Programmation dynamique

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1 Programmaion dynamiqe ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale 5 Ojeif On désire agir sr n sysème disre o onin don l éa es déri à l insan [ [ par ne variale d éa don on onnaî l éa iniial o non a moyen de paramères appelés onrôles o poliiqes e noés : onrôle en ole overe ; o : onrôle en ole fermée o feedak Le sysème es régi par ne loi d évolion f elle qe f Enfin n onrôle es di admissile si le ople vérifie les onraines imposées SOMMAIRE Programmaion dynamiqe disrèe Horizon fini Horizon infini 5 Cas sohasiqe horizon fini 7 Call des variaions Horizon fini Horizon infini Conrôle opimal en emps onin Horizon fini Prinipe de Ponryagine Programmaion dynamiqe en emps onin Horizon fini 5 Eeries 7 Programmaion disrèe 7 Enonés 7 Correions 8 Call des variaions 5 Enonés 5 Correion 6 Biliographie Programmaion dynamiqe disrèe Horizon fini Programme [ ] où es appelé l horizon On herhe à résodre le programme où ma U g Ρ es pris sr les onrôles admissiles ; f es la fonion de valer d prolème où le maimm U es la fonion ojeif ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

2 Prinipe de résolion héorème s Posons Ρ s f s s ave s ma U g Noa Bene : selon es noaions Spposons qe P s s [ ;-] admee des solions La fonion es alors araérisée par la rérrene rérograde : [ U f ] ma i g ii i es appelée éqaion de Hamilon-Jaoi-Bellman Le héorème perme de déerminer de façon rérograde On onnaî On en dédi en résolvan n prolème de maimisaion sr - pis en reporan la valer de - dans i - ; e ainsi de sie jsq à On déermine en même emps les poliiqes opimales sans olier de vérifier ler admissiilié Le onrôle opimal à iliser à l insan es pis à l insan ave ; e ainsi de sie : ave f f O Cas parilier ma βu β g f β Ρ L éqaion de programmaion dynamiqe se rééri dans e as β J ma U J β J g f ave J s ma β s s U β g ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

3 Eemple Soi n onsommaer qi possède ne rihesse iniiale Il onsomme [ ;-] ie il ne onsomme pas à la dernière période Ce qi n es pas onsommé à haqe éape es plaé a a Le programme d onsommaer s éri : On spéifie U e g : e s g U ma U g < < On a don : s ma On appliqe le héorème : g [ ] ma Le maimm es donné par l égalisaion à de la dérivée première de - : ave D où : [ ] [ ] ma ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

4 D où E ainsi de sie Spposons por erminer l eemple rapidemen qe e réérivons le prolème de dépar : ma e e ave On en dédi qe : ave Or ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

5 D où E En résmé : ; ; ; Eonomiqemen e résla signifie qe por maimiser sa rihesse à haqe éape le onsommaer doi : - Consommer en première période n iers de sa rihesse iniiale Il li rese don de iers de sa rihesse iniiale en dé de deième période ; - Consommer égalemen n iers de sa rihesse iniiale en deième période de sore q en roisième période sa rihesse soi égale à n iers de sa rihesse iniiale Ce résla orroore l iniion qi es sr périodes de onsommer ave la même inensié à haqe période lorsqe le a d inérê es nl e qe l on désire maimiser sa rihesse à haqe éape Horizon infini Le prolème ne fai pls apparaîre de ondiion erminale e on se resrein a as où la fonion ojeif es de ype β U Hypohèse : U M e β ave r> r Cee hypohèse assre la onvergene de la série On herhe à résodre s Ρ f ave ma U la fonion de valer d prolème r Le prinipe de programmaion dynamiqe es enore valale à de peies modifiaions près ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 5

