Autour de la loi de Poisson

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Autour de la loi de Poisson"

Transcription

1 Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires cosidérées ici sot des variables aléatoires défiies sur Ω. Si X est ue telle variable aléatoire, o ote E(X) et V(X) l espérace et la variace de X lorsque celles-ci existet. Pour N et p ]0, 1[ o otera B(p) la loi de Beroulli de paramètre p et B(, p) la loi biomiale de paramètres et p. O rappelle que la variable aléatoire X suit B(p) si elle pred les valeurs 0 et 1 avec P(X = 0) = 1 p et P(X = 1) = p et que Y suit B(, p) si elle pred les valeurs etières de 0 à avec {0,..., }, P(X = ) = ( ) p (1 p) 1 Pour λ > 0 o ote P(λ) la loi de Poisso de paramètre λ. O rappelle que X suit P(λ) si elle pred toutes les valeurs de N avec N, P(X = ) = λ! e λ Si X est ue variable aléatoire preat ses valeurs das N, alors sa foctio géératrice est la foctio g X : t E(t X ) = 0 P(X = )t. Das la première partie o révise le programme cocerat la loi de Poisso et so utilisatio comme approximatio de la loi biomiale. Das la deuxième partie o obtiet ue estimatio plus fie de cette approximatio. Das la troisième partie o étudie quelques propriétés e lie avec la foctio géératrice. 1 Loi de Poisso - révisios 1. Soit λ > 0 et Z ue variable aléatoire suivat P(λ), calculer E(Z) et V(Z).

2 2. Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat respectivemet les lois P(λ) et P(µ) pour λ et µ strictemet positifs. Démotrer que X + Y suit la loi P(λ + µ). 3. Approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires telle que X suit la loi B(, p ) pour tout 1, où (p ) 1 est ue suite das ]0, 1[. O suppose que la suite ( p ) coverge vers λ > 0. a) Motrer que la suite (X ) coverge e loi vers ue variable aléatoire Z suivat P(λ), c est-à-dire N, lim P(X = ) = λ +! e λ b) Démotrer que lim E(X ) = E(Z) et lim V(X ) = V(Z). + + c) Applicatio. O suppose qu il apparaît e moyee deux étoiles filates toutes les 5 miutes das le ciel d ue uit de la première semaie d août. O choisit au hasard u itervalle de 5 miutes. Soit Y la variable aléatoire associat à l itervalle de 5 miutes choisi le ombre d étoiles filates observées. Pour détermier la loi de probabilité de Y, o "discrétise" le problème : o partage les ciq miutes e itervalles de temps suffisammet petits pour coteir au plus ue apparitio d étoile filate, et o suppose que les apparitios des étoiles filates au cours du temps sot des évéemets idépedats. Aisi, est "grad" et la probabilité d apparitio d ue étoile filate das l u des itervalles de temps est de l ordre de 2. Doer ue approximatio des probabilités suivates : P(Y = 0) ; P(Y = 1) et P(Y 2) Quelle serait la probabilité de voir au mois 2 étoiles filates e 10 miutes? 2 Covergece forte de la loi biomiale vers la loi de Poisso 1. Soit p [0, 4 ], détermier la loi du vecteur aléatoire (X, Y ) tel que 5 (X, Y ) pred les valeurs (0, 0), (0, 1), (1, 1) et (, 0) pour tout 2 (remarque : (X, Y ) e pred pas la valeur (1, 0)), la loi margiale X est P(p) et la loi margiale Y est B(p). O otera M(p) la loi de ce vecteur aléatoire. Déduire du calcul précédet que P(X Y ) 2 p 2 e utilisat e p 1 p. 2. Soit (X, Y ) u vecteur aléatoire preat ses valeurs das N 2 et A ue partie de N, motrer que P(X A) P(Y A) P(X Y )

3 3. Soit (X 1, Y 1 ),..., (X, Y ) des vecteurs aléatoires suivat respectivemet les lois M(p 1 ),..., M(p ) avec p i [0, 4 ] pour tout i. Soit A ue partie de N, motrer 5 que P(X X A) P(Y Y A) 2 p 2 i i=1 4. Soit λ > 0 et u etier tel que 4 5λ. Soit X et Z deux variables aléatoires suivat respectivemet la loi B(, λ ) et la loi P(λ). a) Soit A ue partie de N, motrer que P(X A) P(Z A) 2 λ2 b) Doer ue coditio sur et p pour que l approximatio de la loi B(, p) par la loi P(p) soit correcte à 10 2 près pour toute valeur {0,..., }. c) E cosidérat les esembles E = { : P(X = ) P(Z = )} et N \ E, motrer que ( ) p (1 p) 1 λ! e λ Loi de Poisso et foctio géératrice Das cette partie, X est ue variable aléatoire à valeurs etières. λ! e λ 4 λ2 1. Démotrer que la foctio géératrice de X a u rayo de covergece supérieur ou égal à Das cette questio, o suppose que X suit la loi P(λ) pour u certai λ > 0. Calculer la foctio géératrice g X de X. 3. Démotrer que 0, P(X = ) lim if t 1 g X (t) g X (1) E déduire que X admet ue espérace si et seulemet si g X admet ue dérivée à gauche g X(1 ) e 1, et que das ce cas E(X) = g X(1 ). 4. Retrouver à l aide des questios précédetes l espérace de la loi P(λ). 5. Démotrer que X admet ue variace si et seulemet si g X admet ue dérivée secode à gauche g X(1 ) e 1, et que das ce cas V(X) = g X(1 ) + g X(1 ) (g X(1 )) 2. Retrouver la variace de la loi P(λ). 6. O suppose que les variables aléatoires X et Y sot idépedates, démotrer que g X+Y = g X g Y. Retrouver le résultat de la questio 1.2.

