Suites réelles ou complexes

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1 3 Suites réelles ou complexes 3. Prérequis L esemble R des ombres réels est supposé costruit avec les propriétés suivates : c est u corps commutatif totalemet ordoé ; il cotiet l esemble Q des ombres ratioels ; il est archimédie, c est-à-dire que : a R +,, b R +, N a > b. Pour tout réel x, o ote E x la partie etière de x, c est l etier relatif défii par : E x x < E x +. L existece de cette partie etière se déduit du caractère archimédie de R. La corps C des ombres complexes est égalemet supposée costruit. Les élémets de R ou C serot appelés scalaires. Les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés cous de même que les foctios usuelles exp, l, si, Ces otios serot étudiées plus loi. 3. Gééralités sur les suites réelles ou complexes Les réels état des complexes particuliers, les suites cosidérées sot a priori complexes. O rappelle qu ue suite d élémets de ombres complexes est ue applicatio défiie sur N ou ue partie de N à valeurs das C. O ote usuellemet u = u N ou u = u 0 ue telle suite. Pour simplifier, o suppose que les suites sot défiies sur N et o ote C N l esemble des suites d élémets de ombres complexes. Das l esemble C N, o défiit la somme des suites u = u N et v = v N par u + v = u + v N et le produit de u par le scalaire λ par λu = λu N. Mui de ces deux lois C N est u espace vectoriel sur C. O défiit égalemet le produit des suites u = u N et v = v N par u v = u v N, ce qui cofère à C N ue structure d algèbre commutative sur C. Ue suite u = u N est : costate si : N, u + = u ; 9

2 30 Suites réelles ou complexes statioaire ou plus précisémet statioaire à partir d u certai rag si : p N p, u + = u ; périodique s il existe u etier p tel que : N, u +p = u. Défiitio 3. Soit u = u N ue suite d élémets de C. O dit que v N est ue suite extraite ou ue sous suite de u s il existe ue applicatio ϕ : N N strictemet croissate telle que : N, v = u ϕ. Par exemple, les suites u N, u + N, u N sot extraites de u. O peut vérifier par récurrece que si ϕ : N N est strictemet croissate, alors : Cette propriété est souvet utilisée. N, ϕ. Défiitio 3. O dit qu ue suite réelle u N est majorée [resp. miorée] si l esemble U = {u N} est majorée [resp. miorée] das R, ce qui sigifie qu il existe u réel M [resp. m] tel que : N, u M [resp. m u.] Défiitio 3.3 O dit qu ue suite réelle ou complexe u N est borée si l esemble U = {u N} est boré das C, ce qui sigifie qu il existe u réel M > 0 tel que : N, u M. Exercice 3. Motrer que la suite u = u N défiie par u = k! est borée. Solutio 3. Avec k! k pour tout etier k, o déduit que pour tout >, o a : 0 < u = k! Exercice 3. Motrer que la suite u = u N défiie par u = est borée. Solutio 3. La foctio t t état décroissate sur R+, o a : k, et doc pour, o a : k + k= = 3. k= k+ k + = dt k+ k k + dt k+ k t dt k k = k k= k+ k dt + t = dt t = l + l pour tout k k= k,

3 Gééralités sur les suites réelles ou complexes 3 soit : ou ecore : u l l + u + l 0 < l + u l + + < + l. + Exercice 3.3 Motrer que, pour tout réel α >, la suite u N défiie par :, u = k α k= est borée. Solutio 3.3 Il est clair que u est miorée par 0. La foctio t t α état décroissate sur R+, o a : et doc pour tout, o a : u = + k, k + α k= k= k k k k dt k t dt α k k = α k α dt t = + dt α t = + α α α α α. Exercice 3.4 O désige par u et v les suites défiies par : u = 0 cos t dt, v = et o se propose de motrer que ces deux suites sot borées. cos t dt. Motrer que pour tout réel α > et tout etier, o a : dx x α α.. Motrer que pour tout réel α > la suite w défiie par : est borée. 3. Motrer que : w = v = si x dx x α cos x dx. x 4. E utilisat ue itégratio par parties et le résultat de la questio. pour ue valeur particulière de α, motrer que la suite v est borée. 5. E déduire que la suite u est borée.

4 3 Suites réelles ou complexes Solutio 3.4. O a :. O a : w dx x = α α α α. si x dx x α dx x α α. 3. Le chagemet de variable x = t doe dx = tdt = xdt et : v = cos x dx. x 4. Ue itégratio par parties doe e posat : u =, u = x x x v = cos x, v = si x avec = si et est borée. 5. Résulte de u = 0 v = [ ] si x + x si si + cos t dt + v. si x x x dx 3.3 Suites covergetes ou divergetes si x x x dx si x x x dx boré. Il e résulte que la suite v De maière ituitive, o peut dire qu ue suite u N coverge vers u scalaire l si l écart u l peut être redu aussi petit que l o souhaite dès que est assez grad. Défiitio 3.4 O dit qu ue suite u N est covergete s il existe u scalaire l tel que : ε > 0, 0 N 0, u l < ε. 3. Das l assertio 3., les deux derières iégalités peuvet être strictes ou larges. Il est parfois commode de se iter à ε ]0, [ sas que cela e soit restrictif. E utilisat l iégalité triagulaire das C, o motre facilemet que si ue suite coverge, alors sa ite l est uiquemet détermiée. E effet, s il existe deux scalaires l et l vérifiat 3., o peut alors trouver pour tout réel ε > 0 u etier 0 tel que pour tout 0, o ait : ce qui équivaut à l l = 0. E cas de covergece, o écrira l l = l u + u l l u + u l < ε, u = l ou u l.

5 Suites covergetes ou divergetes 33 Exercice 3.5 Motrer que = 0. Solutio 3.5 Pour ε > 0 doé il existe u etier 0 > R est archimédie, ce qui implique ε que pour tout 0, o a u = < ε. O a doc bie = 0. Le résultat suivat, qui est élémetaire, est souvet utile pour motrer la covergece d ue suite. Théorème 3. Si u = u N est ue suite de ombres complexes pour laquelle o peut trouver ue suite ε = ε N de réels positifs telle que ε = 0 et u l ε à partir d u certai rag, où l est u ombre complexe doé, alors u = l. Démostratio. O a : ε > 0, 0 N 0, u l ε < ε. De l iégalité : a b a b valable pour tous scalaires a, b, o déduit, e utilisat le théorème précédet, que : Exercice 3.6 Motrer que Solutio 3.6 Se déduit de Exercice 3.7 Motrer que Solutio 3.7 Se déduit de : u = l cos = 0. cos.! = 0. u = l. 0 <! =. Exercice 3.8 Motrer que pour tout ombre complexe λ, λ Solutio 3.8 Soit 0 N tel que 0 > λ. Pour tout > 0, o a 0 + k > λ pour tout k compris etre et 0, et : 0 λ! = λ 0 λ 0 0! 0 + λ 0 λ 0 0! λ 0 = λ 0 λ 0! λ et e coséquece = 0.! N E utilisat l iégalité triagulaire, o déduit le résultat suivat.! N = 0.

