TS Exercices sur les limites de suites (1)

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1 TS Exercices sur les limites de suites () Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q. Das chacu des cas suivats, doer la limite de la suite u. ) u0 ; q ) u 0 ; q ) 0 4 ) u0 6 ; q ) 0 u Soit u la suite défiie sur par u ; ) Démotrer que l o recotre ue forme idétermiée. ) a) Vérifier que, pour tout etier aturel, o a : b) Quelle est la limite de la suite u? u ; q q 6 ) u0 ; q = 0,9.. Le but de l exercice est de détermier la limite de la suite u. u. Soit u la suite défiie sur par 4. Le but de l exercice est de détermier la limite de la suite u. u ) Démotrer que l o recotre ue forme idétermiée. ) a) Vérifier que, pour tout etier aturel, o a : b) Quelle est la limite de la suite u? 4 4 u. 4 Soit u la suite géométrique de premier terme u et de raiso Pour tout etier, o ote S u u... u. ) Exprimer S e foctio de. ) Etudier la covergece de la suite S. Pour chacue des propositios suivates, répodre par vrai ou faux. Justifier la répose doée : q. das le cas où la propositio paraît fausse, e doat u cotre-exemple ; das le cas où la propositio paraît exacte, e doat ue démostratio. a) Toute suite strictemet décroissate a pour limite. b) Pour toutes suites u et v à termes strictemet positifs qui ot pour limite +, la suite u v c) Pour tout réel q > 0, la suite q d) Il existe des suites qui ot pas de limite. a pour limite +. coverge vers. 6 Soit u ue suite. Dire si chacue des propositios suivates est vraie ou fausse et justifier la répose. ) Si u coverge, alors u coverge. ) Si u coverge, alors u coverge.

2 Réposes ) + ) ) 0 4 ) 0 ) 6 ) 0 ) O recotre ue forme idétermiée du type «) O recotre ue forme idétermiée du type «4 4 ) S ) a) F b) F c) F d) V lim S 4» ) b) lim u 0» ) b) lim u 0 a) O doe u cotre-exemple. Remarque de logique : La égatio de «toute» est «au mois ue». Soit u la suite défiie par u. La suite u est strictemet décroissate et coverge vers 0. b) O doe u cotre-exemple. Soit u et Les suites * u v v les suites défiies par u et u et v. v diverget toutes les deux vers +. La suite u v diverge vers +. N.B. : Ce type de questio est u problème de «croissace comparée». c) O doe u cotre-exemple. Soit u la suite défiie par u. La suite u coverge vers 0 car (cours sur la limite d ue suite géométrique d) O doe u exemple. Remarque sur la formulatio de la propositio : «Il existe des» sigifie ici «Il existe au mois ue». La suite u défiie par u a pas de limite.

3 6 Il s agit d u exercice de logique. Ue remarque cocerat les otatio : u désige la suite de terme gééral u. ) V (opératios algébriques sur les suites covergetes ; si u coverge vers l, alors l ) u ) ) F (u cotre-exemple est fouri par la suite u défiie sur par La suite u a pas de limite mais la suite covergete (vers u u u coverge vers u qui est costate (puisque tous les termes sot égaux à ) est

4 Solutios détaillées Thème de l exercice : détermier la limite d ue suite géométrique Méthode : O commece par exprimer le terme gééral de la suite e foctio de. ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q. Détermios la limite de la suite ( u u. O peut dire que doc lim Par suite, lim u. (règle du cours O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u diverge vers +. O peut aussi dire qu elle ted vers +. ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q. Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que doc lim (règle du cours Par suite, lim u. u. O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u diverge vers. ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que doc Par suite, lim u 0. u. lim 0 (règle du cours q O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0.

5 4 ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 6 et de raiso Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que doc Par suite, lim u 0. u 6. lim 0 (règle du cours q O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0. ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que u. doc lim (règle du cours Par suite, lim u. O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u diverge vers. 6 ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q = 0,9 Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que u 0,9. 0,9 doc lim 0,9 0 (règle du cours Par suite, lim u 0. O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0. u ) Démotros que l o recotre ue forme idétermiée. lim car doc o recotre ue forme idétermiée du type «lim car». N.B. : «Forme idétermiée» e veut pas dire que la suite a pas de limite. Ici, cela veut tout simplemet dire que la forme de base e permet pas de savoir si la suite admet ue limite i la valeur de la limite.

