Autour de la loi de Poisson

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1 Agrégatio Itere de Mathématiques Thierry Champio séace du 25 ovembre 2016 Autour de la loi de Poisso Notatios - Itroductio Das tout ce problème, (Ω, T, P) est u espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires cosidérées ici sot des variables aléatoires défiies sur Ω. Si X est ue telle variable aléatoire, o ote E(X) et V(X) l espérace et la variace de X lorsque celles-ci existet. Pour N et p ]0, 1[ o otera B(p) la loi de Beroulli de paramètre p et B(, p) la loi biomiale de paramètres et p. O rappelle que la variable aléatoire X suit B(p) si elle pred les valeurs 0 et 1 avec P(X = 0) = 1 p et P(X = 1) = p et que Y suit B(, p) si elle pred les valeurs etières de 0 à avec {0,..., }, P(X = ) = ( ) p (1 p) 1 Pour λ > 0 o ote P(λ) la loi de Poisso de paramètre λ. O rappelle que X suit P(λ) si elle pred toutes les valeurs de N avec N, P(X = ) = λ! e λ Si X est ue variable aléatoire preat ses valeurs das N, alors sa foctio géératrice est la foctio g X : t E(t X ) = 0 P(X = )t. Das la première partie o révise le programme cocerat la loi de Poisso et so utilisatio comme approximatio de la loi biomiale. Das la deuxième partie o obtiet ue estimatio plus fie de cette approximatio. Das la troisième partie o étudie quelques propriétés e lie avec la foctio géératrice. 1 Loi de Poisso - révisios 1. Soit λ > 0 et Z ue variable aléatoire suivat P(λ), calculer E(Z) et V(Z).

2 2. Soit X et Y deux variables aléatoires idépedates suivat respectivemet les lois P(λ) et P(µ) pour λ et µ strictemet positifs. Démotrer que X + Y suit la loi P(λ + µ). 3. Approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires telle que X suit la loi B(, p ) pour tout 1, où (p ) 1 est ue suite das ]0, 1[. O suppose que la suite ( p ) coverge vers λ > 0. a) Motrer que la suite (X ) coverge e loi vers ue variable aléatoire Z suivat P(λ), c est-à-dire N, lim P(X = ) = λ +! e λ b) Démotrer que lim E(X ) = E(Z) et lim V(X ) = V(Z). + + c) Applicatio. O suppose qu il apparaît e moyee deux étoiles filates toutes les 5 miutes das le ciel d ue uit de la première semaie d août. O choisit au hasard u itervalle de 5 miutes. Soit Y la variable aléatoire associat à l itervalle de 5 miutes choisi le ombre d étoiles filates observées. Pour détermier la loi de probabilité de Y, o "discrétise" le problème : o partage les ciq miutes e itervalles de temps suffisammet petits pour coteir au plus ue apparitio d étoile filate, et o suppose que les apparitios des étoiles filates au cours du temps sot des évéemets idépedats. Aisi, est "grad" et la probabilité d apparitio d ue étoile filate das l u des itervalles de temps est de l ordre de 2. Doer ue approximatio des probabilités suivates : P(Y = 0) ; P(Y = 1) et P(Y 2) Quelle serait la probabilité de voir au mois 2 étoiles filates e 10 miutes? 2 Covergece forte de la loi biomiale vers la loi de Poisso 1. Soit p [0, 4 ], détermier la loi du vecteur aléatoire (X, Y ) tel que 5 (X, Y ) pred les valeurs (0, 0), (0, 1), (1, 1) et (, 0) pour tout 2 (remarque : (X, Y ) e pred pas la valeur (1, 0)), la loi margiale X est P(p) et la loi margiale Y est B(p). O otera M(p) la loi de ce vecteur aléatoire. Déduire du calcul précédet que P(X Y ) 2 p 2 e utilisat e p 1 p. 2. Soit (X, Y ) u vecteur aléatoire preat ses valeurs das N 2 et A ue partie de N, motrer que P(X A) P(Y A) P(X Y )