6 34 Suites réelles ou complexes Théorème 3. Ue suite covergete est borée. Démostratio. Si u = l, il existe u etier 0 tel que : > 0, u = u l + l u l + l < + l et e posat M = max { u 0,, u 0, + l }, o a u M pour tout N. Le résultat qui suit se déduit immédiatemet de la défiitio d ue suite covergete. Théorème 3.3 Soit u N ue suite réelle telle que u = l.. Si l > 0 [resp. l < 0] o a alors u > 0 [resp. u < 0] à partir d u certai rag.. Si u est positif [resp. égatif] à partir d u certai rag, o a alors l 0 [resp. l 0]. Démostratio.. Pour ε = l > 0 il existe 0 N tel que : 0, u l < l, soit : et doc : 0, l + l < u < l + l 0, u > l > 0. Pour l < 0, o travaille avec la suite u N.. Se déduit facilemet du premier poit. De maière géérale, u = l 0 das C, etraîe u 0 et même u > l, comme vu das la démostratio du théorème précédet à partir d u certai rag et u 0 à partir de ce même rag. Le résultat suivat est souvet utilisé pour prouver la covergece de suites réelles. Théorème 3.4 Soiet u = u N, v = v N et w = w N trois suites réelles telles que : Si doc v = l et w = l, alors N, v u w. u = l. Démostratio. Soit ε u réel strictemet positif. Il existe u etier aturel 0 vérifiat : 0, l ε v u w l + ε, 0, u l ε. La suite u est doc covergete vers l. Exercice 3.9 Étudier la suite u = + k k=.

7 Suites covergetes ou divergetes 35 Solutio 3.9 Pour tout etier k, o a v = + + u w = + k +. Avec v = + et w = +, o déduit que et u =., ce qui etraîe : + v = w = L exercice qui suit ous fourit ue démostratio relativemet simple de la desité de Q das R. Exercice 3.0 Motrer que pour tout réel x, la suite u N défiie par : u = [kx] k= où [ ] est la partie etière, coverge vers x. Solutio 3.0 Pour tout etier k compris etre et, o a : [kx] kx < [kx] + ou ecore : et : soit : ce qui doe : et u = x kx [kx] < kx k= [kx] < k= + x [kx] < k= 0 + x u < Défiitio 3.5 Ue suite o covergete est dite divergete. La divergece de la suite u N peut se traduire par : l C, ε > 0, 0 N, 0 u l ε. Ue suite o borée est doc divergete. Exercice 3. E utilisat la défiitio, motrer que la suite u = N est divergete.

8 36 Suites réelles ou complexes Solutio 3. Si cette suite coverge vers u réel l, la suite u = N costate égale à va coverger vers l et écessairemet l = ±. E écrivat que pour ε =, il existe u etier 0 tel que : qui est 0, l <, et e preat 0 de la parité cotraire à celle de l, o aboutit à < qui est impossible. La suite u est doc divergete. Le résultat précédet est u cas particulier du suivat. Exercice 3. Soit u N ue suite à valeurs das Z. Motrer que u N coverge si, et seulemet si, elle est statioaire. Solutio 3. Soit u N ue suite à valeurs das Z covergete vers l R. Il existe u etier 0 tel que : ce qui implique que : 0, u u 0 u l + l u 0 < 0, u = u 0 puisque les u sot etiers. La suite u N est doc statioaire et l Z. La réciproque est évidete. Parmi les suites réelles divergetes, o traite à part celles qui tedet vers l ifii. Défiitio 3.6 Soit u N ue suite réelle. O dit que u N ted vers + si : M R, 0 N 0, u > M. O ote alors u = + ou u +. O dit que u N ted vers si : O ote alors m R, 0 N 0, u < m. u = ou u. Ue suite qui ted vers + est écessairemet positive à partir d u certai rag. O peut remarquer que u = si, et seulemet si u = +. Si u = v avec v > 0 pour tout N, alors u = 0 si, et seulemet si, v = +. Das la défiitio ci-dessus, les iégalités peuvet être larges ou strictes et o peut se iter à M > 0 et m < 0 sas que cela e soit restrictif. Ue suite qui ted vers l ifii i. e. vers + ou est o borée doc divergete. Ue suite complexe u N telle que u = + est divergete puisque o borée. Théorème 3.5 Si u = u N est ue suite de ombres complexes pour laquelle o peut trouver ue suite v = v N de réels positifs telle que v = + et u v à partir d u certai rag alors la suite u diverge.

9 Suites covergetes ou divergetes 37 doc Démostratio. O a : u = + est u est divergete. M R, 0 N 0, u v > M, Exercice 3.3 Motrer que pour tout réel α > 0, o a α = + et α = 0. Solutio 3.3 Pour M > 0 doé, o a α > M si, et seulemet si, α l > l M ce qui est ecore équivalet à > e lm α les foctios l et exp sot strictemet croissates. Il suffit doc de predre 0 > e lm α. Exercice 3.4 Motrer que si est-elle vraie? Solutio 3.4 Si que : u = l, alors u + u = 0. La réciproque u = l, o peut alors trouver, pour tout réel ε > 0, u etier 0 tel ce qui sigifie que u + u = 0. Plus gééralemet, o a > 0, u + u u + l + l u < ε, u +p u = 0 pour tout etier p. La réciproque est fausse comme le motre l exemple de la suite u = N. Cette suite est divergete puisque o borée et pour, o a : + = O peut aussi cosidérer, plus gééralemet, la suite u = α N avec α ]0, [. Cette suite est divergete puisque o borée et pour, o a : + + α α = [t α ] + = α α 0 α t α dt puisque α > 0. O peut aussi utiliser le théorème des accroissemets fiis pour écrire que : + α α = αξ α avec ξ compris etre et +, ce qui doe αξ α = α Ou ecore écrire que : ξ α α α. 0 < + α α = α + α α + = α. Exercice 3.5 Motrer que si u = l alors, pour toute applicatio ϕ : N N strictemet croissate, o a uϕ u = 0.

10 38 Suites réelles ou complexes Solutio 3.5 E utilisat l iégalité ϕ pour tout N, o déduit que si l, o peut alors trouver, pour tout réel ε > 0, u etier 0 tel que : > 0, uϕ u uϕ l + l u < ε, u = ce qui sigifie que uϕ u = 0. Exercice 3.6 Motrer que les suites u = N, v = sot divergetes. k= k N et w = l Solutio 3.6 Résulte de : et : u + u = + =, v v = k= + k =, w w = l. O peut remarquer que la deuxième suite est telle que pour tout etier p, o a : p v +p v = = 0 + k somme fiie de suites covergetes vers 0 - voir le théorème 3.4, page Exercice 3.7 Motrer que la suite u = l l est telle que covergete. Solutio 3.7 O a : k= u u = 0 et o u u = l l l l = l l + l l = l + l l l et comme l ted vers 0 lorsque ted vers l ifii, il e est de même pour u u = l l + l. Pourtat si l o forme : u u o a : u u = l l ll = l l = l. l Pour étudier ue suite, il est parfois commode de la comparer à ue suite de référece. Les suites géométriques fot parties de ces suites de référece. Exercice 3.8 Étudier la suite géométrique u = a N où a C.

