A e B : Dans ce qui sui, nous considérerons que les données saisiques son des couples (x i, y i ) correspondan chacun à un poin. Dans le cas d'une série saisique simple, x i représenera une valeur du caracère, y i (appelé précédemmen n i ) l'effecif (ou la fréquence) correspondan. Il y a plusieurs procédés d'ajusemen ; les principaux son :

78 l'ajusemen graphique, amélioré par la méhode des poins moyens l'ajusemen mécanique : méhode des moyennes échelonnées, méhode des moyennes mobiles Ces deux ypes d'ajusemen permeen d'obenir la forme de la courbe cherchée. l'ajusemen analyique : méhode des moindres carrés Ce ajusemen perme, en principe, d'obenir l'équaion de la courbe. 2 - Ajusemen graphique Le principe en es simple : il s'agi de racer "à main levée" la courbe qui passe au mieux parmi les poins représenaifs. inconvéniens : ajusemen grossier e approximaif qui dépend du dessinaeur avanages : éliminaion des poins "aberrans", méhode simple e peu coûeuse. Pour obenir avec plus de précision la forme de la courbe d'ajusemen, on peu employer la méhode des poins moyens. Elle consise à joindre les poins de manière à obenir des riangles consécuifs don on race une médiane (on rappelle que la médiane es le segmen de droie qui join un somme d'un riangle au milieu du côé opposé). On join ensuie les milieux de ces médianes.

79 3 - Ajusemen mécanique Le principe es de remplacer la collecion de couples (x i, y i ) par une collecion de couples (x i, y' i ) où y' i es calculé à parir des y i par un cerain procédé. Deux méhodes principales son employées : Méhode des moyennes échelonnées Les couples son réparis en groupes : On join ensuie les poins obenus par des segmens de droie. Aure variane : emploi d'une pondéraion pour l'élémen cenral :

80 Les inconvéniens de cee méhode reposen sur la diminuion du nombre de poins l'arbiraire du fracionnemen en groupes l'arbiraire du calcul des y' i Méhode des moyennes mobiles Chaque y i es remplacé par y' i = (y i-1 + y i + y i+1 )/3 Le nombre de poins perdus se limie ici à 2, le premier e le dernier. Par ailleurs, l'opéraion consise en un cerain "lissage". 4 - Principe de l'ajusemen analyique

81 Les ajusemens graphique e mécanique permeen d'obenir la forme approximaive de la courbe d'ajusemen. On fai alors choix d'une courbe de ype connu d'équaion y = f(x). Cee équaion conien un cerain nombre de paramères don il s'agi de fixer les valeurs. exemples : pour une droie d'équaion y = ax + b, les paramères à déerminer son a e b. pour une parabole d'équaion y = ax 2 + bx + c, les paramères à déerminer son a, b, c. La déerminaion de ces paramères es l'obje de l'ajusemen analyique. le procédé le plus employé es la méhode des moindres carrés. Pour chaque poin (x i, y i ), on considère le poin correspondan de la (présumée) courbe d'ajusemen (x i, y' i ). Si l'équaion de la courbe d'ajusemen es y = f(x), on a y' i = f(x i ). On mesure alors la différence (en valeur absolue) enre ces deux poins : y i - y' i = y i - f(x i ) e on forme la quanié : Pour déerminer les paramères inconnus de la foncion f, on écri la condiion d'opimisaion : M doi êre minimum ce qui se radui, en général, par des équaions mahémaiques plus ou moins complexes.

82 5 - Ajusemen linéaire Dans ce qui sui, on se limie au cas où la courbe d'ajusemen es une droie d'équaion y = ax + b. Il faudra donc déerminer les paramères a (coefficien direceur) e b (ordonnée à l'origine). C'es l'obje de l'ajusemen linéaire. Considérons la série saisique représenée par les couples de nombres : x x 1 x x i x n y y 1 y y i y n Pour effecuer l'ajusemen linéaire de cee série, procédons par éapes successives : a) changemen de variable Effecuons le calcul des moyennes arihméiques simples des x i e des y i : ce qui donne le poin (m x, m y ). Puis on effecue le changemen de variables : ce qui équivau à un changemen d'axes. La nouvelle série es la collecion (X i, Y i ) : X X 1 X X i X n Y Y 1 Y Y i Y n

83 b) expression de la quanié M M = i (Y i - Y' i ) 2 avec Y' i = AX i + B Y i - Y' i = Y i - AX i - B = (Y i - AX i ) - B (Y i - Y' i ) 2 = (Y i - AX i ) 2-2B(Y i - AX i ) + B 2 d'où M = i (Y i - AX i ) 2-2B( i Y i - A i X i ) + nb 2 Mais i Y i = i (y i - m y ) = i y i - nm y = nm y - nm y = e de même i X i = i (x i - m x ) = i x i - nm x = nm x - nm x = donc M = i (Y i - AX i ) 2 + nb 2 (Y i - AX i ) 2 = Y i 2-2AX i Y i + A 2 X i 2 Ajouons e reranchons à l'expression précédene le erme

84 c) minimisaion de M Il es clair, d'après l'expression précédene, que l'on rendra M le plus pei possible en prenan : On obien alors : Puisque M es une quanié posiive (dans sa définiion, c'es un carré), on remarque que : d) déerminaion de la droie d'ajusemen Dans les nouveaux axes, l'équaion de la droie d'ajusemen es Y = AX

85 Cee droie passe donc par l'origine des nouveaux axes, c'es à dire par le poin don les coordonnées, dans les anciens axes son (m x, m y ). Dans les anciens axes, la droie d'ajusemen a pour équaion générale y = ax + b Or Y = AX enraîne que y - m y = A(x - m x ) ou encore y = Ax + m y - Am x d'où a = A e b = m y - Am x e) relaion praique pour a Exprimons a en foncion des données iniiales (xi, yi). 6 - Exemple d'ajusemen exemple 11 : salaires moyens d'un ouvrier professionnel dans les indusries des méaux de la région parisienne année

86 salaire (F) 1,15 1,82 1,99 2,36 2,83 3,2 3,75 4,4 La répariion des poins suggère que l'ajusemen peu êre fai par une droie d'équaion y = ax + b. Pour déerminer a e b, on uilise une disposiion en ableau comme sui. Il es, par ailleurs, commode de remplacer les années par des nombres plus simples xi. On en ire : m x = 4/8 =,5 m y = 21,5/8 = 2,69 a = [27,2-8x,5x2,69]/[44-8x,25] =,39

87 b = m y - am x = 2,69 -,39x,5 = 2,49 L'équaion de la droie es donc y =,39x + 2,49. Cee équaion exprime approximaivemen la variaion du salaire horaire moyen au cours du emps. Elle perme de faire des inerpolaions : salaire horaire moyen en 1955 :,39x,5 + 2,49 = 2,3 des exrapolaions : salaire horaire moyen en 1966 :,39x5 + 2,49 = 4,44 Exercices exercice 1 Le ableau suivan donne les cours de quelques valeurs allemandes à la Bourse de Paris à la fin de 1965 (colonne x) e le 13 juille 1966 (colonne y).

88 Déerminer la droie d'ajusemen y = f(x) exercice 2 On donne la série saisique x y x y ) Représener graphiquemen cee série 2) Ajuser en uilisan la méhode des moyennes échelonnées en groupan les poins 3 par 3 3) Ajuser les nombres obenus en 2) par ajusemen analyique linéaire exercice 3 Le ourisme en Europe en 1959 es décri dans le ableau suivan : pays Nombre oal de ourises arrivan (en Recee oale (millions de F) :

89 millions) : x y Allemagne 4,9 45 Espagne 4,1 7 France 5,5 4 Ialie 8,6 5 Suisse 4,6 25 1) Représener graphiquemen la recee y en foncion du nombre oal x de ourises. Y a--il des possibiliés d ajusemen linéaire? 2) Calculer la moyenne de x e la moyenne de y 3) Donner l équaion de la droie d ajusemen y = ax + b exercice 4 La direcion commerciale d une enreprise indusrielle a augmené régulièremen ses dépenses publiciaires pendan plusieurs années e voudrai y comparer la progression de son chiffre d affaires. Elle dispose des données suivanes : année Dépenses publiciaires en F : x Chiffre d affaires en milliers de F : y ) Représener graphiquemen y en foncion de x

90 2) Calculer la moyenne de x e la moyenne de y 3) Essayer un ajusemen linéaire y = ax + b 4) En se basan sur le modèle linéaire, quel sera le chiffre d affaires de 1967 si la dépense publiciaire correspondane es 85 F? exercice 5 On relève pour plusieurs années successives le chiffre d affaires naional de vene de parapluies e le nombre de jours de pluie dans l année : nb de jours de pluie : x vene de parapluies : y ) Représener graphiquemen la série saisique 2) Déerminer les moyennes de x e de y 3) Déerminer la droie d ajusemen y = ax + b 4) S il pleuvai ous les jours quelle serai la prédicion de vene de parapluies? exercice 6

91 On relève par région française, pour l année 1999 le chiffre d affaires de vene de caramels e le nombre de personnes s éan fai soigner pour des maux de dens : vene de caramels : x nombre de personnes éan soignées pour des maux de dens : y ) Représener graphiquemen la série ; un ajusemen linéaire paraî-il possible? 2) Déerminer la droie d ajusemen y = ax + b 3) Dans une région donnée le chiffre d affaires annuel de vene de caramels es 3 ; quelle es la prédicion relaive aux personnes se faisan soigner pour des maux de dens? Soluion des exercices exercice 1

92 exercice 2 1) Représenaion graphique

93 2) Méhode des moyennes échelonnées

94 3) Ajusemen analyique linéaire exercice 3

95 La droie y = ax + b (en rouge sur la représenaion graphique) a pour paramères : a = 69,92 e b = -53,35 exercice 4

96 Les paramères de la droie d'ajusemen son a =,38 e b = 7362,18. Pour la valeur x = 85, on obien avec le modèle linéaire : y = 39874,68. exercice 5

97 Pour la valeur x = 365, on obien avec le modèle linéaire y = ,43. exercice 6

98 Les paramères de la droie d'ajusemen son a = 1,8 e b = ,35. Pour la valeur x = 3, on obien y = ,46. Session 2 : Noions sur la corrélaion linéaire 1. Droies de régression Dans la session précédene, on s'es inéressé aux séries saisiques simples. On s'inéresse mainenan aux séries saisiques doubles représenées graphiquemen par des nuages de poins de coordonnées (x,y) où x es une valeur du 1er caracère e y une valeur du second caracère. La recherche de l'influence de x sur y ou de y sur x s'appelle la recherche de la corrélaion enre x e y. La forme du nuage de poins peu renseigner de manière uile sur l'imporance de la corrélaion :

99 La corrélaion linéaire se reconnaî au fai que les poins représenaifs son voisins d'une droie. L'équaion de cee droie peu êre obenue par l'ajusemen linéaire : Cee droie es appelée droie de régression de y en x. Nous la noerons D y/x. On peu aussi faire jouer à x e y des rôles symériques e considérer la droie de régression de x en y : D x/y définie par :

100 Les deux droies de régression son en général disinces. Cependan elles passen oues deux par le "poin moyen" (m x, m y ). Une bonne corrélaion linéaire signifie que les droies de régression son presque confondues. Au conraire, une rès mauvaise corrélaion linéaire correspond à deux droies de régression presque perpendiculaires. 2 - Covariance e coefficien de corrélaion linéaire Nous allons définir, dans ce paragraphe, une quanié numérique permean de mesurer quaniaivemen la corrélaion linéaire. La droie D y/x a pour équaion y = ax + b e son coefficien direceur es a. La droie D x/y a pour équaion x = a'y + b' ou y = x/a' - b'/a' e son coefficien direceur es 1/a'. La corrélaion maximum correspond à la siuaion où les droies D y/x e D x/y son confondues, soi a = 1/a' ou encore aa' = 1 Or La corrélaion maximum correspond donc à :

101 Par définiion, on appelle coefficien de corrélaion linéaire la quanié On écri souven r sous une aure forme que nous allons déerminer e qui fai inervenir les écars-ypes. n représenan le nombre de couples (x i, y i ), la variance de x es la variance de y es on appelle covariance de x e y la quanié Avec ces définiions, on peu écrire Examinons mainenan les propriéés du coefficien de corrélaion linéaire : invariance par ranslaion Transformons x i en x' i = x i + e y i en y' i = y i +. Alors m x es ransformé en m x' = m x + e m y en m y' = m y +. Par suie X i es ransformé en X' i = x' i - m x' = (x i + ) - (m x + ) = x i - m x = X i e Y i es ransformé en Y' i = y' i - m y' = (y i + ) - (m y + ) = y i - m y = Y i En définiive, r es inchangé.

102 invariance par changemen d'échelle Transformons x i en x' i = x i e y i en y' i = y i. Alors m x es ransformé en m x' = m x e m y en m y' = m y. Par suie X i es ransformé en X' i = x' i - m x' = x i - m x = (x i - m x ) = X i e Y i es ransformé en Y' i = y' i - m y' = y i - bm y = (y i - m y ) = Y i r es donc changé en En définiive r es inchangé. domaine de variaion de r D'après l'inégalié de Schwarz : d'où donc Terminons ce paragraphe par une mise en garde. La corrélaion a une inerpréaion rès délicae. En général, elle correspond à une relaion cause-effe mais il fau faire rès aenion. En effe : a) de x e y, on ne peu savoir (sauf si c'es éviden) qui es la cause e qui es l'effe. b) x e y peuven êre en relaion avec un roisième phénomène ; par exemple, on pourra rouver une bonne corrélaion enre le chiffre de vene de lunees de soleil e le chiffre de vene de crème glacée ; le roisième phénomène es évidemmen la empéraure.

103 c) Il peu y avoir des corrélaions accidenelles. On a pu moner, par exemple, une corrélaion imporane dans les cas suivans : moralié briannique e populaion des mariages anglicans ; nombre d'abonnés au éléphone dans le déparemen de la Seine e nombre d'éudians inscris à la Faculé de Droi de Paris ; aux de nupialié e acivié économique Il fau donc adoper une aiude prudene. 3 - Corrélaion linéaire muliple Le cas éudié précédemmen éai limié à la corrélaion de deux variables. Examinons mainenan la corrélaion enre plus de deux variables ; supposons que nous ayons une variable X() e que nous voulons l'"expliquer" à parir de k variables X(1), X(2),..., X(k) par une loi linéaire : X() = + k k X(k) Les paramères k son, a priori inconnus, son les coefficiens de sauraion. X() es la variable à expliquer e X(k) pour k = 1,N son les variables explicaives. Pour simplifier l'exposé, on admera que l'on a effecué n observaions ce qui a condui à n valeurs X i (k) pour chaque variable X(k). On affecera chacune de ces valeurs d'un poids saisique de 1 de sore que les définiions usuelles s'écriven : moyennes : m X(k) =( i X i (k))/n variances : v(x(k)) = ( i (X i (k) - m X(k) )2 covariances : cov(x(k), X(l)) = [ i (X i (k) - m X(k) )(X i (l) - m X(l) ) On définira l'écar enre l'expérience e le modèle par

104 définiion conforme à ce que l'on a déjà vu. Pour minimiser E e donc rouver les coefficiens k, on écrira que les dérivées parielles de E par rappor aux coefficiens k son nulles : ce qui condui aux équaions suivanes : La première de ces équaions donne n = i X i () - i k k X i (k) ou n = nm X() - n k k m X(k) soi = m X() - k k m X(k) La seconde équaion s'écri alors i X i (l) + i X i (l) k k X i (k) - i X i (l)x i () = n m X(l) + k k i X i (l)x i (k) - i X i (l)x i () = nm X() m X(l) - n k k m X(l) m X(k) + k k i X i (l)x i (k) - i X i (l)x i () = Pour facilier l'écriure posons V kl = cov(x(k), X(l)) =( i X i (k)x i (l))/n - m X(k) m X(l) d'où k k V kl = V l

105 ou mariciellemen M es appelée marice des covariances. Pour résoudre ce sysème, il fau calculer la marice inverse M -1 : B = M - 1 V relaion qui fourni les coefficiens de sauraion k pour k = 1, N. On es amené à poser, pour mesurer la corrélaion globale Ce coefficien es quelquefois appelé coefficien de corrélaion muliple (mais d'aures définiions exisen). 4 - Exemples de recherche de corrélaion exemple1 On donne les deux séries chronologiques suivanes, relaives à la Grande Breagne : années Récepeurs de radio en service (en cenaines Nombre de maladies menales déclarées

106 de milliers) : x (pour 1 habians) : y Recherchons s'il y a une corrélaion enre x e y. Calculons ou d'abord le coefficien de corrélaion.