4 4 Correctio succicte. Les parties 1 et 3 sot classiques et sot basées essetiellemet sur du cours. O peut doc e trouver l essetiel das les ouvrages usuels (Cottrell et al., Datzer, Ouvrard, etc), à l exceptio de l applicatio 3c de la partie 1. La partie 2 est plus origiale et précise la covergece de la loi biomiale vers la loi de Poisso. 4.1 Correctio de la partie 1 : Loi de Poisso - révisios 1. Les séries à termes positifs P(Z = ) et 2 P(Z = ) sot covergetes, doc Z admet ue espérace et ue variace, et o trouve : E(Z) = V(Z) = λ. 2. Puisque X et Y suivet des lois de Poisso, elles preet leurs valeurs das N, et comme elles sot idépedates o obtiet pour tout etier : P(X + Y = ) = P(X = et Y = ) = = 1 ( )! e (λ+µ) λ µ = λ! e λ µ ( )! e µ (λ + µ) e (λ+µ).! Ceci état valable pour tout N, o e déduit que X + Y suit la loi P(λ + µ). 3. Approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires telle que X suit la loi B(, p ) pour tout 1, où (p ) 1 est ue suite das ]0, 1[. O suppose que la suite ( p ) coverge vers λ > 0. a) Soit N, pour tout o a ( ) P(X = ) = p (1 p ) = ( p ) ( 1 p ) ( 1)... ( + 1) (1 p! ) or o a ( 1 p ) = exp ( p (1 + o(1))) e λ et comme est fixé et p 0 o obtiet bie lim P(X = ) = λ +! e λ. b) Pour tout o a E(X ) = p et V(X ) = p (1 p ), doc o a lim E(X ) = + λ = E(Z) et lim V(X ) = λ = V(Z). + c) D après l éocé, Y suit la loi B(, 2 ), et comme est supposé grad o peut approcher cette loi par la loi de Poisso P(2), o trouve doc P(Y = 0) e 2 = 13, 5% P(Y = 1) 2e 2 = 27% P(Y 2) = 1 (P(Y = 0) + P(Y = 1)) 1 (e 2 + 2e 2 ) = 59%

5 Das u itervalle de 10 miutes il y a 2 petits itervalles, das ce cas le ombre d étoiles filates observées suit B(2, 2 ) ce qu o peut approcher par la loi P(4) et doc la probabilité demadée est eviro 1 (e 4 + 4e 4 ) = 91%. 4.2 Correctio de la partie 2 : Covergece forte de la loi biomiale vers la loi de Poisso Cette partie est tirée de l exercice 406 du livre Itégratio et probabilités - Aalyse de Fourier de Gérard Letac (Masso, 1997). 1. Comme la margiale X suit P(p) o a : P [(X, Y ) = (0, 0) ou (X, Y ) = (0, 1)] = e p P [(X, Y ) = (1, 1)] = pe p 2, et comme Y suit B(p) o a P [(X, Y ) = (, 0)] = λ! e p et doc o e coclut que P [(X, Y ) = (0, 1) ou (X, Y ) = (1, 1)] = p P [(X, Y ) = (0, 1)] = p p e p et P [(X, Y ) = (0, 0)] = (1 + p)e p p e utilisat le fait que les évèemets ((X, Y ) = (0, 0)), ((X, Y ) = (0, 1)) et ((X, Y ) = (1, 1)) sot icompatibles. Puisque p [0, 4 ] o a bie que ces deux 5 probabilités sot positives. Efi o remarque pour ce vecteur aléatoire o a P(X Y ) = 1 P (X = Y ) = 1 P [(X, Y ) = (0, 0) ou (X, Y ) = (1, 1)] = 1 ((1 + p)e p p + pe p ) 1 (1 + 2p)(1 p) + p = 2p O remarque que (X A) est iclus das l évèemet (Y A ou X Y ) : e effet si X(ω) A alors soit X(ω) = Y (ω) et doc Y (ω) A, soit X(ω) Y (ω). Par coséquet doc P(X A) P(Y A ou X Y ) P(Y A) + P(X Y ) P(X A) P(Y A) P(X Y ) E échageat les rôles de X et Y o obtiet l iégalité souhaitée. Autre maière d écrire la même preuve : O calcule P(X A) = P [(X A et X = Y ) ou (X A et X Y )] = P [(Y A et X = Y ) ou (X A et X Y )] P(Y A) + P(X Y ) et o coclut de même.

