TP - Introduction de la fonction exponentielle par la méthode d'euler -

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1 TP - Itroductio de la foctio expoetielle par la méthode d'euler - De ombreux phéomèes phsiques, biologiques, écoomiques ou autres sot modélisés par ue foctio ƒ qui est proportioelle à sa dérivée ƒ'. (Par exemple, le phéomèe de désitégratio de oaux radioactifs) Nous allos ici ous itéresser à l'ue des foctios de ce tpe. Plus particulièremet, que peut-o dire d'ue foctio qui serait égale à sa dérivée? Nous coaissos déjà au mois ue foctio égale à sa dérivée : la foctio ulle! Mais cette foctio est sas itérêt. Notre objectif est d'e rechercher d'autres. Première partie (théorique) : de l'importace d'ue "coditio iitiale" Supposos qu'il existe ue foctio ƒ, o ulle, défiie et dérivable sur telle que : ƒ' = ƒ sur. Soit λ. O pose g = λƒ. Démotrer que : g' = g sur 2. Soit g ue foctio vérifiat aussi g' = g sur. Que peut-o dire de ƒ + g? 3. Supposos maiteat qu'il existe ue foctio ƒ, défiie et dérivable sur vérifiat les coditios : = (P) (0) = a. O cosidère la foctio c défiie sur par : Commetaire O costate das cette partie que s'il existe ue foctio o ulle solutio de l'équatio différetielle ' =, alors il e existe ue ifiité. Cepedat, e imposat ue coditio iitiale (ici ƒ(0) = ), s'il existe ue solutio à otre équatio différetielle, alors elle est uique. c(x) = ƒ(x)ƒ( x) Motrer que c est ue foctio costate égale à sur. E déduire que ƒ e s'aule pas sur. b. Démotrer que si g est ue foctio qui vérifie (P) alors g = ƒ sur. O pourra cosidérer la foctio h défiie sur par h = g ƒ... Das la suite, la foctio ƒ est l'uique foctio () satisfaisat les coditios = (P) (0) = Nous allos maiteat essaer de tracer la représetatio graphique de ƒ grâce à la méthode d'euler. () O suppose pour le momet qu'ue telle foctio existe. La preuve rigoureuse de cette existece sera faite ultérieuremet. Itroductio de l'expoetielle par la méthode d'euler Page G. COSTANTINI

2 Deuxième partie (umérique) : vers la représetatio graphique O rappelle que si ƒ est ue foctio dérivable e a, alors il existe ue foctio ϕ telle que : ƒ(a + h) = ƒ(a) + hƒ'(a) + hϕ(h) où lim ϕ(h) = 0 h 0 D'où l'approximatio : ƒ(a + h) ƒ(a) + hƒ'(a) C'est sur cette approximatio (dite "affie") qu'est basée la méthode d'euler. Cette approximatio est d'autat meilleure que h est petit.. E utilisat les coditios satisfaites par ƒ, démotrer que pour tout o a : ƒ(a + h) ( + h) ƒ(a) 2. O ote (u ) la suite défiie, sur, par : u = ( + h) ƒ(a) Démotrer que (u ) est géométrique et préciser sa raiso. 3. Das cette questio, o suppose a = 0. O a doc : ƒ(h) ( + h) a. O pose x = h. Démotrer que pour assez grad : ƒ(x) x + Note : cette approximatio est d'autat meilleure que est grad. b. A l'aide de la calculatrice (ou d'u tableur), tracer les courbes des approximatios de la foctio ƒ pour des valeurs de égales à 0, 00, et 000. c. E preat = 0000, doer ue valeur approchée du ombre ƒ() + Note : le ombre ƒ() est ecore oté e. O a déjà vu (DM 2) que e = lim + C'est cette suite (u (x)) défiie par u (x) = x + que ous utiliseros pour motrer rigoureusemet l'existece de la foctio expoetielle. +. = Voilà. Cette foctio ƒ vérifiat les coditios est appelée foctio expoetielle. (0) = O viet de voir à quoi ressemble sa représetatio graphique. Nous verros, das le cours, que cette foctio possède des propriétés remarquables otammet celle de trasformer des "sommes" e "produits", c'est-à-dire : pour tous réels x et : ƒ(x + ) = ƒ(x)ƒ() Ties, d'ailleurs, essaez de le motrer e fixat et e cosidérat la foctio g défiie par : g (x) = ƒ(x + )ƒ( x) Si o arrivait à prouver que g est ue foctio costate (égale à ƒ()) sur, ce serait pas mal o? Itroductio de l'expoetielle par la méthode d'euler Page 2 G. COSTANTINI