107 Le coefficien de corrélaion es r =,99. Il es donc rès élevé ce qui indique une fore corrélaion enre x e y. Les droies de régression, qui figuren ci-dessous (Dy/x en rouge e Dx/y en jaune) on pour équaions : Dy/x : y =,22x + 4,55 Dx/y : x = 4,44y - 19,48

108 Bien enendu, la corrélaion observée ne perme pas de dire si la radio rend fou ou si seulemen les fous uilisen la radio! exemple 2 Le bassin versan du Danube hongrois se siue en Bavière e en Auriche. Si par là, la quanié de condensaions amosphériques devien élevée, une vague de crue se produi ou au long du Danube don le plafond à Budapes on veu prédire. Le problème nécessie une

109 approche mahémaique assez complexe mais pour le momen nous nous conenons de présener une illusraion bien simplifiée sur la régression à plusieurs variables. On inrodui les rois variables suivanes : X() le plafond du Danube à Budapes. On ne considère que les cas les plus imporans. X(1) la quanié de condensaions amosphériques dans le bassin versan du Danube hongrois. La moyenne mahémaique des données mesuré par 15 saion d observaion en Bavière e en Auriche. X(2) le niveau du Danube à Budapes juse avan les grandes eaux causan des vagues de crue. Le ableau suivan donne les rois données de 26 vagues de crue du Danube à Budapes. Numéro d ordre emps X() (cm) X(1) (mm) X(2) (cm)

110 On ene d'expliquer X() en foncion de X(1) e X(2) suivan le modèle linéaire : Calculons la marice M e le veceur V : X() = + 1 X(1) + 2 X(2) Le modèle linéaire donne X() = 274,89 + 2,35X(1) +,44X(2). Les valeurs héoriques son données ci-dessus. On peu, avec le graphique suivan comparer le modèle à la réalié :

111 Exercices exercice 1

112 On donne le ableau à double enrée relaif à l'éude de la série double suivane : voiures de peies cylindrées circulan dans Paris classées sous les deux caracères suivans : puissance de la voiure e durée moyenne des pneumaiques. x désigne la puissance en CV, y désigne la durée des pneumaiques en milliers de kilomères. y\x oal oal ) Représener graphiquemen cee série par un nuage de poins 2) Calculer l'équaion des deux droies de régression e le coefficien de corrélaion. 3) Consruire les droies de régression sur le graphique représenaif de la série exercice 2 On donne le ableau à double enrée relaif à l'éude de la série double suivane : individus classés en pourcenage sous les deux caracères poids e aille. x désigne le poids en kilogrammes e y désigne la aille en cenimères. y\x 4 à à 5 5 à à 6 15 à à à

113 à On demande 1) de représener graphiquemen cee série par un nuage de poins. 2) de calculer l'équaion des deux droies de régression 3) de calculer le coefficien de corrélaion 4) de consruire les droies de régression sur le graphique précéden exercice 3 Dans les "Tableaux de l'économie française", l'insee a publié, en 1968, la répariion en pourcenages de la populaion acive de quelques pays dans les seceurs primaire, secondaire e eriaire : pays Allemagne de l'oues primaire secondaire eriaire USA France Grande Breagne Ialie URSS

114 On ene de rouver un modèle visan à exprimer linéairemen le seceur eriaire en foncion du seceur primaire e du seceur secondaire (en nombre d'acifs). Proposer un modèle e donner vos conclusions. exercice 4 Une enreprise commerciale consacre une ceraine somme à des opéraions publiciaires au débu de chaque mois. Dans le ableau ci-dessous son récapiulés pour l'année 1956 les sommes consacrées à ces opéraions, les monans des venes. mois venes (en milliers de francs) frais de publicié (en milliers de francs) janvier février 42 3 mars 42 3 avril mai 4 32 juin juille 35 2 aoû sepembre 38 3 ocobre 4 32 novembre décembre oal Eudier la corrélaion enre la publicié e le monan des venes

115 exercice 5 Considérons, pour l'année 1954 : d'une par, les variaions de l'indice de producion indusrielle française d'aure par, la nombre de chômeurs secourus en France mois indices de la producion indusrielle (base 1 en 1938) : x Nombre de chômeurs secourus (en milliers) : y janvier février mars avril mai juin juille aoû sepembre ocobre novembre décembre Représener graphiquemen ces variaions ; Calculer le coefficien de corrélaion enre x e y ; Tracer les droies de régression.

116 Soluion des exercices exercice 1 A parir des données de l'énoncé, on peu dresser le ableau suivan. On prendra aenion au fai que les moyennes calculées son pondérées. On en ire les valeurs suivanes : Le schéma ci-dessous donne une représenaion graphique (la grosseur des poins es proporionnelle à leur poids saisique) :

117 exercice 2

118

119 exercice 3

120 Le modèle obenu es praiquemen parfai : X() = 1 -X(1) - X(2) exercice 4

121 exercice 5

122

123 Session 3 : Séries chronologiques 1. Généraliés Une série chronologique es une série saisique qui présene les variaions d'une ceraine grandeur avec le emps. Dans la praique, les séries chronologiques concernen principalemen l'éude des phénomènes économiques. Par exemple, au cours de cee session, on prendra comme exemple illusraif, la série chronologique présenan les variaions des demandes d'emploi de 1973 à 1978 en France (exprimées en milliers) d'après Le Monde du 24 avril Anné es janvi er févri er mar s avri l mai juin juill e aoû sepem bre ocob re novemb re décem bre La variaion, au cours du emps, d'un phénomène économique résule de 4 composanes fondamenales : le mouvemen de longue durée ou de endance générale (rend) le mouvemen saisonnier les variaions accidenelles (grèves, sécheresse, inondaions,.guerres,...) le mouvemen cyclique résulan de la périodicié des époques de prospérié ou de crise (ce aspec es évidemmen rès conroversé par les économises).

124 L'éude de la série chronologique consise à séparer e idenifier ces diverses composanes. On se bornera dans cee session à éudier seulemen le rend e le mouvemen saisonnier (mensuel dans l'exemple choisi). 2. Eude de la endance générale La endance générale s'obien par ajusemen soi par la méhode des moyennes échelonnées ou la méhode des moyennes mobiles soi par ajusemen analyique Dans l'exemple choisi, nous pouvons uiliser ou d'abord la méhode des moyennes échelonnées en effecuan les moyennes de chaque année : anné es moyenn es , , , , , ,17 La représenaion graphique es donnée ci-dessus. Elle suggère un ajusemen linéaire par la méhode des moindres carrés. Pour effecuer celle-ci plus commodémen, on effecuera le choix de variable suivan : novembre 1975 x = -3 décembre 1975 x = -1 janvier 1976 x = 1

125 février 1976 x = 3 mars 1976 x = ce qui a l'avanage de conduire à une moyenne m x = e par suie X i = x i - m x = x i Du ableau précéden on dédui : m y = 5885 / 72 = 816,73 a = / = 6,81 b = 816,73-6,81 x = 816,73 L'équaion de la droie d'ajusemen qui représene la endance générale es donc y = 6,81 x + 816,73

126 3. Eude des variaions saisonnières Pour éudier les variaions saisonnières d'un phénomène, on uilise rois méhodes principales que l'on appliquera successivemen à l'exemple éudié. a) procédé des moyennes mensuelles Calculons les moyennes mensuelles relaives à chacun des mois de l'année, puis la moyenne annuelle (moyenne des moyennes mensuelles). On en dédui le coefficien saisonnier :

127 La période globale es ici l'année e la saison es le mois. mois janv ier févr ier mar s avril mai juin juill e aoû sepe mbre oco bre novem bre décem bre moyenn e mensue lle 81, , , 5 749,17 723, , 67 74, , ,67 945, , ,3 3 coeffic ien saisonn ier,99,97,94,9 2,89,8 7,91,9 4 1,8 1,16 1,17 1,17 On obien ensuie les données corrigées ou données désaisonnalisées en divisan les données brues par le coefficien saisonnier correspondan. Les données corrigées pour l'année 1978 son alors : 1978 janvi er févri er ma rs avr il mai jui n juill e aoû sepem bre ocob re novem bre décem bre donnée s corrigé es L'avanage de cee méhode es sa simplicié. Elle a cependan l'inconvénien de ne pas enir compe du mouvemen de longue durée, supposé saionnaire, ce qui n'es pas nécessairemen le cas. b) procédé des chaînes de rappors On calcule les rappors y i /y i-1, soi, dans l'exemple éudié :

128 On obien le ableau suivan : J/D - 1 F/J M/F A/M M'/A J'/M' J"/J' A/J" S/A O/S N/O D/N 1,8 1,22 1,18 1,8 1,6 1,19 1,1 rappors supérieurs à 1 1,6 1,5 1,14 1,8 1,6 1,3 1,13 1,7 1,11 1,6 1,5 1,3 1,12 1,5 1,2 1,4 1,3 1,1 1,4 1,2 1,11 1,3 1,2 1, ,1 1 1,11,99,99,98,99,99,99,99,98,98,98,98,98,98,98,98,97,97 rappors inférieurs à 1,97,98,97,98,96,96,97,95,94,95,95,95,95,94,95,93 moyenne 1,1,98,97,97?6,98 1,5 1,5 1,15 1,9 1,2 1,1 Dans ce ableau, les rappors son rangés par valeurs décroissanes ce qui perme de mere en évidence le phénomène saisonnier. On effecue ensuie la moyenne de ces rappors (on peu aussi en prendre la médiane). On modifie ensuie ces résulas en les rapporan à janvier comme sui :

129 On ferme cee chaîne de rappors en calculan : Si le mouvemen de longue durée éai saionnaire, on rouverai 1 à ce dernier calcul. Pour éliminer l'influence du mouvemen de longue durée, on muliplie chaque moyenne par k de façon à obenir 1 au dernier calcul. On aura donc : k 12 = 1/1,25, soi k =, On obien ainsi les coefficiens corrigés : F/J =,98 x,98158 =,96 M/J =,95 x (,8158) 2 =,92 A/J =,92 x (,98158) 3 =,87 M'/J =,89 x (,98158) 4 =,83 J'/J =,87 x (,98158) 5 =,79 J""/J =,91 x (,98158) 6 =,81 A/J =,96 x (,98158) 7 =,84 S/J = 1,1 x (,98158) 8 =,95 O/J = 1,2 x (,98158) 9 = 1,2 N/J = 1,22 x (,98158) 1 = 1,1 D/J = 1,24 x (,98158) 11 = 1,1 J/J = 1

130 On ermine alors le calcul des coefficiens saisonniers en ramenan à la base 1 la moyenne des coefficiens précédens (qui es,92). On aura alors : coefficien de janvier : 1/,92 = 1,9 coefficien de février :,96/,92 = 1,4 ec... Finalemen les coefficiens saisonniers son : J F M A M' J' J" A S O N D 1,9 1,4 1,95,9,86,88,91 1,3 1,11 1,1 1,1 c) procédé des rappors à la endance générale Nous considérons que la endance générale es définie par la droie d'ajusemen d'équaion y = 6,81 x + 816,73. Pour obenir les coefficiens saisonniers, on effecue le rappor de chaque valeur à la endance générale e on calcule les moyennes mensuelles ce qui condui aux coefficiens saisonniers. J F M A M' J' J" A S O N D end ance géné rale rapp or end ance géné rale rapp or 333, , 84 36, , 8 987, 7 41, , , , , 8 469, , 4 1,26 1,15 1,5,96,88,82,84,84,93,99,98,96 496, 66 51, , 9 537, , , , , 65, , , 86,93,89,84,78,71,66,69,73,87 1 1,9 1,11 646, end ance géné rale 66, 1 673, , 34 7, , , 2 741, , , 6 782, , 3 89, 92

131 rapp or end ance géné rale rapp or end ance géné rale rapp or end ance géné rale rapp or 1,15 1,14 1,1 1,8 1,4 1,2 1,4 1,6 1,24 1,31 1,29 1,27 823, , 16 85, , 4 878, 2 891, 64 95, , , 5 946, , , 36 1,24 1,16 1,9 1,4,97,91,89,93 1,2 1,8 1,8 1,7 986, 98 1,6 114,22 127,84 141,46 155,8 168,7 182,32 195,94 119, , ,8 1,9 1,5 1,1,97,94,92,95,96 1,7 1,9 1,5 1,1 115, ,4 1177, , ,9 1218, , , , , 1286,62 13,24,98,94,91,89,86,85,89,92 1,2 1,6 1,3 1,2 coefficien s saisonnier s 1,11 1,6 1,,95,9,86,88,91 1,3 1,9 1,9 1,7 Exercices exercice 1 Une enreprise de ranspors voudrai éudier le kilomérage parcouru par ses véhicules. Elle dispose des données suivanes (en milliers de km) :

132 années 1er rimesre 2ème rimesre 3ème rimesre 4ème rimesre ) Consruire la représenaion graphique de cee série 2) Déerminer la endance générale par la méhode des moyennes échelonnées 3) Calculer les coefficiens saisonniers par la méhode des chaînes de rappors. exercice 2 Les heures d'ensoleillemen mensuel à la saion mééorologique de Monpellier duran les années 1962,1963, 1964 son les suivanes : anné es janvi er févri er mar s avr il ma i jui n juill e aoû sepemb re ocob re novemb re décemb re ) Déerminer les coefficiens saisonniers d'ensoleillemen en uilisan le procédé des moyennes mensuelles 2) Tracer la droie de longue durée

133 3) Déerminer les coefficiens saisonniers par la méhode des rappors à la endance générale exercice 3 On donne le ableau suivan donnan de 191 à 1913 la producion de fone (en milliers de onnes) : années produci on de fone Déerminer la endance de longue durée par la méhode des moyennes mobiles. On pourra découper la série en périodes de 5 ans. Faire une représenaion graphique des données brues e des données corrigées. exercice 4 Rendemen d'une culure C dans un plan P, de 1926 à 194 (en quinaux par hecare) années rendem en 76, 2 117,1 76, 5 115,5 97, 4 114, 116,7 17,6 118,1 11,4 17,3 15,8 121,5 112,7 118, 1) Déerminer la endance générale 2) On découpe la série en périodes de 5 ans. Déerminer les coefficiens saisonniers.