6 3. O applique les deux questios précédetes pour calculer P(X X A) P(Y Y A) P((X X ) (Y Y )) P((X 1 Y 1 ) ou... ou (X Y )) P(X i Y i ) 2 i=1 i=1 p 2 i i=1 où la deuxième iégalité découle du fait que (X X )(ω) (Y Y )(ω) implique que X i (ω) Y i (ω) pour au mois u idice i. 4. a) O applique le résultat de la questio précédete avec des variables aléatoires X 1,..., X idépedates suivat B( λ) et Y 1,..., Y idépedates suivat P( λ), et telles que chaque couple (X i, Y i ) suit M( λ). Das ce cas X = X X suit B(, λ) et Z = Y Y suit P(λ) et o a ( ) 2 λ P(X A) P(Z A) 2 = 2 λ2 b) E preat λ = p das ce qui précède, il suffit d avoir 2 p c) O applique la questio 4a à l esemble E = { : P(X = ) P(Z = )} et o obtiet 2 λ2 P(X E) P(Z E) = (P(X = ) P(Z = )) E = (( ) ) p (1 p) 1 λ E! e λ = ( ) p (1 p) 1 λ E! e λ où o a utilisé la défiitio de E et le fait que E {0,..., }. E appliquat la questio 4a avec N \ E il viet 2 λ2 P(X E) P(Z E) = = 0 N\E = 0 N\E ( λ! e λ λ! e λ N\E ( ) )p (1 p) 1 ( ) p (1 p) 1 + O coclut e additioat ces deux iégalités. (P(Z = ) P(X = )) λ! e λ λ! e λ 4.3 Correctio de la partie 3 : Loi de Poisso et foctio géératrice 1. Pour t = 1, la somme de la série etière P (X = )t est covergete et de valeur 1 puisque X pred ses valeurs das N : la foctio géératrice de X a doc u rayo de covergece supérieur ou égal à 1.

7 2. Lorsque X suit P(λ) o trouve g X (t) = E(t X ) = e λ(t 1), et la foctio géératrice a u rayo de covergece ifii. 3. Soit 0 fixé, alors pour tout t [0, 1[ o a d où o déduit g X (t) g X (1) = P(X = ) P(X = ) lim if t 1 g X (t) g X (1) P(X = ) Aisi, si X admet pas d espérace, alors la série à termes positifs P(X = ) est divergete et g X est pas dérivable à gauche e 1. Par cotre, si X admet ue espérace alors cette série est covergete et pour tout t [0, 1[ o a g X (t) g X (1) = = =1 g X (t) g X (1) doc lim sup t 1 P(X = ) P(X = )(1 + t t 1 ) =1 P(X = ) (1) E(X). E passat à la limite quad + das g X (t) g X (1) (1) o obtiet E(X) lim if, et o coclut doc que das ce cas t 1 g X est dérivable à gauche e 1 et E(X) = g X(1 ). 4. Si X suit la loi P(λ) alors sa foctio géératrice g X : t e λ(t 1) est dérivable e 1 de dérivée λ, qui est bie l espérace attedue. 5. E raisoat de la même maière, o trouve les iégalités (pour t [0, 1[ ) =1 P(X = ) t 1 1 g X(t) g X(1) =2 P(X = ) ( 1) d où o déduit que X admet u momet d ordre 2 si et seulemet si g X admet ue dérivée secode à gauche g X(1 ) e 1, et que das ce cas g X(1 ) = P(X = ) ( 1) = V(X)+E(X) 2 E(X) = V(X) (g X(1 )) 2 +g X(1 ) 6. Soit t ] 1, 1[, alors o peut écrire + g X+Y (t) = P(X + Y = )t = P(X = et Y = )t =0 =0 = P(X = )P(Y = )t =0 = P(X = )t P(Y = )t = g X (t)g Y (t) =0

8 où o a utilisé l idépedace de X et Y et la formule du produit de Cauchy de deux séries covergetes. Cette égalité état vraie sur u voisiage de 0, o a bie g X+Y = g X g Y sur le disque de covergece commu. Das le cas où X suit P(λ) et Y suit P(µ) o obtie alors pour tout réel t g X+Y (t)g X (t)g Y (t) = e λ(t 1) e µ(t 1) = e (λ+µ)(t 1) et doc X + Y suit la loi P(λ + µ).

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale. Uiversité Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 10 (semaie du 2 au 6 décembre 2013 Covergece e loi. Théorème de la limite cetrale. Covergece e loi 1. Soiet (X N ue

Plus en détail

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015

Université Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Année Examen du 13 mai 2015 Uiversité Pierre et Marie Curie Mathématiques L2 UE 2M231 Probabilités-Statistiques Aée 2014-15 Exame du 13 mai 2015 Le sujet comporte 2 pages. L épreuve dure 2 heures. Les documets, calculatrices et téléphoes

Plus en détail

Convergences et approximations

Convergences et approximations Covergeces et approximatios Probabilités : Chapitre 5 Das tout ce chapitre, les démostratios serot faites das le cas des variables discrètes et des variables à desité. I Iégalité de Bieaymé-Tchebychev

Plus en détail

Éléments de correction de la feuille d exercices # 3

Éléments de correction de la feuille d exercices # 3 Uiversité de Rees L SVE Probabilités et statistiques aée 25-26 Élémets de correctio de la feuille d exercices # 3 Exercice Exemple de loi discrète Soit X ue variable aléatoire discrète preat les valeurs

Plus en détail

Chapitre 6 Théorèmes de convergence

Chapitre 6 Théorèmes de convergence Chapitre 6 Théorèmes de covergece 1. La covergece e loi O a déjà recotré ue covergece e loi lors de l approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Ce problème se place das u cadre plus gééral où

Plus en détail

CONVERGENCE ET APPROXIMATION

CONVERGENCE ET APPROXIMATION 11-2- 2010 J.F.C. Cov. p. 1 CONVERGENCE ET APPROXIMATION I CONVERGENCE EN PROBABILITÉ 1. Défiitio 2. Ue coditio suffisate de covergece e probabilité 3. La loi faible des grads ombres 4. Ue coséquece de

Plus en détail

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance

Introduction aux théorèmes limites et aux intervalles de confiance Chapitre 5 Itroductio aux théorèmes limites et aux itervalles de cofiace Objectifs du chapitre. Savoir approcher ue loi biomiale par ue loi de Poisso ou ue loi ormale. 2. Savoir approcher ue loi e appliquat

Plus en détail

Suites de variables aléatoires.

