Intégrales impropres. 1. Définitions et premières propriétés Points incertains

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1 Inégrles impropres Vidéo prie. Définiions e premières propriéés Vidéo prie. Foncions posiives Vidéo prie 3. Foncions oscillnes Vidéo prie 4. Inégrles impropres sur un inervlle borné Vidéo prie 5. Inégrion pr pries Chngemen de vrible. Définiions e premières propriéés L plupr des inégrles que vous renconrerez ne son ps des ires de domines bornés du pln. Nous llons pprendre ici à clculer les inégrles de domines non bornés, soi prce que l inervlle d inégrion es infini (lln jusqu à + ou ), soi prce que l foncion à inégrer end vers l infini u bornes de l inervlle. Pour ssimiler ce chpire, vous vez juse besoin d une peie révision des echniques de clcul des primiives, e d une bonne compréhension de l noion de limie... Poins incerins Considérons pr eemple l foncion f qui à ], [ ], + [ ssocie f () = l inégrle de f sur? sin 3. Commen donner un sens à sin 3/ On commence d bord pr idenifier les poins incerins, soi +, soi d une pr, e d ure pr le ou les poins u voisinge desquels l foncion n es ps bornée ( = dns nore eemple). On découpe ensuie chque inervlle d inégrion en un d inervlles qu il fu pour que chcun d eu ne conienne qu un seul poin incerin, plcé à l une des deu bornes. Nous souhions une définiion qui respece l relion de Chsles. Ainsi l inégrle sur l inervlle comple es l somme des inégrles sur les inervlles du découpge. sin Dns l eemple de l foncion f () = ci-dessus, il fu découper les deu inervlles de définiion ], [ e 3 ], + [ en 4 sous-inervlles : pour isoler e +, e ures pour le poin incerin.

2 INTÉGRALES IMPROPRES. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS On pourr écrire pour ce eemple : f () d = f () d + f () d + f () d + f () d. Le seul bu es d isoler les difficulés : les choi de e comme poins de découpge son rbirires (pr eemple 3 e urien convenu ou ussi bien)... Convergence/divergence Pr ce découpge, e pr chngemen de vrible, on se rmène à des inégrles de deu ypes.. Inégrle sur [, + [.. Inégrle sur ], b], vec l foncion non bornée en. Nous devons donc définir une inégrle, ppelée inégrle impropre, dns ces deu cs. Définiion.. Soi f une foncion coninue sur [, + [. On di que l inégrle f () d converge si l limie, lorsque end vers +, de l primiive f () d eise e es finie. Si c es le cs, on pose : f () d = Dns le cs conrire, on di que l inégrle diverge. lim +. Soi f une foncion coninue sur ], b]. On di que l inégrle b end vers, de b f () d eise e es finie. Si c es le cs, on pose : b f () d = lim + Dns le cs conrire, on di que l inégrle diverge. b f () d. () f () d converge si l limie à droie, lorsque f () d. () Remrque. Convergence équivu donc à limie finie. Divergence signifie soi qu il n y ps de limie, soi que l limie es infinie. Observons que l deuième définiion es cohérene vec l inégrle d une foncion qui seri coninue sur [, b] ou enier (u lieu de ], b]). On si que l primiive b f () d es une foncion coninue. Pr conséquen, l inégrle usuelle b f () d es ussi l limie de b f () d (lorsque + ). Dns ce cs, les deu inégrles coïnciden..3. Eemples Qund on peu clculer une primiive F() de l foncion à inégrer (pr eemple F() = f () d), l éude de l convergence se rmène à un clcul de limie de F(). Voici plusieurs eemples. Eemple. L inégrle En effe, On pourr écrire : à condiion de se souvenir que d converge. + + d = rcn = rcn e lim rcn = π +. rcn + + d = + rcn = π, désigne une limie en +.

3 INTÉGRALES IMPROPRES. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 3 + Cel prouve que le domine sous l courbe n es ps borné, mis cependn son ire es finie! Eemple. Pr conre, l inégrle En effe, Eemple 3. L inégrle En effe, On pourr écrire : Eemple 4. Pr conre, l inégrle En effe, d diverge. + + d = ln( + ) = ln( + ) e lim ln( + ) = +. + ln d = ln.4. Relion de Chsles ln d converge. = ln e lim +( ln ) =. d = ln ln d = ln =. d diverge. = ln e lim ln = +. + Lorsqu elle converge, cee nouvelle inégrle vérifie les mêmes propriéés que l inégrle de Riemnn usuelle, à commencer pr l relion de Chsles : Proposiion (Relion de Chsles). Soi f : [, + [ une foncion coninue e soi [, + [. Alors les inégrles impropres f () d e f () d son de même nure. Si elles convergen, lors f () d = f () d + f () d. «Êre de même nure» signifie que les deu inégrles son convergenes en même emps ou bien divergenes en même emps. Le relion de Chsles implique donc que l convergence ne dépend ps du comporemen de l foncion sur des inervlles bornés, mis seulemen de son comporemen u voisinge de +.