6 héorème e s araérisée par la rérrene ma U r f Remarqe : Il n y a pls de ondiion erminale On ne pe don pls déerminer par ne méhode rérograde En fai la fonion de valer es désormais ne inonne d prolème ; rès soven on inie sa forme Call de Méhode : méhode de poin fie On pose e on défini par rérrene la sie de fonions n par ma U r f n n Proposiion La sie n es la fonion de valer d prolème ave horizon fini e ondiion erminale n ma U nlle Ρ f [ ] s On a assi n héorème n n ma n r { } n U Méhode : rover / U f iéraion e onsrire par r Iniivemen la poliiqe opimale ne dépend pas de Remarqons o d aord qe : Si es ne poliiqe admissile e R U ave f r e il es faile de vérifier qe : R U R f r La rérrene es alors éalie de la façon sivane : on hoisi ne poliiqe admissile e on li assoie R définie par R U ave f r e Cee fonion vérifie R U R f r On en dédi ne poliiqe admissile en maimisan U R f r ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 6

7 Par rérrene on défini par n U Rn f r On monre qe R n n e n en maimisan r R U R n es ne sie roissane qi onverge vers Cas sohasiqe horizon fini L évolion d sysème fai inervenir à haqe éape ne variale aléaoire : f ω où ω es n paramère aléaoire de loi P / onne La fonion ojeif s éri J ΙΕ U ω g La fonion de valer s éri ΙΕ J π sp π U ω g où π µ µ µ où assoie à haqe éa n onrôle µ µ héorème J où es oene par l algorihme sivan : J J g J maιε[ U ω J f ω ] Si maimise le erme de droie la poliiqe π µ µ µ es opimale où µ f ω Eemple Dans ne enreprise l évolion d sok es défini par : ma ω où : es la qanié de sok disponile es la qanié ommandée a ors de la période ω es la demande adressée à l enreprise L enreprise doi a dé de haqe période déider de la ommande à passer On sppose ω ~ iid La fonion ojeif à minimiser es ΙΕ H ω ave H ω ma ω ma ω H es le oû de pénalié por sokage inile o le oû orrespondan à ne demande non saisfaie le oû lié à la ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 7

8 pere d n lien es ii rois fois s périere à eli lié à l eisene d n sok es n oeffiien représenan le oû d aha On sppose ii p or simplifier les alls On sppose égalemen qe le sok disponile e la demande son à valers enières posiives qe la valer maimale de es ie on ne pe pas soker pls de de niés e qe ΙΡ ω ΙΡ ω 7 En d ares ermes on sppose q on a enre e liens à haqe ΙΡ ω période réparis à haqe période selon ee loi de proailié On sppose enfin qe e Le oû erminal éan nl : J on dérole : minιε minιε minϕ [ U f ] [ ma ω ma ω ] ϕ ΙΕ ω Si ma ω ω ma ω ma ω d où ϕ ΙΕ ma ω [ ma ω ma ] Or ΙΕ Si ϕ ΙΕ [ ] [ ma ω ] 7 ΙΕ [ ma ω ma ω ] [ ma ω ma ω ] Si ϕ ΙΕ[ ma ω ma ω minϕ ϕ 7 On oien don ϕ ΙΕ ω Si ϕ ΙΕ ma ω ma ω ] [ ma ω ma ] [ ] 7 Si ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 8

9 [ ma ω ma ω ] ϕ ΙΕ Si ϕ ΙΕ ma ω ma ω 7 [ ] 9 9 On oien don e 7 ϕ ΙΕ ma ω ma ω Si ϕ ΙΕ ma ω ma ω [ ] [ ] 7 9 Si ϕ ΙΕ ma ω ma ω [ ] Si ϕ ΙΕ ma ω ma ω [ ] D où e 9 Noa Bene : Il n éai pas néessaire de mener es alls éan donné la onraine minιε[ U f ] minιε[ ma ω ma ω ω ] minψ Si ψ ΙΕ ma ω ma ω ω ΙΕ Or on sai qe [ ] [ 7 ω ] Don : ψ Si ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 9

10 ψ ΙΕ[ ma ω ma ω ω ] Si ψ ΙΕ ma ω ma ω ω [ ] 7 Don minψ 96 e Si ψ ΙΕ ma ω ma ω ω [ ] Si ψ ΙΕ ma ω ma ω ω [ ] Si ϕ ΙΕ ma ω ma ω ω [ ] Noa Bene : Call inile éan donné la onraine Don minψ 8 e D emlée la onraine olige ΙΕ ma ω ma ω ω [ ] Don 8 e Réapilons : 7 e 7 e 9 e 96 e 8 e 8 e [ U f ] min ΙΕ Or par hypohèse ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