Suites de variables aléatoires. Uiversité Pierre et Marie Curie 200-20 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite. Uiversité Pierre & Marie Curie Licece de Mathématiques L3 UE LM345 Probabilités élémetaires Aée 2014 15 TD10. Loi des grads ombres, théorème cetral limite. 1. Soit (U ) 1 ue suite de variables aléatoires

Plus en détail

X 1 = { X si X est impair 0 sinon

X 1 = { X si X est impair 0 sinon Corrigé ECRICOME 998 par Pierre Veuillez Das tout le problème, X désige ue variable aléatoire défiie sur u espace probabilisé (Ω, A, P et à valeurs das N et E(X l espérace de X si elle eiste. O ote A l

Plus en détail

1 lois usuelles. 2 Estimation. 1.1 Loi Binomiale. 1.2 Loi de Poisson. 1.3 Loi normale. 2.1 Estimation ponctuelle de la moyenne

1 lois usuelles. 2 Estimation. 1.1 Loi Binomiale. 1.2 Loi de Poisson. 1.3 Loi normale. 2.1 Estimation ponctuelle de la moyenne 1 lois usuelles 11 Loi Biomiale B(, p) q = 1 p p(x = k) = C k p k q k Espérace E(X) = p Variace : V ar(x) = pq Écart type : σ = pq 12 Loi de Poisso P(λ) : loi de Poisso de paramètre λ > 0 : X(Ω) = N λ

Plus en détail

Chapitre Rappels sur les suites

Chapitre Rappels sur les suites Chapitre Séries umériques. Rappels sur les suites Défiitio.. (i) Ue suite (a ) N de réels (ou de complexes) est covergete vers ue limite a si pour tout ε > 0, il existe 0 N tel que pour tout 0, o a a a

Plus en détail

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014

TS Devoir Commun de Mathématiques N 3 Lundi17/11/2014 TS Devoir Commu de Mathématiques N Ludi7//04 La présetatio, la rédactio et la rigueur des résultats etrerot pour ue part sigificative das l évaluatio de la copie Le sujet est composé de 4 eercices idépedats

Plus en détail

Correction de l exercice 1

Correction de l exercice 1 IUT Orsa Iformatique S3 Correctio de l exercice. Ω est l esemble des résultats possibles de l experiece aléatoire lacer u dé à faces : Ω {,, 3,,, }, et Ω.. Si k Ω sort, le gai du jeu est k euros. Doc la

Plus en détail

TD 2 : Suites numériques réelles

TD 2 : Suites numériques réelles Uiversité Paris-Est Mare-la-Vallée Licece L Maths/Ifo d semestre 0/0 Aalyse TD : Suites umériques réelles Exercice Cours) Motrer que si ue suite réelle u ) N coverge, alors toute sous-suite de u ) coverge

Plus en détail

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points)

Corrigé du DS n 1. Exercice 1 (6 points) Exercice 1 (6 poits) Corrigé du DS 1 Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10 - près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves

Plus en détail

b) Calculer la dérivée de la fonction. La fonction est dérivable sur comme quotient de deux fonctions dérivables sur.

b) Calculer la dérivée de la fonction. La fonction est dérivable sur comme quotient de deux fonctions dérivables sur. DST 6 Correctio Exercice 1 (5 poits) (Asie, jui 11) Le pla est rapporté à u repère orthoormal. 1) Étude d ue foctio. O cosidère la défiie sur l itervalle par. O ote la foctio dérivée de la foctio sur l

Plus en détail

D- Convergence de variables aléatoires

D- Convergence de variables aléatoires D-1 Notatios O cosidère ( ) N (évetuellemet (Y ) N ) ue suite de variables aléatoires défiies sur l espace probabilisé (Ω, A, ) et X (évetuellemet Y ) ue variable aléatoire défiie sur le même espace. O

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d u dé truqué - Deuxième aée - 1. X pred ses valeurs das {1,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse

Filière Sciences de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Analyse (S4) Cours d Analyse UNIVERSITÉ MOHAMMED V - AGDAL Faculté des Scieces Départemet de Mathématiques Filière Scieces de Matières Physiques (SMP4) Module Mathématiques : Aalyse (S4) Cours d Aalyse Séries umériques Suites et Série

Plus en détail

Corrigé : EM Lyon 2005

Corrigé : EM Lyon 2005 Corrigé : EM Lyo 5 Optio écoomique Eercice :. Par défiitio de E, la famille (I,J,K) est ue famille géératrice de E. Cette famille est-elle libre? O cherche tous les réels a, b et c tels que : ai +bj +ck

Plus en détail

CONCOURS BLANC 1 SCI 2

CONCOURS BLANC 1 SCI 2 CONCOURS BLANC SCI Durée : 4 heures Aucu istrumet de calcul est autorisé Aucu documet est autorisé Les étudiats sot ivités à soiger la présetatio de leur copie EXERCICE : CCP 05 CCP : cocours commus polytechiques