4 INTÉGRALES IMPROPRES. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 4 Démonsrion. L preuve découle de l relion de Chsles pour les inégrles usuelles, vec : Puis on psse à l limie (lorsque + ). f () d = f () d + f () d. Bien sûr, si on es dns le cs d une foncion coninue f : ], b] vec b ], b], lors on un résul similire, e en cs de convergence : b f () d = b f () d + b b f () d. Dns ce cs l convergence de l inégrle ne dépend ps de b, mis seulemen du comporemen de f u voisinge de..5. Linérié Le résul suivn es une conséquence immédie de l linérié des inégrles usuelles e des limies. Proposiion (Linérié de l inégrle). Soien f e g deu foncions coninues sur [, + [, e λ, µ deu réels. Si les inégrles convergen, lors λ f () + µg() d converge e + λf () + µg() d = λ f () d + µ g() d. f () d e Les mêmes relions son vlbles pour les foncions d un inervlle ], b], non bornées en. Remrque : l réciprocié dns l linérié es fusse, il es possible de rouver deu foncions f, g elles que converge, sns que.6. Posiivié f, ni g convergen. Trouvez un el eemple! Proposiion 3 (Posiivié de l inégrle). Soien f, g : [, + [ des foncions coninues, yn une inégrle convergene. g() d f + g Si f g lors f () d g() d. En priculier, l inégrle (convergene) d une foncion posiive es posiive : Si f lors f () d Une nouvelle fois, les mêmes relions son vlbles pour les foncions définies sur un inervlle ], b], non bornées en, en prenn bien soin d voir < b. Remrque. Si l on ne souhie ps disinguer les deu ypes d inégrles impropres sur un inervlle [, + [ (ou ], b]) d une pr e ], b] (ou [, b[) d ure pr, lors il es prique de rjouer les deu erémiés à l droie numérique : = {, + } Ainsi l inervlle I = [, b[ vec e b désigne l inervlle infini [, + [ (si b = + ) ou l inervlle fini [, b[ (si b < + ). De même pour un inervlle I =], b] vec = ou.

5 INTÉGRALES IMPROPRES. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS 5.7. Crière de Cuchy On ermine pr une crcérision de l convergence un peu plus délice (qui peu êre pssée lors d une première lecure). Rppelons d bord le crière de Cuchy pour les limies. Rppel : Soi f : [, + [. Alors lim + f () eise e es finie si e seulemen si ε > M u, v M = f (u) f (v) < ε. Théorème (Crière de Cuchy). Soi f : [, + [ une foncion coninue. L inégrle impropre ε > M u, v M = v u f () d converge si e seulemen si f () d < ε. Démonsrion. Il suffi d ppliquer le rppel ci-dessus à l foncion F() = f () d e en non que F(u) F(v) = v f () d u..8. Cs de deu poins incerins On peu considérer les inégrles doublemen impropres, c es-à-dire lorsque les deu erémiés de l inervlle de définiion son des poins incerins. Il s gi juse de se rmener à deu inégrles yn chcune un seul poin incerin. Définiion. Soien, b vec < b. Soi f :], b[ une foncion coninue. On di que l inégrle b f () d converge s il eise c ], b[ el que les deu inégrles impropres c f () d e b f () d convergen. L vleur de cee c inégrle doublemen impropre es lors c f () d + b c f () d. Les relions de Chsles impliquen que l nure e l vleur de cee inégrle doublemen impropre ne dépenden ps du choi de c, vec < c < b. Aenion! Si une des deu inégrles c f () d ou bien b f () d diverge, lors b f () d diverge. Prenons c l eemple de + d qui vu oujours, pourn d diverge! En effe, quel que soi c, + c end vers + (lorsque + ). Eemple 5. Es-ce que l inégrle suivne converge? d ( + ) On choisi (u hsrd) c =. Il s gi de svoir si les deu inégrles d ( + ) e convergen. En non qu une primiive de (+ ) es +, on obien : d ( + ) = + = 5 + d ( + ) lorsque. d = c Donc d (+ ) converge e vu. De même d ( + ) = + = + + lorsque +. 5 Donc d (+ ) converge e vu +. Ainsi d (+ ) converge e vu + =. Ce n es ps surprenn cr l foncion es une foncion impire. Refies les clculs pour une ure vleur de c e vérifiez que l on obien le même résul.