3 3. Soit (X 1, Y 1 ),..., (X, Y ) des vecteurs aléatoires suivat respectivemet les lois M(p 1 ),..., M(p ) avec p i [0, 4 ] pour tout i. Soit A ue partie de N, motrer 5 que P(X X A) P(Y Y A) 2 p 2 i i=1 4. Soit λ > 0 et u etier tel que 4 5λ. Soit X et Z deux variables aléatoires suivat respectivemet la loi B(, λ ) et la loi P(λ). a) Soit A ue partie de N, motrer que P(X A) P(Z A) 2 λ2 b) Doer ue coditio sur et p pour que l approximatio de la loi B(, p) par la loi P(p) soit correcte à 10 2 près pour toute valeur {0,..., }. c) E cosidérat les esembles E = { : P(X = ) P(Z = )} et N \ E, motrer que ( ) p (1 p) 1 λ! e λ Loi de Poisso et foctio géératrice Das cette partie, X est ue variable aléatoire à valeurs etières. λ! e λ 4 λ2 1. Démotrer que la foctio géératrice de X a u rayo de covergece supérieur ou égal à Das cette questio, o suppose que X suit la loi P(λ) pour u certai λ > 0. Calculer la foctio géératrice g X de X. 3. Démotrer que 0, P(X = ) lim if t 1 g X (t) g X (1) E déduire que X admet ue espérace si et seulemet si g X admet ue dérivée à gauche g X(1 ) e 1, et que das ce cas E(X) = g X(1 ). 4. Retrouver à l aide des questios précédetes l espérace de la loi P(λ). 5. Démotrer que X admet ue variace si et seulemet si g X admet ue dérivée secode à gauche g X(1 ) e 1, et que das ce cas V(X) = g X(1 ) + g X(1 ) (g X(1 )) 2. Retrouver la variace de la loi P(λ). 6. O suppose que les variables aléatoires X et Y sot idépedates, démotrer que g X+Y = g X g Y. Retrouver le résultat de la questio 1.2.

4 4 Correctio succicte. Les parties 1 et 3 sot classiques et sot basées essetiellemet sur du cours. O peut doc e trouver l essetiel das les ouvrages usuels (Cottrell et al., Datzer, Ouvrard, etc), à l exceptio de l applicatio 3c de la partie 1. La partie 2 est plus origiale et précise la covergece de la loi biomiale vers la loi de Poisso. 4.1 Correctio de la partie 1 : Loi de Poisso - révisios 1. Les séries à termes positifs P(Z = ) et 2 P(Z = ) sot covergetes, doc Z admet ue espérace et ue variace, et o trouve : E(Z) = V(Z) = λ. 2. Puisque X et Y suivet des lois de Poisso, elles preet leurs valeurs das N, et comme elles sot idépedates o obtiet pour tout etier : P(X + Y = ) = P(X = et Y = ) = = 1 ( )! e (λ+µ) λ µ = λ! e λ µ ( )! e µ (λ + µ) e (λ+µ).! Ceci état valable pour tout N, o e déduit que X + Y suit la loi P(λ + µ). 3. Approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso. Soit (X ) 1 ue suite de variables aléatoires telle que X suit la loi B(, p ) pour tout 1, où (p ) 1 est ue suite das ]0, 1[. O suppose que la suite ( p ) coverge vers λ > 0. a) Soit N, pour tout o a ( ) P(X = ) = p (1 p ) = ( p ) ( 1 p ) ( 1)... ( + 1) (1 p! ) or o a ( 1 p ) = exp ( p (1 + o(1))) e λ et comme est fixé et p 0 o obtiet bie lim P(X = ) = λ +! e λ. b) Pour tout o a E(X ) = p et V(X ) = p (1 p ), doc o a lim E(X ) = + λ = E(Z) et lim V(X ) = λ = V(Z). + c) D après l éocé, Y suit la loi B(, 2 ), et comme est supposé grad o peut approcher cette loi par la loi de Poisso P(2), o trouve doc P(Y = 0) e 2 = 13, 5% P(Y = 1) 2e 2 = 27% P(Y 2) = 1 (P(Y = 0) + P(Y = 1)) 1 (e 2 + 2e 2 ) = 59%

5 Das u itervalle de 10 miutes il y a 2 petits itervalles, das ce cas le ombre d étoiles filates observées suit B(2, 2 ) ce qu o peut approcher par la loi P(4) et doc la probabilité demadée est eviro 1 (e 4 + 4e 4 ) = 91%. 4.2 Correctio de la partie 2 : Covergece forte de la loi biomiale vers la loi de Poisso Cette partie est tirée de l exercice 406 du livre Itégratio et probabilités - Aalyse de Fourier de Gérard Letac (Masso, 1997). 1. Comme la margiale X suit P(p) o a : P [(X, Y ) = (0, 0) ou (X, Y ) = (0, 1)] = e p P [(X, Y ) = (1, 1)] = pe p 2, et comme Y suit B(p) o a P [(X, Y ) = (, 0)] = λ! e p et doc o e coclut que P [(X, Y ) = (0, 1) ou (X, Y ) = (1, 1)] = p P [(X, Y ) = (0, 1)] = p p e p et P [(X, Y ) = (0, 0)] = (1 + p)e p p e utilisat le fait que les évèemets ((X, Y ) = (0, 0)), ((X, Y ) = (0, 1)) et ((X, Y ) = (1, 1)) sot icompatibles. Puisque p [0, 4 ] o a bie que ces deux 5 probabilités sot positives. Efi o remarque pour ce vecteur aléatoire o a P(X Y ) = 1 P (X = Y ) = 1 P [(X, Y ) = (0, 0) ou (X, Y ) = (1, 1)] = 1 ((1 + p)e p p + pe p ) 1 (1 + 2p)(1 p) + p = 2p O remarque que (X A) est iclus das l évèemet (Y A ou X Y ) : e effet si X(ω) A alors soit X(ω) = Y (ω) et doc Y (ω) A, soit X(ω) Y (ω). Par coséquet doc P(X A) P(Y A ou X Y ) P(Y A) + P(X Y ) P(X A) P(Y A) P(X Y ) E échageat les rôles de X et Y o obtiet l iégalité souhaitée. Autre maière d écrire la même preuve : O calcule P(X A) = P [(X A et X = Y ) ou (X A et X Y )] = P [(Y A et X = Y ) ou (X A et X Y )] P(Y A) + P(X Y ) et o coclut de même.

