2.1 Variable aléatoire Fonction de répartition Fonction de masse et de densité...2

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1 - Varables aléatores et dstrbutos - Chaptre : Varables aléatores et dstrbutos. Varable aléatore.... Focto de répartto....3 Focto de masse et de desté....4 Dstrbuto cojote de varables aléatores Dstrbuto marale Dstrbuto codtoelle Idépedace de varables aléatores Foctos de varables aléatores Caractérstques de dstrbutos ue seule varable L espérace mathématque moyee Autres caractérstques courates Caractérstques de dstrbutos pluseurs varables Proprétés de l opérateur espérace mathématque....9 Formules d approxmato pour l espérace et la varace de foctos de v.a Formules d approxmato pour le cas multvarable...3. Varable aléatore Défto. Varable aléatore : focto qu assoce u ombre réel à chaque élémet de l espace échatlloal. Exemple : O prélève 3 échatllos de sol et l o ote pour chacu la ature du sol arle A, slt F, sable S, raver G. L espace échatlloal est : {AAA, AAF, AAS...SGG GGG}. S représete le ombre d échatllos de type sable, alors AAA=0, AAF=0, AAS=,...ASS=,... SSS=3. Exemple : Prélever u échatllo de sol et mesurer sa masse volumque sèche. La masse volumque est ue varable aléatore. Note : L exemple llustre ue varable aléatore dscrète, l exemple ue varable aléatore cotue. Il exste auss des v.a. mxtes,.e. dscrète pour certas élémets de l espace échatlloal et cotue pour d autres.

2 - Varables aléatores et dstrbutos -. Focto de répartto Défto : F x = P x. E mots : la focto de répartto doe la probablté que la varable aléatore pree ue valeur féreure ou éale à toute valeur partculère «x». Proprétés :. lm F x = 0 x. lm F x = x F. x est o-décrossate v. S est ue v.a. dscrète, alors F x est ue focto e escaler; s est cotue alors x est ue focto cotue. F.3 Focto de masse et de desté Défto : a cas dscret : p x = P = x est la focto de masse de la v.a. dscrète. O peut auss exprmer la focto de masse comme : p x = F x F x d b cas cotu : f x = F x est la focto de desté de la v.a. cotue. dx Proprétés : a Cas dscret : b cas cotu :. p x 0. p x. p = x. x 0 f b P a b = f x dx = F b F a f. x dx = a E ée cvl, o recotre plus souvet les v.a. cotues. Exemple 3 : Des tes d acer motret ue résstace e teso varable. La focto de desté est doée par :

3 - Varables aléatores et dstrbutos -3 f utés de «x» e MPa x x x 4 x 4 x alleurs a Quelle est la probablté qu ue te doée motre ue résstace e teso comprse etre 47 et 49? 49 f x dx = b Quelle est la probablté que la résstace sot féreure à 4? 4 f x dx = c Quelle est la probablté que la résstace sot supéreure à 4? 55 f x dx = f x x, KPa

4 - Varables aléatores et dstrbutos F x x, KPa Exemple 4 : Ue porto de placher de superfce a x a est supportée par les côtés. O dspose ue chare aléatoremet sur le placher. Quelle est la probablté que cette chare sot à ue dstace supéreure à «x» du côté le plus près du pot de chare? La probablté est proportoelle à la surface du carré tere : a x a x F x = = 0 x a a a La focto de desté est doc : a x f x = 0 x a a x a Exemple 5 : Sur u ste, l o dot costrure ue tour. O étude l hstorque de la force des vets durat pluseurs aées. O ote la force du vet maxmale durat ue aée. Supposos que possède la focto de desté suvate : f x = λe λx 0 x dstrbuto expoetelle; x doé e km/h La focto de répartto est alors : λx F x = e 0 x S λ = 0. 0 ous verros plus lo dfféretes faços d estmer les paramètres que l o retrouve das ue dstrbuto, alors quelle est la probablté que le vet excède 00km/h? 0. 0* 00 = 6 P > 00 = - F 00 e = 3. % Exemple 6 : U lot de béto dot recotrer ue résstace mmale. Même s le lot das so esemble recotre la orme, l est possble qu u échatllo prs au hasard e recotre pas la orme avec ue probablté «p». Quelle est la probablté que parm échatllos prs au hasard, l y e at «x» qu e recotret pas la orme? P P = 0 = p = = p p