6 INTÉGRALES IMPROPRES. FONCTIONS POSITIVES 6 On ermine en epliqun le pln du rese du chpire. Lorsque l on ne si ps clculer une primiive, on recours à deu ypes de méhode : soi l foncion es de signe consn u voisinge du poin incerin, soi elle chnge de signe une infinié de fois dns ce voisinge (on di lors qu elle «oscille»). Nous disinguerons ussi le cs où le poin incerin es ± ou bien une vleur finie. Il y donc qure cs disincs, selon le ype du poin incerin, e le signe, consn ou non, de l foncion à inégrer. Ces qure ypes son schémisés dns l figure suivne e leur éude fi l obje des secions suivnes. + + b b Différens ypes d inégrles : inervlle non borné, foncion de signe consn ; inervlle non borné, foncion oscillne ; inervlle borné, foncion de signe consn ; inervlle borné, foncion oscillne. Mini-eercices.. Pour chcune des inégrles suivnes, déerminer le poin incerin, dire si l inégrle converge, e si c es le cs, clculer l vleur de l inégrle : d cos d. Même eercice pour ces inégrles yn deu poins incerins : d + d ( ) d e d ln e d d 3. Écrire l preuve de l linérié des inégrles impropres. Même chose pour l posiivié.. Foncions posiives Nous considérons ici f () d, où f es de signe consn u voisinge de +. Quie à réduire l inervlle d inégrion, e à chnger évenuellemen le signe de f s il es négif, nous supposerons que l foncion es posiive ou nulle sur l inervlle d inégrion [, + [. +

7 INTÉGRALES IMPROPRES. FONCTIONS POSITIVES 7 Rppelons que, pr définiion, f () d = lim + Observons que si l foncion f es posiive, lors l primiive f () d. f () d es une foncion croissne de (cr s dérivée es f ()). Qund end vers l infini, ou bien f () d es bornée, e l inégrle bien f () d end vers +... Théorème de comprison f () d converge, ou Si on ne peu ps (ou si on ne veu ps) clculer une primiive de f, on éudie l convergence en comprn vec des inégrles don l convergence es connue, grâce u héorème suivn. Théorème. Soien f e g deu foncions posiives e coninues sur [, + [. Supposons que f soi mjorée pr g u voisinge de + :. Si. Si g() d converge lors f () d diverge lors A > A f () g(). f () d converge. g() d diverge. Démonsrion. Comme nous l vons observé, l convergence des inégrles ne dépend ps de l borne de guche de l inervlle, e nous pouvons nous conener d éudier f () d e g() d. Or en uilisn l posiivié de A A l inégrle, on obien que, pour ou A, f () d g() d. A Si g() d converge, lors f () d es une foncion croissne e mjorée pr g() d, donc convergene. A A A Inversemen, si f () d end vers +, lors g() d end vers + églemen. A A Voici une pplicion ypique du héorème de comprison. Eemple 6. Monrons que l inégrle α e d A converge, quel que soi le réel α. Pour cel nous écrivons d bord : α e = α e / e /. On si que lim + α e / =, pour ou α, cr l eponenielle l empore sur les puissnces de. En priculier, il eise un réel A > el que : > A α e /. En muliplin les deu membres de l inéglié pr e / on obien : Or l inégrle e / d converge. En effe : > A α e e /. e / d = e / = e / e / e lim + e / e / = e /. On peu donc ppliquer le héorème de comprison : puisque e / d converge, on en dédui que α e d converge ussi... Théorème des équivlens Grâce u héorème de comprison, on peu remplcer l foncion à inégrer pr un équivlen u voisinge de + pour éudier l convergence d une inégrle.

