Chapitre V : Ondes électromagnétiques dans le vide

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1 Spéiale PSI - Cours "Physique des ondes" 1 Ondes éleromagnéiques dans le vide Objeifs : Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide Propagaion d une onde éleromagnéique dans le vide Polarisaion d une onde éleromagnéique 1. Propagaion du hamp éleromagnéique dans le vide 1.1. Rappels Les bases de l éleromagnéisme dans le vide e l éablissemen de l équaion de propagaion du hamp éleromagnéique on éé éudiés dans les hapires I e II du ours d éleromagnéisme : Chapire I : Charges e ourans - Champ éleromagnéique en régime permanen Chapire II : Equaions de Mawell dans le vide 1.. Les prinipau résulas Les posulas de l éleromagnéisme son : la loi de fore de Lorenz F = q( E + v B) ; les quare équaions de Mawell qui régissen l évoluion loale du hamp éleromagnéique dans ou référeniel galiléen : équaion de Mawell-Gauss (M-G) : div E = 0 équaion de Mawell-Ampère (M-A) : E ro B = j + 0 équaion du Flu magnéique (M-) : div B =0 équaion de Mawell-Faraday (M-F) : ro E = B Le hamp élerique obéi à l équaion : E = E 1 E = 1 0 grad + j (= 0 dans un domaine sans harge ni ouran) Le hamp magnéique obéi à l équaion : B = B 1 B = ro j (= 0 dans un domaine sans ouran) A la raversée d une nappe, séparan deu milieu 1 e, poran les harges e les ourans surfaiques e j S, le hamp éleromagnéique présene une disoninuié (nie : E E 1 = 0 n 1 e B B 1 = j S n 1 Les équaions du Flu magnéique e de Mawell-Faraday assuren l eisene d un poeniel salaire V e d un poeniel veeur A elque: B = ro A e E = grad V A Ave le hoi de jauge de Lorenz div A + 1 V au ourans par les équaions =0, les poeniels salaire V e veeur A son liés au harges e V = V 1 V = 0 =0 dans le vide A = A 1 A = µ 0 j = 0 dans le vide Les soluions des équaions au poeniels son les poeniels reardés : V (M,) = D )d r PM e A(M,) = µ 0 4 ave = 1 (P, PM 0 D j(p, PM r PM )d Poeniels reardés

2 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide L approimaion des régimes quasi saionnaires onsise à négliger le reard de propagaion de l informaion. Ce emps de propagaion doi êre négligeable devan les emps araérisiques du phénomène éudié : ela revien à prendre la limie +. Dans ee approimaion le veeur densié de ouran élerique j es à +u onservaif. Dans l approimaion des régimes quasi saionnaires, les soluions des équaions au poeniels son : V (M,) = 1 (P,)d 4 0 D r PM e A(M,) = µ 0 j(p,)d 4 D r PM ave = 1 0 Ces epressions son ideniques à elles des régimes permanens. La jauge de Lorenz es équivalene à la jauge de Coulomb. Dans l approimaion des régimes quasi saionnaires, les soluions des équaions au hamps son : B(M,) = µ 0 j(p,)de PM 4 même epression qu en régime permanen D rpm E = gradv A epression diérene de elle du régime permanen Le bilan énergéique raduisan l évoluion de l énergie du hamp éleromagnéique onenue dans un volume V délimié par la surfae fermée S s éri : sous forme inégrale sous forme loale ave : V w d = V j.ed S.dS div + w + j.e =0 = E B veeur de Poyning w = 0E + B densié volumique d énergie éleromagnéique. Propriéés de l onde plane progressive dans le vide.1. Hypohèses Nous éudions la propagaion d une onde éleromagnéique (hamp élerique E e hamp magnéique B) dans le vide : Le hamp élerique obéi à l équaion : E = E 1 E = 0 Le hamp magnéique obéi à l équaion : B = B 1 B = 0 Soi une onde éleromagnéique E, B plane progressive se propagean dans le sens posiif sur l ae (O) (don soluion de la double équaion de propagaion). Nous savons (d après les ours préédens sur les ondes dans les ordes ou les ondes sonores) que les hamps son don des fonions de / : E = E e B = B En noan s l une quelonque des omposanes de E ou de B : s y = s s s s z =0e = e = 1 s On supposera dans la suie qu il n eise pas de hamp onsan élerosaique ou magnéosaique se superposan au hamps variables E e B.

