Concours des Grandes Ecoles Sujet de Mathématiques.

Transcription

1 Diel Aécssis.Ph.D Aée iversitire 9/ Cocors des Grdes Ecoles Sjet de Mthémtiqes. I. O trville ds l espce vectoriel sos espce vectoriel de. Soit ;;, ;;, ;;, ;;, 5 ; ; egedré pr l fmille U {,,,, 5 }. Costrire e se B de E formée d élémets de U. L fmille B est elle e se de de.. Trover e éqtio de E. II. Soit E { U,, }. Motrer qe E est sos espce vectoriel de U et E le? Si ce est ps le cs, compléter B por former e se. Motrer qe, por coître élémet de E, il ft et il sffit qe l o coisse ses de premiers termes. E. Motrer qe l pplictio ϕ défiie pr ϕ, l dimesio de E.. Motrer qe l site de terme géérl! est élémet de E 5. Soit élémet de U et v l site de terme géérl E Si et Selemet Si v est e site rithmétiqe. v est isomorphisme. E dédire. Motrer qe est élémet de! E dédire l forme géérle des élémets de E et e se B de E. Qelle est l mtrice A de ϕ ds l se B et l se coiqe de? 6. Détermier l mtrice A de ϕ ds les mêmes ses. E dédire l epressio d terme Géérl d élémet de E e foctio de ses de premiers termes et 7. Soit L l pplictio défiie pr : E L Motrer qe L est e forme liéire. Trover e se de KerL. Détermier et représeter grphiqemet l imge de KerL pr ϕ. E doer e éqtio de l forme f. Iterpréter cette éqtio de l mière sivte : Si KerL, lors : f...?

2 Diel Aécssis.,PhD Aée iversitire 9/ Cocors des Grdes Ecoles Correctio mthémtiqes. Prtie I. O rppelle q e se est e fmille lire et géértrice. Il est clir qe l présece de l élémet ;; e redr ps ps l fmille qe l o doit discrimier lire. Cet élémet est écessirmet à rejeter. Cosidéros l fmille { } 5,,,. O otiet le clcl sivt Ceci motre cliremet qe est comiiso liéire des tres élémets. Reteos lors le sstème formé pr { } 5,,. O otiet l cofigrtio sivte : Ceci motre qe est comiiso liéire des de tres élémets. IN FINE le sstème { }, 5 est sstème géérter et lire de E. A ce titre, ce sstème est ie e se B recherchée.. Il est clir qe dim et. CrdB. A ce titre B e pet être e se de l espce vectoriel eclidie. Por oteir e telle se, il sffit de compléter B à l ide d élémet de e povt être comiiso liéire des de tres élémets de B. E cosidért l élémet ;; k de, o otiet ie e se. E effet le sstème S{ } k,, 5 est sstème lire vérifit l propriété : dim CrdS. B est e se d sos espce vectoriel E. A ce titre 5 :,, E O otiet : IN FINE : E por éqtio : ie : Prtie II. E est sos espce vectoriel de U. E effet :

3 . E est o vide. Por s e covicre, il sffit de cosidérer l élémet défii pr, Cette site isi défiie est ie élémet de E cr elle vérifie ie l reltio :. E est stle pr comiiso liéire Soiet et v de élémets de E et, de sclires. Ds de cs posos w w w v w [ v w ] [ v v w v v ] Les de propriétés précédetes motret ie qe E est sos espce vectoriel de E. CQFD.. L coissce des de premiers élémets et permettet l détermitio de pr l itermédiire de l reltio de récrrece défiisst E. L coissce de, doe églemet celle de. IN FINE, les coditios iitiles ssociées à l reltio de réccrrece : Permettet l détermitio de tos les élémets de E. Cette coditio est sffiste. Elle est églemet écessire pr costrctio. E effet :. ϕ est isomorphisme.. ϕ est e pplictio liéire : Soiet et v de élémets de E et, de sclires. O : ϕ v v ; v, v ; pr liérité sr v D où : ϕ v ϕ ϕ v. Cqfd.. ϕ est ijective. Pr défiitio : Kerϕ { E : ϕ } Or ϕ, ; Ces de reltios ssociées à l reltio de récrrece motret de fço clire qe A ce titre Ker { } O E ϕ ϕ est ie ijective., Cette pplictio est églelemet srjective cr os vos démotrer qe l eistece des de premiers termes ; impliqet celle de. E d tres termes l coissce d dolet ; impliqe l eistece d mois técédet. IN FINE :ϕ est e pplictio liéire ijective. ϕ est isomorphisme. ϕ ett isomorphisme, E est iso-morphe à dédit dot l dimesio est de fço clire égle à. O e

4 dim E dim. O remrqe qe l o : A ce titre,, o :!!!!!! L site étdiée est ie élémet de E. CQFD. v v v v 5. Soit élémet qelcoqe de E. O IN FINE :!!!!!!, o : v v v v.!!! Cette reltio permet d ffirmer qe l site v est ie e site rithmétqe. L réciproqe est églemet trivile. L éqivlece est ie démotrée. Cette éqivlece motre qe tot élemet de E s écrit! v E post v v r l epressio géérle de l site v. v étt le premier terme de cette site et r s riso, il viet qe :! v r! E post B le dolet B!;! Pr costrctio B est sstème géérter de E. Ce sstème est églemet lire, cr il est clir q i eiste ps de sclire k costt tel qe :! k!, pot tot etier trel. A ce titre, o pet ffirmer qe B est l se coiqe de l espce vectoriel E. Soit A l mtrice de ϕ ds l se B. O ϕ!!;! ie ϕ! De même : ϕ!!;! ; ie ϕ! Ceci met e évidece qe A

5 6. Nos svos qe ϕ est isomorphisme. A ce titre, cette pplictio est ijective et A dmet e mtrice iverse. Pr théorème, o Avec det A A tcma det A coma et t COMA. O e dédit qe A Vérifictio : AA CQFD D près l étde précédete, o ; ϕ A ce titre ϕ ; Or A Ceci représete les coordoées de l site ds l se coiqe B de E. IN FINE :.!.! E effet : 7. L est e forme liérie. Soit et v de élémets qelcoqes de E et soiet et de sclires. O L v v v L L v O ie : L v L L v Pr défiitio : KerL { E / L } Soit élémet qelcoqe d o de L. ser telle qe L ie A ce titre!.! ie ie : A c titre ie IN FINE : KerL est l droite d éqtio ds repère dot l se est B. Cette se est de fço clire orthogole cr! et.! et L représettio grphiqe est lors isée. 5

6 Si KerL lors : f KerL est sos espce vectoriel de dimesio dot l représettio est l droite d éqtio Diel Aécssis. 6