8 INTÉGRALES IMPROPRES. FONCTIONS POSITIVES 8 Théorème 3 (Théorème des équivlens). Soien f e g deu foncions coninues e sricemen posiives sur [, + [. Supposons qu elles soien équivlenes u voisinge de +, c es-à-dire : Alors l inégrle f () lim + g() =. f () d converge si e seulemen si g() d converge. Aenion : il es imporn que f e g soien posiives! On noer le fi que f e g son équivlenes u voisinge de + pr : f () g(). + Démonsrion. Dire que deu foncions son équivlenes u voisinge de +, c es dire que leur rppor end vers, ou encore : ε > A > > A f () g() < ε, soi encore : ε > A > > A ( ε)g() < f () < ( + ε)g(). Fions ε <, e ppliquons le héorème de comprison sur l inervlle [A, + [. Si l inégrle lors l inégrle ( ε)g() d converge, donc l inégrle A A Inversemen, si A Eemple 7. Es-ce que l inégrle f () d diverge, lors A g() d ussi pr linérié. ( + ε)g() d diverge, donc g() d diverge ussi e d converge? Comme e e, e que nous vons déjà monré que l inégrle e d converge, lors nore inégrle converge..3. Inégrles de Riemnn A A f () d converge, Pour l éude de l convergence d une inégrle pour lquelle on n ps de primiive, l uilision des équivlens perme de se rmener à un clogue d inégrles don l nure es connue. Les plus clssiques son les inégrles de Riemnn e de Berrnd. Une inégrle de Riemnn es : où α >. Dns ce cs, l primiive es eplicie : d = α lim + lim + α d α+ ln α si α si α = On en dédui immédiemen l nure (convergene ou divergene) des inégrles de Riemnn. Si α > lors Si α lors d α α d converge. diverge.

9 INTÉGRALES IMPROPRES. FONCTIONS POSITIVES 9.4. Inégrles de Berrnd Une inégrle de Berrnd es où β. L primiive es eplicie : (ln ) d = β On en dédui l nure des inégrles de Berrnd..5. Applicion Voici un eemple d pplicion : Si β > Si β lors lors lim + lim + (ln ) β d β+ (ln ) β+ ln(ln ) (ln ) β d (ln ) β d converge. diverge. si β si β = Eemple 8. Es-ce que l inégrle + 3 ln cos sin d converge? ln Le poin incerin es +. Pour répondre à l quesion, clculons un équivlen de l foncion u voisinge de +. On : + 3 = ln cos = ln + o + sin ln + ln D où un équivlen de l foncion u voisinge de + : + 3 ln cos sin ln + (ln ) Remrquons que dns cee équivlence les deu foncions son négives u voisinge de +. D près le héorème 3, les deu inégrles ssociées son de même nure. Mis comme l inégrle de Berrnd (ln ) d converge, lors nore inégrle iniile es ussi convergene. Mini-eercices.. Éudier l convergence des inégrles suivnes : sin d ln cos d 3 π e d. Monrer que (ln ) α e d converge, quel que soi le réel α. 3. Éudier l convergence des inégrles suivnes, en foncion du prmère α > : 3 + α d d π α sin α 4. Discuer selon α > e β l nure de l inégrle de Berrnd générlisée α (ln ) β d. ln α d e + d 5. Si f : [, + [ es une foncion coninue e posiive elle que f () d =, monrer lors que f es ideniquemen nulle. bove

10 INTÉGRALES IMPROPRES 3. FONCTIONS OSCILLANTES 3. Foncions oscillnes Nous considérons ici f () d, où f () oscille jusqu à l infini enre des vleurs posiives e négives. + L définiion de l inégrle impropre rese l même : f () d = lim + f () d. Conriremen u cs des foncions posiives, où l limie éi soi finie, soi égle à +, ous les comporemens son possibles ici : les vleurs de f () d peuven endre vers une limie finie, vers + ou, ou bien encore osciller enre deu vleurs finies (comme sin d), ou s pprocher lernivemen de + e (comme sin d). 3.. Inégrle bsolumen convergene Le cs le plus fvorble es celui où l vleur bsolue de f converge. Définiion 3. Soi f une foncion coninue sur [, + [. On di que converge. f () d es bsolumen convergene si f () d Le héorème suivn es souven uilisé pour démonrer l convergence d une inégrle. Mlheureusemen, il ne perme ps de clculer l vleur de cee inégrle. Théorème 4. Si l inégrle f () d es bsolumen convergene, lors elle es convergene. Auremen di, êre bsolumen convergen es plus for qu êre convergen. Démonsrion. C es une conséquence du crière de Cuchy (héorème ) ppliqué à f, puis à f. Comme f () d converge lors pr le crière de Cuchy (sens direc) : v ε > M u, v M = f () d < ε. Mis comme v v f () d f () d < ε u u lors pr le crière de Cuchy (sens réciproque), f () d converge. Eemple 9. Pr eemple, sin d es bsolumen convergene, donc convergene. En effe, pour ou, sin. Or l inégrle de Riemnn d es convergene. D où le résul pr le héorème de comprison. u