5 - Varables aléatores et dstrbutos P! x! x! x x = x = p p lo bomale As, s p=0.05, la probablté qu u échatllo parm 5 prélevés e respecte pas la orme est : 5* *0.05 = Dstrbuto cojote de varables aléatores Déftos : - Sot deux v.a.,. La focto de répartto cojote est : F x, y = P x, y - Sot deux v.a. dscrètes et. La focto de masse cojote est : p x, y = P = x, y - Sot deux v.a. cotues et. La focto de desté cojote est : f, x,y = F xy, Note : Des proprétés très smlares au cas à ue seule v.a. exstet. x,y,, = Note : S est dscrète et cotue ou s ue des deux varables est mxte, o a alors ue focto de répartto cojote mxte. Note : Ces déftos se ééralset faclemet au cas de p> v.a..4. Dstrbuto marale Sot deux v.a. et dscrètes ou cotues et leur focto de répartto cojote. La focto de répartto obteue e e cosdérat qu ue des deux varables est appelée focto de répartto marale. O peut l obter drectemet de la focto de répartto cojote : F x = F x,, - S et sot des v.a. dscrètes, o obtet la focto de masse marale de par : p x = p x,y, - S et sot des v.a. cotues, o obtet la focto de desté marale de par : f x = f x, y dy,.4. Dstrbuto codtoelle Sot deux v.a. et dscrètes. La focto de masse codtoelle de sachat que =y est : p, x, y p x y = P = x = y = avec p y > 0 p y

6 - Varables aléatores et dstrbutos -6 Sot deux v.a. et cotues. La focto de desté codtoelle de sachat que =y est : f, x, y f x y = avec f y > 0 f y Les foctos de répartto codtoelles s obteet drectemet par sommato de la focto de masse codtoelle cas dscret ou par térato de la focto de desté codtoelle cas cotu : Exemple 7 : Deux rvères et almetet u réservor. La dstrbuto cojote de leurs débts quotdes e m 3 est : 7 f, x,y = x y / x 4000, 0 y 000 a Quelle est la probablté que le débt de la rvère sot le double du débt de la rvère? x P>= f x,y dydx 3000x 5x / 8 3 / , = 6000 = 0 7 b Vous observez =000 m 3. Que vaut la focto de desté codtoelle de? O calcule f y = x y / 6000 dx = 4000* 4000 y La focto de desté codtoelle évaluée à =000 est doc : 6000 x x f x y = 000 = = 0 x * Note : La probablté que sot supéreure à 000 m 3 sachat que =000 est : x dx = / Idépedace de varables aléatores Sot deux v.a. et cotues. est dépedat de ss a f x, y f x f y, = x y = f x b f c F x, y F x F y, = x y = F x d F Note : des relatos smlares exstet pour des couples de v.a. dscrètes ou mxtes. Note : ces relatos se ééralset faclemet au cas de pluseurs v.a. dépedates. Souvet das la pratque, l dépedace est ue proprété attrbuée à des v.a. que l o crot o relées. L dépedace permet de smplfer rademet les calculs mplquat pluseurs v.a.

7 - Varables aléatores et dstrbutos -7.5 Foctos de varables aléatores Parfos, o coaît la focto de répartto d ue v.a. alors que ce qu ous téresse davatae c est la dstrbuto d ue focto dot l mae est réelle de, sot =. se trouve à assocer ue valeur réelle à chaque valeur de. Par le fat même, assoce auss ue valeur réelle à chaque élémet de l espace échatlloal, c est doc ue v.a. Sot u évéemet C assocé à R. L évéemet équvalet B de R, est B={ x Rx, x C}. Exemple 8 : représete l élévato de la surface d ue rvère e u pot. représete le débt de la rvère assocé à cette élévato. Le le o-léare = etre les deux est décrt par ue courbe de tarae. Exemple 9 : représete le ombre de fractures par mètre foré das u massf rocheux. représete la dstace etre deux fractures cosécutves observées le lo du forae. Cas dscret : la focto de masse de s obtet pas smple éumérato. Pour ue valeur doée «y», o cherche l esemble des valeurs «x» doat cette valeur «y». O coaît la probablté d avor chaque «x», doc o coaît la probablté d avor chaque «y». p y j = p x, x = y j Cas cotu o suppose cotu et strctemet crossate : O a : doc, F y = P f y = P x où df x dx y = F ' y = dx dy = f y dy = f x dx f x = y dx x dy E termes smples, la probablté d observer das u pett tervalle dx autour de x est éale à la probablté d observer das u pett tervalle dy autour de y. La lareur dy s obtet e applquat la focto x aux deux lmtes de l tervalle autour de x. Note : s la focto est strctemet décrossate alors <x etraîe >y avec x=y, o aura doc : F y = P y = P x où x = y f d F x dx dx y = F ' y = = f x dx dy dy Mas comme das ce cas dx/dy est auss éatf, o peut écrre : f y = f dx x dy

