Suites arithmétiques et géométriques
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- Victorien Corbeil
- il y a 7 ans
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1 Sites arithméties et géométries A Sites arithméties Défiitio et formles Défiitio : forme récrsive Ue site est arithmétie lorse, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e ajotat tojors le même ombre a, appelé raiso IN : + + a avec réel doé Théorème : forme explicite La formle explicite d terme gééral e foctio de est : IN : + a et k IN et IN : + ( k a k Démostratio : A l aide d schéma ci-dessos o pet établir la formle explicite d terme gééral e foctio de : Recoaissace de la atre IN : + a et k IN et IN : + ( k a k Propriété : algébrie est arithmétie de raiso a si et selemet si IN : a Ue site ( + Propriété : graphie est arithmétie de raiso a alors IN : + a f ( Si e site ( La site ( est liée à la foctio affie f ( x ax + b avec b doc sa représetatio graphie est e série de poits sités sr la droite d éatio : y ax + b Exemples : Por motrer e site est arithmétie, o motre e la différece + est costate por tot etier atrel défiie sr IN par + est arithmétie de raiso car : Aisi la site ( IN : + ( + ( Por motrer e site est pas arithmétie cotre exemple sffit + + Aisi la site ( défiie sr IN par est pas arithmétie car : + et + Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
2 Ses de variatio Propriété : est e site arithmétie de raiso a ( Si > Si < Si a, ( a, ( a, ( est strictemet croissate est strictemet décroissate est costate Démostratio : e site est arithmétie de raiso a Soit ( O a alors : IN : a Doc IN : a D où la variatio de la site ( 4 Somme des termes d e site arithmétie Propriété : Soit ( e site arithmétie, o a alors : déped iemet d sige de la raiso a + IN : S ( + Démostratio : ( + Partie A : S Soit S la somme des premiers etiers atrels o ls : S ( + Ecrivos cette somme esite das l'ordre décroissat : S + ( E sommat ces dex égalités, o obtiet : S ( + + ( ( + + ( + ( + Et doc : ( + S Partie B : S ( + de raiso sot : Les premiers termes d e site arithmétie ( ; Doc : + ; + ; ; + ( et + S S ( ( ( ( + ( ( + + ( + + ( + ( ( ( ( + + ( + S + S + S S ( + ( + Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
3 B Sites géométries Défiitio et formles Défiitio : forme récrsive Ue site est géométrie lorse, à partir d terme iitial, l o passe d' terme de la site a terme sivat e mltipliat tojors par le même ombre, appelé raiso : IN : : + avec doé Théorème : forme explicite La formle explicite d terme gééral e foctio de est : IN : et k IN et IN : k k Démostratio : A l aide d schéma ci-dessos o pet établir la formle explicite d terme gééral e foctio de : IN : Recoaissace de la atre et k IN et IN : k k Propriété : Exemples : Ue site ( est géométrie de raiso si et selemet si + IN : Por motrer e site est arithmétie, o motre e la otiet por tot etier atrel Aisi la site ( + + est costate défiie sr IN par est géométrie de raiso car : 9 ( + + ( IN : Por motrer e site est pas géométrie cotre exemple sffit + Aisi la site ( défiie sr IN par est pas géométrie car : et 4 Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
4 Ses de variatio Propriétés :, est e site géométrie de raiso et de terme iitial positif ( Si >, ( <, ( o si, ( Si < Si est strictemet croissate est strictemet décroissate est costate Démostratio : e site est géométrie de raiso Soit ( Alors por tot etier : + ( Or et > > D où la variatio de la site ( + déped d sige de O e dédit les coclsios de la propriété précédete 4 Somme des termes d e site géométrie Propriété : Soit ( Démostratio : Partie A : Posos : e site géométrie de raiso, o a alors : IN : S S S O a alors : S ( S ( Partie B : S + S S S S ( S Les premiers termes d e site géométrie ( + de raiso sot : ; ; ; ; et + Doc : S S S Or o sait e : + + D où S ( Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
