Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES

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1 Chapitre 1 METHODES SUR LES SUITES Nous allos voir commet : 1) Cojecturer le comportemet d ue suite ) Raisoer par récurrece 3) Utiliser les suites arithmétiques et géométriques 4) Étudier le comportemet global d ue suite 5) Étudier le comportemet asymptotique d ue suite 6) Détermier des résultats expérimetaux 1 Commet cojecturer le comportemet d ue suite O va vous expliquer commet vous pouvez étudier expérimetalemet les bores, la mootoie, et la covergece d ue suite Cela repose sur l utilisatio de graphiques, de tableurs ou d algorithmes METHODE 1 : Commet cojecturer le comportemet d ue suite à partir du graphe, U pour Cas d applicatio Lorsque la suite est de la forme U f et que la courbe représetative de f s obtiet facilemet sur ; Pricipe O cojecture le comportemet de la suite à partir de la courbe représetative de f Exemple : Cojecturer le comportemet U telle que U 6 5 Sur le graphique suivat, la courbe représete la foctio f défiie sur par, U f(x) x 6x 5 et les poits ot pour coordoées ;

2 8 Chapitre 1 Cojectures O peut cojecturer que U est pas mootoe mais décroît à partir de 3, est pas miorée mais majorée par 4, et efi qu elle est pas covergete puisqu il semble qu elle tede vers METHODE : Commet cojecturer le comportemet d ue suite à partir du graphe «WEB» Pricipe O costruit l escalier ou l escargot de covergece à partir de la courbe représetative de f et la droite d équatio y = x Les cojectures sot émises à partir des premières valeurs de la suite représetées sur l axe des abscisses Cas d applicatio Lorsque la suite est de la forme U fu f s obtiet facilemet là où varie la suite 1 et que la courbe représetative de 3U 4 U1 Exemple : O cosidère la suite U défiie par U 9 U 3x 4 1) Dresser le tableau de variatios de f défiie sur ; 1 par f(x) x 9 ) Tracer la droite (D) d équatio y = x et la courbe représetative de f sur ; 1, puis représeter les premiers termes de la suite U sur l axe des abscisses e laissat apparaître les traits de costructios (graphe «Web») U? 3) Que peut-o cojecturer sur le comportemet de 1) f est ue foctio défiie et dérivable sur ; 1 et l o a :

3 Méthodes sur les suites 9 x 9 x 9 3 x 9 3x 4 35 f'(x) O a doc le tableau de variatios suivat : x 1 fx f 4/9 1 ) O obtiet le graphe «WEB» suivat : Ce graphique permet de cojecturer que la suite U est croissate, que U ; 1, et qu elle coverge vers 1 METHODE 3 : Commet cojecturer le comportemet d ue suite avec u algorithme Pricipe O crée ue boucle de logueur fiie qui permet de calculer les termes de la suite Cas d applicatio Toujours, mais plus spécifiquemet quad les méthodes 1 et e peuvet s appliquer

4 1 Chapitre 1 Exemple : Cojecturer le comportemet de U telle que : 1 1 U = Das la mesure où U est la somme des iverses des etiers allat de à, il e va pas être facile de trouver ue foctio simple de la variable réelle telle que U f() O peut toujours calculer «à la mai» les premiers termes de la suite pour avoir ue idée de sa mootoie, mais ce sera vite lassat et isuffisat pour étudier so évetuelle covergece O vous propose l algorithme suivat pour mieux cerer ce derier problème : O obtiet par exemple : U 1 1,5 1, ,94 4, , , , O cojecture que la suite est décroissate, majorée par so premier terme, U 1,5, clairemet miorée par, et semble coverger vers u ombre peu 1 différet de,6931

5 Méthodes sur les suites 11 METHODE 4 : Commet cojecturer le comportemet d ue suite avec u tableur Pricipe O etre la formule qui va bie et «l éterel» copier-coller fait le reste O peut évetuellemet isérer u graphique, U pour visualiser Cas d applicatio Toujours, mais plus spécifiquemet quad les méthodes 1 et e peuvet s appliquer U 1 =U Exemple : Cojecturer le comportemet de U défiie par U = O etre e B3 la formule : «=B+A», o copie o colle de B4 à B1 et l o obtiet : Le uage de poits correspodat est : O cojecture que U est croissate miorée par, o majorée, qu elle est croissate et qu elle e coverge pas puisqu il semble que lim U