Plus en détail

1 Propriétés - Suites monotones

1 Propriétés - Suites monotones Uiversité d Aix-Marseille Licece de Mathématiques Semestre 06-07 Aalyse Plache - Suites umériques Propriétés - Suites mootoes Exercice Soiet les suites défiies, pour tout, par u = et v = Vérifier qu elles

Plus en détail

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage

Annexe : Leçon 10 - Échantillonnage Aexe : Leço 10 - Échatilloage Clémet BOULONNE pour la sessio 01 I Niveau, prérequis, référeces Niveau BTS Prérequis Probabilités, lois discrètes et cotiues Référeces [1,,, 4, 5] II Coteu de la leço 1 Approximatio

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES.

Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES. Vedredi 0 octobre 07. CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 07. E salle 06, deux heures de 8 h à 0 h : LES SUITES et PROBABILITES. La première feuille de ce devoir doit être ue feuille double. Lisez

Plus en détail

Divers exercices de probabilité

Divers exercices de probabilité Divers exercices de probabilité Traiter e priorité les quatre premiers exercices de chaque sectio. 1 Probabilité Exercice 1.1 Mo voisi a deux efats. 1- Le plus jeue est ue fille, quelle est la probabilité

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES. Mardi 3 mai : 14 h - 18 h. Les calculatrices sont interdites SESSION 216 PCMA2 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC MATHEMATIQUES Mardi 3 mai : 14 h - 18 h N.B. : le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio.

Plus en détail

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin

MVA101 - Analyse et calcul matriciel T. Horsin MVA101 - Aalyse et calcul matriciel 2012 2013 T. Horsi (thierry.horsi@cam.fr) Attetio: Ce documet est ue base de travail qui peut coteir des coquilles. Les zoes e bleus sot, de loi, hors programme, et

Plus en détail

Quelques notions élementaires de probabilités et statistiques

Quelques notions élementaires de probabilités et statistiques Chapitre 6 Quelques otios élemetaires de probabilités et statistiques 6.1 Probabilités U uivers Ω est u esemble modélisat les réalisatios possibles d ue expériece. U esemble A P(Ω) modélise la otio d évéemet

Plus en détail

Processus avec sauts et applications au marché de l énergie

Processus avec sauts et applications au marché de l énergie Processus avec sauts et applicatios au marché de l éergie Exame du ludi 12 mars 2012 14h30-16h30 Les deux parties sot à rédiger sur des copies différetes. I Loi biaisée par la taille et loi ifiimet divisible

Plus en détail

Correction de la question de cours 1

Correction de la question de cours 1 Math I Aalyse Exame du 9 décembre 2007 Durée 2 heures Aucu documet est autorisé. Les calculatrices, téléphoes portables et autres appareils électroiques sot iterdits. Il est iutile de recopier les éocés.

Plus en détail

Partie I - Suites et intégrales

Partie I - Suites et intégrales SESSION 16 Cocours commu Cetrale MATHÉMATIQUES. FILIERE MP I.A - Étude d ue itégrale à paramètres Partie I - Suites et itégrales I.A - 1 Soit φ : [, + [ ], + [ R de sorte que pour tout réel x, fx = Φx,t.

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité

BACCALAUREAT GENERAL. Bac blanc n 4 Mercredi 7 Mai 2014 MATHEMATIQUES. Série : S Enseignement Obligatoire ou de Spécialité BACCALAUREAT GENERAL Bac blac 4 Mercredi 7 Mai 4 MATHEMATIQUES Série : S Eseigemet Obligatoire ou de Spécialité Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 7 ou 9 L utilisatio de la calculatrice est autorisée

Plus en détail

TD 4 : Variables aléatoires discrètes

TD 4 : Variables aléatoires discrètes MA40 : Probabilités TD 4 : Variables aléatoires discrètes Exercice Soit N u etier aturel supérieur ou égal à.. Motrer les égalités suivates : N k k N N + ) N k k N N + ) N + ). Ue ure cotiet ue boule blache

Plus en détail

TS DEVOIR n 3 lundi 13 novembre lim x. 1. Lire dans le tableau les limites de f en et en +. En déduire une asymptote à la courbe de f.

TS DEVOIR n 3 lundi 13 novembre lim x. 1. Lire dans le tableau les limites de f en et en +. En déduire une asymptote à la courbe de f. TS DEVOIR 3 ludi 3 ovembre 207 sur 4,5 poits Calculer les trois ites suivates : a) 3x 4 x x 2 x b) 2si( x) x x c) 8x 5 x 2 x 3 2 sur 3,5 poits Soit f ue foctio défiie sur dot o doe ci-dessous le tableau

Plus en détail

Limites de suites, cours, terminale S

Limites de suites, cours, terminale S Limites de suites, cours, termiale S Covergece de suites Déitio : Soit (u ) ue suite. O dit que (u ) coverge vers u réel l ou a pour limite l lorsque tout itervalle ouvert A coteat l, cotiet tous les termes

Plus en détail

Séries à termes positifs

Séries à termes positifs Séries à termes positifs Das toute la suite N désigera les etiers aturels positifs 0,,,..., Z tous les etiers aturels...,,, 0,,, 3,... et Q les ombres ratioels. Efi R désigera les réels, et C les complexes.

