Annexe E.1 : Introduction au logiciel Mathcad

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1 nnee E. : Inroducion u logiciel Mhcd Eemples de clculs vec Mhcd : Vous deve refire les eemples présenés ci-dessous vn de commencer l prie en lboroire. N'hésie ps à demnder de l'ide pour bien sisir les noions de bse de Mhcd. Pour fire des clculs vec Mhcd, vous pouve uiliser l plee rihméique de l fçon suivne : Choisir le menu ffichge Choisir l'opion Brres d'ouils Choisir l plee rihméique Vous devre uiliser les flèches de déplcemen, l brre d'espcemen, l souris e l ouche delee u besoin. Toue évluion requier le signe e oue définiion requier le smbole :. Voici quelques eemples que vous pouve compléer : ) 9 - Pour fire clculer l'epression, on doi per b) 9. c) cos π ( ) n π d) e 9 -. Noe : Pour obenir plus de décimles (qui es l'opion pr défu), on procède comme sui : Choisir le menu Form; Choisir l'opion Résuls ; Dns l cse Précision ffichée, per le nombre de décimles voulu. e) 9.99 f). ln( ). On peu ussi définir des vribles pour ensuie fire des clculs sur celles-ci. nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

2 Eemple : Pour fire pprîre :, il fu per l ouche «:» b c Voici quelques clculs possibles : b c b c b. c nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

3 nnee E. : Lboroire n : «Veceurs e mrices» Vous deve refire les eemples présenés ci-dessous vn de commencer l prie en lboroire. N'hésie ps à demnder de l'ide pour bien sisir les noions de bse de Mhcd. L prie du rvil prique ser effecuée individuellemen e ser à remere. Il es possible d'uiliser le logiciel Mhcd pour fire des clculs sur des veceurs e des mrices. Cerins clculs en lgèbre linéire peuven s'vérer sse fsidieu, en priculier vec les mrices. L'uilision du logiciel Mhcd perme de fire ces clculs rès rpidemen. Nous llons voir quelques eemples illusrn ce fi. Prie : Clculs vec les veceurs Pour Mhcd, un veceur es inerpréé comme une mrice n une seule colonne. Pr eemple le veceur ( ; ; ) s'écrir : Noe : Prene noe que oue définiion requier le smbole : Pour fficher le smbole :, on doi per l ouche «:» L plee Mrice éé uilisée pour produire ce veceur. Cee plee comprend oues les opérions qui seron présenées dns ce lboroire. Il es possible de fire cerines opérions (que vous connisse) sur les veceurs. Procédons à l'ide d'eemples. Soi les veceurs suivns :. b c d e.. Les longueurs des veceurs, b e e son :. e. b. Noe : Pour fire une évluion, on doi per e Mhcd procède lors u clcul voulu. nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

4 Le produi sclire de c e d ser : c d Les produis vecoriels b e b seron : b b vec Mhcd, on peu fcilemen fire plusieurs produis vecoriels. Pr eemple, ( b) (c d) ser : ( b) ( c d) Le produi mie (, b, c) ser : (b c) - Le veceur uniire / ser :... Il es à noer que Mhcd mémorise l dernière définiion d'une vrible ou d'une vleur. Pr eemple, si l'on défini un nouveu veceur (; ; ) que l'on rend uniire, on ur : e..9 nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

5 Il es évidemmen possible de combiner plusieurs opérions sur les veceurs e Mhcd les effecuer en respecn les prioriés de ces opérions. Voici un eemple : (( (b c)) d) b Il n'es ps obligoire de définir des veceurs à l'ide de vribles pour fire des clculs. L'eemple suivn monre une ure fçon de procéder oujours en uilisn l plee Mrice : Prie : Clculs vec les mrices Nous llons définir cerines mrices e effecuer des opérions sur ces dernières. 9 B C D L noion de l foncion «déerminn» es l même que celle déjà définie dns le cours. Pr eemple : e C Le déerminn de B ne se clcule ps. Si vous esse de fire ce clcul, vous ure un messge d'erreur. On peu ussi rnsposer ou inverser (si possible) une mrice. Pr eemple: B T D nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