134 Soluion des exercices exercice 1 1) représenaion graphique 2) les moyennes annuelles son 1962 : : 275, : : 3,75 3) rappors rappors I/IV II/I III/II IV/III 1,25 1,19 1,6 1,17 1,6 1,13 1,43 1,5 1,11,99,84,66,84

135 ,82,8 moyenne 1,3 1,11 1,15,82 II/I = 1,11 III/I = (III/II)(II/I) = 1,28 IV/I = (IV/III)(III/I) = 1,5 I/I = (IV/I)(I/IV) = 1,8 On muliplie chacune des moyennes précédenes par un nombre k de façon que I/I = 1, soi k 4 = 1/1,8 d'où k =, Les rappors corrigés son alors : II/I = 1,11x, = 1,9 III/I = 1,28x(,981368) 2 = 1,23 IV/I = 1,5x(,981368) 3 =,99 I/I = 1,8x(,981368) 4 = 1 La moyenne des rappors corrigés es 1,775. Les coefficiens saisonniers son donc : C I = 1/1,775 =,93 C II = 1,9/1,775 = 1,1 C III = 1,23/1,775 = 1,14 C IV =,99/1,775 =,92 exercice 2 1) la moyenne annuelle es m y = 225,75 2) ajusemen analyique

136 Du ableau ci-conre, on ire a = -61/1554 = -,39 b = 225,75 +,39x = 225,75 L'équaion de la droie d'ajusemen es donc y = -,39 x + 225,75

137 3) Les coefficiens saisonniers son obenus par moyenne mensuelle des rappors HM/HP. mois J F M A M' J' J" A' S O N D rappors HM/HP coefficiens saisonniers,66,67,83 1,11 1,22 1,49 1,64 1,54 1,6,85,61,59,6,67,77 1,4 1,46 1,21 1,56 1,2,83 1,2,47,48,63,67,84 1,1 1,4 1,54 1,6 1,52,99,98,74,47,63,67,81 1,5 1,36 1,41 1,6 1,42,96,95,61,51 Session 1 : Rappels de probabiliés. Probabiliés niveau 1

138 Avan-propos Les lignes qui suiven son sans préenion. Elles ne visen pas à consiuer un cours de probabilié exhausif e rigoureux (surou au plan mahémaique). Nore objecif es ou aure e se veu esseniellemen uiliaire. C es pour cee raison que l appel à l inuiion es souven évoqué avec " masquage " plus ou moins réussi de noions mahémaiques complexes qui ne feraien qu alourdir l exposé sans apporer de vériables ouils pour le calcul effecif e concre des probabiliés don nous ferons un usage imporan mais à un niveau, somme oue, élémenaire dans la suie du cours. Le leceur, suivan la formule consacrée, es renvoyé à des ouvrages de base pour un approfondissemen plus imporan. Evénemens e probabilié On considère un ensemble non vide E don les élémens son quelconques. Les paries de E son les ensembles que l on peu former à parir des élémens de E. exemple 1 : E = {a,b,c,d} a, b, c, d son les élémens de E {a,b}, {c,d}, {a,b,c}, {b},e, F ={} son des paries de E Toues les paries de E son : Parie à élémen : ={} Paries à 1 élémen : {a}, {b}, {c}, {d} Paries à 2 élémens : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d} Paries à 3 élémens : {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d} Parie à 4 élémens : E = {a,b,c,d} Il y a donc 16 paries pour E L ensemble des paries d un ensemble E es noé P(E). On noera que le nombre d élémens de P (E) es 2 n si E possède n élémens. exemple 2 : en reprenan l exemple précéden, on a clairemen :

139 P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, E} e on consae bien que 16 = 2 4. Appelons mainenan événemens les élémens de P(E) e définissons une applicaion p de P(E) dans R (ensemble des nombres réels) saisfaisan les axiomes suivans : Axiome1 : A P(E) p(a) >= Axiome 2 : p(e) = 1 Axiome 3 : si AB= alors p(ab)=p(a)+p(b) Cee applicaion es appelée une probabilié sur P(E). Un peu de vocabulaire : E es l événemen cerain. es l événemen impossible. {a}, {b}, {c}, {d} son des événemens élémenaires (on ne peu pas les fabriquer à parir d élémens plus simples). Si AB=, on di que A e B son des événemens incompaibles. Si A* es le complémenaire de A, alors on di que A e A* son conraires. exemple 3 : reprenons l exemple précéden (renabilisé). {a} e {b,c,d} son conraires, de même que E e ou encore que {a,b} e {c,d}. {a} e {b,c} son incompaibles, de même que {a} e {c} ou encore que {a,b} e {c,d} On noera d ailleurs que des événemens conraires son incompaibles, mais que l inverse n es pas vrai : {a} e {b,c,d} son conraires donc incompaibles, mais {a} e {b,c} son incompaibles mais non conraires. exemple 4 : Désignons par {x} le irage d une care x dans un jeu de cares. Les élémens de E son {as de cœur},{vale de carreau}, {6 de rèfle}, ec L événemen " irer un cœur " es défini par exemple par {cœur} = {as de cœur} {2 de cœur}{3 de cœur}.{1 de cœur}{vale de cœur}{dame de cœur}{roi de cœur} = {{as de cœur},{2 de cœur},{3 de cœur},.,{1 de cœur),{vale de cœur},{dame de cœur},{roi de cœur}} e es une parie de E. " Tirer un cœur " e " irer un rèfle " son deux événemens incompaibles car {cœur}{rèfle}=. " Tirer un cœur " e " irer un rèfle ou un carreau ou un pique " son des événemens conraires car {cœur}*={rèfle}{carreau}{pique}

140 Propriéés des probabiliés Des axiomes de définiion, on peu assez aisémen irer les conséquences suivanes (que nous ne démonrons pas) Prop 1 : si A B alors p(a)<p(b) Prop 2 : p(a)1 A P(E) Prop 3 : p(a*) = 1 p(a) A P(E) Prop 4 : p( ) = Prop 5 : p(ab) = p(a) + p(b) p(ab) exemple 5 : Reprenons l exemple 4. Comme {cœur }, {rèfle}, {carreau} e {pique} son disjoins deux à deux, on a : p(irer un cœur)=p({cœur})=1 p({rèfle}{carreau}{pique})=1 p({rèfle}) p({carreau}) p({pique}) p(irer une care quelconque) = 1 p(irer un cœur ou un 1) = p({cœur})+p({1})-p({1}{cœur}) mais p({cœur})=p({as de cœur}{2 de cœur}{3 de cœur}.{1 de cœur}{vale de cœur}{dame de cœur}{roi de cœur})=p({as de cœur})+p({2 de cœur})+p({3 de cœur})+.+p({1 de cœur}) +p({vale de cœur})+p({dame de cœur})+p({roi de cœur}) e p({1})=p({1 de cœur}{1 de rèfle}{1 de carreau}{1 de pique})=p({1 de cœur})+p({1 de rèfle})+p({1 de carreau})+p({1 de pique}) de sore que p(irer un cœur ou un 1)= p({as de cœur})+p({2 de cœur})+p({3 de cœur})+. +p({vale de cœur})+p({dame de cœur})+p({roi de cœur}) +p({1 de cœur})+p({1 de rèfle})+p({1 de carreau})+p({1 de pique}) Probabilisaion

141 Les définiions précédenes donnen la significaion d une probabilié mais elles ne donnen pas le moyen de définir concrèemen une probabilié. En général, la noion d équiprobabilié es d une aide ceraine. Des événemens élémenaires son considérés comme équiprobables s ils on des probabiliés égales. exemple 6 : Je d un dé ; le dé n éan pas considéré comme pipé, on admera que : p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) exemple 7 : irage d une care ; les cares éan physiquemen ideniques, on a : p({6 de rèfle})=p({3 de carreau})=p({vale de cœur})=p({dame de pique}) Dans le cas d événemens élémenaires équiprobables, X i, X j événemens élémenaires, p(x i )=p(x j ) De sore que p(x 1 )+p(x 2 )+ +p(x n )=p(x 1 X 2.X n )=p(e)=1 d où p(x i ) = 1/n On en dédui que A P(E), A = X 1 X 2 X k (puisque les X i son élémenaires) Donc p(a) = p(x 1 ) + p(x 2 ) +..+ p(x k ) = k/n Cee relaion, dans le langage couran, s exprime ainsi : La probabilié d un événemen es le rappor du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles. L exemple suivan illusre cee dénominaion (rès usuelle). exemple 8 : Je d un dé. Les événemens élémenaires son équiprobables p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) = 1/6 par suie la probabilié d obenir un chiffre impair es

142 p({impair})=p({1})+p({3})+p({5}) = 3/6 = ½ =,5 exemple 9 : Jeu de cares ; irage de cares ; ous les irages de cares individuelles son équiprobables ( pour un bon jeu de cares). Donc p({cœur})=13xp({care quelconque}) = 13x(1/52) =¼ Une conséquence imporane du schéma équiprobabilise es que la somme des probabiliés relaives à une expérience es 1. En effe, soi A, B,. les événemens incompaibles, résulas de l expérience e soi n(a), n(b), leurs nombres de cas favorables (pas de double compage). Alors, en posan n(a) + n(b) +..= n on a p(a) + p(b) +.. = n(a)/n + n(b)/n + = n/n = 1 L applicaion du principe de base de l équiprobabilié pour les événemens élémenaires se fai, en fai de deux manières. 1) par dénombremen des cas possibles e des cas favorables. On uilise les formules combinaoires suivanes : Nombre de combinaisons : C p n = n!/(p!(n-p)!) Nombre d arrangemens : A p n = n!/(n-p)! Nombre de permuaions : P n = n! Une combinaison d ordre p sur un ensemble E de cardinal n es une parie de E comporan p élémens (pris parmi les n évidemmen e sans répéiion). Un arrangemen es un assemblage de p élémens pris parmi n élémens (sans répéiion) dans un ordre donné. Une permuaion d ordre n es un arrangemen des n élémens. exemple 1 : iercé ; 2 chevaux au dépar d une course. Combien de iercés différens dans l ordre peu-on faire? Réponse : A 2 3 = 2!/(17!) = 684. Combien de iercés différens dans le désordre peu-on faire? Réponse : C 2 3 = 2!/(17!3!) = 114. Ces formules permeen un dénombremen (des cas favorables dans le cas de l exemple 1). exemple 11 : en supposan ous les chevaux de même niveau (supposiion hardie), la

143 probabilié de oucher le iercé dans l ordre se calcule comme sui : Nombre de cas favorables : 1 arrangemen Nombre de cas possibles : 684 arrangemens Probabilié : 1/684 =,146. E pour le iercé dans le désordre : Nombre de cas favorables : 1 combinaison Nombre de cas possibles : 114 combinaisons Probabilié : 1/114 =,877. exemple 12 : Une urne conien 5 boules ideniques sauf la couleur : E ={a,b,c,d,e} où a,b,c son des boules rouges e c,d des boules veres. Le irage d'une boule rouge correspond à l'événemen R = {a,b,c} e le irage d'une boule vere à l'événemen V = {c,d}. En admean que p({a})=p({b})=...=p({d}), on a p(r)=3/5 e p(v)=2/5 e on consae, bien sûr, que p(r) +p(v) =1 2) Pour des éudes de cas plus complexes, le dénombremen es impossible e on uilise alors à la fois la saisique e la loi des grands nombres qui di (en simplifian) que si le nombre d individus esés es assez grand alors on peu confondre la fréquence saisique e la probabilié. exemple 13 : On consae que d'après un sondage effecué sur 2 de français, le pourcenage de ceux-ci qui on un nez supérieur à 6 cm es de 34%. On en dédui une valeur approximaive de la probabilié pour qu un français ai un nez supérieur à 6 cm : p=.34. exemple 14 : Dans une usine, sur 12 pièces mécaniques, on consae que 6 son défecueuses. On en dédui, par exension, que la probabilié d avoir une pièce défecueuse es p=6/12 =,5.

144 Probabiliés composées Ean donné un ensemble E e l'ensemble des événemens P(E), soi A,BP(E) e supposons que p(a) soi non nul. Posons p A (B)=p(AB)/p(A) On défini ainsi une nouvelle probabilié e l'on peu en effe vérifier que p A saisfai les axiomes 1,2,3 de la définiion d'une probabilié. On l'appelle probabilié condiionnée par A. On peu ré-écrire l'expression ci-dessus comme p(ab) = p(a).p A (B) ce qui exprime l'idée suivane : pour avoir simulanémen A e B (événemen AB), il fau d'abord avoir A (probabilié p(a)), puis B sachan que A es déjà réalisé, ce qui peu changer le conexe de calcul (p A (B)). Les probabiliés se muliplien donc ainsi. Noons que de l'on a aussi p(ab) = p(b).p B (A) exemple 15 : Reprenons l'exemple de l'urne avec des boules rouges e des boules veres de l'exemple 12. Supposons que l'on ire une boule (que l'on ne reme pas dans l'urne) puis une seconde. Quelle es la probabilié de irer deux boules rouges? Appliquons la relaion précédene : p(2 boules rouges) = p(r).p R (R) = (3/5).(2/4) =,3 Supposons mainenan que l'on effecue le même ype de irage, mais en remean à chaque éape la boule irée dans l'urne. p(2 boules rouges) =p(r).p R (R) = (3/5).(3/5) =9/25 =,36 exemple 16 : Des éudes sur les accidens, on ire les résulas suivans : la probabilié d'avoir un acciden si le conduceur es sobre es,1 ; soi p sobre (acciden)=,1 la probabilié d'avoir un acciden si le conduceur es ivre es,2 ; soi p ivre (acciden)=,2 la probabilié d'avoir un conduceur ivre es,1; soi p(ivre)=,1. Quelle es la probabilié d'avoir un acciden avec un conduceur ivre, soi p(accidenivre)

145 ? Réponse : p(accidenivre) = p(ivre).p ivre (acciden) =,1.,2 =,2 Quelle es la probabilié d'avoir un conduceur ivre si il y a acciden, soi p acciden (ivre)? Réponse : p acciden (ivre) = p(accidenivre)/p(acciden). Pour rouver la probabilié p(acciden) il fau racer un arbre des cas. En fai 4 cas son à considérer : ivre acciden ivre pas d'acciden sobre acciden sobre pas d'acciden oues les probabiliés son calculées avec les règles précédenes : A parir des résulas sur les feuilles de l'arbre précéden, on peu consruire un second arbre de racine "occurrence d'acciden" : Par déducion, on obien la probabilié cherchée. On définira l'indépendance de deux événemens par la relaion suivane :

146 A e B son indépendans si e seulemen si p A (B) = p(b). On a dans ce cas p(ab) = p(b).p(a) (comme dans le cas de la seconde parie de l'exemple 15). Tess Exercice 1 Dans une salle qui ien 4 personnes (4 rangs de 1) e où je suis placé au hasard, a) quelle chance ai-je d'êre au premier rang? b) d'êre au 1er rang à la première place à droie? NB : on suppose que j'ai auan de chances d'êre placé à une place pluô qu'à une aure. Exercice 2 Dans un jeu de 32 cares, on ire au hasard 2 cares. Quelle es la probabilié pour que parmi ces 2 cares a) figure le 7 de carreau? b) ne figure aucun 7? c) figure au moins un 7? Exercice 3

147 Un sac conien 1 jeons numéroés de 1 à 1. On en ire 3 au hasard simulanémen. Quelle es la probabilié pour que, parmi les rois nombres obenus, on ai a) 3 muliples de 3 b) exacemen 2 muliples de 3 c) exacemen 1 muliple de 3 d) aucun muliple de 3 e) au moins 1 muliple de 3 f) au moins 2 muliples de 3 Exercice 4 Un bassin conien 3 poissons : 5 carpes, 1 anches, 15 gardons. On pêche 4 poissons d'un coup de file. Calculer les probabiliés des événemens suivans : a) les quare poissons son ous des gardons b) aucun des quare poissons n'es un gardon c) il y a au moins 1 gardon dans le file d) le file conien 1 carpe, 1 anche, 2 gardons e) parmi les quare poissons, il y a au moins 2 carpes. Exercice 5

148 Un sac conien 2 champignons don 12 son comesibles e 8 vénéneux ; parmi ces derniers, 3 son morels. On ire au hasard e simulanémen 5 champignons du sac. Chaque champignon ayan la même probabilié d'êre iré du sac, quelle es la probabilié pour que a) ous les champignons irés soien comesibles b) l'on ai iré au moins un champignon morel c) l'on ai iré 3 champignons comesibles e 2 champignons vénéneux. Exercice 6 Trois messieurs, appelés A, B, C enren au resauran e déposen leurs chapeaux, noés a, b, c au vesiaire. Lorsqu'ils soren, chacun des messieurs reprend l'un des 3 chapeaux sans vérifier si c'es le sien. a) combien y a--il de répariions possibles des 3 chapeaux enre les 3 messieurs b) on suppose que chacune de ces répariions a la même probabilié de survenir. Quelle es la probabilié pour que : p1 : aucun des messieurs n'ai son propre chapeau p2 : un seul ai son propre chapeau p3 : deux aien leurs propres chapeaux p4 : les rois aien leurs propres chapeaux Addiionner p1, p2 e P3 e expliquer le résula rouvé. Soluion de l'exercice 1 a) Il y a 4 places e 1 son convoiées. La probabilié es donc p1 = 1/4 =,25 b) Il y a 4 places e une seule es convoiée. La probabilié es donc p2 = 1/4 =,25

