XIV. Analyse combinatoire Binôme de Newton

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1 . Itroductio. XIV. Aalyse combiatoire Biôme de Newto But : déombrer des esembles fiis das des cas élémetaires. Quelques situatios de déombremet :. De combie de maières eut-o remlir u bulleti de tiercé si 9 chevaux sot au déart?. De combie de faços eut-o lacer les élèves d'ue classe si celle-ci comorte laces?. Parmi les coureurs d'u club cycliste, de combie de faços, les dirigeats euvet-ils costituer ue équie de coureurs?. Arragemets simles et avec réétitios. Exemle A l'aide des chiffres de à 4 combie de ombres de chiffres différets eut-o former? Euméros les ossibilités Nous obteos 4 ossibilités. Observatio : our éumérer tous ces ombres, ous avos resecté u certai ordre : choix du remier chiffre, suivi du choix du secod et efi du troisième.. Arragemets simles : défiitio. O aelle arragemet simle de m élémets ris à ( m) tous les groues de élémets choisis armi les m élémets doés et lacés das u ordre doé. N.B. arragemets simles sot différets dès que l'u cotiet u élémet que l'autre e cotiet as ou s'ils cotieet les mêmes élémets lacés das u ordre différet. Notatio : A m désige le ombre d'arragemets de m élémets ris à.. Calcul de A m Soiet m élémets a, b, c...ris à. O eut décomoser cette oératio e étaes, (choix des élémets successifs). La remière étae (choix du remier élémet), eut se réaliser de m faços La secode étae (choix du secod élémet), eut se réaliser de (m ) faços. Et aisi de suite jusque l'étae qui eut se réaliser de (m + ) faços. A chaque remier élémet choisi, o eut associer tous les secods élémets ossibles lors du secod choix et aisi de suite our les suivats. Nous sommes das ue situatio de tye multilicatif. Nous avos aisi: A m = m. (m ). (m + ) A m = m (m - )... (m - + ). (m - + ) = ( m )! où se lit factorielle m et vaut m (m - ).... avec la covetio! =. Arragemets avec réétitios O arlera d'arragemet avec réétitios lorsqu'o accete de redre lusieurs fois le même élémet. Le ombre de ces arragemets est oté A m. Et ous voyos directemet : A m = m P 7// CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. XIV -

2 Alicatios Combie de ombres de chiffres disticts eut-o former avec les chiffres de à 4? Sol : A 4 = 4 Même questio e accetat de redre lusieurs fois le même chiffre. Sol : A 4 = 4 = 64 La remière situatio de déombremet roosée e itroductio (le tiercé) Sol : A 9 = 84 Combie de mots (lisibles ou o) de lettres distictes eut-o former avec les lettres de l'alhabet? sol : A 6 = Combie y a-t-il de ces mots si o eut utiliser lusieurs fois la même lettre? Sol :. Permutatios simles et avec réétitios.. Permutatios simles. A 6 = Défiitio : Etat doé u groue de m élémets disticts, o aelle ermutatio de ces m élémets, tout groue de ces élémets lacés das u ordre détermié. Notatio : P m désige le ombre de ces ermutatios. Calcul : ous remarquos P m = A m m = m (m - )...(m - m + ) = m (m - )... = m!. Permutatios avec réétitios P m = Défiitio : o aelle ermutatio avec réétitios de m élémets armi lesquels élémet se réète r fois, u autre r fois...r fois, tout groue de ces m élémets lacés das u ordre détermié. r, r,... r Notatio : P m est le ombre de ces ermutatios. avec r + r +...r = m Lorsque tous les élémets sot disticts, il y e a m! Comme le er élémet se réète r fois, o devra diviser ce ombre ar le ombre de ermutatios de r élémets disticts. De même, le secod élémet se réète r fois. O devra diviser le résultat ar le ombre de ermutatios de r élémets disticts. Et ous obteos aisi : r, r,... r P m r! r!... r! Alicatios La ème situatio de déombremet d'itroductio (lacemet des élèves d'ue classe) Sol : P =! = De combie de faços eut-o lacer u groue de ersoes sur u bac? Sol : P =.4.. = Pour doer ue friadise à chaque efat d'u groue de, o disose de Léo, bouty et chacha. De combie de faços eut-o effectuer la distributio? 