6 Si on pe : cee commnde vous donner un messge d'erreur. Rppelons qu'une mrice singulière un déerminn nul e, pr conséquen, elle n'es ps inversible. Les ures opérions déjà définies sur les mrices s'effecuen fcilemen vec Mhcd. Pr eemple : C 9 B. 9 D On peu églemen fire une «évluion smbolique» vec cerines vribles. Pr eemple : 9 i i j k k Pour fire ce clcul, il fu choisir l'opion Évluer smboliquemen du menu Smbolique. Il es possible d'uiliser l méhode de Crmer vec Mhcd. Il fudr bien sûr uiliser les clculs de déerminns de fçon déque. Soi le ssème d'équions linéires suivn : On peu rouver, e de l fçon suivne : Rppelons que l méhode de Crmer es vlble pour les ssèmes dmen une soluion unique seulemen. nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

7 nnee E. : Trvil prique Ce premier rvil compe pour % de l noe finle. C es un rvil individuel e vous ve droi à oue documenion. Vous deve remere vore disquee bien idenifiée à l fin du cours. Vous suvegrde ce rvil sous le nom : Trvil. Bonne chnce! Vous deve uiliser des ones de ee pour bien idenifier les réponses de ces problèmes. Il n'es ps nécessire de recopier les énoncés des eercices demndés. Voici commen créer une one de ee : Choisir le menu Inserion; Choisir l opion one de ee; ou Uiliser le rccourci de clvier ". À l ide du logiciel Mhcd, rouver les réponses u eercices demndés.. Définir les veceurs suivns selon l convenion uilisée pour Mhcd : r ( ;; ) b r ( ; ; 9) c r ( ; ;) d r (;; ) e r (;;) f r ( ;; ) Effecuer les clculs demndés ( poins). r r r r ) ( c) ( d e) r r r r b) b ( d e) f r r c) Rendre le veceur ( b c) uniire. d) ( r c r )( f r ) e) Trouver le volume du prllélépipède formé pr les veceurs d r, e r e f r. nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

8 nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique. f) Es-ce que les veceurs r, c r e e r son coplnires (jusifier)?. Soi les mrices suivnes : 9 B C 9 D Trouver l réponse pour chcun des clculs demndés ( poins). ) b) B c) D - CD d) D - e) C - D - f) (B) g) B h) B. Résoudre les ssèmes d'équions suivns à l'ide de l règle de Crmer ( poins) : ) b)

9 r r r. Dns l bse nurelle B { i ; j; k} e c r ( ; ; ). Trouver ( poins) : r r r ) l longueur du veceur b c b) l projecion de r sur c r considérons les veceurs r ( ;; ) b r ( ;; ) nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

10 nnee E. : Réponses u rvil prique. b c d e f 9 ) ( c) ( d e) 9 b) b ( d e) f c) ( b c) b c... d) ( c. ). f e) V Le volume du prllélépipède es donné pr l vleur du déerminn de V : V u nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

11 f) P P On voi que le produi mie des veceurs considérés ne donne ps. Donc, ces veceurs ne son ps coplnires.. 9 B C D 9 ). b) B. c) D. CD..9 d) D nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

12 e) C. D f) B. ( ) T g) B T. T h) rng( ). ) X Y Z X Y Z b) X Y Z nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

13 nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique. T X Y Z T. ) b. c..9 b) c. c. c b

14 nnee E. : Lboroire n «Ssèmes d équions» PRTIE : EXEMPLES À COMPLÉTER EN CLSSE Résoluion d'un ssème d'équions Mhcd vous perme de résoudre un ssème comporn jusqu'à équions e inconnues. Voici quelques eemples illusrn l fçon de procéder pour résoudre une ou des équions : Eemple : Résoluion d'un ssème d'équions linéires (n équions, n inconnues). Résoudre le ssème suivn à l'ide de l foncion linss(,b) inégrée dns Mhcd : Nous llons définir l mrice des coefficiens relive à ce ssème d'équions : Le veceur représenn les consnes es donné pr b où : b nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

15 L foncion linss(,b) donne l soluion du ssème d'équions : linss (, b ) Noe : L foncion linss(,b) es vlide uniquemen pour un ssème de n équions à n inconnues. Pour ou ure ssème d'équions linéires, il es préférble d'uiliser l mrice ugmenée. Eemple : Résoluion d'un ssème d'équions à l'ide de l mrice ugmenée. Soi le ssème d'équions linéires suivn : L mrice des coefficiens es : Le veceur des consnes es : b Vérifions le rng de à l'ide de l foncion rng() : rng ( ) On peu produire l mrice ugmenée du ssème à l'ide de l foncion ugmen(,b). ppelons cee mrice C : C : ugmen (, b ) e C Le rng de C es : rng C ( ) Le ssème dme donc une infinié de soluions. nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