3 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide 3.. Transversalié des hamps Dans ou domaine vide de harge, le hamp élerique E es à 5u onservaif (équaion de Mawell-Gauss (M-G) : div E = 0 =0). Les deu hamps E e B sondonàdivergenenulle:div E =0e div B =0. Nous obenons alors pour E div E = "E " + "E y "y + " "z =0 "E " =0 Compe enu de la relaion eisan enre les dérivées parielles par rappor à e à : "E " =0 1 "E =0 E = se " Pour la parie variable du hamp (pas de hamps saiques) nous avons don E =0e il en es de même pour le hamp magnéique B =0. Les hamps E e B n on pas de omposanes sur la direion de propagaion, les veeurs son don perpendiulaires à la direion de propagaion, on les quali(e de ransverses. O B r E r direion de propagaion Phoographie des hamps à un insan donné.3. Relaion enre E e B Eploions une des deu équaions de ouplage, Mawell - Faraday ou Mawell - Ampère enre E e B : ro E = " B " ; " E ro B = 0 " = 1 " E " En raisonnan par eemple sur Mawell - Faraday, epliions les omposanes du roaionnel : ro E = " B " = y E z E y Ey z E y B B y Bz soi pour le hamp E soi pour le hamp B On a don : " " = "B y " e "E y " = "B z " Soi par inégraion par rappor à e en eluan une omposane saique : : 0 ro E = Ez E y : " B 0 " = By B z E y = B z + se = B z e = B y + se = B y Les deu relaions obenues enre les omposanes sur y e z peuven se raduire par une seule relaion veorielle : B = 1 (u y + E y u z ) Pour une onde plane progressive (suivan u ) les hamps E e B son ransverses e B = E/ : B = 1 u E

4 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide 4.4. Energie volumique, puissane rayonnée Le hamp éleromagnéique E (), B () ranspore une énergie éleromagnéique volumique : Comme B = E/, l énergie volumique magnéique s éri : w = w E + w B = 0E + B w B = B = E = 0E = w E w = w E + w B =w E = 0 E Le veeur de Poyning s éri alors : = E B = E 1 u E = 0 E u = wu O B r E r r direion de propagaion Cee epression orrespond à une énergie se propagean ave le hamp éleromagnéique (don dans la direion du veeur u ) à la viesse. En e8e, l énergie éleromagnéique qui raverse, pendan la durée d, une surfae S hoisie perpendiulaire à la direion de propagaion u s éri :.ds d = wu.ds d = w u.ds d =(ws) d = w(sd) Ce qui orrespond bien à une énergie raversan la surfae S ave une viesse enre e + d (l énergie qui raverse S pendan d es onenue dans un ylindre de base S e de haueur d e qui prouve bien que l énergie se déplae ave le hamp à la viesse )..5. Fore eerée par une onde plane sur une harge L epression de la fore de Lorenz f = q E + v B perme de aluler le rappor des normes de la fore magnéique e de la fore élerique : f B v B f E = vb E E = v Pour des pariules hargées non relaivises v 1 e par onséquen : f B v 1 f E Lorsqu une onde progressive ineragi ave des pariules hargées, la fore magnéique es négligeable devan la fore élerique. 3. Onde plane progressive monohromaique Une onde plane progressive monohromaique qui se propage sans déformaion dans le sens des roissans es de la forme : s(m,) =s( )=s m os ' + ( 0

