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1 Uiversité Pierre et Marie Curie Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 8 Suites de variables aléatoires.. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Détermier pour chacue des covergeces suivates à quelle coditio sur la suite A elle a lieu. a. La suite A coverge e probabilité vers 0. b. La suite A coverge das L 2 vers 0. c. La suite A coverge presque sûremet vers 0. Solutio de l'exercice. a. Supposos que A coverge vers 0 e probabilité. Alors e particulier, P A > = PA 2 ted vers 0. Réciproquemet, si PA coverge vers 0, alors pour tout ε > 0, P A > ε PA coverge vers 0. Fialemet la coditio est PA = 0. b. O a E[ A ] = PA. La coditio est doc PA = 0. c. Soit ω Ω. La suite A ω coverge vers 0 si et seulemet si elle est statioaire, égale à 0 à partir d'u certai rag. Ceci a lieu si et seulemet si ω appartiet à if A c, qui est le complémetaire de sup A. Aisi, la covergece a lieu presque sûremet si et seulemet si P sup A = Soit X ue suite de variables aléatoires. Motrer que si la suite X coverge simultaémet vers deux variables aléatoires X et Y, alors X = Y presque sûremet, et ceci quel que soit le mode de covergece vers X et quel que soit le mode de covergece vers Y, parmi : covergece presque sûre, covergece das L p avec p {, 2}, covergece e probabilité. Solutio de l'exercice 2. Tous les modes de covergece cosidérés etraîet la covergece e probabilité, qui est le plus faible d'etre eux. Aisi, o a au mois covergece e probabilité de la suite X vers X et Y simultaémet. Motros que pour tout ε > 0, o a P X Y > ε = 0. E eet, o a, pour tout, P X Y > ε P X X > ε 2 ou X Y > ε 2 P X X > ε + P X Y > ε 2 2. Lorsque ted vers +, le membre de droite ted vers 0 par déitio du fait que X coverge e probabilité vers X et Y, doc P X Y > ε = 0. O peut maiteat écrire PX Y = P X Y > = P X Y > = 0.

2 Aisi, X et Y sot égales presque sûremet. 3. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Soiet X, X, X 2,... : Ω, F, P R des variables aléatoires réelles. O suppose que la suite X coverge e probabilité vers X. a. Motrer qu'il existe ue suite strictemet croissate d'etiers < 2 <... telle que pour tout o ait P X X > 2. b. Pour tout, o pose Y = X o dit que la suite Y est extraite de la suite X. Motrer que la suite Y coverge presque sûremet vers X. O a motré que d'ue covergece e probabilité o pouvait extraire ue covergece presque sûre. Solutio de l'exercice 3. a. Soit. Supposos qu'o a costruit les premiers termes < < de la suite. Comme P X X > 0 lorsque, o peut trouver = > tel que P X X > 2. b. O remarque que K K = P X X > = P X X > < +. Or, par le théorème de covergece mootoe, P X X > = K [ = E K = K P X X > = ] [ K = { X X > } = E K E [ K ] { X X > } = { X X > } Comme cette espérace est ie, o e déduit que la variable aléatoire { X X > } est ie presque sûremet. Autremet dit, il y a seulemet u ombre i dépedat de ω d'idices tels que X X >. O e déduit qu'avec probabilité, pour tout assez grad X X. E particulier, X X 0 quad presque sûremet. ]. 2

3 4. Lemme de Borel-Catelli. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Soit A ue suite d'évéemets telle que PA < +. Motrer que P sup A = 0. O rappelle que sup A := A = {ω Ω : { : ω A }estifii}. Solutio de l'exercice 4. A est décroissat au ses de l'iclusio e, et doc, quad croît vers l'ii, P A P A = P sup A. Or, o a de maière évidete P A PA. Comme la série des PA est sommable, le membre de droite de cette iégalité, qui est la queue de la série, ted vers 0 lorsque ted vers l'ii. Doc le membre de gauche de l'iégalité dot o a dit juste avat qu'il tedait vers P sup A ted aussi vers 0, ce qui prouve le résultat demadé par uicité de la ite d'ue suite de réels. 5. Soit X ue variable aléatoire positive sur u espace de probabilités Ω, F, P. a. Motrer que P X < + < + E[X] < +. 0 b. Motrer que PX < + E[X] < +. Solutio de l'exercice 5. a. Pour tout etier 0, o a, presque sûremet, X<+ X X<+ + X<+. Par positivité de l'espérace, o e déduit que P X < + E[X X<+ ] + P X < +. 3