16 L foncion rref donne l forme esclier d'une mrice e nous perme d'idenifier les condiions requises pour les soluions du ssème. Pour l mrice C, rref(c) ser : rref ( C ) Donc - e - On peu uiliser l méhode de l mrice inverse pour rouver l soluion unique de cerins ssèmes d'équions. Eemple : Soi le ssème d'équions : Comme le ssème es équivlen à X B, on que X -*B. Définissons l mrice des coefficiens : Définissons l mrice des consnes : B Effecuons le produi mriciel nous donnn les vleurs des vribles :. B nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

17 nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique. Eercices à compléer : Résoudre les ssèmes suivns vec l foncion linss(,b) du logiciel Mhcd :... Résoudre les ssèmes suivns vec l méhode de l mrice ugmenée de Mhcd :. Résoudre le ssème suivn à l'ide de l mrice ugmenée :. v s v s v s v s v s v s

18 Réponses :. e 9., e. /, /, e /. ; ; ; ; s ; v. ; nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

19 nnee E. : Trvil prique Ce deuième lboroire compe pour % de l noe finle. C es un rvil individuel à remere une semine vn l fin de l session. Suvegrder le rvil sous le nom : Trvil. Seule l disquee de rvil es à remere e elle doi êre cliremen idenifiée. Vous deve répondre u eercices suivns à l'ide du logiciel Mhcd. Vous rville comme si vous n'vie ps de clculrice. Il n'es ps nécessire de recopier les énoncés des eercices. Ces eercices son pris dns le mnuel scolire : Gilles Ouelle (99). lgèbre linéire, Édiions du Griffon d'rgile, Se-Fo, p. Eercices à fire : p.9 n ( poins) n ( poins) n 9 ( poins) p.9 n ( poins) n ( poins) n ( poins) p.9 n ( poins) n ) ( poins) n b) ( poins) n ) ( poins) n b) ( poins) n ( poins) n ( poins) Présenion e orhogrphe ( poins) Vous deve cliremen idenifier vos soluions à l'ide de ones de ee. Voici deu eemples de soluions ccepbles : Eemple (pge 9, n ) : Trouver les équions d'une droie pssn pr le poin P : (,, -) e prllèle à chcun des plns d'équions : e nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

20 nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.. n m n m 9 vec le poin (,, -) on rouve : : Eemple (p. 9, n ) Trouver des équions d'une droie pssn pr le poin milieu du segmen joignn les poins : (,, ) e B : (, -, ) e perpendiculire à chcune des droies. : e :. B M B M n m b n m b b 9 Donc, l droie voulue es :

21 nnee E.: Réponses u rvil prique. ) Les mrices ssociées u ssème d'équions son : linss(, ). b) n sin( ) n. n. sin( ). rcsin (. ) 9. deg rcsin ( sin ( ) ) 9.9 deg. n n 9. n n 9 m 9 m Donc, l droie voulue es : n m b n m nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

22 Le veceur es prllèle à l droie e le veceur b es prllèle à l droie. Vérifions leur produi sclire : b Donc, les droies e son perpendiculires.. n m n m le veceur es prllèle à l droie. p q b p q le veceur b es prllèle à l droie. b Donc, les droies e son perpendiculires.. b b L droie voulue es : Les mrices pour rouver le poin demndé son : linss(, ) nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

23 n m n m Le cosinus de l'ngle enre les deu droies es : ( n m ) n m. e l'ngle es : rccos (. ).9 deg. ) P B P D B D.. b) P B P B D B D nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

24 . ) P P V P P b D V.( b) b D.. b) Trouvons un poin de l droie vec : C c linss ( C, c) Trouvons un poin de l droie vec : C c linss ( C, c) B V B m n p q m n b p q D V.( b) b D. nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.

25 . Des équions de l droie, on ire les équions suivnes : En enn compe de l'équion du pln, on les mrices suivnes concernn le ssème d'équions : 9 linss (, ). B M B M Le veceur prllèle à l droie es : Le veceur b prllèle à l droie es : m n b m n b 9 Le veceur c prllèle à l droie cherchée es : c b c L droie cherchée es : nnee de l civié Iniiion u logiciel mhémique Mhcd, noions d lgèbre linéire civié rélisée u Cégep de l biibi-témiscmingue pr Dniel Richie, édiée pr le Su qunique.