5 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide Phase, propagaion de la phase L onde es supposée se propager dans le sens posiif sur l ae (O). Phase de l onde ( : ( = ' + ( 0 Veeur d onde k : k = u Module k du veeur d onde : k = k = Eriure inrinsèque de la phase ( : Une origine quelonque O ayan éé hoisie, la phase ( au poin M dé;ni par r = OM s éri indépendammen du repère hoisi : ( = k.r ' + ( 0 A un insan donné ee phase es onsane dans ou plan perpendiulaire au veeur d onde k d où le nom de plans équiphases donné alors au plans d onde. Viesse de phase v : Lorsque le emps s éoule, la phase rese onsane si : ( = se d( =0 kd 'd =0 v = d d = k Pour une onde plane progressive se propagean dans le vide, puisque k =, la viesse de phase v es indépendane de la fréquene de l onde e s ideni;e à la viesse de propagaion des hamps e de l énergie. Pour une OPPM : v = O M k Longueur d onde dans le vide * 0 : Pendan une période, un plan d onde se propage sur une longueur * 0 elle que : * 0 = v T = ' k, ' * 0 = k Pour une onde plane progressive se propagean dans le vide : * 0 = T L onde présene ainsi une double périodiié, emporelle e spaiale, résumée dans le ableau suivan : Période Fréquene Pulsaion Variaions emporelles T - = 1 T ' = T * = Variaions spaiales 1 " k = " longueur d onde nombre d onde module du veeur d onde

6 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide Sruure de l onde plane progressive monohromaique Les propriéés dégagées au paragraphe prééden onernan la sruure de l onde plane progressive subsisen, la relaion fondamenale lian E e B s éri pour une onde monohromaique de pulsaion ' à l aide du veeur d onde k : B = 1 v u E = k u E = k E O E r r direion de propagaion B r Le veeur de Poyning onserve la même epression : = E B = 0 E u = wu La puissane insananée ransporée par une onde plane progressive monohromaique à ravers une surfae S s érivan :.S = 0 E u.s Les hamps E e B son don en phase e onsammen perpendiulaires mais en général ournen dans le plan d onde e ne resen don pas parallèles à une direion ;e omme peu le laisse penser à or le shéma qui es une phoographie d un plan d onde à un insan donné : es le problème de la polarisaion de l onde. E k B 3.3. Polarisaion Eudions l évoluion en fonion du emps des veeurs E e B dans un plan d onde donné, par eemple le plan =0.Par onvenion, l observaeur es supposé faire fae au hamp éleromagnéique qui progresse don vers lui. Il su? de dérire l évoluion du hamp élerique E, le hamp magnéique B s en déduisan par la relaion de sruure de l onde plane progressive B = k E. Les omposanes de E sur Oy e Oz s ériven : E y = os k. ' + ( y = E0y os ' ( y e = os (k. ' + ( z )= os (' ( z ) Ou enore en posan ( = ( z ( y e par hangemen de l origine des emps : E y = os (') e = os (' () On a ainsi une représenaion paramérique de la ourbe dérie par l erémié du veeur hamp élerique dans le plan =0. On reonnaî la représenaion paramérique d une ellipse e don l éa de polarisaion le plus général d une onde plane progressive monohromaique es la polarisaion ellipique (voir à la ;n de e paragraphe le as de la lumière naurelle non polarisée ).

7 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide 7 z B r E r y Polarisaion ellipique Eliminons le emps de façon à obenir la représenaion arésienne de l ellipse préédene : E y = os (') os (') = E y = os (' () = [os (')os(()+sin(')sin(()] Ey = os (()+sin(')sin(() nous avons don : E os (')sin(() = y sin (() sin (')sin(() = E y os (() En élevan au arré haque égalié puis en somman : Ey Ez Ey Ez + os (() =sin (() On reonnaî bien l équaion arésienne d une ellipse, rajeoire dérie par l erémié du veeur E. Cherhons le sens de roaion sur l ellipse : E y = os (') es maimal pour =0. A e insan : "Ez = 'E oz sin (() " =0 l observaeur qui réepionne l onde voi l erémié du veeur hamp élerique parourir l ellipse dans le sens rigonomérique si sin (() es posiif : la polarisaion es die ellipique gauhe. A l inverse, si sin (() es négaif, la polarisaion es die ellipique droie. Ez > 0 sin (() > 0 0 < ( <, : polarisaion ellipique gauhe =0 Ez < 0 sin (() < 0, < ( < 0 : polarisaion ellipique droie Polarisaion irulaire =0 L ellipse préédene devien un erle si les vibraions sur les deu aes on même ampliude e son en quadraure l une par rappor à l aure : ( = ± e =. = e Polarisaion reiligne ( =+ Eg = E 0 os k.r ' ( = Ed = E 0 os k.r ' u y +sin u y sin k.r ' u z k.r ' u z : polarisaion irulaire gauhe : polarisaion irulaire droie L ellipse préédene devien une droie si les vibraions sur les deu aes son en phase ou en opposiion de phase l une par rappor à l aure : ( =0 : E y = ( = ±, : Ey = E0y