11 INTÉGRALES IMPROPRES 3. FONCTIONS OSCILLANTES 3.. Inégrle semi-convergene Définiion 4. Une inégrle f () d es semi-convergene si elle es convergene mis ps bsolumen convergene. Eemple. sin d es semi-convergene. Nous llons prouver qu elle es convergene, mis ps bsolumen convergene.. L inégrle es convergene. Pour le monrer, effecuons une inégrion pr pries (vec u = sin, v = ) : sin cos cos d = d. Eminons les deu ermes : cos = cos + cos. Or l foncion cos vers. Donc cos Pour l ure erme, noons d bord que dme une limie finie (qui es cos ). cos e l inégrle de Riemnn Pr conséquen, Conclusion : cos end vers (lorsque + ), cr cos es bornée e end cos d converge. d converge, ce qui signifie ecemen que d es une inégrle bsolumen convergene. En effe cos d dme une limie finie. sin d dme une limie finie (lorsque + ), e donc pr définiion. L inégrle n es ps bsolumen convergene. Voici un moyen de le vérifier. Comme sin pour ou, on : sin sin = cos() En ppliqun une inégrion pr pries à cos() (vec u = cos() e v = ), on obien : cos() d = ln sin() sin() d sin d converge. Or sin() d converge bsolumen. Des rois ermes de l somme ci-dessus, les deu derniers convergen, e le premier end vers +. Donc l inégrle diverge, e pr le héorème de comprison, l inégrle d diverge églemen. sin 3.3. Théorème d Abel Pour monrer qu une inégrle converge, qund elle n es ps bsolumen convergene, on dispose du héorème suivn. Théorème 5 (Théorème d Abel). Soi f une foncion sur [, + [, posiive, décroissne, yn une limie nulle en +. Soi g une foncion coninue sur [, + [, elle que l primiive g() d soi bornée. Alors l inégrle Avec f () = e g() = sin, on rerouve que l inégrle f () g() d sin converge. d converge. Démonsrion. C es une générlision de l eemple précéden. Pour ou, posons G() = g() d. Pr hypohèse, G es bornée, donc il eise M el que, pour ou, G() M. Effecuons minenn une inégrion pr pries : f () g() d = f () G() f () G() d.

12 INTÉGRALES IMPROPRES 4. INTÉGRALES IMPROPRES SUR UN INTERVALLE BORNÉ Comme G es bornée e f end vers, le erme enre croches converge. Monrons minenn que le second erme converge ussi, en vérifin que On : f () G() d es bsolumen convergene. f () G() = f () G() f () M, cr f es décroissne (donc f () ) e G es bornée pr M. Pr le héorème de comprison, il suffi donc de monrer que f () d es convergene. Or : f () d = f () f () e lim (f () f ()) = f (). + Eemple. Comme eemple d pplicion, si α es un réel sricemen posiif, e k un enier posiif impir, lors l inégrle sin k () α d converge. Remrquons que cee inégrle n es bsolumen convergene que pour α >. On vérifie que les hypohèses du héorème 5 son sisfies pour f () = e g() = sin k (). Pour s ssurer que l primiive de sin k es bornée, il suffi α de penser à une linérision, qui rnsformer sin k () en une combinison linéire des sin(l), l =,..., k, don l primiive ser oujours bornée. Mini-eercices.. Soien f : [, + [ une foncion coninue e α > el que lim + α f () =. Monrer que l inégrle f () d es bsolumen convergene. En déduire que si P() es un polynôme lors P()e d α converge.. En dmen que le héorème d Abel es vri pour une foncion g à vleurs complees, monrer que e i d α es convergene pour ou α >. Es-elle oujours bsolumen convergene? 3. Monrer (n+)π sin nπ d (n+)π. (Indicion : grder le sinus dns une première minorion.) En uilisn un résul sur les séries, en déduire une nouvelle démonsrion du fi que l inégrle sin π d n es ps bsolumen convergene. 4. Inégrles impropres sur un inervlle borné 4.. Foncions posiives Nous rions ici le cs où l foncion à inégrer end vers l infini en l une des bornes de l inervlle d inégrion. Le riemen es ou à fi nlogue u cs d une foncion posiive sur un inervlle non borné e l on omer les démonsrions. Quie à réduire l inervlle d inégrion, e à chnger évenuellemen le signe de f, nous pouvons supposer que l foncion es posiive ou nulle sur l inervlle d inégrion ], b], e end vers + en. b