Plus en détail

GRAPHES ALÉATOIRES D ERDÖS-RÉNYI

GRAPHES ALÉATOIRES D ERDÖS-RÉNYI GRAPHES ALÉATOIRES D ERDÖS-RÉNYI U grad réseau de commuicatio (iteret, Facebook, etc.) est modélisé par u graphe G = (V, E), dot les sommets v V sot les agets de ce réseau, et dot les arêtes e = {u, v}

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * * SESSION 006 EPREUVE SPECIIQUE ILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrices sot autorisées * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blac Termiale L - Février 2017 Correctio de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) 1. Depuis le 28 jui 2007, la ville de Bordeaux a été classée au patrimoie modial

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES SUR LES SUITES NUMERIQUES 1 Etudier la mootoie des suites a ) 0 défiies par : a) a = b) a = + 1) + ) + ) c) a =! d) a = α + 1) α réel positif) Soit a, la suite de terme gééral a = 3 + 1 3 + Trouver

Plus en détail

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes

Correction Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aléatoires réelles discrètes 08. O dispose de boîtes umérotées de à. La boîte k cotiet k boules umérotées de à k. O choisit au hasard ue boîte, puis ue boule das cette boîte. Soit X le uméro de la boîte et Y le uméro de la boule..

Plus en détail

Mardi 10 janvier h-13h

Mardi 10 janvier h-13h Mardi javier 27 8h-3h Il sera teu compte de faco importate de la qualité de la rédactio et de l argumetatio. E particulier, répodre juste à ue questio est valorisé, répodre faux est péalisé et e pas répodre

Plus en détail

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008

BA + DB. Métropole La Réunion septembre 2008 étropole La Réuio septembre 008 EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Das ue kermesse u orgaisateur de jeu dispose de roues de 0 cases chacue. La roue comporte 8 cases oires et cases rouges. La roue

Plus en détail

Feuille d exercices 11

Feuille d exercices 11 Mathématiques Aalyse I M. Samy Modeliar Feuille d eercices Itégratio Correctio Eercice Détermier, si elle eiste, la ite e + de la suite de terme gééral si ( π + ) d + Correctio. Pour tout etier, la foctio

Plus en détail

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances

France métropolitaine Juin 2010 Série S Exercice 1. Restitution organisée de connaissances Frace métropolitaie Jui 200 Série S Exercice Restitutio orgaisée de coaissaces Démotrer, à l aide de la défiitio et des deux propriétés cidessous que si ( u ) et ( v ) sot deux suites adjacetes, alors

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Conception : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES. 2 mai 2017, de 8 h. à 12 h.

Conception : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES. 2 mai 2017, de 8 h. à 12 h. Coceptio : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES mai 07, de 8 h à h La présetatio, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part

Plus en détail

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i }

Z = 1 4i. z = On multiplie par le conjugué du dénominateur S = 5. = b + i. z 2 = z 1. 2 = 3 i 2. = 6 + 2i 4. { 3 + i. 2 ; 3 i } Nom :........................ DS Préom :..................... Devoir o 7 Mars 6.../... Le soi et la rédactio serot pris e compte das la otatio. Faites des phrases claires et précises. Le barème est approximatif.

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009

Correction du baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009 Correctio du baccalauréat S Podichéry 6 avril 009 EXERCICE 7 poits La foctio f est défiie sur l itervalle [0 ; + [ par : f (x)=xe x. Partie. a. O remarque que, pour tout x> 0, f (x)= x x e. x lim x + x

Plus en détail

ESTIMATION Exercices

ESTIMATION Exercices ESTIMATION Exercices EERCICE : Les variables aléatoires cosidérées das cet exercice sot défiies sur u espace probabilisable, AP, Soit a u réel strictemet positif et ue variable aléatoire de loi uiforme

Plus en détail

1 Présentation du jeu.

1 Présentation du jeu. Présetatio du jeu.. Les règles du jeu. Le touroi est u jeu comportat ue suite de maches (appelées duels ) opposat deux joueurs, jamais plus. Les joueurs vot etrer e jeu successivemet, tat qu aucu d etre

Plus en détail

France métropolitaine Enseignement spécifique

France métropolitaine Enseignement spécifique Frace métropolitaie 202 Eseigemet spécifique EXERCICE 3 (6 poits (commu à tous les cadidats Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie

Plus en détail

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même.

Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même. CCP 8. Filière MP. Mathématiques. Corrigé pour serveur UPS par JL. Lamard (jea-louis.lamard@prepas.org I. Gééralités. Pour > la série défiissat F coverge absolumet, pour < elle coverge par le critère spécial

Plus en détail

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2

Échantillonnage. I Rappels sur les lois usuelles 2 BTS DOMOTIQUE Échatilloage 2008-2010 Échatilloage Table des matières I Rappels sur les lois usuelles 2 II Approximatios de la loi biomiale 2 II.1 Approximatio par la loi de poisso................................