5 Exercice : Les sites sivates, doées par le terme iitial et e formle de récrrece, sot-elles arithméties? géométries? Si tel est le cas, exprimer le terme gééral e foctio de et doer les variatios de ( + et v v 4 et v w w et w 4 et, et 5 6 +,5 + Exercice : Détermier parmi les sites sivates, doées par le terme gééral, les sites géométries et arithméties Si tel est le cas, préciser la raiso, les variatios et la forme récrsive Exercice :, La site ( est arithmétie de raiso a 6 7, 8 Exprimer le terme gééral et a 4 5 et 45 et a, 4 et 7 Exercice 4 : La site ( e foctio de et doer les variatios de ( est géométrie de raiso > Exprimer le terme gééral et 4 5 et 45 e foctio de et doer les variatios de (, et 4, 8 Exercice 5 : forage Ue etreprise estime le coût d forage aisi : le premier mètre coûte eros Le secod mètre coûte 5 eros et chae mètre spplémetaire coûte 5 eros de pls e le précédet O dispose d crédit de eros Proposer programme permettat de coaître la profoder d forage O appelle ( a Motrer e ( la site telle e et représete de coût d ème mètre est e site arithmétie dot o précisera la raiso b Exprimer alors e foctio de c Motrer e le ombre de mètres e l o pet forer avec le crédit alloé vérifie : d Retrover le résltat de la estio Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
6 Exercice 6 : Bac ES Polyésie La prodctio des perles de cltre de Tahiti est e activité écoomie importate por la Polyésie Fraçaise Ue étde a démotré e depis la prodctio baisse de 8% par a O admet e cette baisse de 8% se porsit les aées sivates O cosidère l algorithme sivat : Si o saisit P 5 e etrée, obtiet-o e sortie par cet algorithme? Iterpréter ce résltat das le cotexte de la prodctio de perles Por prévoir les motats réalisés à l exportatio des perles de Tahiti, o modélise la O ote : sitatio par e site ( le motat e, e milliers d eros ; le motat e O a doc 6 8 a Motrer e ( +, e milliers d eros et o sppose e la valer baisse tos les as de 8% est e site géométrie dot o précisera la raiso b Exprimer, por tot etier atrel, e foctio de c Avec ce modèle, el motat pet-o prévoir por l exportatio des prodits perliers de Polyésie Fraçaise e 6? O arrodira le résltat a millier d eros Calcler le motat cmlé des prodits perliers exportés e l o pet prévoir avec ce modèle à partir de (comprise js à (comprise O doera e valer approchée a millier d eros Exercice 7 : La tor iferale Por costrire e pyramide o empile des cbes tels e : les arêtes d premier cbe mesret cm les arêtes des cbes spériers sot de 4% iférieres à celles d cbe sité immédiatemet e dessos O ote : la loger de l'arête d ième cbe h la hater de la pyramide costitée des premiers cbes empilés Calcler et Exprimer + e foctio de E dédire l expressio de e foctio de 4 Etdier la mootoie et la covergece de cette site 5 Détermier l expressio de h e foctio de et préciser la atre de la site ( Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
7 Exercice 8 : Bac ES Podichéry Le er javier, cliet a placé à itérêts composés a tax ael de,5% O ote C le capital d cliet a er javier de l aée +, où est etier atrel Calcler C et C Arrodir les résltats a cetime d ero Exprimer C + e foctio de C E dédire e, por tot ombre etier atrel, o a : C, 5 4 O doe l algorithme sivat : a Por la valer S saisie, recopier et compléter atat e écessaire le tablea sivat Les résltats serot arrodis à l ité b E dédire l affichage obte ad la valer de S saisie est c Das le cotexte de cet exercice, explier commet iterpréter le ombre obte e sortie de cet algorithme ad o saisit ombre S spérier à 5 A er javier, le cliet avait besoi d e somme de 5 a Motrer e le capital de so placemet est pas sffisat à cette date b Détermier, à l aide de la calclatrice, à partir d er javier de elle aée le cliet porrait avoir so capital iitial mltiplié par Exercice 9 : La légede d je d échecs Ue légede dit e por le remercier des plaisirs e li procraiet le je d échecs, l emperer Shiram promit à so iveter Sissa le cadea sivat : «Sr la première case d je, je déposerai grai de riz, pis le doble sr la dexième case et aisi de site e doblat chae fois le ombre de grais js'à la derière case» Soit ( la site i, por tot, associe a terme le ombre de grais de riz déposés sr la ième case Détermier le premier terme Exprimer + e foctio de E dédire la atre de la site ( et détermier sa mootoie 4 Exprimer e foctio de 5 Sachat ' je d échec comporte 64 cases, détermier le ombre de grais de riz e l'emperer s'egage à doer à Sissa 6 Das kilogramme de riz, il y a eviro grais de riz La prodctio modiale aelle ajord'hi est de 68 toes de riz Commeter le résltat précédet Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