4 O somme maiteat les iégalités précédetes sur 0 pour obteir P X < +. P X < + E[X] + 0 Ce qui etraie de maière évidete le résultat demadé chaque iégalité doat u ses de l'équivalece. b. O cosidère la série double a, 0, 0 := P X < + <. E commeçat par sommer e, o obtiet : P X < a, = 0 P X < + sum 0 < = 0 E sommat d'abord e puis e, o trouve : 0 a, = P X < + = PX + = 0 0 > 0 PX. Comme la série est à termes positifs, l'ordre de sommatio 'a pas d'importace et o peut idetier les deux résultats. O coclut e utilisat le résultat de la questio précédete. 6. Soit X ue suite de variables aléatoires toutes de même loi. a. Motrer qu'o a X P 0. b. Motrer que si E[ X ] < +, alors X c. Motrer que si E[ X ] < +, alors X L p.s. 0. Étudier la réciproque. 0. Étudier la réciproque. Solutio de l'exercice 6. a. Comme les X sot de même loi, o a, pour tout ε > 0 et, X P > ε X = P > ε = P X > ε. Le membre de droite est la probabilité d'ue suite décroissate d'évéemets, qui ted, lorsque, vers P X > ε = P { X > ε} = P X = + = 0. b. Quad +, o a bie, e supposat E[ X ] < + [ ] [ ] X X E = E = E [ X ] 0. Réciproquemet, si o suppose toujours les X de même loi, alors X bie sûr que E[ X ] < + est ie. 4 L 0 etraie

5 c. O suppose E[ X ] < +. Soit ε > 0. Par le b. de l'exercice précédet appliqué à X = X /ε, o sait que e la série de terme gééral P X εp X ε est sommable. Par le lemme de Borel-Catelli, o e déduit que P sup{ X ε} = 0. Autremet dit, sur u évéemet A ε de probabilité est iclus das le complémetaire de sup{ X ε}, c'est-à-dire que N 0, N, X < ε. E particulier, sur A ε, sup X / ε. O pred ε = /, pour tout etier. Alors A / a aussi probabilité parce que so complémetaire est iclus das la réuio des complémetaires des A / qui est de probabilité ulle, et sur cet évéemet, o a sup X / = 0, ce qu'o voulait démotrer. La réciproque est fausse. E eet, soit X ue variable aléatoire réelle o itégrable. Alors le choix X := X pour tout fourit u cotre-exemple. 7. Soit X ue suite de variables aléatoires idépedates et toutes de carré itégrable. a. Motrer que pour tout et tout a R, o a E[X a 2 ] = E[X ] a 2 + VarX. b. E déduire que la suite X coverge e moyee quadratique vers ue costate a si et seulemet si o a les covergeces E[X ] = a et Solutio de l'exercice 7. a. O a VarX = 0. E[X a 2 ] = E[X E[X ] + E[X ] a 2 ] = VarX + 2E[X E[X ]E[X ] a] + E[X ] a 2. E sortat la costate E[X ] a de l'espérace du deuxième terme du membre de droite, o costate que celui-ci est ul, d'où le résultat. b. Supposos d'abord que E[X a 2 ] 0 lorsque. Alors, l'iégalité de Cauchy-Schwarz etraie que 0 E[X a] E[X a 2 ] 0. Par coséquet, VarX = E[X a 2 ] E[X ] a 2 0 lorsque. Réciproquemet, supposos que E[X ] = a et VarX = 0. 5