11 [ ] min ΙΕ ma ω ma ω ω Don minγ Si Si Si Γ ΙΕ[ ma ω ma ω ω ] Γ 7 ΙΕ [ ω ω ω ] ma ma [ ma ω ma ω ω ] Γ ΙΕ Don minγ e Call des variaions On passe en emps onin Horizon fini On herhe à résodre n prolème d opimisaion dynamiqe de la forme : où J L & d ma J Ρ 5 s Noa ene : J es ne fonionnelle id es ne appliaion qi assoie n nomre réel à ne fonion héorème 5 ondiion d Eler Condiion néessaire Si maimise J sos les onraine s a ord e alors d L & & L & d L L où L & e L & Condiion sffisane Si L es onave si vérifie ainsi qe les onraines a ord alors es solion opimale de P 5 ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

12 Cas pariliers - Si L ne dépend pas de l éqaion d Eler s éri L & onsane - Si L ne dépend pas de oe solion de l éqaion d Eler es solion de f f & & onsane oe solion non onsane de f f & & onsane es solion d Eler La marhe à sivre es don : Erire l éqaion d Eler Résodre ee éqaion e qi fera apparaîre de onsanes d inégraion Déerminer les onsanes d inégraion en imposan les ondiions a ord vérifier si l on pe assrer qe l on a n eremm Condiions de ransversalié a Coû erminal ma Ρ6 L & d g s Proposiion Condiion néessaire d Si es solion de P 6 alors elle vérifie [ ] L & & L & d e la ondiion de ransvers alié a poin erminal L & & g' Condiion sffisane Si L e g son onaves si vérifie e alors es ne solion opimale de P 6 Conraines erminales prolème d erémié liée & ma L d Ρ7 s Φ où Φ es C L erémié es assjeie à apparenir à la ore Φ Proposiion Si es ne solion de Ρ 7 alors es solion de ; elle vérifie la ondiion iniiale e vérifie la ondiion de ransversalié érie en : Φ L& & Φ & L& & L & [ ] Erémié lire somise à n oû on en onnaî pas Ρ L & d G 8 ma s ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

13 Proposiion Si es ne solion de Ρ 8 alors es solion de ; el le vérifie la ondiion iniiale L& G e vérifie les ondiions limies éries a poin : L L & & G Horizon infini Proposiion 5 Condiion néessaire Si es ne solion de Condiion sffisane SOI Si L es onave e ma Ρ9 L & e s r r r Ρ [ ] elle vérifie l éqaion d Eler 9 d d L& e Le d r L & ornée si lim e si es onine e si vérifie alors es opimale SOI Si L es onave e négaive si L & es onine lim r e L e si vérifie alors es opimale L & Fonion de valer : Soi ma L & e r L & & d ave L onave Proposiion 6 es onave es différeniale e ' L & ave & ne solion opimale & Conrôle opimal en emps onin Horizon fini L éqaion d évolion es ne éqaion différenielle : ' f Ρ ma L d G ' f Prinipe de Ponryagine Fonion de Ponryagine : Hamilonien : def Η p sph p def h p pf L p & L ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

14 héorème 6 Soi adjoin elle qe : - réalise mah ne solion de Ρ Alors il eise ne fonion p : [ ] IR p die veer - p es ne solion d sysème d éqaions différenielles ordinaires d Hamilon-Jaoi e vérifie les ondiions-limies sivanes : p' h p p G' e ' h p p Remarqe : ' h p n es are qe ' f p Calls à mener : Erire la fonion de Ponryagine h Caller h Caller onrôle qi maimise h Remplaer dans h par 5 p' h p Erire ' f p G' des ondiions a ord e résodre es éqaions en enan ompe Condiion sffisane : Proposiion 7 Si h es onave si p h p alors vérifie les ondiions de Ponryagine e si es opimal Horizon infini : Ρ r ma L e d s & f def r h p p p f pe L Condiion néessaire : Si es ne ommande opimale e si es la rajeoire assoiée p p ma h por presqe o e p p h p' h ' p p p p p / réalise ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