8 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide Onde non polarisée La lumière émise par les soures lassiques (soleil, lampes, e..) voi sa polarisaion varier rès rapidemen e de façon aléaoire. Une onde plane progressive possède alors une symérie de révoluion auour de la direion de propagaion : on di qu une elle onde n es pas polarisée. C es don le as de la lumière naurelle Représenaion omplee d une onde sinusoïdale Polarisaion quelonque (ellipique) Le hamp élerique s éri : E = os k.r ' + (y u y + os k.r ' + (y u z Ce hamp peu êre regardé omme la parie réelle d un hamp omplee E = e E ave : Champ omplee E qui peu enore s érire : E = e j( k.r+ y ) uy + e j( k.r+ z ) uz E = E 0 e j( k.r) ave E 0 = e j y uy + e j z uz Ave les noaions préédenes (( = ( z ( y e par hangemen de l origine des emps) E = E 0 e j( k.r) ave E0 = u y + e j u z Polarisaion irulaire Cirulaire gauhe : ( =+ e = E0g = u y + e j u z = u y + j u z E g = E 0 (u y + ju z ) e j( k.r) Cirulaire droie : ( = e = E0d = u y + e j uz = u y j u z E d = E 0 (u y ju z ) e j( k.r)

9 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide Polarisaion reiligne L onde es polarisé reilignemen si : ( =0 : E y ( = ±, : Ey = = E0y E 0 = u y + u z E 0 = u y u z Le veeur E 0 es dans e as réel. Pour alléger l ériure nous hoisissons : l ae (O) omme direion de propagaion, l ae (Oy) omme direion de polarisaion : E don : E 0 = E 0 u y E = E 0 e j( k.r+) uy Ou enore plus simplemen si nous pouvons ;er la phase à l origine : Remarquons que : Nous rerouvons le résula lassique : E = E 0 e j( k.r) uy E d + E g = E 0 (u y ju z ) e j( k.r) + E0 (u y + ju z ) e j( k.r) =E0 u y e j( k.r) La somme de deu vibraions de même ampliude polarisées irulairemen en sens opposés es une vibraion reiligne Eriure en noaion omplee des équaions de Mawell On éabli sans di?ulé que : j' ' div j k. ro j k k Les équaions de Mawell dans le vide, en l absene de harges e de ourans, s ériven don pour une onde monohromaique sur les hamps omplees : Mawell-Gauss (M-G) : k.e =0 Flu magnéique (M-) : k. B =0 Mawell-Ampère (M-A) : k B = E Mawell-Faraday (M-F) : k E = ' B La sruure d une onde plane progressive monohromaique s en dédui immédiaemen : k. B = 0 k perpendiulaire à B k. E = 0 k perpendiulaire à E k E = ' B B = k ' E Nous rerouvons k = '/ ave les équaions de Mawell-Ampère e Mawell-Faraday : k E k = ' ' E k + ' E = 0 k = ' 3.6. Puissane omplee La dé;niion générale du veeur de Poyning = E B donne la puissane insananée ransporée par une onde plane progressive à ravers une surfae S (prise pour simpli;er perpendiulaire à la direion de propagaion) : S () = ().S = 0 SE () Pour une onde monohromaique prise, à nouveau pour simpli;er l ériure, polarisée reilignemen : E = E 0 os (k. ') u y S () = 0 SE 0 os (k. ')