149 Soluion de l'exercice 2 le nombre de cas possibles es C 32 2 = 496 a) n(a) = 31 d'où p(a) =,625 b) n(a) = C 28 2 = 378 d'où p(a) =,762 c) n(a) = C 4 1.C C 4 2 = 118 d'où p(a) =,238 = 1 -,762 Soluion de l'exercice 3 le nombre de cas possibles es N = C13 = 12 a) n(a) = 1 donc p(a) = 1/12 b) n(b) = C = 21 donc p(b) = 7/4 c) n(c) = 3.C 7 2 = 63 donc p(c) = 21/4 d) n(d) = C 7 3 = 35 donc p(d) = 7/24 A noer que p(d) = 1 - p(a) - p(b) - p(c) e) p(e) = p(a) + p(b) + p(c) = 17/24 ou bien p(e) = 1 - p(d) = 17/24 f) p(f) = p(a) + p(b) = 11/6 Soluion de l'exercice 4

150 Le nombre de cas possibles es N = C 3 4 = a) n(a) = C 15 4 = donc p(a) =,5 b) p(b) =,5 c) p(c) = 1 - p(b) =,95 d) n(d) = 5.1.C 15 2 = 5 25 donc p(d) =,19 e) Si on noe (xc) l'événemen où on a iré x carpes, on peu noer que (C) e (1C) son des événemens incompaibles : (C)U(1C) es l'événemen conraire de (2C)U(3C)U(4C). p(x>= 2) = 1 - p(c) - p(1c) = 1 - n(c)/n - n(1c)/n n(c) = C 25 4 = n(1c) = C 5 1.C 25 3 = 11 5 donc p(x >= 2) =,119 Soluion de l'exercice 5 a) p(a) = C 12 5 / C 2 5 =,51 b) p(b) = [3.C C 3 2.C C 3 3.C 17 2 ]/C 2 5 =,6 c) p(c) = C 12 3.C 8 2 /C 2 5 =,397 Soluion de l'exercice 6 a) le nombre de possibiliés es égal au nombre de permuaions : 3! = 6 b) les cas favorables son (A-->c, B-->a, C-->b) e (A-->b, B-->c, C-->a) soi 2 cas d'où p1 = 1/3

151 les cas favorables son (A-->a, B-->c, C-->b), (A-->c, B-->b, C-->a) e (A-->b, B-->a, C-- >c) soi 3 cas d'où p2 = 1/2 il n'y a qu'un cas favorable (A-->a, B-->b, C-->c) d'où p3 = 1/6 Si deux messieurs on leur chapeau, le 3ème a forcémen le sien, donc p4 = p3 p1 + p2 = P3 = 1 ce qui es normal puisque ous les cas possibles on éé envisagés. Session 2 : Rappels de probabiliés. Probabiliés niveau 2 Variables aléaoires Dans une expérience, on peu l'invenaire des résulas, c'es à dire des événemens possibles : A, B, C,...K. A ces événemens, on peu faire correspondre les valeurs d'une variable X : pour l'événemen A,X = 1 pour l'événemen B, X = 2 pour l'événemen C, X = 3... pour l'événemen K, X = n Une elle variable, associée à un ensemble d'événemens possibles, es appelée une variable aléaoire. La définiion, pour oue valeur de X, de la probabilié correspondane es une loi de probabilié. exemple 17 : Une urne conien 1 boules rouges, 25 boules veres e 15 boules bleues ; ces boules son ideniques sauf la couleur. L'expérience consise en le irage d'une boule. Il y a rois résulas possibles : irage d'une boule rouge : X = 1, p(x = 1)=1/5 =,2 irage d'une boule vere : X = 2, p(x = 2) = 25/5 =,5 irage d'une boule bleue : X = 3, p(x = 3) = 15/5 =,3 e on a, bien sûr, p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) = 1. La loi de probabilié p(x) es définie cidessus. Elle peu s'exprimer par le graphe suivan :

152 exemple 18 : Un candida se présene à un examen où il doi irer 3 sujes au hasard parmi 2 sujes. Ce candida n'a révisé que 12 sujes. On désigne par X le nombre de sujes révisés parmi les sujes irés. Les valeurs possibles de X son : X= (pauvre candida), X = 1, X = 2, X = 3 (candida chanceux). Pour déerminer la loi de probabilié, dénombrons le nombre de cas possibles e le nombre de cas favorables :nombre de cas possibles : C 2 3 = 114 nombre de cas favorables pour X= : C 8 3 = 56 nombre de cas favorables pour X=1 : C 12 1.C 8 2 = 336 nombre de cas favorables pour X=2 : C 12 2.C 8 1 = 528 nombre de cas favorables pour X=3 : C 12 3 = 22 On en dédui p(x = ) =,5, p(x = 1) =,3, p(x = 2) =,46, p(x = 3) =,19. Modèles probabilises L'éude de divers phénomènes a permis de définir des modèles probabilises, c'es à dire de donner des lois de probabilié. Donnons-en quelques exemples. Le modèle probabilise de Bernouilli ou loi de Bernouilli (ou loi binomiale) es bien adapé aux expériences de "irages successifs". Cee loi s'exprime par : p(x = k) =

153 C n k p k q n-k où p es la probabilié d'avoir l'événemen aendu A e q=1-p la probabilié d'avoir l'événemen conraire A*. C n p es le coefficien binômial défini plus hau. exemple 19 : on déermine que la probabilié d'arriver à un croisemen donné avec feux vers es p=3/5 (donc q=2/5). On effecue n passages successifs à ce carrefour e on désigne par X le nombre d'événemens "feux vers". Si n=2, on a p(x=) = C 2 p q 2 = 4/25 =,16 p(x=1) = C 2 1 p 1 q 1 = 12/25 =,48 p(x=2) = C 2 2 p 2 q = 9/25 =,36 Si n=5, on a p(x=) = C 5 p q 5 =,1 p(x=1) = C 5 1 p 1 q 4 =,7 p(x=2) = C 5 2 p 2 q 3 =,23 p(x=3) = C 5 3 p 3 q 2 =,35 p(x=4) = C 5 4 p 4 q 1 =,26 p(x=5) = C 5 5 p 5 q =,8 Le modèle de Poisson correspond à la endance de la loi de Bernouilli quand p es faible e quand n es grand (infini). Son expression es p(x = k) = e -m. m k /k! où m es un paramère qui correspond à la valeur moyenne de X. Des ables permeen de donner les valeurs de p(x = k). On peu aussi uiliser une calculee. exemple 2 : un phénomène sui une loi de Poisson de moyenne 4 ; soi A l'évènemen aendu. Quelle es la probabilié d'obenir A 8 fois, moins de 8 fois? p(x = 8) =,298

154 p(x < 8) = p(x = ) + p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) + p(x = 6) + p(x = 7) =,9489 Ce dernier résula monre que la probabilié pour que X > 8 es faible : p(x > 8)=1-p(X < 8)- p(x = 8)=,213 La loi de Gauss (ou Laplace-Gauss ou loi normale) es bien connue. Elle es uilisée pour une variable aléaoire coninue (e non pas discrèe comme dans les modèles précédens). Elle es définie à parir de la densié de probabilié où m représene la moyenne e l'écar-ype. La probabilié pour que X < x es donnée par l'expression Les ables donnen les valeurs de p pour la loi réduie (m = e = 1). On passe de la loi réduie à la loi normale avec les formules de ransformaion : exemple 21 : Sur un effecif de 25 personnes, on mesure la aille en cm. La moyenne es 169 cm e on adme que la aille sui une loi de Gauss d'écar-ype = 5,6. Quelle es la probabilié pour que la aille d'un individu soi inférieure à 155 cm? Réponse : en uilisan les ables, on a = ( )/5,6 = -2,5, puis p(t < -2,5) = 1-p(T < 2,5) = 1-,9938 =,62 Quelle es la probabilié pour que la aille d'un individu soi supérieure à 172 cm? Réponse : p(x > 172) = 1-p(X < 172) = 1-p(T < ) avec = ( )/5,6 =,53 donc, avec l'aide des ables, p(x > 172) = 1-,719 =,2981

155 Programmes généraeurs Le problème que l'on se pose mainenan es le suivan. On désire simuler des expériences don les phénomènes obéissen à des lois de probabilié définies. Plus précisémen, commen générer des nombres aléaoires obéissan à une loi de probabilié donnée? Pour répondre à cee quesion, il fau inroduire la foncion de répariion F(x) don la définiion es : F(x) = p(x < x) Il s'agi donc d'une foncion cumulaive qui donne la somme de oues les probabiliés depuis la valeur la plus peie de X jusqu'à la valeur x. Bien enendu, F(x) es comprise enre e 1 exemple 22 : Reprenons l'exemple 17 e déerminons la foncion F(x) dans le cas de ce exemple : pour x < 1, F(x) = pour x[1,2[, F(x) = p(x = 1) =,2 pour x[2,3[, F(x) = p(x = 1) + p(x = 2) =,5 pour x >= 3, F(x) = p(x = 1) + p(x = 2) + p(x =3 ) = 1 La représenaion graphique de la courbe correspondane es donnée ci-dessous : D'une manière générale, F(x) a oujours l'allure d'une courbe croissane, paran de e allan vers 1. Pour une variable aléaoire coninue, l'allure de F(x) es donnée ci-dessous :

156 En examinan cee courbe, on voi que la soluion à nore problème consise en deux éapes : 1ère éape : Tirer au hasard (loi uniforme) un nombre z compris enre e 1 2ème éape : En uilisan la foncion inverse de F(x), déerminer un nombre aléaoire a suivan la loi de probabilié fixée. Pour irer un nombre au hasard de manière uniforme enre e 1, plusieurs procédés, plus ou moins performans, son uilisés. Donnons en un exemple à ire d'illusraion. Considérons la récurrence y i = k.y i-1 + C (modulo T) Prenons y = 2357, k=515, C=, T=1. On obien successivemen : y 1 =3855 d'où z 1 =,3855 y 2 = 5325 d'où z 2 =,5325 y 3 = 2375 d'où z 3 =,2375 y 4 = 3125 d'où z 4 =,3125 y 5 = 9375 d'où z 5 =,9375 y 6 = 8125 d'où z 6 =,8125 ec... Les ordinaeurs son pourvus de généraeurs de nombres aléaoires (en fai pseudoaléaoires) ce qui perme l'uilisaion aisée de la simulaion avec des programmes informaiques. La seconde éape es plus délicae e dépend de la loi de probabilié uilisée car la foncion inverse de F(x) n'es pas en général aisée à rouver. Examinons quelques exemples : a) loi uniforme Trouver un nombre aléaoire compris enre a e b : = (b-a)z+a b) loi de Poisson

157 Trouver un nombre aléaoire suivan la loi de Poisson. On déermine un nombre enier el que c) loi normale de Gauss Trouver un nombre aléaoire suivan la loi de Gauss. Plusieurs algorihmes exisen. Nous en donnons un ci-dessous rès simple : = Pour k=1 à 12 par valeurs enières + z Fin Pour + m On pourra, pour plus de précision, uiliser le programme gen2 qui génère des nombres aléaoires suivan plusieurs lois de probabiliés avec comparaison avec les disribuions héoriques. Tess Exercice 1 Soi f la foncion définie sur R par f(x)=kexp(- x ). a) déerminer k pour que f soi la densié de probabilié d'une variable aléaoire réelle X. b) déerminer la foncion de répariion de la variable aléaoire réelle X admean f comme densié de probabilié. c) soi Y=X*X. Déerminer la foncion de répariion e la densié de Y.

158 Exercice 2 Pour X suivan une loi de Poisson de paramère 4, quelle es la probabilié pour que X soi inférieur à 8? pour que X soi égal à 8? Exercice 3 On a consaé que la répariion du aux de cholesérol pour un grand nombre de personnes es la suivane : aux inférieur à 165 cg : 58% aux compris enre 165 e 18 cg : 38% aux supérieur à 15 cg : 4% a) sachan que la répariion sui une loi normale, calculer la valeur moyenne du aux de cholesérol e l'écar-ype. b) on adme que les personnes don le aux es supérieur à 183 cg doiven subir un raiemen. Quel es le nombre de personnes à soigner dans une populaion de 1 personnes? Exercice 4 On mesure la aille en cenimères de 25 hommes. La disribuion obenue sui une loi de Laplace-Gauss de moyenne 169 cm e d'écar-ype 5,6 cm. a) indiquer sous forme de pourcenage les proporions d'hommes don la aille es : inférieure à 155 cm supérieure à 172 cm. b) de par e d'aure de la valeur moyenne, quelles son les ailles qui limien un effecif représenan 6% de la populaion?

159 Exercice 5 Un lo conien 3% de pièces défecueuses. a) on prélève au hasard un échanillon de 1 pièces. Les pièces éan rès nombreuses, on adme que le irage peu êre considéré comme fai au hasard e avec remise. Soi X la variable aléaoire "nombre de pièces défecueuses dans l'échanillon".` quelle es la loi de probabilié de X? quelles son les valeurs de l'espérance mahémaique e de l'écar-ype? Quelle es leur significaion? calculer p(x=) e p(x>=1). b) on conrôle oues les pièces mais le mécanisme de conrôle es aléaoire. Une pièce bonne es accepée avec une probabilié de,98, une pièce défecueuse es refusée avec une probabilié de,99. Calculer la probabilié des événemens suivans : une pièce refusée l'es à or une pièce accepée l'es à or. Exercice 6 Les disribueurs auomaiques de imbres pose émeen une fois sur dix un imbre poran un numéro au verso ; les imbres numéroés son coés à par dans le caalogue. Un collecionneur reçoi dans son courrier cinq leres de provenances différenes, chacune d'elles éan affranchie à l'aide d'un imbre émis par un disribueur auomaique. Avan de décoller les imbres, considéran que le nombre de imbres numéroés es une variable aléaoire X, il se pose différenes quesions : a) quel es l'ensemble des valeurs que peu prendre X? b) quelle es la loi de probabilié de X? c) quelle es l'espérance mahémaique de X? d) quelle es la probabilié pour qu'au moins deux des imbres soien numéroés?