4. Combiaisos simles et avec réétitios.,, Sol : P = Exemle : Ue classe doit élire délégués armi eux ( élèves). De combie de faços euvet-ils le faire? 4. Combiaisos simles : défiitio.!!!! = O aelle combiaiso simle de m élémets ris à ( m) tous les groues de élémets choisis armi les m doés. Notatio : C m désige le ombre de combiaisos de m élémets ris à. Das otre exemle : C 4. Calcul de C m Etat doé ue combiaiso, o eut lacer ses élémets de P faços, et ceci our chacue d'elles. A m = P C m C m = A m P XIV - CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. 7//

3 C m =!( m )! Alicatios Das le cas de la 4 ème situatio de déombremet d'itroductio (sélectio de coureurs das u club de cyclistes) Sol : C = 4 A la fi d'u reas rassemblat amis, sot chargés de la vaisselle. Combie de groues différets euto former afi d'exécuter cette tâche? Sol : C = 7 4. Combiaisos avec réétitios. Exemle : Ue ure cotiet des boules de couleurs différetes et cotiet au mois 4 boules de chaque couleur. O tire 4 boules de cette ure. Combie de ossibilités de grouemets a-t-o? Défiitio. O aelle combiaiso avec réétitio de m élémets ris à tout groue de élémets choisis armi les m doés. (sas s'occuer de l'ordre), chaque élémet ouvat figurer lusieurs fois das u même groue. Notatio : C m désige le ombre de combiaisos avec réétitios de m élémets ris à ( m )( m )... m Calcul O eut voir C m = c.-à-d.! C m = Cm 4 4 Résolutio de l'exemle : C C 4 C8 4 8! 4!( 8 4)! = 7. Sythèse Quelles questios se oser lors de la résolutio d'u roblème d'alicatio directe e aalyse combiatoire? L'ordre a t'il de l'imortace? oui Tous les élémets sot-ils utilisés? oui o o Y a-t-il des réétios? Y a-t-il des réétios? o o Combiaisos simles : C m =!( m )! oui Combiaisos avec réétitios : Cm Cm oui Arragemets simles : A m = Arragemets avec réétitios : ( m )! A m = m Y a-t-il des réétios? oui o Permutatios simles : P m = m! Permutatios avec réétitios : P m r! r!... r! r, r,... r! m Ultérieuremet, ous recotreros des situatios lus géérales qui e euvet être résolues uiquemet ar le questioemet de ce tableau. 7// CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. XIV -

4 6. Exercices - série A : alicatios de base.. Combie de ombres de chiffres eut-o former à l'aide des chiffres,,, 4,, 6. a) si tous les chiffres sot disticts? sol : 7 b) Si u chiffre eut se rééter lusieurs fois? sol : Combie de mots de 6 lettres lisibles, ou o, eut-o écrire à l'aide des 6 lettres de l'alhabet? sol : Combie y a-t-il de ombres formés de 4 chiffres imairs disticts? sol : 4. De combie de faços 4 ersoes euvet-elles s'asseoir si elles disoset de 6 chaises? sol : 6. Ue ersoe désire offrir à chacu de ses amis u disque à choisir armi disques qu'elle ossède. De combie de maières eut-elle rocéder? sol : joueurs de teis se recotret. Ils désiret disuter des matches de simle. De combie de maières cela est-il ossible? sol : 7. Combie eut-o former de sous-esembles de 7 élémets das u esemble de élémets? sol : De combie de maières eut-o élire u résidet, u secrétaire et u trésorier das ue société de membres? sol : 7 9. Combie eut-o former d'aagrammes du mot chie? (Ayat ue sigificatio ou o) sol : Même questio our le mot ersoelle. sol : 66. Das u tiercé, o a 7 chevaux au déart. Quelqu'u joue et désire lacer le cheval 7 e tête. Combie de ossibilités lui reste-t-il our choisir les autres chevaux? sol : 4. Das u eloto de soldats, de combie de faços eut-o désiger ue corvée de 6 hommes? sol : De combie de faços eut-o désiger cette corvée si u soldat y est iclus d'office et u autre e est exclu d'office? sol : Combie de ombres de chiffres eut-o former avec les chiffres et? sol : 4. Combie de droites eut-o meer e joigat à, oits dot e sot jamais aligés? sol :. De combie de maières eut - o choisir les sommets d'u triagle armi les sommets d'u décagoe régulier? sol : 6. Combie de ièces comorte u jeu de domios? (Sur chaque ièce, o trouve chiffres allat de à 6 et chaque disositio e se résete qu'ue fois.) sol : 8 7. A l'aide de faios de teites différetes o réalise des sigaux e laçat d'etre eux sur ue même hame. Combie de sigaux disticts eut-o réaliser? sol : 6 8. La serrure d'u coffre-fort se comose de aeaux ortat chacu toutes les lettres de l'alhabet. De combie de maières eut-o teter u essai our ouvrir le coffre-fort? sol : De combie de maières eut-o colorier ue carte rerésetat ays à l'aide de couleurs différetes rises armi 7 couleurs doées? sol :. Combie eut-o obteir de ombres différets, roduits de facteurs remiers choisis armi les ombres suivats,,, 7,,, 7, et 9 a) si les facteurs sot disticts? b) si o eut redre lusieurs fois le même facteur. sol : a)6 b) 79. U club de football comred 8 joueurs. De combie de maières eut-o former ue équie de joueurs, chacu ayat ue foctio bie détermiée? sol : 7 4. Ue assemblée de 4 ersoes doit élire u comité de membres armi cadidats. Chacu des 4 articiats au scruti doit voter our cadidats e idiquat l'ordre de ses référeces. De combie de maières chaque articiat eut-il remlir valablemet so bulleti de vote? sol : 9 4. Les divers résultats ossibles d'u match sot idiqués sur ue feuille de roostics ar,, X. De combie de maières différetes eut-o remlir u bulleti de roostics ortat sur matches? sol : 9 49 XIV - 4 CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. 7//

5 4. De combie de maières eut-o costituer ue équie de football ( équiiers) e choisissat les joueurs armi les élèves d'ue classe sachat que de ces élèves e euvet as être choisis et que six autres doivet faire artie de l'équie? sol : 6. De combie de maières eut-o extraire 8 des cartes de carreau si o veut que armi ces cartes figuret l'as et le roi? sol : Mise au oit : additioer ou multilier? Au début de ce chaitre, ous avos déjà mis e évidece des situatios de tye multilicatif (ar exemle lors ) du calcul des A m Das les cas de roblèmes de déombremet, ous seros égalemet souvet ameés à additioer les résultats. Les deux exemles ci-dessous ermettet de comarer et distiguer ces situatios. Exemles :. Ue maîtresse de maiso a 9 amis et souhaite e iviter à dîer. Combie de ossibilités a-t-elle si deux d'etre eux sot mariés et e euvet veir qu'esemble?. De combie de maières eut-o former u jury de hommes et de femmes e les choisissat armi 7 hommes et femmes? Solutios :. Deux catégories distictes d'ivitatios aaraisset : ou bie le coule est ivité ou il e l'est as, c. à d. que l'o est alors ameé à choisir ivités armi les 9 amis mois le coule doc armi 7 ou à e choisir armi 7 u total de C 7 C ossibilités. Il s'agit ici d'ue situatio de tye additif. 7. Le roblème reviet à choisir u groue de hommes et u groue de femmes. Pour chacu de ces choix, il y a resectivemet C 7 et C ossibilités. De lus, à chaque groue de hommes, o eut associer 'imorte quel groue de femmes. Il y a doc multilicatif. Sythèse : C 7. C ossibilités : il s'agit ici d'ue situatio de tye Soit ue oératio qui eut se réaliser de N faços. Situatio additive : Si ces N faços euvet se séarer e k catégories disjoites deux à deux et que chacue des catégories eut se réaliser de, k faços : N = k E ratique : o décrit alors les catégories e les reliat ar des "ou" (ex. : o ivite le coule "ou" o e l'ivite as.) Situatio multilicative : Si cette oératio se décomose e k étaes successives, chacue des étaes ouvat se réaliser resectivemet de,,. k faços, N =... k E ratique : O décrit alors la situatio ar ue hrase du tye :"à chaque groue" (d'hommes) "o eut associer 'imorte quel groue" (de femmes).