I. Premier exemple : calcul de π par la méthode d Archimède. Les figures suivantes montrent le principe de la méthode d Archimède pour le calcul de π.
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- Sarah Beauregard
- il y a 7 ans
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1 TS. DM 6 - Correctio I. Premier exemple : calcul de par la méthode d Archimède. Les figures suivates motret le pricipe de la méthode d Archimède pour le calcul de. Au début, =,S =,T =. = 8 = 6 Désigos par S le demi-périmètre du polygoe régulier à -côtés iscrit das u cercle de rayo. Désigos par T le demi-périmètre du polygoe régulier à -côtés exiscrit à ce même cercle. O peut vérifier par u petit calcul de trigoométrie que : S = si T = ta E utilisat la figure, la logueur d u côté du polygoe régulier à -côtés iscrit das u cercle de rayo est : si Par suite le demi-périmètre du polygoe est S = si = si E utilisat la figure, la logueur d u côté du polygoe régulier à -côtés exiscrit à ce même cercle est : ta Par suite le demi-périmètre du polygoe est T = ta = ta O peut vérifier rapidemet les relatios de récurrece etre les deux suites : T = S T S + T E utilisat la formule six = si x cos x o a : si = si cos E utilisat la formule cos x = + cosx o a : cos = + cos S = S T T = si cos = si cos = si + cos = si ta si + ta T = S T S + T S = si = cos T si = si T = S T S = S T Voici maiteat u programme Pytho : qui calcule les termes des deux suites adjacetes S et T. La valeur de se trouve doc à chaque étape etre les deux valeurs calculées. Nous faisos itératios successives à partir de =. Nous trouvos doc à la fi des polygoes à 3 = 89 côtés. Listig Calcul de pi par la méthode d Archimède # -*- codig : utf -8 -*- ### Calcul de pi par la méthode d Archimède 3 from math import * def S: 5 """ périmètre du polygoe régulier iscrit """ 6 if ==: 7 retur * sqrt 8 else : 9 retur sqrt S / *T
2 0 def T: """ périmètre du polygoe régulier ex - iscrit """ 3 if ==: retur 5 else : 6 retur * S / *T / /S / +T / 7 8 """ programme pricipal """ 9 E =[] 0 = for i i rage 0, : # itératios = * # o double le ombre des côtés 3 X = S # périmètre du polygoe régulier iscrit Y = T # périmètre du polygoe régulier ex - iscrit 5 prit "i=",i,"=",,x,y,y-x 6 E. apped Y- X # mémorisatio de la précisio 7 for i i rage, : 8 prit E[i]/E[i -] # affichage des quotiets. Doer das u tableau, le résultat de l exécutio du programme. À chaque étape mettre e valeur les décimales exactes du calcul de. itératios S T T S 0, , , , , ,556 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 595 3, , , , , , , , Vérifier que les rapports des différeces des icertitudes T S tedet vers la valeur 0,5, c est à dire que toute ouvelle icertitude est fois plus petite que la précédete. Nous avos 6 décimales exactes après itératios. La lige 6 du script précédet, mémorise les icertitudes de T S das ue liste E. Les liges 7 et 8 affichet les rapports des différeces des icertitudes T S : T 8 S 8 T S 0, T 6 S 6 T 8 S 8 0, T 3 S 3 T 6 S 6 0, T 6 S 6 T 3 S 3 0, T 8 S 8 T 6 S 6 0, T 56 S 56 T 8 S 8 0, T 5 S 5 T 56 S 56 0, T 0 S 0 T 5 S 5 0, T 08 S 08 T 0 S 0 0, T 096 S 096 T 08 S 08 0, T 89 S 89 T 096 S 096 0, Pour mémoire, voici ue petite approximatio de que vous appredrez par cœur : 3,