3 TP - Itroductio de la foctio expoetielle par la méthode d'euler - Corrigé Première partie (théorique) : de l'importace d'ue "coditio iitiale" Supposos qu'il existe ue foctio ƒ, o ulle, défiie et dérivable sur telle que : ƒ' = ƒ. O a, sur : g' = (λƒ)' = λƒ' = λƒ = g D'où : g' = g sur 2. O a, sur : (ƒ + g)' (ƒ + g) = ƒ' ƒ + g' g = 0 D'où : (ƒ + g)' = (ƒ + g) sur La foctio ƒ + g est aussi égale à sa dérivée. 3. Supposos maiteat qu'il existe ue foctio ƒ, défiie et dérivable sur vérifiat les coditios : = (P) (0) = a. O cosidère la foctio c défiie sur par : c(x) = ƒ(x)ƒ( x) La foctio c est dérivable sur (puisque ƒ l'est) et pour tout x, o a : c'(x) = ƒ'(x)ƒ( x) + ƒ(x)( ƒ'( x)) Et puisque ƒ' = ƒ : c'(x) = c(x) c(x) = 0 Doc c est ue foctio costate égale à sur. Puisque c = sur, o a : pour tout x, ƒ(x)ƒ( x) = Cette propriété sera utile par la suite. Motros que ƒ e s'aule pas (sur ) e raisoat par l'absurde : S'il existait u réel x 0 tel que ƒ(x 0 ) = 0, alors o aurait c(x 0 ) = 0, ce qui est absurde puisque c = sur. Doc, l'hpothèse iitiale est fausse. Doc ƒ e s'aule pas sur. b. Comme ƒ e s'aule pas, la foctio h = g ƒ est bie défiie et dérivable sur et o a : Puisque ƒ e s'aule pas sur, o a : pour tout x, ƒ( x) = ƒ( x) h' = g ƒ gƒ = 0 puisque g' = g et ƒ' = ƒ 2 ƒ Là ecore, o e déduit que h est costate sur et comme : h(0) = g(0) = ƒ(0) h est costate égale à sur, d'où : g = ƒ sur Das la suite, la foctio ƒ est l'uique foctio () satisfaisat les coditios = (P) (0) = () O suppose pour le momet qu'ue telle foctio existe. La preuve rigoureuse de cette existece sera faite ultérieuremet. Itroductio de l'expoetielle par la méthode d'euler Page 3 G. COSTANTINI

4 Deuxième partie (umérique) : vers la représetatio graphique O rappelle que si ƒ est ue foctio dérivable e a, alors il existe ue foctio ϕ telle que : ƒ(a + h) = ƒ(a) + hƒ'(a) + hϕ(h) où lim ϕ(h) = 0 h 0 D'où l'approximatio : ƒ(a + h) ƒ(a) + hƒ'(a) C'est sur cette approximatio (dite "affie") qu'est basée la méthode d'euler.. O cosidère la propriété, défiie sur, par : Cette approximatio est d'autat meilleure que h est petit. Comme ƒ = ƒ', o a : pour tout a, et h assez petit, ƒ(a + h) ( + h) ƒ(a) ƒ(a + h) ( + h)ƒ(a) D'où (). La propriété est doc iitialisée au rag. (Et même au rag 0) Soit * et supposos (). Alors : D'où ( + ). ƒ(a + ( + )h) = ƒ((a + h) + h) La propriété est doc héréditaire à partir du rag. () ( ) ( + h)ƒ(a + h) ( + h) + ƒ(a) D'après le pricipe du raisoemet par récurrece, o e déduit que la propriété est vraie pour tout *. Et comme elle triviale au rag 0, elle est vraie pour tout : ƒ(a + h) ( + h) ƒ(a) 2. O ote (u ) la suite défiie, sur, par : u = ( + h) ƒ(a) Note : o sort ici du domaie des mathématique exactes. E effet, ous e savos rie sur la trasitivité du smbole. La méthode d'euler est itérative et chaque erreur est reportée das l'étape suivate sas que l'o puisse doer u majorat de l'erreur à l'étape. Bie compredre la portée de cette approximatio : si o coaît la valeur de ƒ e a, alors o peut calculer des valeurs approchées de ƒ e a + h. O a, pour tout : u + = ( + h) + ƒ(a) = ( + h)( + h) ƒ(a) = ( + h)u La suite (u ) est doc géométrique de raiso + h. 3. Das cette questio, o suppose a = 0. O a doc : ƒ(h) ( + h) a. Puisque x = h, o a h = x ( est supposé assez grad pour avoir h assez petit). Aisi : ƒ(x) x + b. Voir feuille suivate. c. E preat = 0000, o obtiet : e 2,785 Efi, motros que l'expoetielle trasforme les sommes e produits : g (x) = ƒ(x + )ƒ( x) g ( x ) = ƒ'(x + )ƒ( x) ƒ(x + )ƒ'( x) = 0 car ƒ' = ƒ Doc g est costate et comme g (0) = ƒ()ƒ(0) = ƒ(), il viet pour tout x : ƒ() = ƒ(x + )ƒ( x) Et comme, o vu que ƒ(x)ƒ( x) =, ous obteos fialemet : ƒ(x + ) = ƒ(x)ƒ() C'est cette suite (u (x)) défiie par u (x) = x + que ous utiliseros pour motrer rigoureusemet l'existece de la foctio expoetielle. Itroductio de l'expoetielle par la méthode d'euler Page 4 G. COSTANTINI

5 Courbes approchat la foctio expoetielle obteues par la méthode d'euler C 000 C 00 C 0 O x Itroductio de l'expoetielle par la méthode d'euler Page 5 G. COSTANTINI