6 1 Chapitre 1 Le raisoemet par récurrece METHODE 5 : Commet raisoer par récurrece Cas d applicatio O doit prouver qu ue propriété P est vraie pour avec et etiers aturels, état fixé Pricipe O vous coseille les trois étapes suivates pour rédiger votre démostratio par récurrece 1) Iitialisatio : motrer que P est vraie ) Hérédité : motrer que pour quelcoque, o a : P vraie P 1 vraie 3) Coclusio : Coclure par récurrece que P est vraie pour tout Exemple : O a cojecturé das la méthode que la suite U défiie par 3U 4 U1 U 9 était croissate, et que U ;1 U Pour, o cosidère P : «U U 1 <1» Motrer par récurrece que la propriété P est vraie pour tout Que peut-o e déduire? Iitialisatio : P est-elle vraie? 4 U et U1 fuf 9 Hérédité : Pour Soit U U 1 et P, doc 1 est vraie quelcoque, est-ce que l o a 1, supposos que P vraie P vraie? P est vraie (Ceci est ce que l o appelle l hypothèse de récurrece (HR), qui, ici est : U U 1) 1 O doit motrer sous cette hypothèse que U U 1 1 P est vraie c'est-à-dire que Comme f est strictemet croissate sur ;1 4 U U 1 1 f fu fu 1f1 U 1U 1 9 Fialemet U 1U 1 et P 1 est vraie Coséquece : P vraie P vraie 1 1

7 Méthodes sur les suites 13 Coclusio : Par récurrece,, P est vraie 9 O e déduit d ue part que U U ;1 et doc que U est défiie pour tout, puis d autre part que les cojectures émises à la méthode cocerat le comportemet global de U sot vraies E effet o a bie U ;1 et comme U U la suite 1 U est croissate 3 Suites arithmétiques et géométriques Les méthodes sot simples mais les calculs souvet lourds Etraîez-vous! METHODE 6 : Commet utiliser les formules Rappel des formules : Suites arithmétiques U U r 1 Expressio de Somme de termes cosécutifs Appredre par cœur U U U p r p Nb de T er 1 T DT k(k 1) 1 k er 1 T Suites géométriques U 1 qu où q 1 p p U q U Nb de T 1 q 1 q k 1 q 1qq q 1 q 1 er T : premier terme ; DT : derier terme ; Nb de T : ombre de termes Pricipe Comme das toutes les formules o idetifie ce que l o coaît, et l o remplace das la formule pour trouver l icoue Exemple : O cosidère la suite U défiie par U1 U U3 Détermier U e foctio de, puis S U4 U5 U de deux faços U est ue suite arithmétique de raiso de terme cou U3 U U O a doc 3 er 1 T DT U 4 U 34 S Nb de T Pour calculer cette somme o pouvait aussi appliquer la formule de gauche à appredre par cœur, e effet : k 1

8 14 Chapitre S METHODE 7 : Commet motrer qu ue suite est arithmétique ou géométrique et l exploiter Pricipe O motre que V est arithmétique e prouvat que V V est costat 1 V O motre que V est géométrique e prouvat que V puis que V est costat Cas d applicatio Lorsqu ue suite U est i arithmétique, i géométrique, il se peut qu ue suite auxiliaire V costruite à partir d elle le soit O applique alors à U V les formules de la méthode 6, puis o reviet à Exemple : O cosidère U et V telles que : 3U 4 U1 U 1 U 9 et V U U O a motré das la méthode 5 que U est défiie et que U ;1 Justifier alors que la suite V existe et e s aule pas, puis motrer qu elle est géométrique Exprimer esuite V e foctio de, puis U 1 doc U foctio de Comme U ;1 o a U et V existe et e s aule pas U 11 3U 4 1 V 1 U 1 U 11 U U 9 U 5U 5 U V U 1 U 3U 1 U 1 4 U 1 7U 14 U 1 U U 9 V 5U 1 U 1 5 Fialemet, et V géométrique de raiso 5 V 7U U Comme le premier terme de V est V 5 1 V q V 7 U 1 1, o e déduit que : U Nous allos exprimer U e foctio de V à partir de la formule puis remplacer V par ce que ous veos de trouver 1 U 1 V U,

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