8 Exercice : Soit ( a Motrer e ( la site défiie par : IN est arithmétie et préciser le premier terme et la raiso b Calcler e foctio de la somme S IN v Soit la site ( v défiie par : Exercice : a Motrer e ( v est géométrie et préciser le premier terme v et la raiso b Calcler IN P v v v e foctio de O cosidère la site ( défiie par : Motrer e la site ( v défiie par Exprimer v e foctio de E dédire l expressio de e foctio de Exercice : Sites et systèmes O cosidère les sites ( a et ( IN * + + et IN * v est e site géométrie b défiies par : a + b a a+ 4 et por tot etier atrel : b 6 a + b b+ 4 Motrer e a 5 et b 5 v les sites défiies, por tot etier atrel par : Soiet ( et ( a Motrer e 8 b Motrer e ( c O admet e ( a + b et v b a et v 4 v est géométrie de raiso, 5 est géométrie de raiso, 75 Détermier les expressios de et v e foctio de d E dédire les expressios de a et b e foctio de Exercice : ( est la site défiie par : ; et +,5 +, 5 Taper, sr votre calclatrice, algorithme permettat de calcler 4 Compléter le tablea sivat (o doera les valers arrodies à : Cojectrer la limite de la site 4 Démotrer e la site ( v défiie par : v + est e site géométrie 5 Exprimer v e foctio de 6 Motrer e : (,5 + 7 Calcler 99 et retrover la cojectre d Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
9 Exercice 4 : Site arithmético-géométrie O cosidère la site ( défiie sr IN par : et IN + Calcler les termes et La site est-elle arithmétie? géométrie? O a tracé das le repère ci-dessos la droite : y x et la corbe représetative de la foctio f : x a x 4 Placer,, et sr l axe des abscisses 5 Qelle cojectre pet-o émettre sr les variatios de la site? 6 Motrer e IN O défiit la site v sr IN par : v a Calcler v b Exprimer, por tot etier, v + foctio de v et e dédire e v est géométrie c E dédire v pis e foctio de Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
10 Exercice 5 : O cosidère la site ( O représete ci-dessos : défiie par : 4 et IN la corbe représetative de la foctio f défiie par ( x la représetatio de la droite y x x + 6 f ; x Représeter sr l axe des abscisses les atre premiers termes de la site + v la site défiie par : IN v a Détermier les trois premiers termes de cette site b Motrer e IN : v + v 4 v Soit ( c E dédire la atre et la forme explicite de la site ( Détermier l expressio de e foctio d terme v 4 E dédire la forme explicite de la site ( Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
11 Exercice 6 : BAC S Asie Avat le débt des travax de costrctio d e atorote, e éipe d archéologie prévetive procède à des sodages sccessifs e des poits réglièremet espacés sr le terrai Lorse le ième sodage doe lie à la décoverte de vestiges, il est dit positif O tilisera les otatios sivates : V l évèemet : «le ième sodage est positif» p la probabilité de l évèemet T O a doc : P ( V p, P ( V + p + et P( V p O sppose e le premier sodage est positif et doc e ( V p P L expériece acise a cors de ce type d ivestigatio permet de prévoir e : Si sodage est positif, le sivat a e probabilité de l être assi égale à,6 Si sodage est égatif, le sivat a e probabilité de l être assi égale à,9 Soit etier atrel spérier o égale à L arbre ci-dessos modélise la sitatio : Motrer e : p,5 p, + + O défiit la site ( a Motrer e ( par : p, est géométrie de raiso,5 et doer so premier terme b Détermier la variatios de ( pis celles de ( p c E dédire l expressio de pis de p e foctio de O cosidère l algorithme sivat : Iitialisatio Affecter à la valer Affecter à p la valer Traitemet Tat e p >, Affecter à p la valer,5 p +, Affecter à la valer + Fi d Tat e Sortie Afficher Doer, das le cotexte de l exercice, e iterprétatio d résltat affiché Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
12 Exercice 7 : O cosidère la site ( défiie par : 4 et IN O représete ci-dessos : x la corbe représetative de la foctio f défiie par f ( x ; x + 8 la représetatio de la droite y x Représeter sr l axe des abscisses les atre premiers termes de la site v défiie par IN: v a Motrer e IN, o a : v + v 9 v O cosidère la site ( b Doer la formle explicite défiissat chae terme de la site ( c Détermier l expressio de e foctio d terme v d E dédire la formle explicite défiissat chae terme de la site ( Lycée Fraçais de DOHA Aée 5 6 ère S M Evao
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