6 O coclut grâce à l'égalité démotrée au a., e remarquat que les deux termes du membre de droite tedet vers Soit X ue suite de variables aléatoires. Motrer que si la suite X coverge das L 2 vers ue variable aléatoire X, alors la suite X 2 coverge das L vers X 2. La réciproque est-elle vraie? Solutio de l'exercice 8. O suppose que la suite X coverge das L 2 vers ue variable aléatoire X. Par l'iégalité de Cauchy-Schwarz : 0 E[ X 2 X 2 ] = E[ X X X + X] E[X X 2 ] E[X + X 2 ]. Comme la orme 2 est sous-additive et cotiue, E[X + X 2 ] = X + X 2 X 2 + X 2 2 X 2. E particulier, cette suite est borée et, comme E[X X 2 ] 0 par hypothèse, o a bie E[ X 2 X 2 ] 0, autremet dit la suite X 2 coverge das L vers X 2. La réciproque est fausse. Il sut de predre X telle que PX = 0 < et X = X pour s'e covaicre. 9. Lemme de Borel-Catelli suite. Soit Ω, F, P u espace de probabilités. Soit A ue suite d'évéemets idépedats telle que PA = +. O veut démotrer que P sup A =. a. Motrer que pour tout réel x, o a l'iégalité + x e x. b. Motrer que pour tous etiers, m tels que m, o a P exp PA. A c c. E déduire que pour tout m, o a P A c = 0, puis coclure. Solutio de l'exercice 9. a. Il s'agit d'ue iégalité de covexité classique le graphe de l'expoetielle reste au dessus de sa tagete e x = 0. b. D'après le a. avec x = PA, o obtiet pour chaque etier, PA c = PA e PA. 6

7 O fait maiteat le produit de ces iégalités, pour = m,...,, ce qui doe, grâce à l'idépedace : P = PA c exp PA. A c c. O fait tedre vers l'ii das l'iégalité précédete. Pour le membre de gauche, o utilise la décroissace e de la suite d'évéemets A c. Pour celui de droite, o utilise l'hypothèse P Ac = 0. O obtiet alemet P A c = P A c = 0. E preat la réuio sur m des évéemets de probabilité ulle A c, o obtiet ecore u évéemet de probabilité ulle, qui est précisémet le complémetaire de supa. D'où le résultat. 0. Soit X ue suite de variables aléatoires idépedates de loi de Beroulli de paramètre p ]0, [. Motrer qu'avec probabilité, la suite X pred ue iité de fois la valeur et ue iité de fois la valeur 0. Solutio de l'exercice 0. Pour tout, posos A = {X = } et B = {X = 0}. Les évéemets A sot idépedats et tous de probabilité p > 0. E particulier, PA = +. La deuxième partie du lemme de Borel-Catelli etraîe doc que P sup A =. Le même raisoemet s'applique aux évéemets B qui sot de probabilité p > 0. Doc P sup B =, et P sup A sup B =. Or l'évéemet sup A sup B est précisémet l'évéemet où la suite X pred ue iité de fois la valeur et ue iité de fois la valeur 0.. Soit X ue suite de variables aléatoires idépedates et idetiquemet distribuées. O suppose que E[ X ] = +. O veut motrer que presque sûremet, la X suite +...+X 'a pas de ite réelle. a. Motrer que si ue suite x x de réels est telle que la suite +...+x ait ue ite réelle, alors x = 0. b. Motrer que P X = + et coclure. 7

8 Solutio de l'exercice. a. Notos, pour, u := x +...+x et u la ite de cette suite. Itroduisos, pour 2, v := u. Cette suite coverge aussi vers u. Par coséquet, quad, o a bie x = u v u u = 0. b. La divergece de la série de terme gééral P X = P X découle de celle de l'espérace de X et du b. de l'exercice 5. Comme les A = { X } sot idépedats et que la série de leur probabilités diverge, le lemme de Borel-Catelli exercice 9 ous permet d'armer que A = sup A a probabilité. Autremet dit, presque sûremet, il existe ue iité de tels que X. Or, d'après le a., o a l'iclusio {S / admet ue ite réelle} {X / 0} A c. Par ce qui précède, o coclut que la probabilité de ces évéemets est ulle. 8

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