Géométrie des masses

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1 Cours - éométre des masses CE M éométre des masses ommare éométre des masses... Masse et nerte d un sstème Notons d nert Masse Centre d'nerte centre de gravté Algorthme de calcul de la poston du centre de gravté d un sstème matérel Σ Détermnaton de la poston du centre de gravté d un sstème matérel Σ par la connassance de volume, de surface ou de longueur : théorème de uldn pérateur d nerte et matrce d nerte d un sold Moment d nerte rodut d nert Matrce d nerte Base prncpale d nerte Base centrale d nerte mplfcaton par smétre d une matrce d nert Matrces centrales d nerte de quelques soldes élémentares....7 Transport et changement de base d une matrce d nerte....8 Algorthme de calcul d une matrce d nerte d un solde en une pont A dans une base b....9 Moments d nerte d un solde par rapport à un ae quelconque //4 age sur 4

2 Cours - éométre des masses CE M Eemple de sstème : Tmes Barrer Contrepods orte fermée orte effacée dans le berceau Berceau orte e Thames Barrer est un barrage spectaculare conçu pour protéger la vlle de ondres des marées eceptonnellement élevées qu peuvent remonter de la mer. a constructon termnée en 98 a nécessté 5 tonnes d acer et m 3 de béton, ce qu en fat le ème barrage moble le plus grand du mond a structure s étend sur 5 m de large et est consttuée de portes en forme de secteur angulare de m de haut. Chaque porte est totalement effacée dans un berceau en béton coulé au fond de la rvèr En cas de montée des eau, les portent actonnées par une machnere hdraulque, pvotent en poston vertcal C-dessous un résumé grosser des dfférentes partes du programme : 8//4 age sur 4

3 Cours - éométre des masses CE M Masse et nerte d un sstème. Notons d nert Nous savons, par epérence, qu l est plus «dffcle» d accélérer un camon qu une moto comme l est plus «dffcle» de le frener. nerte caractérse la résstance qu oppose un corps par sa nature propre à une varaton de mouvement. our un mouvement de translaton, la masse sufft pour défnr cette quantté, par contre pour un mouvement de rotaton, l est nécessare de précser la répartton de cette mass a cnétque est l étude des caractérstques d nerte d un solde. Masse Un sstème matérel est consttué d un ensemble de ponts de masse élémentare dm(. a masse du sstème matérel m (unté kg est alors donnée par : dv m dm( m v ( dv dv est l'élément de volume de, et v ( est la masse volumque en.dv dm v our un solde homogène, la masse volumque v ( est constante et dm dv emarque : dans le cas des soldes modélsés par des surfaces, des lgnes ou des ponts, l'élément de volume devent respectvement un élément de surface d'are ds et un élément de lgne de longueur dl, la masse volumque devenant alors une masse surfacque et une masse lnéqu Dans le cas du modèle pont, toute la masse m est concentrée en ce pont a masse est postve et addtve pour deu sstèmes dsjonts : m m( m( ( Nous supposerons que la masse est une grandeur ndépendante du temps. Cette proprété permet d'écrre la relaton suvante : d d (, t. dm( (, t. dm( dt dt 8//4 age 3 sur 4

4 Cours - éométre des masses CE M.3 Centre d'nerte centre de gravté n appelle centre d nerte le pont Σ qu vérfe la relaton. dm(. n peut alors écrre. dm( rechercher Σ. m..dm( (Cette relaton est utlsée dans la pratque pour Dans la pratque comme on fat l hpothèse d un champ de pesanteur constant en tout pont, le centre d nerte Σ est confondu avec le centre de gravté..4 Algorthme de calcul de la poston du centre de gravté d un sstème matérel Σ ou e sstème (Σ possède des smétres non Hpothèse : soldes homogènes l este un pont de smétre pour (Σ, est ce pont l este un ae de smétre pour (Σ, est sur cet ae l este un plan de smétre pour (Σ, est dans ce plan n décompose le sstème matérel Σ en soldes élémentares ou e solde élémentare ( possède des smétres non Hpothèse : soldes homogènes l este un pont de smétre pour (, est ce pont l este un ae de smétre pour (, est sur cet ae l este un plan de smétre pour (, est dans ce plan our chaque solde élémentare (, on calcule les composantes non détermnées. n projette m.. dm sur les aes choss : ( m.. p dm. ( m p. dm m.. p dm ( ( n utlse la formule du barcentre tot 8//4 age 4 sur 4. m tot M. M. m. projetée sur les aes choss : tot. m tot. M. M m. Ces relatons sont transposables pour la vtesse et surtout pour l accélératon.