11 Suites covergetes ou divergetes 39 Solutio 3.8 Si a = 0 alors u est statioaire sur 0. Pour a >, l iégalité de Beroulli ou plus simplemet la formule du biôme de Newto ous dit que a + a et comme a > 0, o a a = +, ce qui etraîe que a = + et la suite u diverge. Pour 0 < a <, e écrivat que a = avec >, o déduit que a a Pour a =, o a a = e iθ. Si θ = kπ avec k Z soit a =, alors u est costate égale à. Supposos que θ / πz et e iθ = l. Avec : a = 0. u + u = e iθ e iθ = e iθ θ = 4 si θ o déduit que si = 0 et θ πz, ce qui est cotradictoire. La suite u est doc divergete. O peut aussi dire que si e iθ = l alors l = e iθ =, doc l 0 et e iθ u+ = =, ce qui cotredit θ / πz. u Exercice 3.9 Soit u = u N ue suite réelle ou complexe.. Motrer que s il existe u réel λ [0, [ tel que u + λ u à partir d u certai rag 0, alors u = 0.. Motrer que s il existe u idice 0 tel que u 0 0 et s il existe u réel λ > tel que u + λ u pour tout 0, alors u diverge. u + 3. Motrer que si u 0 à partir d u certai rag 0, et u = λ [0, [, alors u = 0. u + 4. Motrer que si u 0 à partir d u certai rag 0, et u = λ >, alors u diverge. 5. Trouver u N telle que u 0 pour tout N, u + u + 6. Trouver u N telle que u 0 pour tout N,, = et u u = +. = et u u = 0. u + 7. Trouver u N telle que u 0 pour tout N, = et u u = 0. Solutio 3.9. Si λ = 0, alors u est statioaire sur 0 à partir du rag 0 +. O suppose doc que λ ]0, [. Motros par récurrece sur 0 que u u 0 λ 0. C est vrai pour = 0. Supposos que pour ue valeur 0 o ait u u 0 λ 0, comme u + λ u, o a u + u 0 λ + 0 et la récurrece est établie. Pour λ ]0, [ la suite géométrique de terme gééral u 0 λ λ coverge vers 0, et comme 0 cette suite majore la suite positive u N o peut affirmer que cette derière coverge aussi vers 0 et il e est de même de u N.

12 40 Suites réelles ou complexes. Si u 0 0, o vérifie par récurrece que u 0 pour 0. E appliquat le résultat précédet à la suite, o déduit que, ce qui équivaut à u 0 u u = + et u diverge. u + 3. Si u = λ, o a : ε > 0, 0 N N, > 0 λ ε < u + u < λ + ε. Das le cas où λ [0, [, o peut choisir ε assez petit pour que ρ = λ + ε soit strictemet iférieur à et o a alors u + ρ u pour tout 0 avec ρ ]0, [, ce qui implique u = Le résultat précédet appliqué à la suite v défiie par v = pour assez grad, ous u dit que v = 0, doc u = + et u N diverge. 5. O cosidère la suite de terme gééral u = Il suffit de predre u = O cosidère la suite de terme gééral u = Exercice 3.0 Soit u = u N ue suite réelle ou complexe.. Motrer que s il existe u réel λ [0, [ tel que u λ à partir d u certai rag 0, alors u = 0.. Motrer que s il existe s il existe u réel λ > tel que u λ à partir d u certai rag 0, alors u diverge. 3. Motrer que si u = λ [0, [, alors u = Motrer que si u = λ >, alors u diverge. 5. Trouver u N telle que u = et u = Trouver u N telle que 7. Trouver u N telle que Solutio 3.0 u = et u = et u = 0. u = 0.. Résulte de 0 u λ pour 0 avec λ = 0 λ [0, [.. Résulte de u λ pour 0 avec λ = + λ >. 3. Si u = λ, o a : ε > 0, 0 N N, > 0 λ ε < u < λ + ε. Das le cas où λ [0, [, o peut choisir ε assez petit pour que ρ = λ + ε soit strictemet iférieur à et o a alors u ρ pour tout 0 avec ρ [0, [, ce qui implique u = 0.

13 Suites covergetes ou divergetes 4 4. Le résultat précédet appliqué à la suite v défiie par v = pour assez grad pour u ε > 0 assez petit et 0, o a u > λ ε > 0 et u 0 ous dit que v = 0, doc u = + et u N diverge. 5. O cosidère la suite de terme gééral u =. 6. Il suffit de predre u = O cosidère la suite défiie par u = 0 e + pour. E utilisat le théorème de Césaro, o peut motrer le résultat suivat. Théorème 3.6 Soit u = u N ue suite réelle ou complexe telle que u soit o ul à partir u + d u certai rag. Si = λ, alors u = λ. u Démostratio. Voir l exercice Remarque 3. La réciproque du théorème précédet est fausse voir l exercice ! Exercice 3. Motrer que la suite u = est covergete vers 0. Solutio 3. Se déduit de u > 0 pour tout et : u+ + = u + + = = + e <. Exercice 3. Motrer, e utilisat le théorème précédet, que pour tout ombre complexe λ, λ la suite u = est covergete vers 0.! N Solutio 3. Pour λ = 0 c est clair et pour λ 0 le résultat se déduit de : u + λ = = 0. + u Exercice 3.3 Motrer que si f : [, + [ R est ue foctio telle que la foctio g : x xf x soit miorée par u réel λ > 0, alors la suite réelle u = f k est divergete. k= Solutio 3.3 O a : u u = f + k λ k= k= + k λ = λ > 0 et la suite diverge. Exercice 3.4 Motrer que pour tout α, la suite réelle de terme gééral u = est divergete. Solutio 3.4 Il suffit d appliquer le résultat précédet à avec xf x = x α pour α et x. f : x x α k= k α

14 4 Suites réelles ou complexes 3.4 Valeurs d adhérece Défiitio 3.7 O dit qu u scalaire a est valeur d adhérece de la suite u N s il est ite d ue suite extraite de u N. Exemple 3. O cosidère la suite de réels u N défiie par, N, u = +. + Les réels et sot valeurs d adhérece de cette suite car la suite u N est covergete vers et la suite u + N vers. Le résultat suivat est parfois utilisé par sa cotraposée pour prouver la divergece d ue suite. Théorème 3.7 Ue suite covergete a ue uique valeur d adhérece. Autremet dit : si ue suite est covergete, alors toute suite extraite coverge vers la même ite. Démostratio. Supposos que u = l. Pour tout réel ε strictemet positif, o a : 0 N 0, u l < ε et pour toute applicatio ϕ : N N strictemet croissate, o a : ce qui implique que : 0, ϕ 0 0, uϕ l < ε. La suite u ϕ est doc covergete vers l. N L exercice qui suit ous motre que la réciproque est fausse, c est-à-dire qu ue suite qui a qu ue valeur d adhérece est pas écessairemet covergete. Exercice 3.5 Motrer que la suite u = N admet 0 comme uique valeur d adhérece et est divergete. Solutio 3.5 De de u. Si l = u + = + = 0, o déduit que 0 est ue valeur d adhérece u ϕ est ue valeur d adhérece o ulle de u, où ϕ : N N est strictemet croissate, o a alors l > 0 puisque u > 0 pour tout et : l l = l uϕ = ϕ ϕ = ce qui est impossible. Doc 0 est l uique valeur d adhérece de u. Et cette suite est divergete puisque o majorée u =. O peut aussi utiliser la suite défiie par : { 0 si est impair, u = si est pair. ϕ = +, Comme coséquece du théorème de Bolzao-Weierstrass, o motrera le résultat suivat théorème 3.0.