13 INTÉGRALES IMPROPRES 4. INTÉGRALES IMPROPRES SUR UN INTERVALLE BORNÉ 3 Rppelons que, pr définiion, b f () d = lim + b f () d. Observons que si l foncion f es posiive, lors b f () d croî qund décroî vers : soi b f () d es bornée, e l inégrle b f () d es convergene, soi b f () d end vers Théorème de comprison Théorème 6. Soien f e g deu foncions posiives e coninues sur ], b]. Supposons que f soi mjorée pr g u voisinge de, c es-à-dire :. Si b g() d converge lors b f () d converge.. Si b f () d diverge lors b ε > ], + ε] f () g(). g() d diverge. Eemple. Fions un réel α. Es-ce que l inégrle Pour le svoir nous écrivons : ( ln ) α d converge? ( ln ) α = ( ln ) α /4 3/4. On si que lim +( ln ) α /4 =, pour ou α (les puissnces de l emporen sur le logrihme). En priculier, il eise un réel ε > el que : ], ε] ( ln ) α /4. En muliplin les deu membres de l inéglié pr 3/4 on obien : Or l inégrle 3/4 d converge. En effe : ], ε] ( ln ) α 3/4. 3/4 d = 4 /4 = 4 4 /4 e lim (4 4 /4 ) = 4. + On peu donc ppliquer le héorème 6 de comprison : puisque 3/4 d converge, lors ( ln ) α d converge ussi, quel que soi α Théorème des équivlens Grâce u héorème 6 de comprison, on peu remplcer l foncion à inégrer pr un équivlen u voisinge de pour éudier l convergence d une inégrle. Théorème 7. Soien f e g deu foncions coninues e sricemen posiives sur ], b]. Supposons qu elles soien équivlenes u voisinge de, c es-à-dire : f () lim + g() =. Alors l inégrle b f () d converge si e seulemen si b g() d converge. Aenion : il es imporn que f e g soien posiives. L équivlence de f e g u voisinge de ser noée pr : f () g() (ou bien f () + limie en es l limie à droie). g() pour préciser que l

14 INTÉGRALES IMPROPRES 4. INTÉGRALES IMPROPRES SUR UN INTERVALLE BORNÉ 4 Eemple 3. L inégrle En effe, e nous vons déjà monré que l inégrle ln + d sin ln + sin ( ln ) / converge. ( ln ) /, + d converge. L uilision des équivlens perme insi de rmener l éude de l convergence d une inégrle pour lquelle on n ps de primiive à un clogue d inégrles don l convergence es connue. Les plus clssiques son du ype d, α mis enion, l convergence en foncion du prmère α es inversée pr rppor u inégrles de Riemnn. Eemple 4. Si α < Si α lors lors d α α d converge. diverge Foncions oscillnes Le dernier cs à rier es celui où l foncion à inégrer oscille u voisinge d une des bornes, prenn des vleurs rbiriremen proches de + ou. b Le chngemen de vrible u = perme de se rmener u cs précéden d une foncion oscillne sur un inervlle non borné, ce qui nous dispenser de donner un de déils. Rppelons que, pr définiion, b f () d = lim + L noion imporne es oujours l convergence bsolue. b f () d. Définiion 5. Soi f une foncion coninue sur ], b]. On di que b f () d es bsolumen convergene si b f () d es une inégrle convergene. Le héorème suivn se démonre de l même fçon que le héorème 4. Théorème 8. Si l inégrle b f () d es bsolumen convergene, lors elle es convergene.