Plus en détail

Probabilités générales

Probabilités générales Chapitre 4 termiale s Probabilités géérales Les probabilités (rappels) : ) Quelques otios de vocabulaire : Nous allos étudier selo quelle mesure u fait proveat du hasard peut être prévisible a) Ue expériece

Plus en détail

CORRIGÉ : MATH 2 ; MP ; Mines-ponts_2015

CORRIGÉ : MATH 2 ; MP ; Mines-ponts_2015 CORRIGÉ : MATH ; MP ; Mies-pots_05 A Norme d opérateur d ue matrice ) est u espace vectoriel ormé de dimesio fiie et S est u fermé boré de, c est doc u compact de L applicatio x Mx est u edomorphisme de

Plus en détail

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1

Correction Exercices sur les suites. Correction. un+1 = 0,2u n +0,6 u 0 = 1 Correctio Exercice 1 O cosidère la suite (v ) défiie par v 0 = 3 et pour tout 1, v +1 = v 2 3v +4. 1. Démotrer que la suite est croissate. v +1 v = v 2 4v +4 = (v 2) 2 0 quelque soit etier. Doc (v ) est

Plus en détail

B E et Bi Bj pour i j et si A est un evenement de E alors p(a) p(a B ) p(a B )... p(a B ) p(b ) p(a /B ) p(b ) p(a /B )... p(b ) p(a /B ).

B E et Bi Bj pour i j et si A est un evenement de E alors p(a) p(a B ) p(a B )... p(a B ) p(b ) p(a /B ) p(b ) p(a /B )... p(b ) p(a /B ). Rappel : (E,p(E),p) est u espace probabilisé fii. O a: p(e), p( ), p(a) p(a), p(a B) p(a) p(b) p(a B) Probabilité coditioelle : A et B sot deux évèemets tels que p(b). p(a B) p(a / B) et doc p(a B) p(b)

Plus en détail

Existence de la fonction exponentielle

Existence de la fonction exponentielle Eistece de la foctio epoetielle O cosidère les suites réelles (u ) et (v ) défiies pour tout 1 par : u () = 1+ et v () =. La démarce est alors la suivate : Démotrer que les deu suites sot adjacetes et

Plus en détail

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques

Séries entières. Préparation au Capes de Mathématiques Séries etières Préparatio au Capes de Mathématiques I - Covergece des séries etières Notatios Pour tout élémet r de R +, o ote D r = fz 2 C / jzj < rg et D r = fz 2 C / jzj rg Déitio 1 O appelle série

Plus en détail

Variables aléatoires. Exercices

Variables aléatoires. Exercices Variables aléatoires Exercices 04-05 Les idispesables Loi d ue variable aléatoire, espérace et variace O répète idéfiimet le lacer d u dé équilibré à 6 faces Soit la variable aléatoire doat la valeur du

Plus en détail

CH V : Variables aléatoires - généralités

CH V : Variables aléatoires - généralités CH V : Variables aléatoires - gééralités I. Notio de variable aléatoire réelle Soit (Ω, A ) u espace probabilisable. O dit que X est ue variable aléatoire réelle défiie sur (Ω, A ) si : (i) X est ue applicatio

Plus en détail

Développement en série de Fourier

Développement en série de Fourier [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le septembre 6 Eocés Développemet e série de Fourier Exercice [ 95 ] [Correctio] Soit f ue foctio cotiue périodique. O suppose que la série de Fourier de f coverge

Plus en détail

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites

Opérations sur les variables aléatoires Lois limites Opératios sur les variables aléatoires Lois limites A. Idépedace de deux variables aléatoires. Exemple 1. Pour améliorer le stockage d u produit u supermarché fait ue étude sur la vete de packs de 6 bouteilles

Plus en détail

Exercices sur le raisonnement par récurrence - Corrigé

Exercices sur le raisonnement par récurrence - Corrigé Exercices sur le raisoemet par récurrece - Corrigé Arithmétique 1) Motrer, pour tout etier aturel, que 1 est divisible par 3. O cosidère la propriété : Quelque soit l etier, il existe u etier k tel que

Plus en détail

Épreuve écrite d analyse et probabilités

Épreuve écrite d analyse et probabilités Épreuve écrite d aalyse et probabilités Notatios et défiitios Le problème traite de certaies propriétés cocerat les racies de polyômes dot les coefficiets sot aléatoires. Das tout le problème, l espace

Plus en détail

Composition de Mathématiques D (U)

Composition de Mathématiques D (U) École Normale Supérieure Cocours d admissio 205 Filière MP Compositio de Mathématiques D (U) (Durée : 6 heures) L utilisatio des calculatrices est iterdite Sujet saisi par Michel Quercia (michel.quercia@prepas.org)

Plus en détail

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS

Exercices d oraux de la banque CCP Corrigés BANQUE PROBABILITÉS Exercices d oraux de la baque CCP 204-20 - Corrigés BANQUE PROBABILITÉS EXERCICE 96 (a La variable aléatoire X est régie par ue loi biomiale E effet, expérieces idetiques et idépedates (car les tirages

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable. k n) X k (1 X) n k. Exo7 Suites et séries de foctios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015

CORRIGÉ : MATH 1 ; MP ; Mines-ponts_2015 CORRIÉ : MATH 1 ; MP ; Mies-pots_15 A. Opérateur de Volterra 1) Soiet f, g E, c est clair que Vf et V f sot deux primitives de f. Vf, g / Vf xgx / Vf xv g x Vf xv gx / et Vf, g / fxv gx f, V g. Vf xv gx

Plus en détail

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio

Plus en détail

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques

Université Denis Diderot (Paris VII) MP 3. Quelques exercices corrigés Suites et séries numériques Uiversité Deis Diderot (Paris VII) 006-007 MP 3 Quelques exercices corrigés Suites et séries umériques Das les pages qui suivet ous proposos la correctios de quelques exercices de la feuille sur les suites

Plus en détail

Chaînes de Markov jeudi 7 novembre 2013

Chaînes de Markov jeudi 7 novembre 2013 Chaîes de Markov jeudi 7 ovembre 203. Opératios sur les chaîes de Markov. Soit (X ) N et (Y N ) deux chaîes de Markov d espaces d états respectifs X et Y, et de matrices de trasitios respectives P et Q.