15 Programmaion dynamiqe en emps onin Horizon fini d G L ma Prinipe d opimalié On noe ma L s s s ds G ' s f s s s s s s s L θ θ θ dθ s s où ' s f s s s s θ θ d s s sp L θ s s es solion de Eqaion d Hamilon-Jaoi-ellman héorème 7 es ne poliiqe opimale si e selemen si mal f l éqaion d Hamilon Jaoi-Bellman adme ne solion différeniale e vérifian G e qe vérifie le maimm de l éqaion Remarqe : L f orrespond à la fonion de Ponryagine Calls à mener : Erire le premier memre de l éqaion d HJB : L f Reherher le qi maimise ee qanié soi Inier la forme de la fonion de valer e résodre l éqaion différenielle L f en enan ompe des onraines G e Idenifiaion k j On ilise soven le résl a sivan : Si k j k j alors i k Par eemple si y β y γ alors β γ i ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 5

16 Appliaion a prolèmes de onrôle linéaires qadraiqes Un prolème de onrôle es linéaire qadraiqe si l éqaion d éa es linéaire e la fonion ojeif qadraiqe Le prolème s éri : Ρ s F s E s ' D C ds s B s A ma es onsanes posiives e es : où A B C e D son d F E p B A p Η La fonion de Ponryagine de e prolèm e l éqaion d HJB es ma Η p Le maimm es aein por B pf p B F p A pe p Η e il va alors J L éqaion de Bellman s éri D C J B F A J E J On reherhe ne solion sos la forme : γ β qelqes alls : Il vien après K e K D ω K D Ce ω ω ω ω ave K ω ω D B E B F B A F E E F B E le onrôle opim ω A F E E B A F K ω D al s eprime : B B K K e K D Ce F J F ω ω ω ω ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 6

17 Eeries Programmaion disrèe Enonés Eerie Une enreprise dispose d ne poliiqe por agir sr n sysème disre IP En noan variale d éa à haqe insan [] elle défini ne fonion ojeif e ne ondiion erminale g elles qe la fonion de valer d prolème s érive L enreprise herhe à minimiser la fonion de valer sahan qe le sysème es régi par la loi d évolion e qe la variale d é a a por valer iniiale la Eerie rover les erema de sos les onraines e onraine e sos la Eerie On doi minimiser le rière J éan donné l éqaion d évolion 8 5 Min Le programme s éri : s [ ] 8 5 Eerie Résodre le prolème qadraiqe Min s ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 7

18 Eerie 5 Résodre le prolème s Ma ln ln r Ma Le sysème IP s éri don min IR s IP Por résodre e prolème linéaire min IR s S D après HJB la fonion de valer d prolème es alors araérisée par la rérrene rérograde sivane : ma Eerie 6 Résodre le programme sivan : > > r s Correions Eerie qadraiqe on pose s IP [ ] On en dédi : [ ] ma Por résodre e programme de maimisaion la ondiion néessaire d opimalié CNO es d annler la dérivée première de en : ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 8

19 6 D où ma 5 CNO : 5 D où [ ] ma ma 7 CNO : 7 par hypohèse Don Or ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 9

20 En résmé : E Eerie Ma e s CNO : [ e ] ma e e ~ ln < Or e > En d ares ermes es onvee déroissane jsq à ~ ln e roissane ensie Or Don le maimm es e e aein por pisqe es roissane sr [] Ainsi ma[ e e ] CNO : e ~ ln < Or e > On se rerove dans eaemen la même onfigraion qe préédemmen On hoisi don ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