(selo les cas) 8. Exercices - série B : alicatios géérales.. O désire former ue équie de joueurs e reat joueurs armi les élèves d'ue classe et joueurs armi les élèves d'ue autre classe. De combie de faços eut-o former l'équie? sol :. Sachat qu'ue laque de voiture est formée d'u groue de lettres suivi d'u groue de chiffres et qu'o 'utilise as les lettres O et I, détermier le ombre de laques qu'o eut former. sol : 84. Combie de voitures ourrot être immatriculées avec des laques comortat caractères qui euvet être soit u chiffre soit ue lettre autre que O ou I? sol : Combie de voitures ourrot être immatriculées avec des laques comortat lettres (autres que O et I) et chiffres sas réétitio. sol : Même questio, mais les lettres et les chiffres euvet se rééter. sol : De combie de maières eut-o distribuer cartes différetes etre 4 joueurs quad o e doe à chacu? sol : Combie y a-t-il de ombres aturels iférieurs à où aucu chiffre e se réète? sol : 899 7// CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. XIV -

6 8. L'alhabet morse est comosé de grouemets de siges - et. Combie de siges au mois faut-il grouer si o veut ouvoir reréseter symboles? sol : (o eut alors former 6 symboles) 9. Das ue classe de élèves comortat iteres, de combie de faços eut-o former u comité de 7 élèves dot u résidet qui doit écessairemet être u itere? sol : 7. Combie y a-t-il de ombres imairs formés de 4 chiffres différets? sol : 4. Même questio si les chiffres euvet se rééter. sol : 4. Combie de ombres de 4 chiffres eut-o former e base? E base b? sol : 9, b 4 b. Das u jeu de cartes, de combie de faços eut-o choisir 6 cartes comtat armi elles u roi et ique et as d'autre ique i d'autre roi? sol : Combie de motats différets eut-o ayer e emloyat ou lusieurs ièces d'ue bourse coteat ièce de chacue des valeurs suivates :. F F F F F sol :. a) De combie de maières différetes ue société de membres eut-elle choisir u groue de membres our effectuer u voyage? sol : b) même questio, mais madame Marti refuse de artir avec mosieur Claude? sol : c) Même questio mais les jumeaux Duot 'accetet de articier au voyage que s'ils sot esemble. sol : 6. Combie de mots (lisibles ou o) de 4 lettres coteat au mois ue voyelle eut-o former avec les lettres de l'alhabet (N.B. : 6 voyelles et cosoes) sol : E suosat qu'il 'y a as de réétitios, à l'aide des 6 chiffres,,, 6, 7 et 9 a) combie de ombres de chiffres disticts eut-o former? sol : b) combie de ces ombres sot airs? sol : 4 c) combie de ces ombres sot imairs? sol : 8 d) combie de ces ombres cotieet mais as? sol : 6 e) Combie de ces ombres cotieet 6 et mais as? sol :8 8. Das u jeu de cartes, combie y a-t-il de faços de choisir cartes qui soiet a) des as? sol : 4 b) de même valeur ( as ou rois ou )? sol : c) des cœurs toutes les trois? sol : 6 9. a) Combie y a-t-il de ombres de chiffres dot sot des chiffres airs différets ( ) et les autres sot des chiffres imairs disticts. sol : 48 b) Même questio si o accete les réétitios. sol : 6. Avec les chiffres de à 7, o forme des ombres de chiffres différets. Combie a) cotieet exactemet chiffres imairs? sol : 7 b) cotieet au mois chiffres imairs? sol : c) cotieet et 6? sol : d) sot multiles de? sol : 8. a) Avec lettres différetes, combie eut-o former de mots de 6 lettres distictes si chaque mot doit coteir lettres détermiées armi les? sol : b) Parmi ces mots, combie y e a-t-il où les lettres se suivet toujours das le même ordre? sol : 84 c) Et combie si les lettres doivet se suivre das u ordre quelcoque? sol : 4 9. Proriétés des combiaisos. Tableau de Pascal (6-66). C m =. C m = m. C m m = 4. si > m C m = XIV - 6 CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. 7//