6 O écrit pas : lim u O se garde égalemet d écrire FI i lim u lim u (même si o écrit «forme idétermiée» à côté lim FI. lim est pas égal à (car o e peut pas cosidérer l ifii est pas u ombre ) a) Vérifios que u. u b) Détermios la limite de la suite u. N.B. : O va réussir à trouver la limite de la suite par ue autre expressio. lim 0 car lim 0 car doc par limite d ue somme, lim u 0. O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0. O peut reteir la méthode de cet exercice qui a permis de lever la FI (méthode de réécriture O pourrait aussi s appuyer sur d autres raisoemets qu ous utiliseros pas cette aée («termes prépodérats : ici la puissace de est prépodérate sur la puissace de 4 u ) Démotros que l o recotre ue forme idétermiée. lim 4 car 4 doc o recotre ue forme idétermiée du type «lim car».

7 ) a) Vérifios que u u. 4 4 b) Détermios la limite de la suite u. 4 4 lim 0 car 4 0 lim car et 0 4 doc par limite d u produit, lim u 0. O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0. De ouveau, o voit das cet exercice u moye de lever la FI (méthode de réécriture

8 4 u : suite géométrique de premier terme u et de raiso S u u... u ) Exprimos S e foctio de. q D après la formule sommatoire * doat la somme des premiers termes d ue suite géométrique, S u u... u q q u 4 * Formule sommatoire doat la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique : terme er q q ombre de termes S. ) Étudios la covergece de la suite 4 4 lim lim 0 car doc lim Doc par limite d u produit : lim S 4. Commetaire : O voit ici ue somme de termes qui coverge! O peut aisémet voir que 4 est pas u majorat de la suite ( S Le lie etre majorat et limite de suite sera explicité plus tard.

9 Vrai ou faux? Il s agit de phrases quatifiées. a) Toute suite strictemet décroissate a pour limite. Faux. Soit u la suite défiie sur * par u. La suite u est strictemet décroissate et coverge vers 0. D autres cotre-exemples sot évidemmet possibles. Il est possible de cosidérer la suite u défiie sur par u 0,9. u est strictemet décroissate à partir de l idice 0 et lim u 0 (car < 0,9 < Toute suite géométrique de premier terme strictemet positif et de raiso comprise strictemet etre et fourit u cotre-exemple. b) Pour toutes suites u et v à termes strictemet positifs qui ot pour limite +, la suite u v coverge vers. Faux. Soit u et Les suites v les suites défiies par u et u et v. v diverget toutes les deux vers +. * u v La suite u v diverge vers +. N.B. : Ce type de questio est u problème de croissate comparée. Il y a d autres cotre-exemples possibles comme celui qui est doé ci-dessous. Soit u et O a : lim u De plus v les suites défiies par u et v (o s appuie sur l exercice et lim v u v (car > et >

10 u Doc lim 0 (car v u Doc la suite coverge vers 0 et o pas. v c) Pour tout réel q > 0, la suite q a pour limite +. Faux. 0 Pourtat, lim 0. La suite u coverge vers 0 car (cours sur la limite d ue suite géométrique Tout réel q compris etre 0 et fourit u cotre-exemple. d) Il existe des suites qui ot pas de limite. Vrai. Remarque sur la formulatio de la propositio : «Il existe des» sigifie ici «Il existe au mois ue». Rédactio : La suite u défiie par u a pas de limite. Rédactio : Soit u la suite défiie par u a pas de limite. u. Toute suite géométrique de premier terme o ul dot la raiso est iférieure ou égale à fourit u exemple pour l affirmatio.

11 6 Vrai ou faux? ) Si u coverge, alors Vrai. Si u coverge vers l, alors ) Si u coverge. u u u coverge vers u coverge, alors u coverge. Cette phrase est la réciproque de la phrase du l (limite d u produit Faux. u. O cosidère la suite u défiie sur par La suite u u coverge vers mais u a pas de limite. O peut formuler ces phrases (implicatios) avec les expressios «coditio écessaire» - «coditio suffisate».

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