5 Cours - éométre des masses CE M Applcaton : echerche du centre de gravté sur une porte du Tmes Barrer ongueur porte : = 58m aon : =,4m Épasseur tôle : e =,5m (consdéré néglgeable devant Masse volumque porte : ρ = 78 km/m 3 = π/3 n cherche les coordonnées du centre de gravté du sstème Σ par rapport au pont tel que.... e sstème possède plans de smétre perpendculares, le centre de gravté est sur la drote ntersecton des plans de smétr et = n décompose le sstème en soldes élémentares (les soldes élémentares possèdent les deu mêmes plans de smétre dentfés précédemment. olde aant pour centre de gravté Il a un plan de smétre supplémentare sur le solde. Il a 3 plans de smétre perpendculares le centre de gravté de est à :.cos (s e est consdéré comme néglgeable et on connat déjà les coordonnées de sur et. n utlse enfn la formule du barcentre + 8//4 age 5 sur 4 olde aant pour centre de gravté Il n a pas de plan de smétre supplémentares pour le solde. n utlse la défnton m.. dm que l on projette sur l ae (n connat déjà les coordonnées de sur et : m. dm avec dm ( p. ( m..(.. et dm... d....cos. d..... sn sn. M. m. que l on projette sur l ae : tot M tot. m. ( m m. m. m. avec m..(..sn et m..(.. sn..(..sn..cos..(.... m. m...sn.( cos ( m m..(....(..sn sn

6 Cours - éométre des masses CE M.5 Détermnaton de la poston du centre de gravté d un sstème matérel Σ par la connassance de volume, de surface ou de longueur : théorème de uldn. Connassance d une surface balaée par une courbe ot une courbe (C de longueur contenue dans un plan (,, ne coupant pas l'ae (,. ot ( la surface engendrée par la rotaton de cette courbe autour de l'ae (,. echerche du centre d'nerte de (C : m..dm avec m = et dm = d C (en supposant une masse lnéque constante. d..d C En projecton sur (, :.d Calcul de la surface de révoluton d d d d [, ] C C d.d = Connassance d un volume balaé par une surface ot une surface ( d'are contenue dans un plan (,, ne coupant pas l'ae (,. n cherche à calculer le volume engendrée par la rotaton de cette surface autour de l'ae (,. echerche du centre d'nerte de ( : m. M.dm avec m = et dm = d (en supposant une masse surfacque constante.. M.d En projecton sur (, :.d Calcul du volume de révoluton V d d V d d [, ] d.d V V= 8//4 age 6 sur 4

7 Cours - éométre des masses CE M pérateur d nerte et matrce d nerte d un solde a masse sufft pour caractérser l nerte dans le cas d un mouvement de translaton. a masse m ne permet pas à elle seule de caractérser la dffculté de mettre un solde en mouvement de rotaton ou de l en empêcher n a beson de connaître la façon dont cette masse est réparte sur le sold es moments et produts d nerte caractérsent cette répartton.. Moment d nerte e moment d nerte par rapport à un pont, caractérse la répartton de la masse autour du pont. lus l est grand, plus la matère est élognée du pont, et plus l sera dffcle de mettre le solde en rotaton autour de ce pont. Il en est de même pour des moments d nerte par rapport à un ae ou un plan. Moment d nerte du solde par rapport à un pont : I ( r dm ( dm Unté : kg/m r ( Moment d nerte du solde par rapport à un ae : (, (, (, I ( A ( dm I ( B ( dm I ( C ( dm Moment d nerte du solde par rapport à un plan : I ( dm (,, I ( dm (,, I ( dm (,, roprétés : I ( I ( I ( I ( I ( I ( I ( (,, (,, (,, (, (, (, A B C. rodut d nerte e produt d nerte caractérse l absence de smétre dans la répartton des masses. Ils vont créer des effets de «balourd» perpendculares à l ae autour duquel on souhate fare tourner le sold rodut d nerte du solde par rapport à un plan : ( D dm (,, ( E dm (,, ( F dm (,, 8//4 age 7 sur 4 (,,