8 - Varables aléatores et dstrbutos -8 Note : s x est pas strctemet crossate ou décrossate,.e. x est pas bjectve, alors l faut décomposer la focto x e tervalles e x ou elle est strctemet crossate ou décrossate et applquer les résultats séparémet sur chaque tervalle. O a esute qu à sommer les résultats sur les dfférets tervalles. Exemple 0 : Vous voulez soumssoer sur u projet de costructo. Les coûts de matéraux sot de 0K$, le coût de la ma d oeuvre est de 00$/hr. Vous estmez que le projet devrat predre H heures H est certa. Vous adoptez doc ue focto de coût de la forme suvate : C= H. 0 h 00 h 0 La focto de répartto de H est doée par : F H h = 00 h 0 0 h > 0 O a : H=C-0000/00 La focto de répartto de C est doc : F C 0 c 0000 c 0000 /00 0 c 000 c = = c > c 000 Exemple : Vous mesurez la chare hydraulque à ue erreur près dot la focto de desté est : - x /4, - x. Quelle est la focto de desté de l erreur carrée.e. =? O a : x=y 0.5 dx/dy=0.5/y Pour x 0, y f y = = 0 y < y 4 y 5 8 Pour 0 x, f y = 0 y < y 8 Doc, f y = 0 y < y 4.6 Caractérstques de dstrbutos ue seule varable Il est téressat de défr des quattés permettat de décrre les caractérstques prcpales d ue dstrbuto. Cec faclte la comparaso de dstrbutos etre elles. Quad ous travalleros au veau de l échatllo, l arrvera que l o e coasse pas écessaremet les dstrbutos mplquées, pourtat les mesures caractérstques pourrot toujours être estmées à partr de l échatllo.

9 - Varables aléatores et dstrbutos L espérace mathématque moyee Pour smplfer la présetato, seule le cas cotu sera cosdéré. L adaptato au cas dscret est mmédate e remplaçat la focto de desté par la focto de masse et les térales par des sommatos. L espérace mathématque de moyee de [ ] E = x f x dx L espérace mathématque d ue focto quelcoque de : Quelques foctos partculères : [ ] E = x f x dx Nom doé à E[] Symbole courat Utlté Moyee Mesure la tedace cetrale Varace 3 Coeffcet d asymétre γ Mesure la dsperso l étalemet autour de la moyee >0 dque ue asymétre vers la drote; <0 dque ue asymétre vers la auche Momet cetré et «ormalsé» - - d ordre expt Focto éératrce des momets M t La «ème» dérvée de M t évaluée e t=0 est éale au «ème» momet par rapport à l ore. Note : O a = E [ ] = E[ ]. Cette derère forme état souvet plus smple à évaluer. Note : O appelle écart-type la quatté =. Alors que la varace possède des utés qu sot le carré des utés de, l écart-type possède les mêmes utés que. Note : le coeffcet de varato / das le cas d ue varable postve. est souvet utlsé pour décrre l mportace relatve des varatos

10 - Varables aléatores et dstrbutos -0 Tros ormales de moyees dfféretes Tros ormales de varaces dfféretes Mêmes moyees et varaces, 3 coeff. d'asymétre dff.6. Autres caractérstques courates quatle p : Qp= x tel que F x = p F p médae : Q0.5 das l échatllo : la valeur mleu écart ter-quartle : Q0.75-Q0.5 étedue : maxmum-mmum. mmum : plus pette valeur possble ou réalsée das le cas d u échatllo. maxmum : plus rade valeur possble ou réalsée das le cas d u échatllo. mode : x tel que f x est maxmal..7 Caractérstques de dstrbutos pluseurs varables Outre les caractérstques décrtes à la secto précédete pour chaque varable cosdérée séparémet.e. obteue avec la dstrbuto marale, o peut défr les caractérstques suvates pour les couples de varables aléatores : Covarace : = E[ ]. Mesure la force du le léare ussat les varables et. Peut être postf ou éatf. Présete les utés du produt.

11 - Varables aléatores et dstrbutos - O otera que s = das cette expresso, o a : = E[ ] = bref, la covarace etre ue v.a. et elle-même est autre que sa varace. Corrélato : ρ =. C est la covarace «ormalsée» par les écarts-types des deux varables. La corrélato est comprse etre et. La valeur dque u le léare parfat avec pete éatve, dque u le léare parfat de pete postve, 0 dque absece de le léare l peut y avor toutefos des les o-léares etre et. Exemples de corrélatos : 3 r=0.5 A 3 B r= r=0.8 C 6 4 r=0.0 D La fure A dque ue corrélato moyee, celle e B ue corrélato forte mas de se éatf, celle e C ue corrélato forte causée par ue seule valeur aberrate et celle e D ue absece de corrélato be qu l exste ue relato o-léare parfate etre et. De C o coclut que la présece d ue forte corrélato peut être due à ue aomale des doées, de D o coclut que l absece de corrélato dque pas écessaremet ue absece de relato etre les varables. Cela dque smplemet ue absece de relato léare. As, s l dépedace etre v.a. mplque l absece de corrélato, l verse est faux sauf pour le cas partculer de la lo bormale.