21 E e e 5e ma [ e 5e ] CNO : e impossile es en fai ne fonion sriemen roissane e le maimm es aein sr [] por On oien e 5e 6e ma 6e [ ] A novea es sriemen roissane e le maimm es aein por On oien 6e Min e s Min [ e ] En se servan d raisonnemen en lors de la maimisaion on oien insananémen qe e Min [ e ] On sai d avane qe e 5 Min[ e 5] e 6 Min [ 6] e 6 Eerie 5 5 Min[ ] Min On sai à ve d œil qe e Min 8 5 Min [ [ ] [ ] 5 e 5 Min[ 5[ 8 5 ] Min[ 5 5 ] On sai à ve d œil qe 5 La onraine empêhe ee fois-i de onlre rapidemen ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

22 es elle qe 5 55 Or par onraine don ne pe pas êre spérier à L niqe solion es alors e 5 6 Min Min [ [ ] [ ] De la même manière 6 8 e Eerie Min CNO : Min CNO : Min CNO : 5 ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

23 Min 6 CNO : Eerie 5 e riple opimal es L En effe raisonnons par l asrde e spposons qe ε ε > On a alors λε e λε λ On a don [ ] λε ε λ ε ε λε < Eerie 6 ln Ma ln [ ln r ] CNO : r r r r r ln lnr r ln r Maln ln r r Maln r ² Or ln es ne fonion roissane Il sffi don de déerminer le sens de variaion de r r ² r r r r r r ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

24 r r [ r r ] r r On pe alors éalir le alea de variaions : les raines son r o e r r r - Pisqe par hypohèse r e q e > on devine qe < r Par r onséqen le maimm es aein en r r r E ln ln r r ln Maln r r 5 r ln 7 r r ln r 7 5 Comme préédemmen on édie le sens de variaion de r r r r r r r En enan eaemen le même raisonnemen qe préédemmen on oien qe E r ln Ma ln 5 r r r 7 r ln r 9 ln r 9 ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5

25 Comme préédemmen on reherhe les raines : r r r 5 On oien r 5 r r r E 5 ln r r ln 5 5 Call des variaions Enonés Eerie rover les erémales des prolèmes sivans : a J & d sos les ondiions e J & d sos les ondiions e d J & d sos les ondiions e J & d sos les ondiio ns e Eerie Résodre Min & d sos les onraines a a Dans le as a e a monrer qe la solion es ne droie Dans le as a monrer qe la solion opimale es omposée de de segmens de droie Erire l éqaion d Eler Eerie Résodre min & d sos les onraines e Eerie Soi & J 6 & d a Erire la ondiion d Eler Résodre le prolème d erémalié sos les onraines ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 5

26 Eerie 5 Soi J 6 & & d a Erire la ondiion d Eler Erire la ondiion de ransversalié rover les fonions qi vérifien la ondiion d Eler la ondiion de ransversalié e la ondiion d Même qesion ave J 6 & & d Correion Eerie On sai qe les eremales de L & d son solions de l éqaion d Eler d L L& d d a Ii on a L & & Don L L & & e L & & & Don on a d & & & & & a a Or e don a a Ainsi d Ii on a L & & Don L L & e L & On a don d vérifian e Don oes les ores vérifian e son des erémales d Ii on a L & & Don L & L & e L & & On a don & & d Don oes les ores vérifian e son des erémales d Ii on a L & & Don L & L & e L & & Don on a d & & Il n y a don pas d erémales saisfaisan les onraines d ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 6

27 Eerie Min & d Résolvons s a O n a L & & d d L & L & & e & & d d Don l éqaion d Eler s éri : & & & && & & & & si On voi qe es ne erémale e & es ne erémale L a Dans les as a e a monrons qe la solion es ne droie On a L & & Don J & d Or J e J ave el qe & vérifie les ondiions iniiale e erminale por a vérifie les ondiions iniiale e erminale por a e & & Dans le as a monrons qe la solion op imale es omposée de segmens de droie Dans le as a on pe prendre omme erémale : si si On a ien J & d Erivons les éqaions d Eler : & & es don opimale e poran elle n es qe C par morea es elle qe e & son des erémales es don opimale ien q elle ne soi qe par morea C & & Eerie Min & d Résolvons s Ma L & d O n sai qe si on édie le prolème Ρ on a : s Φ Si es ne solion d prolème P alors es solion de l éqaion d Eler d L & L [ ] ave la ondiion iniiale vérifiée e vérifie la d ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 7