3 II. Secod exemple : la méthode de Newto. C est ue méthode d approximatio des racies d équatios du type f x = 0 voir TS.DM5. Pour la détermiatio de la racie de l équatio x = sur l itervalle [ ; ], u la méthode de Newto coduit à la costructio d ue suite récurrete doée par : + = u + u u u 0 = Voici u programme Pytho qui calcule les 8 premiers termes de cette suite : Listig Calcul de racie de par la méthode de Newto # -*- codig : utf -8 -*- ### Calcul de racie de par la méthode de Newto 3 from decimal import Decimal, getcotext 5 def u: 6 if ==0: 7 retur Decimal 8 retur u - + -u - *u - /* u - # appel récursif 9 0 """ affichage des 0 premiers termes avec 00 décimales """ getcotext. prec =0 for i i rage 0,8 : 3 prit "i=",i,":",ui. Imprimer le résultat d ue exécutio du script précédet à comparer avec les décimales de : i= 0 : i= :,5 i= :, i= 3 :, i= :, i= 5 :, i= 6 :, i= 7 :, , Nous remarquos cette fois que la covergece est plus rapide. L erreur sur la ite évolue par de faço liéaire avec comme das l exemple précédet, mais o peut prouver qu il s agit d ue covergece quadratique c est à dire que l erreur varie de faço iversemet proportioelle au carré du rag de. D où ue covergece extrêmemet rapide. Nous avos décimales exactes après seulemet itératios à comparer avec le cas précédet. III. Étude d ue suite d u sujet de bac. { u+ = u Soit u la suite de termes positifs défiie pour par u =. Détermier u, u 3, u et u 5. Pour =, la relatio de récurrece s écrit u = u = comme la suite u est à termes positifs, o a u = = Pour =, la relatio de récurrece s écrit u 3 = u = 8 ; comme u 3 0, o a u 3 = 8 = = 3 Pour = 3, la relatio de récurrece s écrit u = u 3 = 3 7 = ; comme u 0, o a u = 7 = 7 Pour =, la relatio de récurrece s écrit u 5 = u = 7 5 = ; comme u5 0, o a u 5 = 5 = 5 8
4 . Pour tout etier aturel, o pose v = lu l a. Démotrer que la suite v est ue suite géométrique. Pour tout etier aturel, v + = lu + l = lu + l = lu + l = lu l = l + lu l = lu l v + = v la suite v est ue suite géométrique de raiso q = et de premier terme v = lu l = l b. Pour tout ombre etier aturel, exprimer v puis u e foctio de. v = v q = l lu = v + l c. E déduire que + u =. + = 0 car 0 < u = e v+l = e v e l l = e 3. À partir de quelle valeur de a-t-o u > 3,99? l < doc u = e + + = = = e 0 = = l u > 3,99 e l e > 3,99 > 3,99 3,99 l > l < l 3,99 l l < l l l > 3,99 l l l3,99 < l l l l3,99 l l l < 0 l a b = l a lb = l b a l = l < 0 l l3,99 l > 0, u > 3,99 à partir de = l. O dit que la suite u coverge liéairemet ou «géométriquemet» vers, s il existe u ombre k, 0 < k < tel u + que : = k. Le ombre k est appelé «vitesse de covergece». + u O peut vérifier rapidemet que pour tout etier aturel, 0 < u < doc u + + u = u + + u u + a. Détermier + u u + u = u + 6 u u + + = u 6 Il y a ue forme idétermiée «0 0» u u + + = u u u + + = u + +
5 u + + u = + u + + = 8 = par quotiet avec u + = + b. E déduire la vitesse de covergece de la suite u. Par défiitio, comme u + + u = la vitesse de covergece de la suite u est de IV. Remarques O cosidère la suite u de ite l u + l Si = 0 alors la covergece de la suite est dite rapide. + u l O dit que la suite u est «covergete d ordre q» : s il existe u ombre k, 0 < k < tel que : + E particulier : la covergece d ordre est dite «quadratique». Par exemple, pour la suite de la méthode de Newto du secod exemple : u + u = u + u u + u+ u = + la covergece d ordre 3 est dite «cubique». la covergece d ordre est dite «quartique». O parle de covergece lete lorsqu o a : + u = u u u = u u Soit la suite récurrete défiie par = u + + u 0 = u + l u l q = k u + = u + u = u + u u u 0 = u = = < il s agit bie d ue covergece quadratique. u + l = u l O costate que la ite se trouve das tout itervalle ]u ; u [ de logueur +. O costate cepedat que la logueur de ces itervalles e décroit pas das u rapport doé parce que le rapport des logueurs de ces itervalles ted vers. C est ce que ous appelos u cas de «covergece lete». Après itératios ous avos que décimales exactes. Après ous e avios déjà 3. il est possible qu ue suite coverge et que la vitesse de covergece existe pas.
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