15 Valeurs d adhérece 43 Théorème 3.8 Ue suite réelle u N est covergete si, et seulemet si, elle est borée et a qu ue seule valeur d adhérece. Théorème 3.9 Ue suite réelle est divergete, si et seulemet si, elle vérifie l ue des deux coditios suivates : elle est o borée ; elle est borée et admet au mois deux valeurs d adhérece. Exercice 3.6 Motrer qu ue suite périodique covergete est écessairemet costate. Solutio 3.6 Soit u N ue suite périodique covergete vers l et périodique de période p où p est u etier strictemet positif. Pour tout etier aturel k, la suite extraite u p+k N est costate de valeur commue u k et covergete vers l. O a doc u k = l pour tout k N. La réciproque est évidete. Exercice 3.7 Soit u = u N ue suite complexe telle que les deux suites extraites u N et u + N sot covergetes. À quelle coditio la suite u N est elle covergete? Solutio 3.7 E otat l et l les ites respectives des suites u N et u + N, motros que u est covergete si, et seulemet si, l = l. Si l l, alors u admet au mois deux valeurs d adhéreces distictes et e coséquece e peut coverger. Si l = l, pour tout réel ε > 0, o peut trouver des etiers et tels que : {, u l < ε et e otat 0 = max, +, o a :, u + l < ε 0, u l < ε. Exercice 3.8 Motrer que si u = u N est ue suite complexe telle que les trois suites extraites u N, u + N et u 3 N sot covergetes pas écessairemet vers la même ite, alors u est covergete. Solutio 3.8 Notos l, l et l les ites respectives des suites u N, u + N et u 3 N. La suite u 6 N qui est extraite de u N et u 3 N coverge vers l et l, ce qui etraîe l = l du fait de l uicité de la ite. De même e remarquat que u 6+3 N est extraite de u + N et u 3 N, o déduit que l = l et l = l, c est-à-dire que u N et u + N coverget vers la même ite, ce qui équivaut à la covergece de u. Le résultat qui suit est classique, même si démostratio est pas élémetaire. Exercice 3.9 O se propose de motrer que l esemble des valeurs d adhérece de la suite u = cos N est [, ]. O dit qu u sous-groupe additif H de R, + est discret si pour tout compact K de R, l itersectio H K est fiie.

16 44 Suites réelles ou complexes. Motrer que les sous-groupes additifs de R discrets sot de la forme : où α est u réel. Zα = {pα p Z},. Motrer que les sous-groupes additifs de R sot deses ou discrets. 3. Soiet a, b deux réels o uls. Motrer que le groupe additif G = Za+Zb = {pa + qb p, q Z } est discret [resp. dese] si, et seulemet si, a est ratioel [resp. irratioel]. b 4. O ote Γ = {z C z = } le cercle uité das le pla complexe. a Motrer que {e i Z} est dese das Γ. b Motrer que l esemble {cos N} est dese das [, ], ce qui sigifie que l esemble des valeurs d adhérece de la suite u = cos N est [, ]. Solutio 3.9. Il est clair que tout sous-groupe de R, + de la forme Zα est discret. E effet pour α = 0 c est clair et pour α 0 tout compact K de R est coteu das u itervalle [a, b] avec a < b et il y a qu u ombre fii d etiers p vérifiat a pα b. Réciproquemet si H est u sous-groupe discret de R, + o réduit à {0}, il existe alors u réel a das H R + 0 a H a H et ]0, a] H est fii o vide, il admet doc u plus petit élémet α > 0. De α H o déduit que Zα H. De plus, pour tout x x H il existe u etier relatif k tel que 0 x kα < α a k = E et avec α x kα H R + o déduit du caractère miimal de α que x kα = 0, soit x = kα Zα. O a doc e défiitive H = Zα.. Si H u sous-groupe additif de R o réduit à {0} alors : K = H R + et cet esemble est mioré par 0, il admet doc ue bore iférieure α. O distigue deux cas. Si α > 0, alors α K. E effet das le cas cotraire, par défiitio de la bore iférieure, o peut trouver x K tel que α < x < α o suppose que α / H. Pour la même raiso, o peut trouver y K tel que α < y < x. O a alors 0 < x y < α avec x y H R +, ce qui est cotradictoire avec la défiitio de la bore iférieure α. Avec la structure de groupe additif de H, o déduit alors que H = Zα. E effet, Zα H du fait que α appartiet au groupe H et pour tout x das H, il existe k das Z tel que 0 x kα < α, doc x kα = 0 et x Zα, c est-à-dire que H Zα. Si α = 0, alors H est dese das R. E effet pour x < y das R, il existe z das H R + tel que 0 < z < y x soit < y z x ] x z et pour z, y [ Z, o a x < z < y avec z z H. Si G est discret, alors G = Zα et a = pα, b = qα avec p et q o uls das Z et e coséquece a b = p q Q. Réciproquemet, supposos a b ratioel, o peut écrire a b = p avec p et q etiers premiers q etre eux et o a : G = Za + Zb = Z pq + Z b = Zp + Zq b q.

17 Valeurs d adhérece Le théorème de Bézout ous dit que Zp + Zq = Z et doc G = Z b, c est-à-dire que G est q discret. a Comme π est irratioel, le groupe H = Zπ + Z est dese das R. Avec la πpériodicité, la cotiuité et la surjectivité de l applicatio f : x e ix de R sur Γ, o déduit alors que l esemble : f H = { e πm+i m, Z Z } = { e i Z } est dese das Γ. b Avec la cotiuité et la surjectivité de la projectio p : z R z de Γ sur [, ], o déduit que l esemble {cos Z} est dese das [, ], puis par parité que l esemble {cos N} est dese das [, ]. Mois classique sot les résultats suivats. Exercice 3.30 Soit α u réel fixé das ]0, [ et u = u N défiie par u = cos α pour 0. O se doe u réel x [, ] et o ote θ le réel de [0, π] défii par x = cos θ. Pour tout etier, o désige par ϕ l etier défii par : ϕ α θ + π < ϕ + α c est-à-dire que ϕ = E θ + π α E est la foctio partie etière.. Motrer que ϕ est ue foctio strictemet croissate de N das N.. Motrer que θ + π ϕ α = Motrer que uϕ = x. 4. E déduire que l esemble des valeurs d adhérece de la suite u est [, ]. Solutio Résulte de la croissace de la foctio partie etière précisémet si x y > alors E x > E y, de la stricte croissace de la foctio t α et du fait que π >. E effet, e posat v = θ + π α et e utilisat le théorème des accroissemets fiis, o a pour tout etier : v + v = π α ξ α où ξ est u réel compris etre θ +π et θ + + π. Et comme 0 < α <, ξ >, o a α ξ α > et v + v > π > de sorte que ϕ + = E v + > E v = ϕ.. Résulte de : 0 θ + π ϕ α < ϕ + α ϕ α et de p + p + α p α = 0 exercice Pour, o a, e utilisat l iégalité des accroissemets fiis pour la foctio cos : uϕ x = cos ϕ α cos θ = cos ϕ α cos θ + π θ + π ϕ α 0.

18 46 Suites réelles ou complexes 4. La suite u état à valeurs das [, ], ses valeurs d adhérece sot das [, ] et ce qui précède ous doe l iclusio réciproque puisqu o a motré que tout réel x [, ] est ite d ue suite extraite de u. Exercice 3.3 Soit u = u N défiie par u = cos l pour. O se doe u réel x [, ] et o ote θ le réel de [0, π] défii par x = cos θ. Pour tout etier, o désige par ϕ l etier défii par : l ϕ θ + π < l ϕ + c est-à-dire que ϕ = E e θ+π E est la foctio partie etière.. Motrer que ϕ est ue foctio strictemet croissate de N das N.. Motrer que θ + π l ϕ = Motrer que uϕ = x. 4. E déduire que l esemble des valeurs d adhérece de la suite u est [, ]. Solutio 3.3. Résulte de la croissace de la foctio partie etière précisémet si x y > alors E x > E y, de la stricte croissace de la foctio e t et du fait que e π >. E effet, e posat v = e θ+π, o a pour tout etier : v + v = e θ+π e π > de sorte que ϕ + = E v + > E v = ϕ.. Résulte de : 0 θ + π l ϕ < l ϕ + l ϕ = l + ϕ avec l + = 0 ϕ est strictemet croissate de N das N, doc ϕ ϕ = Pour, o a, e utilisat l iégalité des accroissemets fiis pour la foctio cos : uϕ x = cos l ϕ cos θ = cos l ϕ cos θ + π θ + π l ϕ La suite u état à valeurs das [, ], ses valeurs d adhérece sot das [, ] et ce qui précède ous doe l iclusio réciproque puisqu o a motré que tout réel x [, ] est ite d ue suite extraite de u. 3.5 Le critère de Cauchy Défiitio 3.8 O dit qu ue suite u N est de Cauchy si : ε > 0, 0 N 0, m 0, u u m < ε.