15 INTÉGRALES IMPROPRES 5. INTÉGRATION PAR PARTIES CHANGEMENT DE VARIABLE 5 Eemple 5.. L inégrle donc convergene. En effe, pour ou, Or l inégrle. Pr conre, sin d es bsolumen convergene, sin. d converge, d où le résul pr le héorème 6 de comprison. sin d n es ps bsolumen convergene, mis elle es convergene. Pour le voir, effecuons le chngemen de vrible u : sin d = u sin u u du = / / sin u u du. Lorsque + lors +. Nous vons déjà monré que l inégrle bsolumen convergene. sin u u du es convergene, sns êre On pourri énoncer un héorème d Abel nlogue u héorème 5, mis cel n es ps vrimen uile. D une pr les foncions uquelles il s ppliqueri se renconren rremen, e d ure pr, il es en générl fcile de se rmener à un problème sur [c, + [, pr le chngemen de vrible u = : nous l vons déjà fi pour sin d. Mini-eercices.. Éudier l convergence des inégrles : d. Pour quelles vleurs de β l inégrle d ln d sin d d ( ln ) β converge? 3. Prouver le héorème de comprison e le héorème des équivlens de cee secion, en vous inspirn des démonsrions des secions précédenes. 4. Même rvil pour monrer qu une inégrle bsolumen convergene es convergene. 5. Inégrion pr pries Chngemen de vrible 5.. Inégrion pr pries Théorème 9. Soien u e v deu foncions de clsse sur l inervlle [, + [. Supposons que lim + u()v() eise e soi finie. Alors les inégrles u() v () d e u () v() d son de même nure. En cs de convergence on : u() v () d = uv + u () v() d On rppelle que uv + = lim + (uv)() (uv)(). Le mieu n es ps d ppliquer le héorème, mis d effecuer l preuve à chque fois, c es-à-dire en fisn une inégrion pr pries sur l inervlle [, ] e en vérifin bien que les objes on une limie lorsque +. Démonsrion. C es l formule usuelle d inégrion pr pries u() v () d = uv u () v() d en non que pr hypohèse le croche une limie finie lorsque +.

16 INTÉGRALES IMPROPRES 5. INTÉGRATION PAR PARTIES CHANGEMENT DE VARIABLE 6 Eemple 6. Soi λ >. Que vu l espérnce de l loi eponenielle : λe λ d? On effecue l inégrion pr pries vec u = λ, v = e λ. On donc u = λ e v = λ e λ. Ainsi λe λ d = u() v () d = uv u () v() d = λ = e λ + λ e λ = e λ + = e λ λ e λ d λ e λ e λ λ λ e λ d λ lorsque + Ainsi l inégrle converge e λe λ d = λ. 5.. Chngemen de vrible Théorème. Soi f une foncion définie sur un inervlle I = [, + [. Soi J = [α, β[ un inervlle vec α e β ou β = +. Soi ϕ : J I un difféomorphisme de clsse. Les inégrles de même nure. En cs de convergence, on : f () d = β α f ϕ() ϕ () d f () d e β α f ϕ() ϕ () d son L démonsrion es l même que le chngemen de vrible usuel. Encore une fois, le mieu n es ps d ppliquer le héorème mis d effecuer un chngemen de vrible clssique sur l inervlle [, ], puis d éudier les limies lorsque +. On rppelle que ϕ : J I un difféomorphisme de clsse si ϕ es une pplicion, bijecive, don l bijecion réciproque es ussi. L eemple suivn es priculièremen inéressn : l foncion f () = sin( ) une inégrle convergene, mis ne end ps vers (lorsque + ). C es à mere en opposiion vec le cs des séries : pour une série convergene le erme générl end oujours vers. Eemple 7. L inégrle de Fresnel sin( ) d converge.

17 INTÉGRALES IMPROPRES 5. INTÉGRATION PAR PARTIES CHANGEMENT DE VARIABLE 7 On effecue le chngemen de vrible u =, qui indui = u, d = du u. ϕ : u = u es un difféomorphisme enre u [, ] e [, ]. D où Or pr le héorème d Abel qui prouve que sin( ) d = sin u u du converge, donc sin(u) du u. sin( ) d dme ussi une limie finie. Conclusion : Eemple 8. Clculons l vleur des deu inégrles. L inégrle I converge. I = ln(sin ) d J = du sin(u) dme une limie finie (lorsque + ), ce u sin( ) d converge. ln(cos ) d. Le poin incerin es en =. Comme sin +, ln (pour ssez pei), e l inégrle lors l inégrle. Vérifions I = J. ln d converge, ce qui implique que I converge. d converge, Effecuons le chngemen de vrible = π u. On d = du e un difféomorphisme enre [, π ] e u [ π, ]. Ainsi π ln(sin ) d = sin u du = ln(cos u) du. ln π Ainsi, lorsque, cel prouve I = J (e en priculier J converge). 3. Clcul de I + J. I + J = = = = ln(sin ) d + ln(cos ) d ln(sin ) + ln(cos ) d ln(sin cos ) d ln sin() d = π ln + ln sin() d E comme I = J, on I = π ln + K.