160 Soluion de l'exercice 1 f(x)=kexp(- x ). a) déerminaion de k b) foncion de répariion c) Y=X 2 Soi G la foncion de répariion de Y : Soluion de l'exercice 2 En uilisan les ables pour la loi de Poisson, on a :

161 p(x < 8) =,9489 e p(x = 8) =,298 Soluion de l'exercice 3 a),58 es la fréquence cumulée relaive à p(t <,21) e,96 es la fréquence cumulée relaive à p(t < 1,75). Donc X = 165 correspond à =,21 e X = 18 correspond à = 1,75. Comme = (X-m)/, on a le sysème :,21s + m = 165 e 1,75+ m = 18 ce qui condui à = 9,74 e m = 163 b) Pour X = 183, on = ( )/9,74 = 2,53 p(t< 2,5) =,9798 donc p(t > 2,5) = 1 -,9798 =,22 = 22/1 ce qui signifie que 22 personnes son concernées. Soluion de l'exercice 4 effecif : 25 ; loi de Laplace-Gauss (normale) de moyenne m = 169 e d'écar-ype = 5,6 a) -proporion d'hommes don la aille es inférieure à 155 cm p(x<155) = p(t<( )/5,6) = p(t<-2,5) = 1 - p(t<2,5) = 1 -,9938 =,62 d'où N = 25 x,62 = 16 personnes environ - proporion d'hommes don la aille es supérieure à 172 cm p(x>172) = 1 - p(x<172) = 1 - p(t<( )/5,6) = 1 - p(t<,53) = 1 -,719 =,2981 d'où N = 25 x,2981 = 745 personnes environ b) ailles limian un effecif représenan 6% de la populaion ; on a p( T >) =,4

162 La able donne =,8416 = (x - 169)/5,6 d'où x1 = 173,71 cm x2 = (173,71-169) = 164,29 cm Soluion de l'exercice 5 La probabilié pour qu'une pièce soi défecueuse es p =,3 a) La loi de probabilié de X es la loi binomiale de moyenne <X> = np = 1 x,3 =,3 e d'écar-ype =(npq),5 =,54. donc p(x=k) = C 1 k (,3) k (,97) 1-k En pariculier p(x=) = (,97) 1 =,737 e p(x>=1) = 1 - p(x=) =,263 - quelles son les valeurs de l'espérance mahémaique e de l'écar-ype? Quelle es leur significaion? - calculer p(x=) e p(x>=1). b) conrôle des pièces

163 La probabilié de refuser une pièce à or es p(bonne si refusée ) = p(refusée e bonne)/p(refusée) =,4 La probabilié d'acceper une pièce à or es p(mauvaise si accepée) = p(accepée e mauvaise)/p(accepée) =,3 Soluion de l'exercice 6 a) X peu prendre les valeurs, 1, 2, 3, 4, 5 b) la loi de probabilié es la loi binomiale p(x=k) = C 5 k (,1) k (,9) 5-k. c) L'espérance mahémaique es <X> = np = 5 x,1 =,5 d) P = 1 - p(x=) - p(x=1) =,8146 Indice des prix de Laspeyres-Paasche Un aricle de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : Navigaion, rechercher Les indices des prix de Laspeyres-Paasche son des indices permean de synhéiser en un indice unique un cerain nombre d'indices. Ils représenen le monan nécessaire, dans la période courane, pour acheer un panier de biens e services choisi l'année de référence pour Laspeyres (duran la période courane pour Paasche), rapporé au coû de ce même panier acheé aux prix de l'année de référence. Une applicaion courane es le calcul de l'indice des prix à la consommaion. La problémaique es la suivane : on souhaie calculer un indice synhéique permean de mesurer l'évoluion du niveau général des prix. Pour cela, on dispose de la quanié q i e du prix p i pour chaque produi i considéré. Enre la dae e la dae, les quaniés e les prix changen.

164 Sommaire [masquer] 1 Indice de Paasche 2 Indice de Laspeyres 3 Indice Fisher 4 Voir aussi o 4.1 Aricles connexes o 4.2 Liens exernes Indice de Paasche [modifier] L'indice de Paasche des prix : L'indice de Paasche des quaniés : où p e p désignen les prix selon l'année ( ou ) des différens produis consommés (l'indice i dans la somme); q e q désignen les quaniés consommées. (L'indice désigne l'année de référence e l'année éudiée.) Paasche fixe le numéraeur oujours selon la période finale (p e q ) e ne change que le dénominaeur. S'il s'agi de calculer un indice de prix, alors on uilise p (au lieu de p ) au dénominaeur. S'il s'agi d'avoir un indice de quanié, alors c'es le même principe avec q (au lieu de q ). Indice de Laspeyres [modifier] Le principe es similaire à l'indice de Paasche ci-dessus sauf que le dénominaeur es la grandeur consane e prise en l'année de référence (). C'es cee fois le numéraeur qui change : L'indice Laspeyres-prix :

165 L'indice Laspeyres-quaniés: L'indice de Laspeyres es uilisé par l'insee pour le calcul de l'inflaion en France. Il a le défau de suresimer l'inflaion. L'indice de Laspeyres, don le plus célèbre es l'ipc (indice des prix à la consommaion), perme de mesurer l'évoluion dans le emps du prix à payer pour un panier de référence, choisi sur base des consommaions d'une année de référence. Il ne ien pas compe de la modificaion des habiudes de consommaion (composiion du panier). Indice Fisher [modifier] L'indice Fisher représene la moyenne géomérique des indices de Laspeyres e de Paasche. Ce indice es héoriquemen supérieur à l'indice de Laspeyres e inférieur à celui de Paasche. (On peu donc lui aussi le calculer soi en prix soi en quaniés.) Chapire 1 Indices saisiques Lorsque vous aurez compléé l éude du chapire 4, vous pourrez : 1. définir la noion d indice élémenaire

166 2. uiliser les différenes propriéés d indices élémenaires 3. définir la noion d indice synhéique 4. uiliser les différenes formules d indices synhéiques 5. éablir les relaions enre les différens indices, définir e uiliser les indices chaînes Les indices on pris ces dernières années, une place imporane dans l éude de l acivié économique e financière : indices des prix, de producion, du commerce exérieur ; indice boursier, ec. Leur succès provien de leur qualié principale, à savoir qu ils permeen de formuler en un seul nombre la synhèse de nombreuses mesures. En oure, ils son un insrumen des éudes chronologiques : évoluion des prix à la consommaion, ec. De façon générale, un indice ser à mesurer une variaion relaive enre deux siuaions d une grandeur que l on dira simple ou complexe. Une grandeur simple es une grandeur enièremen définie par la donnée d un seul nombre. Le prix du icke de bus, le aux de fécondié, la producion d acier son des exemples de grandeurs simples.

167 Une grandeur complexe es une grandeur caracérisée par la donnée de plusieurs nombres. Une grandeur complexe es donc l énoncé de plusieurs grandeurs simples. Le niveau général des prix, la producion indusrielle, les exporaions son des exemples de grandeurs complexes. Dans l éude des phénomènes économiques e sociaux, on a souven besoin de décrire les variaions de grandeurs simples ou complexes. Ces comparaisons dans le emps e dans l espace, se fon généralemen en effecuan le rappor des grandeurs considérées. Dans le cas où l on effecue le rappor de grandeurs simples : on parle d indice saisique élémenaire. Dans le cas où l on effecue le rappor de grandeurs complexes : on parle d indice synhéique. 1. L es ind ices élémen ai res 1. 1 D éfiniion Considérons l évoluion emporelle d une grandeur simple X : x, x 1, x 2,, x, x, x, x,, x, 1 2 son donc les valeurs prises par la grandeur X, aux daes successives, 1,,, On appelle indice élémenaire de la grandeur simple X à la dae par rappor à la dae, le rappor : i o X xo La dae (ou période) es la dae de référence ou de base de l indice, cee dae es uilisée comme dae de comparaison. La dae (ou période ) es la dae courane. Généralemen, ce rappor es exprimé en pourcenage : x I o i o 1 x x o 1 On di alors que l indice à la dae es exprimé en base 1 à la dae de référence. Un indice élémenaire es donc le rappor de deux valeurs prises par une même grandeur simple à deux daes différenes. C es un nombre sans dimension, indépendan des uniés choisies pour mesurer la grandeur saisique. Exemple 1

168 1) Le nombre d abonnés de la SENELEC es passé de en 1993 à en L indice du nombre d abonnés de 1995 par rappor à 1993 es : soi une augmenaion de 16,31 % I 1993 (NA) ,31 2) Le prix d un bien de grande consommaion es passé de 12 FCFA en 22 à 95 FCFA en 24. L indice du prix du bien 24 par rappor à 22 es par conséquen : soi une diminuion de 6,86 % I 95 P) ( 93, P ro p riéés Les indices élémenaires possèden les rois propriéés de réversibilié, de circularié (ransiivié) e de muliplicaion Réversibilié En effe : 1 io i xo x o o 1 x x Cee propriéé es inéressane dans le cas de comparaison géographique, car le choix du lieu de référence es arbiraire.

169 Circularié (Transiivié) En effe : i o i x,. i, o x x, x x, x o o La circularié es une propriéé fondamenale qui perme de comparer non seulemen les daes e d une par, e, d aure par, mais aussi e,. i, i i o, o E xemp le 2 : P rix d e g ro s d u cuivre : 44,9 F les 1 kg 1965 : 494,58 F les 1 kg 1967 : 687,19 F les 1 kg Les indices élémenaires du prix du cuivre, base 1 en 1962 son : 494,58 I ,15 44,9 687,19 I ,72 44,9 687,19 I ,94 494,58 Mais on peu aussi calculer l indice I en ignoran les prix aux différenes périodes : I i 1 i 1, , I ,92 i ,6972 On a uilisé la propriéé de réversibilié. 138,94

170 1.2.3 Muliplicaion Si une grandeur simple z es le produi de deux grandeurs x e y, l indice élémenaire de la grandeur produi es égal au produi des indices des grandeurs faceurs : quelque soi : z x y I / ( z) I / ( x) I / ( y) Cas pariculier : valeur prix quanié Cee égalié enraîne : indice élémenaire de valeur indice élémenaire de prix indice élémenaire de quanié 1. 3 P o urcen ag e d e va ri a ion On appelle pourcenage de variaion le nombre : PV o x x x 1 x x o o i 1 I 1 L évoluion d une variable es souven présenée sous forme d une augmenaion ou diminuion en pourcenage. PV : au gmenaio n d e la variab le. PV : d im in u io n d e la variab le. - - E xemp le 3 : Le prix de gros du cuivre es passé de 494,58 F les 1 kg en 1962 à 687,19 F les 1 kg en PV o o 69,72 % 1, o 687,19 44,9 44,9 1 i Ce qui correspond bien à l indice I , 72 Les pourcenages de variaion ne possèden pas les propriéés de circularié e de réversibilié des indices élémenaires. De plus, les pourcenages de variaion ne s ajouen pas. 1

171 Exemple 4 : Prix d un bien quelconque Novembre 1993 N o vembre N o vembre F CF A 2 5 F CF A 4 F CF A Augmenaion de novembre 1993 à novembre % 2 Augmenaion de novembre 1994 à novembre % 25 Augmenaion de novembre 1993 à novembre 1995 e non pas : = 85 % 2. L es ind ices s yn héiq ues % 2 Nous avons vu que les indices élémenaires reracen l évoluion d une seule grandeur. Mais le plus souven, l économise ou le dirigean d enreprise, désire suivre les variaions de grandeurs complexes :indice général des prix, producion indusrielle, volume des exporaions, volume des imporaions, ec. Ces grandeurs complexes son composées d un nombre plus ou moins grand de grandeurs simples : par exemple le niveau général des prix es consiué des prix des divers alimens e boissons, du logemen, de l équipemen ménager, de l habillemen, des services médicaux, des ranspors, ec. L évoluion de chacune de ces grandeurs simples es décrie par un indice élémenaire. L opéraion de consrucion d un indice synhéique relaif à la variaion d une grandeur complexe consise donc à résumer une série d indices élémenaires. Trois formules d indices synhéiques son uilisées en praique : les formules de Laspeyres, de Paasche e de Fisher C o efficien b ud g éaire Considérons n produis P j don on connaî les prix e les quaniés à deux périodes différenes. On appelle coefficien budgéaire (coefficien de pondéraion) du produi P j, par rappor à l une de ces périodes, la par représenée par la valeur (prix par quanié) de ce produi à cee période relaivemen à la valeur oale de ous les produis à cee même période.

172 Noons Noons C j, o le coefficien budgéaire par rappor à la période de base : p j,. C j, n p. q j1 j, q j, j, C j, le coefficien budgéaire par rappor à la période courane : C j, n j1 n n o n a b ien : C j, C j, 1 j1 j1 p j,. p. q La so mme d es co efficiens b u d géa ir es es oujours égale à u n L es d ifféren s yp es d ind ices En calculan un indice synhéique, on peu chercher à saisir des variaions de valeur, de prix ou de quanié (volume). Quel que soi le cas, le calcul de l indice me oujours en jeu à la fois des prix e des quaniés. Soi le produi P j. p j, e q j, représenen les prix e les quanié du produi P j à la période de base. p j, e q j, représenen les prix e les quanié du produi P j à la période courane. j, q j, j, I nd ice d e valeu r Un indice de valeur es le rappor de la somme des valeurs (produi du prix par la quanié correspondane) relaives à la période courane à la somme des valeurs de la période de base : n V j1 n p q j1 p j, j, q j, j,

173 Par exemple l indice de la valeur courane des imporaions es le rappor de la valeur oale des imporaions pendan la période courane à leur valeur oale pendan la période de base. Un indice de valeur n a pas une grande significaion économique car son évoluion dépend aussi bien des variaions des prix des marchandises que des variaions des quaniés imporées, faceurs qu il es uile de disinguer I nd ice d e L as p eyres L indice de Laspeyres es la moyenne arihméique des indices élémenaires, pondérée par les coefficiens C j, de la période de base : n L C j1 j,. x x j, j, Dans l indice de Laspeyres, les coefficiens de pondéraion son fixes, ce son ceux de la période de base. a) Indice de Laspeyres des prix n p j, L(p) C j,. j1 p j, n j1 p j, n j1 p.q j, j,.q. p p j, j, j, n j1 n j1 Ainsi l indice de Laspeyres des prix apparaî comme le rappor : p p j, j,.q.q j, j, n j1 n j1 p p q q Dépense oale de la période de base évaluée aux prix courans. Dépense oale de la période de base Dans le rappor, les quaniés son consanes e les prix variables parce que c es un indice de prix. b) Indice de Laspeyres des quaniés

174 L(q) n C j1 n p j1 j, j, n p j1..q q q j, j, j, j,.q. q q j, j, j, n p j1 n p j1 j, j,.q.q j, j, Ainsi l indice de Laspeyres des quaniés apparaî comme le rappor : n j1 n j1 p p q q Dépense oale de la période courane évaluée aux prix de la période de base. Dépense oale de la période de base Indice de Paasche L indice de Paasche es la moyenne harmonique des indices élémenaires pondérée par les coefficiens C j, de la période courane : 1 P 1 P n j1 n C C j1 j, j,.. i 1 x x j, j, 1 (X) Dans l indice de Paasche les coefficiens de pondéraion son ceux de la période courane. a) Indice de Paasche des prix

175 P(p) 1 n C j,. j1 p j, p j, n p j,.q j, j1 n p j, p j,.q j,. j1 p j, n p j, j1 n p j, j1.q j,.q j, Ainsi l indice de Paasche des prix apparaî comme le rappor : n p j1 n p j1.q.q Dépense oale de la période courane. Dépense oale de la période courane évaluée aux prix de l' année de base b) Indice de Paasche des quaniés 1 P(q) n q j, C j,. j1 q j, n p j,.q j, j1 n q j, p j,.q j,. j1 q j, n p j, j1 n p j, j1.q j,.q j, Ainsi l indice de Paasche des prix apparaî comme le rappor :

176 n j1 n j1 p p.q.q Dépense oale de la période courane. Dépense oale de la période de base évaluée aux prix de l' année courane Indice de Fisher L indice de Fisher es la moyenne géomérique simple des indices de Laspeyres e de Paasche : F L. P a) Indice de Fisher des prix F(p) L(p). P(p) b) Indice de Fisher des quaniés F(q) L(q). P(q) Remarque : L indice de Laspeyres a endance à suresimer une hausse des prix, andis que l indice de Paasche a endance à la sous-esimer. On en dédui que l indice de Fisher doi donner une meilleure esimaion d une hausse des prix. On sai aussi que la moyenne harmonique es inférieure à la arihméique, ceci fai que l indice de Paasche es souven plus pei que l indice de Laspeyres. Cependan, la comparaison des indices de Laspeyres e de Paasche ne peu se faire que si les coefficiens de pondéraion son les mêmes. Exemple 5 Calculons les indices de valeur, de Laspeyres, de Paasche e de Fisher pour 1991 par rappor à 199 sur l ensemble des quare produis décris cidessous : Produis Prix p Quaniés q Prix p 1 Quaniés q 1 A 9, 27 9,25 37 B 4,9 31 5,2 4