19 Le critère de Cauchy 47 Comme pour la défiitio d ue suite covergete les iégalités peuvet être strictes ou larges et o peut se iter à ε ]0, [. De plus, comme m et jouet des rôles symétriques, o peut se iter à m >. Théorème 3.0 Ue suite de Cauchy est borée. Démostratio. Si u N est ue suite de Cauchy, il existe alors u etier aturel 0 tel que : 0, m 0, u u m < ce qui etraîe : et e posat : 0, u u u 0 + u 0 < + u 0 M = max { u 0,, u 0, + u 0 } o a u M pour tout N, ce qui sigifie que la suite u N est borée. Théorème 3. Ue suite covergete est de Cauchy. Démostratio. Soit u N ue suite covergete vers l. Pour tout ε > 0 il existe u etier positif 0 tel que : 0, u l < ε et : 0, m 0, u u m u l + u m l < ε. La suite u N est doc de Cauchy. O admet que la réciproque est vrai, c est-à-dire le résultat fodametal suivat. Théorème 3. Ue suite réelle ou complexe est covergete si, et seulemet si, elle est de Cauchy. Ce résultat se traduit e disat que l espace métrique C mui de la orme usuelle est complet. Le résultat suivat est souvet utilisé pour motrer qu ue suite est de Cauchy. Théorème 3.3 Si u N est ue suite das C telle qu il existe ue suite ε 0 de réels positifs vérifiat : { m > 0, u m u ε, ε = 0, alors cette suite est de Cauchy et e coséquece covergete. Démostratio. De ε = 0, o déduit que pour tout réel ε > 0 o peut trouver u etier 0 tel que ε < ε pour tout 0, ce qui etraîe u m u < ε pour m > 0. Exercice 3.3 Motrer que, pour tout ombre complexe z, la suite u z N défiie par u z = z k est covergete. La ite de cette suite est l expoetielle complexe de z otée k! exp z.

20 48 Suites réelles ou complexes Solutio 3.3 Pour m > >, o a : m z k u m z u z = k! = z + +! + k=+ z + +! z z + + z m + m m z + + z m + m et e désigat par 0 > u etier aturel tel que 0 + > z, o a pour m > 0 : u m z u z ε = z + +! z + avec ε = 0, ce qui implique que u z N est de Cauchy, doc covergete. E écrivat ε = δ, le fait que ε = 0 se déduit de z = et z + + δ + = δ z + = 0 qui etraîe δ = 0. Exercice 3.33 Motrer que, pour tout ombre complexe z tel que z <, la suite u z z k défiie par u z = est covergete pour z réel, cette ite est l z. k k= Solutio 3.33 Pour m >, o a : u m z u z = m k=+ z k k z + z m z z + m z k z + z 3.6 Opératios sur les suites covergetes Théorème 3.4 Soiet u = u N et v = v N deux suites telles que v = l.. Les suites u + v et u v sot covergetes vers respectivemet l + l et l l. u = l et. Das le cas où les suites u et v sot réelles, les suites mi {u, v} = mi {u, v } N et max {u, v} = max {u, v } N sot covergetes vers respectivemet mi {l, l } et max {l, l }. 3. Si l 0, il existe alors u etier 0 tel que la suite u v = u soit défiie et cette v suite coverge vers l l. 4. Si l > 0, il existe u etier 0 tel que u > 0 pour tout 0 et la suite u = u coverge vers l. Démostratio. 0 0

21 Opératios sur les suites covergetes 49. Soit ε u réel strictemet positif. E posat 0 = max {, }, o a : N,, u l < ε, N,, v l < ε. 0, u + v l + l u l + v l < ε ce qui sigifie que la suite u + v coverge vers l + l. Par ailleurs, comme la suite covergete v est borée, il existe u réel M > 0 tel que : et pour tout 0, o a : N, v M u v ll u v lv + lv ll M u l + l v l ce qui sigifie que la suite u v est covergete vers l l. M + l ε,. Se déduit de : mi a, b = a + b a b, max a, b = a + b + a b. 3. Si l 0 alors à partir d u certai rag 0, les élémets de la suite v sot o uls et la suite u v est défiie à partir de ce rag. O peut e fait trouver 0 tel que v > l pour 0 voir la démostratio du théorème 3.3, ce qui etraîe que : 0, v l = l v l v l v l et = u. Le résultat sur le produit ous doe alors = l v l v l. 4. Si l > 0, o peut e fait trouver u etier 0 tel que u l 4 pour tout 0 et avec : o déduit que u l = u l u + l 3 l u l u = l. Exercice 3.34 Motrer que la suite u = ta N est divergete. Solutio 3.34 Supposos que o déduit que l = ta = l. Avec : ta + = ta + ta ta ta, l + ta l ta et ta + l = 0 qui est impossible.

22 50 Suites réelles ou complexes Exercice 3.35 Motrer que les suites réelles u = si N et v = cos N sot divergetes. Solutio 3.35 Supposos que si = l. Avec : si + + si = si cos, o déduit que l = l cos, ce qui impose l = 0 puisque cos. Avec : si + = cos si + si cos, o déduit que cos si = 0, ce qui etraîe mais ce derier résultat est icompatible avec cos + si =. O procède de maière aalogue pour la suite v. cos = 0 puisque si 0, Exercice 3.36 Étudier, de maière plus géérale, les suites u = si θ N et v = cos θ N, où θ est u réel fixé. Solutio 3.36 Si θ = kπ, où k est u etier relatif, o a alors pour tout N, u = 0 et v = k. La suite u est doc covergete et la suite v est covergete pour k pair et divergete pour k impair. O suppose maiteat que θ / πz. Si si θ = l, avec : si + θ + si θ = si θ cos θ, o déduit que l = l cos θ, ce qui impose l = 0 puisque cos θ pour θ / πz. Puis avec : si + θ = cos θ si θ + si θ cos θ, o déduit que cos θ si θ = 0, ce qui etraîe cos θ = 0 puisque si θ 0 pour θ / πz. Mais ce derier résultat est icompatible avec cos θ + si θ =. Si o déduit que cos θ = l, avec : cos + θ = cos θ cos θ si θ si θ, l cos θ si θ =, ce qui cotredit la divergece de u. si θ λ Exercice 3.37 Étudier, sas utiliser la foctio l, la suite u = réel strictemet positif voir l exercice 3.45 pour ue autre solutio. où λ est u ombre Solutio 3.37 O suppose d abord que λ. E posat v = λ, o a v 0 pour tout et e utilisat l iégalité de Beroulli ou plus simplemet la formule du biôme de Newto : λ = + v + v, ce qui doe : 0 v λ et e coséquece v = 0 ecore équivalet à λ =. Pour 0 < λ <, de =, o déduit ecore que λ =. λ