8 Cours - éométre des masses CE M.3 Matrce d nerte a matrce d nerte du solde permet de caractérser la répartton de la matère d un solde autour d un pont (c et dans une base donnée (,,. A F E I F B D E D C ( b ( matrce d nerte du solde en dans une base b. Au concours les calculs des éléments de la matrce d nerte par les formules c-dessus ne donnent pas leu à évaluaton (ls sont donnés en fat. eule la relaton entre la forme de la matrce d nerte et la géométre de la pèce est egbl Une matrce d nerte dépend de la base et du pont de calcul, l est donc mportant de précser ces données.4 Base prncpale d nerte Base centrale d nerte our tout pont, la matrce d nerte est smétrqu Il este donc un sstème de tros vecteurs propres orthogonau deu à deu formant une bas Dans cette base, appelée base prncpale d nerte au pont, la matrce est dagonale (les produts d nerte D, E, F sont nuls. Dans la base b (,, A F E : I ( F B D E D C ( b A Dans la base prncpale d nerte b (,, au pont : I( B C ( b (,, (, et (, sont les aes prncpau d nerte de au pont. A, B, C sont les moments prncpau d nerte de ( au pont. Ils sont de plus mnma. est centre de gravté de, alors (,, (, et (, d nerte de ( et b la base centrale de (. sont aes centrau 8//4 age 8 sur 4

9 Cours - éométre des masses CE M.5 mplfcaton par smétre d une matrce d nerte le plan (,, est plan de smétre matérelle, alors les produts d'nerte D et E sont nuls. En effet pour tout pont M, M tel que, + = d'où D dm De même, + = E dm Conséquence : 'ae o est alors ae prncpal d'nert I (, A -F -F B C (,,, ( M M - deu plans sont plans de smétre parm les tros plans (,,, (,,, (,, alors D = E = F = e repère (,,, est alors repère prncpal d'nert I (, A B C (,, (, est ae de révoluton D = E = F = et de plus A = B a matrce est nchangée pour tout changement de base par rotaton autour de (,. en effet : dm dm I (, la drecton de l'ae du plan (,,. A A C (,, M ( par alleurs, C ( dm r dm les calculs s'effectuent alors souvent en coordonnées polares est une plaque d'épasseur néglgeable dans le plan (,, Alors D et E sont nuls étant néglgeable A dm et B dm C= A+B I (, A -F -F B A + B (,, M ( 8//4 age 9 sur 4

10 Cours - éométre des masses CE M.6 Matrces centrales d nerte de quelques soldes élémentares aralléléppède I (, aralleleppède b + h m a + h m a + b m (,, Clndre creu I (,Cnlndre creu + r h m m 4 + r h m m 4 m + r (,, phère creuse I (,phère creuse m r r 5 5 m - r r 5 5 m - r r (,, 8//4 age sur 4