177 C 3,65 4 5, 28 D 8,1 15 7, : période j = 1 à n 1991 : période n = 4 Les calculs son effecués à l aide du ableau suivan : j p q p q1 p 1 q p 1 q1 A 1 243, 333, 249,75 342,25 B 2 151,9 196, 161,2 28, C 3 146, 12,2 2, 14, D 4 121,5 243, 115,5 231, Toal 662,4 874,2 726,45 921,25 Indice de valeur V V p p 1 q q , ,7 662,4 Indice de Laspeyres des prix p q L(p) 1 pq 726, ,67 662,4 Indice de Laspeyres des quaniés p q L(q) 1 1 pq Indice de Paasche des prix p1q1 P(p) 1 pq1 Indice de Paasche des quaniés p q P(q) p1q 874,2 662,4 921,25 874,2 921,25 726, , , ,81 Indice de Fisher des prix F(p) L(p). P(p) 19,6715,38 17,5

178 Indice de Fisher des quaniés F(q) L(q). P(q) Uilisaion des indices 131,97126,81 129,36 L indice de Laspeyres es le plus commode à uiliser ; la plupar des indices courans éablis par les insius du monde enier son du ype «Laspeyres». L indice de Paasche, symérique de celui de Laspeyres quan à sa significaion, présene des inconvéniens praiques à cause de la mise à jour permanene de ses pondéraions. Il n es, de ce fai, pas uilisé dans le calcul direc des indices courans. Son calcul es néanmoins inéressan pour obenir, avec l indice de Laspeyres, une fourchee d esimaion. L indice de Fisher es quasimen inusién, car son calcul ne peu pas se faire par agrégaion progressive. 2.3 Propriéés des indices de Laspeyres, de Paasche e de Fisher Réversibilié a) Indice de Laspeyres car 1 P C j, j L C j, j 1. i (X). x x j, j, 1 P On a 1 L L, l indice de Laspeyres es non réversible. b) Indice de Paasche 1 P C x. j, x j j, j,

179 j, j, j j, L 1 x x. C 1 P Car j, j, j j, x x. L C On a P 1 P, l indice de Paasche es non réversible. c) Indice de Fisher P. L F On a P 1 L e L 1 P D où P. L 1 P. L F F 1 L indice de Fisher es réversible Circularié Aucun des rois indices ne possède la propriéé de circularié.,, I I I Vérifions-le par exemple dans le cas d un indice de Laspeyres des prix : j j q p q p (p) L ; j j q p q p (p) L,,

180 j j q p q p (p) L (p) L,, j j,,,, q p q p (p) L On a alors (p) L (p) L (p) L,, L indice n es pas circulaire Relaions enre les différens indices i) L indice de valeur es égal au produi de l indice de Laspeyres des prix par l indice de Paasche de quaniés, ou inversemen, c es à dire : (p) P (q). L (q) P (p). L V En effe : j j j j j j V.q p.q p.q p.q p..q p.q p (q) (p).p L E j j j j j j V.q p.q p.q p.q p..q p.q p (p) (q).p L

181 Considérons les données de l exemple 5 e donnons une inerpréaion des formules éablies ci-dessus. Formule 1 : V / L / (p) P / (q) 1,397 1,967 x 1,2681 L augmenaion de 39,7 % de valeur es due à une augmenaion de 9,67 % des prix e à une augmenaion de 26,81 % des quaniés Formule 2 : V / L / (q) P / (p) 1,397 1,3197 x 1,538 L augmenaion de 39,7 % de valeur es due à une augmenaion de 5,38 % des prix e à une augmenaion de 31,97 % des quaniés ii) L indice de valeur es égal au produi de l indice de Fisher des prix par l indice de Fisher des quaniés. V F V L L. V (p). P (p). P (p) F (q) L (p) (q) L (q). P (q). P (p) (q)

182 Enoncés des exercices Exercice 1 : Indices e accroissemen 1) Si enre 1989 e l an 2 les exporaions sénégalaises son mulipliées par 3, quelle sera la valeur de l indice, base 1 en 1989? de quel pourcenage aura--il augmené? 2) Si les prix augmenen de 45 %, quelle sera la valeur de l indice des prix en l an 2, base 1 en 1989? 3) Si l indice du coû de la vie es 27 en l an 2, par combien le niveau des prix a--il éé muliplié? 4) L indice des prix de déail, base 1 en 1959, avai la valeur 55 en 1949 e 175 en Quelle éai la valeur de l indice en 1972, base 1 en 1949? Exercice 2 Pour rois produis A, B e C consommés par une famille, les prix (en francs par kg) e les quaniés (en kg) on éé les suivans pendan deux périodes noées e 1. Période Période 1 Produi A B C Prix Quanié Prix Quanié ,5 1) Calculer l indice de valeur de la dépense de cee famille à la période 1, base 1 à la période. 2) Calculer à la période 1, base 1 à la période : l indice Laspeyres des prix e des quaniés, l indice Paasche des prix e des quaniés, l indice Fisher des prix e des quaniés. 3) La variaion de la dépense es due à une variaion des prix e une variaion des quaniés. En uilisan les deux formules du cours, donner les deux inerpréaions possibles de la variaion de la dépense en déerminan dans chaque cas la par qui revien aux prix e celle qui revien aux quaniés. Exercice 3 L évoluion du nombre de passagers ransporés par une compagnie aérienne dans l ensemble du monde es décrie par les indices suivans ayan chacun pour base 1 l année précédene : ,1 121,6 129, 143,7

183 1) Des indices ci-dessus ; déduire la série d indices relaifs aux années 1977 à 198 sur la base 1 en ) Sachan que le nombre de voyageurs ransporés en 1976 a éé de 95 millions, en déduire le nombre de voyageurs ransporés en ) Quel es le aux d accroissemen annuel moyen qui ferai passer de 95 millions en 1976 au nombre rouvé pour 198? 4) Commen s exprime ce aux annuel moyen à l aide des quare indices ciés au débu de l énoncé. Exercice 4 Le ableau ci-dessous indique les prix e quaniés relaifs à quare produis A, B, C, D pour les années 1995 e Produis A B C D Prix Qés Prix Qés 8, 23 9,5 37 4, ,2 4 3,8 4 5, 28 7,6 18 7,6 3 1) Calculer les coefficiens budgéaires (année courane, année de base) e les indices élémenaire (prix e quaniés) de ces quare produis (base 95) 2) Calculer les indices de Laspeyres e de Paasche (prix e quaniés) sur l ensemble des produis. Exercice 5 Pour comparer le coû de la vie dans ceraines villes africaines, on se fonde sur le budgeype d un individu. Les prix (P) e quaniés (Q) consommées de cerains biens (exprimés avec des uniés convenables) dans ces villes son indiqués dans le ableau ci-après. Logemen Nourriure Elecricié Dakar Abidjan Bamako Q P Q P Q P ) Calculer les indices de Laspeyres e de Paasche du coû de la vie :

184 a) à Dakar, en prenan Abidjan pour base ; b) à Abidjan, en prenan Dakar pour base. 2) Calculer les indices du coû de la vie de Laspeyres Exercice 6 a) à Abidjan, en prenan Bamako pour base ; b) à Bamako, en prenan Dakar pour base. L indice de Laspeyres es-il circulaire? 1) Un errain acheé 3 FCFA en Janvier 2 a éé revendu 4 5 FCFA en Janvier 24. Quelle es la variaion de la valeur du errain au cours de la période e en moyenne sur 1 an? 2) Une voiure acheée 3 5 FCFA en Janvier 2 a éé revendu 2 FCFA en Janvier 24. Quelle es la variaion de la valeur de la voiure au cours de la période e en moyenne sur 1 an? Corrigés des exercices du module 1 Exercice 1 1) Par hypohèse E2 3. E1989, donc : E E I La valeur de l indice, base 1 en 1989 es I ; Le pourcenage d augmenaion es : soi 2 % E2 E1989 E1989 E 1 2 E

185 2) Pourcenage de variaion p2 p1989 p p2 p %,45 La valeur de l indice des prix en l an 2, base 1 en 1989 es I p 3) I p 1989 p2 2,7 le niveau des prix a éé muliplié par 2,7 ; p ) Réversibilié : 1 i, I 1i. i Circularié : i, i, i On a : I I On veu calculer : I i i i I I I (circularié) 2 1 I 1949 I I

186 i59 49 i I (réversibilié) I49 59 D où : 1 I72 49 I72 59 I La valeur de l indice en 1972, base 1 en 1949 es : Exercice ,18 55 I 49 J p q p q1 p 1 q p 1 q1 A B C Toal ) Indice de valeur de la dépense : p q 186 V ,779 12,8 p q ) Calcul des différens indices : Indice de Laspeyres Indice de Paasche p q 174 L(p) , p q 154 p q 163 L(q) ,84 15,8 p q 154

187 p q 186 P(p) ,11 114,1 p q p q 186 L(q) ,89 16,9 p q Indice de Fisher F( p) 1 L( p) 1. P( p) ,1 113,548 3) Formule 1 : F( q) 1 L( q) 1. P( q) 1 15,816,9 16,348 V 1 L L 1 1 (p). (q). P P 1 1 (q) (p) V1 L1 (p). P1 (q) 1,28 1,13 1,69 L augmenaion de 2,8 % de valeur es due à une augmenaion de 13 % des prix e à une augmenaion de 6,9 % des quaniés. Formule 2 : V1 L1 (q). P1 (p) 1,28 1,58 1,141 L augmenaion de 2,8 % de valeur es due à une augmenaion de 14,1% des prix e à une augmenaion de 5,8 % des quaniés. Exercice 3 1) Circularié : i i,. i, I 1. i

188 1 1 I. I I,, 142, ,1. 121,6 1 1 I. I I , , I. I I , ,68 143,7 1 1 I. I I ) millions 95 N 1976 millions , , , , N N N N N I 3) Taux d accroissemen moyen

189 N 8 (1 ) (1 ) 4 N N 1 (2,639) (2,639) N , ,2745 1, ,45 % le aux d accroissemen moyen es 27,45 % N N N N (1 ) N (1 ) (1 ) (1 ) N N N ) (1 ) 4 N N 8 76 I I 8 76 I 8 79 I I I D où : 4 Ii i1 4 ( 1 ) I i i1 Donc 1 es la moyenne géomérique des indices divisés par 1. Exercice 4 1) 1995 = année de base = période 1996 = année courane = période 1 Coefficien budgéaire par rappor à la période de base p q p q C. Coefficien budgéaire par rappor à la période courane p 1 q 1 p 1 q 1 C 1.

190 Les coefficiens budgéaires de chaque produi s obiennen en calculan le quoien de la valeur (prix quanié) de ce produi à une période donnée sur la somme des valeurs de ous les produis à la même période. A B C D p 1q 1 (couran) 351,5 248, 14, 228, p q (base) 184, 164,15 152, 136,8 Coefficiens budgéaires Couran C 1,36,26,14,24 Base C,29,26,24,21 967,5 636,95 1, 1, Indices Elémenaires Prix 1,19 1,32 1,32 1, Qés 1,61 1,14,7 1,67 Les indice élémenaires des prix, base 1 en 1995, s obiennen en divisan le prix du produi en 1996 par son prix en De même pour les indices élémenaires des quaniés (voir ableau). 2) Calcul des indices de Laspeyres e Paasche Indices de Laspeyres Indices des prix : L(p) 1 C.i1 (p) 1 (,291,19) (,26,3451,3432 1, , 51 Indices des quaniés L(q) 1 C.i1 (q) 1 (,291,61) (,26 1, , 2 Indice de Paasche Indices des prix : 1.32) (,241,32) (,211) 1,3168,21 1 1,14) (,24,7) (,211,67) 1

191 1 P(p) 1,36,26,14,24 1,19 1,32 1,32 1,32,196,16,24 1 C1. i1 (p),844 P(p) 1 Indices des quaniés 1 P(q) 1 Exercice 5,79 1, , ,48 1 C1. i1 (q),36,26,14,24 1,61 1,14,7 1,67,2236,228,2,1437 P(q) 1 1 1,79 126,58 Calculer l indice du coû de la vie revien à calculer l indice des prix d une ville par rappor à une aure. 1) L indice de Laspeyres du coû de la vie es défini par : L / 1 3 i1 3 i1 Q Q P P - En prenan Abidjan pour base (ici les quaniés son consanes, celles d Abidjan)

192 dépense oale évaluée aux prix de Dakar - LD / A 1 dépense oale évaluée aux prix d' Abidjan L D / A 1 i 1 3 Q Q P P 1 A A i1 Soi une augmenaion du coû de la vie de 24%. 3 A D En prenan Dakar pour base (ici les quaniés son consanes, celles de Dakar) L A / D dépense oale évaluée aux prix d' Abidjan 1 dépense oale évaluée aux prix de Dakar L A / D 1 3 i1 3 i1 Q Q D D P P A D 77,8 Soi une diminuion du coû de la vie de 22,2%. L indice de Laspeyres n es pas réversible car 1 LA / D LD / A L indice de Paasche du coû de la vie es défini par : 3 QP P i1 / 1 3 QP i1 Il s agi de calculer l indice des prix, les quaniés son consanes. - En prenan Abidjan pour base, les quaniés son consanes (celles de Dakar) on a : P D / A dépense oale évaluée à Dakar dépense oale évaluée aux prix d' Abidjan 1

193 P D / A 1 3 i 1 3 Q Q D P P ,6 14 D A i1 Soi une augmenaion du coû de la vie de 28,6%. - En prenan Dakar pour base, les quaniés son consanes (celles d Abidjan) on a : P A / D dépense oale évauée à Abidjan 1 dépense oale évaluée aux prix de Dakar P A / D 1 3 i 1 3 i1 L indice de Paasche n es pas réversible. Q Q A A D P P A D 1 1 PA / D PD / A 25 8,7 31 2) Calcul de - L indice de Laspeyres En prenan Bamako pour base, les quaniés son consanes (celles de Bamako) On obien 3 L A / B dépense oale évaluée aux prix d' Abidjan 1 dépense oale évaluée à Bamako Soi une diminuion de 45,5%. 1 i 1 3 i1 Q Q B B P P A B 56,5 - En prenan Dakar pour base, les quaniés son consanes (celles de Dakar) On obien 3 QDPB L B / D dépense oale évaluée aux prix de Bamako 1 1 dépense oale évaluée à Dakar Soi une augmenaion de 44,4%. i1 3 i1 Q D P D 144,4

194 L L Noons que A / B x B / D,82 A / D, 78, donc l indice de 1 1 Laspeyres n es pas circulaire. L 1 Exercice 6 1) L indice de la valeur du errain en Janvier 24, base 1 en Janvier 2 es : I 2 (T) / i 1,5 ; d où i, 5 ou 5 % La valeur du errain a augmené de 5 % en 4 ans. 15 Soi a le aux moyen annuel de variaion ; on a : 4 (1 a) 1,5 ; 1 a 1,167 ; a,167 ou 1,67 % La valeur du errain a augmené en moyenne de 1,67 % par an. 2) L indice du prix de la voiure en Janvier 24, base 1 en Janvier 2 es : 2 I24/ 2 (V) 1 57, i, ; d où i, ou 42, 8572 % La valeur de la voiure a diminué de 42,8572 % en 4 ans. Soi a le aux moyen annuel de variaion ; on a : 4 (1 a),5714 ; 1 a,8694 ; a,136 ou 13, 6 La valeur de la voiure a diminué en moyenne de 13,6 par an. % Session 1 : Rappels de probabiliés. Probabiliés niveau 1 Avan-propos Les lignes qui suiven son sans préenion. Elles ne visen pas à consiuer un cours de probabilié exhausif e rigoureux (surou au plan mahémaique). Nore objecif es ou aure e se veu esseniellemen uiliaire. C es pour cee raison que l appel à l inuiion es

195 souven évoqué avec " masquage " plus ou moins réussi de noions mahémaiques complexes qui ne feraien qu alourdir l exposé sans apporer de vériables ouils pour le calcul effecif e concre des probabiliés don nous ferons un usage imporan mais à un niveau, somme oue, élémenaire dans la suie du cours. Le leceur, suivan la formule consacrée, es renvoyé à des ouvrages de base pour un approfondissemen plus imporan. Evénemens e probabilié On considère un ensemble non vide E don les élémens son quelconques. Les paries de E son les ensembles que l on peu former à parir des élémens de E. exemple 1 : E = {a,b,c,d} a, b, c, d son les élémens de E {a,b}, {c,d}, {a,b,c}, {b},e, F ={} son des paries de E Toues les paries de E son : Parie à élémen : ={} Paries à 1 élémen : {a}, {b}, {c}, {d} Paries à 2 élémens : Paries à 3 élémens : Parie à 4 élémens : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d} {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d} E = {a,b,c,d} Il y a donc 16 paries pour E L ensemble des paries d un ensemble E es noé P(E). On noera que le nombre d élémens de P (E) es 2 n si E possède n élémens. exemple 2 : en reprenan l exemple précéden, on a clairemen : P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, E} e on consae bien que 16 = 2 4.