23 Opératios sur les suites covergetes 5 Exercice 3.38 Étudier, sas utiliser la foctio l, la suite u =. Solutio 3.38 E posat v =, o a v 0 pour tout et e utilisat la formule du biôme :, = + v = Cv k k v, ce qui doe : et e coséquece 0 v v = 0 ecore équivalet à =. λ Exercice 3.39 Étudier, pour tout ombre complexe λ et tout réel b > 0, la suite u = Solutio 3.39 Pour λ = 0, u est costate égale à 0. O suppose doc que λ 0. Avec u + u = λ, o déduit que u = 0 pour λ < et que u diverge pour λ >. Pour λ =, o a λ = e iθ et o cosidère deux cas. Si θ = kπ avec k Z, alors u = est covergete vers 0. Si θ / πz et u = l, avec : b u + = = e iθ = e iθ, u + b o aboutit à ue cotradictio. La suite u est doc divergete das ce cas. Théorème 3.5 Soiet u = u N et v = v N deux suites réelles telles que et v = l.. Si l > l o a alors u > v à partir d u certai rag.. Si à partir d u certai rag, u v alors l l. 3. Si M est u majorat de la suite u, alors l M. 4. Si m est u miorat de la suite u, alors l m. Démostratio. O applique le théorème 3.3 aux suites v u, M u et u m. b. u = l Exercice 3.40 Que dire de la somme et du produit de deux suites divergetes, d ue suite divergete et d ue suite covergete, de l iverse d ue suite divergete. Solutio 3.40 Exercice 3.4 Soiet ε 0 ue suite de réels positifs telle que suite de réels positifs telle qu il existe λ [0, [ avec Motrer que u = 0. 0, u + λu + ε. ε = 0 et u 0 ue

24 5 Suites réelles ou complexes Solutio 3.4 Par récurrece, o a pour tout etier 0 : 0, u + λ 0+ u 0 + λ 0 ε 0 + λ 0 ε λε + ε. Pour tout réel ε > 0, o peut trouver u etier 0 tel que : O a alors, pour tout 0 : 0, 0 ε < ε, 0 λ 0+ < ε. 0 u + λ 0+ u 0 + λ 0 + λ λ + ε = εu 0 + λ 0+ ε λ u 0 + ε λ Ce qui prouve que u = 0. Exercice 3.4 Motrer que pour toute foctio f cotiue sur [0, ], o a 0 et 0 Solutio 3.4 A revoir. f t si t dt = 0 o peut utiliser l exercice f t cos t dt = 3.7 Comparaiso des suites Les suites cosidérées das ce paragraphe sot à valeurs réelles. Défiitio 3.9 Soiet u = u N et v = v N deux suites réelles. O dit que :. la suite u est domiée par la suite v, s il existe u etier 0 0 et ue suite borée ϕ 0 tels que : 0, u = ϕ v. la suite u est égligeable devat la suite v, s il existe u etier 0 0 et ue suite ε 0 covergete vers 0 tels que : 0, u = ε v 3. la suite u est équivalete à la suite v, s il existe u etier 0 0 et ue suite ϕ 0 covergete vers tels que : 0, u = ϕ v O otera u = O v pour sigifier que u est domiée par v, u = o v pour sigifier que u est égligeable devat v et u + v pour sigifier que u est équivalete à v. Remarque 3. O vérifie facilemet que la relatio défiit ue relatio d équivalece sur les suite réelles, c est-à-dire u u réflexivité, si u v, alors v u symétrie et si u v, v w alors u w trasitivité.

25 Suites mootoes 53 Remarque 3.3 Si la suite u coverge vers u réel l 0, alors u + l il suffit d écrire u = u l. Mais attetio ce résultat est faux pour l = 0. Dire que u est équivalete à 0 l sigifie que les u sot tous uls à partir d u certai rag et ue suite peut avoir ue ite ulle e état à valeurs das R comme le motre l exemple de u =. O motre facilemet le résultat suivat. Théorème 3.6 Si u = u N et v = v N sot deux suites réelles équivalets, alors elles sot de même ature, c est-à-dire que u coverge si, et seulemet si v coverge. E cas de covergece de l ue des deux suites, o a u = v. Démostratio. O a u = ϕ v pour tout 0 avec ϕ =. E utilisat le résultat relatif au produit de deux suites covergetes, o déduit que si u coverge, il e est alors de même de v et u = ϕ v = v. Comme ϕ =, o aura ϕ 0 à partir d u rag 0 et e écrivat que v = ϕ u pour, o déduit que si v coverge, il e est alors de même de u et u = v. Il e résulte que u diverge si, et seulemet si v diverge. 3.8 Suites mootoes O rappelle que R est u corps commutatif totalemet ordoé qui vérifie la propriété de la bore supérieure. Dire que M R est la bore supérieure d ue partie o vide X de R sigifie que M est le plus petit des majorats de X, ce qui se traduit par : { x X, x M, ε > 0, x X M ε < x M et o ote M = sup X. Das le cas où M X, o dit que M est le plus grad élémet de X ou le maximum de X et il est souvet oté M = max X. Défiitio 3.0 O dit qu ue suite réelle u N est : croissate si : 0, u + u, décroissate si : 0, u + u, mootoe si elle est croissate ou décroissate. E remplaçat les iégalités larges par des iégalités strictes o parle de suites strictemet mootoes. Pour étudier la mootoie d ue suite, o étudie le sige de u + u ou, si u > 0 pour tout N, le sige de u + u. Ue suite réelle u N est décroissate si, et seulemet si, u N est croissate. Il suffit doc de s itéresser aux suites croissates.

26 54 Suites réelles ou complexes Exemple 3. Pour toute foctio mootoe f défiie sur R +, la suite u = f N mootoe. est Exemple 3.3 Si f : I I est ue foctio croissate, alors la suite u N défiie par u 0 I et u + = f u pour tout N est mootoe de mootoie dépedat du sige de u u 0. Exercice 3.43 Que dire de la somme du produit ou du quotiet quad il est défii de deux suites mootoes. Solutio 3.43 Exercice 3.44 Motrer que si u N est ue suite croissate, il e est de même de la suite v N des moyees de Césaro défiie par v = u k. + Solutio 3.44 O a : et doc : v + = + + v + u + + v + v = + u + v = + = = u u + u k u k u + u k 0. Du théorème de la bore supérieure, o déduit immédiatemet le résultat suivat. Théorème 3.7 Ue suite réelle croissate [resp. décroissate] u N est covergete si, et seulemet si, elle est majorée [resp. miorée] et das ce cas o a u u [resp. u = if u ] Sio o a N u = +. [resp. u = ]. = sup N Démostratio. Cosidéros ue suite u = u N croissate. Si elle est majorée, alors l esemble {u N} qui est o vide et majoré admet ue bore supérieure M. Soit ε u réel strictemet positif. Il existe u aturel 0 tel que : M ε u 0 M. La suite état croissate et M état u majorat de la suite, o a : soit : 0, M ε u M, 0, u M ε. La suite u est doc covergete vers M. Si elle est pas majorée, pour tout réel M > 0, il existe u etier 0 tel que u 0 M et avec la croissace de u, o déduit que u M pour tout 0. La suite u est doc divergete vers +. O procède de même pour les suites décroissates et miorées.