6 3. O applique les deux questios précédetes pour calculer P(X X A) P(Y Y A) P((X X ) (Y Y )) P((X 1 Y 1 ) ou... ou (X Y )) P(X i Y i ) 2 i=1 i=1 p 2 i i=1 où la deuxième iégalité découle du fait que (X X )(ω) (Y Y )(ω) implique que X i (ω) Y i (ω) pour au mois u idice i. 4. a) O applique le résultat de la questio précédete avec des variables aléatoires X 1,..., X idépedates suivat B( λ) et Y 1,..., Y idépedates suivat P( λ), et telles que chaque couple (X i, Y i ) suit M( λ). Das ce cas X = X X suit B(, λ) et Z = Y Y suit P(λ) et o a ( ) 2 λ P(X A) P(Z A) 2 = 2 λ2 b) E preat λ = p das ce qui précède, il suffit d avoir 2 p c) O applique la questio 4a à l esemble E = { : P(X = ) P(Z = )} et o obtiet 2 λ2 P(X E) P(Z E) = (P(X = ) P(Z = )) E = (( ) ) p (1 p) 1 λ E! e λ = ( ) p (1 p) 1 λ E! e λ où o a utilisé la défiitio de E et le fait que E {0,..., }. E appliquat la questio 4a avec N \ E il viet 2 λ2 P(X E) P(Z E) = = 0 N\E = 0 N\E ( λ! e λ λ! e λ N\E ( ) )p (1 p) 1 ( ) p (1 p) 1 + O coclut e additioat ces deux iégalités. (P(Z = ) P(X = )) λ! e λ λ! e λ 4.3 Correctio de la partie 3 : Loi de Poisso et foctio géératrice 1. Pour t = 1, la somme de la série etière P (X = )t est covergete et de valeur 1 puisque X pred ses valeurs das N : la foctio géératrice de X a doc u rayo de covergece supérieur ou égal à 1.

7 2. Lorsque X suit P(λ) o trouve g X (t) = E(t X ) = e λ(t 1), et la foctio géératrice a u rayo de covergece ifii. 3. Soit 0 fixé, alors pour tout t [0, 1[ o a d où o déduit g X (t) g X (1) = P(X = ) P(X = ) lim if t 1 g X (t) g X (1) P(X = ) Aisi, si X admet pas d espérace, alors la série à termes positifs P(X = ) est divergete et g X est pas dérivable à gauche e 1. Par cotre, si X admet ue espérace alors cette série est covergete et pour tout t [0, 1[ o a g X (t) g X (1) = = =1 g X (t) g X (1) doc lim sup t 1 P(X = ) P(X = )(1 + t t 1 ) =1 P(X = ) (1) E(X). E passat à la limite quad + das g X (t) g X (1) (1) o obtiet E(X) lim if, et o coclut doc que das ce cas t 1 g X est dérivable à gauche e 1 et E(X) = g X(1 ). 4. Si X suit la loi P(λ) alors sa foctio géératrice g X : t e λ(t 1) est dérivable e 1 de dérivée λ, qui est bie l espérace attedue. 5. E raisoat de la même maière, o trouve les iégalités (pour t [0, 1[ ) =1 P(X = ) t 1 1 g X(t) g X(1) =2 P(X = ) ( 1) d où o déduit que X admet u momet d ordre 2 si et seulemet si g X admet ue dérivée secode à gauche g X(1 ) e 1, et que das ce cas g X(1 ) = P(X = ) ( 1) = V(X)+E(X) 2 E(X) = V(X) (g X(1 )) 2 +g X(1 ) 6. Soit t ] 1, 1[, alors o peut écrire + g X+Y (t) = P(X + Y = )t = P(X = et Y = )t =0 =0 = P(X = )P(Y = )t =0 = P(X = )t P(Y = )t = g X (t)g Y (t) =0

8 où o a utilisé l idépedace de X et Y et la formule du produit de Cauchy de deux séries covergetes. Cette égalité état vraie sur u voisiage de 0, o a bie g X+Y = g X g Y sur le disque de covergece commu. Das le cas où X suit P(λ) et Y suit P(µ) o obtie alors pour tout réel t g X+Y (t)g X (t)g Y (t) = e λ(t 1) e µ(t 1) = e (λ+µ)(t 1) et doc X + Y suit la loi P(λ + µ).