196 Appelons mainenan événemens les élémens de P(E) e définissons une applicaion p de P(E) dans R (ensemble des nombres réels) saisfaisan les axiomes suivans : Axiome1 : A P(E) p(a) >= Axiome 2 : p(e) = 1 Axiome 3 : si AB= alors p(ab)=p(a)+p(b) Cee applicaion es appelée une probabilié sur P(E). Un peu de vocabulaire : E es l événemen cerain. es l événemen impossible. {a}, {b}, {c}, {d} son des événemens élémenaires (on ne peu pas les fabriquer à parir d élémens plus simples). Si AB=, on di que A e B son des événemens incompaibles. Si A* es le complémenaire de A, alors on di que A e A* son conraires. exemple 3 : reprenons l exemple précéden (renabilisé). {a} e {b,c,d} son conraires, de même que E e ou encore que {a,b} e {c,d}. {a} e {b,c} son incompaibles, de même que {a} e {c} ou encore que {a,b} e {c,d} On noera d ailleurs que des événemens conraires son incompaibles, mais que l inverse n es pas vrai : {a} e {b,c,d} son conraires donc incompaibles, mais {a} e {b,c} son incompaibles mais non conraires. exemple 4 : Désignons par {x} le irage d une care x dans un jeu de cares. Les élémens de E son {as de cœur},{vale de carreau}, {6 de rèfle}, ec L événemen " irer un cœur " es défini par exemple par {cœur} = {as de cœur} {2 de cœur}{3 de cœur}.{1 de cœur}{vale de cœur}{dame de cœur}{roi de cœur} = {{as de cœur},{2 de cœur},{3 de cœur},.,{1 de cœur),{vale de cœur},{dame de cœur},{roi de cœur}} e es une parie de E. " Tirer un cœur " e " irer un rèfle " son deux événemens incompaibles car {cœur}{rèfle}=. " Tirer un cœur " e " irer un rèfle ou un carreau ou un pique " son des événemens conraires car {cœur}*={rèfle}{carreau}{pique} Propriéés des probabiliés

197 Des axiomes de définiion, on peu assez aisémen irer les conséquences suivanes (que nous ne démonrons pas) Prop 1 : si A B alors p(a)<p(b) Prop 2 : p(a)1 A P(E) Prop 3 : p(a*) = 1 p(a) A P(E) Prop 4 : p( ) = Prop 5 : p(ab) = p(a) + p(b) p(ab) exemple 5 : Reprenons l exemple 4. Comme {cœur }, {rèfle}, {carreau} e {pique} son disjoins deux à deux, on a : p(irer un cœur)=p({cœur})=1 p({rèfle}{carreau}{pique})=1 p({rèfle}) p({carreau}) p({pique}) p(irer une care quelconque) = 1 p(irer un cœur ou un 1) = p({cœur})+p({1})-p({1}{cœur}) mais p({cœur})=p({as de cœur}{2 de cœur}{3 de cœur}.{1 de cœur}{vale de cœur}{dame de cœur}{roi de cœur})=p({as de cœur})+p({2 de cœur})+p({3 de cœur})+.+p({1 de cœur}) +p({vale de cœur})+p({dame de cœur})+p({roi de cœur}) e p({1})=p({1 de cœur}{1 de rèfle}{1 de carreau}{1 de pique})=p({1 de cœur})+p({1 de rèfle})+p({1 de carreau})+p({1 de pique}) de sore que p(irer un cœur ou un 1)= p({as de cœur})+p({2 de cœur})+p({3 de cœur})+. +p({vale de cœur})+p({dame de cœur})+p({roi de cœur}) +p({1 de cœur})+p({1 de rèfle})+p({1 de carreau})+p({1 de pique}) Probabilisaion Les définiions précédenes donnen la significaion d une probabilié mais elles ne donnen pas le moyen de définir concrèemen une probabilié.

198 En général, la noion d équiprobabilié es d une aide ceraine. Des événemens élémenaires son considérés comme équiprobables s ils on des probabiliés égales. exemple 6 : Je d un dé ; le dé n éan pas considéré comme pipé, on admera que : p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) exemple 7 : irage d une care ; les cares éan physiquemen ideniques, on a : p({6 de rèfle})=p({3 de carreau})=p({vale de cœur})=p({dame de pique}) Dans le cas d événemens élémenaires équiprobables, X i, X j événemens élémenaires, p(x i )=p(x j ) De sore que p(x 1 )+p(x 2 )+ +p(x n )=p(x 1 X 2.X n )=p(e)=1 d où p(x i ) = 1/n On en dédui que A P(E), A = X 1 X 2 X k (puisque les X i son élémenaires) Donc p(a) = p(x 1 ) + p(x 2 ) +..+ p(x k ) = k/n Cee relaion, dans le langage couran, s exprime ainsi : La probabilié d un événemen es le rappor du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles. L exemple suivan illusre cee dénominaion (rès usuelle). exemple 8 : Je d un dé. Les événemens élémenaires son équiprobables p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6}) = 1/6 par suie la probabilié d obenir un chiffre impair es p({impair})=p({1})+p({3})+p({5}) = 3/6 = ½ =,5

199 exemple 9 : Jeu de cares ; irage de cares ; ous les irages de cares individuelles son équiprobables ( pour un bon jeu de cares). Donc p({cœur})=13xp({care quelconque}) = 13x(1/52) =¼ Une conséquence imporane du schéma équiprobabilise es que la somme des probabiliés relaives à une expérience es 1. En effe, soi A, B,. les événemens incompaibles, résulas de l expérience e soi n(a), n(b), leurs nombres de cas favorables (pas de double compage). Alors, en posan n(a) + n(b) +..= n on a p(a) + p(b) +.. = n(a)/n + n(b)/n + = n/n = 1 L applicaion du principe de base de l équiprobabilié pour les événemens élémenaires se fai, en fai de deux manières. 1) par dénombremen des cas possibles e des cas favorables. On uilise les formules combinaoires suivanes : Nombre de combinaisons : C p n = n!/(p!(n-p)!) Nombre d arrangemens : A p n = n!/(n-p)! Nombre de permuaions : P n = n! Une combinaison d ordre p sur un ensemble E de cardinal n es une parie de E comporan p élémens (pris parmi les n évidemmen e sans répéiion). Un arrangemen es un assemblage de p élémens pris parmi n élémens (sans répéiion) dans un ordre donné. Une permuaion d ordre n es un arrangemen des n élémens. exemple 1 : iercé ; 2 chevaux au dépar d une course. Combien de iercés différens dans l ordre peu-on faire? Réponse : A 2 3 = 2!/(17!) = 684. Combien de iercés différens dans le désordre peu-on faire? Réponse : C 2 3 = 2!/(17!3!) = 114. Ces formules permeen un dénombremen (des cas favorables dans le cas de l exemple 1). exemple 11 : en supposan ous les chevaux de même niveau (supposiion hardie), la probabilié de oucher le iercé dans l ordre se calcule comme sui : Nombre de cas favorables : 1 arrangemen Nombre de cas possibles : 684 arrangemens Probabilié : 1/684 =,146.

200 E pour le iercé dans le désordre : Nombre de cas favorables : 1 combinaison Nombre de cas possibles : 114 combinaisons Probabilié : 1/114 =,877. exemple 12 : Une urne conien 5 boules ideniques sauf la couleur : E ={a,b,c,d,e} où a,b,c son des boules rouges e c,d des boules veres. Le irage d'une boule rouge correspond à l'événemen R = {a,b,c} e le irage d'une boule vere à l'événemen V = {c,d}. En admean que p({a})=p({b})=...=p({d}), on a p(r)=3/5 e p(v)=2/5 e on consae, bien sûr, que p(r) +p(v) =1 2) Pour des éudes de cas plus complexes, le dénombremen es impossible e on uilise alors à la fois la saisique e la loi des grands nombres qui di (en simplifian) que si le nombre d individus esés es assez grand alors on peu confondre la fréquence saisique e la probabilié. exemple 13 : On consae que d'après un sondage effecué sur 2 de français, le pourcenage de ceux-ci qui on un nez supérieur à 6 cm es de 34%. On en dédui une valeur approximaive de la probabilié pour qu un français ai un nez supérieur à 6 cm : p=.34. exemple 14 : Dans une usine, sur 12 pièces mécaniques, on consae que 6 son défecueuses. On en dédui, par exension, que la probabilié d avoir une pièce défecueuse es p=6/12 =,5. Probabiliés composées Ean donné un ensemble E e l'ensemble des événemens P(E), soi A,BP(E) e supposons que p(a) soi non nul. Posons

201 p A (B)=p(AB)/p(A) On défini ainsi une nouvelle probabilié e l'on peu en effe vérifier que p A saisfai les axiomes 1,2,3 de la définiion d'une probabilié. On l'appelle probabilié condiionnée par A. On peu ré-écrire l'expression ci-dessus comme p(ab) = p(a).p A (B) ce qui exprime l'idée suivane : pour avoir simulanémen A e B (événemen AB), il fau d'abord avoir A (probabilié p(a)), puis B sachan que A es déjà réalisé, ce qui peu changer le conexe de calcul (p A (B)). Les probabiliés se muliplien donc ainsi. Noons que de l'on a aussi p(ab) = p(b).p B (A) exemple 15 : Reprenons l'exemple de l'urne avec des boules rouges e des boules veres de l'exemple 12. Supposons que l'on ire une boule (que l'on ne reme pas dans l'urne) puis une seconde. Quelle es la probabilié de irer deux boules rouges? Appliquons la relaion précédene : p(2 boules rouges) = p(r).p R (R) = (3/5).(2/4) =,3 Supposons mainenan que l'on effecue le même ype de irage, mais en remean à chaque éape la boule irée dans l'urne. p(2 boules rouges) =p(r).p R (R) = (3/5).(3/5) =9/25 =,36 exemple 16 : Des éudes sur les accidens, on ire les résulas suivans : la probabilié d'avoir un acciden si le conduceur es sobre es,1 ; soi p sobre (acciden)=,1 la probabilié d'avoir un acciden si le conduceur es ivre es,2 ; soi p ivre (acciden)=,2 la probabilié d'avoir un conduceur ivre es,1; soi p(ivre)=,1. Quelle es la probabilié d'avoir un acciden avec un conduceur ivre, soi p(accidenivre)? Réponse : p(accidenivre) = p(ivre).p ivre (acciden) =,1.,2 =,2 Quelle es la probabilié d'avoir un conduceur ivre si il y a acciden, soi p acciden (ivre)? Réponse : p acciden (ivre) = p(accidenivre)/p(acciden). Pour rouver la probabilié

202 p(acciden) il fau racer un arbre des cas. En fai 4 cas son à considérer : ivre acciden ivre pas d'acciden sobre acciden sobre pas d'acciden oues les probabiliés son calculées avec les règles précédenes : A parir des résulas sur les feuilles de l'arbre précéden, on peu consruire un second arbre de racine "occurrence d'acciden" : Par déducion, on obien la probabilié cherchée. On définira l'indépendance de deux événemens par la relaion suivane : A e B son indépendans si e seulemen si p A (B) = p(b). On a dans ce cas p(ab) = p(b).p(a) (comme dans le cas de la seconde parie de l'exemple 15).

203 Tess Exercice 1 Dans une salle qui ien 4 personnes (4 rangs de 1) e où je suis placé au hasard, a) quelle chance ai-je d'êre au premier rang? b) d'êre au 1er rang à la première place à droie? NB : on suppose que j'ai auan de chances d'êre placé à une place pluô qu'à une aure. Exercice 2 Dans un jeu de 32 cares, on ire au hasard 2 cares. Quelle es la probabilié pour que parmi ces 2 cares a) figure le 7 de carreau? b) ne figure aucun 7? c) figure au moins un 7? Exercice 3 Un sac conien 1 jeons numéroés de 1 à 1. On en ire 3 au hasard simulanémen. Quelle es la probabilié pour que, parmi les rois nombres obenus, on ai a) 3 muliples de 3

204 b) exacemen 2 muliples de 3 c) exacemen 1 muliple de 3 d) aucun muliple de 3 e) au moins 1 muliple de 3 f) au moins 2 muliples de 3 Exercice 4 Un bassin conien 3 poissons : 5 carpes, 1 anches, 15 gardons. On pêche 4 poissons d'un coup de file. Calculer les probabiliés des événemens suivans : a) les quare poissons son ous des gardons b) aucun des quare poissons n'es un gardon c) il y a au moins 1 gardon dans le file d) le file conien 1 carpe, 1 anche, 2 gardons e) parmi les quare poissons, il y a au moins 2 carpes. Exercice 5 Un sac conien 2 champignons don 12 son comesibles e 8 vénéneux ; parmi ces derniers, 3 son morels. On ire au hasard e simulanémen 5 champignons du sac. Chaque champignon ayan la même probabilié d'êre iré du sac, quelle es la probabilié pour que a) ous les champignons irés soien comesibles b) l'on ai iré au moins un champignon morel

205 c) l'on ai iré 3 champignons comesibles e 2 champignons vénéneux. Exercice 6 Trois messieurs, appelés A, B, C enren au resauran e déposen leurs chapeaux, noés a, b, c au vesiaire. Lorsqu'ils soren, chacun des messieurs reprend l'un des 3 chapeaux sans vérifier si c'es le sien. a) combien y a--il de répariions possibles des 3 chapeaux enre les 3 messieurs b) on suppose que chacune de ces répariions a la même probabilié de survenir. Quelle es la probabilié pour que : p1 : aucun des messieurs n'ai son propre chapeau p2 : un seul ai son propre chapeau p3 : deux aien leurs propres chapeaux p4 : les rois aien leurs propres chapeaux Addiionner p1, p2 e P3 e expliquer le résula rouvé. Soluion de l'exercice 1 a) Il y a 4 places e 1 son convoiées. La probabilié es donc p1 = 1/4 =,25 b) Il y a 4 places e une seule es convoiée. La probabilié es donc p2 = 1/4 =,25 Soluion de l'exercice 2

206 le nombre de cas possibles es C 32 2 = 496 a) n(a) = 31 d'où p(a) =,625 b) n(a) = C 28 2 = 378 d'où p(a) =,762 c) n(a) = C 4 1.C C 4 2 = 118 d'où p(a) =,238 = 1 -,762 Soluion de l'exercice 3 le nombre de cas possibles es N = C13 = 12 a) n(a) = 1 donc p(a) = 1/12 b) n(b) = C = 21 donc p(b) = 7/4 c) n(c) = 3.C 7 2 = 63 donc p(c) = 21/4 d) n(d) = C 7 3 = 35 donc p(d) = 7/24 A noer que p(d) = 1 - p(a) - p(b) - p(c) e) p(e) = p(a) + p(b) + p(c) = 17/24 ou bien p(e) = 1 - p(d) = 17/24 f) p(f) = p(a) + p(b) = 11/6 Soluion de l'exercice 4 Le nombre de cas possibles es N = C 3 4 = a) n(a) = C 15 4 = donc p(a) =,5 b) p(b) =,5 c) p(c) = 1 - p(b) =,95

207 d) n(d) = 5.1.C 15 2 = 5 25 donc p(d) =,19 e) Si on noe (xc) l'événemen où on a iré x carpes, on peu noer que (C) e (1C) son des événemens incompaibles : (C)U(1C) es l'événemen conraire de (2C)U(3C)U(4C). p(x>= 2) = 1 - p(c) - p(1c) = 1 - n(c)/n - n(1c)/n n(c) = C 25 4 = n(1c) = C 5 1.C 25 3 = 11 5 donc p(x >= 2) =,119 Soluion de l'exercice 5 a) p(a) = C 12 5 / C 2 5 =,51 b) p(b) = [3.C C 3 2.C C 3 3.C 17 2 ]/C 2 5 =,6 c) p(c) = C 12 3.C 8 2 /C 2 5 =,397 Soluion de l'exercice 6 a) le nombre de possibiliés es égal au nombre de permuaions : 3! = 6 b) les cas favorables son (A-->c, B-->a, C-->b) e (A-->b, B-->c, C-->a) soi 2 cas d'où p1 = 1/3 les cas favorables son (A-->a, B-->c, C-->b), (A-->c, B-->b, C-->a) e (A-->b, B-->a, C-- >c) soi 3 cas d'où p2 = 1/2 il n'y a qu'un cas favorable (A-->a, B-->b, C-->c) d'où p3 = 1/6 Si deux messieurs on leur chapeau, le 3ème a forcémen le sien, donc p4 = p3 p1 + p2 = P3 = 1 ce qui es normal puisque ous les cas possibles on éé envisagés.