27 Suites mootoes 55 Exercice 3.45 Étudier, sas utiliser la foctio l et avec le théorème précédet, la suite u = λ où λ est u ombre réel strictemet positif voir l exercice 3.37 pour ue autre solutio. Solutio 3.45 Avec = et λ =, il suffit de motrer le résultat pour λ >. Das ce λ cas la suite λ est strictemet décroissate N + λ < λ équivaut à λ < λ + = λ λ ecore équivalet à λ > et miorée par, elle coverge doc vers u réel l. Si l >, pour γ ], l[ il existe u etier 0 tel que λ > γ pour tout 0, ce qui etraîe λ > γ pour tout 0 qui est icompatible avec γ = +. O a doc l =. Exercice 3.46 Motrer que la suite u = u N défiie par la relatio de récurrece, u 0 = 0 et u + = u + est covergete vers le ombre d or l = + 5. Solutio 3.46 O vérifie facilemet par récurrece que u pour tout. E effet, pour =, o a = u < et e supposat acquis le résultat au rag, o a < u + 3 <. Et avec u + = + >, o déduit que u est croissate u u majorée, doc covergete vers l [, ]. De u + = u +, o déduit que l = l +, soit l l = 0 avec l, ce qui équivaut à l = + 5. Exercice 3.47 Soit x u réel das ]0, [. Motrer, sas utiliser la foctio l, que la suite u défiie par :, u = + x est covergete. Solutio 3.47 Pour o a : u + = + x + = + x + + x x = + x x + + x + x = + x + x + + x + x x avec < pour tout réel x > 0. O peut doc utiliser l iégalité de Beroulli + + x + x pour écrire que : + x + x > + + x + x + + x + x = x + x = + x = + x o a + + x + x = + + x et doc : u + > + x = u, + + +

28 56 Suites réelles ou complexes ce qui sigifie que, pour x > 0, u est croissate. D autre part, e utilisat la formule du biôme, o a pour : avec : u = k! = C k x k = + x + k k= k k et j= k + k! k + k = pour tout k compris etre et, ce qui doe pour x ]0, [ : u + x + k= + x + x k j=0 j x k x x k = + x + k k x x + x + x x. La suite u est doc majorée et e coséquece covergete puisque croissate. Sa ite est e x et pour x =, la majoratio précédete doe e = e 3. Exercice 3.48 Motrer que la suite u = u N défiie par u = u ombre irratioel e. Solutio 3.48 La suite u est croissate et pour >, o a : u = k! = 3 x k k est covergete vers k! puisque k! k pour k, ce qui implique que u est covergete. O a vu avec l exercice.5 que sa ite e est irratioelle. Exercice 3.49 Motrer que la suite u = u N défiie par u = k= k est décroissate miorée. Sa ite est la costate d Euler, otée γ. l pour tout Solutio 3.49 Pour, o a : u + u = + + l = c est-à-dire que u est décroissate. La foctio t t est décroissate sur R+, doc : = dt t t + dt < 0, + t k, k+ k dt k+ t dt k k = k

29 Suites mootoes 57 et pour tout, o a : k k= soit u l + l = l k= k+ k + dt + t = dt t > 0. Exercice 3.50 E utilisat l exercice précédet, motrer que : k=+ k = l = l +, Solutio 3.50 Avec les otatios de l exercice précédet, o a pour tout : k=+ k = k= k k= et la covergece de la suite u permet alors de coclure. k = u + l u + l = u u + l Le résultat de l exercice 3.49 peut aussi être utilisé pour motrer que + = = l. Exercice 3.5 O désige par u = u N et v = v N les suites respectivemet défiies par : u = k l, v k = k pour.. Motrer que : k= k=, v = u u + l.. E déduire la ite de la suite v sachat que la suite u coverge. Solutio 3.5. Pour, o a : = k= v = k= k j= k j k = j= j= j j j = k= j= k k= = u + l u + l = u u + l. Sachat que la suite u coverge vers γ, o déduit que v = l et avec v + = v +, o a aussi + 3.7, soit + = v + = l et e coséquece = l. k v = l exercice

30 58 Suites réelles ou complexes Exercice 3.5 Motrer que, pour tout réel α >, la suite u N défiie par : est covergete., u = k α k= Solutio 3.5 La foctio t t α est décroissate sur R+, doc : et pour tout, o a : u = + k, k + α k= k= k k k k dt t α k k dt k = α k α dt t = + dt α t = + α α α α α. La suite u N est alors croissate majorée et doc covergete. Pour α =, o peut utiliser les iégalités : pour déduire que : u = + k, k= k k k = k k k + k = + + k. k= L exercice 3.49 est u cas particulier du suivat. Exercice 3.53 Soit f : [, + [ R + ue foctio cotiue décroissate et F la primitive de f ulle e. Motrer que la suite u = u N défiie par u = f k F pour tout est décroissate miorée et doc covergete. Solutio 3.53 La foctio F est défiie par : k= Pour, o a : x, F x = x f t dt. = f + u + u = f + F + F + f t dt = + f + f t dt avec f cotiue et f + f t pour tout t [, + ]. O a doc u + u 0 et u est décroissate. La foctio f est cotiue décroissate sur [, + [, doc : k, k+ f t dt k k k+ f k dt = f k

31 Suites mootoes 59 et pour tout, o a : f k k= k+ f t dt = k= k + f t dt = F +, et u F + F = + f t dt 0 puisque f est à valeurs positives. Le choix de f t = ous permet de retrouver la costate γ d Euler. t Plus gééralemet le choix de f t = avec α > 0 ous permet de motrer les résultats classiques sur les séries de Riema théorème 6.4, page 9. Exercice 3.54 Motrer que si u est ue suite de réels positifs qui vérifie : t α alors cette suite est covergete. Solutio 3.54 O a : u + u + u +, u + u + = u + soit : 0 < u + + u + C est-à-dire que la suite u + est décroissate miorée. Elle est doc covergete. Ce qui etraîe la covergece de u. Le théorème 3.7 associé au résultat qui suit ous doe ue démostratio du théorème de Bolzao-Weierstrass. Théorème 3.8 De toute suite réelle o peut extraire ue suite mootoe. Démostratio. Soit A la partie de N, évetuellemet vide, défiie par : A m >, u m u. Si A est fiie, elle admet u majorat 0 / A. Il existe alors u etier > 0 tel que u > u 0. Comme / A, il existe > tel que u > u et aisi de suite, o costruit par récurrece ue suite strictemet croissate d etiers k k N telle que u k+ > u k pour tout k N. La suite u k k N est alors extraite de u N et strictemet croissate. Si A est ifiie, o peut rager ces élémets das l ordre croissat, soit A = { k k N} avec k < k+ pour tout k N et par costructio, o a u k+ u k pour tout k N. La suite u k k N est alors extraite de u N et décroissate. Théorème 3.9 Bolzao-Weierstrass De toute suite borée de ombres réels o peut extraire ue sous-suite covergete.