Plus en détail

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur

Exo7. Les rationnels, les réels. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur Exo7 Les ratioels, les réels Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Cocours d'admissio sur classes préparatoires MATHEMATIQUES Optio scietifique Vedredi 3 mai 5 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qualité

Plus en détail

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A

AVRIL 2013 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie A AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie A CORRIGE DE LA ère COMPOSITION DE MATHEMATIQUES Eercice. Calculer, e, la dérivée de : Arc ta( ) Soit f ( ) Arc ta( ), alors f ( ) Arc ta( )

Plus en détail

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ).

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue. x ln(1 + x 2x 2 ). Colle PC Semaie 3 0-03 Séries Etières Voir : http://www.mimaths.et/img/pdf/s5.pdf http://www.mimaths.et/img/pdf/sem5.pdf EXERCICE :. Doer u exemple de série etière de rayo de covergece π.. Détermier le

Plus en détail

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u

Partie B u. 4 Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n 0, u Exercice 1 (6 poits) Commu à tous les cadidats O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle [ 0 ; + [ par : f (x) = 5 l ( x ± 3 ) x. 1. a. O appelle f ' la foctio dérivée de la foctio f sur

Plus en détail

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne.

1 Séries numériques. 1.1 Généralités. Dans toute cette section, si cela n est pas précisé, E désignera l espace R m, m 1, et la norme euclidienne. 1 Séries umériques Das toute cette sectio, si cela est pas précisé, E désigera l espace R m, m 1, et la orme euclidiee. 1.1 Gééralités Défiitio 1.1. Soit (x ) N ue suite de E et pour chaque N, o défiit

Plus en détail

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

( 2) e x. x + d x. Donner une interprétation graphique de cette intégrale. EXERCICE : (6 poits) Commu à tous les cadidats Les deux parties de cet exercice sot idépedates. Partie A O cosidère l équatio différetielle (E) : y ' + y e x. ) Motrer que la foctio u défiie sur l esemble

Plus en détail

1 Définition et premiers exemples

1 Définition et premiers exemples Master Eseigemet Aalyse 1 2015-2016 Uiversité Paris 13 Devoir maiso d aalyse Le but de ce petit problème est d étudier les foctios covexes. À partir de la défiitio géométrique, o démotrera les propriétés

Plus en détail

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x

x 0 h a (x) ln (2 a ) h a 2 a Justifier, par le calcul, le signe de h' a (x) pour x appartenant à ] 0 ; + [. b. Rappeler la limite de ln x x EXERCICE (6 poits) Commu à tous les cadidats Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] ; + [ par f () = l Pour tout réel a strictemet positif, o défiit sur ] ; + [ la foctio g a par g a () = a O ote C

Plus en détail

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann

Corrigé du problème: autour de la fonction zeta alternée de Riemann Corrigé du problème: autour de la foctio zeta alterée de Riema I Gééralités Pour x >, la suite décroît vers, doc la série coverge par le critère spécial des séries alterées Pour x, e ted pas vers, ce qui

Plus en détail

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites

Chapitre 4: Croissance, divergence et convergence des suites CHAPITRE 4 CROISSANCE ET CONVERGENCE 43 Chapitre 4: Croissace, divergece et covergece des suites 4.1 Quelques défiitios Défiitios : Ue suite est croissate si chaque terme est supérieur ou égal à so précédet

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Master Métiers de l Eseigemet, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 202/203 ANALYSE 2 Fiche de Mathématiques 4 - Séries umériques Soit E u espace vectoriel sur le corps K = R ou C Pour toute famille fiie

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( )

Terminale S Chapitre 2 : Fonctions, continuité et TVI Page 1 sur 5 ( ) = ( ) Termiale S Chapitre : Foctios, cotiuité et TVI Page sur 5 Ce que dit le programme : Défiitio Soiet f ue foctio défiie sur u itervalle I de R et a = O dit que f est cotiue e a si lim f x f a O dit que f

Plus en détail

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34

M : Zribi 4 ème Sc Exercices. Série 34 Série ème Sc Exercices Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l'ure : - si la boule tirée est blache, o la remet das

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

Limites de suites et de fonctions

Limites de suites et de fonctions TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme

Plus en détail

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )]

Questions de cours. tend vers 0, alors que la série harmonique 1. v n = ln n La série u n est convergente, et la série [ ( )] PC - DS N 6 - U corrigé Questios de cours QC..a L assertio a. est fausse. Par exemple, la suite + ted vers 0, alors que la série harmoique + est divergete. QC..b L assertio b. est vraie. Supposos que la

Plus en détail

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie.

D.S. nº4 : Suites, Probabilités, Complexes, exponentielle. Samedi 15 décembre 2012, 3h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à rendre avec la copie. D.S. º4 : Suites, Probabilités, Complexes, expoetielle TS1 Samedi 15 décembre 01, h, Calculatrices autorisées. Ce sujet est à redre avec la copie. Nom :.................... Préom :................. Commuicatio

Plus en détail