208 Session 2 : Rappels de probabiliés. Probabiliés niveau 2 Variables aléaoires Dans une expérience, on peu l'invenaire des résulas, c'es à dire des événemens possibles : A, B, C,...K. A ces événemens, on peu faire correspondre les valeurs d'une variable X : pour l'événemen A,X = 1 pour l'événemen B, X = 2 pour l'événemen C, X = 3... pour l'événemen K, X = n Une elle variable, associée à un ensemble d'événemens possibles, es appelée une variable aléaoire. La définiion, pour oue valeur de X, de la probabilié correspondane es une loi de probabilié. exemple 17 : Une urne conien 1 boules rouges, 25 boules veres e 15 boules bleues ; ces boules son ideniques sauf la couleur. L'expérience consise en le irage d'une boule. Il y a rois résulas possibles : irage d'une boule rouge : X = 1, p(x = 1)=1/5 =,2 irage d'une boule vere : X = 2, p(x = 2) = 25/5 =,5 irage d'une boule bleue : X = 3, p(x = 3) = 15/5 =,3 e on a, bien sûr, p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) = 1. La loi de probabilié p(x) es définie cidessus. Elle peu s'exprimer par le graphe suivan :

209 exemple 18 : Un candida se présene à un examen où il doi irer 3 sujes au hasard parmi 2 sujes. Ce candida n'a révisé que 12 sujes. On désigne par X le nombre de sujes révisés parmi les sujes irés. Les valeurs possibles de X son : X= (pauvre candida), X = 1, X = 2, X = 3 (candida chanceux). Pour déerminer la loi de probabilié, dénombrons le nombre de cas possibles e le nombre de cas favorables :nombre de cas possibles : C 2 3 = 114 nombre de cas favorables pour X= : C 8 3 = 56 nombre de cas favorables pour X=1 : C 12 1.C 8 2 = 336 nombre de cas favorables pour X=2 : C 12 2.C 8 1 = 528 nombre de cas favorables pour X=3 : C 12 3 = 22 On en dédui p(x = ) =,5, p(x = 1) =,3, p(x = 2) =,46, p(x = 3) =,19. Modèles probabilises L'éude de divers phénomènes a permis de définir des modèles probabilises, c'es à dire de donner des lois de probabilié. Donnons-en quelques exemples. Le modèle probabilise de Bernouilli ou loi de Bernouilli (ou loi binomiale) es bien adapé aux expériences de "irages successifs". Cee loi s'exprime par : p(x = k) = C n k p k q n-k où p es la probabilié d'avoir l'événemen aendu A e q=1-p la probabilié d'avoir l'événemen conraire A*. C n p es le coefficien binômial défini plus hau. exemple 19 : on déermine que la probabilié d'arriver à un croisemen donné avec feux vers es p=3/5 (donc q=2/5). On effecue n passages successifs à ce carrefour e on

210 désigne par X le nombre d'événemens "feux vers". Si n=2, on a p(x=) = C 2 p q 2 = 4/25 =,16 p(x=1) = C 2 1 p 1 q 1 = 12/25 =,48 p(x=2) = C 2 2 p 2 q = 9/25 =,36 Si n=5, on a p(x=) = C 5 p q 5 =,1 p(x=1) = C 5 1 p 1 q 4 =,7 p(x=2) = C 5 2 p 2 q 3 =,23 p(x=3) = C 5 3 p 3 q 2 =,35 p(x=4) = C 5 4 p 4 q 1 =,26 p(x=5) = C 5 5 p 5 q =,8 Le modèle de Poisson correspond à la endance de la loi de Bernouilli quand p es faible e quand n es grand (infini). Son expression es p(x = k) = e -m. m k /k! où m es un paramère qui correspond à la valeur moyenne de X. Des ables permeen de donner les valeurs de p(x = k). On peu aussi uiliser une calculee. exemple 2 : un phénomène sui une loi de Poisson de moyenne 4 ; soi A l'évènemen aendu. Quelle es la probabilié d'obenir A 8 fois, moins de 8 fois? p(x = 8) =,298 p(x < 8) = p(x = ) + p(x = 1) + p(x = 2) + p(x = 3) + p(x = 4) + p(x = 5) + p(x = 6) + p(x = 7) =,9489 Ce dernier résula monre que la probabilié pour que X > 8 es faible : p(x > 8)=1-p(X < 8)- p(x = 8)=,213 La loi de Gauss (ou Laplace-Gauss ou loi normale) es bien connue. Elle es uilisée pour une variable aléaoire coninue (e non pas discrèe comme dans les modèles précédens). Elle es définie à parir de la densié de probabilié

211 où m représene la moyenne e l'écar-ype. La probabilié pour que X < x es donnée par l'expression Les ables donnen les valeurs de p pour la loi réduie (m = e = 1). On passe de la loi réduie à la loi normale avec les formules de ransformaion : exemple 21 : Sur un effecif de 25 personnes, on mesure la aille en cm. La moyenne es 169 cm e on adme que la aille sui une loi de Gauss d'écar-ype = 5,6. Quelle es la probabilié pour que la aille d'un individu soi inférieure à 155 cm? Réponse : en uilisan les ables, on a = ( )/5,6 = -2,5, puis p(t < -2,5) = 1-p(T < 2,5) = 1-,9938 =,62 Quelle es la probabilié pour que la aille d'un individu soi supérieure à 172 cm? Réponse : p(x > 172) = 1-p(X < 172) = 1-p(T < ) avec = ( )/5,6 =,53 donc, avec l'aide des ables, p(x > 172) = 1-,719 =,2981 Programmes généraeurs

212 Le problème que l'on se pose mainenan es le suivan. On désire simuler des expériences don les phénomènes obéissen à des lois de probabilié définies. Plus précisémen, commen générer des nombres aléaoires obéissan à une loi de probabilié donnée? Pour répondre à cee quesion, il fau inroduire la foncion de répariion F(x) don la définiion es : F(x) = p(x < x) Il s'agi donc d'une foncion cumulaive qui donne la somme de oues les probabiliés depuis la valeur la plus peie de X jusqu'à la valeur x. Bien enendu, F(x) es comprise enre e 1 exemple 22 : Reprenons l'exemple 17 e déerminons la foncion F(x) dans le cas de ce exemple : pour x < 1, F(x) = pour x[1,2[, F(x) = p(x = 1) =,2 pour x[2,3[, F(x) = p(x = 1) + p(x = 2) =,5 pour x >= 3, F(x) = p(x = 1) + p(x = 2) + p(x =3 ) = 1 La représenaion graphique de la courbe correspondane es donnée ci-dessous : D'une manière générale, F(x) a oujours l'allure d'une courbe croissane, paran de e allan vers 1. Pour une variable aléaoire coninue, l'allure de F(x) es donnée ci-dessous :

213 En examinan cee courbe, on voi que la soluion à nore problème consise en deux éapes : 1ère éape : Tirer au hasard (loi uniforme) un nombre z compris enre e 1 2ème éape : En uilisan la foncion inverse de F(x), déerminer un nombre aléaoire a suivan la loi de probabilié fixée. Pour irer un nombre au hasard de manière uniforme enre e 1, plusieurs procédés, plus ou moins performans, son uilisés. Donnons en un exemple à ire d'illusraion. Considérons la récurrence y i = k.y i-1 + C (modulo T) Prenons y = 2357, k=515, C=, T=1. On obien successivemen : y 1 =3855 d'où z 1 =,3855 y 2 = 5325 d'où z 2 =,5325 y 3 = 2375 d'où z 3 =,2375 y 4 = 3125 d'où z 4 =,3125 y 5 = 9375 d'où z 5 =,9375 y 6 = 8125 d'où z 6 =,8125 ec... Les ordinaeurs son pourvus de généraeurs de nombres aléaoires (en fai pseudoaléaoires) ce qui perme l'uilisaion aisée de la simulaion avec des programmes informaiques. La seconde éape es plus délicae e dépend de la loi de probabilié uilisée car la foncion inverse de F(x) n'es pas en général aisée à rouver. Examinons quelques exemples : a) loi uniforme Trouver un nombre aléaoire compris enre a e b : = (b-a)z+a b) loi de Poisson Trouver un nombre aléaoire suivan la loi de Poisson. On déermine un nombre enier el que c) loi normale de Gauss

214 Trouver un nombre aléaoire suivan la loi de Gauss. Plusieurs algorihmes exisen. Nous en donnons un ci-dessous rès simple : = Pour k=1 à 12 par valeurs enières + z Fin Pour + m On pourra, pour plus de précision, uiliser le programme gen2 qui génère des nombres aléaoires suivan plusieurs lois de probabiliés avec comparaison avec les disribuions héoriques. Tess Exercice 1 Soi f la foncion définie sur R par f(x)=kexp(- x ). a) déerminer k pour que f soi la densié de probabilié d'une variable aléaoire réelle X. b) déerminer la foncion de répariion de la variable aléaoire réelle X admean f comme densié de probabilié. c) soi Y=X*X. Déerminer la foncion de répariion e la densié de Y. Exercice 2 Pour X suivan une loi de Poisson de paramère 4, quelle es la probabilié pour que X soi inférieur à 8? pour que X soi égal à 8?

215 Exercice 3 On a consaé que la répariion du aux de cholesérol pour un grand nombre de personnes es la suivane : aux inférieur à 165 cg : 58% aux compris enre 165 e 18 cg : 38% aux supérieur à 15 cg : 4% a) sachan que la répariion sui une loi normale, calculer la valeur moyenne du aux de cholesérol e l'écar-ype. b) on adme que les personnes don le aux es supérieur à 183 cg doiven subir un raiemen. Quel es le nombre de personnes à soigner dans une populaion de 1 personnes? Exercice 4 On mesure la aille en cenimères de 25 hommes. La disribuion obenue sui une loi de Laplace-Gauss de moyenne 169 cm e d'écar-ype 5,6 cm. a) indiquer sous forme de pourcenage les proporions d'hommes don la aille es : inférieure à 155 cm supérieure à 172 cm. b) de par e d'aure de la valeur moyenne, quelles son les ailles qui limien un effecif représenan 6% de la populaion? Exercice 5 Un lo conien 3% de pièces défecueuses.

216 a) on prélève au hasard un échanillon de 1 pièces. Les pièces éan rès nombreuses, on adme que le irage peu êre considéré comme fai au hasard e avec remise. Soi X la variable aléaoire "nombre de pièces défecueuses dans l'échanillon".` quelle es la loi de probabilié de X? quelles son les valeurs de l'espérance mahémaique e de l'écar-ype? Quelle es leur significaion? calculer p(x=) e p(x>=1). b) on conrôle oues les pièces mais le mécanisme de conrôle es aléaoire. Une pièce bonne es accepée avec une probabilié de,98, une pièce défecueuse es refusée avec une probabilié de,99. Calculer la probabilié des événemens suivans : une pièce refusée l'es à or une pièce accepée l'es à or. Exercice 6 Les disribueurs auomaiques de imbres pose émeen une fois sur dix un imbre poran un numéro au verso ; les imbres numéroés son coés à par dans le caalogue. Un collecionneur reçoi dans son courrier cinq leres de provenances différenes, chacune d'elles éan affranchie à l'aide d'un imbre émis par un disribueur auomaique. Avan de décoller les imbres, considéran que le nombre de imbres numéroés es une variable aléaoire X, il se pose différenes quesions : a) quel es l'ensemble des valeurs que peu prendre X? b) quelle es la loi de probabilié de X? c) quelle es l'espérance mahémaique de X? d) quelle es la probabilié pour qu'au moins deux des imbres soien numéroés? Soluion de l'exercice 1 f(x)=kexp(- x ).

217 a) déerminaion de k b) foncion de répariion c) Y=X 2 Soi G la foncion de répariion de Y : Soluion de l'exercice 2 En uilisan les ables pour la loi de Poisson, on a : p(x < 8) =,9489 e p(x = 8) =,298

218 Soluion de l'exercice 3 a),58 es la fréquence cumulée relaive à p(t <,21) e,96 es la fréquence cumulée relaive à p(t < 1,75). Donc X = 165 correspond à =,21 e X = 18 correspond à = 1,75. Comme = (X-m)/, on a le sysème :,21s + m = 165 e 1,75+ m = 18 ce qui condui à = 9,74 e m = 163 b) Pour X = 183, on = ( )/9,74 = 2,53 p(t< 2,5) =,9798 donc p(t > 2,5) = 1 -,9798 =,22 = 22/1 ce qui signifie que 22 personnes son concernées. Soluion de l'exercice 4 effecif : 25 ; loi de Laplace-Gauss (normale) de moyenne m = 169 e d'écar-ype = 5,6 a) -proporion d'hommes don la aille es inférieure à 155 cm p(x<155) = p(t<( )/5,6) = p(t<-2,5) = 1 - p(t<2,5) = 1 -,9938 =,62 d'où N = 25 x,62 = 16 personnes environ - proporion d'hommes don la aille es supérieure à 172 cm p(x>172) = 1 - p(x<172) = 1 - p(t<( )/5,6) = 1 - p(t<,53) = 1 -,719 =,2981 d'où N = 25 x,2981 = 745 personnes environ b) ailles limian un effecif représenan 6% de la populaion ; on a p( T >) =,4 La able donne =,8416 = (x - 169)/5,6 d'où x1 = 173,71 cm x2 = (173,71-169) = 164,29 cm

219 Soluion de l'exercice 5 La probabilié pour qu'une pièce soi défecueuse es p =,3 a) La loi de probabilié de X es la loi binomiale de moyenne <X> = np = 1 x,3 =,3 e d'écar-ype =(npq),5 =,54. donc p(x=k) = C 1 k (,3) k (,97) 1-k En pariculier p(x=) = (,97) 1 =,737 e p(x>=1) = 1 - p(x=) =,263 - quelles son les valeurs de l'espérance mahémaique e de l'écar-ype? Quelle es leur significaion? - calculer p(x=) e p(x>=1). b) conrôle des pièces La probabilié de refuser une pièce à or es p(bonne si refusée ) = p(refusée e bonne)/p(refusée) =,4 La probabilié d'acceper une pièce à or es p(mauvaise si accepée) = p(accepée e mauvaise)/p(accepée) =,3