Équations différentielles.

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1 IS BTP, 2 année NNÉE UNIVERSITIRE CONTRÔLE CONTINU Équaions différenielles. Durée : h30 Les calcularices son auorisées. Tous les exercices son indépendans. Il sera enu compe de la rédacion e de la présenaion. Exercice Un ballon d enfan (de masse m) gonflé à l hélium possède une force ascensionnelle F consane (gravié déduie) e il es exposé à un ven horizonal de viesse V consan. On le lâche sans viesse iniiale e en noan respecivemen x() e y() l abscisse e l ordonnée de sa posiion à l insan, le principe fondamenal de la dynamique produi les équaions différenielles ci-dessous : k éan une consane posiive. mx = k (V x ) (E ) my = F (E 2 ) x(0) = x (0) = 0, y(0) = y (0) = 0. Donner un sens à chacune de ces équaions. 2. Déerminer les foncions x e y donnan la posiion du ballon à chaque insan. 3. Quel ype de rajecoire adope le ballon après un emps rès long? 4. Donner une limie au modèle. Exercice 2 Soi (E) : sin()y cos()y = sin(2). À quelle classe apparien l équaion différenielle (E)? 2. Déerminer les valeurs inerdie de (E) e donner les inervalles de résoluion I k pour k Z. 3. Monrer que les soluions de l équaion homogène associée à (H) sur I k son les foncions de la forme y h : λ k. sin(), λ k R 4. À l aide de la méhode de variaion de la consane, monrer que la foncion y p : ln ( sin 2 () ) sin() es une soluion de (E) sur chaque inervalle I k.

2 5. Donner l ensemble des soluions de (E) sur I k pour ou k Z. 6. Monrer que oues les soluions définies sur I =] π, 0[ e I 0 =]0, π[ se prolongen en En éudian la dérivabilié de foncions prolongées à la quesion précédene, monrer que (E) n adme aucune soluion raversan la valeur inerdie 0. Exercice 3 En chimie, l éude de la viesse de réacion de ceraines réacions chimiques produi des équaions différenielles de la forme (E) : y = ( y)( + By) la foncion y représenan une concenraion, e B éan des consanes posiives caracérisiques de la réacion éudiée.. De quel ype d équaion différenielle s agi-il? 2. Éude qualiaive (a) Déerminer les soluions consanes de (E) e leurs naures. (b) Tracer l allure de quelques soluions de (E). 3. Résoluion exace (a) Déerminer deux consanes α e β (dépendan de e B) elles que { X, }, B ( X)( + BX) = α X + β + BX (b) En déduire l ensemble des soluions de (E) sur R. On donnera en pariculier l unique soluion de (E) vérifian la condiion iniiale y(0) = y 0 (pour y 0 R quelconque). (c) Comparer le comporemen des soluions obenues à la quesion précédene avec les informaions issues de l éude qualiaive. 2

3 Exercice : CORRECTION. Ces équaions son issues du principe fondamenal de la dynamique : F = m. a. En projean cee égalié vecorielle sur l axe des ordonnées, on ne rouve que la force ascendane (consane), d où la seconde équaion poran sur y. En projean sur l axe des abscisses, on rerouve, dans la première équaion, le fai que la force du ven es proporionnelle à la différence enre la viesse du ven V e la viesse du ballon (x ). 2. Il s agi ici de deux équaions différenielles linéaires, d ordre deux, à coefficiens consans, avec des seconds membres consans. insi, la première équaion s écri (E ) : mx = k(v x ) x + k m x = kv m Le polynôme caracérisique de cee équaion es P (X) = X 2 + k X = X ( X + k m m). Les racines de ce polynôme éan X = 0 e X = k, les soluions de l équaion homogène m associée à (E ) son x h : λ + µe k m, λ, µ R Par ailleurs, le second membre de l équaion (E ) es consan. Cependan, si l on injece une soluion consane y p () = k dans cee équaion, on obien l égalié 0 = kv. m uremen di, (E ) n adme pas de soluion consane. On cherche alors une soluion pariculière de (E ) sous la forme y p () = a. On a alors y p() = a e y p() = 0. En injecan ces formes dans l équaion (E ), on obien 0 + k m a = kv m a = V La foncion y p : V es donc une soluion de (E ) e les soluions de (E ) son y : λ + µe k m + V Parmi oues ces soluions, l unique foncion vérifian en oure les condiions iniiales x(0) = x (0) = 0 es associée aux valeurs de λ e µ vérifian le sysème { { λ + µ = 0 λ = µ = V m k µ + V = 0 k µ = V m m k la seconde équaion éan obenue en posan = 0 dans l expression y () = k m µe k m +V. insi, l abscisse du ballon à chaque insan es donnée par x() = V m ( ) e k m + V k L équaion (E 2 ) es du même ype que l équaion (E ). Cependan, puisqu elle ne fai inervenir que la dérivée seconde y, elle s inègre à vue e l on obien : y () = F y () = F + λ y() = 2 F 2 + λ + µ D aure par, les condiions iniiales y(0) = y (0) = 0 imposen égalemen λ = µ = 0. insi, l ordonnée de la posiion du ballon es donnée par la foncion y : 2 F 2 3