7 . C m m = C m E effet : C m =!( m )! et ous avos bie C m 6. C m = C m + C m C m m = C m m et C m = + C m!( m )! ( m )!( )! ( m )!( m ( m ))! ( m )!! = m!( m ) ( m ) ( m )! ( )!( m )! ( )!( m )! ( )!( m ( ))! ( ) ( m ) ( )!( m )! ( m )!( )! C m ( ) ( m ) ( )!( m )! Grâce à cette derière roriété, ous allos ouvoir obteir le tableau de Pascal doat les valeurs des combiaisos de élémets choisis armi m. m\... C C C C... C C C C C C C C C C C C E reat élémets quelcoques de ce tableau disosés comme suit: x y z x = C m y = C m z = C m z = x + y ar la roriété C m = C m + C m E utilisat toutes les roriétés des combiaisos, ous obteos facilemet les remières valeurs du tableau de Pascal (mathématicie du 7 ème siècle) : m\ Biôme de Newto.. Rael : (x + y) = x + xy + y (x + y) = x + x y + xy + y Nous allos gééraliser ces déveloemets à (x + y) 7// CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. XIV - 7

8 . Formule du biôme. Newto (mathématicie aglais 64/77) établit la formule suivate : i (x + y) = C x y Démotros cette formule ar récurrece.. Si =, la roositio est vraie. E effet : (x + y) = x + y = C x + C y. Si la roositio est vraie our = k, alors elle est vraie our = k + E effet : (x + y) k+ = (x + y) k (x + y) = ( C k x k + C k x k- y + Ck x k- y i C k x k-i y i k...+ Ck x y k- k + C k y k ) (x + y) E aliquat la roriété de distributivité, ous obteos : = C k x k+ + C k x k y + C k x k- y i C k x k i+ y i k...+ Ck x y k- k + C k x y k + C k x k y + C k x k- y + Ck x k- y i C k x k- i y i+ k...+ Ck x y k k + C k y k+ Et e rassemblat les termes de même uissaces : = C k x k+ + ( C k + C k )x k y + ( C k + C k ) x k- y i + ( C k + C i k )x k-i+ y i k.+ ( Ck + C k k ) x y k + E aliquat la 6 ème roriété des combiaisos ( C m = C m + C m ), ous avos : = C k x k+ + C k x k y + C k x k- y + C i k x k- i+ y i.+ C k k x y k k + C k y k+ k k Comme C k = C k = = C k = C k, ous avos : (x + y) k+ = C k x k+ + C k x k y + C k x k- y + C i k x k- i+ y i.+ C k k x y k k + C k yk+ qui motre bie que la roositio est vérifiée our = k + La roriété est bie vérifiée quelle que soit la valeur de :. Exercices. i i i k C k y k+. Vérifier ar le biôme de Newto les formules de (x + y) et (x + y). Calculer a) (a + b) 7 = b) (x + y ) = c) ( + ) 4 = d) (x + y ). Trasformer la formule du biôme de Newto our obteir la valeur de (x - y) E déduire (a - y) 8 ; (a - ) 6 4. Calculer a) ( + ) 4 + ( - ) 4 b) ( - ) + ( + ) c) (x + ) 4 - (x - ) 4. Détermier le 8ème terme du déveloemet de (x + y) 7 6. Quel est le coefficiet du terme e x 4 de ( - x) 9 7. Calculer le terme e x de (4x - x ) 8. Calculer le(s) terme(s) milieu(x) das (x + ) 9. Motrer que a) = C i i b) = ( i ) C. Combie de sous-esembles eut-o former das u esemble de élémets?. Posé aux olymiades 998 : "Que vaut la somme des valeurs absolues des coefficiets du déveloemet de (x - x + x - )? A) B) C) D) ou E). E observat le tableau de Pascal, o costate : a) E additioat les termes de chaque lige de ce tableau, o obtiet les uissaces successives de b) E écrivat côte à côte les différets termes d'ue même lige de ce tableau, o obtiet les uissaces successives de (de maière exacte our les remières valeurs, moyeat certaies etites adatatios esuite). Justifier ces observatios. i i XIV - 8 CNDP Eret - Aalyse combiatoire. Biôme de Newto. 7//