10 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide 10 On en dédui la puissane moyenne : S () = 0 SE 0 os (k. ') = 0SE 0 os (k. ') = 1 0SE 0 Si l on ravaille ave les hamps omplees : E = E 0 ep (k. ') u y B = B 0 ep (k. ') u z = E 0 ep (k. ') u z Nous dé;nissons alors, omme en éleroinéique pour la puissane omplee, un veeur de Poyning omplee par : = 1 E B La puissane moyenne s obenan à parir du veeur de Poyning omplee par : S () = e.s Dans le as d une onde polarisée reilignemen : E on rerouve bien : S () = 1 u z.s = 1 0SE0 4. Eeries = 1 E B = 1 E0 u z (ii es réel, mais e n es pas général) E 0 Eerie n 01 (ENSI) Deu ondes planes progressives monohromaiques polarisées reilignemen se propagen, dans le vide, dans le même sens (veeur uniaire u). A l endroi où on se rouve le hamp élerique de la première s éri E 1 os ' 1, e elui de la seonde E os (' + 0). (' 1 e ' son posiifs). 1) Caluler les valeurs moyennes 1 1 e 1 des veeurs de Poyning de haque onde. ) Caluler la valeur moyenne 1 du veeur de Poyning de l onde résulane. Quand a--on 1 = ? De quel phénomène s agi-il? Eerie n 0 (ENSI) Une onde plane progressive monohromaique es polarisée irulairemen, elle se propage dans le vide. 1) Epliier les hamps élerique e magnéique. ) Caluler le veeur de Poyning. Eerie n 03 (Cenrale) Un laser éme, en oninu, ave une puissane de 10 W, une onde plane d éendue ransversale 1mm. Caluler les ampliudes des hamps élerique e magnéique. Eerie n 04 (Mines Pons) Une onde plane progressive monohromaique (de pulsaion '), se ré4éhi normalemen sur un plan méallique parfaiemen ondueur. (On pourra admere que les hamps E e B son nuls au sein du méal). 1) Quels son les hamps ré4éhis e les hamps oau? ) Que se passe--il dans le plan méallique? 3) L onde es polarisée irulairemen, aluler le veeur de Poyning. Eerie n 05 Une onde éleromagnéique se propage dans le vide, parallèlemen à (O), enre les plans z =0e z = a parfaiemen ondueurs. Son hamp élerique es E = E 0 sin z a os (' k)ey. 1) Quel es le hamp magnéique assoié à ee onde? ) Cee onde es-elle plane? ransverse? Es-e en désaord ave les valeurs des divergenes des hamps élerique e magnéique dans le vide? 3) À quelle ondiion les hamps obenus son-ils e;eivemen ompaibles ave les équaions de MAXWELL dans le vide? Quelle es la relaion de dispersion des ondes éudiées? 4) Quelle viesse de phase pouvons-nous assoier à es ondes? Quelle es la pariularié de ee viesse? 5) Caluler l énergie moyenne onenue dans un parallélépipède de volume [yz] ave = y = 1e z = a. 6) Quelle es l énergie moyenne ransporée, par unié de emps, par l onde à ravers une seion de haueur a e de largeur unié perpendiulaire à la direion de propagaion de l onde? 7) Quelle viesse d énergie pouvons-nous assoier à ee onde? La omparer à la viesse de phase. Eerie n 06

11 Physique des ondes. Chapire V : Ondes éleromagnéiques dans le vide 11 On dispose dans le vide deu plans parfaiemen ondueurs, parallèles, d équaions respeives = 0 e = a. On se propose d éudier une onde éleromagnéique, saionnaire, plane, monohromaique, à polarisaion reiligne enre es deu plans E = E 0 f ()os(')e y. 1) En admean que les hamps E e B soien nuls dans un méal parfaiemen ondueur, érire les ondiions au limies que doiven véri@er les hamps E e B dans le vide en =0e = a. ) Déerminer la fonion f() e monrer que la pulsaion ' es néessairemen quani@ée. 3) Caluler le hamp magnéique B de ee onde. 4) Caluler l énergie élerique E E e l énergie magnéique E B emmagasinée dans un volume ylindrique d ae (O), siué enre les deu plans e de seion S. Monrer qu il y a éhange permanen enre énergie élerique e énergie magnéique.