4 ( ) 3. u bou d un emps long, le erme V m e k m devien négligeable dans l expression k de x(). Le comporemen de cee foncion es alors proporionnel à. L ordonnée éan quan à elle proporionnelle à 2, il es possible d éablir une relaion de la forme y = x 2. uremen di, le ballon adope, au bou d un emps long, une rajecoire parabolique. 4. La principale limie au modèle choisi es le fai de supposer la force ascensionnelle F consane. En effe, si l aliude change beaucoup, la pression amosphérique change égalemen e le force F doi diminuer. Exercice 2 :. C es une équaion différenielle linéaire d ordre à coefficiens variables e non homogène. 2. Les valeurs inerdies son ici les valeurs de pour lesquelles le coefficien sin() de y es nul, soi ous les réels k = kπ pour k Z. Les inervalles de résoluion de (E) son donc les inervalles I k =]kπ, (k + )π[, k Z 3. Soi k Z. L équaion homogène associée à (E) es insi, (H) : sin()y + cos()y = 0 sin()y cos()y = 0 y y = cos() sin() ln y h () = ln sin() + C y h () = λ k. sin() Par ailleurs, sur l inervalle I k, la foncion sinus es de signe consan. insi, quie à remplacer λ k par λ k, les soluions de (H) sur I k son y h : λ k. sin(), λ k R 4. La méhode de variaion de la consane incie à rechercher, sur I k, une soluion y p de l équaion (E) sous la forme y p () = λ k (). sin() Mais alors y p() = λ k (). sin() + λ k(). cos() e y p es une soluion de (E) si e seulemen si sin()y p() cos()y p () = sin(2) sin() ( λ k(). sin() + λ k (). cos() ) cos().λ k (). sin() = sin(2) λ k() = sin(2) sin 2 () = 2 sin() cos() = 2 cos() sin 2 () sin() En posan λ k () = 2 ln sin() = ln ( sin 2 () ), on obien bien y p () = ln ( sin 2 () ). sin() 4

5 5. D après les calculs précéden, les soluions de (E) sur I k son donc oues les foncions de la forme y : λ k. sin() + ln ( sin 2 () ). sin(), λ k R quelque soi k Z. 6. Noons y 0 la soluion générique de (E) sur l inervalle I 0 =]0, π[ : ]0, π[, y 0 () = λ 0. sin() + ln ( sin 2 () ). sin(), λ 0 R Par croissance comparée, on a e lim ln ( sin 2 () ). sin() = lim y 0() = quelque soi λ 0 R. On monre de même que oues les soluions de (E) sur I =] π, 0[ enden vers 0 quand 0. On peu ainsi prolonger ces soluions en 0 en posan y 0 (0) = y (0) = Pour éudier la dérivabilié des soluions prolongées y 0 e y, on éudie la limie des aux d accroissemens associés. Or T 0 () = y 0() y 0 (0) = λ 0. sin() + ln ( sin 2 () ). sin() = λ 0. sin() + ln ( sin 2 () ). sin() Or par équivalence, on a sin(). Donc T 0 () quand 0 +. insi, aucune soluion de (E) sur I 0 ne se prolonge en une soluion dérivable en 0. L équaion (E) n adme donc aucune soluion définie en 0. Graphiquemen, on obien les familles de courbes ci-dessous :

6 Exercice 3 :. Il s agi d une équaion différenielle non linéaire e auonome. 2. (a) L équaion (E) es de la forme y = F (y) avec F (y) = ( y)(+by). Les soluions consanes de (E) son données par les racines de F. Or F (y) = 0 ( y)( + By) = 0 y = ou y = B Les soluions consanes de (E) son donc c : e c 2 : B Par ailleurs, la naure de ces poins fixes es donnée par le signe de la dérivée F en chacun de ces poins. Or F (y) = ( + By) + B( y) Donc e F ( ) ( = + B ) = B < 0 ( F ) ( = B B ) = + B > 0 B c es donc un poin fixe sable e c 2 es un poin fixe insable. On obien le graphe si dessous : (a) Soien α, β R els que X {, B }, on ai ( X)( + BX) = α X + β + BX ( ) En muliplian l égalié ci-dessus par ( X), on a En posan X =, on a alors + BX = α + β X + BX α = + B 6 = + B

7 De même, on muliplian l égalié ( ) par ( + BX), on a X En posan alors X =, on obien B = α + BX X + β β = + B = B + B e X {, }, B ( X)( + BX) = ( ) + B X + B + BX (b) (E) y ( y)( + By) = y y + By + By = + B ln y() + ln + By() = ( + B) + C + By() y() = λe(+b) + By() = λe (+B) ( y()) (B + λe (+B) )y() = λe (+B) y() = λe(+b) B + λe (+B) = λe e B Be B + λe Parmi oues ces soluions, la soluion vérifian en oure la condiion iniiale y(0) = y 0 correspond à l unique valeur de λ vérifian ( ) λ B + λ = y 0 (λ ) = y 0 (B + λ) λ = y 0B + y 0 ( ) insi, l unique soluion cherchée es la soluion définie par y() = y 0 B+ y 0 e e B Be B + y 0B+ y 0 e = (y 0B + )e + (y 0 )e B ( y 0 )Be B + (y 0 B + )e (c) D après la formule ( ), on voi que si λ 0, alors le dénominaeur de y() ne s annule jamais. y es donc définie sur R e l on a y() quand +. Réciproquemen, si λ < 0, alors le dénominaeur de y() s annule pour = ln ( B +B λ). Dans ce cas, les soluions de (E) associées à ces valeurs de λ explosen en un emps fini. Or d après la formule ( ), on voi que le signe de λ dépend direcemen de la posiion de y 0 par rappor à e B. Précisémen, 7

8 si < y B 0 <, alors λ > 0 e les soluions de (E) associées à ces condiions iniiales son bornées (enre e ), B si y 0 >, alors les soluions de (E) associées explosen pour un < 0. En ne considéran que les > 0, on rerouve le comporemen issu de l éude qualiaive : ces soluions décroissen vers le poin fixe sable, si y 0 <, les soluions associées à (E) explosen en un emps fini (sricemen B posiif). 8

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