32 60 Suites réelles ou complexes Démostratio. Résulte immédiatemet des deux théorèmes précédets. Ue coséquece importate de ce résultat est le suivat. Théorème 3.0 Ue suite réelle u N est covergete si, et seulemet si, elle est borée et a qu ue seule valeur d adhérece. Démostratio. O sait déjà qu ue suite covergete est borée et qu elle a qu ue seule valeur d adhérece théorème 3.7. Réciproquemet, supposos que la suite borée u N admette l pour seule valeur d adhérece. Si cette suite e coverge pas vers l, o peut alors trouver u réel ε > 0 tel que pour tout etier, il existe p > avec u p l ε. Par récurrece o peut alors costruire ue suite strictemet croissate d etiers ϕ N telle que u ϕ l ε pour tout. De la suite borée u ϕ o peut extraire ue sous suite u N ψ N qui coverge vers l et par passage à la ite das l iégalité uψ l ε o déduit que l l ε > 0, c est-à-dire que l est ue valeur d adhérece de u N disticte de l, ce qui cotredit l hypothèse de départ. Exercice 3.55 Soit x u ombre irratioel. Motrer que si p q N est ue suite de ombres ratioels qui coverge vers x, où pour tout N, p est u etier relatif et q u etier aturel o ul, alors q = + et p = +, si x > 0, p =, si x < 0. Solutio 3.55 Dire que la suite q N e coverge pas vers l ifii sigifie qu il existe ue réel α > 0 tel que pour tout etier N, il existe u etier k > tel que 0 < q k α. O peut alors extraire de q N ue sous-suite q ϕ à valeurs das [0, α] comme suit : N pour = 0 il existe ϕ 0 > 0 tel que 0 < q ϕ0 α et e supposat costruits les etiers ϕ 0 < ϕ < < ϕ tels que 0 < q ϕk α pour tout k compris etre 0 et, o peut trouver ϕ + > ϕ tel que 0 < q ϕ+ α. De cette suite borée o peut alors extraire ue sous-suite q ψ qui coverge vers u etier q, mais alors avec p N ψ = p ψ q ψ, q ψ o déduit que la suite p ψ est égalemet covergete et sa ite p = xq est égalemet N u etier, ce qui est e cotradictio avec x irratioel. p p Avec p = q et = x 0, o déduit que q q p = ±, le sige état celui de x. 3.9 Suites adjacetes Défiitio 3. Deux suites réelles u = u N et v = v N sot adjacetes si la suite u est croissate, la suite v est décroissate et si la suite v u est covergete vers 0. Exercice 3.56 Soiet u N et v N deux suites adjacetes. Motrer que pour tous, m das N o a u v m. Solutio 3.56 Supposos qu il existe deux idices, m tels que u > v m. Comme u est croissate, et v décroissate, o a alors pour tout k max, m, u k u et v k v m, ce qui etraîe u k v k u v m > 0 et 0 = u k v k u v m > 0, ce qui est impossible. k + Théorème 3. Deux suites adjacetes u = u N et v = v N coverget vers la même ite l, avec : N, m N, u l v m.

33 Suites adjacetes 6 Démostratio. E utilisat la mootoie des suites u et v, o a : N, u 0 u u + v + v v 0, c est-à-dire que u est croissate majorée par v 0 et v décroissate et miorée par u 0, ces deux suites sot doc covergetes avec : Elles coverget doc vers la même ite : v u = v u = 0. l = sup u = if v. N N O peut remarquer qu ue majoratio de l erreur d approximatio de l par les u est doée par : N, 0 l u v u. Exercice 3.57 Soit x u réel das [0, ]. Motrer, sas utiliser la foctio l, que les suites u = u N et v = v N défiies par : : sot covergetes., u = + x, v = + x + Solutio 3.57 Pour x = 0, ces suites statioet sur. O a déjà vu avec l exercice 3.47 que u est croissate pour x > 0 et majorée pour x ]0, [. Pour o a : v = + x + = + x + + x x + = + x x + x x = + x + + x x et e utilisat l iégalité de Beroulli ou plus simplemet la formule du biôme de Newto pour x > 0, o obtiet : + + x > x + x + + x > + x + c est équivalet à + x > x + + x ecore équivalet à + > + + x ou a x + > 0 qui est vérifié pour x et doc : v < + x + = v + +

34 6 Suites réelles ou complexes ce qui sigifie que v est décroissate pour x ]0, ]. Efi, pour, o a : v u = u x 0 et doc u v v v est décroissate, ce qui doe 0 v u xv 0. Ces deux suites sot doc adjacetes et e coséquece covergetes. et v u = Exercice 3.58 Motrer que les suites u = u N et v = v N défiies par : u = coverget vers la même ite irratioelle e. k!, v = u +! Solutio 3.58 Il est clair que u est croissate et pour, o a : v + v = +! + +!! = +! 0 = 0, o déduit que! doc v est décroissate. De plus avec v u = ces suites sot adjacetes. Elles coverget doc vers la ite. O a vu avec l exercice.5 que la ite e de u est irratioelle. Les ecadremets u e v m, ous permettet de doer des valeurs approchées de e par défaut et par excès. Par exemple, pour = m = 0, o obtiet : u e v avec ue majoratio de l erreur d approximatio doée par : 0 e u 0 v 0 u 0 = 0! O peut aussi utiliser la suite v = v défiie par v = u + les suites u et v sot! ecore adjacetes et o a e fait : 0 e u 0 v 0 u 0 = 0 0! Exercice 3.59 Motrer que les suites u = u N et v = v N défiies par : u = k= k l, v = k= coverget vers ue même ite γ la costate d Euler. l + k Solutio 3.59 Avec l exercice 3.49, o a déjà vu que u est décroissate. De maière aalogue, pour, o a : v + v = l = + + dt t = t + dt > 0, + t

35 Suites adjacetes 63 c est-à-dire que v est croissate. Et avec : u v = l + = l = 0, o coclut que ces deux suites sot adjacetes. Les ecadremets v γ u m, ous permettet de doer des valeurs approchées de γ. Par exemple, pour = m = 0, o obtiet : v γ u Exercice 3.60 Motrer que les suites u = u N et v = v N défiies par : u = +, v = k k k= coverget vers ue même ite. Solutio 3.60 Pour, o a : u + u = = = = c est-à-dire que u est croissate. De même : v + v = + + = + k= > 0, = + = < 0, c est-à-dire que v est décroissate. Efi avec : u v = + = = 0, + + o coclut que ces deux suites sot adjacetes et doc covergetes vers l. Les ecadremets u l v m, ous permettet de doer des valeurs approchées de l. Par exemple, pour = m = 0, o obtiet : u l v E fait, les deux exercices qui précèdet e sot que des cas particulier du résultat suivat qui complète l exercice Exercice 3.6 Soit f : [, + [ R ue foctio cotiue décroissate telle que f x = x + 0 et F la primitive de f ulle e. Motrer que les suites u = u N et v = v N défiies par, coverget vers ue même ite. u = f k F + k= v = f k F k=

36 64 Suites réelles ou complexes Solutio 3.6 Comme f ted vers 0 e décroissat à l ifii, elle est écessairemet à valeurs positives. Avec l exercice 3.53 o a vu que u est croissate et v décroissate. Avec : v u = F + F = et f positive décroissate, o déduit que : et v u = 0 puisque 0 v u f f = 0. + f t dt Les suites adjacetes peuvet être utilisées pour étudier des suites costruites à partir de moyees, arithmétiques, géométriques ou harmoiques. Exercice 3.6 Soiet 0 < a < b et u N, v N défiies par : { u0 = a v 0 = b N, u + = u + v moyee harmoique v + = u + v moyee arithmétique Motrer que ces suites sot adjacetes de ite ab moyee géométrique. Pour b =, o a des approximatios de a. Solutio 3.6 O vérifie facilemet, par récurrece, que u > 0 et v > 0 pour tout N. Pour N, o a : v + v = u v avec u 0 v 0 = a b < 0 et pour : u v = u v u + v u + v = u v u + v 0. Il e résulte que v N est décroissate. Avec : u + u = u v u = u v u, u + v u + v o déduit que u N est croissate. Efi avec u > 0 o a : et par récurrece : 0 v + u + = u v u + v v u 0 u v b a 0. Les suites u N et v N sot doc adjacetes et e coséquece coverget vers ue même ite λ 0. D autre part avec u + v + = u v, o déduit que u v = u 0 v 0 pour tout et λ = u 0 v 0. Doc : u = v = u 0 v 0 = ab.