18 INTÉGRALES IMPROPRES 5. INTÉGRATION PAR PARTIES CHANGEMENT DE VARIABLE 8 Il nous rese à évluer K = ln sin() d : K = = = I + = I + = I + = I + I = I ln sin() d ln(sin u) du (chngemen de vrible u = ) π π ln(sin u) du ln sin(π v) ( dv) (chngemen de vrible v = π u) ln(sin v) dv 4. Conclusion. Ainsi comme I = π ln + K e K = I on rouve : e J = I. I = ln(sin ) d = π ln 5.3. Pln d éude Nous résumons ici l ensemble des echniques vues dns ce chpire pour l éude de l inégrle d une foncion f sur un inervlle non borné de, l foncion én évenuellemen non bornée u voisinge d un ou plusieurs poins de l inervlle. Pour illusrer le pln d éude, nous déillerons l eemple inroducif : I = sin d 3/ sin 3/. Idenifier le ou les poins incerins. L foncion 3/ sin es définie sur deu inervlles ], [ e ], + [. L foncion es pire, elle end vers en oscilln qund end vers e +, elle n es ps définie en e end vers + en e en + (voir l figure). Il y donc 4 poins incerins à éudier.. Isoler les poins incerins. Pour cel, il fu découper chque inervlle d éude en un de sous-inervlles qu il y de poins incerins, de mnière à ce que les problèmes soien ous siués sur une borne de chque inervlle. Dns nore eemple, on diviser en 4 inervlles : I = I 3 = 3/ sin d, I = 3/ sin d, I 4 = 3/ sin d, 3/ sin d.

19 INTÉGRALES IMPROPRES 5. INTÉGRATION PAR PARTIES CHANGEMENT DE VARIABLE 9 Rppelons que le choi des poins de découpe, ici ici +, n ps d impornce pour l convergence. Chcune des inégrles obenues doi êre éudiée séprémen. L inégrle I n es définie que si chcun des morceu converge. 3. Se rmener à une inégrle sur [, + [ ou sur ], b]. Pour cel, il suffi d effecuer le chngemen de vrible. Dns nore cs, puisque l foncion es pire, I = I 4 e I = I Clculer une primiive si c es possible. Ayn une primiive, le problème es rmené à un clcul de limie. Si on n ps de primiive eplicie, lors : 5. Si l foncion es de signe consn. Chnger évenuellemen le signe pour se rmener à une foncion posiive. Clculer un équivlen u voisinge du poin incerin e uiliser le héorème 3 ou 7 des équivlens. Si l équivlen ne donne ps l réponse direcemen, uiliser le héorème ou 6 de comprison. Dns nore eemple, l inégrle I 3 es celle d une foncion posiive, endn vers + en + : Or l inégrle d converge, donc I / 3 converge. 3/ sin + /. 6. Si l foncion n es ps de signe consn. Commencer pr éudier l inégrle de f, comme dns le cs précéden (équivlen ou comprison). Si elle converge, l inégrle éudiée es bsolumen convergene, donc convergene. Si l inégrle n es ps bsolumen convergene, il fu essyer de mere l foncion sous forme d un produi pour ppliquer le héorème d Abel (héorème 5). Dns nore eemple, l inégrle I 4 es bsolumen convergene : on le dédui du héorème de comprison, cr e l inégrle de Riemnn f () = 3/ e g() = sin. 3/ 3/ sin 3/, d es convergene. On pourri ussi ppliquer le héorème d Abel vec Mini-eercices.. Soi I n = n e d. Clculer I. Pr inégrion pr pries, rouver une relion de récurrence enre I n+ e I n. En déduire que I n = n!.. Pr inégrion pr pries, monrer que l inégrle ln (+) d converge e vu ln. 3. Soi I = ln(+ ) d. Idenifier les poins incerins. Fire une inégrion pr pries en écrivn ln(+ ). Monrer que I converge e que I = π. 4. Soi I = ( ln )β d. Idenifier les poins incerins. À l ide du chngemen de vrible = u, monrer que cee inégrle converge quel que soi β. 5. Soi I = d +. Idenifier les poins incerins. À l ide du chngemen de vrible = u, monrer que l inégrle converge e que I = 4 3π 9. Aueurs du chpire D près un cours de Luc Rozoy e Bernrd Ycr de l universié de Grenoble pour le sie M@hs en Ligne. e un cours de Rymond Morini, de l universié de Lorrine, mié, révisé pr Arnud Bodin. Relu pr Séphnie Bodin e Vinney Combe.