28 ondiion de ransversalié érie en : Φ L& & Φ & L & L & & On appliqe e résla à nore as On a : & [ ] L L L & & & & & d On a don & & & & éan ne onsane d & don & K ave K onsane K ± Don β ave K Par aillers la ondiion iniiale impliqe qe β Φ e Φ On sai par aillers qe On pe aller Φ On sai qe la ondiion de ransversalié es de la forme : Φ L & Φ & L & L & [ ] & & [ ] & & & & & & & & Ii & Or e & On remplae : Don On a don Don Φ ± en fai ± Eerie Soi 6 J & & d e Erivons la ondiion d Eler On a & L L & & L & 6 & & d L & && & d Don la ondiion d Eler s éri : & && & 6 & Les solions son don d ype Ae Be f Résolvons le prolème d erémalié sos les onraines e A B On a : Ae Be A B B e Be A e e B e A e e e e ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 8

29 e E don e e e e e e e Les erémales rovées orresponden-elles à des minimales o des maimales? Por le savoir édions la fonion f v : v a 6 v v f f f f f On a v v v v v La marie hessienne de f es don e le miner prinipal d ordre es Le déerminan o miner d ordre es -6-6> En d ares ermes os les miners prinipa son posiifs ; e qi signifie qe fv es onvee Les erémales ehiées orresponden don à des minimas Eerie 5 Soi J 6 & & d On sai qe si la ondiion erminale n es pas fiée mais l insan erminal es fié e l on Ma g die n prolème ave oû erminal ie Ρ L & d é alors si es s d erémale ie solion de P alors elle vérifie : L & L [ ] ondiion d Eler e d la ondiion de ransversalié a poin erminal s éri : L & g' Erivons la ondiion d Eler : d L & L & & L & && & d a La ondiion d Eler s éri don : & 6 La solion s éri don omme dans l Eerie de la forme : Ae Be La ondiion de ransversalié s éri : & & rovons mainenan les fonions qi vérifien la ondiion d Eler la ondiion de ransversalié e la ondiion iniiale Ainsi : A B Ae Be & e l on rove B e e e e Après al A e e e e Don l erémale es elle qe e e e e e e d Mêmes qesions ave J 6 & & d La ondiion d Eler es la même qe préédemmen ; qan à la ondiion de ransversalié : & & On a don enore ne fois Ae Be A B Don [ Ae Be ] [ Ae Be ] ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5 9

30 e Après résolion on rove A B e e e e Don e e e e e e Biliographie AZARIADIS e COSAS Ineremporal maroeonomis Blakwell BEAIS e DOBBS Opimisaion and sailiy heory for eonomi analysis Camridge niversiy press BELLMAN Inrodion o he mahemaial heory of onrol proess Aademi press Dimiri P BERSEKAS Dynami programming and sohasi onrol Aademi press Dimiri P BERSEKAS Dynami programming deermining and sohasi onrol Prenie-hall Jean-Chrisophe CULIOL I Inrodion à l opimisaion Ellipses Garielle DEMANGE e Jean-Charles ROCHE Méhodes mahémaiqes de la finane Eonomiae FAURE Cors d opimisaion Eole Polyehniqe Wendell H FLEMING e Raymond W RISHEL Deerminisi and sohasi onrol Springer-erlag Mihael D INRILLIGAOR Mahemaial opimizaion and eonomi heory prenie Hall N Krylov Conrolled diffsion proesses Springer-erlag LOGAN Applied mahemais Wiley Enid R Pinh Opimal onrol and he alls of variaions Oford Universiy Press SOKEY e LUCAS Rersive mehods in Eonomi dynamis Harward niversiy press SARGEN Dynami maroeonomi heory Harward niversiy press Charloe SIEBEL Opimal onrol of disree ime sohasi sysems Lere noes in eonomis Springer-erlag ade-mem rédigé par Alain GAUGRIS onslan en éonomie inernaionale alaingagris@yahoofr 5