12 - Varables aléatores et dstrbutos -.8 Proprétés de l opérateur espérace mathématque L opérateur espérace mathématque est u opérateur léare l s at d ue térale ou d ue sommato. Coséquemmet, o a : E[a]= ae[] E[c+a]=c+aE[] E[a+bh]=aE[]+bE[h] mas e ééral E[]=E[]E[]+Cov, E[]E[] sauf s et sot des v.a. o-corrélées Deux relatos utles coceret l espérace et la varace d ue somme de v.a. : E = E[ ]] Var = E = Cov, j j Cette derère expresso se smplfe lorsque les v.a. sot dépedates. Das ce cas, o a e effet : Cov, = 0 j, ce qu lasse : j Plus ééralemet, o a : Var Var = a = E a = aa jcov, j j Falemet, cosdéros les varaces de quelques foctos partculères de : Vara+b=a Var. O ote que l ajout d ue costate affecte pas la varace. Varb=0. La varace d ue costate est ulle..9 Formules d approxmato pour l espérace et la varace de foctos de v.a. Das pluseurs stuatos, l peut être suffsat de coaître l espérace et la varace d ue focto d ue v.a. sas avor à coaître la dstrbuto complète.

13 - Varables aléatores et dstrbutos -3 Sot =. O développe cette focto par ue sére de Taylor autour de la valeur x=. O obtet à l ordre : '' ' R u = Preat l espérace de part et d autre, o obtet : '' ] [ '' ] [ R E E = Note : S est léare, alors =0 et o retrouve le résultat vu précédemmet. S o lmte l expaso à l ordre, o obtet : ' R + + = E preat l opérateur Var de part et d autre et e éleat le reste, o obtet : ' Var Note: La qualté de l approxmato déped de la forme partculère de as s est léare, les deux formules précédetes sot exactes. La qualté de l approxmato dmue lorsque aumete ou lorsque dmue..9. Formules d approxmato pour le cas multvarable Sot =,,... E applquat ue sére de Taylor multvarable et e se lmtat à l ordre, o trouve e suvat u développemet smlare à celu de la secto précédete : [ ] + j j j x x Cov E,...,,,..., Pour la varace, o trouve, e lmtat l expaso à l ordre : j j j Cov x x Var,,...,,..., et, s les varables sot o-corrélées deux à deux ou s l o éle les covaraces,,..., x Ue approxmato souvet utlsée cocere le produt de v.a. =.... O a alors, s les varables sot o-corrélées deux à deux :

14 - Varables aléatores et dstrbutos -4 Var Var Var Var =>La varace relatve coeffcet de varato au carré d u produt est approxmatvemet la somme des varaces relatves des varables das le produt. Note : o retrouve la même formule d approxmato lorsqu o cosdère u mélae de produts et de... p quotets de varables o-corrélées. Sot =, alors :... p+ p+ Var Var Var Var Exemple : La force s exerçat sur u rllae mmeré das ue rvère est doée par F=RCAS où R est la desté de l eau, C est le coeffcet de traîée déped de la forme du rllae, A est la surface de l objet et S est la vtesse de l eau. Les coeffcets de varato pour R,C,A et S sot estmés être respectvemet de %, 5%, 3% et 0%. Des formules d approxmato précédetes, pour S o a approxmatvemet : E[S ] + lorsque le coeffcet de varato est pas trop élevé. De même, la S S S varace est approxmatvemet : S S S = S S, doc 0%. 4 S S. Le coeffcet de varato pour S est doc : Le coeffcet de varato sur la force est doc : [% +5% +3% +0% ] 0.5 =0.9%. Note : Lorsque le coeffcet de varato de est pas trop élevé, o peut écrre : k k k k k k E[ ] + k k Var k De sorte que le coeffcet de varato de k est approxmatvemet : V k k k k = kv Note : Ue alteratve smple aux formules d approxmato est de procéder par smulato. O smule u très rad ombre de valeurs de,,... avec la dstrbuto voulue et l o applque la focto x aux valeurs smulées. Il e reste alors qu à calculer la moyee espérace et la varace des valeurs obteues pour la focto.

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