11 Cours - éométre des masses CE M.7 Transport et changement de base d une matrce d nerte Beson : eprmer la matrce d nerte en un autre pont A F E I ( F B D E D C ( b Beson : eprmer la matrce d nerte dans une autre base Théorème de Hugens A... A Méthode globale Matrce d nerte de en A Matrce d nerte de en IA( I ( IA( m Matrce d nerte en A en consdérant que toute la masse est concentrée en (.. IA m m (.. (... ( ( b Changement de base A θ n défnt une matrce de passage de la base b vers la base b cos sn ( b b sn cos I A b ( ( bb. I A( b. ( bb ur la matrce de passage det(= ( bb T ( bb Quelques règles mportantes à respecter pour évter tout écuel : Avant tout calcul, défnr la forme smplfée de la matrce chosr le pont et le repère où l on eprmera la matrce sous sa forme la plus smpl Avant de multpler ou d addtonner matrces, vérfer qu elles soent eprmées dans une même base et au même pont. our applquer le théorème de Hugens, les deu repères dovent être parallèles et l s écrt entre un pont A quelconque et le centre de gravté (A et non entre deu ponts quelconques du sold e changement de base est une démarche qu prend du temps et elle ne dot être entreprse qu'après mûre réfleon, seulement s elle est vrament nécessar l on souhate détermner un seul moment d nerte par rapport à un ae d une autre base, on n applquera pas la méthode de changement de base, mas le calcul I (. IA(. (vor paragraphe 3 8//4 age sur 4

12 Cours - éométre des masses CE M.8 Algorthme de calcul d une matrce d nerte d un solde en une pont A dans une base b ou e sstème (Σ possède des smétres non Hpothèse : soldes homogènes un ae de la base b est ae de smétre cet ae est prncpal d nerte le sstème Σ a un plan de smétre dans la base b l ae au plan de smétre est ae prncpal d nerte le sstème Σ a deu plans de smétre dans b la matrce d nerte est dagonale n décompose le sstème matérel Σ en soldes élémentares ou e solde élémentare ( possède des smétres non Utlsaton des smétres pour (comme c-dessus our chaque solde élémentare (, on détermne la matrce d nert En un pont prvlégé Dans une base prvlégée b lée à I ( our chaque solde élémentare (, on ramène la matrce d nerte au pont A dans la base b Transport de A (Hugens : IA( I ( ( IA m I A( Changement de base b b : I (. I (. A b A b n assemble les matrces toutes écrtes au même pont et dans la même base : I ( I ( A A 8//4 age sur 4

13 Cours - éométre des masses CE M Applcaton : Détermnaton de la matrce d nerte en A de la porte du barrage Tmes Barrer ongueur porte : = 58m aon : =,4m Épasseur tôle : e =,5m (consdéré néglgeable devant Masse volumque porte : ρ = 78 km/m 3 = π/3 / A e sstème Σ possède plans de smétre perpendculares la matrce est dagonal n décompose le sstème en soldes élémentares (les soldes élémentares possèdent les deu mêmes plans de smétre dentfés précédemment. / olde de masse m aant pour centre de gravté l =..sn A A + olde de masse m aant pour centre de gravté / A a matrce d nerte de la plaque en est une matrce élémentare smple ben connue : A I ( B avec : C m. A ; ( b m.( l m l B et C. a matrce d nerte du solde en est : A I ( B C ( b ù les termes A, B et C sont des termes à calculer à partr des défntons données paragraphe.. n dot ensute transporter à l ade du théorème de Hugens les matrces en A pour les assembler. I ( I ( I ( m avec : I ( I ( I ( m avec : A A A A m. m. IA( m IA( m m A. ( b A m. ( b A m. A m. IA( B IA( B C m A. C m ( b A. ( b Au fnal on obtent : IA IA IA ( ( ( 8//4 age 3 sur 4

14 Cours - éométre des masses CE M.9 Moments d nerte d un solde par rapport à un ae quelconque ot un solde de masse m en mouvement par rapport à un repère,,,. ( ot un ae (Δ défnt par le pont A et le vecteur untare. Un pont de se projette en H sur (Δ. e moment d nerte du solde ( par rapport à l ae (Δ est le scalare postf I( H. dm. A H (Δ (Δ on connat la matrce d nerte du solde au pont A dans la base on peut calculer I ( en utlsant la relaton I(. IA(. Dans le cas d un moment d nerte par rapport à un ae quelconque, le théorème de Hugens devent I ( I ( m. H 8//4 age 4 sur 4